4. PODSTAWY TEORII PRZEPŁYWU PŁYNU PRZEZ OŚRODEK POROWATY Mchał Strzeeck, Tomasz Strzeeck 4. Prawa rządzące przesączanem wod przez por ośrodka dwuazowego Wszstke skał, w tm w szczegónośc grunt posadają własnośc tracjne, dzęk którm cecze gaz mogą sę przez ne przedostawać pod wpłwem poa grawtacjnego, gradentu cśnena w płne, różnc potencjału eektrcznego ub chemcznego, różnc temperatur. Podstawowe prawo przepłwu wod przez grunt zostało sormułowane przez Darc ego w atach 85-855 [Darc H., 856]. Darc ne uwzgędnł wcześnejszch prac Poseue a [Strzeeck n., 008], któr rozważając teoretczne przepłw amnarn wod przez rurkę kaparną, uzskał uśrednone równane ruchu anaogczne do równana Darc ego. Jak wadomo prawo Darc ego w orgnanej postac wraża sę wzorem: v = kj (4.) gdze k oznacza współcznnk tracj, v poe wektorowe prędkośc tracj, a J to spadek hdrauczn wrażając sę wzorem: J = grad ( H), (4.) prz czm H oznacza wsokość hdrauczną wrażoną uproszczonm wzorem Bernouego: p H = + δ 3. (4.3) ρg W weu pracach przedstawono czne uwag krtczne do przedstawonego przez Darc ego prawa. Najważnejsze z nch można streścć w następującch tezach: Darc ne uwzgędnł aktu, że gradent wsokośc hdraucznej H ma przecwn zwrot nż wektor prędkośc tracj v, węc podstawowe prawo Darc ego pownno meć postać: v = kj (4.4) Kröber [wg. Weczst, 98] podnósł probem granc stosowanośc prawa Darc ego, Forchhemer w swojej prac [Forchhemer, 94] podał zaeżność denującą równane przepłwu tracjnego w przpadku, gd ruch cecz przepłwającej przez por ma charakter turbuentn, w postac: J = av + bvv (4.5) Przedstawone szczegółowe omówene wszekch aspektów uwag zwązanch z prawem Darc ego można znaeźć w pracach Połubarnowej-Koczn [977], Weczstego [98], Strzeeckego n. [008], [05] weu nnch autorów.
Zagadnenem przepłwu amnarnego przez por ośrodka gruntowego zajmowano sę równeż w poszukwanu makroskopowego prawa przepłwu tracjnego drogą uśrednena procesów zachodzącch w ska por, przjętej jako skaa nejednorodnośc ośrodka perodcznego z zastosowanem metod asmptotcznej homogenzacj. W ska nejednorodnośc, proces amnarnego przepłwu cecz opsują zgodne z pracam Bensoussana n. [978], Auraut a n. [980, 990] Strzeeckego n. [996], Łdżb [00], równana Navera Stokesa z równanem cągłośc przepłwu cecz neścśwej, da której dv v = 0. Uwzgędnając warunek brzegow v = 0 na kontakce płnu z całem stałm oraz warunk perodcznośc da poa wektorowego prędkośc unkcj cśnena w płne, uzskuje sę układ równań różnczkowch, któr jest punktem wjśca do rozpoczęca procesu homogenzacj. W wnku przeprowadzonego rozwązana uzskujem nowe prawo Darc ego z opsem matematcznm, w jak sposób można wznaczać numerczne wartość tensora przepuszczanośc, jeże potram okreść strukturę ośrodka porowatego znam epkość przepłwającego przez por ośrodka płnu. Uzskane w ctowanch wżej pracach rozwązane jest stotnm osągnęcem zk teoretcznej. Użwając tko narzędz matematcznch, uzskano prz przejścu ze ska mkroskopowej do makroskopowej zupełne odmenn charakter równań opsującch proces przepłwu w obdwu skaach, oraz udało sę okreść rząd wekośc tensora przepuszczanośc w ska makroskopowej. Naeż prz tm podkreść, że uzskan wnk jest w pełn zgodn z wnkam dośwadczeń, a zaeżność współcznnka tracj od stosunku / µ, gdze okreśa wekość rozmaru komórk reprezentacjnej RVE µ oznacza epkość płnącego przez por ośrodka płnu została potwerdzona cznm ekspermentam. 4.. Kasczn mode matematczn teor tracj Równana hdrodnamk wód podzemnch został okreśone prz przjęcu następującch założeń: ośrodek porowat tworz strukturę cała stałego traktowanego, jako ośrodek cągł, wewnątrz którego stneje seć kanaków tracjnch wzajemne połączonch, ne wstępują por zamknęte zawerające cecz ub gaz, seć kanaków jest na te reguarna, że można okreść eementarną objętość reprezentatwną RVE, która reprezentować będze wodrębnon prostopadłoścan o neskończene małch wmarach, por ośrodka wpełnone są ceczą, proces przepłwu cecz odbwa sę w stałej temperaturze (proces zotermczn), na proces tracj ne ma wpłwu poe eektrczne magnetczne zem, ne uwzgędnam wpłwu potencjału chemcznego, ruch cecz rozpatrujem obserwując go wzgędem neruchomego układu odnesena, a węc w układze Lagrange a. Proces zachowwana sę cecz opsują: konsttutwne równana stanu, równana cągłośc przepłwu, równana ruchu cecz przez ośrodek porowat.
Jak wkażem, powższ układ równań pozwoł okreść mode matematczn przepłwu cecz przez ośrodek porowat. Uzskane równana muszą bć uzupełnone przez warunk brzegowe początkowe. 4... Konsttutwne równana stanu Przez por ośrodka porowatego może przepłwać płn o dużej ścśwośc objętoścowej (np. gaz, meszann cecz gazu) ub cecz wkazująca sę bardzo małą ścśwoścą. Mówm w tm drugm przpadku o nowo sprężstm reżme tracj. Ogranczm sę do dwóch przpadków równana stanu: perwsz, gd mam w porach ośrodka dwuazowego cecz drug, gd por wpełnone są gazem. W obdwu przpadkach panujące w cecz cśnene ub jego przrost powoduje odkształcena objętoścowe zarówno płnu jak az stałej ośrodka. Uwzgędnając zman objętoścowe cecz szkeetu, mówm o reżme sprężstm przepłwu tracjnego. Gd pomjam eekt sprężstośc objętoścowej, mówm o tzw. sztwnm reżme tracj. Zakładam, że aza stała ośrodka ne uega odkształcenom postacowm dopuszczam w tej aze rozważań jedne zman objętoścowe, wrażające sę zmaną porowatośc matrc cała stałego. Sprężstość objętoścową cecz opsuje prawo Hooke a, według którego wzgędna zmana gęstośc objętoścowej płnu ρ jest proporcjonana do zman cśnena w nm panującego: dρ β dp w ρ =, (4.6) gdze β w oznacza współcznnk objętoścowej ścśwośc cecz, denowan jako wzgędna zmana objętośc cecz prz zmane cśnena o bar. Przkładowo da wod 0 0 Pa. β w jest rzędu wekośc Równane (4.6) prowadz do nenowego zwązku pomędz gęstoścą płnu cśnenem cecz w postac: ρ = ρ ep( β ( p p )), (4.7) a w a gdze ρ oznacza gęstość płnu w warunkach cśnena atmosercznego, a a p a oznacza cśnene atmoserczne równe bar. Powższ zwązek konsttutwn upraszcza sę do zwązku nowego cśnena od datacj cecz (odkształcena objętoścowego cecz): p p = Rθ. (4.8) a 3
Prz newekch wekoścach cśnena (do 00 bar) można przjąć, że zman gęstośc są neznaczne wówczas można założć, że ρ = const. W przpadku gazów, zaeżność objętośc od cśnena jest nenowa, stąd prz okreśanu współcznnka ścśwośc naeż posługwać sę wartoścam bezwzgędnm. Zaeżnośc mędz cśnenem, objętoścą temperaturą opsują prawa gazowe. Zaeżność mędz cśnenem a objętoścą da stałej temperatur opsuje prawo Boe a-marotte a: pv = const. (4.9) Objętość prz dowonm naprężenu można zatem zapsać w odnesenu do objętośc w stane początkowm V V ( θ ) = +. Prowadz to do równana: 0 a a a ( ) p V = pv + θ. (4.0) Ostateczne uwzgędnając prawo Boe a-marotte a, zwązek konsttutwn da gazu ma postać: p p = a p a ( + θ ). (4.) 4... Równane cągłośc przepłwu Nech okreśa obszar eementarn wpełnon ośrodkem dwuazowm. Oznaczm S powerzchnę ogranczającą, przez którą odbwa sę przepłw tracjn cecz. Nech n oznacza wersor norman do S skerowan na zewnątrz obszaru. Przepłw cecz przez powerzchnę S ogranczającą obszar rs. okreśa równane: S ( ρ) ρvds + d = 0 t. (4.) Rs. 6.. Przepłw medum przez powerzchnę S ogranczającą obszar 4
Korzstając z twerdzena Gaussa Ostrogradskego, możem zamenć perwszą całkę powerzchnową w równanu (4.) na objętoścową. Dostajem, węc: ( ρv ) ( ρ) d + d = 0. t (4.3) Powższe równane pozwaa zapsać zwązek okan w postac: dρ + dv( v) = 0 ρ dt, (4.4) gdze: d = + v dt t (4.5) okreśa pochodną materaną gęstośc objętoścowej płnu. 4...3 Kasczn mode matematczn procesu tracj Zakładając, w perwszm przpadku, że ośrodek gruntow jest całem deane sztwnm, a cecz przepłwająca przez satkę kanaków tracjnch jest neścśwa, układ równań opsując proces przepłwu amnarnego sprowadza sę do równana stanu: ρ = const, równana cągłośc przepłwu: dv v = 0, równań ruchu wrażonch poprzez prawo Darc ego: v = kgrad ɶ ( H ) gdze kɶ oznacza tensor przepuszczanośc. Podstawając równana ruchu do równana cągłośc przepłwu, dostajem równane różnczkowe opsujące proces przepłwu cecz neścśwej przez jednorodn, zotropow, neodkształcan ośrodek porowat w postac: dv( kgrad ɶ (H)) = 0. (4.6) Równane (4.6) jest podstawowm równanem teor tracj da przpadku, gd ośrodek gruntow jest całem deane sztwnm. W drugm przpadku zakładam, że ośrodek gruntow wkazuje sę odkształcanoścą objętoścową zarówno w zakrese az stałej cekłej, ne wkazuje jednakże odkształcanośc postacowej. Równane cągłośc w tm przpadku wraża sę równanem (4.4). Podstawając do równana (4.4) równane ruchu Darc ego oraz uwzgędnając, że ρ = ρ dostajem zgodne z pracą Weczstego [98] kasczne równane przepłwu neustaonego w postac: c ( ρc ) dv( ρc kgrad ɶ ( H )) = t (4.7) 5
pochodna po prawej strone równana cągłośc (4.7) jest ocznem dwóch unkcj: ρ c, węc: ( ρ ) = ρ + ρ c c c t t t. (4.8) Wprowadzając następne założena, że prędkość zman gęstośc płnu w czase jest zaeżna od ocznu gęstośc prędkośc zman cśnena: ρ p = ρ β c c w t t, (4.9) co można b uznać, że jest zgodne ze zwązkem konsttutwnm (4.6) zakładając, że zmana gęstośc jest zmaną gęstośc w czase. Zakładając następne, że prędkość zman porowatośc jest wprost proporcjonana do prędkośc zman cśnena cecz w kascznm ujęcu teor tracj, wprowadza sę zwązek konsttutwn w postac: p = β s t t. (4.0) Powższ zwązek trudno uzasadnć jakmkowek zwązkem enomenoogcznm mechank gruntów skał. W teor konsodacj Bota zakłada sę, wprost, że porowatość w procese odkształceń szkeetu gruntowego jest wekoścą stałą, co też ne jest założenem zgodnm z rzeczwstoścą, ae ne wpłwa w znacząc sposób na poprawność rozwązań tej teor. Zwązek (4.8) korzstając ze wzorów (4.9) (4.0) można przedstawć w postac: ( ρc ) H H = ρ gβ + ρ gβ c s c w t t t. (4.) W kascznm modeu matematcznm przjmuje sę następne, że p H = ρ c g t t, (4.) co oczwśce jest neścsłe, gdż przjmując za słuszną dencję wsokośc hdraucznej da przepłwu tracjnego: p H = + δ 3. (4.3) ρ g c Pochodna wzgędem czasu wnos: ( ρc gh ) H ρc = ρc g + Hg + H ρc g t t t t, (4.4) 6
węc prędkość zman cśnena wraża sę wzorem: p H c c c g gh ρ ρ = ρ + + gh ρ c δ, (4.5) 3 t t t t t co prowadz do zaeżnośc: H ρcg p = t t ρ gβ H ρ gβ H + δ ρ gβ c w c s 3 c w. (4.6) Tmczasem mmo stotnej nezgodnośc, kasczne równane przepłwu neustaonego przjmuje sę w postac: H dv( ρkgrad ɶ ( H )) = ρη spr t, (4.7) gdze η spr okreśane jest manem pojemnośc sprężstej warstw wnos: η = ρg( β + β ). (4.8) spr s w Zakładając, że zman gęstośc cecz w zaeżnośc od zmennch przestrzennch są małe, przjęto, że ne zaeżą od zmennch przestrzennch. Równane (4.7) upraszcza sę wówczas do postac: H dv( kgrad ɶ ( H )) = η spr. (4.9) t Powższe równane, mmo wkazanch neprawdłowośc od stron matematcznej zcznej, uważa sę, jako podstawowe równane hdrodnamk wód podzemnch da ośrodka ścśwego, przez któr przepłwa ścśwa cecz w oparcu o ne wkonuje sę obczena numerczne stosując proesjonane program do obczeń hdrogeoogcznch jak na przkład powszechne stosowan program ModFow. 4. Proces homogenzacj tracj płnu przez ośrodk porowate metodą zbeżnośc dwuskaowej 4.. Dencja zagadnena Załóżm, że ośrodek porowat tworz neodkształcaną strukturę utworzoną z cała stałego. Wewnątrz tej struktur stneje seć kanaków tracjnch wzajemne połączonch na te reguarne, że można okreść objętość eementarną reprezentatwną VER spełnającą warunk perodcznośc strukturanej. Przjmujem, że rozważane cało zawera dużą czbę takch powtarzanch eementów, co schematczne można przedstawć na rs. 4. 7
Rs. 4. Przekrój przez perodczną strukturę ośrodka porowatego. Przez por ośrodka przepłwa neścśwa cecz Newtona, a zjawsko odbwa sę w stałej temperaturze (proces zotermczn). Proces przepłwu opsują równana: równana ruchu: dvσ = ρ Dv Dt, (4.30) gdze D Dt okreśa pochodną materaną denowaną przez: D Dt t = + v grad. (4.3) Strzałka nad okreśoną wekoścą oznacza, że mam do cznena z wekoścą wektorową; v okreśa wektor prędkośc płnącej cecz, prz czm ndeks oznacza, że mam do cznena z wekoścą zczną wmarową, σ okreśa wektor naprężena w cecz, prz czm ndeks oznacza cecz, ρ oznacza gęstość przepłwającej przez ośrodek cecz, dv - smbo okreśa operację obczana dwergencj: dv = X + + X X 3, (4.3) grad - jest smboem operacj obczana gradentu: 8
grad,, =, (4.33) X X X 3 zwązk konsttutwne da przpadku cecz Newtona: σ = p I + µ D( v ), (4.34) prz czm D oznacza tensor prędkośc dewatora odkształcena. W zapse wskaźnkowm tensor ten opsuje wrażene: Dj = ej ( v ) δjekk ( v ), 3 (4.35) gdze: v v j ej ( v ) = +, (4.36) X j X prz czm I jest tensorem jednostkowm, a δ j - detą Kroneckera, równana zachowana mas: ρ t + dv( ρ v ) = 0. (4.37) Powższ zbór równań opsując przepłw cecz uzupełna warunek adhezj na granc az cekłej az stałej ośrodka: v = 0 Γ. (4.38) Zakładam ponadto, że perodczność struktur powoduje, ż wszstke unkcje wektorowe skaarne są -perodczne ( - okreśa objętość eementarnej komórk reprezentatwnej RVE). Uwzgędnając postuat neścśwośc cecz newtonowskej, układ równań opsującch proces przepłwu z uwzgędnenem postuatu perodcznośc, można przedstawć w postac: v, t dv v = 0,, (4.39) v = 0, Γ [ v ] = 0, [ p] = 0. µ v grad p = ρ + v grad v 9
Powższ układ równań opsuje proces przepłwu cecz neścśwej przez por neodkształcanego ośrodka stanow punkt wjśca do rozpoczęca procesu homogenzacj, opartej na metodze zbeżnośc dwuskaowej, omówonej w prac Strzeeckego [Strzeeck, 996]. Proces ten mus bć poprzedzon wprowadzenem zmennch bezwmarowch, a węc przeprowadzm normazację powższego układu równań. 4.. Proces normazacj równań W równanach (4.39) wszstke wekośc są wekoścam zcznm z okreśonm manam odpowadającm sensow zcznemu tch wekośc. Zgodne z procedurą teor homogenzacj, dokonam normazacj, wkorzstując ormazm zaproponowan przez J. Beara [97]: v = ma v, p = ma p, ma vma pma = ma v, = ma grad p, vma v v ma = ma, = ma v grad v. t t ma ma (4.40) Podstawając wekośc okreśone zaeżnoścam (4.40) do równań (4.39) otrzmujem: µ vma v pma p Ñ ( ) - grad = vma pma ρ vma v ρ vma v v = ( tma ) + [ grad], tma t vma vma vma v dv = 0, v ma ma v = 0. v Γ (4.4) Wprowadźm następne ponższe oznaczena wartośc bezwmarowch prędkośc cśnena: = v v v, p = p ma p ma. (4.4) Wszstke unkcje wekośc zcznch denujem w podwójnej ska rozdzeczośc ( X, Y ), a węc: v = v( X, Y ) p = p( X, Y ), prz czm: 0
X [ 0,L] jest zmenną przestrzenną (zczną, cz posadającą wmar długośc) makroskopową, Y [ 0,] jest zmenną przestrzenną (zczną, cz posadającą wmar długośc) okaną. W ogónm przpadku stneje prosta nowa zaeżność pomędz zmenną makroskopową okaną, a manowce: X = Y + C, gdze C oznacza wekość stałą; wekośc v( X, Y ) p( X, Y ) są -perodczne ze wzgędu na zmenną Y, co oznacza, że: v( X, Y + ) = v( X, Y ) (4.43) oraz p ( X, Y + ) = p ( X, Y ). (4.44) Poneważ dążm do sprowadzena naszego układu równań do postac bezwmarowej, wprowadzm bezwmarowe zmenne przestrzenne oraz bezwmarową zmenną czasową t: X =, L [0,], Y =, [0,], t t = t, t [0, ]. ma (4.45) Tak jak pokazaśm to na przkładach jednowmarowch, denujem pochodną unkcj po zmennej makroskopowej wmarowej X w postac: d = [ ε + ]. (4.46) dx Korzstając z wrażena (4.46), możem okreść pozostałe operator różnczkowana: = [ ε + ε + ],, = = (4.47) oraz:
grad = [ ε grad + grad ], dv = [ ε dv + dv ], =, t t t ma gdze: ε =. L (4.48) Wprowadźm następne wekośc bezwmarowe: p Q = v Re = v Rt = t ma ρ ma µ ρ ma µ ma µ v v v ma, ma ma,. (4.49) Wekośc Q, R, R mają swoją nterpretację zczną. Lczba bezwmarowa Q okreśa stosunek sł t e powstałch z dzałana gradentu cśnena do sł oporu epkego przepłwającej cecz: grad p Q = O. (4.50) µ dv v W pracach Aurauta [980,990] stwerdzono, że w przpadku przepłwu tracjnego cecz przez ośrodek porowat wartość - Q jest rzędu O ε. Na podstawe powżej ctowanch prac Aurauta przedstawm zameszczone tam rozumowane: okreśm rząd wekośc gradentu cśnena obserwowanego w ska mkroskopowej: p p - grad p = O = O = O( ε ), ε L ocenm następne wekość sł oporu epkego: µ v µ dv v = O = O(), stosunek tch dwóch wekośc daje ostateczne rząd wekośc: Q = O( ε ). (4.5)
Wekość Q może oczwśce przjmować wartość znaczne wększą ub mnejszą od przjętej we wzorze (4.5). Przeprowadzm homogenzację przjmując następujące rzęd wekośc zmennej bezwmarowej Q : 0 Q = O( ε ), Q = O( ε ), Q = O( ε ). (4.5) Perwsz z powższch przpadków oznacza, że w ska mkroskopowej wekość gradentu cśnena jest tego samego rzędu wekośc, co wekość sł oporu epkego. Mam węc do cznena w ska mkroskopowej z kascznm probemem hdrauk. Ostatn z przpadków, tzn. gd Q - = oznacza, że gradent cśnena jest rzędu O ε O ε - oporu epkego są rzędu O( ε ), cz przczna powodująca ruch jest ε snejsza od sł oporu., gd sł Auraut w prac [994] sugeruje, że rząd wekośc zwązkem: Re jest zwązan z wekoścą Q następującm Re - = O Q, (4.53) co wnka z aktu, że o rzędze wekośc obdwu czb bezwmarowch decduje rząd wekośc prędkośc bezwmarowej v. Gdb przjąć powższe założene, wówczas pozostałab do przeanazowana następująca kombnacja rzędu wekośc stałch bezwmarowch: Q = O R = O 0 0 ( ε ) e ( ε ), Q = O R = O ( ε ) e ( ε ), Q = O R = O ( ε ) e ( ε ). (4.54) W ogónm przpadku po przjęcu wstępne trzech rzędów wekośc Q anaogczne trzech rzędów wekośc Re naeżałob rozpatrzć 9 kombnacj wzajemnch reacj tch wekośc. Jeże dodatkowo uwzgędnm człon sł wewnętrznch bezwładnośc, cz trz przpadk bezwmarowej czb Renodsa, musebśm rozważć 7 przpadków z różnm konguracjam wekośc bezwmarowch Q, R R. e t W naszej prac ogranczm sę do rozważań znaczne mnejszej czb wzajemnch reacj, jednakże takch, które dają stotną z punktu wdzena zk nterpretację przjętch wstępnch założeń wekośc czb bezwmarowch.w przpadku przepłwu ustaonego ogranczm sę do przpadków opsanch wzoram (4.54). Uwzgędnając (4.4), (4.45) do (4.49) w układze równań (4.4), otrzmam znormazowan układ równań w postac: 3
+ + v Q grad + grad p = v = Rt + Re [ ε vgrad + vgrad ] v, t εdvv + dvv = 0, v = 0. [ ε ε ] [ ε ] Γ (4.55) Operator gradentu dwergencj Lapace a przedstawono w postac jawnej prz opse zaeżnośc (4.55). Indeks, prz smboach grad, dv, oznaczają, że zmennm nezaeżnm, wzgędem którch wkonuje sę operację różnczkowana, są zmenne bezwmarowe,. Powższ układ równań uzupełnają warunk -perodcznośc unkcj cśnena p prędkośc v : [ p] [ v] = 0, (4.56) = 0. Układ równań bezwmarowch (4.55) w pełn odpowada układow równań (4.4). Wszstke wekośc wektorowe skaarne są zawarte w przedzae [0,] poza zmenną czasową t, która zmena sę w przedzae [0, ]. Ogranczm sę następne do rozważań przepłwu ustaonego cecz. Da tego przpadku układ równań (4.55) upraszcza sę do postac: [ ] [ ] ε + ε + v Q ε grad grad p R εvgrad vgrad v + = + e, εdv v + dv v = 0, v = 0, Γ (4.57) z warunkam perodcznośc (4.56). Teora homogenzacj proponuje rozwnęce poszukwanch unkcj v p w szereg asmptotczn wzgędem małego parametru ε: v = v p = p + ε v + ε p () () + ε v + ε p () () 3 + ε v 3 + ε p (3) (3) +... +... (4.58) Proces normazacj pozwoł nam na okreśene bezwmarowego układu równań (4.55), któr może bć poddan obecne procedurom homogenzacj metodą zbeżnośc dwuskaowej. 4
4..3 Proces homogenzacj Rozpocznem od przpadku, gd wekośc bezwmarowe ( ε ) e ( ε ) Q = O R = O Q R e są rzędu:. (4.59) Borąc pod uwagę układ równań (4.57) z warunkam perodcznośc (4.56), sprowadza sę on do postac: [ ε + ε + ] v ε [ ε grad = ε[ ε vgrad + vgrad ] v, ε dvv + dv v = 0, v = 0, Γ [ v] = 0, [ p] = 0. + grad ] p = (4.60) Po uwzgędnenu rozwnęć asmptotcznch (4.58) w układze równań (4.60) otrzmujem neskoń- czon układ równań różnczkowch odpowadając koejnm potęgom ε. Da najnższch rzędów rozwnęca wzgędem ε uzskujem następujące układ równań: - da rzędu wekośc ε : grad p = 0, (4.6) 0 da rzędu wekośc ε : dv v = 0, (4.6) v = 0 Γ, (4.63) [ v ] = 0, (4.64) [ p ] = 0, (4.65) () v grad p grad p = 0, (4.66) da rzędu wekośc ε : () + v = 0, (4.67) () v Γ = 0, (4.68) () [v ] = 0, (4.69) () dv v dv 5
v = v () [ p () + v grad v, ] = 0, (4.70) grad p () grad p () = (4.7) da rzędu wekośc ε : () + v = 0, (4.7) () v Γ = 0, (4.73) () [ v ] = 0, (4.74) () dv v dv ( ) Kropk ponżej układu równań (4.6) do (4.74) wskazują, że można kontnuować układ równań da 3 4 n koejnch potęg małego parametru epson: ε, ε, L, ε. Jednak już rozpatrzene dwóch perwszch równań pozwaa uzskać oczekwane rezutat dotczące matematcznego modeu ekwwaentnego ośrodka sposobu uśrednana stałch materałowch ośrodka makroskopowego. Z równana (4.6) wnka, że wekość cśnena cz w ska okanej jest wekoścą stałą: p zaeż tko od zmennej makroskopowej, ( 0 ) p = p (4.75) Ab uzskać zaeżnośc pomędz wekoścam najwższch rzędów rozwnęć asmptotcznch (4.58), zadane sprowadza sę do rozwązana układu równań zestawonego z równań (4.6) do (4.66), co daje: v grad p grad p = 0, () dv = v 0, v = 0, (4.76) Γ [ v ] = 0, () [ p ] = 0. Rozwązanem powższego układu równań są: v k grad, = p p p p, () () = τ grad + ɶ (4.77) 6
gdze tensor k( ) wektor τ są unkcjam zmennej okanej, a od zmennej makroskopowej. ( pɶ ) jest unkcją zaeżną tko Podstawając rozwązane (4.77) do układu równań (4.76) wdzm, że unkcje k( ) τ muszą spełnać układ równań: τ() k() + + δ 0, j j = dv k() I = 0, k() Γ = 0, [ k() ] = 0, [ τ() ] = 0. j (4.78) Równana (4.78) stanową punkt wjśca do okreśena po ch uśrednenu wekośc makroskopowego współcznnka tracj Darc ego. Stosując metod numerczne, układ równań (4.78) stanow punkt wjśca do ormułowana zagadnena brzegowego. Uzskane unkcje k( ) τ po uśrednenu pozwaają znaeźć tensor drugego rzędu kj wektor τ. Zapsując rozwązane perwsze (4.77) w składowch wektora prędkośc tracj mam: p v = kj. j (4.79) Przechodząc w równanu (4.79) do zmennch zcznch oraz mnożąc dzeąc prawą stronę równana przez * µ uzskujem: v k µ v p = L p X j ma µ ma j, (4.80) stąd: kj p v = Q ε µ X j. (4.8) - Poneważ założśm, że Q O( ε ) możem napsać: =, można węc przjąć, że A O = = Q = Aε = ε.. (4.8) 7
Uwzgędnając (4.8) w równanu (4.8), otrzmujem ostateczne rozwązane układu równań w postac: p v = kj. µ X j (4.83) Po dokonanu operacj uśrednena ze wzgędu na współrzędną przestrzenną mam: p < v >= < kj >, (4.84) µ X j gdze oczwśce: < >= dv. (4.85) Równane (4.84) jest znanm z zk dośwadczanej prawem tracj Darc ego. Prawo to możem zapsać w postac: < v >= kɶ j p X j, (4.86) gdze k ɶ j jest tensorem drugego rzędu przepuszczanośc tracjnej, którego wartość czbowa jest wekoścą rzędu: kɶ j = O kj, µ, (4.87) prz czm k jest wekoścą średną k j nejednorodnośc. µ j, zaeżną od struktur wewnętrznej cek w ska Zastanówm sę nad sensem zcznm wszstkch wekośc uzskanch drogą uśrednena w równanu (4.84). Wątpwośc budz sens wekośc średnej v denowanej jako wekość średnej objętoścowej, gd tmczasem prędkość tracj jest zwązana z przepłwem przez powerzchnę, a węc pownnśm obczać średną po powerzchn. W rzeczwstośc można pokazać, że w tm przpadku obe średne są sobe równe. Wnka to z charakteru seenodanego unkcj Wem, że prawdzwa jest tożsamość: v. 8
k v ( v ) + v I. (4.88) k k k k k Całkując obustronne tę tożsamość po oraz uwzgędnając twerdzene Gaussa o dwergencj warunek adhezj v Γ 0 = 0 uzskam: < v >= v n ds, δ k k F δ (4.89) gdze δ F δ są brzegam odpowedno: objętośc F, a n jest wektorem jednostkowm normanm, skerowanm na zewnątrz do brzegu objętośc. Wkazaśm węc, że średna objętoścowa < v > okreśa przepłw. F Rozważm następne przpadek, gd wekośc bezwmarowe Q Re są rzędu: Q R e = O = O,. (4.90) Fzczne oznacza to, że wekość sł gradentu cśnena jest tego samego rzędu co sł oporu epkego sł konwekcj bezwładnośc. Uwzgędnając (4.90) w układze równań (4.55) z warunkem perodcznośc (4.56) uzskam znormazowan układ równań odpowadającch temu przpadkow: [ ε + ε + ] v [ ε grad = [ ε v grad + v grad ] v, ε dvv + dvv = 0, v = 0, Γ [ v] = 0, [ p] = 0. + grad ] p = (4.9) Po uwzgędnenu rozwnęć asmptotcznch (4.58) w układze równań (4.9) otrzmujem układ równań da poszczegónch rzędów, pocznając od najnższch rzędów wekośc małego parametru ε : 0 da rzędu wekośc ε : v grad p = 0, (4.9) 9
v 0, (4.93) v Γ (4.94) dv = [ ] = 0, v (4.95) [ p ] = 0, (4.96) da rzędu wekośc ε : () v + grad dv () grad p == ( v v + grad dv grad ) v, dv v () v + dv v = 0, grad p (4.97) (4.98) v () = 0, (4.99) Γ () [ ] = 0, v (4.00) [ p ] = 0, (4.0) Perwsz układ równań (4.9) do (4.96) reprezentuje jednorodne zagadnene brzegowe. Z tego układu równań uzskujem wprost, że: v = 0, p = p. (4.0) Tak węc w anazowanm przpadku, gd rozpatrujem homogenzację deaną, tzn. taką, że epson jest bardzo bsk zeru, ne obserwujem żadnego przepłwu cecz, mmo że stneje w ska makro zmana cśnena p ( ). Rozważm następne układ równań (4.97) do (4.0). Jeże przjrzm sę bżej temu układow równań, to stwerdzm, że jest on dentczn z układem równań (4.76) w przpadku, gdb zastąpć unkcję wektora v przez v (). Korzstając z wnku rozwązana układu równań (4.76) uzskam: v p, () = k grad p p p, () () = a grad + ɶ (4.03) gdze k a makroskopowej. są unkcjam zmennej okanej, a pɶ () jest unkcją zaeżną tko od zmennej Podstawając rozwązane (4.03) do układu równań (4.97) do (4.0), otrzmujem układ równań, w a : którm newadomm są unkcje k 0
a k + + δ 0, j j = dv k I = 0, k = 0, Γ [ k] = 0, [ a] = 0. j (4.04) Zapsując perwsze rozwązane (4.03) w składowch wektora prędkośc dostajem: () p v = kj. j (4.05) Przechodząc w równanu (4.05) do zmennch wmarowch uzskam: v k p = µ X () j j. (4.06) Borąc z rozwnęca asmptotcznego (4.58) prędkośc v wekośc z dokładnoścą do małch perwszego rzędu, stosuje sę wzór: v v + ε v () =, (4.07) węc: ε v k p = µ X j j. (4.08) Dokonując operacj uśrednena ze wzgędu na współrzędną okaną uzskujem: p < v >= ε kɶ j. (4.09) X j Z powższego wzoru wdać, że da bardzo małej wartośc epsona średna prędkość tracj dąż do zera: v = 0. Tak węc prędkość tracj da ε 0 jest równa zeru, mmo że gradent cśnena p może bć różn od zera.
Ten przpadek opsuje trację bardzo epkej cecz wmuszoną ogranczoną wartoścą gradentu cśnena porowego = O. Dopero neskończene duż gradent cśnena = O ( ε ), ne- p p X X wstępując w rzeczwstośc, powoduje zauważan przepłw cecz. Rozważm ostatn z rozpatrwanch przpadków, to znacz gd: Q = O ε e R = O ε. Fzczne oznacza to, że wekość sł epkch sł konwekcjnch bezwładnośc jest rzędu O ( ε ), a węc znaczne mnejsza od sł gradentu cśnena. Znormazowan układ równań w tm przpadku ma postać: [ ε + ε + ] v ε [ ε grad = ε [ ε v grad + v grad ] v, ε dvv + dvv = 0, v = 0, Γ [ v] = 0, [ p] = 0. + grad ] p = (4.0) Układ równań (4.0) po uwzgędnenu rozwnęć asmptotcznch tworz da poszczegónch wekośc n ε następujące układ równań: da rzędu ε : grad p = 0, (4.) da rzędu ε : grad p + grad p = 0, (4.) () 0 da rzędu ε : v grad p grad p = 0, () () (4.3) v 0, (4.4) dv = v = 0, (4.5) Γ [ v ] = 0, (4.6) [ p ] = 0, (4.7)
da rzędu ε : () v + grad dv v dv v () + dv v = 0, + grad dv v grad p () grad p (3) = 0 (4.8) (4.9) v () = 0, Γ (4.0) () [ p ] = 0. (4.) Równane (4.) daje wartość cśnena p nezaeżnego od ska okanej, cz: ( 0 ) p = p. (4.) Następne równane (4.) z warunkem -perodcznośc unkcj p prowadz do wnosku, że: grad p = 0 (4.3) () grad p = 0. (4.4) Stąd uzskujem, że p = const, a unkcja p jest unkcją tko zmennej makroskopowej, cz: ( ) ( = ) p p. (4.5) Pozostałe równana mają dentczną postać jak równana da przpadku, w którm Q O ( ε ) Re = O ε, co pozwaa przewdzeć postać rozwązana w orme: = v p = kj () j. (4.6) Po uśrednenu uzskujem węc znów prawo Darc ego, ae z wmuszenem o rząd wekośc mnejszm nż w perwszm rozpatrwanm przpadku. Wprowadzając z rozwnęca asmptotcznego cśnena dwa perwsze człon: p = p +ε p (4.7) 3
oraz przechodząc w równanu (4.6) do zmennch wmarowch uzskujem: p v = kj ε. µ X j (4.8) Stąd po uśrednenu mam: p < v >= kɶ jε. (4.9) X j Wdać, że p X j mus bć rzędu O ( ε ), ab v < > bła rzędu O, co oznacza, że rozwązane ma sens tko wted, gd mam do cznena z bardzo małm wmuszenam. Na przkład, zczne naeż to rozumeć, że rozpatrujem probem tracj cecz prawe doskonałej o znkomej wartośc epkośc knematcznej, rzędu O ( ε ). Tko bardzo mał gradent cśnena zapewna stnene prędkośc tracj o wartoścach rzędu O. Jak wdać, uzskane rozwązane narzuca warunk co do wekośc gradentu cśnena w ska makroskopowej. Proces jest homogenzowan. 4.3 Mode matematczn teor tracj zgodn z założenam teor konsodacj Bota 4.3. Założena wstępne Przjęte w poprzednm rozdzae założena wstępne do teor tracj uzupełnm o dodatkowe dencje wnkające z teor konsodacj Bota [94,956] oraz na podstawe prac Couss ego [007,00] da ośrodka dwuazowego. Stosując oznaczena zgodne z pracam Strzeeckego n. [008]. Nech jest prostopadłoścenną przestrzeną o neskończene małch krawędzach wpełnoną ośrodkem dwuazowm złożonm: z porowatego szkeetu sprężstego cecz wpełnającej jego por. Okreśm przez S powerzchnę ścan eementu przestrzennego, a wektor n jest jednostkowm wektorem normanm do powerzchn S, skerowanm na zewnątrz eementu. Przez v s v oznaczać będzem odpowedno wektor prędkośc tracj płnu r s prędkośc szkeetu ośrodka, a v = v v okreśa składowe wzgędnej prędkośc przepłwu tracjnego cecz przez ośrodek porowat. Jeże ρ s ρ oznaczają koejno gęstość właścwą szkeetu cecz, to możem okreść wekość gęstośc objętoścowe szkeetu ρ cecz ρ, odnesone każda z nch do objętośc całkowtej obszaru. Oznaczając przez porowatość objętoścową, możem obczć te gęstośc: ρ ( ) 4 = ρ ρ = ρ. Przez ρ s oznaczać będzem gęstość ośrodka dwuazowego równą, co do wartośc sume: ρ = ρ + ρ. Wartość ρ oznaczać będze gęstość płnu przepłwającego przez ścanę S: ρ = Aρ, gdze A oznacza porowatość powerzchnową. energę knetczną ośrodka dwuazowego możem wrazć wzorem:
s s s ρ ρ ρ (4.30) K = ( v v + v v + v v ) d z warunkam: ρ + ρ = ρ > 0 ; ρ + ρ = ρ > 0 ; ρ < 0, gdze ρ jest nowm parametrem o wmarze gęstośc okreśającm dnamczne sprzężene pomędz dwoma azam ośrodka; unkcja dsspacj jest ormą kwadratową zaeżną od prędkośc wzgędnej przepłwu tracjnego, co można wrazć w następując sposób: r r W d = bv v d (4.3) gdze b jest współcznnkem oporu tracjnego spełnającm warunek b>0; korzstając z równana (4.3) można okreść objętoścowe sł wewnętrzne wnkające z oporu epkego przepłwającej cecz przez por ośrodka. Sł dzałające na szkeet ośrodka wnoszą: s Wd r M = = bv s d v (4.3) na cecz M W r = = bv d v (4.33) d, składowe okanego wektora pędu szkeetu cecz można obczć ze wzoru: s s P = ( ρv + ρv ) d (4.34) (4.35) P = ( ρ v + ρ v ) d s 4.3. Równane cągłośc przepłw płnu. Bans mas płnu przepłwającego przez RVE ma postać: ρ ρ (4.36) S r v nds + d = 0. t Stąd korzstając z twerdzena Gaussa Ostrogradskego równane cągłośc przepłwu płnu ma postać: 5
r d ρ + ρ ɺ θ ɺ ε = 0 (4.37) dt gdze r d dt d s jest pochodna materaną wrażoną wzorem = + ( v v ) r dt t. s Zakładając, że aza stała jest neruchoma ( v = 0 ), a przez por przesącza sę ścśwa cecz, równane cągłośc przepłwu ma sens tko w odnesenu do az cekłej ośrodka sprowadza sę do postac: ( ρ ) dv( ρ v ) = t (4.38) Taką postać równana cągłośc uzskaśm w poprzednm podpunkce wzór (4.4) da kascznego modeu hdrodnamcznego przepłwu tracjnego. 4.3.3 Równana zachowana pędu da az płnnej Da az płnnej ośrodka prawo zachowana pędu sprowadza sę do postac: s σnds + b( v v ) d + ρx d = d (4.39) S gdze σ n oznacza naprężene rozmte tzn. odnesone do całej powerzchn przekroju obejmującej szkeet + płn, a ne tko do powerzchn zajmowanej przez płn. Naprężene σ równa sę, co do wartośc: P t σ = p, (4.40) prz czm p oznacza cśnene eektwne w płne. Równane Błąd! Ne można odnaeźć źródła odwołana. po wkorzstanu twerdzena Gaussa - Ostrogradzkego pozwaa na uzskane okanego równana ruchu az cekłej ośrodka w postac: v σ ρ ρ ρ t v t s r, + X = bv + + (4.4) Da przpadku przepłwu quas statcznego można pomnąć człon reprezentujące sł bezwładnośc cecz równana ruchu da az płnnej można zapsać w postac: σ + = (4.4) r, X ρ bv. Powższe równane prowadz do kascznego zapsu prawa Darc ego w postac: 6
v r σ = kgrad( δ3). ρ g (4.43) Równane (4.43) prowadz do równana Darc ego, prz czm k okreśa współcznnk przewodnośc tracjnej Darc ego: v = kgrad ( H ), (4.44) prz czm współcznnk tracj k = ρ g / b. Wkonując operację dwergencj na równanu (4.4) równane zachowana pędu możem zapsać w postac: dv( grad ( σ )) = ( ɺ θ ɺ ε ) / k w, (4.45) Znane jako równane przepłwu Darc Bota. W równanu tm θ ɺ okreśa prędkość zman datacj cecz, εɺ okreśa prędkość zman datacj szkeetu, a k w wraża sę wzorem: k w = k = k. (4.46) ρg ρg 4.3.4 Równane ruchu ścśwego płnu przez neodkształcan szkeet ośrodka dwuazowego. Przjmując, że szkeet ośrodka jest neodkształcan, cz zakładając, że ε j = 0, a co za tm dze datacja szkeetu ε = 0, zwązk zczne sprowadzają sę do pojednczego zwązku: σ σ = Rθ (4.47) a Podstawając powższ zwązek zczn do równana ruchu cecz (4.45) dostajem równane przepłwu neustaonego płnu przez neodkształcan szkeet ośrodka dwuazowego w postac: ρ g σ kr t ( ( σ )) =. dv grad (4.48) Jeże rozważam przepłw ścśwego gazu przez ośrodek porowat to zwązek konsttutwn (4.47) po uwzgędnenu prawa Boe a Marotta sprowadza sę do postac: σ a σ σ = θ. a ( + θ ) (4.49) Równane przepłwu gazu przez grunt prz założenu neścśwośc szkeetu gruntowego sprowadza sę w tm przpadku do równana przepłwu tracjnego w postac: 7
ρgσ a σ dv( grad ( σ )) =. kσ t (4.50) W przecweństwe do równana determnującego przepłw cecz przez neodkształcan ośrodek porowat równane przepłwu gazu jest nenowe. 4.3.5 Równana tracj ścśwego płnu przez ścśw szkeet ośrodka dwuazowego Rozważam proces tracj w ośrodku dwuazowm, którego szkeet uega odkształcenom objętoścowm prz braku odkształceń postacowch. Zwązk konsttutwne w przpadku przepłwu cecz przez por ośrodka dwuazowego sprowadzają sę w tm przpadku do postac: σ m = σ = Ksε + Qθ 3 σ σ = Qε + Rθ, a (4.5) ub zwązk odwrotne: R Q ε = σ σ σ a K R Q K R Q s s m s Q K θ = σ + σ σ K R Q K R Q s. m a s (4.5) Prz założenu, że w ośrodku dwuazowm prędkość zman cśnena porowego równa jest prędkośc zman naprężena średnego w szkeece ze znakem przecwnm, można przjąć, że: ɺ σ = ɺ σ m, (4.53) co prowadz do układu równań: ɺ σ = Kɺ sε + Qɺ θ ɺ σ = Qɺ ε + Rɺ θ, (4.54) skąd dostajem zwązek: Q + R ɺ ε = ɺ θ, (4.55) Q + K s któr prowadz następne do zwązku: 8
ɺ θ = ɺ σ. (4.56) Q + R R Q Q + Ks W rezutace dostajem równane przepłwu neustaonego w postac: ( ) Ks R ρg dv( grad( σ )) = ɺ σ. (4.57) RK Q k ( s ) W przpadku przepłwu gazu przez por ośrodka dwuazowego, a szkeet uega tko odkształcenom objętoścowm równana konsttutwne sprawdzają sę do postac: σ m = σ = Ksε + Qθ 3 σ a σ σ = Qε θ. a ( + θ ) (4.58) Z pewnm uproszczenem można przjąć równane tracj neustaonej gazu w postac: ( s a + ) ( σ + σ ) K σ σ ρg dv( grad( σ )) = ɺ σ. (4.59) K Q k s a w Przedstawon w punkce 6.. mode matematczn procesu tracj cecz przez ośrodek porowat różn sę od stosowanego powszechne równana tracj neustaonej. Podstawowe różnce pozwaają stwerdzć: wprowadzone, powżej równane przepłwu tracjnego (4.45) zostało zgodne z zasadam stosowanm w mechance z zasad zachowana pędu, a ne z równana cągłośc przepłwającej przez grunt cecz, uzskane, równane neustaonego przepłwu tracjnego zaeż od przjętch założeń dotczącch odkształceń az płnnej stałej ośrodka dwuazowego, w przpadku przepłwu gazu przez ośrodek porowat równane tracj neustaonej jest nenowe co pokazują równana (4.50) (4.59), przjęte w modeu kascznm równane cągłośc jest neścsłe, bowem zakłada, że gęstość cecz jest unkcją czasu ne zaeż od zmennch przestrzennch z tego powodu pochodna materana d ρ dt jest równa pochodnej okanej ρ t ; pomja sę, węc człon konwekcjn pochodnej materanej, przjęt zwązek konsttutwn okreśając zaeżność prędkośc zman porowatośc od prędkośc zman cśnena porowego, jako zwązek konsttutwn da szkeetu gruntowego ne ma żadnego uzasadnena w mechance gruntów skał z tego wzgędu naeż go uznać, jako nepoprawn, Koejnm stotnm błędem jest przjęce nowej zaeżnośc pomędz prędkoścą zman cśnena porowego prędkoścą zman wsokośc hdraucznej H, 9
Jest jeszcze jeden stotn aspekt odrzucena neprawdłowo naszm zdanem sormułowanej teor ruchu neustaonego przez por ośrodka dwuazowego. Z punktu wdzena ormazmu matematcznego trudno rozszerzć równane cągłośc płnu o nne człon, gd rozpatrujem przepłw płnu wwołan dzałanem poa eektrcznego ub gradentem stężena jonów w płne. Mechanzm budow takego modeu wmaga okreśena unkcj dsspacj prądu eektrcznego dsspacj w procese przepłwu osmotcznego oraz uwzgędnene tch unkcj w równanach zachowana pędu, cz prz zastosowanu proponowanej metodk dencj równań ruchu. Przjmując, jako punkt wjśca kasczn mode matematczn tracj trudno równeż o jego rozbudowę o proces nezotermczne. Jak pokazano to w prac Strzeeckego [Strzeeck M., 03] mode przepłwu nezotermcznego uzskuje sę z termodnamk procesów neodwracanch poprzez uzskane dodatkowch członów w równanach konsttutwnch. Uwzgędnając dodatkowe człon zaeżne od temperatur w równanach ruchu można uzskać mode termo-tracj. Ne wdzm możwośc takej rozbudow modeu o koejne zjawska w przpadku kascznego modeu teor tracj. 4.4 Układ równań hdrodnamk wód podzemnch w zagadnenach płaskch. 4.4. Funkcja potencjału prędkośc. Rozwązane konkretnego zagadnena przepłwu tracjnego pownno bć traktowane jako zadane trójwmarowe. Jednak rozwązane szeregu zagadneń metodam anatcznm nastręcza duże trudnośc, a w przpadku metod numercznch jesteśm ogranczen wekoścą pamęc maszn matematcznch. Datego rozpatrujem często przepłw w okreśonm przekroju zakładając, że w pobżu tego przekroju własnośc ośrodka, geometra układu warstw, a węc parametr przepłwu są w przbżenu take same. Wówczas składowa prędkość normana do przekroju jest równa zero. Jeże w zasęgu rozpatrwanego obszaru zmena sę układ warstw ub własnośc ośrodka, wówczas można rozwązać zagadnene w kku przekrojach, przjmując jednakże do obczeń zawsze schemat dwuwmarow. W daszch rozważanach stotne wdaje sę wprowadzene nowej wekośc okreśanej manem potencjału prędkośc przepłwu wrażanej zwązkem: Φ = kh (4.60) W przpadku płaskego przepłwu tracj równane przepłwu cecz neścśwej przez ośrodek jednorodn zotropow można zapsać w postac: Φ Φ + = 0 ub Φ = 0. (4.6) 30
Równane jest ważne w przpadku, gd rozpatrujem przepłw przez ośrodek jednorodn zotropow. Φ,. Przrównując unkcję Φ Rozwązanem równana (4.6) jest unkcja potencjału prędkośc do stałej C, takej, że kh C kh, (4.6) gdze H H są to ekstremane wsokośc hdrauczne na brzegach obszaru tracj wwołujące przepłw wod w rozpatrwanm obszarze, to da: C cons Φ = = (, ) (4.63) dostajem równane n jednakowego potencjału C, któr będzem nazwać powerzchną ekwpotencjaną. 4.4. Funkcja prądu. Przepłw tracjn odbwa sę wzdłuż n normanch do powerzchn ekwpotencjanch. Wkażem, że jest tak w rzeczwstośc. W przpadku przecwnm, gdb na prądu ne bła normana do n ekwpotencjanch, można b okreść składową prędkośc przepłwu stczną do powerzchn ekwpotencjanej. Rs. 4.3 Zwązek da n prądu. Jak wnka z (4.63) gradent hdrauczn wzdłuż powerzchn ekwpotencjanej jest równ zeru, węc zerowemu gradentow hdraucznemu odpowadałab skończona wartość prędkośc tracj, co sprzeczne jest z prawem Darc. Rozpatrzm da przkładu pewen odcnek n prądu, (na poprowadzona w pou prędkośc tracj w ten sposób, że stczne do nej w każdm punkce wskazują kerunek wektora prędkośc) na rs. 4.3. Weźm dwa punkt [A(, ) B(, )] znajdujące sę na n prądu oddaone od sebe o neskończene mał odcnek ds. 3
Z punktu C przeprowadzm stczną do n prądu wzdłuż nej okreśm obraz graczn wektora prędkośc v w punkce A(, ). Rzutując wektor na kerunek pozom ponow, dostanem współrzędne wektora v v. Wektor v wraz ze współrzędnm v v tworz trójkąt prostokątn DEF. Poneważ punkt B znajduje sę neskończene bsko punktu A, można przjąć z dokładnoścą do małch wższego rzędu, że stczna DF jest równoegła do secznej AB, węc ABC DEF. Stąd mam: v d v = d (4.64) Równane (4.64) można zapsać naczej: v d v d + = 0, (4.65) ae które pownno bć spełnone w dowonm punkce n prądu. Załóżm, że stneje unkcja Ψ (, ) okreśona w obszarze tracj, taka że różnczka zupełna tej unkcj wnos: d v d v d Ψ = Jak wem, warunkem konecznm wstarczającm na stnene różnczk zupełnej w postac: (4.66) df F d F d = + (4.67) jest warunek: F = F. (4.68) W naszm przpadku: F v F v = =, (4.69), Ab węc stnała różnczka zupełna w postac (4.67), pownen bć spełnon warunek: v = v, (4.70) co możem zapsać naczej w postac: 3
v v + = 0. (4.7) Równane (4.7) jest równanem cągłośc przepłwu da przpadku przepłwu płaskego ( v z= 0). Wkazaśm węc, że stneje różnczka zupełna unkcj w postac (4.67). Wraźm pochodne cząstkowe unkcj Ψ prz pomoc składowch wektorów prędkośc. Poneważ różnczkę zupełną unkcj Ψ można zapsać w postac: d Ψ d d Ψ Ψ = +, (4.7) dostajem: v Ψ v = Ψ =. (4.73) Z równana (4.7) wnka, że da każdej n prądu: d Ψ = 0, (4.74) węc nę prądu okreśa równane: Ψ (, ) = cons, (4.75) datego unkcję Ψ będzem nazwa unkcją prądu. Zbadajm reację unkcj prądu Ψ unkcj potencjału Φ. W tm ceu skorzstam ze zwązków: v Ψ v = Φ =, stąd dostanem: Φ Ψ =, (4.76) Φ Ψ =. (4.77) 33
Zwązk (4.76) (4.77) są zwązkam Cauch - Remanna, węc zgodne z pracą Trajdosa-Wróba [965] rodzn krzwch: const cons Φ = Ψ = (4.78) są wzajemne ortogonane. Układ tch n w przpadku zagadneń tracj nazwam satką hdrodnamczną przepłwu. Różnczkując zwązek (4.76) po zwązek (4.77) po dostajem: Φ Ψ =, Φ Ψ =. (4.79) Poneważ w powższch zwązkach (4.79) ewe stron są dentczne, możem zapsać: Ψ Ψ + = 0. (4.80) Funkcja prądu Ψ spełna, węc równane Lapace a, co możem zapsać w postac: Ψ = 0. (4.8) Rozwązane konkretnego zagadnena sprowadza sę do rozwązana równań różnczkowch: Φ = 0, Ψ = 0. (4.8) W wnku rozwązana powższch równań różnczkowch możem okreść satkę hdrodnamczną przepłwu. Sposob rozwązana płaskch zagadneń tracj zostaną przedstawone w rozdzae 5. 34
Rs. 4.4 Obczene wdatku przepłwającego pomędz dwoma nam prądu. Rozważm newek obszar satk hdrodnamcznej przepłwu przedstawon na rs. 4.4 Obczm wdatek przepłwając pomędz dowoną ną prądu Ψ a ną oddaoną o neskończene mał odcnek Ψ + d Ψ. Poneważ wdatek cecz przepłwającej przez powerzchnę ds*m wnos: dq vd = (4.83) Wdatek przepłwając przez powerzchnę ekwpotencjaną reprezentowaną ną A B wnos: Q vd =. (4.84) A B Całkę krzwonową we wzorze (4.84) można zastąpć całką terowaną: B vds v d v d = ( ). (4.85) A B A Na podstawe wzoru (4.66) wem, że d v d v d Ψ =, (4.86) stąd: Q d = Ψ = Ψ Ψ = Ψ Ψ. (4.87) Ψ Znając węc wartośc unkcj prądu odpowadającch dwóm nom prądu (przechodzące przez punkt A B na rs. 4.), można okreść wdatek przepłwając pomędz tm nam prądu, którm odpowadają odpowedne wartośc unkcj prądu Ψ, Ψ. 35
4.4.3 Satka hdrodnamczna przepłwu. Wększość praktcznch zadań teor tracj można traktować jako zadane płaske ub osowosmetrczne (opłw budow wodnej, przepłw przez grodze zemne, dopłw do rowu ub studn). Rozwązane konkretnego zadana będze poegało na okreśenu w obszarze tracj potencjału prędkośc Φ unkcj prądu Ψ. Gracznm przedstawenem rozwązana zagadnena będze układ n Φ =const Ψ =const tworzącch satkę hdrodnamczną przepłwu. W podrozdzałach 4.4. 4.4. wprowadzono równana różnczkowe, jake spełnają unkcję Φ Ψ, a manowce: da zagadneń płaskch: Φ = 0 Ψ = 0, (4.88) da zagadneń osowch smetrcznch: Φ = 0 r Ψ = 0, (4.89) r gdze: r r r r = + +. (4.90) Funkcje Φ Ψ muszą spełnać równeż warunk brzegowe. Da przpadku płaskego zagadnena przepłwu satkę hdrodnamczną przedstawono przkładowo na rs. 4.5. 36
4.5 Potencjał sł masowch tracj. Rs. 4.5 Przkład satk hdrodnamcznej przepłwu. Rozważm punkt m o współrzędnch (,) znajdując sę w obszarze tracj rs. 4.6 37
Rs. 4.6 Składowe sł unoszena. Przez punkt m przechodz na prądu oznaczona strzałką okreśającą kerunek przepłwu cecz. W punkce m wsokość hdrauczna wnos H, a w punkce n odegłm o odcnek neskończene mał d wzdłuż n prądu wstępuje strata wsokośc hdraucznej dh. Gradent hdrauczn na drodze mn wnese: dh = d (4.9) Oznaczm p s wekość cśnena spłwowego tracj, stczną do n prądu, która w punkce m (rs. 4.38) równa sę: p s = ρg (4.9) Nech p s p s będą rzutam sł masowej p s na ose. ρ oznacza wartość bezwzgędną sł masowej reprezentującej cężar objętoścow Nech ( ) os szkeetu gruntowego z uwzgędnenem wporu równą, co do wartośc: os ρ = ρ ρ (4.93) s Wpadkową słą masową S otrzmaną z dodawana wektora ośrodka wrazć możem prz pomoc współrzędnch: p s sł masowej cężaru własnego 38
ρos gdze ( ) S = p, S = p (4.94) s s =. Składowe sł unoszena tracj można wrazć wzoram: p p s s v = ρg k v = ρ g k,. (4.95) Wedząc, że składowe wektora prędkośc wrażają sę prz pomoc składowch gradentu spadku hdraucznego H: H H S = ρ g, S = ρ g (4.96) Pokazaśm poprzedno, ze poe przepłwu tracjnego jest poem potencjanm; wem równeż, że poe grawtacjne jest równeż poem potencjanm. Możem węc stwerdzć na podstawe własnośc nowośc wektorowch pó potencjanch wzgędem dodawana, że suma tch dwóch pó jest równeż poem potencjanm. Przjmjm, że R jest potencjałem tego poa zwanm potencjałem statecznośc, węc pownn bć spełnone zwązk: S R R =, S =. (4.97) Z perwszego ze zwązków (.86) możem poczć: gdze C ( ) jest to neznana unkcja od. R = Sd + C, (4.98) Korzstając z perwszego ze wzorów (4.96) otrzmujem: Co pozwaa zapsać: Zróżnczkujm powższe wrażena po : H R = ρg d + C (4.99) R = ρ gh + C (4.00). R H C = ρ g + (4.0) 39
Poneważ R = S węc dostajem: dc d =, (4.0) Co prowadz do zwązku: 0 C = + R (4.03) Podstawając wzór (4.03) do wzoru (4.00) dostajem postać jawną potencjału: gdze R 0 jest dowoną stałą. ( ρgh ) 0 R = + + R (4.04) Można pokazać, że wprowadzona postać potencjału (4.04) jest taka sama w przpadku zagadnena przestrzennego. Powerzchne ekwpotencjane poa sł masowch można okreść z równana: R0 R = + ρgh = const (4.05) W szczegónośc nech na ekwpotencjana Φ = kh = const przechodz przez punkt M obszaru tracj rs. 4.4. W punkce przecęca n Φ = const znam położene punktu M, możem, węc obczć da tego punktu wartość R przjmując oczwśce w dowon sposób wartość R 0. Znając powerzchne ekwpotencjane poa skaarnego R możem w okreść wektor, któr jest norman do tch powerzchn ekwpotencjanch.. Wartość bezwzgędna tego wektora jest równa R / n, gdze n jest normaną do powerzchn ekwpotencjanej. 4.6 Teora eektroknetcznego przepłwu Probem eektroknetcznego przepłwu cecz przez ośrodek porowat bł tematem weu pubkacj z różnch dzedzn nauk: zk, chem, boog, geotechnk. Bogat przegąd teratur dotczącej tej probematk można znaeźć w pracach Mtchea [976], Osena [969], Strzeeckego [98, 008]. Proces eektroknetczne są najczęścej wkorzstwane w geonżner do osuszana utwardzana słabch gruntów spostch. Da wjaśnena tch procesów użwa sę pojęca eektroosmoz eektroorez. Eektroorezą nazwam ruch cząstek koodanch ub zawesn w pou eektrcznm. Zjawsko to, w odróżnenu od wędrówk jonów, ne jest uwarunkowane ładunkem eektrcznm cząstk, która jako całość jest eektrczne obojętna, ecz spadkem potencjału w duzjnej warstwe zwanej warstwą Gu a-chapmana. 40
Gd stczne do granc az (az stałej cekłej), na której stneje podwójna warstwa duzjna, przłoż sę poe eektrczne, wwoła ono ruch warstw duzjnej wzgędem trwae zwązanej z azą stałą warstw Hemhotza-Sterna. Rezutatem wdocznm makroskopowo będze ruch obu az: stałej cekłej. Jeże aza stała jest sne zdspergowana, ruch ten poegać będze na przesuwanu sę jej cząstek wzgędem neruchomej cecz (eektrooreza), gd natomast jest ona azą zwartą, wted nastąp przepłw az cekłej wzgędem neruchomej az stałej (eektroosmoza). Znane są równeż eekt odwrotne. Wmuszając ruch cząstek az stałej wzgędem neruchomej cecz, wtwarzam w nej gradent potencjału w kerunku ruchu cząstek (potencjał sedmentacj) zwan także eektem Dorna; wmuszając natomast ruch az cekłej wzgędem az stałej obserwujem wtwarzane sę potencjału eektrcznego (potencjał przepłwu). Te czter wzajemne powązane eekt okreśono, jako zjawska eektroknetczne. W perwotnm ujęcu tch zjawsk w zakrese procesów eektroknetcznch ne uwzgędnono zjawska przepłwu duzjnego wwołanego dzałanem gradentu potencjału chemcznego. Najbardzej rozbudowaną teorą opsującą powższe proces jest teora przepłwu eektroosmotcznego teora przepłwu chemczno-osmotcznego. Prawa, które opsują przepłw wod prądu eektrcznego przez grunt spost, bł okreśone przez cznch autorów na drodze ekspermentanej [Gra nn, 967] ub teoretczne na baze mechank kascznej prz wkorzstanu założeń termodnamk procesów neodwracanch [De Groot nn, 969], [Bauer nn, 980], ub w końcu metodam homogenzacj [Ene nn, 977], [Strzeeck, 980], [Aurautt nn, 98]. Jak wkazują dośwadczena zwązane ze zjawskam eektroknetcznm w gruntach, wążą sę one w stotn sposób ze zjawskem przepłwu duzjnego. W gruntach spostch mam bowem do cznena z gradentem stężena jonów, a zatem obserwowan jest wwołan nm przepłw cecz prądu eektrcznego. Probem ten jest rozpatrwan w teraturze oddzene jako proces przepłwu chemczno-osmotcznego. 4.6.. Sormułowane probemu przepłwu eektroknetcznego Ogranczm sę na wstępe do wąskego przedzału zagadneń dotczącego przepłwu eektroosmotcznego omówonego szczegółowo w prac Aurauta n. [990] poprzez zastosowane teor homogenzacj da sormułowana podstawowch zaeżnośc procesów eektroknetcznch. Założm, że mam do cznena z ośrodkem porowatm neodkształcanm, posadającm nezrównoważon ładunek eektrczn. Por ośrodka wpełna cecz neścśwa o okreśonej małej koncentracj jonów. Cząsteczk cecz są dpoam. Por ośrodka są ze sobą połączone, co umożwa przepłw cecz. Obdwe az ośrodka, cekła stała, są deanm deektrkam. W momence równowag oznaczonej przez nas ndeksem 0 cecz jon są neruchome znajdują sę pod dzałanem sł eektrcznch duzj. Rozważam ośrodek porowat o strukturze perodcznej. Zakładam, że część wpełnona azą stałą będze oznaczona s, a azą cekłą. 4
Jeże E0 = gradv oznacza poe eektrczne, V - potencjał eektrczn, q 0 - gęstość ładunku (q s w obszarze az stałej q w obszarze az cekłej), a θ jest tensorem deektrcznośc (zotropowm w ), to: dv( θ E ) = q 0 0 (4.06) oraz na powerzchn Γ rozgranczającej s : θ E N = 0 δ Γ 0 (4.07) gdze δ Γ 0 okreśa gęstość powerzchnową ładunku. Równowaga jonów wraża sę równanem: ϕ = 0E0 Dgrad q0 0 (4.08) w którm ϕ 0 jest przewodnoścą eektrczną cecz zawerającej jon. Da ułatwena rozważań rozpatrujem przpadek, gd cecz zawera tko jeden rodzaj dentcznch jonów. Prz takm założenu zgodne z pracą Landaua [97] mam: ϕ0 = q0be, b =, D = kbtb (4.09) 6πη R n gdze D jest wekoścą stałą, T oznacza temperaturę cecz, b okreśa ruchwość jonów uwodnonch, k b to stała Botzmana, R n oznacza promeń jonów uwodnonch, η to epkość cecz oraz e to ładunek jonów uwodnonch. Z tego wnka, że zarówno poe eektrczne E 0, jak gęstość ładunku q 0 zawartego w cecz są sne uzaeżnone od zmennch przestrzennch. Jon są zokazowane główne w podwójnej warstwe duzjnej otaczającej Γ o grubośc praktczne nezaeżnej od wekośc porów (rs. 4.7). Zakładam, że ładunk zewnętrzne w wstępującm w. s są całkowce równoważone ładunkam o znaku przecwnm Średne poe eektrczne da całego obszaru jest węc równe zeru: E = E d = 0 0 0 (4.0) 4
Struktura perodczna ośrodka narzuca -perodczność poa eektrcznego E 0, poa magnetcznego B, potencjału V, gęstośc ładunku q 0, prędkośc przepłwu v oraz cśnena p. Zakładam ponadto, że tensor deektrcznośc spełna warunek eptcznośc: θ γ, γ > 0 (4.) j j 0 0 Uważam oczwśce, że znane są wekośc charakterzujące stan ośrodka w równowadze. Wwołujem teraz pewne zakłócene (perturbację) o wekośc γ<ε, przkładając w ska makroskopowej gradent cśnena cecz, potencjału eektrcznego koncentracj jonów. Poneważ założone zakłócena poa eektrcznego są małe, możem zgodne z pracą Landaua [97] pomnąć w daszch rozważanach poe magnetczne B. 43