ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI Postulaty Einsteina (95 r) I Zasada względnośi: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia lub : Równania wyrażająe prawa przyrody są niezmiennize względem przekształeń wynikająyh z przejśia od jednego inerjalnego układu odniesienia do drugiego II Zasada stałośi prędkośi światła: Prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia i nie zależy od ruhu źródeł i odbiorników światła - = 3 Prędkość światła w próżni jest prędkośią s 8 m granizną Żaden sygnał i żadne działanie jednego iała na drugie nie może zahodzić z większą prędkośią Zdarzenie w relatywistye opisuje się w zasoprzestrzeni przez podanie jego miejsa i zasu: yztw danym układzie współrzędnyh przeprowadza się synhronizaję zegarów: Z punktu A w hwili ta wysyła się sygnał świetlny do punktu B W hwili t B wskazywanej przez zegar B sygnał odbija się od lustra umieszzonego w punkie B i wraa do punktu A w hwili t wskazywanej przez zegar w punkie A Jeśli t B ta = t A tb to zegary A i B są A zsynhronizowane Taka synhronizaja musi być przeprowadzona dla wszystkih punktów układu Do synhronizaji używa się światła ponieważ prędkość światła jest taka sama we wszystkih układah inerjalnyh Czas w relatywistye nie jest wielkośią absolutną i w różnyh układah inerjalnyh może upływać inazej Transformaje Lorentza Bierzemy pod uwagę dwa układy inerjalne OiO z któryh jeden O porusza się z prędkośią wzdłuż os -ów względem układu O W hwili t = t = kiedy obydwa
układy pokrywały się z sobą umieszzone w pozątku układu O źródło światła wysłało impuls światła rozhodząego się izotropowo w przestrzeni Czoło impulsu tworzy sferę która w układzie O opisana jest równaniem + + = ( ) (5) y z t W układzie O na moy postulatów Einsteina zoło impulsu też musi tworzyć sferę o równaniu + y + z = ( t) (5) O y y y y t= t = t t R = t R = t O O O z z z z Transformaje są to równania które pozwalają przejść z jednego układu do drugiego Spróbujemy zastosować poznane wześniej transformaje Galileusza w elu przejśia od równania (5) do równania (5): = + t y = y z = z t = t (53) Otrzymamy ( ) ( + t ) + y + z = t (54) Od równania (54) jak widać z jego postai nie można przejść do równania (5) Umożliwiają to natomiast transformaje Lorentza: t + + t = y = y z = z t = (55)
Można to sprawdzić t + + t y z + + = + t + t + ( y + z ) = t + t + + t + ( y + z ) = t ( ) y z t + ( y + z ) = t + + = + Odwrotne transformaje Lorentza mają postać t t = y = y z = z t = (56) W przypadku kiedy transformaje Lorentza przehodzą w klasyzne transformaje Galileusza Konsekwenje transformaji Lorentza Skróenie Fitzgeralda Lorentza y y O O z z 3
Długość pręta w układzie w którym spozywa oznazymy przez l l = - O jest to długość własna pręta W układzie O względem którego pręt porusza się z prędkośią oznazymy przez l jego długość: l = Aby pomiar był poprawny należy współrzędne końów pręta i mierzyć w tej samej hwili zasu t = t = t Po skorzystaniu z transformaji Lorentza t t = = mamy = l = l (57) gdzie = Długość pręta l mierzona w układzie względem którego pręt się porusza jest mniejsza od jego długośi własnej l Jednozesność zdarzeń w różnyh układah odniesienia Zakładamy że w układzie O w punktah o współrzędnyh i zahodzą jednoześnie dwa zdarzenia w hwili t = t = t Czy zdarzenia te są równozesne w układzie O? t t t = t = ( ) t t = t t jeśli (58) Równanie (58) wyraża zasadę względnośi jednozesnośi zdarzeń niezależnyh 4
rozdzielonyh przestrzennie 3 Dylataja zasu Einsteina Załóżmy że w układzie O w tym samym miejsu = = zahodzą dwa zdarzenia w hwilah zasu t i t W układzie spozywająym O zdarzeniom tym odpowiadają hwile zasu t i t t + t + t = t = t t Δt = Δ = t t t (59) Jeśli zdarzenia dotyzą pojedynzej ząstki (iała) to zas mierzony zegarem poruszająym się razem z ząstką nazywamy zasem własnym i oznazamy przez τ (tau) Δτ Δ t = Δ t >Δτ (5) Dylataja zasu Einsteina: Poruszająy się zegar hodzi wolniej od zegara spozywająego Eksperymentalnie: ząstki wtórnego promieniowania kosmiznego miony doierają do powierzhni Ziemi z odległośi około km gdzie powstają Średni zas własny żyia mionu wynosi Δ τ = τ 6 s W tym zasie mion poruszająy się z prędkośią może pokonać dystans ( klasyznie ) τ s 3 = 6 m s 6 8 m Miony jednak pokonują dystans km dzięki wydłużeniu ( dylataji ) zasu: Δ t = τ km 5
Relatywistyzne składanie ( dodawanie ) prędkośi Przypuśćmy że źródło światła emituje foton do przodu oraz inny foton do tyłu Ile wynosi prędkość jednego fotonu względem drugiego? Odpowiedź zgodna z fizyką klasyzną to: ( w próżni ) Odpowiedź zgodna z fizyką relatywistyzną jest ozywiśie inna; ząstka nie może mieć prędkośi większej niż wzorami W układzie O składowe prędkość definiujemy = d dy y = dz z = dt dt dt a w układzie O wzorami d dy y dz = = z = dt dt dt Stosują transformaje Lorentza zapisane dla małyh przyrostów dt d d dt + + d = dy = dy dz = dz dt = uzyskamy d + dt + = = = = dt + + + + y z y z d (5) Odpowiedź zgodna z fizyką relatywistyzną na pytanie o prędkość jednego fotonu względem drugiego będzie wię następująa: z punktu widzenia fotonu leąego do tyłu: + = = = w = = + W podobny sposób można otrzymać wzory odwrotne do(5) 6
y z = y = z = (5) Pęd i energia w relatywistye Klasyzne wyrażenie na pęd p = m nie jest niezmiennize względem przekształeń Lorentza Okazało się że niezmiennize jest wyrażenie p = m (53) gdzie jest prędkośią iała Wyrażenie to można zapisać także w postai: p m dr dr dt d = =m τ (54) gdzie dτ jest odstępem zasu własnego ząstki Niekiedy wyrażenie na pęd przedstawia się w postai p = m r (55) gdzie m r = m/ zależy od prędkośi iała m jest nazywane masą relatywistyzną r W relatywistye drugie prawo Newtona przyjmuje postać d m F = dt (56) Korzystają z wzoru (56) można uzyskać wyrażenie na energię kinetyzną ząstki w sposób podobny jak w fizye klasyznej 7
d m m dek Fds = = dt = d (57) dt Z równania (57) wynika że E k m = + onst Ponieważ E = kiedy = mamy = m + onst onst = m wobe zego wzór k na energię kinetyzną przyjmuje postać E k m = m (58) W relatywistye ząste swobodnej opróz energii kinetyznej przypisuje się dodatkową energię E którą nazywa się energią spozynkową jako sumę energii kinetyznej i spozynkowej mamy E m = Definiują energię ałkowitą E = E + E = k m (59) Wzór (59) jest słuszny nie tylko dla ząstki ale i dla iała złożonego z wielu ząstek Energia spozynkowa E takiego iała składa się z : Energii spozynkowej poszzególnyh ząstek Energii kinetyznyh ząstek składowyh względem środka masy iała złożonego 3 Energii wzajemnego oddziaływania ząstek 8
Kombinaja wyrażenia na energię (59) i wyrażenia (53) na pęd daje wzór łąząy energię ałkowitą E z pędem p ząstki E = p + m (5) Dla fotonu m = otrzymamy: E = p (5) 9