. Wstęp. Lewitujący ączek Dużyna XV LO i. Stanisława Staszica w Waszawie stnieje zaawka (np. Leviton ), w któej wiujący agnetyczny ączek lewituje nad płytką zawieającą agnesy. W jakich waunkach oże wystąpić to zjawisko? Leviton jest zaawką deonstującą zjawisko stailnej lewitacji. Składa się z jednego dużego agnesu - podstawy i niejszego agnesu (ączka). ączek jest wpawiany w uch wiowy i pzy poocy plastikowej płytki wpowadzany w pole agnetyczne podstawy, w iejsce gdzie oże lewitować stailnie. Lewitacja wiujących agnesów w polu agnetyczny została po az piewszy zaosewowana pzez Roya Haigana, któy opatentował swój wynalazek w 98 oku. Jednak dopieo w 995 oku M.V.ey pzedstawił piewszy odel teoetyczny opisujący i wyjaśniający to zjawisko []. ill Hones w 99 oku zainteesował się wynalazkie R.Haigana i ozpoczął spzedaż zaawki, któa jako piewsza nie potzeowała dodatkowych oganiczeń echanicznych, y wpowadzić pzediot w stan lewitacji.. Jak Leviton działa i jak nie działa W agnesie ożna wyóżnić dwa ieguny agnetyczne, zwyczajowo oznaczane N i S. W zależności od wzajenego ustawienia dwóch agnesów, ędą się one odpychać lu pzyciągać. Stan ównowagi jest ożliwy gdy ączek i podstawa są ustawione tak, ay siła oddziaływania agnetycznego ównoważyła siłę gawitacji. Magnesy powinny się zate odpychać. Możliwe jest wyznaczenie wysokości, na jakiej ączek osiągnie ównowagę twałą w kieunku pionowy. Okazuje się jednak, nie jest to stan twałej ównowagi echanicznej. Magnesy ustawione tak, ay się odpychały, w oencie puszczenia oócą się i się pzyciągną. Jest to szczególny pzypadek ogólnej własności pola agnetycznego [9], zgodnie z któą nie istnieje takie stacjonane pole agnetyczne, ay znajdujący się w ni feoagnetyk ył w ównowadze twałej (ez dodatkowych oganiczeń echanicznych). Lewitacją nazyway stan, w któy jeden oiekt unosi się nad dugi, jednocześnie nie ając kontaktu z żadny inny ciałe). Rys. Scheat pzedstawiający Leviton stotną ole w ty zagadnieniu odgywa uch ootowy ączka. łędny jest jednak założenie, że ekt żyoskopowy związany z ty uche powoduje ciągłe pionowe ustawienie osi ootu ączka. Można wykazać, że takie założenie nie gwaantuje uzyskania położenia ównowagi twałej. ączek nie oóci się i nie zostanie pzyciągnięty do dolnego agnesu, jednakże wypłynie z pola. nnyi słow,y ączek nie znajduje się w ównowadze twałej względe pzesunięć w płaszczyźnie pozioej. nny podejście, któe okazuje się ieć lepsze ezultaty, jest założenie, że uśedniony po czasie oent dipolowy ączka ustawia się zgodnie z kieunkie lokalnego pola agnetycznego. Dla tego odelu ączek usi wiować szyko, tak, ay się nie odwócić, jednak pędkość ta z powodu oganiczeń nałożonych pzez pawa elektoagnetyzu nie oże yć zyt duża.. Opis Teoetyczny Poniżej zaieszczono uposzczony opis działania levitonu. W wielu iejscach oganiczono się do pzedstawienia wyników ozważań dostępnych w liteatuze, ez pzepowadzania szczegółowych dowodów. Wstępne doświadczenia, jak i szczegółowy opis ateatyczny [7], pokazują że lewitujący ączek wykonuje tzy odzaje uchów, któych szykość óżni się znacząco: powolny uch śodka asy, szyką pecesje osi ootu, oaz adzo szyki uch wiowy. Różnica
szykości tych uchów jest na tyle duża, że ożna każdy z nich ozpatywać osono. Ponieważ oziay ączka są ałe, to jego zachowanie ożna opisać, taktując go jako dipol agnetyczny. Rys. ączek o oencie agnetyczny znajduje się w polu. Układ związany z agnese-podstawą a współzędne x, y, z. Związany z wiujący ączkie układ współzędnych diniują wesoy e, e, e Całkowita siła działająca na ączek w polach agnetyczny i gawitacyjny wyaża się wzoe f = ( ) + Mg () gdzie: M- asa ączka, g- pzyspieszenie zieskie, dipolowy oent agnetyczny ączka, indukcja pola agnetycznego w jakiej ączek się znajduje. Ay ączek ógł lewitować, siła pzyciągania zieskiego usi yć ównoważona pzez siłę oddziaływania agnetycznego. Z tąd i zależności () ezpośednio wynika że zachodzi związek dz > () dz Jest to jeden z waunków, jakie uszą yć spełnione, ay ączek znajdował się w stanie lewitacji. A. Pecesja Dla każdej yły sztywnej ożna wyznaczyć tzy główne oenty ezwładności. Ponieważ ozpatywany ączek a syetię osiową, to dwa z jego głównych oentów ezwładności są soie ówne: = () Gdzie: i oznacza oent ezwładności względe osi ączka e i Taka yła nazywa się ączkie syetyczny. W okeślonych waunkach wykonuje ona uch zwany pecesją. Zapisując ównania uchu ootowego ączka w układzie zwiazany z agnesepodstawą otzyujey: d L = (4) dt gdzie: L oent pędu ączka względe jego śodka asy, oent agnetyczny ączka, lokalna indukcja pola agnetycznego. Zakładając, że oent siły jest niewielki (pawa stona (4); co oże yć osiągnięte np. kiedy kąt iędzy wektoai i jest niewielki lu liski półpełneu) i ączek początkowo wiuje z dużą pędkością wokół swojej osi e. Można pokazać [8], że pędkości kątowe ω, ω w takcie uchu pozostają ałe w poównaniu z ω i ogą yć poinięte. Wtedy zachodzi związek: L = ω (5) Z zależności (4) i (5) uzyskuje się związek na pędkość pecesji: ω p = (6) ω opisujący uch pecesyjny ączka względe lokalnego kieunku indukcji pola agnetycznego. Załóży że skala czasowa uchu śodka asy jest dużo większa, niż skala czasu, na któej zachodzi pecesja. Wówczas ożna pzyjąć, że w iejscu, gdzie znajduje się śodek asy ączka, pole jest stałe podczas jednego cyklu pecesji.. Ruch śodka asy Ponieważ pecesja jest dużo szysza, niż uch śodka asy, to uzasadnione jest pzyjęcie, że uśedniony po czasie wekto dipolowego oentu agnetycznego ączka jest zawsze ównoległy do lokalnej indukcji pola agnetycznego. Zgodnie z ty ożna napisać, że uśedniony po czasie oent agnetyczny ączka wynosi: = cos( ϕ) (7)
Zakładając, że φ jest ałe (jak w A) i podstawiając zależność (7) do () otzyujey: f = + Mg (8) Ay dane położenie ównowagi yło położenie ównowagi twałej, usi zachodzić: f < (9) czyli < () Zakładając, że pole a syetię osiową, nieówność tą ożna ozłożyć na składowe, otzyując: < z () d d ρ < ρ dρ dρ Gdzie: ρ = z + () W celu znaleziania składowych należy skozystać z ównań Maxwella. Pole agnetyczne w pzestzeni, gdzie gęstość ojętościowa pądów jest ówna zeo (np. poza agnese-podstawą), spełnia poniższe zależności: = () = Cały układ wygodnie jest ozważać we współzędnych cylindycznych. Wówczas pole agnetyczne jest funkcją jedynie położenia na osi z i odległości od osi syetii ρ, [z, ρ]. Można pokazać, kozystając z zależności () [], że pole agnetyczne w okolicach punktu z na osi syetii podstawy jest opisane wzoai: z ρ ( z' / ) + ] = [ + αz' + a ρ K (4a) = [ αρ / α z' ρ + K] (4) Gdzie: z = (z-z ), to indukcja pola w punkcie (z, ρ) = (z,). Tzy kopki w powyższych wyażeniach oznaczają kolejne wyazy ozwinięcia względe ρ i z. α n jest zdiniowane jako: α = n n z n n! z z ρ =, z = z Niech z ędzie współzędną z położenia ównowagi ączka. Kozystając z powyższych (5) ozważań ożna pzekształcić nieówności () waz z nieównością () do postaci: α < α ( α 4α ) < > Waunki te są spełnione tylko, kiedy iloczyn p jest ujeny czyli kiedy zwot pola agnetycznego podstawy jest pzeciwny do zwotu oentu agnetycznego ączka. Ostatecznie otzyujey: α < α > (6) (7) α > 4α W ten sposó ożna okeślić, czy dany ozkład pola agnetycznego o syetii osiowej pozwala na stan lewitacji i w jaki położeniu z w pzestzeni taka lewitacja jest ożliwa. (Dalsze ozważania na ten teat zostały pzepowadzone w części 4.) C. Ruch wiowy Jeśli nieuchoy ączek zostanie uieszczony nad podstawą, to się odwóci i zostanie pzyciągnięty do podstawy. W celu pzezwyciężenia tego ektu, tzea nadać ączkowi odpowiednio dużą pędkość kątową. Wyznaczenie tej pędkości nie ieści się jednak w aach pzyjętego odelu. Rozważając pewne ównania uchu ożna pokazać [,5], że pędkość kątowa stailnego ączka jest oganiczona z dołu watością: ω = 4 MN (8) Jednocześnie w części A został podany wzó (6), któy wiąże pędkość kątową ączka z jego pędkością pecesji. Jeśli pędkość kątowa ączka jest duż,a to pecesja jest powolna. W takiej sytuacji oże się zdazyć, że skala czasowa uchu pecesyjnego ączka staje się poównywalna ze skalą czasową uchu śodka asy. Pzyliżenie (7) pzestaje wówczas oowiązywać i ączek ucieka z pola agnetycznego. Można wyznaczyć aksyalną watość pędkości wiowania ączka, dla któej pecesja jest jeszcze wystaczająco szyka. Góne oganiczenie na pędkość kątową ączka wyaża się wzoe [5]:
gdzie γ MAX ω MAX = (9) g M γ MAX α η = 4 α 8 + η + η () Dla typowego ączka watości ganiczne pędkości wynoszą odpowiednio około 6 ootów/s i 4 ootów/s (dane poglądowe [5]) Pędkość kątowa, jaką człowiek jest w stanie ęką nadać ączkowi, ieści się w ty pzedziale. 4. Doświadczenia W celu wykonania doświadczeń została zakupiona zaawka Leviton Platinu Po fiy Fascinations. Magnes-podstawa iał wyiay, R = 55 (poień zewnętzny), = (poień wewnętzny), h = (wysokość), ył to agnes feytowy i został uieszczony w plastikowej oudowie. Magnesączek ył ały neodyowy agnese o wyiaach R = 5, h = (widoczny na zdjęciu ). Do zestawu yły dołączone odważniki, któe ożna yło nakładać na ączek w celu egulowania jego asy, oaz plastikowa podstawka, któa ułatwiała uieszczenie ączka w odpowiedni iejscu. Poces wpawienia ączka w stan lewitacji wyglądał następująco:. Plastikowa podstawka yła uieszczona na agnesie-podstawa, tak ay na ustawiony na niej ączek działała jak najniejsza siła odziaływania agnetycznego.. ączek ył ęką wpawiany w uch wiowy na podstawce.. Podstawka yła powoli podnoszona do góy, do oentu w któy ączek zacznie lewitować. Następnie podstawka yła usuwana. W takcie wykonywania doświadczeń ożna yło zaosewować, że ączek usi ieć dokładnie doaną asę oaz agnes-podstawa usi yć dokładnie wypozioowany, ay lewitacja yła ożliwa. W odpowiednich waunkach ączek lewitował pzez około inuty, po czy spadał na podstawkę. 4A. Pole agnetyczne podstawy W naszych doświadczeniach agnesepodstawą ył agnes tooidalny (jak na ysunku powyżej) o agnetyzacji ównoległej do jego wysokości. Pole takiego agnesu ożna opisać taktując cały agnes jako okąg złożony z dipoli agnetycznych. Stosując te pzyliżenia ożna pokazać, że pole pochodzące od tooidalnego agnesu na osi syetii wyaża się wzoe: z µ = 4 π R p ( z / R ) ( + z / R ) 5 / gdzie: p jest to całkowity oent agnetyczny agnesu, a R jest to poień ektywny agnesu (Śednia aytetyczna z poienia zewnętznego i wewnętznego), z odległość od śodka agnesu. () Na podstawie wypowadzonych zależności (7) i wzou () ożna znaleźć osza lewitacji stailnej. Watości funkcji: -α, α, α -4α zostały pzestawione na wykesie. Osza jest oszae stailny jeśli wszystkie funkcje pzyjują watości dodatnie. Wykonując odpowiednie oliczenia ożna pokazać, że stailny osza znajduje się iędzy watościai.69r < z <. 8 () R Wystaczy tak doać paaety ączka i podstawy, ay ączek znajdował się w położeniu ównowagi w pionie w oszaze stailny. Paaete, któy najpościej zieniać podczas ekspeyentów, jest asa ączka. nne paaety pozostawały stałe i zostały ziezone. W naszych ekspeyentach został użyty agnes o R = 4 co daje osza stailny na wysokości od 7 do 76.5 nad śodkie podstawy.
ndukcja pola agnetycznego i watosci paaetow stailnosci (jednostki uowne),,8,6,4,, -, -,4 -,6 -,8 (z) -a (z) a (z) a - 4a osza stailny -,,,5,,5, Unoowana odleglosc od cewki z/r Wyk. Wykes zależności funkcji stailności od odległości od agnesu tooidalnego. Czany koloe zaznaczono indukcje pola agnetycznego agnesu Zdj. ączek lewitujący nad podstawa na wysokości 7 nad śodkie agnesu-podstawy Doświadczenia pokazały, że agnes-ączek zeczywiście lewituje i osiąga stan stailny na pzedziale wysokości podanych powyżej (zdj). W celu znalezienia oentu agnetycznego podstawy, została ziezona pzy poocy Gaussoetu składowa pionowa pola agnetycznego na osi syetii agnesu w zależności od odległości z. Następnie do otzyanych punktów poiaowych została dopasowana funkcja () ze względu na paaet p. Zostało pzyjęte, że R = 4.5. ndukcja Pola Magnetycznego [T],,, -, -, -, -,4 -,5 -,6 Punkty poiaowe Dopasowana funkcja,,,4,6,8,,,4 Odleglosc od agnesu [] Wyk. Wykes indukcji pola agnetycznego podstawy w zależności od odległości od śodka agnesu na jego osi syetii, waz z dopasowaną funkcją. Ziezony ty sposoe oent agnetyczny podstawy wynosi: p [ A ] 8.84 Ewentualne ozieżności z teoią dla ałych z są związane z ty, że odel teoetyczny pzyliża agnes pzez nieskończenie cięki okąg. Można teaz na podstawie zależności (), () oaz () wyznaczyć, jaki powinien yć stosunek asy ączka do jego oentu agnetycznego, ay ógł się znajdować w stanie lewitacji nad ty agnese. Otzyujey: pµ M pµ.946 < <.97 4 4 R g R g Co po podstawieniu watości liczowych daje: kg M kg. < <. 7 A A Różnica tych watości wynosi jedynie.6 co stanowi około 6% watości zegowych. Jest to powode dlaczego tak tudno jest doać asę ączka, ay stan lewitacji ył ożliwy. 4. Pole agnetyczne ączka Podonie, jak w pzypadku agnesu podstawy, zostało ziezone pole pochodzące od agnesu ączka. Zostało pzyjęte, że R =8.6 i dopasowano funkcję () Otzyany wynik pzedstawiono poniżej.
ndukcja Pola Magnetycznego [T],4,,, Punkty Poiaowe Dopasowana funkcja,,,,,,4,5,6,7,8,9 Odleglosc od sodka agnesu [] Wyk. Wykes indukcji agnetycznej agnesączka w zależności od odległości od śodka agnesu na jego osi syetii, waz z dopasowaną funkcją. Otzyana watość oentu agnetycznego wynosi: [ A ].8 Doświadczenia zostały pzepowadzone dla óżnych ass ączka. Można yło stwiedzić, że stan lewitacji jest ożliwy tylko dla wąskiego pzedziału watości ass:.4[ g] < M <. 7[ g] Po podzieleniu pzez p otzyujey: kg M kg.59 < <. 67 A A Watościai oczekiwane teoetycznie óżnią się od watości ziezonych doświadczalnie. Powode oże yć na pzykład niesyetyczne naagnesowanie agnesu-podstawy. Doświadczenia pokazały, że naagnesowanie óżnych części agnesu waha się nawet o 5%. Powode oże yć także zyt ała dokładność wykonanych poiaów dla agnesu ączka. Mio to ożna zauważyć, że otzyany pzedział jest adzo wąski, jego szeokość stanowi około.5% watości ganicznych. Jest to wynik niejszy, niż uzyskany teoetycznie. Pzyczyną ogą yć niewielkie oscylacje ączka wzdłuż osi z. 5. Wnioski Najważniejszy wnioskie z pzepowadzonych ozważań i doświadczeń jest stwiedzenie, że stan lewitacji dynaicznej jest ożliwy. Lewitacja ączka jest ożliwa w pewnych waunkach, któe zostały pzedstawione w ty opacowaniu. Najważniejszy z nich jest odpowiedni ozkład pola pochodzącego od podstawy oaz odpowiednia pędkość ączka. Lewitacja jest wówczas ożliwa w niewielki oszeze pzestzeni. Podone ozważania teoetyczne pokazują, że lewitacja jest także ożliwa, gdy ączek znajduje się nad podstawą w kształcie koła (ez dziuy w śodku), jednak wówczas znacznie tudniej jest wpowadzić ączek w odpowiednie iejsce. W doświadczeniach zostało zaosewowane, że ączek spada na podstawę po około in. Jest to związane z fakte, że wiujący ączek jest haowany pzez opoy powietza, pzez co jego pędkość kątowa aleje. Po pewny czasie spada ona poniżej watości kytycznej i ączek zostaje pzyciągnięty pzez podstawę. nny ważny paaete, któy wpływa na doświadczenie jest tepeatua otoczenia. Magnesy pod wpływe zian tepeatu zieniają swoje właściwosci, a ty say zienia się osza w ktoy ączek oże lewitowac stailnie. 6. Dalsze ożliwości ozwijania tego poleu - Doświadczalne zadanie pędkości kątowych ączka pzy któych taci on stailność - Okeślenie óżnych pzypadków w któych ączek taci stailność (zyt ała pędkość, zyt duże zauzenie itp.) - Okeślenie wpływu nutacji na adany pole - Doświadczalne zadanie innych agnesów - Zadanie wpływu pądów wiowych na adany pole 7. iliogafia [] T.. Jones, Masao Washizu, Roge Gas Siple theoy fo the Leviton, J. Appl. Phys. 8, 8 (997) [] M. D. Sion, L. O. Hlinge, S.L. Ridgway Spin stailized agnetic levitation, A. J. Phys. 65, 86 (997) [] M.V. ey The Leviton : an adiaatic tap fo spins, Poc. Roy. Soc. London A 45, 7 (996). [4] W. G. Hones Leviton Phisics [5] G. Genta, C. Delpete, D. Rondano Gyoscopic Stailization of Passive Magnetic Levitation Kluwe Acadeic Pulishes, Meccanica 4: 4-44, 999. [6] K. yczuk Lewiton posta zaawka fizyczna o nie tak postej teoii działania Delta (/6) [7] H.R. Dullin R.W. Easton Staility of Levitons, Physica D 6, (999). [8] John R. Taylo Classical Mechanics [9] Eanshaw, Sauel (84). "On the Natue of the Molecula Foces which Regulate the Constitution of the Luinifeous Ethe". Tans. Ca. Phil. Soc. 7: 97.