DARIUSZ ŁYDŻBA ZASTOSOWANIA METODY ASYMPTOTYCZNEJ HOMOGENIZACJI W MECHANICE GRUNTÓW I SKAŁ

Transkrypt

1 DARIUSZ ŁYDŻBA ZASTOSOWANIA METODY ASYMPTOTYCZNEJ HOMOGENIZACJI W MECHANICE GRUNTÓW I SKAŁ Wrocław

2 Scentfc Papers of the Insttute No. 74 of the Wrocław Unverst of Technolog No. 74 Monographs No. 3 Darusz Łdżba Applcatons of asmptotc homogensaton method n sol and rock mechancs Contents. Introducton Homogensaton method prncples and technques Bot s theor of poroelastct. Influence of medum mcrostructure on values of materal constants Plastc deformaton of porous meda saturated wth flud: theor of poroplastct Sorpton and sorpton swellng n saturated porous meda Homogensaton method n engneerng practce Fnal comments Append... 6 References... 65

3 Prace Naukowe Insttutu Geotechnk Hdrotechnk Poltechnk Wrocławskej 74 Sera: Monografe 3 Darusz Łdżba Zastosowana metod asmptotcznej homogenzacj w mechance gruntów skał Ofcna Wdawncza Poltechnk Wrocławskej Wrocław

4 Recenzenc: Opracowane redakcjne Alcja KORDAS Korekta Mara IZBICKA Projekt okładk Krzsztof DAWIDOWICZ Coprght b Ofcna Wdawncza Poltechnk Wrocławskej, Wrocław ISSN OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Wbrzeże Wspańskego 7, 5-37 Wrocław Ark. wd.,5. Ark. druk. 7 /8. Paper offset kl. III, 8 g, B. Drukarna Ofcn Wdawnczej Poltechnk Wrocławskej. Zam. nr /.

5 Prace Naukowe Insttutu Geotechnk Hdrotechnk Nr 74 Poltechnk Wrocławskej Nr 74 Monografe Nr 3 Mechanka skał gruntów, mechanka ośrodków welofazowch, mkromechanka, reprezentatwna elementarna objętość, proces uśrednana, proces lokalzacj, metoda homogenzacj, równana konsttutwne, parametr efektwne, konsoldacja, pęcznene, sorpcja, fltracja, naprężene efektwne Darusz ŁYDŻBA ZASTOSOWANIA METODY ASYMPTOTYCZNEJ HOMOGENIZACJI W MECHANICE GRUNTÓW I SKAŁ Omówono, zlustrowane konkretnm przkładam, zastosowana metod asmptotcznej homogenzacj do modelowana procesów fzcznch zachodzącch w ośrodkach gruntowch skalnch. Metoda homogenzacj polega na przejścu z opsem matematcznm rozważanego procesu fzcznego ze skal nejednorodnośc (skala porów), gdze rozważane pola fzczne charakterzują sę dużm necągłoścam, do skal nas nteresującej makroskopowej. W wnku tej procedur ops rozważanego zjawska jest charakterzowan uśrednonm, lecz cągłm już, polam fzcznm, a zatem może bć zastosowan do konkretnch oblczeń nżnerskch. Metoda ta ponadto jednoznaczne defnuje parametr efektwne otrzmanego opsu matematcznego w funkcj lokalnch parametrów analzowanego procesu fzcznego oraz geometr wewnętrznej ośrodka. Umożlwa to mędz nnm analzę wpłwu struktur wewnętrznej ośrodka na wartośc parametrów efektwnch otrzmanego makroskopowego opsu procesu. Z welu możlwch zastosowań metod homogenzacj zwązanch z mechanką ośrodków gruntowch skalnch omówono nektóre, dotczące modelowana analz procesów zachodzącch w tch ośrodkach, przede wszstkm wted, gd są one nascone ceczą lub gazem, tzn.: procesów fltracj, konsoldacj, sorpcj oraz pęcznena, podając orgnalne rozwązana. Przedstawono zwłaszcza wpłw mkrostruktur ośrodków porowatch na wartośc stałch materałowch teor porosprężstośc Bota. Zwerfkowano tzw. koncepcję naprężena efektwnego w zakrese zachowana nesprężstego nasconego ośrodka porowatego, podając równocześne metod przblżone konstrukcj powerzchn plastcznośc dla tch ośrodków. Sformułowano ogólną strukturę opsu matematcznego nasconch ośrodków porowatch w przpadku deformacj plastcznch. Zaproponowano model matematczn mechancznego zachowana sę ośrodków porowatch nasconch płnem, w którch proces pęcznena cała stałego jest wnkem sorpcj. Pracę kończą przkład zastosowana metod homogenzacj jako narzędza oblczenowego użtecznego w praktce nżnerskej. Insttut Geotechnk Hdrotechnk Poltechnk Wrocławskej, Wdzał Budownctwa Lądowego Wodnego, Wbrzeże Wspańskego 7, 5-37 Wrocław.

6 4. Wprowadzene.. WSTĘP Oczwste jest stwerdzene, że ops matematczn procesów fzcznch zachodzącch w rzeczwstm materale zależ od skal obserwacj. I tak, jeśl próbka danego materału w naturalnej skal obserwacj może bć traktowana jako jednorodna, to mkroskopowo jest ona wraźne nejednorodna. Ops takego materału w naturalnej skal obserwacj w ramach mechank ośrodka cągłego jest zatem pewną aproksmacją, jak równeż każde przeprowadzone w tej skal ekspermentalne badane konsttutwnego zachowana sę ośrodka w rzeczwstośc jest zwązkem mędz uśrednonm polam fzcznm merzonm w czase ekspermentu. W przpadku ośrodków gruntowch lub skalnch te dwe skale ujawnają sę w naturaln sposób: na pozome grup zaren cz spękań wdoczna jest slna nejednorodność spowodowana geometrą wewnętrzną ośrodka (różne wmar zaren, ch kształt, układ spękań, powerzchne rozdzału faz), podczas gd w naturalnej skal obserwacj, w tm sense, że statstczne powtarzają sę w przestrzen, mogą bć traktowane jako ( prawe) jednorodne ( g pasku zawera około 7 zaren, g gln 5 cząstek [69]). W praktce nżnerskej własność makroskopowej jednorodnośc ośrodka jest podstawą wszstkch stosowanch, prznajmnej dotchczas, metod projektowana. Głównm węc założenam mechank gruntów skał są według Ksela [8]: założene o cągłośc ośrodka skalnego lub gruntowego (...), założene o weloskładnkowej budowe ośrodka cągłego, co oznacza, że rozważan ośrodek składa sę z dwu lub trzech wzajemne sę przenkającch znajdującch sę w różnch stanach skupena materałów: stałego, cekłego gazowego. Wszstke materał jednocześne wpełnają tę samą objętość. Informacje o dskretnej strukturze ośrodków gruntowch skalnch wkorzstwane są jedne poprzez zwązk korelacjne mędz np. krzwą uzarnena, stopnem zagęszczena a kątem tarca wewnętrznego, mędz gęstoścą spękań skał a jej parametram sprężstośc oraz wtrzmałośc. I mmo że coraz częścej, stosując np. wsoce specjalstczne technk adsorpcjne [8], określa sę wartość powerzchn wła-

7 ścwej, jak równeż rozkład oraz welkość średnc porów, nawet do wartośc 3 Å, to wkorzstwane ch w praktce jest znkome, choć są to parametr strukturalne czasam determnujące własnośc mechanczno-wtrzmałoścowe, jak fltracjno-dfuzjne ośrodków skalnch gruntowch. W mechance ośrodka porowatego stosowane są dwa odmenne podejśca modelowana matematcznego, tzw. makroskopow mkroskopow. W perwszm, nazwanm równeż fenomenologcznm, odległośc rzędu średnc porów są gnorowane, a uwzględna sę tlko odległośc makroskopowe. Z założena węc dskretna struktura mkronejednorodnego ośrodka jest zastępowana przez ekwwalentn ośrodek cągł reprezentowan, w przpadku ośrodków welofazowch, przez nakładające sę kontnua [57]. Współobecność faz modelowana jest w mechancznm zachowanu sę ośrodka przez tzw. pola sprzężone, reprezentujące oddzałwane jednej faz na drugą. Równana konsttutwne są postulowane na podstawe odpowedno sformułowanch potencjałów termodnamcznch warunku dodatnego przrostu entrop układu (druge prawo termodnamk). W ramach tego sposobu modelowana zaproponowano wele opsów matematcznch mechancznego zachowana sę ośrodków porowatch w pełn lub częścowo nasconch płnem. Bogat przegląd rezultatów otrzmanch do 98 roku, zarówno w ramach teor meszann, jak teor meszann ośrodków ze strukturą, omówon jest w publkacj [6], w której prztoczono prawe 3 prac. W celu zlustrowana tendencj poszukwana nowch opsów wmeńm nektóre, tj.: teorę ośrodków welofazowch z porowatoścą jako dodatkową zmenną knematczną [4], teorę konsoldacj prz dużch odkształcenach ośrodka gruntowego zaproponowaną przez Szefera [53]. Duże odkształcena uwzględnone został równeż w teor przedstawonej przez Wlmańskego [6], w której sformułowano dodatkowe równane równowag dla zman porowatośc ośrodka. Dodatkow parametr charakterzując dskretną strukturę ośrodka porowatego nazwan przepuszczalnoścą strukturalną wprowadzł równeż do opsu dnamcznego zachowana sę nasconego ośrodka porowatego Kubk [86], [87]. Couss zaproponował, w ramach podejśca fenomenologcznego, jeszcze nn sposób modelowana [47]. Tm razem ośrodek porowat potraktowan został jako termodnamczn układ otwart, w którm zmennm knematcznm, np. dla ośrodka w pełn nasconego płnem, są tensor odkształcena ośrodka oraz zmana porowatośc. Przedstawono ops matematczn zarówno dla ośrodka w pełn, jak 5

8 6 częścowo nasconego płnem, prz małch dużch odkształcenach szkeletu, a także dla procesów odkształceń sprężstch oraz plastcznch. Znaczene nektórch wnków zaproponowanch w tej prac omówono w następnch rozdzałach nnejszej monograf. Należ wspomneć o jeszcze jednm sposobe modelowana, tm razem już łączącm podejśce fenomenologczne z podejścem mkroskopowm, tzw. hbrdowej teor meszann zaproponowanej przez Hassanzadeha Graa [7]. Metoda ta, w najwększm skróce, polega na objętoścowm uśrednanu równań zachowana zapsanch na pozome nejednorodnośc, a następne analze tch uśrednonch równań, już na pozome makroskopowm, na podstawe drugej zasad termodnamk. Podstawową zaletą tej metod jest możlwość uwzględnena, w makroskopowm opse matematcznm przepłwów welofazowch, własnośc termodnamcznch powerzchn rozdzału faz. Właśne ta metoda zastosowana została przez Achantę, Cushmana Okosa [4] oraz Achantę Cushmana [5] do sformułowana opsu termomechancznego pęcznejącch układów kolodalnch, jak równeż do opsu procesu pęcznena nasconch gruntów łowch (Murad, Bennethum Cushmann [3]). Jak już wcześnej wspomnano, drugm sposobem modelowana procesów zachodzącch w makroskopowo jednorodnch ośrodkach porowatch jest podejśce mkroskopowe. Tm razem punktem startowm modelowana jest ops matematczn zapsan na pozome nejednorodnośc, a zatem dskretna struktura ośrodka porowatego jest w procese modelowana matematcznego jawne uwzględnana. Każd osobn składnk meszann, na pozome mkro, jest traktowan jako ośrodek cągł z jego własnm równanem konsttutwnm, prawam zachowana oraz warunkam brzegowm na granc rozdzału faz. Tak sposób modelowana jest oczwśce możlw tlko wted, gd charakterstczn wmar poszczególnego składnka spełna podstawową hpotezę mechank kontnuum, tzn. jest dużo wększ nż odległośc molekularne. Równana na pozome mkroskopowm są następne mówąc w dużm uproszczenu uśrednane w celu otrzmana równań makroskopowch. Efektem tej procedur, tzn. przejśca z opsem matematcznm ze skal porów (nejednorodnośc) do skal makro jest ekwwalentn ops makroskopow dla zastępczego hpotetcznego jednorodnego ośrodka cągłego. Zależne od użtej technk przejśca z pozomu nejednorodnośc do pozomu makroskopowego wróżna sę metod, np.: uśrednana przestrzennego (omówone przez Ngmatulna [5], Rutha Hupnga [9], Slatter ego [4]), uśrednana wagowego (np. Glbert [65], Ene Polsewsk [59]), meto-

9 d homogenzacj dla struktur perodcznch (np. Aurault [6], Bensoussan, Lons, Papancolau [7], Sanchez-Palenca [37]), metod statstczne (m.n. Emerault et.al. [58], Kroner [85], Rubnsten Torquato [8], Wlls [6]) oraz tzw. cągła mkromechanka (np. Hll [73], Hashn [7]). W nnejszm opracowanu wszstke te metod będzem określać, podobne jak mędz nnm Sanchez-Palenca [36], jednm manem metodam homogenzacj (są równeż przecwne opne, np. Hornunga [74]). Szczegółowe omówene podstawowch własnośc, zasad jak równeż różnc mędz poszczególnm metodam homogenzacj przedstawono w następnm rozdzale. Wśród całej grup wnków otrzmanch metodą homogenzacj wmeńm tlko klka z nch, podobne jak w przpadku omawana modelowana fenomenologcznego, reprezentującch obecne kerunk badawcze, tj.: wpłw spękań na mechanczne zachowane sę ośrodków sprężstch (np. Budansk O Connel [4], Hashn [7], Kachanov [78], Ponte Castañeda Wlls [4]), efektwne własnośc mkronejednorodnch ośrodków sprężstch plastcznch (np. Lorenco [95], Moja Bufler [], Ponte Castaneda [], [], Ponte Castañeda Suquet [3], Pruchnck Shahrour [5], Sab [3], Suquet [5], [5], [5], Zaou [65]), granczna powerzchna plastcznośc ośrodków kompoztowch (np. Bouchtte [37], de Buhan Talerco [5], de Buhan et. al. [5], Suquet [49]) oraz w przpadku procesów przepłwu cecz ścsłe wprowadzene z równań przepłwu dla neścślwej lepkej cecz Newtona prawa fltracj Darc ego (np. Keller [8], Sanchez-Palenca [36]) oraz nelnowch praw fltracj (np. Me Aurault [8], Allare [74]). Wnków przedstawającch ops makroskopowe uwzględnające sprzężene mechanczne mędz całem stałm a ceczą jest, nestet, newele. Wjątkem są prace, którch autoram są Aurault [3], Aurault Sanchez-Palenca [8], Aurault et.al. [9], jak równeż Rce Clear [6] oraz Thompson Wlls [56]; wprowadzono w nch zwązk teor porosprężstośc Bota. Modfkację tej teor dla ośrodków charakterzującch sę tzw. podwójną porowatoścą zaproponowal Aurault Boutn [4], [5], a dla szczególnego przpadku ośrodka częścowo nasconego ceczą, tj. prz braku kontaktu faz gazowej z całem stałm Aurault []. We wszstkch tch wprowadzenach ośrodek porowat przjmowan bł węc zawsze jako sprężst. Brak wnków oraz teor uwzględnającch plastczne zachowane sę nasconch ośrodków porowatch, jak opsującch sprzężene mechanczne w ośrodkach porowatch częścowo nasconch ceczą jest skutkem trudnośc, jake wstępują już 7

10 8 prz modelowanu metodą homogenzacj, zarówno jednofazowego, ale weloskładnkowego cała stałego w zakrese deformacj plastcznch (koneczna znajomość rozkładu na pozome nejednorodnośc naprężeń resztkowch [5]), jak przepłwów welofazowch przez neodkształcaln ośrodek porowat (nestablność powerzchn rozdzału faz, przepłw pulsujące [79]). Podsumowując tę krótką prezentację metod homogenzacj, należ podkreślć jej podstawową właścwość metoda ta buduje ops matematczn rozważanego procesu przez przenoszene do skal makroskopowej nformacj dostępnej na pozome nejednorodnośc. Jeśl zatem udaje sę dokonać takego przejśca, możem bć pewn, że ops makroskopow przedstawa model matematczn procesu fzcznego, dokładne tego, któr analzujem. Jeśl znana jest geometra wewnętrzna ośrodka oraz parametr lokalne procesu, metoda umożlwa jednoznaczne określene wartośc parametrów efektwnch procesu, tj. parametrów opsu makroskopowego. Ma to szczególne znaczene w analze własnośc sprężstch oraz plastcznch, jak równeż w projektowanu ośrodków kompoztowch. W przpadku ośrodków gruntowch lub skalnch geometra mkrostruktur ne jest, oczwśce, dokładne znana. W tm przpadku metoda daje możlwość analz wpłwu poszczególnch elementów mkrostruktur (kształt porów, spękana, rozkład spękań, własnośc mechanczne poszczególnch składnków) na własnośc zachowane makroskopowe ośrodka. Powższa prezentacja sposobów modelowana procesów zachodzącch w ośrodkach gruntowch skalnch ne może bć oczwśce traktowana, w żadnm sense, jako przedstawająca jedne kerunk badawcze rozwane w mechance gruntów skał. Ma raczej zwrócć uwagę na fakt, że coraz częścej w opsach matematcznch uwzględna sę lub próbuje sę uwzględnć dskretną strukturę omawanch ośrodków oraz ch welofazow charakter. Ogólne teore, take jak: reologa, teora dealnej plastcznośc, plastcznośc ze wzmocnenem osłabenem, teora stanów grancznch, cągła mechanka rozwoju uszkodzeń omawane są już w welu pozcjach ksążkowch monografach ([45], [76], [77], [8], [9], [9], [3], [48], [59]) dlatego ne są tutaj szczegółowo przedstawane. W praktce stosuje sę modele najprostsze, a zarazem dające z pewną dopuszczalną tolerancją oczwśce poprawne wnk (oszacowana). Stosowane węc konkretnch model matematcznch ośrodków gruntowch cz skalnch zależ od rodzaju problemu, któr chcem rozwązać. W przpadku np. prognozowana welkośc osadana fundamentu przjmowan jest najczęścej model lnowej sprężstośc

11 ośrodka gruntowego [63], do określena jego nośnośc lub statecznośc naspu korzsta sę natomast z rozwązana opartego na modelu sztwno-plastcznm [76], [77]. Jeśl natomast konstrukcja ma bć posadowona na podłożu gruntowm w pełn nasconm ceczą, koneczne może bć określene prędkośc osadań, jak równeż prognoz welkośc osadań w funkcj czasu. W tm przpadku klasczn model lnowej sprężstośc jest już newstarczając mus bć użt prznajmnej model porosprężstośc Bota. Stuacja jest podobna w przpadku statecznośc nasconego naspu. Tutaj najczęścej korzsta sę z tzw. koncepcj naprężena efektwnego zaproponowanej przez Terzaghego [35], tzn. procedura jest podobna jak dla gruntu suchego, z tm że tensor naprężena całkowtego zastąpon jest przez tensor naprężena efektwnego. Wszstke tego tpu uproszczena są oczwśce dozwolone, jeśl rzeczwśce z dopuszczalną tolerancją dają wnk poprawne. Muszą bć węc one werfkowane według tzw. testowch rozwązań ścsłch lub w raze ch braku na podstawe danch ekspermentalnch. Jest zatem uzasadnone doskonalene zarówno metod opsu rzeczwstch właścwośc mechancznch ośrodków gruntowch skalnch, jak metod poszukwana rozwązań problemów praktcznch. Powróćm obecne do wspomnanej powżej koncepcj naprężena efektwnego, tm razem już jako powszechne stosowanego w praktce, jak równeż prz tworzenu nowch model matematcznch (np. Couss [47], Petruszczak Pande [9], [], Schrefler Gawn [39]), narzędza pozwalającego uwzględnć hdromechanczne sprzężene w układach: porowate cało stałe cecz. Koncepcja ta zakłada możlwość zdefnowana dla dowolnego ośrodka porowatego tzw. tensora efektwnego naprężena, tj. takego hpotetcznego tensora naprężena, któr spełna następujące dwe zasad równoważnośc (np. Bshop Blght [34], de Boer Lade [36], Couss [47]): zasada równoważnośc odkształcena: jeśl w makroskopowm zwązku naprężene odkształcena dla ośrodka suchego tensor naprężena całkowtego zostane zastąpon przez tensor naprężena efektwnego, to zwązek staje sę zależnoścą dla ośrodka częścowo lub w pełn nasconego płnem; zasada równoważnośc naprężena: makroskopow warunek wtrzmałoścow (funkcja plastcznośc) dla ośrodka w pełn lub częścowo nasconego płnem można otrzmać z makroskopowego warunku wtrzmałoścowego dla ośrodka suchego, gd tensor naprężena całkowtego w zwązku dla ośrodka suchego zastąpon zostane przez tensor naprężena efektwnego. 9 Grunt bez cecz będze określan manem grunt such, gdż nenascon grunt w lteraturze przedmotu (np. []) jest utożsaman z gruntem częścowo nasconm, tj. ośrodkem trójfazowm: szkelet gruntow woda powetrze.

12 Jak łatwo zauważć z powższego sformułowana, koncepcja naprężena efektwnego pozwala w prost sposób uwzględnć hdromechanczne sprzężene w ośrodkach porowatch przez stosowane odpowednch model matematcznch oraz metod oblczeń stosowanch dla ośrodków suchch zastąpene tensora naprężena całkowtego przez tensor naprężena efektwnego, jeśl koncepcja ta jest prawdzwa. W przpadku ośrodków gruntowch w pełn nasconch ceczą, nezależne od tego, cz deformacja ośrodka jest sprężsta cz plastczna, jako tensor naprężena efektwnego przjmuje sę zwązek zaproponowan przez Terzaghego c σ = σ pδ, (.) gdze: σ tensor efektwnego naprężena, c σ tensor naprężena całkowtego, p cśnene porowe cecz, δ delta Kroneckera. W przpadku ośrodków skalnch stosuje sę zwązek zaproponowan przez Bota c σ = σ pα, (.) gdze α jest nazwan tensorem współcznnków efektwnego naprężena według Bota. Należ jednak podkreślć, że stosowane zwązku (.) jest umotwowane tlko w zakrese odkształceń sprężstch, gdż jest on bezpośredną konsekwencją teor porosprężstośc Bota [3] [33], a zatem spełna tlko zasadę równoważnośc odkształcena w zakrese deformacj sprężstch. Ne ma natomast właścwe żadnch dowodów, ze ten zwązek spełna zasad: równoważnośc naprężena oraz równoważnośc odkształcena w zakrese deformacj nesprężstch. Wększość autorów prac zwązanch z analzą powższego zwązku oraz jego ważnoścą (m.n. Aurault Sanchez-Palenca [8], de Boer Lade [36], Oka [8]) ograncza rozważana tlko do procesu odkształceń sprężstch. W przpadku węc na przkład zasad równoważnośc naprężena, dla ośrodków skalnch proponuje sę równeż stosowane naprężena efektwnego według Terzaghego [8], bądź ostatno naprężena zdefnowanego podobne jak (.), z tm że z nowm tensorem materałowm uwzględnającm plastczne własnośc ośrodka porowatego [47] Rozcągane oznaczono jako dodatne ( przecwne do stosowanej konwencj w mechance gruntów skał).

13 c σ = σ pb. (.3) Innm słow przjmuje sę, że naprężene efektwne jest różne w zakrese odkształceń sprężstch oraz odkształceń plastcznch. Podobne jest (tzn. budz wele wątplwośc) z koncepcją naprężena efektwnego dla ośrodków częścowo nasconch ceczą. Najczęścej stosowanm zwązkem dla ośrodków gruntowch jest propozcja Bshopa [34] χ ( S ) ( p p ), c σ = σ paδ r a w (.4) gdze: p a p w odpowedno cśnene porowe powetrza wod, χ(s r ) współcznnk funkcjn zależn od stopna wlgotnośc ośrodka gruntowego, S r stopeń wlgotnośc. Bardzo często przjmuje sę równeż, że ( S r ) = Sr χ (.5) rozszerza sę na dowolne ośrodk porowate (równeż skał), w postac połączena defncj (.) z (.4), nazwając uogólnonm tensorem efektwnego naprężena (np. [39]) c σ = σ α [( S r ) pa Sr pw]. (.6) Są oczwśce jeszcze nne propozcje uwzględnana współobecnośc faz gazowej cecz na postać warunku plastcznośc ośrodka porowatego. Przjmuje sę na przkład, że powerzchna plastcznośc ośrodka częścowo nasconego ceczą może bć określona tą samą zależnoścą jak powerzchna plastcznośc dla ośrodka całkowce nasconego, z tm że z dodatkowm parametrem zwanm ssanem macerzstm (p a p w ) będącm parametrem wzmocnena zotropowego [9], [] f c ( p δ, p p ). a a w σ (.7) Jeśl powerzchna plastcznośc w warunku (.7) jest reprezentowana przez warunek Coulomba Mohra, to wzmocnene zotropowe może bć równeż znterpretowane matematczne jako wzmocnene knematczne, a wobec tego, w takm przpadku zwązek (.7) jest równoważn koncepcj naprężena efektwnego w postac

14 (.4). Jeśl jednak warunek (.7) wkorzstuje, coraz częścej stosowan (np. [9], [45], [8]), model zamknętej powerzchn plastcznośc, to sformułowana (.4) (.7) ne są sobe równoważne. Przedstawone różne sformułowana matematczne tensora naprężena efektwnego wskazują jednoznaczne, że pojęce tensora naprężena efektwnego mus bć rozumane tlko jako koncepcja, a ne prawo fzczne. Należ podkreślć, że koncepcję naprężena efektwnego Terzagh zaproponował perwotne tlko dla ośrodków gruntowch w pełn nasconch wodą. Obecne, jak bezpośredno wnka z powższego przedstawena, jest równeż stosowana zarówno dla ośrodków gruntowch częścowo nasconch ceczą, jak dla ośrodków skalnch w pełn częścowo nasconch ceczą, oczwśce z pewnm modfkacjam. Wkorzstwane węc konkretnego sformułowana matematcznego naprężena efektwnego, zarówno w projektowanu, jak modelowanu matematcznm wmaga udowodnena, że dan zwązek rzeczwśce spełna omówone powżej zasad równoważnośc naprężena odkształcena. Jak dotchczas takch jednoznacznch dowodów, zarówno na podstawe rozważań teoretcznch, jak wnków badań ekspermentalnch, ne ma. Wjątkem jest naprężene efektwne według Terzaghego dla ośrodków gruntowch w pełn nasconch ceczą, gdze wnk badań laboratorjnch jednoznaczne potwerdzają możlwość jego stosowana. W przpadku natomast ośrodków porowatch częścowo nasconch ceczą, jak w pełn nasconch płnem ośrodków skalnch, zagadnene naprężena efektwnego jest sprawą otwartą, zwłaszcza zasada równoważnośc naprężena. Równeż w zakrese deformacj sprężstch nasconch ośrodków skalnch jest wele kontrowersj odnośne chocażb wartośc tensora współcznnków efektwnego naprężena według Bota lub bardzej dokładne jake cech ośrodka skalnego determnują określone wartośc składowch tego tensora (np. de Boer Lade [36], Oka [8]). Prawdopodobne perwszm właśne bł Bot [3], któr w celu pokazana przejśca od jego opsu matematcznego procesu konsoldacj (deformacje sprężste) do opsu konsoldacj według Terzaghego przjął, że cząstk ośrodka gruntowego można traktować jako neścślwe. Rzeczwśce, prz takm założenu wartość wprowadzonego przez Bota współcznnka naprężena efektwnego jest równa jednośc forma naprężena efektwnego (.) redukuje sę do naprężena efektwnego według Terzaghego (.). Take założene, z punktu wdzena własnośc sprężstch materału tworzącego szkelet gruntow, może bć jednak akceptowalne tlko dla

15 mnerału kaolntu (współcznnk Possona ν =,45 [3]). Wększość ośrodków gruntowch charakterzuje sę jednak współcznnkem naprężena efektwnego blskm wartośc jeden (np. dla pasku luźnego α =,9987 [3]). Z drugej stron, wele skał o prawe dentcznm składze mneralnm jak odpowadające m ośrodk gruntowe charakterzuje sę wartoścą omawanego współcznnka dużo mnejszą od jednośc (np. dla kwarctu α =,8 [3]). Podstawową różncę mędz tm ośrodkam stanow przede wszstkm w szerokm rozumenu ch mkrostruktura. W opse makroskopowm mkrostruktura najczęścej jawne ne wstępuje, jest natomast ukrta pod wartoścam parametrów efektwnch opsu makroskopowego procesu. Wobec tego, ab analzować konkretne wartośc parametrów efektwnch oraz ch zmenność, należ analzować wpłw mkrostruktur na ch wartośc. Wdaje sę węc, że prawdłowe przejśce od opsu Bota do opsu Terzaghego jest właśne przez uwzględnene mkrostruktur tch ośrodków. Analza taka może dać równeż odpowedź, dlaczego zwązek (.) dla ośrodków gruntowch sprawdza sę równeż w zakrese deformacj plastcznch, natomast zwązek (.) dla skał ne. Ponadto, w przpadku ośrodków gruntowch cz skalnch, wnk badań laboratorjnch konkretnch cech mechancznch tch ośrodków otrzmwane są najczęścej jako wnk makroskopowe, gdż wmar użtej do badań próbk jest zdecdowane wększ od wmaru pojednczej nejednorodnośc. Równocześne wele cech mechancznch ośrodków gruntowch skalnch oraz procesów fzcznch w nch zachodzącch jest dobrze znanch opsanch na pozome nejednorodnośc, np. cech sprężsto-plastczne poszczególnch składnków tch ośrodków, proces przepłwu płnu, proces sorpcj pęcznena, jak równeż prawa na powerzchnach: rozdzału faz, kontaktów mędzzarnowch, kontaktów mędzblokowch (w przpadku maswów spękanch blokowo). Jest węc ważne, ab posadać narzędze umożlwające dedukcję makroskopowch własnośc analzowanch ośrodków z ch opsu mkroskopowego. Możlwość takch analz teoretcznch daje, jak sgnalzowano już wcześnej, metoda homogenzacj. Dlatego wdaje sę ne tlko uzasadnone, ale równeż wskazane wprowadzane tego narzędza modelowana matematcznego do mechank gruntów skał. 3

16 4.. Cel zakres prac Przedstawone w poprzednm podrozdzale rozważana mał zwrócć z jednej stron uwagę na stnejące różne sposob modelowana matematcznego procesów fzcznch zachodzącch w ośrodkach porowatch, z drugej zaś na coraz częścej pojawającą sę koneczność uwzględnana w opse matematcznm procesów zachodzącch w ośrodkach gruntowch skalnch ch dskretnej struktur wewnętrznej. Stwerdzono, że metoda homogenzacj daje taką możlwość. Ponadto, poneważ metoda homogenzacj polega na matematczne uzasadnonm przenoszenu nformacj dostępnej na pozome nejednorodnośc do skal zastosowań nżnerskch, pozwala ona równeż na dedukcję ekwwalentnego opsu makroskopowego ( przblżonego) rozważanego procesu z jego odpowednego opsu mkroskopowego. Umożlwa to bardzej szczegółowe badane, nterpretację oraz wnoskowane o naturze przebegu procesów zachodzącch w materale. Celem nnejszej prac jest węc: przedstawene praktcznch zasad stosowana, właścwośc oraz zalet (równeż słabośc) metod homogenzacj w zastosowanu do mechank gruntów skał, przez analzę wbranch zagadneń geotechncznch, na postawe metod homogenzacj, dokonane pogłębonej (nejednokrotne nowej) analz znanch procesów fzcznch zachodzącch w ośrodkach gruntowch skalnch mającch fundamentalne znaczene w praktce nżnerskej. W szczególnośc:. Identfkuje sę parametr mkrostruktur ośrodka porowatego wpłwające na wartośc stałch materałowch teor porosprężstośc Bota. Stałe te, w wnku zastosowana procedur homogenzacj, są zdefnowane jako uśrednone wartośc rozwązań odpowednch zagadneń brzegowch sformułowanch na pozome nejednorodnośc. Umożlwa to analzę wpłwu geometr przestrzen porowej oraz parametrów sprężstośc materału szkeletu na wartośc stałch materałowch teor Bota. Okazuje sę, mędz nnm, że przejśce od opsu porosprężstośc Bota do opsu konsoldacj według Terzaghego zachodz ne tlko wted, gd szkelet jest neścślw, ale jest możlwe prz odpowedno rozbudowanej przestrzen porowej równocześne ścślwm szkelece.. Analzuje sę ważność oraz zakres stosowalnośc koncepcj naprężena efektwnego w zakrese deformacj nesprężstch. W tm przpadku nascon ośrodek

17 porowat traktuje sę jako układ: szkelet zbudowan z materału sprężsto-plastcznego oraz neścślwa lepka cecz Newtona wpełnająca przestrzeń porową. Koncepcję naprężena efektwnego werfkuje sę przez procedurę porównawczą tzw. zwązków lokalzacjnch naprężena zapsanch dla cała suchego oraz dla cała nasconego płnem. W wnku analz stwerdza sę, że dla dowolnego ośrodka porowatego oraz dowolnej hstor obcążena koncepcja naprężena efektwnego ne jest prawdzwa. Formułuje sę ogólną strukturę opsu matematcznego deformacj plastcznch nasconch ośrodków porowatch. 3. Rozpatruje sę deformacje sprężste nasconego płnem ośrodka porowatego, którm towarzszą zjawska sorpcj oraz pęcznena sorpcjnego. Nascon płnem ośrodek porowat traktuje sę jako ośrodek o tzw. herarchcznej strukturze, tzn. wróżna sę w nm dwa zakres porów, determnujące różne ops matematczne przepłwu przez ne płnu. Dla małch średnc porów (mkroporów) przjmuje sę, że ruch płnu w przestrzen porowej jest opsan prawem dfuzj molekularnej Fcka, natomast dla porów o stosunkowo dużch średncach równanam Stokesa dla cecz lepkej. W efekce, na pozome nejednorodnośc, szkelet wraz z mkroporam traktuje sę jako ośrodek cągł opsan równanam dfuzosprężstośc oraz płn w makroporach jako lepką cecz Newtona. Ops ten uzupełnają prawa na powerzchn rozdzału faz, tj. warunk cągłośc oraz warunek równowagow w postac zoterm sorpcj. Zastosowane procedur homogenzacj prowadz do ekwwalentnego makroskopowego opsu procesu. 4. Przedstawa sę przkład zastosowana metod homogenzacj jako narzędza oblczenowego użtecznego w bezpośrednej praktce nżnerskej. Omawa sę, mędz nnm, określane parametrów efektwnch deformacj sprężstch oraz plastcznch (nośność granczną) spękanego blokowo maswu skalnego oraz maswu skalnego o strukturze warstewkowej. Ponadto omawa sę metodę określana grancznej powerzchn plastcznośc (nośnośc grancznej) dla gruntu zbrojonego. Materał zawart w prac podzelono na sedem rozdzałów. Rozdzał. pośwęcono omówenu podstawowch: zasad, właścwośc oraz technk homogenzacj. Omawa sę, mędz nnm, matematczne sformułowane metod homogenzacj, jak równeż przedstawa sę jej sformułowane, określane jako metoda wgładzana. Szczególną uwagę pośwęcono metodze asmptotcznej homogenzacj dla ośrodków perodcznch. Przedstawa sę równeż nektóre metod szacowana wartośc para- 5

18 6 metrów efektwnch dla losowch ośrodków lnowch oraz nelnowch. W rozdzale 3. zanalzowano nascon neścślwm płnem lnowo-sprężst ośrodek porowat. Jak powszechne wadomo, w skal zastosowań nżnerskch proces deformacj takego ośrodka jest określon równanam teor porosprężstośc Bota. W rozdzale tm, korzstając z metod asmptotcznej homogenzacj, odtwarza sę najperw zwązk teor Bota z opsu matematcznego zapsanego na pozome nejednorodnośc. Następne, na podstawe otrzmanch z teor homogenzacj defncj stałch materałowch teor Bota, dentfkuje sę parametr mkrostruktur determnujące wartośc tch stałch. Prezentowane w tm rozdzale stwerdzena lustruje sę przkładam oblczeń numercznch. Fundamentalne wnk dla praktk nżnerskej, jak równeż do dalszch badań naukowch zwązanch z nasconm ośrodkam porowatm, przedstawono w rozdzale 4., gdze analzowan jest nascon ośrodek sprężsto-plastczn. W rozdzale tm sprawdza sę przede wszstkm ważność oraz zakres stosowalnośc omówonej już wcześnej koncepcj naprężena efektwnego. W tm celu formułuje sę dla nasconch ośrodków porowatch energetczną zasadę makrojednorodnośc, będącą odpowednkem zasad makrojednorodnośc Hlla, stosowaną dla weloskładnkowch (ale jednofazowch) cał stałch. Wkorzstane tej zasad prowadz do prawa lokalzacj naprężena dla nasconego ośrodka porowatego. Dzęk analze porównawczej praw lokalzacj naprężena dla ośrodka suchego oraz nasconego sprawdza sę zakres ważnośc stosowalnośc koncepcj naprężena efektwnego. W ogólnośc udowadna sę, że dla dowolnego ośrodka porowatego hpotetczn tensor naprężena efektwnego ne może bć zdefnowan. Zakładając stowarzszone prawo plastcznego płnęca dla materału tworzącego szkelet ośrodka porowatego, wprowadza sę ogólną strukturę opsu matematcznego deformacj plastcznch nasconch ośrodków porowatch. Analzowane są równeż, ważne dla praktk nżnerskej, możlwe uproszczena proponowanego opsu matematcznego. Rozdzał 5. to analza nasconch płnem ośrodków skalnch, w którch procesow przepłwu płnu towarzsz zjawsko sorpcj oraz pęcznena sorpcjnego. Na pozome nejednorodnośc szkelet ośrodka porowatego wraz z zasorbowanm w mkroporach płnem modeluje sę zwązkam dfuzosprężstośc, natomast płn w makroporach jako lepką cecz Newtona. W wnku, po zastosowanu procedur homogenzacj, otrzmuje sę komplet równań opsu makroskopowego, będąc sprzężenem równań dfuzosprężstośc porosprężstośc Bota, z dodatkowm efektem

19 pamęc. Otrzman model matematczn zwerfkowano na podstawe wnków badań laboratorjnch prezentowanch w lteraturze przedmotu. Zastosowana metod homogenzacj w bezpośrednej praktce nżnerskej przedstawa sę w rozdzale 6. Rozpatruje sę mędz nnm deformacje sprężste spękanego blokowo maswu skalnego oraz maswu skalnego o strukturze warstewkowej. W przpadku spękanego blokowo maswu skalnego przjmuje sę, że odkształca sę on tlko na skutek deformacj wstępującch na powerzchnach kontaktu mędz blokam, same blok traktuje sę natomast jako neodkształcalne. Pozwala to na sformułowane prostej metod oblczenowej określana parametrów efektwnch takego ośrodka. Skał o strukturze warstewkowej analzuje sę pod kątem ch efektwnch własnośc sprężstch, jak plastcznch (nośność granczna). Ilustracją przeprowadzonch rozważań dla skał warstewkowch są, określone metodą homogenzacj, właścwośc efektwne skał flszu karpackego, tj.: parametr sprężstośc oraz granczna powerzchna plastcznośc (nośność granczna). Rozdzał ten kończ analza nośnośc grancznej gruntu zbrojonego. Efektwność proponowanch metod lustruje sę przkładam oblczenowm. Wnosk uwag końcowe, wnkające z przedstawonch w prac rozważań teoretcznch, stanową rozdzał 7. W prac przjęto konwencję znakowana zgodną z klasczną mechanką ośrodka cągłego, tj. rozcągane jako dodatne. Wektor, tensor są wróżnane przez wprowadzene odpowednej lczb wskaźnków: u składowa wektora, u składowa tensora drugego rzędu, u składowa tensora czwartego rzędu. Stosowana jest równeż umowa sumacjna Enstena, tzn. powtarzające sę wskaźnk (tzw. neme) oznaczają sumowane, np. σ = σ σ σ k j k j k 3 j 3k W całej prac zakłada sę ponadto, że do opsu deformacj cała stałego ma zastosowane teora małch odkształceń (lnowość geometrczna).. 7

20 6. Metoda homogenzacj podstawowe zasad technk Przed przstąpenem do szczegółowego omówena metod homogenzacj rozpatrzm najperw pewne abstrakcjne zagadnene. Załóżm, że nteresuje nas znalezene rozwązana zagadnena brzegowego sformułowanego dla pewnego nejednorodnego ośrodka, w którm warunk brzegowe zadane są np. w postac przemeszczeń. Przjmm równeż, że równana konsttutwne określające zachowane sę poszczególnch składnków tego ośrodka są take, że wraz z warunkam cągłośc na powerzchnach kontaktu mędz tm składnkam mplkują stnene jednoznaczność rozwązana analzowanego zagadnena brzegowego. Jeśl lczba nejednorodnośc w rozważanm ośrodku jest newelka, to znalezene rozwązana tego zagadnena jest, oczwśce, możlwe bądź analtczne, bądź numerczne. Jeśl jednak lczba nejednorodnośc jest bardzo duża, to rozwązane analtczne jest najczęścej nemożlwe, a rozwązane numerczne coraz bardzej czasochłonne wraz ze wzrostem lczb nejednorodnośc coraz bardzej nestablne. Obserwacja cał rzeczwstch wskazuje, że reakcja materału nejednorodnego (o bardzo dużej lczbe nejednorodnośc) jako całośc, po odpowednm uśrednenu jest taka, jak gdb materał bł jednorodn. Wobec tego, w celu określena rozwązana zagadnena brzegowego sformułowanego dla ośrodka nejednorodnego o dużej lczbe nejednorodnośc, zastępuje sę ten ośrodek hpotetcznm ośrodkem jednorodnm, którego zachowane pod wpłwem zadanch wmuszeń jest równoważne odpowedno uśrednonemu zachowanu rozważanego ośrodka nejednorodnego. W praktce oznacza to założene o tzw. makrojednorodnośc ośrodka, tzn. że z punktu wdzena oblczeń nżnerskch ośrodek tak może bć traktowan jako jednorodn. W przpadku ośrodków gruntowch skalnch hpoteza ta jest podstawą, w zasadze wszstkch stosowanch w geotechnce metod oblczenowch. Celem metod homogenzacj jest sformułowane dla zadanego ośrodka nejednorodnego równoważnego mu w sense średnego zachowana ośrodka jednorodnego. Innm słow, metoda homogenzacj poszukuje ekwwalentnego opsu makroskopowego rozważanego procesu, gd znan jest całkowce ops tego procesu w ośrodku mkronejednordnm. W skal mkro muszą zatem bć dane: równana równowag dla każdej faz (każdego składnka) układu, warunk brzegowe na granc rozdzału faz, W celu wróżnena opsów: matematcznego, uwzględnającego nejednorodn charakter ośrodka, od matematcznego dla ekwwalentnego ośrodka jednorodnego, ops te są określane odpowedno termnam: mkroskopow makroskopow. Ponadto, poneważ analzuje sę ośrodk nejednorodne, dla którch zakłada sę możlwość zdefnowana odpowednego ośrodka makroskopowo jednorodnego, wobec tego nazwa sę je mkronejednorodnm, ab podkreślć ch dskretn charakter, a zarazem makroskopową jednorodność.

21 zwązk konsttutwne wraz z parametram, geometra. Proces homogenzacj mus dać w skal makroskopowej [3]: równana równowag, zwązk konsttutwne wraz z parametram efektwnm, prawo lokalzacj, tzn. zwązek pozwalając określć wszstke pola fzczne na pozome mkroskopowm, gd znane są makroskopowe pola fzczne. W przpadku rzeczwstch ośrodków (np.: grunt, skał) geometra mkrostruktur, ze względu na losow charakter tch ośrodków, ne jest dokładne znana. Zagadnene wznaczena (tj. wczerpująca charakterstka) parametrów efektwnch, w takm przpadku, prowadz do neskończonej herarch równań dla funkcj momentowch charakterzującch własnośc ośrodka [45], którch dokładne wznaczene jest bardzo trudne lub wręcz nemożlwe. W przpadku ośrodków losowch, ze względu na brak pełnej nformacj statstcznej o ośrodku, pojęce określana wartośc parametrów efektwnch rozumane jest zatem w sense oszacowań tch wartośc w termnach najprostszch charakterstk pól losowch wartość przecętna, objętość frakcjna poszczególnch składnków ośrodka tp. Metodologczne proces homogenzacj formułowan jest w lteraturze przedmotu na dwa sposob (np.: Hornung [74], Aurault Callere [7], Belsk Telega [3]). Perwsze sformułowane opera sę na pojęcu tzw. reprezentatwnej elementarnej objętośc (REO) polega na objętoścowm uśrednenu, w obrębe tej elementarnej objętośc, analzowanch pól fzcznch. W rezultace slne necągłe pola fzczne opsu mkroskopowego, poprzez proces uśrednena ulegają wgładzenu, stąd nazwa metoda wgładzana. Druge sformułowane jest określane jako matematczna teora homogenzacj. Tm razem, w przecweństwe do metod wgładzana, proces przejśca z opsem matematcznm ze skal mkroskopowej do makroskopowej dokonuje sę poprzez parametrzację opsu matematcznego parametrem >, będącm parametrem skal (np. reprezentującm tpow wmar porów), a następne poprzez żądane, ab. W nnejszm rozdzale przedstawono omówono: zasad, własnośc oraz różne technk homogenzacj, ze szczególnm uwzględnenem przdatnośc ch do analz procesów zachodzącch w ośrodkach gruntowch skalnch. 7.. Metoda wgładzana Podstawowm założenem teor homogenzacj, nterpretowanej w sense metod wgładzana, jest postulat o możlwośc zdefnowana w rozważanm ośrodku mkronejednorodnm tzw. reprezentatwnej elementarnej objętośc (REO). Przez pojęce to rozume sę najmnejszą objętość rozważanego ośrodka, która zawera wszstke nformacje potrzebne do kompletnego opsu struktur własnośc całego materału [5].

22 8 Do uwzględnena statstcznej natur mkrostruktur ośrodków losowch REO mus bć odpowedno duż, ab bć statstczne reprezentatwnm, tzn. mus zawerać wszstke element możlwch mkrostrukturalnch konfguracj ośrodka. Oznacza to, że REO pownen zawerać bardzo dużą lczbę wstępującch w ośrodku nejednorodnośc, takch jak zarna, wtrącena, por, spękana tp. [55]. Równocześne REO mus bć odpowedno mał w stosunku do całej objętośc ośrodka, ab można bło zdefnować ekwwalentn ośrodek makroskopowo jednorodn. Proces przejśca mkro makro jest opart na operacj uśrednana, tzn. jeśl u( ) jest rozważanm polem fzcznm opsu mkroskopowego, to zakłada sę, że stowarzszoną z ną welkoścą opsującą to pole w skal makroskopowej jest jego uśrednona wartość, tj. gdze: V mara objętośc REO, REO u ( ) = u ( ) m( ) dv, V (.) REO VREO m() pewna funkcja wag. W wnku procesu uśrednena, reprezentatwnej objętośc ośrodka, cechującej sę welofazowm składem nejednorodną strukturą, przpsuje sę w hpotetcznm ekwwalentnm ośrodku jednorodną strukturę, w której każd punkt przestrzen jest zajmowan przez wszstke faz równocześne (rs..). Ponadto, jak łatwo zauważć ze zwązku (.), w procese wgładzana wróżna sę dwe rodzn zmennch fzcznch, tzn.: zmenne makroskopowe opsujące stan ośrodka jednorodnego, którego właścwośc poszukujem, oraz zmenne mkroskopowe opsujące stan ośrodka w obrębe REO (rs..). Najczęścej zmenne makroskopowe są reprezentowane przez średne objętoścowe odpowadającch m zmennch mkroskopowch. W przpadku gęstośc średna ta poprawne defnuje, w sense fzk, zmenną makroskopową. W przpadku jednak pola naprężena zmenna makroskopowa pownna reprezentować wartość sł przpadającej na jednostkę powerzchn, a wobec tego pownna bć wartoścą średną naprężena w skal mkro przpadającą na jednostkę powerzchn. Podobne jest, gd rozpatrujem prędkość fltracj cecz przez ośrodek porowat. Welkość makroskopowa pownna reprezentować strumeń, a węc pownna bć średną po powerzchn. Poprawn proces wgładzana mus prowadzć do opsu makroskopowego wrażonego przez właścwe, z punktu wdzena fzk, zmenne. W celu pełnego przejśca z jednej skal obserwacj do drugej, w wększośc przpadków, ops mkroskopow mus bć uzupełnon o warunk brzegowe na granc REO reszta materału. Warunk te muszą odzwercedlać, najwernej jak to możlwe, rzeczwst stan REO wewnątrz rozważanego materału psze Suquet [5]. Wprowadzene konkretnej form warunków brzegowch do opsu lokalnego można równeż nterpretować jako nałożene ogranczena na klasę możlwch oddzał-

23 wań mędz REO a resztą materału. Z tego względu ogranczene to jest często nazwane hpotezą zamkającą, gdż umożlwa ono wdzelene REO od reszt rozważanego materału zawężene analz zachowana sę materału do analz tlko REO. ekwwalentn ośrodek jednorodn (nakładające sę kontnua) 9 welofazow ośrodek porowat X kontnuum cało stałe kontnuum cecz kontnuum gaz X X REO ops matematczn procesu na pozome nejednorodnośc REO (skala mkroskopowa) hpoteza zamkająca szkelet cecz gaz metoda homogenzacj Rs... Schemat metod wgładzana Fg... Schematc of a smoothng method

24 proces lokalzacj REO proces uśrednana Reprezentatwna elementarna objętość Ekwwalentn ośrodek jednorodn Zmenne mkroskopowe Zmenne makroskopowe współrzędna przestrzenna σ () tensor naprężena ρ () gęstość v () wektor prędkośc współrzędna przestrzenna <σ ()> tensor naprężena <ρ ()> gęstość <v ()> wektor prędkośc Rs... Dwe rodzn zmennch fzcznch defnowane w metodze wgładzana Fg... Two famles of phscal varables defned n a smoothng method Uzupełnene opsu lokalnego o warunk brzegowe na granc REO umożlwa równeż określene prawa lokalzacj, tj. zależnośc pozwalającej na oblczane wartośc rozkładów mkroskopowch pól fzcznch, gd dane są wartośc makroskopowch zmennch fzcznch oczwśce pełna nformacja o mkrostrukturze. Najczęścej stosowaną hpotezą zamkającą w analze kompoztowch cał stałch jest warunek jednorodnego stanu naprężena lub odkształcena [56], [7], [5]. Wprowadzene takej form hpotez zamkającej jest jednak zasadne tlko wted, gd rozmar pojednczej nejednorodnośc jest dużo mnejsz od rozmarów REO [3]. W przpadku ośrodków perodcznch, tzn. o strukturze wgenerowanej przez

25 warunek perodcznośc z pojednczej komórk (REO), jako warunek brzegow wkorzstwana jest lokalna perodczność rozważanch pól fzcznch [3], [37]. Ponżej przedstawono dwe podstawowe technk metod wgładzana. Perwsza z nch jest stosowana do analz procesów przepłwu przez ośrodk porowate, druga natomast do analz własnośc zastępczch (efektwnch) kompoztowch cał stałch.... Metod objętoścowego wagowego uśrednana Jednm z powszechnej stosowanch metod w mechance ośrodków welofazowch są metod wagowego objętoścowego uśrednana (np. Cushmann [48], Ene Polsevsk [59], Glbert [65], Ngmatuln [5]). Omówene tch technk rozpocznem od przedstawena metod wagowego uśrednana, gdż druga metoda jest jej szczególnm przpadkem. Nech m ( ) jest funkcją parzstą, dodatną, z nośnkem zwartm w D, taką że (rs..3) m D ( ) dv =. (.) 3 3. X Γ αβ D(X) D m() D Rs..3. Zmana skal obserwacj przez splot względem zmennej przestrzennej z funkcją wag m() Fg..3. Change of the observaton scale b the spatal convoluton wth a weght functon m()

26 Z defncj welkoścą makroskopową stowarzszoną z daną welkoścą mkroskopową g a ( ) jest splot ze względu na zmenną przestrzenną m α α α ( g ( ) h ( ) ) = g ( ) = D α h ( ) α ( ) g ( ) m( ) dv, (.3) gdze h α ( ) funkcja charakterstczna dla faz α zajmującej objętość V α V REO, zdefnowana następująco dla V, α α h ( ) = (.4) dla Vα. Prawa transformacj mkro makro w metodze wagowego uśrednana są bezpośredną konsekwencją defncj (.3) oraz reguł różnczkowana. Wprowadzene ch, dla przpadku ośrodka dwufazowego, przedstawono ponżej. Rozważam ośrodek dwufazow zbudowan z faz α oraz faz β. Rozkład faz w ośrodku określają funkcje charakterstczne h α ( ) h β ( ). Zmenną mkroskopową transformowaną do skal makro jest ψ ( ), która dla różnch faz wstępującch w ośrodku ma wartośc Zgodne z defncją (.3) α ( ) ψ ( ) = ψ w fazeα, β ( ) ψ ( ) = ψ w faze β. α h ψ ( ) = (.5) β h ψ m = α h ( ) D ψ α β ( ) h ( ) ψ β m ( ) dv. (.6) Prawą stronę powższej równośc można równeż przedstawć następująco = α h ( ) D α h ( ) D D( ) ( ) ( ) α ψ ψ α ( ) h β ( ) ( ) m ( ) β ψ h α α β β { h ( ) ( ) h ( ) ψ ( ) } ( ) β ( ) m ( )dv ψ β ( ) ( ) m ( ) m ψ dv, (.7) co po zastosowanu twerdzena Greena do perwszej całk po prawej strone prowadz do

27 3 α h ( ) D ( ) α ψ ( ) h β ( ) β ψ ( ) m ( )dv α β β α β αβ ( ) m ( ) n ds ψ ( ) m ( ) n ds { ψ ψ } m ( ) n ds = α ψ α β αβ A A Γ D( ) α α β β { h ( ) ( ) h ( ) ψ ( ) } ( ) m ψ dv. (.8) W zwązkach tch wkorzstano oznaczena (rs..4a): A α brzeg obszaru D() należąc do faz α, A β brzeg obszaru D() należąc do faz β, Γ αβ powerzchna rozdzału faz, n α jednostkow wektor normaln do powerzchn A α, n β jednostkow wektor normaln do powerzchn A β, n αβ jednostkow wektor normaln do powerzchn rozdzału faz Γ αβ skerowan od faz α w kerunku faz β. Całk po brzegach: A α A β są równe tożasmoścowo zeru (funkcja wag m ( ) jest z nośnkem zwartm w D, czl m ( ) = dla punktów należącch do A α A β ). Wobec tego, wkorzstując (.6) oraz (.8), możem zapsać ψ m = α β { ψ ψ } m( ) αβ Γ n αβ ds D ( ) α α β β { h ( ) ψ ( ) h ( ) ψ ( ) } m ( ) dv. (.9) Oblczm teraz pochodną cząstkową po makroskopowej zmennej przestrzennej z makroskopowej welkośc m ψ. Ponowne, zgodne z defncją (.3), mam { } m ( ) α α β β ( m ψ ) = h ( ) ( ) h ( ) ( ) dv. ψ ψ (.) D( ) Tm razem jest to pochodna cząstkowa z całk po zmennm obszarze całkowana, gdż prz zmane d uległ równeż przesunęcu obszar całkowana z D() na D( d) (rs..4b). Jest to węc tzw. pochodna śledząca [6], z tm że śledzone są ne cząsteczk materalne, ale obszar całkowana. Pochodna ta jest węc zdefnowana jako następująca granca

28 4 { } m ( ) α α β β ( m ψ ) = lm h ( ) ψ ( ) h ( ) ψ ( ) d d D( d) dv D( ) α α β β { h ( ) ψ ( ) h ( ) ψ ( ) } m ( ) dv. (.) a) b) D() D() D( d) A α β β α dx α X αβ Γ X X dx A β c) β D() A α (t dt) A α (t) α Γ αβ (t dt) X Γ αβ (t) Rs..4. Reprezentatwna elementarna objętość rozważanego ośrodka dwufazowego (a), geometrczna nterpretacja pochodnej cząstkowej po makroskopowej zmennej przestrzennej (b), geometrczna nterpretacja pochodnej cząstkowej po czase (c) Fg..4. Representatve elementar volume of two-phase medum consdered (a), geometrcal nterpretaton of partal macroscopc space dervatve (b), geometrcal nterpretaton of partal tme dervatve (c)

29 W różnc w nawase ma udzał obszar będąc obszarem wspólnm D() D( d) oraz obszar, gdze D() D( d) są odmenne [6]. Udzał obszaru wspólnego w pochodnej jest równ D ( ) α α β β m { ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) h h ψ 5 ψ dv, (.) udzał drugego obszaru pochodz natomast z wartośc ψ () m ( ) na brzegu pomnożonej przez objętość, przez którą przeszł cząsteczk brzegu prz przesunęcu o d. Przemeszczene punktu brzegu obszaru D() wnos d, a węc objętość, przez którą przeszł cząsteczk elementu powerzchnowego ds, jest równa d n. Udzał obszaru D() D( d) D() D( d) w pochodnej jest zatem równ Ostateczne węc uzskujem α β β ( ) m ( ) n ds ψ ( ) m ( ) n ds. α ψ (.3) α β A A ( m ψ )= m { } ( ) α α β β ( ) ( ) ( ) ( ) h ψ h ψ D ( ) α β β ( ) m ( ) n ds ψ ( ) m ( ) n ds. α ψ (.4) α β A A Całk po brzegach A α A β są równe zeru (m( ) jest z nośnkem zwartm w D). Dodatkowo m ( ) m ( ) =, (.5) co w konsekwencj pozwala zależność (.4) przedstawć w następującej równoważnej postac ( m ψ )= m { } ( ) α α β β ( ) ( ) ( ) ( ) h h ψ D ( ) dv ψ dv. (.6) Po porównanu zwązków (.6) (.9) otrzmujem perwsze prawo transformacj mkro makro w metodze wagowego uśrednana, tzn. ψ m = α β αβ ( m ψ ) [ ψ ψ ] n m ( ) ds. αβ Γ (.7) Druge prawo transformacj jest zależnoścą mędz uśrednoną wartoścą pochodnej cząstkowej po czase a pochodną cząstkową po czase z wartośc średnej. Zauważm, że

30 6 ψ m = t α h ( ) D ( ) α ψ t ( ) h β ( ) β ψ t ( ) m ( )dv, (.8) natomast t β { ψ } ψ m ( ) dv. (.9) t D( ) α α β ( m ) = h ( ) ψ ( ) h ( ) Tm razem, w przecweństwe do pochodnej (.), obszar całkowana D() ne ulega zmane, zmena sę natomast rozkład faz w D() opsan przez funkcje charakterstczne h α h β (rs..4c). Rozumując podobne jak prz pochodnej śledzącej (.), wróżnam dwa różne udzał w pochodnej (.9). Perwsz to udzał w pochodnej obszaru wspólnego dla każdej z faz α h ( ) D t β β [ ] h ( ) [ ψ ( ) m ( ) ] α ( ) ( ) m ( ) ψ dv, t (.) drug to udzał poruszającch sę brzegów faz, tzn. α A ψ α αβ Γ α α β ( ) m ( ) v n ds ψ ( ) m ( ) β A α β αβ αβ [ ψ ( ) ψ ( ) ] m ( ) v n ds, v β β n ds (.) gdze: α v składowa wektora prędkośc powerzchn A α, β v składowa wektora prędkośc powerzchn A β, αβ v składowa wektora prędkośc powerzchn rozdzału faz Γ αβ. Brzeg obszaru D() = A α (t) A β (t) = A α (t dt) A β (t dt) jest jednak stał (rs..4c), a wobec tego objętość, przez którą przeszł jego cząsteczk w czase dt, jest α α β β równa zeru, czl v n = v n =. Ostateczne węc t ( ) t α α ( m ψ ) = h ( ) ψ ( ) m ( ) D αβ Γ β β [ ] h ( ) [ ψ ( ) m ( ) ] t α β αβ αβ [ ψ ( ) ψ ( ) ] m ( ) v n ds. dv (.) Funkcja wag m( ) ne zależ od czasu, wobec tego powższ zwązek można przekształcć do postac

31 7 t ( ) t α α β β ( m ψ ) = h ( ) ψ ( ) h ( ) ψ ( ) m ( ) D αβ Γ t α β αβ αβ [ ψ ( ) ψ ( ) ] m ( ) v n ds. (.3) Po porównanu teraz zależnośc (.3) (.8) otrzmujem druge prawo transformacj mkro makro w metodze wagowego uśrednana, tzn. dv ψ m = t t α β αβ αβ ( m ψ ) [ ψ ψ ] n v m ( ) ds. αβ Γ (.4) Przjmując, że funkcja wag m() jest równa /V w kul o objętośc V ze środkem w początku układu współrzędnch tożsamoścowo równa zeru na zewnątrz kul, prawa transformacj (.7) (.4) transformują sę do praw uśrednana przestrzennego [4] ψ ψ t = = ψ t ψ V V REO REO αβ Γ αβ Γ ( ψ ( ψ α α ψ ) n β β ψ ) n αβ αβ αβ v ds, ds. (.5) Równana (.7) (.4) są podstawą przejśca z opsem matematcznm ze skal mkro do skal makro w metodze wagowego uśrednana przestrzennego, podczas gd zależnośc (.5) są podstawowm prawam metod uśrednana objętoścowego. Jak wnka z przedstawonego powżej opsu, metod objętoścowego wagowego uśrednana ne wprowadzają hpotez zamkającej. Powoduje to, najczęścej, zatrzmane sę procesu przejśca mkro makro. Ilustruje to ponższ przkład, w którm za pomocą praw transformacj (.5) próbuje sę przeneść do skal ma- Tm razem funkcja wag jest necągła na brzegu obszaru D(). Prawo transformacj pochodnej czasowej uzskane zostało jednak, w metodze uśrednana wagowego, bez korzstana z warunku zerowana sę na brzegu obszaru funkcj wag, a węc jego ważność prz uśrednanu przestrzennm jest oczwsta. Podczas wprowadzana jednak prawa transformacj pochodnej przestrzennej warunek zerowana sę funkcj wag na brzegu obszaru D() zastosowan został prz przekształcenu od (.8) do (.9) oraz od (.4) do (.6). Porównując jednak zwązek (.8), w którm ne wkorzstano warunku zerowana sę całek powerzchnowch, z odpowadającm mu wzorem (.4), natchmast wnoskuje sę prawdzwość prawa transformacj (.7), bez korzstana z warunku zerowana sę całek powerzchnowch. Tm samm necągłość funkcj wag w metodze uśrednana przestrzennego ne zaburza struktur praw transformacj mkro makro.

32 8 kroskopowej ops mkroskopow przepłwu przez neodkształcaln ośrodek porowat lepkej neścślwej cecz Newtona. Ops mkroskopow przepłwu cecz tworzą: prawo neścślwośc v = warunek adhezj na powerzchn kontaktu z całem stałm warunk równowag równana konsttutwne w V l, (.6) v = na Γ, (.7) σ = w V l, (.8) v v j σ = p δ µ w V l, (.9) j gdze: v składowa wektora prędkośc cecz, p cśnene cecz, µ lepkość cecz, σ składowa tensora naprężena cecz, l V objętość zajmowana przez cecz w REO, Γ powerzchna kontaktu cecz z całem stałm. Zastosowane (.5a) do (.6) wraz z warunkem (.7) daje makroskopowe prawo neścślwośc cecz, tj. v =. (.3) Równane (.3) jest oczwśce klascznm warunkem neścślwośc dla ośrodka cągłego. Uśrednene równana równowag prowadz do σ V REO Γ σ n ds =, (.3) podczas gd uśrednene równań konsttutwnch v v j σ = p δ µ. (.3) j

33 Ostateczne, po podstawenu zależnośc (.3) (.9) do równana (.3) oraz zastosowanu makroskopowego warunku neścślwośc (.3) otrzmujem 9 p v v j v j p n dγ. j V VER Γ j = µ δ µ (.33) Jak łatwo zauważć, równane (.33) ne wraża sę, nestet, tlko przez zmenne makroskopowe. Bez wprowadzena dodatkowch założeń upraszczającch (postulat natur fenomenologcznej lub analza porównawcza rzędów welkośc) jest to ostateczna postać uśrednonego lokalnego równana równowag, które z powodu wstępowana w równanu zmennch mkroskopowch makroskopowch ne może bć traktowane jako ops makroskopow. Jak już stwerdzono, przczną przedstawonego powżej zatrzmana sę procesu przejśca z jednej skal obserwacj do drugej jest brak w metodach uśrednana przestrzennego hpotez zamkającej. Jest to podstawow mankament obu omówonch metod. Z tego powodu metod te są najczęścej użwane do otrzmana makroskopowch równań równowag z nezdefnowanm jednoznaczne członam oddzałwań mędz składnkam ośrodka welofazowego, np. ostatn wraz w równanu (.33) reprezentuje oddzałwane szkeletu z przepłwającą ceczą. Równana konsttutwne defnujące te oddzałwana otrzmwane są następne przez analzę drugego prawa termodnamk, już na pozome makroskopowm ( por. np. Hassanzadeh Gra [7], Achanta Cushman [5], Cushman [48]). Tak sposób modelowana nazwan jest hbrdową teorą meszann (zob. Murad et.al. [3]). Nektórz autorz w celu dokonana pełnego przejśca technką uśrednana objętoścowego stosują jako hpotezę zamkającą warunek perodcznośc (zob. Barrere et.al. [3], Glbert [65]).... Cągła mkromechanka Stosowane aparatu mechank ośrodka cągłego na pozome mkroskopowm do analz procesu deformacj ośrodka, jak równeż do prognozowana właścwośc efektwnch kompoztowch ośrodków stałch, jest określane jako cągła mkromechanka. Innm słow, cągła mkromechanka to poszukwane dla zadanej mkrostruktur ośrodka jej mechancznej odpowedz od zadanch obcążeń makroskopowch (uśrednonch). Jest węc oczwste, że w zależnośc od rodzaju analzowanego ośrodka, tzn. własnośc mechancznch jego składnków, procesów w nm zachodzącch, np.: kruche pękane, poślzg mędzzarnowe, deformacje plastczne, wkorzstwane są różne mkroskopowe ops matematczne oraz metod rozwązwana. Z tego też względu prezentowane ponżej omówene ogranczono do przedstawena tlko podstawowch defncj zasad cągłej mkrome-

34 3 chank. Obszerne omówene, wraz z uzskanm w ostatnej dekadze wnkam dla konkretnch ośrodków kompoztowch, przedstawone jest w prac zborowej pod redakcją P. Suqueta Contnuum Mcromechancs [5]. W przpadku analz kompoztowego ośrodka stałego, ops mkroskopow tworzą: równana równowag statcznej σ =, (.34) zwązk konsttutwne dla każdego składnka, np. zdefnowane przez odpowedn potencjał lub energę odkształcena w(e ) ( ), w e σ = (.35) e odpowedne warunk cągłośc na powerzchnach kontaktu mędz składnkam ośrodka. Jako hpotezę zamkającą, tzn. warunk brzegowe przłożone na grancach REO, przjmuje sę: a) dla ośrodków losowch warunek jednorodnego odkształcena (lnowego przemeszczena), tzn. u = E j na V REO lub warunek jednorodnego naprężena σ n = T n na V REO ; b) dla ośrodków perodcznch warunk lokalnej perodcznośc, to znacz u = E j u * () na V REO, gdze u * () jest perodczn, tzn. w odpowadającch sobe punktach na krańcach REO ma take same wartośc oraz σ n jest antperodczn. W powższch warunkach brzegowch: E jest pewnm zadanm tensorem odkształcena, natomast T zadanm na brzegu naprężenam, n jest składową wektora normalnego do brzegu. Przez e oznaczono składową tensora odkształcena wewnątrz REO, która dla małch odkształceń jest określona zależnoścą ( ) u u j e u =. (.36) j Jeśl funkcja energ odkształcena w(e ) jest ścśle wpukła ze względu na e, to wszstke wszczególnone powżej warunk brzegowe, prz wmarze REO dużo wększm od wmarów poszczególnch nejednorodnośc, są równoważne ( por. Ponte Castañeda Suquet [3], Sab [3]). W przpadku jednak składnków sztwno dealne plastcznch funkcja dsspacj plastcznej jest wpukła, lecz ne ścśle wpukła. Odpowedną hpotezą zamkającą dla ośrodków losowch jest wted warunek jednorodnego odkształcena ( prędkośc odkształcena), natomast dla ośrodków perodcznch omówon powżej warunek perodcznośc [49], [5], [5].

35 Przjmm, do dalszej prezentacj metod, warunek jednorodnego odkształcena oraz załóżm, że kompozt wewnątrz REO tworz N jednorodnch składnków stałch, zajmującch objętośc V α, α =,,..., N, którch rozkład określają funkcje charakterstczne h α () (defncja (.4)). Defnując welkośc makroskopowe jako średne objętoścowe po obszarze REO, otrzmujem 3 e = e ( ) dv = ( E E j ), V (.37) REO VREO σ = σ ( ) dv = σ knk j ds. (.38) V V REO VREO REO VREO Powższe zwązk wskazują, że wartość makroskopowego odkształcena jest zdefnowana przez wartość zadanch warunków brzegowch, makroskopowe naprężene może natomast bć określone przez wartość obcążena dzałającego na brzegu REO. Ponadto, jeśl REO jest prostopadłoścanem, to średna objętoścowa tensora naprężena jest równeż odpowedną średną po powerzchn [4]. Wprowadzone zmenne poprawne węc defnują, z punktu wdzena fzk, zmenne makroskopowe. Efektwne zachowane kompoztu, tj. jako równoważnego ośrodka jednorodnego, to zależność mędz e a σ, a węc zależność realzowana równeż w czase ekspermentu laboratorjnego. Bardzo często prz poszukwanu makroskopowch zależnośc zamast przedstawonch powżej warunków brzegowch jako hpotezę zamkającą stosuje sę tzw. warunek makrojednorodnośc Hlla, tzn. σ e = σ e. (.39) Innm słow, podstawą defnowana ośrodka równoważnego jest równoważność energetczna. Należ podkreślć, że żąda sę spełnena równana (.39) dla dowolnch e σ, nawet ne zwązanch żadnm równanem konsttutwnm. Mkroskopowe tensorowe pole naprężena mus bć jedne polem samozrównoważonm, tj. spełnać statczne równana równowag (.34). Omówone powżej warunk brzegowe dla REO prowadzą równeż do zasad makrojednorodnośc Hlla (np. Suquet [5]). Ops matematczn (.34), (.35) wraz z przjętm warunkem brzegowm tworzą tzw. mkromechanczne zagadnene brzegowe, to jest zagadnene sformułowane dla REO. Określane właścwośc efektwnch kompoztu to rozwązwane tego zagadnena, a następne odpowedne uśrednane otrzmanego rozwązana.

36 3 Równoważne zagadnene to może bć sformułowane, prz założenu wpukłośc w(e ), na podstawe zasad mnmum energ potencjalnej 3. Wted poszukwane pole przemeszczena wewnątrz REO jest polem mnmalzującm uśrednoną energę odkształcena, tzn. nf w (, e ( u) = nf h ( ) ( ) u K E u K E N α = α α ( ) w ( e ( u) ), (.4) gdze w α (e (u)) jest energą odkształcena składnka α, knematczne dopuszczalne pole przemeszczena określa zbór { u = E j na V }. K( E) = REO (.4) Po podstawenu u ( ) = E u~ ( ) (.4) j oraz zastosowanu defncj makroskopowego odkształcena (.37) zagadnene (.4) defnuje zastępcz (makroskopow) potencjał energ odkształcena W ( e ) w (, e e ( ~ )). = nf ~ u (.43) u K W analogczn sposób otrzmuje sę zastępcz potencjał energ naprężena (energa dopełnająca), tj. U N α α ( ) = nf u (, τ ) = nf h ( ) u ( τ ), σ (.44) τ S ( σ ) τ S ( σ ) α = gdze: u α (τ ) jest energą naprężena składnka α, statczne dopuszczalne pole naprężena określa zbór τ S( σ ) = τ, = w VREO, τ = σ. (.45) Makroskopowe zwązk konsttutwne są zdefnowane przez otrzmane powżej potencjał zastępcze 4, tzn. ( e ), W σ = (.46) e 3 Wśród wszstkch odpowedno gładkch pól przemeszczeń u () spełnającch knematczne warunk brzegowe, pole przemeszczeń rzeczwstch zapewna mnmalną wartość całkowtej energ potencjalnej cała (np. Kleber [83]). 4 Wprowadzene tch zależnośc jest oparte na odpowednm wkorzstanu hpotez makrojednorodnośc Hlla przedstawone jest np. w prac [3].

37 33 e ( σ ). U = (.47) σ Powższe zwązk wskazują, że poszukwane zależnośc mędz zmennm makroskopowm, tj. tensorem naprężena a odkształcena, sprowadza sę do określena potencjałów zastępczch. Jest to szczególne dogodne np. podczas formułowana ogranczeń dla możlwch wartośc parametrów efektwnch ośrodków kompoztowch. Zauważm, że znane ogranczena Vogta Reussa są bezpośredną konsekwencją równań (.4) (.44), tj. W N α α ( e ) c w ( e ), α = (.48) gdze U c N α α ( ) c u ( σ ), α σ (.49) = α = α h ( ) dv VREO V REO (.5) jest udzałem frakcjnm składnka α w kompozce. Przpadek kompoztu sztwno dealne plastcznego, ze względu na brak ścsłej wpukłośc potencjału dsspacj plastcznej, wmaga odrębnego traktowana (por. Bouchtte [37], Suquet [49, 5]). W efekce otrzmuje sę makroskopową funkcję plastcznośc F ( σ ) = τ σ, τ τ α ( ), =, f ( τ ) P oraz makroskopowe prawo plastcznego płnęca h V, ( σ ). α α =,,..., N (.5) p F e& = & λ (.5) σ Podsumowując tę krótką prezentację cągłej mkromechank można stwerdzć, że określane efektwnego zachowana ośrodka kompoztowego polega na rozwązanu odpowedno sformułowanego zagadnena brzegowego dla REO jego uśrednenu. W przpadku ośrodków determnstcznch, takch jak kompoztowe ośrodk perodczne, cągła mkromechanka pozwala na dokładne określene ch zachowana

38 34 efektwnego. Jeśl jednak analzujem kompoztowe ośrodk losowe, to dostępna jest tlko częścowa nformacja statstczna o mkrostrukturze ośrodka, a zatem dokładne określene właścwośc efektwnch ne jest możlwe. W tm przpadku przedstawone potencjał zastępcze trzeba nterpretować jako potencjał odpowadające pewnej klase kompoztów o określonej statstce. Rozważana mkromechanczne stosowane są wted do formułowana, w funkcj znanej nformacj statstcznej, ogranczeń dla wartośc efektwnch, jak równeż ch oszacowań odpowadającm określonej klase kompoztu (patrz np.: Berrman [9], Dvorak [57], Ponte Castañeda [], [], Ponte Castañeda Wlls [4], Suquet [5], Wlls [6], [6]). Metod oszacowań wartośc parametrów efektwnch omawane są w p..3. Przez założene pewnej realzacj ośrodka dokonuje sę równeż dentfkacj parametrów mkrostrukturalnch, mającch znacząc wpłw na jego makroskopowe zachowane, np.: dla ośrodków granulowanch lczba rozkład kontaktów mędzzarnowch (Emerault et.al. [58], Rothenburg Bathurst [7]), dla spękanego cała stałego zamkane sę szczeln poślzg na ch powerzchnach (Telega [54])... Matematczna teora homogenzacj Przpomnm, celem metod homogenzacj jest sformułowane, dla zadanego ośrodka nejednorodnego (o bardzo dużej lczbe nejednorodnośc), równoważnego ośrodka makroskopowo jednorodnego. Równoważnego w tm sense, że jeśl lczba nejednorodnośc jest bardzo duża (zdąża do neskończonośc), to rozwązane dla ośrodka nejednorodnego jest blske (zdąża) rozwązanu dla ośrodka makroskopowo jednorodnego. Prz ustalonej objętośc ośrodka nejednorodnego wzrost lczb nejednorodnośc mplkuje spadek wmaru pojednczej nejednorodnośc (rs..5). Nech, dla ustalonego wmaru nejednorodnośc >, poszukwane pole u () (np. pole przemeszczena) dla ośrodka nejednorodnego jest rozwązanem następującego zagadnena brzegowego L ( u ( )) = w warunk brzegowe Ω, na Ω, (.53) gdze L jest operatorem różnczkowm opsu mkroskopowego. W matematcznm sformułowanu teor homogenzacj u () traktuje sę jako cąg rozwązań powższego zagadnena brzegowego prz zmnejszającch sę wartoścach parametru (rs..5), a następne przechodz sę przez żądane, ab, do granc u (). Otrzmane w tm procese u ( ) = lmu ( ) (.54)

39 oraz ops matematczn spełnon przez grancę u(), tj. ( u( ) ) L = w Ω, warunk brzegowe na Ω stanową, odpowedno, pole makroskopowe oraz ops makroskopow dla równoważnego ośrodka jednorodnego, gdż prz zmnejszającm sę wmarze nejednorodnośc (zwększającej sę lczbe nejednorodnośc) rozwązane dla ośrodka nejednorodnego spełnające zależnośc (.53) zdąża do rozwązana zagadnena (.55). 35 (.55) = = = 3 Rs..5. Schematczn obraz matematcznej teor homogenzacj Fg..5. Schematc of the mathematcal homogenzaton theor W matematcznm sformułowanu metod homogenzacj, proces przejśca z jednej skal obserwacj do drugej dokonuje sę węc poprzez parametrzację mkroskopowego opsu matematcznego parametrem skal > (np. wmar nejednorodnośc), a następne żądanem, ab. Otrzmane prz żądanu : granca rozwązana oraz ops matematczn spełnon przez tę grancę są poszukwanm: polem makroskopowm oraz opsem makroskopowm. Rozważa sę węc cał zbór zagadneń parametrzowanch przez, a ne jedną konkretną stuację, jak w metodze wgładzana. Zależne od rodzaju ośrodka, tj. cz jest to ośrodek perodczn cz losow, prz dowodzenu zbeżnośc stosuje sę, odpowedno, twerdzena o zbeżnośc cągu funkcj okresowch (homogenzacja dla struktur perodcznch) lub twerdzena ergodczne (homogenzacja stochastczna). Najczęścej są stosowane: twerdzene ergodczne Ackoglu Krengela (np. Sab [3]) oraz twerdzene Broffa (np. Burgeat et.al. [39], Sab [35]). Pod względem narzędza oraz pojęć matematcznch stosowanch do opsu ośrodka losowego oraz dowodzena zbeżnośc (.54), homogenzacja stochastczna

40 36 jest o wele bardzej skomplkowana (pojęca z teor mar, ergodcznośc, sstemów dnamcznch etc.) nż homogenzacja struktur perodcznch. Śwadcz o tm kolejność otrzmwanch wnków, tj.: najperw ekwwalentn ops matematczn dla ośrodka o strukturze perodcznej, a następne rozszerzene ważnośc na ośrodk losowe (np.: Burgeat et.al. [38], [39]; Kröner [85]; Rubnstan Torquato [8] oraz lteratura ctowana w tch pracach). Jednocześne wnk te potwerdzają, ntucjne przewdwane stwerdzene, że struktura opsu matematcznego dla równoważnego ośrodka jednorodnego pownna bć taka sama, nezależne od tego, cz mkrostruktura ośrodka jest losowa cz perodczna, prznajmnej dla pewnch klas ośrodków procesów. Stwerdza to rezultat otrzman przez K. Saba [3], [33], [34], [35]: każd wnk homogenzacj, któr jest prawdzw dla ośrodków perodcznch, jest prawdzw równeż dla statstczne jednorodnch ergodcznch statstczne perodcznch ergodcznch ośrodków losowch, z włączenem zjawsk perkolacj. Celem nnejszej monograf jest podane stosunkowo prostego narzędza nematematkom, umożlwającego dedukowane z opsu mkroskopowego odpowadającego mu opsu makroskopowego. Z tego względu, poneważ perodczność struktur zdecdowane upraszcza analzę, w dalszej częśc prac zakłada sę, że analzowane ośrodk mają właśne taką strukturę. Założene to jednak, zgodne z przedstawonm wcześnej stwerdzenam, należ traktować tlko jako hpotezę roboczą, zdecdowane upraszczającą proces homogenzacj. Zagadnene określana parametrów efektwnch wmaga, oczwśce, nnch metod dla ośrodków perodcznch dla ośrodków losowch.... Metoda asmptotcznej homogenzacj Jedną z najpowszechnej stosowanch technk poszukwana opsu ekwwalentnego dla ośrodka mkronejednorodnego jest metoda asmptotcznej homogenzacj (zob.: Bensoussan et.al. [7], Sanchez-Palenca [37]). Podstawowm założenem metod jest perodczność struktur (rs..6). Parametrzacj opsu mkroskopowego dokonuje sę parametrem = l/l, reprezentującm stosunek wmarów: pojednczej komórk perodcznośc l, z której wgenerowan jest przez perodczność cał ośrodek, oraz L, będąc jednm z wmarów objętośc rozważanego ośrodka (rs..6). Zanm jednak przejdzem do szczegółowego omówena metod asmptotcznej homogenzacj, w celu wjaśnena jej podstawowch kroków poszukwana opsu makroskopowego, jak równeż w celu zlustrowana samego procesu matematcznej homogenzacj, przedstawam analzę prostego zagadnena jednowmarowej stacjonarnej dfuzj substancj przez mkronejodnorodn ośrodek perodczn. Parametr dfuzjne ośrodka, tzn. funkcja defnująca wartość współcznnka dfuzj w dowolnm punkce pojednczej komórk perodcznośc została tak przjęta, ab bło możlwe otrzmane, dla ustalonego, prostej form rozwązana zagadnena dfuzj oraz granc tego rozwązana prz.

41 37 / L l Rs..6. Struktura perodczna podstawowa komórka perodcznośc Fg..6. Perodc structure and base cell of perodct Przedstawon ponżej proces nazwan jest równeż bezpośredną homogenzacją [47]. ośrodek neprzepuszczaln L l Rs..7. Zagadnene jednowmarowej dfuzj Fg..7. Un-aal dffuson problem Przjęto, że wartość współcznnka dfuzj w dowolnm punkce pojednczej komórk perodcznośc określona jest następującą funkcją Do D ( ) =, (.56) π cos l gdze D o stała rozkładu. Utworzene ośrodka z n komórek perodcznośc, prz jednocześne ustalonej długośc ośrodka równej L (rs..7), jest równoznaczne z przjęcem długośc pojednczej komórk perodcznośc równej l = L/n. Wartość współcznnka dfuzj, w do-

42 38 wolnm punkce ośrodka utworzonego z n komórek perodcznośc, dana jest węc następującą funkcją Do Dn ( ) =. (.57) n π cos L Funkcja ta zależ od lczb komórek perodcznośc, z którch jest utworzon analzowan ośrodek, dlatego jest ndeksowana przez n. W metodze homogenzacj do parametrzacj opsu stosowan jest jednak parametr skal: = l/l (= /n). Po zastosowanu tego parametru zależność (.57) przjmuje postać (rs..8) Do D ( ) =. (.58) π cos L a) b) D D,,4,6,8,,4,6,8 /L /L = /6 = Rs..8. Fluktuacje współcznnka przepuszczalnośc dfuzjnej materału wzdłuż próbk (przjęto D o = ): a) próbka zbudowana jest z 6 komórek perodcznośc, b) próbka zbudowana z komórk perodcznośc Fg..8. Fluctuatons of dffuson coeffcent of materal along sample (D o = s assumed): a) sample conssts of 6 perodc unt cells, b) sample conssts of perodc unt cell

43 Proces jednowmarowej stacjonarnej dfuzj, parametrzowan przez, jest określon równanem d d D ( ) d C d ( ) =, 39 (.59) gdze D () dane jest przez równane (.58), natomast C () oznacza, dla ustalonego (równoważne: ustalonej lczb komórek perodcznośc tworzącch ośrodek), wartość stężena substancj w punkce ośrodka. Równane (.59) uzupełnają warunk brzegowe, które przjęto w postac zadanch wartośc stężena substancj na końcach próbk, tj.: C = C o C (L) =. Rozwązane równana (.59) otrzmuje sę przez bezpośredne całkowane. Zauważm, (.59) mplkuje d C ( ) ( ) D = A, (.6) d gdze A jest stałą, której wartość determnują warunk brzegowe. Wobec tego d C ( ) = A C D ( ) o, (.6) co po uwzględnenu zależnośc (.58) defnującej D () oraz warunku brzegowego C (L) =, daje następującą ostateczną postać rozwązana C C π = o (.6) L 3 4π L o ( ) C sn. Po zastosowanu (.6) otrzmujem równeż 5 ( ) dc C o π = cos, (.63) d L 3 L Q = D ( ) dc d ( ) = 3 Co Do, L gdze Q oznacza wartość strumena dfundującej substancj. 5 π π Wzór (.64) jest konsekwencją tożsamośc cos = cos, L L π π Do z (.58) do cos = cos =. 3 L 3 L 3 D () (.64) która prowadz wraz

44 4 a) b) C,8,6,4, C,8,6,4,,,4,6,8,,4,6,8 = /6 /L = /L Rs..9. Stężene substancj wzdłuż próbk (przjęto C o = ): a) próbka zbudowana z 6 komórek perodcznośc, b) próbka zbudowana z komórk perodcznośc Fg..9. Substance concentraton along sample (C o = s assumed): a) sample conssts of 6 perodc unt cells, b) sample conssts of perodc unt cell Trz zależnośc, tj. (.6), (.63) (.64) wznaczają dla nejednorodnej próbk szukane rozkład: stężena dfundującej substancj, gradentu tego stężena oraz strumena. Zależność (.6) wskazuje, że wraz ze spadkem wartośc fluktuacje C (), będące wnkem nejednorodnośc materału, są tłumone. Towarzsz temu wzrost częstotlwośc tch fluktuacj (rs..9). W przpadku gradentu koncentracj wzrost lczb komórek perodcznośc w materale (spadek wartośc ) powoduje jedne zwększene częstotlwośc fluktuacj, natomast ampltuda tch fluktuacj jest stała (rs..). Przechodząc do granc, prz, otrzmujem C Q = lm o L ( ) C ( ) = C, = lmq dc = Do 3 d ( ). (.65) (.66)

45 4 a) b) C C,5,5,5,5,,4,6,8,,4,6,8 = /6 /L = /L Rs... Fluktuacje gradentu stężena wzdłuż próbk (przjęto C o = ): a) próbka zbudowana z 6 komórek perodcznośc, b) próbka zbudowana z komórk perodcznośc Fg... Fluctuatons of concentraton gradent along sample (C o = s assumed): a) sample conssts of 6 perodc unt cells, b) sample conssts of perodc unt cell Granca gradentu stężena oczwśce ne stneje. Brak tej granc ne przeszkadza jednak w sformułowanu opsu makroskopowego, któr ma bć spełnon (wrażon) tlko przez makroskopowe pole koncentracj, tj. C(). Zwązek (.66) jest makroskopowm równanem konsttutwnm defnującm wartość strumena dfundującej substancj w funkcj wartośc gradentu z makroskopowego pola C(). Poneważ wartość strumena jest stała wzdłuż całej próbk, wobec tego ops makroskopow procesu dfuzj stanow następujące równane d d C( ) Do =. (.67) d 3 d Współcznnk Do to efektwn opór dfuzjn ośrodka makroskopowo jednorodnego. 3 Otrzman zwązek konsttutwn (.66), jak równeż wartość efektwnego współcznnka oporu dfuzjnego ośrodka, ne mogą, oczwśce, zależeć od tpu warunków brzegowch, jak możlwch nnch wmuszeń zewnętrznch, któremu poddan jest ośrodek. Otrzmane rozwązane ne rozstrzga tej wątplwośc, dlatego ponżej przed-

46 4 stawono rozwązane analogcznego zagadnena, jednakże z dodatkowm wmuszenem w postac źródeł dostarczającch substancję. Dla uproszczena rachunków przjęto, że rozkład tch źródeł jest stał wzdłuż całej próbk równ f () = f o. Ops mkroskopow tego zagadnena, parametrzowan przez, ma postać d d D ( ) dc d ( ) f o =. (.68) Warunk brzegowe przjęto take same jak w poprzednm przkładze. Oczwśce D () opsuje równane (.58). Równane różnczkowe (.68) mplkuje ( ) dc D ( ) = fo A, d (.69) gdze, podobne jak poprzedno, stała A jest określana z warunku brzegowego. Po ponownm scałkowanu, tzn. ( ) d = fo A D d C C ( ) D ( ) o (.7) prostch, lecz żmudnch, oblczenach oraz uwzględnenu warunku brzegowego C (L) = otrzmujem ostateczną postać rozwązana, tj. Q f D C 3 f = o 4 D L o ( ) ( L ) C L π sn C 4π L 6π o π L sn L o 3 fo o o 4 Do f o L π cos. (.7) 8 Do π L Wartość strumena dfundującej substancj defnuje zależność ( ) = D ( ) dc d ( ) D 3 f = π D cos L 3 f 4 D Co L L f D o π cos L o o o o o o 3 f π cos sn sn, π π o f ol fol Co L (.7) L Do L Doπ L Doπ L

47 która po przekształcenach zastosowanu tej samej tożsamośc, jak we wzorze (.64), daje ostateczną postać funkcj opsującej wartość strumena, tj. Q ( ) = D ( ) d C d ( ) = D 3 o Przechodząc do granc, prz, uzskujem 3 fo D o 3 4 fol Co D L o. 43 (.73) C 3 f = lm o 4 D L ( ) ( ) = o C ( L ) C, o (.74) dc( ) Q ( ) = lm Q o 3 d ( ) = D. (.75) Równane konsttutwne (.75) jest dokładne take samo jak otrzmane wcześnej równane (.66). Efektwn współcznnk oporu dfuzjnego ma równeż dokładne taką samą wartość. Ops makroskopow dfuzj substancj to równane d d dc D 3 d ( ) o f o =. (.76) Przjęce f o = redukuje, oczwśce, równane (.76) do postac (.67). Przedstawona bezpośredna homogenzacja zagadnena jednowmarowej dfuzj mała z jednej stron zlustrować matematczne sformułowane metod homogenzacj, z drugej zaś stanowć wprowadzene wjaśnene podstawowch założeń stosowanch w metodze asmptotcznej homogenzacj. W tm celu koneczne jest dodatkowe uwpuklene właścwośc otrzmanego powżej rozwązana. Otóż:. Parametrzowane pole C () wkazuje charakter asmptotczn względem parametru (por. (.7) (.6)), tj. C ( ) = C ( á) () () ( ) C, C, (.77) gdze: C (), C () () C () () to, odpowedno, wrażena prz, w zależnośc (.7).. Wszstke człon tego rozwnęca zależne od zmennej = / są perodczne względem tej zmennej z okresem Y = l/ = L ( por. (.6), (.7) rs..9), co oznacza, że perodczność struktur ndukuje tlko perodczne fluktuacje parametrzowanego pola. Ampltuda tch fluktuacj może bć funkcją równeż (por. (.7)), częstotlwość tch fluktuacj zależ jednak tlko od = /. Traktując węc zmenne = / jako zmenne nezależne, parametrzowane pole można określć jako tzw. lokalne perodczne, tzn. perodczne tlko względem.

48 44 Otrzmane rozwązane C () może bć wrażone jak funkcja dwóch zmennch nezależnch: = /, prz oblczanu pochodnej przestrzennej należ jednak pamętać, że =. Gradent parametrzowanego pola C () można zatem oblczać d d jako dc ( ) C (, ) C (, ) =. (.78) d 3. Zmenna przestrzenna = / wstępuje tlko w parametrzowanm polu C (), będącm rozwązanem opsu mkroskopowego. Prz przejścu z, tzn. do C(), stanowącm rozwązane opsu makroskopowego, zmenna = / znka. Zmenna = / nazwana węc może bć mkroskopową zmenną przestrzenną. Makroskopową zmenną przestrzenną jest, gdż w opse makroskopowm wstępują operator pochodnej przestrzennej względem tlko tej zmennej. 4. Parametr mkrostruktur są tlko funkcją zmennej = / (zależność (.58)). Efektwn współcznnk oporu dfuzjnego jest tlko funkcją parametrów mkrostruktur wartość jego ne zależ od rodzaju wmuszena zewnętrznego. W przedstawonm powżej zagadnenu mkrostruktura ośrodka bła zdefnowana zależnoścą (.58). Proste całkowane dowodz, że wartość efektwnego współcznnka oporu dfuzjnego określa zależność eff D = Do = =. (.79) L 3 d π L cos L D ( ) L d L D Perwsza całka po prawej strone reprezentuje wartość średną po długośc pojednczej komórk perodcznośc. Druga całka to ponowne wartość średna po długośc pojednczej komórk perodcznośc, wmar komórk perodcznośc został jednak powększon w jednokładnośc o skal, a węc powększona komórka perodcznośc ma wmar analogczn do makroskopowego wmaru całego ośrodka, tzn. L. Przedstawone stwerdzena dotczące otrzmanego rozwązana jednowmarowej stacjonarnej dfuzj są fundamentem metod asmptotcznej homogenzacj, zwanej równeż metodą rozwnęć dwuskalowch. Metoda asmptotcznej homogenzacj poszukuje granc parametrzowanego rozwązana, zakładając, że parametrzowane pole opsu mkroskopowego wkazuje asmptotczn charakter względem parametru może bć przedstawone w postac rozwnęca asmptotcznego zależnego od dwóch zmennch przestrzennch oraz = / () () u ( ) = u (, ) u (, ) u (, )... =. (.8) o

49 Każd człon rozwnęca asmptotcznego (.8), tj. u () (, ), przjmuje sę ponadto jako Y-perodczn względem, tzn. dla ustalonego wartośc u () w odpowadającch sobe punktach na krańcach pojednczej komórk perodcznośc ( powększonej w jednokładnośc o skal ) są take same, tj. u ( ) ( ) (, Y ) = u (, ). 45 (.8) Zmenne traktuje sę węc jako dwe nezależne zmenne przestrzenne, modfkując równocześne operator pochodnej przestrzennej, tj. d d =. (.8) Poszukwane ekwwalentnego opsu makroskopowego polega na wprowadzenu rozwnęca (.8) do opsu mkroskopowego, z równoczesną zmaną operatorów pochodnej przestrzennej według (.8), a następne dentfkacj równań stojącch prz odpowednch potęgach parametru. W rezultace prowadz to do kaskad równań dla poszczególnch wrazów rozwnęca (.8). Nałożon na poszczególne element rozwnęca asmptotcznego u () (, ) warunek lokalnej perodcznośc (.8) powoduje, że rozwązana tak otrzmanch równań poszukuje sę w obrębe pojednczej komórk. Po dokonanu uśrednena po zmennej opsan proces prowadz do równań spełnonch przez perwsz człon rozwnęca (.8), które są nczm nnm, jak poszukwanm ekwwalentnm opsem makroskopowm rozważanego zagadnena. W celu przblżena metod rozważam, jako zagadnene modelowe, ponowne proces stacjonarnej dfuzj substancj przez mkronejednorodn (perodczn) ośrodek zajmując obszar Ω. Nech Ω jest obszarem ogranczonm w R N z brzegem Ω. Zgodne z procedurą homogenzacj rozważam rozwązana zagadnena brzegowego parametrzowanego przez C D f ( ) = w C ( ) = C ( ) na Ω, Ω, (.83) gdze: C () wartość stężena substancj w punkce Ω, dla ustalonego, C () zadana wartość stężena substancj na brzegu Ω, f() dodatkowe źródła dopłwu substancj, D () współcznnk dfuzj o wartoścach charakterstcznch dla każdego składnka ośrodka (rs..). Prz odpowednch założenach odnośne D () f (), którch w celu nekomplkowana prezentacj metod ne preczujem, zagadnene brzegowe (.83) ma jednoznaczne rozwązane.

50 46 Poneważ ośrodek jest perodczn, wobec tego = D D (.84) ponadto D() jest Y-perodczn w R N (Y = [, Y ] N, rs..). Rs... Ośrodek perodczn Γ Ω Y Υ Fg... Perodc medum Zgodne z opsaną procedurą metod asmptotcznej homogenzacj zakładam, że poszukwane rozwązane C () wkazuje charakter asmptotczn podstawam ( ).... ), ( ), ( ), ( () () C C C C = = (.85) Następne, po wprowadzenu (.85) do (.83a), z równoczesnm uwzględnenem prawa transformacj pochodnej (.8), otrzmujem ( ) C D ( ) ( ) ( ) C D C D C D () ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( () () () f C D C D C D C D [ ] = (.86) Następn krok to selekcja wrażeń stojącch prz kolejnch potęgach parametru przrównane ch do zera. Prz mam ( ). w ), ( Y C D = (.87)

51 47 Poneważ C (, ) jest Y-perodczne ze względu na zmenną, wobec tego 6 C (, )= C (). Na podstawe otrzmanej własnośc, równane prz przjmuje postać D C C () ( ) D ( ) = w Y. (.88) Pole C () traktujem teraz jako dane, gdż jest nezależne, a poszukujem, w obrębe pojednczej komórk perodcznośc Y, rozkładu C () (, ). Ze względu na lnow charakter tego równana (obowązuje zasada superpozcj), rozwązane ma postać () C ( ) () C (, ) = ω ( ) C ( ), (.89) () gdze C ( ) jest nezależne od zmennej (warunk brzegowe w postac perodcznośc pozwalają znaleźć rozwązane z dokładnoścą do stałej) oraz ω () jest rozwązanem zagadnena lokalnego (.88) prz = δk, tj. ( C ) ( ) k k ω ( ) δ k D ( ) D ( ) = w Y. (.9) k ω () mus, oczwśce, bć Y-perodczne, δ k oznacza smbol Kroneckera. Powższe zagadnene lokalne, jak sę późnej okaże, jest kluczowm prz określanu efektwnego współcznnka dfuzj (tensora, jeśl rozkład składnków jest anzotropow), stąd dodatkow komentarz. Zakładam, dla przejrzstośc analz, że rozważan ośrodek tworzą dwa składnk (rs..). Każd z tch składnków charakterzuje sę stałą wartoścą współcznnka dfuzj, tj. D oraz D (ndeks oznacza numer składnka). Składnk te zajmują w pojednczej komórce perodcznośc objętośc Y Y. Równane (.9) można węc, korzstając z funkcj charakterstcznch 7, zapsać w postac h ω ( ) k ω ( ) k ( ) δ D D h ( ) δ D D = w. k k Y k k 6 Istnene jednoznaczność rozwązana słabego rozważanch zagadneń brzegowch sformułowanch dla pojednczej komórk perodcznośc zapewna Lemat Laa Mlgrama (omówon np. w prac [83]). 7 h () =, jeśl Y, h () =, jeśl Y, podobne h () =, jeśl Y h () =, jeśl Y.

52 48 Po scałkowanu powższego równana oraz skorzstanu z twerdzena Greena otrzmujem ( ) ( ) ( ), ) ( ) ( ds N D D dv D h D h Γ Y k k k k = ω ω Γ powerzchna kontaktu składnków (rs..), N składowa wektora normalnego do powerzchn Γ skerowana od składnka Y do Y. Powższe równane całkowe mplkuje następujące sformułowane lokalne, tj. ( ) ( ), ) ( ) ( ) ( Γ k k k k N D D D h D h δ ω ω = gdze δ Γ delta Draca w przestrzen trójwmarowej w odnesenu do powerzchn rozdzału składnków Γ. Równane to oznacza, że pole ω () jest rozwązanem, w obrębe pojednczej komórk perodcznośc, równana dfuzj z wmuszenem zewnętrznm w postac skuponch na powerzchn Γ źródeł strumena mas o ntenswnośc (D D )N (rs..). Prz wznaczanu składowej ω () skupone na powerzchn Γ źródła strumena mas mają zwrot w kerunku os (rs..). Rozwązane ω () jest węc funkcją tlko parametrów mkrostruktur, tzn. geometr wzajemnego ułożena składnków w pojednczej komórce perodcznośc oraz ch wartośc współcznn- ków oporu dfuzjnego. Y Γ Y Y ω () (D D )N Γ ω () Y Y (D D )N N Y Rs... Grafczna nterpretacja lokalnego zagadnena brzegowego dla pola ω () Fg... Graphcal nterpretaton of local boundar value problem solved for ω () Ostatn krok procesu to uśrednene po objętośc Y równana prz, tzn. ( ) ( ) Y d C D C D Y () () ( ) ( ). ) ( () = f d C D C D Y Y (.9)

53 Po dokonanu w perwszej całce całkowana przez częśc (twerdzene Greena) otrzmujem 49 Y Y D C () ( ) D ( ) C () d = Y Y D C () C () ( ) D ( ) N ds, (.9) gdze: N składowa wektora normalnego do powerzchn Υ, Y objętość komórk Y. Warunek perodcznośc mplkuje zerowane sę całk po brzegu Υ w (.9), a wobec tego równane (.9) upraszcza sę do postac Y Y D C () C ( ) D ( ) d f ( ) =. (.93) Po podstawenu do równana (.93) w mejsce C () (, ) rozwązana (.89) otrzmujem Y Y D ω ( ) C ( ) k ( ) k δ d f ( ) =. k (.94) Po oznaczenu eff D k D k Y ω ( ) = δ Y ( ) k d (.95) równane (.94) można przedstawć w następującej postac D eff k C ( ) f ( ) =. k (.96) Równane (.96) to ops makroskopow dla zastępczego ośrodka jednorodnego, gdż wrażone jest tlko przez perwsz człon rozwnęca asmptotcznego (.85) (jedn, któr ne znka podczas przejśca, prz, do granc z parametrzowanm rozwązanem) oraz makroskopową zmenną przestrzenną. Dalsza węc analza zagadneń stojącch prz kolejnch potęgach w równanu (.86) jest zbędna. Tensor D eff to efektwn tensor dfuzj dla ośrodka ujednorodnonego. Równane (.9) sformułowane dla pojednczej komórk perodcznośc wraz z (.95) oraz wa-

54 5 runkam perodcznośc umożlwają jednoznaczne określene wartośc składowch tego tensora w funkcj wartośc współcznnków dfuzj każdego składnka ośrodka oraz geometr mkrostruktur. Opsan proces, jak wdać, jest skuteczn równocześne stosunkowo prost. Łatwość dochodzena do opsu makroskopowego jest wnkem zastąpena parametrzowanego pola szeregem asmptotcznm (.8), dlatego metoda jest nazwana metodą dwuskalowch rozwnęć asmptotcznch. Stosowane są równeż weloskalowe rozwnęca asmptotczne w modelowanu procesów zachodzącch w ośrodkach mkronejednorodnch o tzw. herarchcznej mkrostrukturze, tj. ośrodkach w którch wróżna sę wele dskretnch skal opsu matematcznego (np. [9]). Z punktu wdzena matematcznego metoda asmptotcznej homogenzacj daje wnk ścsł, jeżel parametrzowane pole rzeczwśce wkazuje charakter asmptotczn w postac (.8). Ab węc wnk bł matematczne rgorstczn, pownen bć uzupełnon o dowód, że lmc ( ) = C ( ). (.97) Brak dowodu (.97) czn wnk otrzman metodą asmptotcznej homogenzacj wnkem warunkowm, tj. ops makroskopow jest poprawn, jeżel parametrzowane pole może bć zastąpone szeregem asmptotcznm (.8) lub równoważne jeśl (.8) jest prawdzwe, to otrzman wnk jest poprawn. Zbeżność (.97), w matematcznch opracowanach pośwęconch metodze homogenzacj (np. [7], [37]), dowodz sę najczęścej za pomocą tzw. metod energ wprowadzonej przez Tartara. Metoda ta polega na poszukwanu granc rozwązana zagadnena brzegowego (.83) przez skorzstane z jego sformułowana waracjnego oraz odpowedn dobór funkcj testowej. W przpadku analzowanego zagadnena dfuzj, funkcja testowa stosowana w metodze energ ma postać ϕ ϕ ( ) ( ) = ϕ ( ) ω, (.98) gdze 8 : ϕ () D(Ω ) oraz ω (/) jest rozwązanem zagadnena lokalnego (.9). Metoda ta jest szczegółowo przedstawona, w zastosowanu do opsanego powżej zagadnena, mędz nnm w prac [7]. Powróćm ponowne do stosowanego w metodze asmptotcznej homogenzacj rozwnęca asmptotcznego (.8) (w przpadku analzowanego zagadnena dfuzj rozwnęce (.85)). Zauważm, że elementam faktczne stosowanm prz formułowanu opsu makroskopowego są tlko perwsze dwa człon rozwnęca asmptotcznego, tj. C C (). Dalsze element pojawają sę, gd równana są już uśrednane przez perodczność znkają (równane (.9)). Łatwo wwnoskować zatem, że 8 Defncje oznaczena stosowanch przestrzen funkcjnch są przedstawone w Dodatku.

55 podstawą metod asmptotcznej homogenzacj jest przjęce, że prz odpowedno małej wartośc parametru, parametrzowane pole C oraz gradent tego pola mogą bć aproksmowane przez (bezpośredna konsekwencja prawa transformacj pochodnej przestrzennej (.8)) C ( ) C ( ); C () ( ) C ( ) C (, ). 5 (.99) Wobec tego, sformułowane powżej stwerdzene wnk asmptotcznej homogenzacj jest poprawn, jeśl (.8) jest prawdzwe może bć zastąpone stwerdzenem: wnk jest poprawn, jeśl (.99) jest prawdzwe. Matematczne preczjn odpowednk zależnośc (.99), w którm stosuje sę tzw. pojęce zbeżnośc dwuskalowej, jest omówon w następnm punkce. Przedstawone tam twerdzena dają ogólne matematczne uzasadnene poprawnośc wnków metod asmptotcznej homogenzacj, prznajmnej dla dużej klas zagadneń.... Metoda zbeżnośc dwuskalowej Odmaną omówonej wcześnej asmptotcznej homogenzacj jest, zaproponowana rozwana w ostatnej dekadze, metoda zbeżnośc dwuskalowej (zob. Allare [7], Nguetseng [4]). Metoda ta wprowadza następujące nowe pojęce zbeżnośc (zob. przps 8.): Defncja. Cąg funkcj u w L (Ω) jest zbeżn dwuskalowo do u (, ) L (Ω Y), jeśl dla każdej funkcj testowej ϕ (, ) D(Ω ; C #(Y)) jest spełnone lm u ( ) ϕ, d u(, ) ϕ (, ) d d, = Ω Ω Y (.) gdze Y = [, ] N jest przeskalowaną pojednczą komórką perodcznośc. Bezpośrednej użtecznośc powższej defncj nadaje twerdzene udowodnone po raz perwsz przez Nguetsenga [4], tj. Twerdzene. Z każdego ogranczonego cągu u w L (Ω ) można wbrać podcąg, któr jest zbeżn dwuskalowo do u (, ) L (Ω Y ). Defncja. wraz z twerdzenem. mplkują równeż tzw. zbeżność słabą cągu w L (Ω ). Zauważm bowem, że jeśl u jest zbeżn dwuskalowo do u (, ), to zgodne z defncją. równość (.) mus bć spełnona dla dowolnej funkcj testowej ϕ (, ) D(Ω ; C # (Y )). Wobec tego, w szczególnośc, równeż dla ϕ () D(Ω )

56 5 lm u ( ) ϕ Ω Ω Y ( ) d = u (, ) d ϕ ( ) d, (.) co oznacza, że u jest zbeżn w L (Ω ) w sense słabm do wartośc średnej u (, ), oblczonej po objętośc pojednczej komórk perodcznośc. Twerdzene. jest matematcznm uzasadnenem perwszego członu rozwnęca asmptotcznego (.8) dla wszstkch cągów ogranczonch w L (Ω ), w tm sense, że zapewna stnene granc u (, ), do której cąg jest zbeżn dwuskalowo. Praktczne stosowane metod zbeżnośc dwuskalowej polega na: sprawdzenu ogranczonośc cągu będącego rozwązanem zagadnena mkroskopowego, pomnożenu równana spełnonego przez parametrzowan cąg przez perodczne osclującą funkcję testową ϕ (, /), przejścu do granc, która w efekce prowadz do poszukwanego opsu makroskopowego. Przed omówenem metod zbeżnośc dwuskalowej do zagadnena modelowego, analzowanego w poprzednm punkce (zagadnene dfuzj), podano dwa twerdzena, udowodnone równeż przez Allare a w prac [7], które będą sukceswne wkorzstwane. Inne twerdzena, ne mnej ważne, cztelnk znajdze równeż w prac [7]. Twerdzene.3 Nech u jest cągem funkcj w L (Ω ), któr jest zbeżn dwuskalowo do u (, ) L (Ω Y ). Jeśl dodatkowo lm u = u ( ) ( ), L Ω L Ω Y (.) to dla każdego cągu v, któr jest zbeżn dwuskalowo do v (, ) L (Ω Y ) mam u ( ) v ( ) u(, ) v(, ) d. Y Ponadto, jeśl u (, ) L (Ω ; C # (Y )), to, lm u ( ) u L ( Ω). (.3) (.4) Twerdzene.4 Nech u jest cągem ogranczonm w H (Ω ). Wted, co do podcągu, u jest zbeżn dwuskalowo do u () H (Ω ) u jest zbeżn dwuskalowo do u u, gdze u (, ) L (Ω ; H # (Y )/R) 9. 9 H # (Y )/R jest tzw. przestrzeną lorazową co oznacza, że u (, ) może bć określon jedne z dokładnoścą co do stałej nezależnej od ; oznaczają odpowedno operator gradentu względem współrzędnej.

57 53 Zauważm, że twerdzene.3 rozszerza klasę dopuszczalnch funkcj testowch o wszstke te funkcje, które są zbeżne dwuskalowo spełnają (.). Twerdzene.4 jest uzasadnenem drugego członu rozwnęca asmptotcznego (.8), w tm sense, że zapewna zbeżność dwuskalową gradentu parametrzowanego cągu. Twerdzene to potwerdza równeż prawdzwość, w sense zbeżnośc dwuskalowej, zwązku (.99). Powróćm teraz do zagadnena dfuzj opsanego w poprzednm punkce. Dodatkowo przjmujem, w celu zapewnena stnena jednoznacznośc rozwązana słabego zagadnena (.83), że ( ) ( ), ; ) ( L Ω f D < β α (.5) gdze α, β są odpowedno współcznnkam dfuzj dla każdego składnka ośrodka (rs..). Można ponadto udowodnć (np. [7]), że cąg rozwązań spełna następujące ogranczene ( ), ) ( ) ( ) ( Ω L Ω H f A C (.6) gdze stała A ne zależ od parametru. Oznacza to, że cąg C jest ogranczon w (Ω ). H Korzstając teraz z twerdzena.4, oczekujem, że poszukwan cąg będze sę zachowwał jak C () C (, ) (podobne jak perwsze człon rozwnęca asmptotcznego (.85)). Wobec tego jako funkcję testową wberam ( ),, ϕ ϕ (.7) gdze: ( ) ( ) ). ; (, ), ( # C Ω Ω D D ϕ ϕ Po pomnożenu równana (.83a) przez funkcję testową (.7) oraz scałkowanu po objętośc obszaru uzskujem ( ) ( ) ( ).,, = d f d C D Ω Ω ϕ ϕ ϕ ϕ (.8) Całkowane przez częśc zastosowane warunku zerowana sę wartośc funkcj testowch na brzegu obszaru transformuje równane (.8) do postac ( ) d D C Ω ϕ ϕ ϕ,, ( ) ( )., = d f Ω ϕ ϕ (.9)

58 54 Traktując teraz ( ) D ϕ ϕ, (.) jako funkcję testową, zgodne z twerdzenem.3, przechodzm do granc dwuskalowej dla sformułowana (.9). Na podstawe twerdzena.4 otrzmujem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )., = Ω Ω Y d f d d D C C ϕ ϕ ϕ (.) Powższe sformułowane ma jedno rozwązane : (C, C ) H (Ω ) L (Ω H (Y )/R), a wobec tego każd podcąg jest zbeżn do tej samej granc w konsekwencj całe cąg C C są zbeżne odpowedno do C () C C. Zauważm, że (.) jest prawdzwe dla każdej par (ϕ, ϕ ) D(Ω ) D(Ω ; Po podstawenu ϕ ). # C = otrzmujem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), = Ω Ω Y d f d d D C C ϕ ϕ (.) które, po przekształcenu, prowadz do ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = Ω Ω Y d f d d C C D ϕ ϕ (.3) Równane (.3) mplkuje następujące sformułowane lokalne ( ) ( ) ( ). = f d C C D Y (.4) Podobne prz ϕ = ϕ, tm razem z warunkem perodcznośc, równane (.) prowadz do zagadnena lokalnego w postac ( ) ( ) ( ). = C D C D (.5) Jest ono tm samm równanem, co otrzmane równane (.88) prz zastosowanu metod asmptotcznej homogenzacj. Wobec tego, po podstawenu rozwązana Dowód stnena jednoznacznośc rozwązana przedstawł Allare w pracach [7] [74].

59 (.89) do (.4), otrzmujem dentczn jak poprzedno, tzn. (.96), makroskopow ops analzowanego procesu. Udowodnlśm ponadto równocześne zbeżność (.97), potwerdzając tm samm, że metoda asmptotcznej homogenzacj prowadz do poprawnego rozwązana Metoda Γ-zbeżnośc Pojęce Γ-zbeżnośc zwązane jest bezpośredno ze zbeżnoścą funkcjonałów, a zdefnowane jest następująco (dal Maso [54]): Defncja.5 Nech (X, d ) z elementam u X jest przestrzeną metrczną z odległoścą d (d : X X {}) oraz I jest cągem funkcjonałów zdefnowanch na X (I : X ). Cąg funkcjonałów jest Γ-zbeżn do I : X, jeśl dla dowolnego u X: a) u u I ( u) lm nf I ( u ), b) u u I ( u) = lm I ( u ). Użtecznośc tego abstrakcjnego pojęca nadaje twerdzene o zbeżnośc wartośc mnmalnch funkcjonałów elementów ch mnmalzującch, a manowce: Twerdzene.6 Jeśl I jest Γ-zbeżn do I : X oraz stneje zbór zwart K X, tak że nf I ( u) = nf I ( u), to: u X u K a) mn I ( u) = lm (nf I ( u)), u X u X b) jeśl u u lm I ( u ) = lm (nf I ( u)), to u mnmalzuje I u X Przedstawona Γ-zbeżność (Γ-granca) jest termnem matematcznm stosunkowo nowm. W celu przblżena pojęca Γ-granc, jak równeż jego zastosowana w teor homogenzacj, wkorzstam ponowne otrzmane wcześnej rozwązane zagadnena jednowmarowej stacjonarnej dfuzj opsanej równanem (.59). Rozwązane to ma postać (.6), tj.. prz czm C π C ( ) = C sn, (.6) L 3 4π L lmc L ( ) = C( ) = C. (.7)

60 56 Zagadnene (.59) wraz z warunkam brzegowm jest równoważne następującemu zagadnenu mnmalzacj funkcjonału (analogczne do przedstawonej wcześnej mnmalzacj energ potencjalnej p...), tj. znajdź C () K(C ), dla którego funkcjonał F osąga swoje mnmum, tzn. U nf F U K ( C ) ( ) = D ( ) L ( U ) = D ( ) ( ) du ( ) du d L du d = d d ( ) du ( ) L D d ( ) gdze: ( C ) = U ( ) H ([, L] ) U ( = ) = C U ( = L) d dc d { } = ( ) dc ( ) d d, (.8) (.9) K oznacza zbór wszst- kch dopuszczalnch, ze względu na przjęte warunk brzegowe, rozwązań oraz D () określone jest równanem (.58) W celu przblżena znaczena Γ-granc określm ją dla funkcjonału (.8). Skorzstam z twerdzena (.6) oraz z faktu, że C () dane równanem (.6), jako rozwązane równoważnego sformułowana (.59), mnmalzuje funkcjonał (.8). Zgodne z twerdzenem.6 mam U mn F K ( C ) ( U ) = lm U nf F U K ( C ) ( ), (.) gdze przez F (U ) oznaczono poszukwaną Γ-grancę funkcjonału F (U ). Za pomocą równana (.6) możem bezpośredno oblczć wartość wrażena po prawej strone równośc (,), manowce lm = lm nf F U K ( C ) ( ) = lm D ( ) U L D ( ) d d C L dc d ( ) d C π sn d L 3 4π L C = lm D L π cos L L = C lm D 3 L L π cos d L cos 3 π L C = D L. (.) 3 L d

61 Ponadto, korzstając z równana (.7) określającego C(), równość (.) można przedstawć jako 57 L ( ) ( ) lm nf ( ) dc dc F U = D d U K C 3 d d ( ). (.) Prawa strona (.) przedstawa wartość mnmalną funkcjonału L du ( ) du ( ) F ( U ) =, D d (.3) 3 d d gdż funkcja C(), jako rozwązane zagadnena makroskopowego (.68), jest równeż rozwązanem równoważnego zagadnena mnmalzacj powższego funkcjonału. Wobec tego, zgodne z (.), funkcjonał (.3) jest Γ-grancą funkcjonału F (U ) (.8). Podsumujm w punktach, w zastosowanu do teor homogenzacj, otrzman wnk, tj.:. Praktczne wkorzstane Γ-zbeżnośc w teor homogenzacj polega na: a) przeformułowanu opsu mkroskopowego na równoważne zagadnene waracjne mnmalzacj funkcjonału; b) Γ-granca funkcjonału opsu mkroskopowego jest funkcjonałem, którego mnmalzacja stanow poszukwan ops makroskopow dla zastępczego ośrodka jednorodnego.. Przedstawone twerdzene.6, w przecweństwe do metod asmptotcznej homogenzacj, jak metod zbeżnośc dwuskalowej, ne daje jednak żadnej wskazówk, jak poszukwać elementu mnmalzującego funkcjonał mkroskopow oraz Γ-grancę tego funkcjonału. W przedstawonm przkładze jednowmarowej stacjonarnej dfuzj, twerdzene.6 bło użteczne prz określanu Γ-granc tlko dlatego, że znana bła postać funkcj (rozwązane (.6)) mnmalzującej funkcjonał opsu mkroskopowego oraz jej granca prz (równane (.7)). Umożlwło to krok (.) (.3) prowadzące do Γ-granc analzowanego funkcjonału. Zattułowane nnejszego podrozdzału jako metoda Γ-zbeżnośc oznacza, że stneją jednak wnk, które pozwalają na bezpośredne wkorzstane pojęca Γ-zbeżnośc do poszukwana opsu makroskopowego. Perwsz z przedstawonch dalej wnków (otrzman przez Marcellnego [6]) stwerdza: Twerdzene.7 Nech W(, E ) jest funkcją wpukłą ze względu na drug argument oraz perodczną ze względu na perwsz, wted, jeśl dla pewnego p > stneją dwe stałe < λ Λ, take że p λ E W (, E) Λ( E ), (.4) p

62 58 to I ( u) = W, u ( ) f ) Ω ( ) u ( d (.5) jest Γ-zbeżn do funkcjonału I(u) I ( ) d, h ( u) W ( u ( ) ) f ( ) u ( ) = (.6) Ω gdze potencjał zastępcz W h jest zdefnowan W h ( E) = ξ W # nf W, p ( Y ) Y Y (, E ξ ( ) ) d. (.7) Drug wnk (otrzman przez Müllera [7]) to rozszerzene powższego twerdzena o przpadek, gd W(, E ) jest newpukła, np. geometrczne nelnowa sprężstość. Γ-granca jest ponowne zdefnowana równanem (.6), jednak potencjał zastępcz tm razem defnuje następujące zagadnene mnmalzacjne, tj. W h ( E) = nf k N ξ W # nf W, p N ( ky ) k Y ky (, E ξ ( ) ) d. (.8) W powższch zwązkach Y oznacza, tak jak dotchczas, przeskalowaną pojednczą komórkę perodcznośc. Podstawowa różnca mędz równanam (.7) a (.8) to obszar, w którm poszukujem rozwązana mnmalzującego funkcjonał. Gd potencjał jest newpukł, wówczas poszukwane elementu mnmalzującego jest ne tlko w obrębe pojednczej komórk perodcznośc (tak jak w (.7)), ale ch kolekcj. Innm słow N obszar, w którm funkcjonał osąga wartość mnmalną, tworz w ogólnośc k (N = zagadnene jednowmarowe, N = zagadnene dwuwmarowe, N = 3 zagadnene przestrzenne) pojednczch komórek perodcznośc k należ wznaczć. Zatem a pror ne znam, w termnolog metod wgładzana, rozmaru REO. Ten efekt jest wnkem utrat wpukłośc potencjału. Wnk (.8), poza metodą Γ-zbeżnośc, jest neosągaln metodam omówonm wcześnej. W celu lustracj praktcznego stosowana twerdzena.7 rozważam ponowne zagadnene homogenzacj procesu dfuzj substancj opsanego układem (.83) (to samo zagadnene, które analzowane bło: metodą asmptotcznej homogenzacj metodą zbeżnośc dwuskalowej). Sformułowane waracjne opsu mkroskopowego to mnmalzacja następującego funkcjonału F ( U ) = Ω U D ( ) U ( ) d Ω f ( ) U ( ) d. (.9)

63 59 Oczwśce, poszukwane parametrzowane pole C () to rozwązane równana ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). mn d C f d C C D U F Ω Ω Ω H U = (.3) Korzstając z twerdzena.7, oblczam zgodne ze wzorem (.7) potencjał zastępcz, tj. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). nf # d C C C C D Y C W Y Y H C h = (.3) Nech C ( ) jest rozwązanem powższego zagadnena, wted [83] ( ) ( ) Y H V # ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ], = = λ λ λ λ d V C C V C C D Y Y (.3) co prowadz do następującego równana ( ) ( ) ( ) ( ) # = d V C C D Y H V Y. (.33) Dodatkowe całkowane przez częśc wkorzstane warunku perodcznośc daje ( ) ( ) ( ) ( ). # = d V C C D Y H V Y (.34) Powższe równane mplkuje zagadnene lokalne otrzmane już wcześnej metodą asmptotcznej homogenzacj, tj. (.88). Wobec tego, korzstając z rozwązana zagadnena (.88), tj. równana (.89), możem zapsać ( ). ) ( ) ( k k C C = ω (.35) Poneważ C ( ) mnmalzuje funkcjonał (.3), wobec tego zależność (.3) można przedstawć w postac ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = Y Y h d C C C D d C C C D Y C W (.36)

64 6 Uwzględnając jednak, że (.33) mus bć spełnone V ( ) H (Y ), węc równeż dla V( ) = C (), zależność (.36) upraszcza sę do ( ) ( ) # h C C C C W = ( ). D d (.37) Y Y Po podstawenu równana (.35) do wzoru (.37) otrzmujem ostateczną postać potencjału zastępczego, tj. lub gdze W h C ( ) ω = D ( ) Y Y D W eff k h = C Y ( ) Y D = D ( ) ( ) C C k δ k d (.38) k eff C C k k ω k δk ( ), d (.39) (.4) jest efektwnm tensorem dfuzj dla ośrodka ujednorodnonego. Zwązek ten jest dokładne tak sam jak otrzman metodą asmptotcznej homogenzacj ( por. (.95)). Zgodne z twerdzenem (.7) Γ-granca ma węc postać F ( C ) ( ) C ( ) eff C Dk f ( ) C( ) d. = (.4) k Ω Zagadnene mnmalzacj powższego funkcjonału to ops makroskopow dla ośrodka ujednorodnonego, tzn. ( ) ( ) eff C C mn f C d ( ) Dk C H Ω k Ω ( ) ( ). (.4) Ops ten jest równoważn lokalnemu sformułowanu opsu makroskopowego (.96), otrzmanego metodą asmptotcznej homogenzacj...4. Skalowane opsu mkroskopowego Omówone wcześnej matematczne sformułowane teor homogenzacj opsuje pewną wdealzowaną stuację, tj. żąda sę, ab wmar nejednorodnośc zdążał do zera. W rzeczwstch ośrodkach spotkam sę jednak z zagadnenem odwrotnm,

65 tj. wmar nejednorodnośc jest dan (określon), kontrolowana natomast może bć welkość próbk branej do ekspermentu. Cz wobec tego przedstawon wcześnej proces mślow matematcznej teor homogenzacj jest adekwatn do procesu poszukwana ekwwalentnego opsu dla ośrodków rzeczwstch? Odpowedź jest poztwna, pod warunkem jednak, że ops mkroskopow będze przeskalowan odpowedno do analzowanego procesu (np. Aurault [6], Hornung [74], Strzeleck [47]). Przed zlustrowanem tego stwerdzena odpowednm przkładam, wjaśnm najperw, dlaczego w sformułowanu matematcznm teor homogenzacj wzrost lczb nejednorodnośc w próbce realzuje sę przez sukceswne pomnejszane, prz jednocześne ustalonm wmarze próbk, wmaru nejednorodnośc, a ne przez powększane wmaru próbk prz ustalonm wmarze nejednorodnośc. Powód jest, oczwśce, natur czsto matematcznej, tzn.: ab poszukwać, prz, granc parametrzowanego rozwązana, mus bć ono rozpęte na stałm obszarze. Po druge, w celu udowodnena, że z cągu parametrzowanch rozwązań można wbrać podcąg zbeżn, parametrzowane rozwązane mus bć ogranczone, a to na ogół wmaga ogranczonośc obszaru, nad którm są rozpęte te funkcje. Sposób pomnejszana pojednczej komórk perodcznośc, w matematcznm sformułowanu metod homogenzacj, ne jest dowoln. Dokonuje sę tego w transformacj przez jednokładność o skal. Transformacja ta zachowuje, możlwe werne, wększość cech strukturalnch ośrodka. Na ogół wszstke bezwmarowe cech geometrczne mkrostruktur, take jak: udzał frakcjn składnków ośrodka, względne odległośc mędz składnkam ośrodka, kształt poszczególnch nejednorodnośc ne ulegają zmane (rs..3). 6 l d d l d/l = d /l Rs..3. Transformacja w jednokładnośc pojednczej komórk perodcznośc Fg..3. Homothetc transformaton of perodc unt cell Element charakterzujące mkrostrukturę z manam ( jednostkam), na przkład: odległośc, powerzchn, są wrażlwe na take transformacje, tzn. wartośc ch zależą od aktualnej skal jednokładnośc, w której przetransformowana została pojedncza komórka perodcznośc. W przpadku ośrodka porowatego na przkład drastcznej

66 6 zmane ulega wartość powerzchn wewnętrznej na jednostkę objętośc ośrodka (rs..4). Jeśl V oznacza marę objętośc pojednczej komórk perodcznośc ( przed jej transformacją w jednokładnośc) oraz S marę powerzchn wewnętrznej ( powerzchna mędz całem stałm a poram), to po transformacj w jednokładnośc o skal odpowadające m welkośc to: V = 3 V S = S. Wobec tego wartość powerzchn wewnętrznej w jednostkowej objętośc ośrodka, po transformacj pojednczej komórk perodcznośc w jednokładnośc o skal, przjme wartość S κ = 3 V = κ, (.43) gdze: κ = S /V powerzchna właścwa ośrodka przed jego transformacją w jednokładnośc, κ powerzchna właścwa ośrodka po jego transformacj w jednokładnośc o skal. l /8 R R / /4 R R κ = πr/l κ = κ κ 8 = 8 κ Rs..4. Zman wartośc powerzchn właścwej spowodowanej transformacją jednokładną Fg..4. Varatons of specfc surface due to homothetc transformaton W przpadku węc analz procesów, w którch powerzchna właścwa lub nn parametr mkrostruktur, wrażlw na transformacje jednokładne, wpłwa na własnośc efektwne ośrodka, wartośc parametrów efektwnch zależeć będą od wmaru pojednczej komórk perodcznośc. Ponadto, prz przejścu do granc z parametrzowanm polem, prz, otrzmam wted zbeżnośc: do zera lub do neskończonośc. Z tego względu w takch przpadkach proces homogenzacj mus bć rozuman jako formułowane opsu zastępczego dla ośrodka o określonm wmarze nejednorodnośc odpowedno dużm wmarze całej objętośc, tzn. lczba komórek

67 generującch przez perodczność rozważan ośrodek mus bć bardzo duża. Take sformułowane mplkuje koneczność przeskalowana opsu mkroskopowego. Ponżej przedstawam skalowane procesu przepłwu neścślwej lepkej cecz Newtona przez ośrodek porowat. W celu uproszczena analz zakładam dodatkowo, że przestrzeń porową ośrodka tworzą kanalk o stałm przekroju kołowm wzdłuż ch długośc (rs..5). Analzujem wnk dwóch jakoścowo różnch ekspermentów (rs..5), tj. prz ustalonm wmarze próbk L żądam, ab wmar pojednczej komórk perodcznośc l (sformułowane matematczne) oraz prz ustalonm wmarze komórk perodcznośc l żądam, ab L (ten eksperment nazwam sformułowanem fzcznm). Tworzene ośrodka w tch dwóch sformułowanach odbwa sę następująco: w perwszm kroku konstruowan jest ośrodek porowat z N (nezdeformowanch) komórek perodcznośc, tak ab otrzmać, żądan w sformułowanu matematcznm, wmar próbk L. Obszar zajmowan przez ośrodek porowat w sformułowanu matematcznm, oznaczan przez f Ω m Ω 63, jest węc w tm kroku analogczn do obszaru zajmowanego przez ośrodek w sformułowanu fzcznm (rs..5). Następne realzowane jest sukceswne zwększane lczb komórek perodcznośc w tch dwóch sformułowanach, tj.: w sformułowanu matematcznm przez pomnejszane wmaru komórk perodcznośc w jednokładnośc o skal /k, natomast w sformułowanu fzcznm przez sukceswne, prz stałm wmarze komórk perodcznośc, zwększane obszaru. Obszar zajmowane przez te ośrodk w kroku k są węc oznaczane m f f Ω k m Ω /k odpowedno przez Ω / k oraz Ω k (rs..5), gdze ndeks doln oznacza bądź skalę jednokładnośc, w której przetransformowana została komórka perodcznośc (sformułowane matematczne), bądź stosunek aktualnego wmaru próbk do wmaru początkowego (sformułowane fzczne). Odpowadające tm obszarom powerzchne kontaktu płnu z całem stałm oznaczane są odpowedno przez Γ/k Γ k (rs..5). Tak sposób tworzena, w tch dwóch sformułowanach, ośrodków pozwala na cągłe zachowane ch podobeństwa. Zauważm, dla ustalonej wartośc parametru k, obszar jest odwzorowanem obszaru w jednokładnośc o skal /k. Umożlwa to, w obu sformułowanach, parametrzację analzowanego procesu tm samm parametrem k. Równana konsttutwne neścślwej lepkej cecz Newtona mają postać [88] v v j σ = p δ µ, (.44) j gdze: σ składowa tensora naprężena cecz, p cśnene cecz, v składowa wektora prędkośc cecz, µ lepkość cecz, δ smbol Kroneckera.

68 64 komórka perodcznośc l R Γ l sformułowane matematczne l sformułowane fzczne l l m Ω Γ f Ω Γ L l L =L l / m Ω / Γ / Γ f Ω L L =L m Ω /k l /k P P f Ω k l k(p P ) Γ /k L k =kl Γ k L /k L k =kl Rs..5. Geometrczna lustracja sformułowana matematcznego fzcznego procesu fltracj Fg..5. Geometrcal representaton of mathematcal and phscal formulatons of fltraton process

69 Warunek neścślwośc cecz to v =. 65 (.45) Prz odpowedno małm gradence cśnena małej wartośc stosunku średnc kanalka do jego długośc, pomając zaburzena prz końcach kanalka, przepłw cecz jest przepłwem lamnarnm nazwa sę go przepłwem Poseulle a (Landau Lfszc [88]). Przepłw ten charakterzuje stała wartość, wzdłuż kanalka, gradentu cśnena oraz dla ustalonej wartośc gradentu cśnena stała wartość strumena cecz przepłwającej przez pojedncz kanalk. Wartość strumena cecz (równoważne: średna prędkość cecz w kanalku) jest proporcjonalna do kwadratu średnc R ( P P ), kanalka oraz gradentu cśnena, tj. v = 8µ L (.46) gdze: v średna prędkość cecz w kanalku (w kerunku (rs..5)), R promeń kanalka, L długość kanalka, (P P ) różnca cśneń na końcach kanalka. Zależność (.46) jest ważna tlko dla przepłwów, którm towarzsz warunek pełnej adhezj, tzn. zerowa wartość wektora prędkośc cecz na powerzchn kontaktu z całem stałm. Zauważm, w sformułowanu matematcznm stosunek średnc kanalka do jego długośc, dla ustalonej wartośc k, jest równ R/ k R =, (.47) L kl gdze: R promeń kanalka w nezdeformowanej komórce perodcznośc (rs..5), R /k = R/k promeń kanalka w komórce perodcznośc po jej transformacj w jednokładnośc o skal /k, L długość próbk w sformułowanu matematcznm. Analogczna wartość, dla tej samej wartośc k, charakterzuje ośrodek w sformułowanu fzcznm, tj. R R =, (.48) Lk kl gdze: L k = kl aktualna długość próbk w sformułowanu fzcznm (rs..5). Wprowadzene w ksążce Landau Lfszc [88, s ]. Przedstawon tam wzór opsuje wartość mas cecz Q przepłwającej w jednostce czasu przez przekrój kanalka. Wzór (.46) jest bezpośredną konsekwencją tożsamośc v = Q/(ρπR ), gdze: ρ gęstość cecz.

70 66 / Wobec tego, prz dostateczne dużej wartośc k, zarówno w sformułowanu matematcznm, jak sformułowanu fzcznm, przepłw cecz przez por ośrodka jest przepłwem Poseulle a. Ab zachować warunek podobeństwa obu mślowo prowadzonch ekspermentów, wraz ze wzrostem długośc próbk (sformułowane fzczne), różnca cśneń na końcach próbk jest w sformułowanu fzcznm proporcjonalne powększana (rs..5), tak ab gradent cśnena cecz (sła wmuszająca przepłw) ne ulegał zmane wraz ze zmaną k. Po oznaczenu, w sformułowanu matematcznm, parametrzowanego pola cśnena przez p k ( ) oraz pola prędkośc przez ( ) vk (pozostałe składowe pola prędkośc są równe zeru w przepłwe Poseulle a) zgodne z (.46) możem zapsać / k v = / ( P P ) R ( P P ) R/ k = 8µ L k 8µ L oraz (gradent cśnena jest stał wzdłuż kanalka) / p k P P =. L Podobne postępując, w sformułowanu fzcznm otrzmujem (.49) (.5) k v ( P P ) R ( P P ) =, R k = 8µ L 8µ L k (.5) gdze: p k ( ) ( ) vk p k P = L P, (.5) odpowedno, parametrzowane pola: cśnena prędkośc cecz w sformułowanu fzcznm, współrzędna przestrzenna w sformułowanu matematcznm, współrzędna przestrzenna w sformułowanu fzcznm (obszar jest odwzorowanem obszaru f Ω k m Ω /k w jednokładnośc o skal /k, wobec tego: k = ). Otrzmane zależnośc (.49) (.5) wskazują, że w tch dwóch sformułowanach gradent cśnena cecz ma tę samą wartość, tj. / k p k p =, (.53)

71 67 natomast prędkośc zwązane są relacją / k k v = v. (.54) k Oznacza to, że w sformułowanu fzcznm średna prędkość przepłwającej cecz zdąża do stałej wartośc, natomast w sformułowanu matematcznm zdąża do zera. Wobec tego, ab proces matematcznej teor homogenzacj bł adekwatn do poszukwana ekwwalentnego opsu dla procesu przepłwu płnu przez ośrodek porowat, ops mkroskopow mus bć przeskalowan. Zależnośc (.49) (.54) wskazują na bezpośredną przcznę skalowana tego procesu, tj. średna wartość prędkośc cecz jest proporcjonalna do kwadratu wartośc promena poru, która to wartość ulega drastcznm zmanom w transformacjach jednokładnch pojednczej komórk perodcznośc. Prz ustalonej wartośc lepkośc cecz zmnejszene promena poru powoduje węc proporcjonaln wzrost oporu przepłwu, co w konsekwencj daje spadek wartośc prędkośc cecz, w granc, aż do zera. Ab węc skompensować sztuczn wzrost oporu przepłwu spowodowan matematczną operacją przekształcana w jednokładnośc pojednczej komórk perodcznośc, należ równocześne zmnejszć tle samo lepkość cecz. W ten sposób charakter przepłwu cecz wartość pól: cśnena prędkośc cecz w sformułowanu matematcznm będą dokładne take same, jak w sformułowanu fzcznm. Skalowane opsu mkroskopowego polega zatem na sukceswnm, wraz ze zmnejszanem sę promena poru, zmnejszanem lepkośc cecz (zob. Hornung [74]), tzn. / / k k / k / k µ v v j σ = p δ. (.55) k j W metodze homogenzacj parametrzacj opsu mkroskopowego dokonuje sę, omówonm wcześnej, parametrem skal, reprezentującm aktualną skalę jednokładnośc, w której przetransformowana została pojedncza komórka perodcznośc. Wobec tego = /k oraz v v j σ = p δ µ. (.56) j Powższ zwązek mplkuje następującą postać przeskalowanch równań równowag cecz (przjęto przepłw lamnarn, a węc człon nercjne są pomnęte), tj. v p µ = =,, 3. (.57) j j Warunek neścślwośc cecz (.45) ne ulega, oczwśce, zmane.

72 68 Przedstawon przeskalowan ops mkroskopow (.56) (.57) przepłwu cecz przez ośrodek porowat otrzmano, korzstając z rozwązana Poseulle a. Wobec tego otrzmane równana są ważne dla przepłwów, w którch człon nercjne są pomalne oraz na powerzchn kontaktu mędz całem stałm a ceczą ne wstępuje zjawsko poślzgu (warunek pełnej adhezj). Zależne od wartośc różnc cśneń przłożonej na końcach próbk nasconego ośrodka porowatego, jak równeż od geometr przestrzen porowej, powższe założena ne muszą, oczwśce, bć spełnone może bć możlwe nne skalowane opsu mkroskopowego. Na przkład wpłw geometr przestrzen porowej, a dokładnej rozmarów cząstek cała stałego, na naturę przepłwu cecz lustrują wnk otrzmane przez Allare a (rozdz. 3. w [74]). W rozważanach swoch Allare traktuje cząstk cała stałego jakb bł zaweszone w cecz (cząstk są bardzo małe), ale równocześne jako neruchome. Analzuje możlw makroskopow (ujednorodnon) ops zachowana sę cecz w zależnośc od wmaru cząstk stałej a znajdującej sę w pojednczej komórce perodcznośc o wmarze, przjmując równocześne a /. W zależnośc węc od wmaru cząstk cała stałego otrzmuje trz możlwe ops makroskopowe przepłwu cecz. Perwsz ops makroskopow, którego można bło oczekwać, to równana Stokesa. Istneje jednak krtczna welkość cząstek, prz której mkroskopowe równana przepłwu lepkej cecz Newtona prowadzą do opsu makroskopowego wrażonego przez prawo Brnkmana. Gd wmar cząstk przekracza zdecdowane welkość krtczną, ops makroskopow przepłwu cecz rządzon jest przez prawo Darc ego. Przpadk skalowana opsu mkroskopowego dla nestacjonarnego przepłwu lepkej cecz Newtona, wraz z otrzmanm na drodze homogenzacj opsam makroskopowm, są przedstawone w pracach [3], [74], [8], [37]. Podsumowując, koneczność skalowana opsu mkroskopowego przepłwu cecz przez ośrodek porowat jest wnkem dwóch faktów. Po perwsze, parametr efektwne przepłwu ( parametr opsu makroskopowego) są ne tlko funkcją względnch wmarów przestrzen porowej, ale przede wszstkm jej bezwzględnego wmaru. Oznacza to, że pomnejszane lub powększane w jednokładnośc o skal k pojednczej komórk ośrodka porowatego prowadz do zman wartośc parametrów efektwnch przepłwu. Po druge, różne skalowane opsu mkroskopowego przepłwu cecz przez ośrodek porowat jest wnkem, możlwej, różnej natur zachowana sę płnu w przestrzen porowej, np. domnacj sł nercjnch nad lepkm odwrotne. Uwdocznają to wnk badań laboratorjnch (Ceślck Lasowska [46]) przedstawające, dzęk zastosowanu specjalnej technk wzualzacj, różną naturę przepłwu cecz, spowodowaną różną geometrą przestrzen porowej, jak równeż wartoścą gradentu cśnena cecz wmuszającego przepłw. W przpadku ośrodków gruntowch skalnch przjmuje sę jednak najczęścej (np. Kavan [79], Sparks [46], Thel [55] n.), że przepłw jest woln lamnarn. Wobec tego w dalszej częśc nnejszej monograf do analz procesów zachodzącch

73 w nasconch ośrodkach gruntowch skalnch stosowane będą równana (.56) (.57). W przpadku mkronejednorodnego cała stałego na ogół efektwne parametr ośrodka są newrażlwe na transformacje pojednczej komórk w jednokładnośc o dowolnej skal. Ilustrują to na przkład otrzmane zwązk (.9) (.95) defnujące wartośc składowch efektwnego tensora dfuzj. Zauważm, jeśl tensor ten zależałb od wmaru komórk perodcznośc, wted 69 k D l D l, gdze: D l składowe tensora dfuzj oblczone dla komórk perodcznośc o wmarze Y, k D l składowe tego tensora oblczone dla komórk perodcznośc o wmarze ky. k Po oznaczenu przez ω ( kl ) rozwązana zagadnena lokalnego (.9) dla komórk o wmarze ky otrzmujem tożsamość k ω k ( k ) j l k ω = ( k ) l ( k ). Wobec tego rozwązana zagadnena lokalnego (.9) dla komórk perodcznośc o wmarze ky Y zwązane są relacją k ( k ) kω ( ), ω = l gdze ω ( l ) oznacza rozwązane dla komórk perodcznośc o wmarze Y. Wkorzstując powższą relację w operacj całkowana (.95), otrzmuje sę natchmast k D l = co oznacza, że efektwn tensor dfuzj jest newrażlw na welkość pojednczej komórk perodcznośc. Ops mkroskopow ne wmaga węc przeskalowana. Omówone powżej dwa sformułowana poszukwana ujednorodnonego ośrodka zastępczego, tj. matematczne fzczne, zakładają że l/l =. W rzeczwstośc wmar nejednorodnośc l wmar makroskopow L są welkoścam skończonm. Otrzman węc w wnku homogenzacj ops makroskopow jest aproksmacją modelowanego procesu, tm lepszą, m l/l = jest mnejsze. Do tej por przedstawalśm L jako jeden z wmarów makroskopowej objętośc ośrodka. W przpadku zagadneń statcznch take przjęce jest uzasadnone. Na ogół L zależ jednak od wmuszena, jakemu poddan jest ośrodek. Można poka- D l, l j

74 7 zać [6], że w przpadku zagadneń dnamcznch welkość ta odpowada długośc fal makroskopowej. Oczwśce, ab zdefnować równoważn makroskopow ops matematczn rozchodzena sę fal w ośrodku mkronejednorodnm, wmar nejednorodnośc mus bć dużo mnejsz od długośc fal. W przecwnm raze, w termnolog Auraulta [6], ops jest nehomogenzowaln. W tm przpadku np. ośrodek perodczn ośrodek losow wkazują całkowce odmenne zachowane muszą bć użte różne metod do analz procesów w nch zachodzącch (np. Woźnak [64] perodczne lamnat, Sobczk [45] ośrodk losowe)...5. Uwag Prezentując matematczną teorę homogenzacj stwerdzono, że w przpadku analz procesu przepłwu płnu przez ośrodek porowat koneczne jest skalowane opsu mkroskopowego. Jest to mędz nnm wnk wrażlwośc parametrów przepłwu na zman wmarów przestrzen porowej w przekształcenu jednokładnm. Omówone został trz metod poszukwana ekwwalentnego opsu makroskopowego dla ośrodka mkronejednorodnego, tj.: metoda asmptotcznej homogenzacj, metoda zbeżnośc dwuskalowej oraz metoda Γ-zbeżnośc. Przedstawon przkład modelow zagadnena dfuzj pokazał, że wszstke te trz metod, prznajmnej w przpadku analzowanego zagadnena, prowadzą do tego samego opsu makroskopowego. Podstawowm założenem metod asmptotcznej homogenzacj metod zbeżnośc dwuskalowej jest perodczność struktur ośrodka. Metoda Γ-zbeżnośc, co należ dodać, pracuje równeż w przpadku homogenzacj stochastcznej [35]. Porównując te metod, można stwerdzć, że dwe ostatne tj.: zbeżnośc dwuskalowej Γ-zbeżnośc, są pod względem matematcznm rgorstczne, tzn. prowadzą równocześne do dedukcj granc oraz zbeżnośc rozwązana. O le jednak metoda zbeżnośc dwuskalowej defnuje równeż sposób poszukwana granc, o tle metoda Γ-zbeżnośc na ogół ne. Przedstawona powżej, w przpadku zagadnena dfuzj, stosunkowa łatwość korzstana z metod Γ-zbeżnośc bła wnkem twerdzena.7 o zbeżnośc funkcjonałów zdefnowanch przez odpowedn potencjał. W raze węc możlwośc skorzstana z twerdzena.7 metoda Γ-zbeżnośc daje szbko ostateczn wnk, co w rezultace umożlwa zdefnowane parametrów efektwnch otrzmanego opsu makroskopowego. W nnch przpadkach praktczne stosowane metod Γ-zbeżnośc jest skomplkowane wmaga wedz matematcznej daleko wkraczającej poza zakres wedz osób bezpośredno z matematką ne zwązanch [54], [7]. Podobne uwag można odneść do metod zbeżnośc dwuskalowej. Gd poszukwane odpowednej granc dwuskalowej mus bć oparte tlko na defncj., ko- W prac [38] proponuje sę równeż rozszerzene metod na homogenzację stochastczną.

75 neczn aparat analz funkcjonalnej wkracza daleko poza zakres wedz nematematka. Ułatwenem w stosowanu tej metod są twerdzena przedstawone w prac [7] (tlko część jest zaprezentowana w nnejszm opracowanu). Metoda asmptotcznej homogenzacj, w przecweństwe do dwóch omówonch wcześnej metod, ne podaje równocześne z otrzmanm opsem makroskopowm dowodu zbeżnośc parametrzowanego pola. Szbke stosunkowo łatwe dochodzene do opsu makroskopowego jest konsekwencją założena, że parametrzowane pole wkazuje charakter asmptotczn może bć przedstawone w postac rozwnęca asmptotcznego (.8). Ctowane w nnejszej prac twerdzena o zbeżnośc dwuskalowej dają matematczne uzasadnene stosowana rozwnęca asmptotcznego w tm sense, że parametrzowane pole jest zbeżne dwuskalowo do perwszego członu rozwnęca, a gradent parametrzowanego pola do gradentów perwszego drugego rozwnęca (określonch odpowedno względem ), prznajmnej dla dużej klas zagadneń. Ponadto, wele dodatkowch twerdzeń oraz matematcznch dowodów poprawnośc przjęca parametrzowanego pola w postac rozwnęca asmptotcznego przedstawonch jest w pracach [7], [74] [37] Ośrodk losowe metod oszacowań własnośc efektwnch W przpadku ośrodków mkronejednorodnch o strukturze perodcznej zagadnene określana parametrów efektwnch opsu makroskopowego sprowadza sę do rozwązana zagadnena brzegowego sformułowanego dla pojednczej komórk perodcznośc. Jeśl znane są: rozkład geometra poszczególnch składnków oraz wartośc parametrów analzowanego procesu, to wartośc parametrów efektwnch można określć jednoznaczne. W prezentowanm zagadnenu dfuzj, równana pozwalające jednoznaczne określć efektwn tensor dfuzj to (.9) (.95). W przpadku ośrodków losowch, takch jak np. ośrodk gruntowe skalne, rozkład oraz geometra poszczególnch składnków ośrodka ne są dokładne znane. Dostępna jest jedne częścowa nformacja statstczna o ośrodku. Podstawową nformacją statstczną, którą dsponujem, jest przede wszstkm udzał frakcjn poszczególnch składnków ośrodka. Ponadto, jeśl w ośrodku ne wstępują żadne szczególne kerunk uporządkowana, nnm słow ośrodek jest całkowce neuporządkowan, to drugą dostępną nformacją statstczną jest makroskopowa zotropa ośrodka. O le prz założenu, że ośrodek losow jest statstczne jednorodn ergodczn lub statstczne perodczn ergodczn przjęce hpotez perodcznośc prz poszukwanu opsu makroskopowego jest dopuszczalne (Sab [35]), o tle metod określana parametrów efektwnch dla ośrodków perodcznch losowch muszą bć różne. W przpadku ośrodków losowch, ze względu na nepełną nformację statstczną, możem tlko podać oszacowana wartośc parametrów efektwnch

76 7 w termnach znanej nformacj statstcznej oraz dopuszczaln przedzał wartośc tch parametrów (ogranczena). Stosunkowo najlepej rozpoznane opracowane są metod oszacowań wartośc parametrów efektwnch dla fzczne lnowch ośrodków losowch, np. losowch ośrodków lnowo-sprężstch. Zagadnene oszacowań własnośc efektwnch dla nelnowch ośrodków losowch jest nadal zagadnenem otwartm, choć w ostatnej dekadze nastąpł obserwowaln postęp (Ponte Castañeda [], []; Wlls [6]). Najczęścej stosowaną deą szacowana wartośc parametrów efektwnch dla ośrodków nelnowch jest tzw. dea lnowego ośrodka porównawczego. Innm słow oszacowana otrzmuje sę z oszacowań dla ośrodków lnowch przez odpowedn dobór właścwośc porównwanego ośrodka lnowego. Przkład takej metod, zaproponowanej przez Ponte Castañedę [], przedstawon będze w dalszej częśc rozdzału. W przpadku lnowo-sprężstch ośrodków losowch najczęścej stosowaną metodą szacowana wartośc efektwnego tensora sztwnośc sprężstej jest tzw. metoda samouzgodnonego pola. Pozostałe metod, jak schemat Mor Tanak oraz Kuster Toksöza, mają ogranczone zastosowane, tj. mał udzał frakcjn wtrąceń w kompozce. Wszstke te metod skonstruowane są według rozwązana statcznego zagadnena pojednczego wtrącena w neskończonm, jednorodnm ośrodku cągłm. Istneje równeż druga grupa metod, która własnośc efektwne defnuje na podstawe rozwązana zagadnena rozproszena fal na pojednczm wtrącenu. Ponżej omówono tlko metod oparte na rozwązanu statcznm zagadnena pojednczego wtrącena, gdż druga grupa metod, mmo że deowo różna, daje te same oszacowana [9]. Najwęcej mejsca pośwęcono sformułowanu metod samouzgodnonego pola. Jest to schemat najczęścej stosowan podczas szacowana parametrów efektwnch losowch ośrodków lnowo-sprężstch [43], [65]. W przpadku ośrodków losowch, oprócz oszacowana wartośc efektwnch ośrodka, ważne jest równeż sformułowane zakresu, w jakm mogą sę one zmenać ( podane ogranczeń). Dla lnowo-sprężstego weloskładnkowego ośrodka losowego najlepszm ogranczenam, w termnach objętośc frakcjnej, są ogranczena Vogta Reussa, tj. N α = c α N α eff α α ( C ) C c C, α = (.58) gdze: c α C α odpowedno: udzał frakcjn składnka α w ośrodku oraz jego tensor sztwnośc sprężstej, C eff efektwn tensor sztwnośc sprężstej. Analogczne zwązk obowązują dla tensora podatnośc sprężstej, tj.

77 N α = c α N α eff α α ( S ) S c S, α = 73 (.59) gdze: S α tensor podatnośc sprężstej składnka α, S eff efektwn tensor podatnośc sprężstej. W przpadku ośrodka makroskopowo zotropowego jednm ogranczenam węższm od przedstawonch powżej, wrażonm w termnach objętośc frakcjnej, są ogranczena Hashna-Shtrkmana dla ośrodka dwuskładnkowego [5], tj. () K gdze: K eff G eff () c () 3c ( ) ( ) K K () () 3K 4G () G K eff ( ) c ( ) K ( ) ( ) () () () 6c K G ( ) ( ) G G () () () 5G 3K 4G () c () 6 c K G () ( ) G G ( ) ( ) ( ) 5G 3K 4G ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) c ( ) () 3 c () ( ) K K ( ) ( ) 3K 4G G, eff ( ) G, (.6) odpowedno: efektwn moduł odkształcena objętoścowego oraz efektwn moduł odkształcena postacowego, K () G () odpowedne moduł dla składnka, c () udzał frakcjn perwszego składnka. Ponadto, w powższm zwązku przjęto K () < K () oraz G () < G ()..3.. Kompozt lnowo-sprężst. Metod oszacowań: samouzgodnonego pola, Kuster Toksöza Mor Tanak Rozważam kompoztow ośrodek sprężst utworzon z N jednorodnch składnków cechującch sę różnm własnoścam sprężstm. O składnkach tego ośrodka wem, że każd z nch jest zbudowan z materału zotropowego oraz lnowo- -sprężstego. Wartośc parametrów sprężstośc każdego składnka są nam znane.

78 74 Rozkład składnków w kompozce jest losow. Informacja statstczna o tm rozkładze, jedna, jaką dsponujem, to: udzał frakcjn poszczególnch składnków oraz brak w kompozce szczególnch kerunków uporządkowana, czl makroskopowa zotropa kompoztu. Zagadnene, które chcem rozwązać, to: oszacowane wartośc parametrów efektwnch sprężstośc analzowanego kompoztu (dokładne określene tch wartośc jest nemożlwe ze względu na częścową tlko nformację o rozkładze tch składnków). Reasumując, dane, którm dsponujem, to: zwązk konsttutwne lnowej sprężstośc dla każdego składnka α (α =,,..., N) wraz z wartoścam parametrów, tj. α () r C e ( u( r) ) σ = r V α, (.6) prz czm (składnk są zotropowe) [6] C α α α = K δδ G δkδ jh δ hδ jh δδ, 3 (.6) makroskopow zwązek konsttutwn kompoztu, tj. (lnowo-sprężste zachowane składnków mplkuje lnowo-sprężste zachowane kompoztu) gdze: V α eff ( u), σ C e (.63) = σ = () r dv e() u e( u ( r) ) dv, V σ = V (.64) V nformacja statstczna o rozkładze: wartość udzału frakcjnego poszczególnch składnków w kompozce, tj. α V N c α = V α =,,..., N (oczwśce: α c = ), (.65) makroskopowa zotropa kompoztu, tj. C V α = eff δ δ G δ kδ jh δhδ jh δδ. (.66) 3 eff eff = K W powższch zwązkach zastosowano następujące oznaczena: obszar zajmowan przez składnk α (może to bć obszar welospójn (rs..6)), V U N = V α = α obszar zajmowan przez kompozt,

79 V α V mar objętośc: V α oraz V, K α G α odpowedno: moduł odkształcena objętoścowego oraz moduł odkształcena postacowego składnka α, K eff G eff efektwne moduł odkształcena objętoścowego oraz postacowego kompoztu. Welkoścam poszukwanm są wartośc parametrów efektwnch K eff G eff. 75 składnk składnk Rs..6. Kompozt dwuskładnkow Fg..6. Two-components composte Załóżm obecne, że kompozt jest zanurzon w neskończonm, jednorodnm ośrodku cągłm (rs..7), któr to ośrodek jest poddan wmuszenu zewnętrznemu w postac jednorodnego odkształcena przłożonego w neskończonośc. Wmuszene to, oczwśce, ndukuje w kompozce (w poszczególnch składnkach kompoztu) pewne pole odkształcena stowarzszone z nm pole naprężena. Poneważ składnk kompoztu oraz ośrodek otaczając kompozt są lnowo-sprężste (obowązuje zasada superpozcj), wobec tego panujące w kompozce pole odkształcena można przedstawć następująco ( u( r) ) A ( r) E, e = (.67) gdze: E wartość odkształcena panującego w neskończonośc, A (r) pole odkształcena w kompozce wwołane jednostkowm odkształcenem (E = (δ k δ jh δ h δ jk )/) przłożonm w neskończonośc do ośrodka otaczającego kompozt. Dokonując kolejno uśrednena powższego równana po objętośc każdego składnka, otrzmujem

80 76 gdze Welkość e e α α = α α e = AE α =,,..., N, V α α V α ( u() r ) dv, A A () r dv. e = V α α V (.68) (.69) reprezentuje średną wartość odkształcena w składnku α. Ten- α sor A jest nazwan tensorem lokalzacj odkształcena. kompozt jednorodn ośrodek cągł Rs..7. Kompozt zanurzon w neskończonm jednorodnm ośrodku cągłm Fg..7. Composte mmersed n a homogeneous nfnte contnuous medum Średna wartość odkształcena w kompozce, zdefnowana zależnoścą (.64), może bć teraz oblczona jako N e = c α = lub, jeśl wkorzstam zależność (.68), równoważne jako α e α (.7) e N = c A E. (.7) α = α α Defnując, podobne jak dla odkształcena, średną wartość naprężena w składnku α, tj. σ α = V σ α V α ()dv r, (.7)

81 otrzmujem (sumowane po ndekse α obowązuje włączne wted, gd wstępuje znak sum, natomast po pozostałch ndeksach, zgodne z wcześnejszą umową sumacjną, zawsze gd sę powtarzają) α α N 77 σ = C e, σ = c σ. (.73) α Zależnośc (.73) są, odpowedno, bezpośredną konsekwencją zwązków konsttutwnch (.6) oraz defncj (.64) średnej wartośc naprężena w kompozce. Wkorzstane zwązku lokalzacjnego (.68) w zależnoścach (.73) prowadz do α α α lm α = lm, α σ = C A E (.74a) α N σ = c C A E. (.74b) α = α α Średną wartość naprężena w kompozce można jednocześne oblczć, korzstając ze zwązku konsttutwnego dla kompoztu (.63), któr po zastosowanu wrażena (.7) przjmuje postać α lm α lm N σ = C c A E = c C A E. (.75) N eff α α = lm α = lm α eff α lm Po odjęcu stronam równań (.74b) (.75) otrzmujem lm N α = c α eff α α ( C C ) A E =. lm lm (.76) Równane (.76) mus bć spełnone dla dowolnch wartośc składowch tensora E, co mplkuje N α = c α eff α α ( C C ) A =. lm (.77) Jeśl węc potrafm oszacować wartośc składowch tensora lokalzacj odkształcena, to zwązek (.77) prowadz bezpośredno do oszacowań wartośc α para- A metrów efektwnch sprężstośc kompoztu. Metoda samouzgodnonego pola Metoda ta została wprowadzona przez Hershea Krönera (Zaou [65]) jako schemat aproksmacjn do określana efektwnch parametrów sprężstośc dla ośrodków o strukturze polkrstalcznej.

82 78 Kompozt jest zanurzan w ośrodku jednorodnm o wartoścach parametrów sprężstośc równch wartoścom parametrów efektwnch kompoztu (wartośc, którch poszukujem) (rs..8). Następne skomplkowane oddzałwana mędz dowolnm elementem kompoztu a pozostałm jego elementam zastępuje sę oddzałwanem mędz tm elementem a ujednorodnonm kompoztem, stanowącm kontnuację ośrodka, w którm kompozt jest zanurzon. W konsekwencj wartość odkształcena w pojednczm zarne jest przblżana przez rozwązane zagadnena pojednczego zarna zanurzonego w neskończonm jednorodnm ośrodku cągłm (rs..8). ośrodek jednorodn o własnoścach efektwnch kompoztu ośrodek jednorodn o własnoścach efektwnch kompoztu kompozt kompozt pojedncze wtrącene Rs..8. Modelowane oddzałwań mędz zarnam w metodze samouzgodnonego pola Fg..8. Interactons between grans modelled accordng to the self-consstent scheme pojedncze zarno składnka α t(β) β kompozt Rs..9. Geometrczna nterpretacja wartośc tensora lokalzacj odkształcena Fg..9. Geometrcal nterpretaton of stran localzaton tensor value Wartość odkształcena w zarne, jak równeż wartość tensora lokalzacj odkształcena, ne zależ od mejsca, w którm to zarno sę znajduje (otaczając je ośrodek jednorodn jest neskończon), a jedne od jego orentacj (rs..9). Poneważ ten-

83 sor lokalzacj odkształcena dla składnka α, to wartość średna oblczona po wszstkch zarnach tworzącch składnk α, wobec tego (ponższ zwązek odpowada zagadnenu dwuwmarowemu (rs..9)) gdze: ( β ) α lm A α lm π ( β ) dβ, 79 = Alm (.78) π A wartość tensora lokalzacj odkształcena dla zarna, tworzącego składnk α, zorentowanego w kerunku t(β) (rs..9), β wartość kąta mędz osą pozomą a kerunkem t(β) orentacj zarna. α Tensor lokalzacj odkształcena A lm jest węc tensorem zotropowm. Tensor ten ma prostą reprezentację A α lm α α α α ( P Q ) δ δ Q ( δ δ δ δ, = lm kl hm km hl ) (.79) 3 gdze wartośc P α Q α podano, dla wtrąceń kulstch oraz w kształce gełek, w tabel.. W tabel tej wkorzstano, dodatkowo, następujące oznaczena: 3K G G ( 9K 8G) γ = G, ζ = (.8) 3K 4G 6 K G ( ) oraz ndeksem m oznaczono parametr ośrodka, w którm jest zanurzone wtrącene, natomast przez α parametr wtrącena. W przpadku metod samouzgodnonego pola parametr z ndeksem m oznaczają poszukwane wartośc efektwne. Tabela 3. Tp wtrącena P α Q α kula m 4 K G 3 α 4 K G 3 m m m G ζ α G ζ m m gełka m m α K G G 3 α m α K G G 3 α 4 m m m m K G 4G G γ 3 m α α m 5 G G G γ α m α K G G 3 3 Wnk zameszczone w tabel przepsano z prac: Berrman J.G., Berge P.A., Crtque of two eplcte schemes for estmatng elastc propertes of multphase compostes, Mechancs of Materals,, 996,

84 8 α eff C Tensor: C oraz są, podobne jak tensor lokalzacj odkształcena, równeż tensoram zotropowm. Wobec tego: α α α α α α α α C Alm = K P G Q δδ lm G Q { δlδ jm δ mδ jl}, (.8a) 3 eff α eff α eff α eff α C Alm = K P G Q δδ lm G Q { δlδ jm δmδ jl}. (.8b) 3 Uwzględnene (.8) w (.77) prowadz do α = N c N α α = c eff α α eff α ( K K ) P ( G G ) α 3 eff α α ( G G ) Q ( δ δ δ δ ) =. Równane (.8) mplkuje następujące równośc: N α = N α = c c α α l jm m eff α α ( K K ) P =, eff α α ( G G ) Q =. jl Q α δ δ lm (.8) (.83a) (.83b) Jest to układ dwóch sprzężonch ze sobą równań nelnowch. Sprzężene tch równań jest konsekwencją obecnośc w wartoścach P α Q α zarówno K eff jak G eff (por. tab..). Na przkład dla weloskładnkowego ośrodka kompoztowego utworzonego tlko z wtrąceń w kształce kulek mam (tab..): eff 4 eff K G eff eff eff eff eff α P = 3 α G ζ eff G ( 9K 8G ), Q =, ζ =, α 4 α eff eff K G G ζ eff eff 6( K G ) 3 co po podstawenu do (.83) oraz dokonanu prostch przekształceń mplkuje następujące równana: N α = c α eff α ( K K ) =, N α c 4 α = α K G eff G α G 3 eff α ( G G ) eff eff eff ( 9K 8G ) eff eff 6( K G ) =. (.84a) (.84b)

85 Rozwązana układu (.84), dla określonch udzałów frakcjnch poszczególnch składnków, poszukuje sę metodam teracjnm. Schemat samouzgodnonego pola jest równeż stosowan do określana parametrów efektwnch ośrodków sprężstch ze spękanam lub pustkam [4]. Analza sprowadza sę, tm razem, do zagadnena pojednczej pustk lub spękana, umeszczonch w neskończonm ośrodku cągłm, charakterzującm sę poszukwanm parametram efektwnm. W przpadku zagadnena dwuwmarowego, dla ośrodka makroskopowo zotropowego, prowadz to do następującch zależnośc na parametr efektwne [78] E eff = E( πξ ), ν eff = ν ( πξ ), 8 (.85) gdze: ξ tzw. parametr gęstośc spękań (Budansk O Connell [4]), E ν odpowedno: moduł Younga współcznnk Possona materału szkeletu. Modfkację powższego schematu dla ośrodków spękanch, zwaną schematem różncowm, zaproponował Hashn w prac [7]. Ponowne rozpatruje sę jedno zolowane spękane w neskończonej matrc, z tm że w przecweństwe do metod samouzgodnonego pola, tm razem analza jest prowadzona w sposób przrostow. Gęstość spękań jest zwększana o małe przrost dξ w każdm kroku oblczenowm są określane wartośc parametrów efektwnch ośrodka. Dla ośrodka makroskopowo zotropowego, w przpadku zagadnena dwuwmarowego, prowadz to do zależnośc różnczkowch (konsekwencja (.85)) E eff eff eff eff de = E ( π dξ ), ν dν = ν ( π dξ ), (.86) które po zastosowanu warunku początkowego, tzn. E eff = E, ν eff = ν dla ξ =, dają: E eff πζ eff = Ee, ν = ν e eff πζ. eff (.87) W podsumowanu prezentacj metod samouzgodnonego pola oraz jej modfkacj w postac schematu różncowego należ podkreślć, że tak jak udowodnl odpowedno Mlton [] oraz Norrs [6] schemat te są realzowalne. Oznacza to, że do każdch wartośc parametrów efektwnch otrzmanch z tch schematów można stworzć odpowadając ośrodek cechując sę tm parametram efektwnm. Oznacza to równeż, że schemat te ngd ne dają wartośc parametrów efektwnch nezgodnch z przedstawonm wcześnej ogranczenam. Metod: Mor Tanak Kuster Toksöza Metoda samouzgodnonego pola traktowała wszstke składnk ośrodka równorzędne, w tm sense, że każd z nch bł zanurzan w ośrodku cągłm o poszukwanch parametrach efektwnch. W przpadku ośrodków, w którch wraźna jest przewaga jednego składnka nad nnm, tzn. tworz on matrcę ośrodka, w której

86 8 zanurzone są pozostałe składnk (por. rs..6 składnk. to matrca), do szacowana własnośc efektwnch ośrodka są stosowane najczęścej metod: Mor Tanak Kuster Toksöza (Dvorak Benvenste [56], Suquet [5]). Podstawowm założenem tch metod jest newelk udzał frakcjn wtrąceń w porównanu do udzału frakcjnego matrc. Określane parametrów efektwnch polega na rozwązanu, podobne jak w metodze samouzgodnonego pola, zagadnena pojednczego wtrącena w neskończonm ośrodku cągłm. Tm razem jednak ośrodkem, w którm zanurzone są poszczególne składnk, jest matrca, której parametr sprężste znam. W przpadku metod Mor Tanak, równanam wjścowm szacowana parametrów efektwnch są, podobne jak w metodze samouzgodnonego pola, równana (.83). Tensor lokalzacj odkształcena dla składnka α jest jednak określan jako rozwązane zagadnena pojednczego wtrącena zanurzonego w matrc m, której własnośc znam. Oznacza to, że welkośc P α Q α są funkcją jedne parametrów sprężstośc składnka α oraz matrc. Dodatkowo, dla α odpowadającego matrc zakłada sę, że tensor lokalzacj odkształcena jest tensorem jednostkowm, tzn. m A = ( δ kδ jh δhδ jk ). (.88) Dla reprezentacj w postac (.79) mplkuje to: P m = Q m =. Po przekształcenu równań (.83) do postac K eff N α c K P α = =, (.89a) N α α c P α = α α G eff N α c G Q α = =, (.89b) N α α c Q α = α α łatwo zauważć, że prawe stron są, dla danch tpów wtrąceń oraz ch udzałów frakcjnch, tlko funkcją parametrów sprężstośc składnków kompoztu. Zależnośc (.89) stanową ostateczną postać ogólnch równań szacowana wartośc parametrów efektwnch w metodze Mor Tanak. Dla kompoztu weloskładnkowego zbudowanego z matrc oraz wtrąceń kulstch, zależnośc (.89) transformują sę do postac (P α Q α ponowne wzęto z tabel.)

87 83 K eff N α = = N α = α α c K α 4 K G 3 α c α 4 K G 3 m m, (.9a) G eff N α = = N α = G G α α m G 6 m G 6 c α m m ( 9K 8G ) m m ( K G ) c G α α m m ( 9K 8G ) m m ( K G ). (.9b) Podobne jest w schemace Kuster Toksöza. Tensor lokalzacj odkształcena ponowne przblża sę przez rozwązane zagadnena pojednczego wtrącena zanurzonego w jednorodnm ośrodku cągłm, którm to ośrodkem jest jeden ze składnków kompoztu (tzw. matrca). Punktem startowm ne jest jednak układ (.83), a jego pewna modfkacja. W metodze Kuster Toksöza przjmuje sę, że zanurzan w matrc kompozt ma kształt kul. Następne wartość średną odkształcena w kompozce aproksmuje sę przez eff A lm eff lm e = A E, (.9) gdze reprezentuje tensor lokalzacj odkształcena dla ujednorodnonego kompoztu w kształce kul zanurzonego w neskończonej matrc. Jednocześne średne odkształcene w kompozce opsuje zależność (.7), wobec tego Konsekwentne: A eff lm eff E lm eff lm = N α = c lm α α Alm N E lm. (.9) σ = C A E = c C A E, (.93a) lm α = α α α lm lm C m A eff lm E lm = N α = α m C c A α lm E lm, (.93b)

88 84 gdze prawa strona równana (.93a) to zależność (.74b), a sztwnośc sprężstej matrc. Po odjęcu stronam równań (.93) otrzmujem m C oznacza tensor N eff m eff α α m α ( C C ) AlmElm = c ( C C ) AlmElm. α = (.94) Równane (.94) mus bć spełnone dla dowolnch wartośc E lm, a węc N eff m eff α α m α ( C C ) Alm = c ( C C ) Alm. α = (.95) eff A lm Po ponownm skorzstanu z własnośc zotrop tensorów lokalzacj: α A lm oraz ( kompozt jest w kształce kul) oraz z tożsamośc (.8) można pokazać ( podobne jak przejśce (.77), (.8) (.83)), że równane (.95) mplkuje następujące równośc, tj. N eff m eff α α m α ( K K ) P = c ( K K ) P, α = (.96a) gdze (tab..) P eff N eff m eff α α m α ( G G ) Q = c ( G G ) Q, α = m 4 m K G m m 3 eff G ζ =, Q = eff 4 m m K G G eff ζ 3 m m m m G ( 9K 8G ), = m m 6 ( K G ) ζ. (.96b) Ostateczna postać równań szacowana parametrów efektwnch w metodze Kuster Toksöza dana jest zwązkam: K m 4 G N eff m ( ) 3 α m α α K K = ( K K ) P c, K eff m 4 G 3 m α = (.97) m m N eff m G ζ α m α α ( G G ) = ( ). eff G G Q c m G ζ α = (.98) Gd ośrodek jest zbudowan z matrc, w której są zanurzone wtrącena o kształce sfercznm, obe metod (schemat Mor Tanak schemat Kuster Toksöza) dają

89 ten sam wnk 4. Ponadto, w przpadku ośrodka dwuskładnkowego, gd matrca jest zbudowana z materału o wększm module odkształcena postacowego nż materał wtrącena (o kształce sfercznm), wted metod te dają oszacowane efektwnego modułu odkształcena objętoścowego równe dolnemu ogranczenu Hashna Shtrkmana. W przecwnm raze, tj. gd matrcę tworz ośrodek o mnejszm module odkształcena postacowego nż materał wtrącena, osągane jest górne ogranczene Hashna Shtrkmana na wartość modułu odkształcena objętoścowego. W ogólnm przpadku, tj. dowolnego kształtu wtrącena, metod Mor Tanak oraz Kuster Toksöza są nerealzowalne..3.. Kompozt fzczne nelnow. Schemat waracjn Ponte Castañed W przpadku ośrodków losowch, fzczne nelnowch, najczęstszą metodą szacowana własnośc efektwnch oraz poszukwana ch ogranczeń jest procedura oparta na lnowm ośrodku porównawczm. Ponżej przedstawam jedną z takch metod zaproponowaną przez Ponte Castañedę []. Ideowo podobne metod, tzn. oparte na ośrodku porównawczm, przedstawone są w pracach: Ponte Castañeda [], Ponte Castañeda Suquet [3] oraz Suquet [5, 5]. Rozważam nelnow ośrodek losow, któr tworz N składnków. Zakładam ponadto, że równana konsttutwne składnków tego ośrodka są zdefnowane przez odpowedn potencjał wrażon przez tensor naprężena. Jak zwkle, rozkład składnków w ośrodku określają funkcje charakterstczne h α (). Potencjał naprężena dla całego ośrodka ma węc postać 85 u N α α ( σ, ) = h ( ) u ( σ ), α = (.99) gdze u α (σ) potencjał dla składnka α. Potencjał zastępcz jest zdefnowan przez (zwązk (.43) (.44) w p...) U ( σ ) ( ). = nf u σ, (.) σ S ( σ ) W podobn sposób jest zdefnowan potencjał zastępcz dla ośrodka lnowo- -sprężstego, któr stosowan będze do szacowana potencjału zastępczego dla ośrodka nelnowego. O ośrodku lnowm zakładam, że ma tak sam rozkład składnków, jak w analzowanm ośrodku nelnowm. Wobec tego: 4 Dowód jest przedstawon w prac: Berrman J.G., Berge P.A., Crtque of two eplcte schemes for estmatng elastc propertes of multphase compostes, Mechancs of Materals,, 996,

90 86 gdze oraz u ~ N ~ U ( σ ) ( ), = nf u~ σ, (.) σ S ( σ ) α α α e o ( σ, ) h ( ) u ~ ( σ ); u ~ ( σ ) = α α = α = σ G σ K (.) σ = σ ; τ = σ σ δ ; σ e = τ τ. (.3) 3 Jako przkład metod lnowego ośrodka porównawczego rozważam przpadek, gd potencjał ośrodka nelnowego ( jego składnków) jest funkcją potęgową o wkładnku wększm nż dwa. Możlwe jest wted zdefnowane następującch funkcj 5 α α α ( ) ~ α α v G, K sup u ( σ ) u ( σ ) = ( ). (.4) σ Wkorzstując zwązk (.99) (.), zależność (.4) można przedstawć równeż jako V ( G, K, ) = sup ( u~ ( σ, ) u ( σ, ) ), (.5) gdze V σ N α α α α ( G, K, ) = h ( ) v ( G, K ). α = (.6) 5 Jeśl potencjał ośrodka nelnowego ma wkładnk mnejsz od dwóch, to defncja (.4) ne ma sensu. Należ wted defnować mnmum z różnc potencjałów, a ne maksmum jak w (.4). Ilustrują to ponższe dwa proste przkład: ~ α a) nech (K α ) : u ( σ ) = oraz u ( σ ) α α sup σ σ e G ( ~ α α u ( σ ) u ( σ )) gdze B α stała materałowa ośrodka nelnowego; α u~ σ σ e σ = oraz α e u ( σ ) =, wted α G B b) ( ) α nf σ ( u~ ( σ ) u( σ )) α 4 σ e =, wted B α σ e B, = sup σ e = α α σ G B 8 σ = nf σ e σ e α α G B = α ( G ) α G 8( ). B α

91 87 Wobec tego, zgodne z (.5), dla każdch K α G α (α =,,..., N ) oraz σ, w każdm punkce kompoztu jest spełnona nerówność V G, K, u ~ σ, u σ, (.7) ( ) ( ) ( ) lub równoważne (, ) u ~ ( σ, ) V ( G, K, ). u σ (.8) Uśrednene tej nerównośc po objętośc kompoztu daje gdze (bezpośredna konsekwencja (.6)) V (, ) u~ ( σ, ) V ( G, K ), u σ (.9) α α α ( G, K ) = V ( G, K, ) = h ( ) v ( G, K. N α = α ) (.) Nerówność (.9) mplkuje σ nf u S ( σ ) ( σ, ) σ nf [ u~ ( σ, ) V ( G, K )]. S ( σ ) (.) V (G, K) ne zależ jednak od σ, a węc σ nf u S ( σ ) ( σ, ) σ nf S ( σ ) u~ ( σ, ) V ( G, K ). (.) Na podstawe defncj potencjałów zastępczch (.) (.) dla ośrodka nelnowego lnowego, nerówność (.) można przedstawć jako ~ U σ U σ V G, K (.3) ( ) ( ) ( ), która jest spełnona dla każdch wartośc K α, G α oraz σ. Jeśl możem węc oblczć potencjał zastępcz dla ośrodka lnowego w funkcj (G α, K α ), to nerówność (.3) prowadz do rodzn ogranczeń na potencjał zastępcz kompoztu nelnowego. Optmalne dobrane lnowego ośrodka porównawczego polega na przjęcu takch parametrów sprężstośc jego składnków, ab wrażene po prawej strone nerównośc (.3) osągało swoje maksmum. Po oznaczenu ~ H ( σ ) = sup ( U ( σ ) V ( G, K )), (.4) G, K nerówność (.3) mplkuje ( σ ) H ( σ ). U (.5) Zastosowane powższego schematu zlustrujem oszacowanem potencjału zastępczego dla nelnowego ośrodka porowatego (Ponte Castañeda []). Przjmuje-

92 88 m, że szkelet ośrodka porowatego jest zbudowan z materału neścślwego, charakterzującego sę potencjałem naprężena (funkcja potęgowa naprężena σ e o wkładnku wższm nż dwa), tj. () u = f ( σ ). (.6) Konsekwentne, lnow ośrodek porównawcz równeż jest przjmowan jako zbudowan z neścślwego szkeletu, co mplkuje u ~ () e σ e =. (.7) G Wobec tego, zgodne z (.4), (.6) oraz (.7), możem zapsać v () Oczwśce, (zależność (.)) σ G ( ) sup e G f ( σ ). = e σ () ( G) cv ( G), (.8) V = (.9) gdze: c udzał frakcjn szkeletu w ośrodku porowatm, c porowatość ośrodka. Uwzględnene (.9) w (.4) daje ~ U ( ) ( σ ) () H σ = csup v ( G). (.) G c Następn krok analz to wkorzstane oszacowań lub ogranczeń dla ośrodka lnowego. W rozważanm przpadku może to bć np. dolne ogranczene Hashna-Shtrkmana dla potencjału naprężena, tj. ~ U ( ) e σ σ σ, (.) G K gdze (prawa strona nerównośc (.6) po podstawenu G () = G, K (), K () =, G () = oraz c () = c) G HS HS HS Gc 4 c = ; KHS = G 5 3 ( c). (.) c 3 3 Po podstawenu prawej stron nerównośc (.) do (.), w mejsce potencjału zastępczego dla ośrodka lnowego, otrzmujem

93 H s 5 9 = e G G. (.3) c () () s csup v ( G) ; s = c σ ( c) σ W celu znalezena ostatecznej postac oszacowana potencjału dla ośrodka nelnowego stosowana jest następująca własność transformacj Legendrea [3], tj. jeśl funkcje F(Y) F (X) są funkcjam wpukłm oraz F( Y ) = sup ( XY F ( X )), (.4) to równeż F X ( X ) sup ( XY F( )). Y Y 89 = (.5) Zastosowane tego schematu do zwązku (.8) utożsamene Y z /(G) oraz X z prowadz do σ e co przez podstawene σ e s mplkuje σ () ( ) sup e f σ ( ) e = v G, (.6) G G f s G () () s = sup v ( G). Porównując równana (.7) (.3), dostajem natchmast w konsekwencj (nerówność (.5)) G ( s) cf ( s) (.7) H = (.8) ( ) f (s). U σ c (.9) Otrzman rezultat, poneważ wkorzstuje ogranczene Hashna Shtrkmana dla ośrodka lnowego, może bć nterpretowan jako nelnowe dolne ogranczene Hashna Shtrkmana. Przedstawona procedura może bć równeż zastosowana do określana oszacowań dla kompoztu nelnowego, odpowadającch oszacowanom otrzmanm ze schematów samouzgodnonego pola cz Mor Tanak dla ośrodka lnowego. Jak łatwo zauważć, schemat ten daje tlko jednostronne ogranczene na potencjał naprężena. Ekwwalentne, w podobn sposób można poszukwać ogranczeń dla potencjału odkształcena. Z tego, co autorow wadomo, ne stneje obecne schemat analz losowch ośrodków nelnowch, któr podawałb równocześne dolne górne ogranczene własnośc efektwnch ośrodka. Inne schemat poszukwana oszacowań oraz ogranczeń dla losowch kompoztów nelnowch, równeż oparte na de lnowego kompoztu porównawczego, stosowane np. do analz ośrodków plastcznch przedstawone są w [], [3], [5], [5].

94 9.4. Podsumowane Podczas prezentacj podstaw metod homogenzacj omówono jej dwa sformułowana, tzn. metodę wgładzana oraz matematczną teorę homogenzacj. Cel jest jeden sformułowane dla stnejącego opsu matematcznego, charakterzującego sę slne necągłm polam fzcznm (nazwanego opsem mkroskopowm), opsu równoważnego (nazwanego opsem makroskopowm), charakterzującego sę gładkm polam, a węc nadającego sę do oblczeń nżnerskch. Opsu tego poszukuje sę, w ogólnośc, na dwa sposob, tj. przez bezpośredne stosowane operacj uśrednana (wgładzene pola) lub przez mślowe żądane, ab wmar nejednorodnośc zdążał do zera (matematczna teora homogenzacj). Podczas omawana technk stosującch operację uśrednana wskazano, że metod objętoścowego wagowego uśrednana, ze względu na brak w nch hpotez zamkającej, charakterzują sę zjawskem zatrzmana w procese przejśca z jednej skal obserwacj do drugej. Trudność ta jest omana dzęk przjęcu hpotez zamkającej w postac warunku perodcznośc lub poprzez przenoszene członów nezdefnowanch do skal makroskopowej ch analzę na podstawe drugej zasad termodnamk. Technk te stosowane są przede wszstkm w modelowanu procesów transportu w ośrodkach porowatch. Cągła mkromechanka, operając sę na pojęcu reprezentatwnej elementarnej objętośc (REO), formułuje ops makroskopow przez wróżnene zmennch mkroskopowch makroskopowch. Te druge na ogół są wartoścam średnm, oblczonm wewnątrz REO z tch perwszch. Sformułowane to, deowo, jest blske badanom ekspermentalnm prowadzonm w laboratorum w tm sense, że poszukuje sę relacj mędz welkoścam merzalnm w czase ekspermentu, tj. średnm wartoścam przemeszczena (odkształcena) naprężena przłożonm do brzegów próbk. Klasczne, jako warunk brzegowe przjmuje sę jednorodne odkształcene lub naprężene. W przpadku jednak deformacj plastcznch ośrodka, poprawnm warunkem brzegowm jest jednorodne odkształcene [5]. Sformułowana zwązków makroskopowch, np. potencjałów zastępczch są analogczne do sformułowań otrzmanch z matematcznej teor homogenzacj (por. (.43), (.44) twerdzene.7 wraz z (.7)). Wkorzstwana jest ona przede wszstkm w analze procesu deformacj oraz prognozowana własnośc efektwnch kompoztowch cał stałch. Podczas omawana matematcznej teor homogenzacj stwerdzono, że w przpadku analz procesu przepłwu płnu przez ośrodek porowat koneczne jest skalowane opsu mkroskopowego. Jest to, mędz nnm, wnk wrażlwośc parametrów przepłwu na zman wmarów przestrzen porowej w przekształcenu jednokładnm. Omówono trz technk, tj. metodę asmptotcznej homogenzacj, metodę zbeżnośc dwuskalowej oraz metodę Γ-zbeżnośc. Podstawowm założenem dwóch

95 perwszch metod jest perodczność analzowanej struktur, trzeca pracuje równeż w przpadku ośrodków losowch. Szczegółowe porównane tch metod przedstawono w p...5. Celem nnejszej monograf jest zaproponowane, stosunkowo prostej, a zarazem skutecznej, metod dedukcj opsu makroskopowego procesów zachodzącch w ośrodkach gruntowch skalnch z ch opsu mkroskopowego. Zdanem autora, metodą taką, równe dobrze nadającą sę do modelowana procesów transportu, jak mechancznego zachowana kompoztowego cała stałego (ośrodka porowatego) jest metoda asmptotcznej homogenzacj. Zastrzeżenem, jake budz stosowane metod asmptotcznej homogenzacj do analz dowolnch ośrodków porowatch, jest warunek perodcznośc struktur. Jeśl jednak ogranczć sę tlko do poszukwana form równań makroskopowch oraz analz rol struktur wewnętrznej, to stosowane tej metod można rozcągnąć równeż na ośrodk ne tlko perodczne [6], [85], [8], [3], [33], [34], [35]. Określane parametrów efektwnch dla ośrodków losowch ośrodków perodcznch wmaga jednak odmennch metod. Metod szacowana wartośc efektwnch dla ośrodków losowch omówone został w poprzednm punkce. Do tej por ne poruszane bło jedno, chba najważnejsze zagadnene ops mkroskopow. Zakładano, że potrzebujem tlko narzędza, ab stnejąc ops mkroskopow przeneść do skal makroskopowej. Jest oczwste, że zależne od jakośc (dokładnośc) sformułowanego modelu mkroskopowego, w wnku homogenzacj, otrzmam odpowednej jakośc model makroskopow. Z drugej stron, m bardzej skomplkowan ops mkroskopow, tm trudnejsze przenesene go do skal makroskopowej. W rzeczwstośc sformułowane opsu mkroskopowego zależ w równej merze od rodzaju ośrodka oraz od zagadnena, które chcem opsać lub rozwązać. Ilustrują to ponższe przkład. W przpadku ośrodków porowatch nasconch płnem, ops mkroskopow zależ ne tlko od rodzaju wpełnającego przestrzeń porową płnu (np. aktwność chemczna z całem stałm tworzącm szkelet), ale równeż od struktur wewnętrznej ośrodka porowatego. Rozważm zachowane sę gazu w przestrzen porowej o określonej średnc porów d a. Borąc pod uwagę wartość δ średnej drog swobodnej cząsteczk gazu, tzn. średn dstans cząsteczk mędz dwoma kolejnm zderzenam, możem wróżnć prznajmnej trz skrajne przpadk zachowana sę gazu: d a /δ >> zachowane sę gazu w przestrzen porowej jest zdomnowane tlko przez zderzena cząstek gazu mędz sobą. Z punktu wdzena mechancznego gaz może bć modelowan jako barotropowa lepka cecz Newtona. d a /δ << w tm przpadku przepłw gazu jest zdetermnowan przez zderzena cząstek gazu z powerzchną cała stałego. Podstawow postulat mechank kontnuum tm razem ne jest, oczwśce, spełnon. Modelowane matematczne przepłwu może bć przeprowadzone bądź w ramach mechank statstcznej, bądź 9

96 9 powększenene cząstk łu powększene woda blaszk łowe woda makroskala mesoskala mkroskala Rs... Weloskalow model łów Fg... Multscale model for cla Rs... Skale dla spękanego maswu skalnego Fg... Scales for jonted rock mass