Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208 dr inż. Sebastian Korczak
Wykład 2 Regulator PID. Stabilność. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 2
Sterowanie w zamkniętej pętli pożądane wyjście obiektu y d (t) + - błąd sterowania e(t) REGULATOR sygnał sterujący u(t)=x(t) wejście obiektu OBIEKT y (t) wyjście obiektu 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 3
Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Transmitancja Proporcjonalny (P) Całkujący (I) Różniczkujący idealny (D) Różniczkujący rzeczywisty (D) k P T i s T d s T d s T s+ 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 4
Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Transmitancja Proporcjonalno-całkujący (PI) k P ( + T i s) Proporcjonalnoróżniczkujący (PD) k P (+T d s) 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 5
Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Transmitancja Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci standardowej z różniczkowaniem idealnym k P ( + T i s +T d s ) Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci równoległej z różniczkowaniem idealnym k P +k i s +k d s 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 6
Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci standardowej z różniczkowaniem rzeczywistym Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci równoległej z różniczkowaniem rzeczywistym Transmitancja k P ( + T i s + T d s Ts+) k P +k i s +k d s Ts+ 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 7
Regulator PID postać standardowa z różniczkowaniem idealnym k P T i s + + + T d s 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 8
Regulator PID postać równoległa z różniczkowaniem idealnym k P k i s + + + k d s 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 9
Regulatory - odpowiedzi na wymuszenia skokowe błąd sterowania sygnał sterujący e(t) REGULATOR u(t)? 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 0
Regulator proporcjonalny (P) G(s)=K p K p x 0 wyjście x 0 wejście czas 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW
Regulator całkujący (I) G(s)= T i s wyjście x 0 wejście T i czas 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 2
Regulator proporcjonalno-całkujący (PI) G(s)=K p( + T i s) 2 K p x 0 wyjście K p x 0 x 0 wejście T i czas 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 3
Regulator różniczkujący idealny (D) + G(s)=T d s wyjście x 0 wejście czas 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 4
Regulator różniczkujący idealny (D) G(s)=T d s T d x 0 Δ t sygnały dyskretne x 0 wejście wyjście Δ t czas 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 5
Regulator proporcjonalno-różniczkujący (PD) + G(s)=K P (+T d s) wyjście K p x 0 x 0 wejście czas 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 6
Regulator różniczkujący rzeczywisty (D) G(s)= T d s T s+ u max =x 0 T d T wyjście 0,368 u max x 0 wejście 0,35 u max 0,05u max T T T czas 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 7
Regulator proporcjonalno-różniczkujący rzeczywisty (PD) K P x 0( + T d T ) G(s)=K p( + T d s T s+) K p x 0 wyjście x 0 wejście czas 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 8
Regulator PID w postaci standardowej z różniczkowaniem idealnym + G(s)=K p( + T i s +T d s) wyjście 2 K p x 0 K p x 0 x 0 wejście czas T i 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 9
Regulator PID w postaci standardowej z różniczkowaniem rzeczywistym K P x 0( + T d T ) G(s)=K p( + T i s + T d s T s+) wyjście 2 K p x 0 K p x 0 x 0 wejście czas T i 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 20
regulator PID charakterystyka działania Czynnik proporcjonalny zazwyczaj niezbędny do działania regulatora, gdyż powoduje generowanie sygnału sterującego zbliżającego wyjście układu do wartości zadanej; zwiększanie jego wartości zazwyczaj zmniejsza błędy sterowania; sygnał sterujący jest uzależniony tylko od aktualnej wartości błędu; 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 2
regulator PID charakterystyka działania Czynnik proporcjonalny zazwyczaj niezbędny do działania regulatora, gdyż powoduje generowanie sygnału sterującego zbliżającego wyjście układu do wartości zadanej; zwiększanie jego wartości zazwyczaj zmniejsza błędy sterowania; sygnał sterujący jest uzależniony tylko od aktualnej wartości błędu; Czynnik całkujący akumuluje błędy; niezerowy błąd powoduje wzrost sygnału sterującego, co zazwyczaj pomaga osiągnąć wartość zadaną; sygnał sterujący jest uzależniony od wcześniejszego przebiegu błędów; problem nasycenia całkowania; wygładza zakłócenia; 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 22
regulator PID charakterystyka działania Czynnik proporcjonalny zazwyczaj niezbędny do działania regulatora, gdyż powoduje generowanie sygnału sterującego zbliżającego wyjście układu do wartości zadanej; zwiększanie jego wartości zazwyczaj zmniejsza błędy sterowania; sygnał sterujący jest uzależniony tylko od aktualnej wartości błędu; Czynnik całkujący akumuluje błędy; niezerowy błąd powoduje wzrost sygnału sterującego, co zazwyczaj pomaga osiągnąć wartość zadaną; sygnał sterujący jest uzależniony od wcześniejszego przebiegu błędów; problem nasycenia całkowania; wygładza zakłócenia; Czynnik różniczkujący reaguje na zmiany wartości błędu; przy stałym błędzie generuje zerowy sygnał sterujący; sygnał sterujący wynika z trendu przyszłego błędu; czynnik bardzo podatny na zakłócenia; 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 23
regulator PID Wpływ zakłóceń i błędów pomiaru na sygnał sterujący sygnał sterujący P błąd sterowania 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,20,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00-0,4-0,6-0,8 - I D 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 24
regulator PID Wpływ zakłóceń i błędów pomiaru na sygnał sterujący błąd sterowania 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,20,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00-0,4-0,6-0,8 - P I sygnał sterujący,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00-0,200,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00-0,40-0,60-0,80 -,00 D 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 25
regulator PID Wpływ zakłóceń i błędów pomiaru na sygnał sterujący błąd sterowania 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,20,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00-0,4-0,6-0,8 - P I sygnał sterujący,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00-0,200,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00-0,40-0,60-0,80 -,00,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00-0,200,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00-0,40-0,60-0,80 -,00 D 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 26
regulator PID Wpływ zakłóceń i błędów pomiaru na sygnał sterujący błąd sterowania 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,20,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00-0,4-0,6-0,8 - P I sygnał sterujący,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00-0,200,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00-0,40-0,60-0,80 -,00,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00-0,200,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00-0,40-0,60-0,80 -,00 D,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00-0,200,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00-0,40-0,60-0,80 -,00 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 27
regulator PID problem nasycenia całkowania (integral windup) Po dużej zmianie wartości zadanej czynnik całkujący może wygenerować bardzo duży sygnał sterujący na skutek długiego akumulowania błędu. Sygnał ten może wręcz osiągnąć maksymalną dopuszczalną wartość. Sygnał sterujący będzie tak duży dopóki wartość zakumulowanego błędu nie zacznie spadać, a to ma miejsce dopiero po osiągnięciu przeciwnego znaku błędu. Działanie układu sterowania jest zatem przez długi czas zablokowane, co niekorzystnie wpływa na zachowanie układu. 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 28
regulator PID problem nasycenia całkowania (integral windup) Po dużej zmianie wartości zadanej czynnik całkujący może wygenerować bardzo duży sygnał sterujący na skutek długiego akumulowania błędu. Sygnał ten może wręcz osiągnąć maksymalną dopuszczalną wartość. Sygnał sterujący będzie tak duży dopóki wartość zakumulowanego błędu nie zacznie spadać, a to ma miejsce dopiero po osiągnięciu przeciwnego znaku błędu. Działanie układu sterowania jest zatem przez długi czas zablokowane, co niekorzystnie wpływa na zachowanie układu. Możliwe rozwiązanie problemu: wyłączanie i zerowanie zakumulowanego błędu, jeśli wartość błędu jest poza pewnym małym obszarem wokół zera. 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 29
regulator PID problem nasycenia całkowania (integral windup),2 wartość zadana 6 5 0,8 wyjście 4 0,6 3 0,4 Regulator P Element inercyjny 2 sygnał sterujący 0,2 błąd 0 0,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0 0,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 30
regulator PID problem nasycenia całkowania (integral windup),2 wartość zadana 6 5 całka błędu 0,8 wyjście 4 0,6 3 0,4 0,2 Regulator PI Element inercyjny małe Ki 2 sygnał sterujący błąd 0 0,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0 0,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 3
regulator PID problem nasycenia całkowania (integral windup),2 wartość zadana 6 5 całka błędu 0,8 wyjście 4 0,6 3 0,4 0,2 Regulator PI Element inercyjny większe Ki 2 sygnał sterujący błąd 0 0,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0 0,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 32
,4 regulator PID problem nasycenia całkowania (integral windup),2 wartość zadana 5 0,8 wyjście 4 3 sygnał sterujący 0,6 2 całka błędu 0,4 0,2 Regulator PI Element inercyjny jeszcze większe Ki błąd 0 0,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0 0,00 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70-2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 33
Czas wzrostu T W Ocena jakości regulacji e obszar wartości zadanej ±5%e 0 wartość zadana e ST Uchyb statyczny e 0 T R N e 2 wartość regulowana Czas regulacji czas Wskaźnik przeregulowania w= e e 0 00% Wskaźnik tłumienia d= e 2 e 00 % 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 34
regulator PID metody doboru nastawów regulatora Analityczna Symulacyjna Eksperymentalna : wyznaczyć transmitancję zredukowaną układu sterowania 2: wyznaczyć odpowiedź na wymuszenie skokowe 3: dobrać parametry Kp, Ki i Kd do uzyskania zadowalającego kształtu odpowiedzi skokowej (można badać również odpowiedzi na dowolne wymuszenia lub charakterystyki Bodego) : wyznaczyć transmitancję zredukowaną układu sterowania 2: dokonać symulacji działania układu dla dowolnego interesującego nas wymuszenia 3: dobrać parametry Kp, Ki i Kd do uzyskania zadowalającego kształtu Strojenie ręczne lub metody: Zieglera-Nicholsa Pessena Cohen a-coon a Åström a Hägglund a 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 35
regulator PID Symulacja i strojenie arkusz kalkulacyjny do pobrania na stronie 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 36
regulator PID metoda Zieglera-Nicholsa (PID w formie standardowej). Ustawić regulator na działanie proporcjonalne o minimalnej wartości wzmocnienia. 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 37
regulator PID metoda Zieglera-Nicholsa (PID w formie standardowej). Ustawić regulator na działanie proporcjonalne o minimalnej wartości wzmocnienia. 2. Obserwować odpowiedzi skokowe układu. Przejść do punktu 3 jeśli zaobserwuje się niegasnące oscylacje wyjścia układu. Jeśli brak oscylacji lub zanikają, to należy podnieść współczynnik wzmocnienia i powtórzyć punkt 2. 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 38
regulator PID metoda Zieglera-Nicholsa (PID w formie standardowej). Ustawić regulator na działanie proporcjonalne o minimalnej wartości wzmocnienia. 2. Obserwować odpowiedzi skokowe układu. Przejść do punktu 3 jeśli zaobserwuje się niegasnące oscylacje wyjścia układu. Jeśli brak oscylacji lub zanikają, to należy podnieść nieznacznie współczynnik wzmocnienia i powtórzyć punkt 2. 3. Dla uzyskanego w punkcie 2 wzmocnienia krytycznego K kryt i zmierzonego okresu oscylacji T kryt wyznaczyć nastawy według tabeli: k p T i T d Klasyczna reguła Zieglera-Nicholsa 0,6 K u 0,5 T u 0,25 T u Wersja Pessen 0,7 K u 0,4 T u 0,5 T u Bez przeregulowania 0,2 K u 0,5 T u 0,333 T u 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 39
regulator PID (równoległy) programowanie (pseudokod) dt = 0.5 p_błąd = 0. suma = 0. Kp =. Ki =. Kd =. start: wartość_zadana = wartość_zmierzona = błąd = wartość_zadana wartość_zmierzona suma = suma + błąd * dt pochodna = ( błąd p_błąd) / dt wyjście = Kp* błąd + Ki*suma + Kd*pochodna p_błąd = błąd wait(dt) goto start 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 40
dt = 0.5 p_błąd = 0. suma = 0. Kp =. Ki =. Kd =. start: regulator PID (równoległy) programowanie (pseudokod) wartość zadana + błąd PID sterowanie pomiar OBIEKT wartość_zadana = wartość_zmierzona = błąd = wartość_zadana wartość_zmierzona suma = suma + błąd * dt pochodna = (błąd p_błąd) / dt wyjście = Kp* błąd + Ki*suma + Kd*pochodna p_błąd = błąd wait(dt) goto start wyjście 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 4
regulator PID symulacja regulator PID w sterowaniu ruchem samochodu 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 42
STABILNOŚĆ UKŁADÓW AUTOMATYKI 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 43
Stabilność W matematyce: W naukach inżynierskich: - teoria stabilności - stabilność metod numerycznych - stabilność w geometrii teoretycznej - stabilność wejście-wyjście - stabilność lotu - stabilność statków 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 44
Stabilność Teoria stabilności (matematyka) badanie stabilności rozwiązań równań różniczkowych, czyli ich zachowania przy małych zaburzeniach warunków początkowych Rodzaje stabilności: Lapunowa asymptotyczna orbitalna strukturalna 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 45
Stabilność w sensie Lapunowa ẋ(t)=f (x(t)) f (x e )=0, x e - położenie równowagi δ δ x e ϵ ϵ t t 0 ϵ>0 δ>0 jeżeli x(0) x e <δ, to x(t) x e <ϵ 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 46
Stabilność asymptotyczna ẋ(t)=f (x(t)) f (x e )=0, x e - położenie równowagi δ δ x e t t 0 ϵ>0 δ>0 jeżeli x(0) x e <δ, to lim t x(t) x e =0 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 47
Stabilność BIBO Bounded Input, Bounded Output stability (w teorii sterowania) Układ liniowy jest BIBO stabilny jeśli jego wyjście pozostaje ograniczone przy ograniczonym wejściu. x(t ) - wejście y(t) - wyjście 0< A< 0< B< t 0 jeżeli x(t) A, to y(t) B 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 48
Kryteria stabilności Ogólny warunek stabilności Kryterium Hurwitz Kryterium Nyquista 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 49
Ogólny warunek stabilności 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 50
Ogólny warunek stabilności G(s)= Y (s) X (s) = s p x(t)=δ(t) biegun transmitancji y(t)=l {x(s)g (s)}=l { s p } =e p t y(t)=e (a + j b )t =e a t e j b t =e a t (cos b t + j sin b t ) Re y (t)=e a t cosb t 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 5
G(s)= Y (s) X (s) = s p y (t)=e a t cos b t R ( p )=a, I ( p )=b 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 52
G(s)= Y (s) X (s) = s p y (t)=e a t cos b t R ( p )=a, I ( p )=b 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 53
G(s)= Y (s) X (s) = s p y (t)=e a t cos b t R ( p )=a, I ( p )=b stabilne asymptotycznie Re( p )<0 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 54
Ogólny warunek stabilności Układ liniowy o jednym wejściu i jednym wyjściu jest stabilny, jeśli części rzeczywiste wszystkich biegunów jego transmitancji są mniejsze od zera. G(s)= (s z )(s z 2 )...(s z m ) (s p )(s p 2 )...(s p n ) Re p <0 Re p 2 <0... Re p n <0 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 55
Przykład Zbadać stabilność układu korzystając z ogólnego warunku stabilności 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 56
Przykład Zbadać stabilność układu korzystając z ogólnego warunku stabilności G(s)= Y (s) X (s) = G +G G 2 = s 2 +4 s+6 = (s p )(s p 2 ) 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 57
Przykład Zbadać stabilność układu korzystając z ogólnego warunku stabilności G(s)= Y (s) X (s) = G +G G 2 = p = 2 2 2 j, p 2 = 2+ 2 j s 2 +4 s+6 = (s p )(s p 2 ) 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 58
Przykład Zbadać stabilność układu korzystając z ogólnego warunku stabilności G(s)= Y (s) X (s) = G +G G 2 = p = 2 2 2 j, p 2 = 2+ 2 j s 2 +4 s+6 = (s p )(s p 2 ) R ( p )<0 R ( p 2 )<0 układ jest stabilny z ogólnego warunku stabilności 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 59
Przykład 2 Dobrać wartość współczynnika k P aby układ był stabilny. x(s) + G (s)= 5 2 s y(s) G 2 (s)=k p 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 60
Przykład 2 Dobrać wartość współczynnika k P aby układ był stabilny. x(s) + G (s)= 5 2 s y(s) G 2 (s)=k p G(s)= Y (s) X (s) = G +G G 2 = 5 2 s ( 2 5 2 k p) p = ( 2 5 2 k p) 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 6
Przykład 2 Dobrać wartość współczynnika k P aby układ był stabilny. x(s) + G (s)= 5 2 s y(s) G 2 (s)=k p G(s)= Y (s) X (s) = G +G G 2 = 5 2 s ( 2 5 2 k p) p = ( 2 5 2 k p) Układ stabilny, jeżeli R ( p )<0 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 62
Przykład 2 Dobrać wartość współczynnika k P aby układ był stabilny. x(s) + G (s)= 5 2 s y(s) G 2 (s)=k p G(s)= Y (s) X (s) = G +G G 2 = 5 2 s ( 2 5 2 k p) p = ( 2 5 2 k p) Układ stabilny, jeżeli R ( p )<0 k p > 5 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 63
Przykład 2 Dobrać wartość współczynnika k P aby układ był stabilny. x(s) + G (s)= 5 2 s y(s) G 2 (s)=k p G(s)= Y (s) X (s) = G +G G 2 = 5 2 p = ( 2 5 2 k p) s ( 2 5 2 k p) (niestabilny) Układ stabilny, jeżeli R ( p )<0 k p > 5 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 64
Przykład 2 Dobrać wartość współczynnika k P aby układ był stabilny. x(s) + G (s)= 5 2 s y(s) G 2 (s)=k p G(s)= Y (s) X (s) = G +G G 2 = 5 2 s ( 2 5 2 k p) (stabilny) p = ( 2 5 2 k p) Układ stabilny, jeżeli R ( p )<0 k p > 5 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 65
Przykład 2 Dobrać wartość współczynnika k P aby układ był stabilny. x(s) stabilny + niestabilny G (s)= 5 2 s y(s) G 2 (s)=k p G(s)= Y (s) X (s) = G +G G 2 = 5 2 s ( 2 5 2 k p) (stabilny) p = ( 2 5 2 k p) Układ stabilny, jeżeli R ( p )<0 k p > 5 2.2.207 TMiPA, Wykład 2, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 66