Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 12

Transkrypt

1 Fizyka 1 (mechanika) AF14 Wykład 12 Jerzy Łusakowski

2 Plan wykładu Doświadczenie Michelsona - Morley a Transformacja Lorentza Synchronizacja zegarów Wnioski z transformacji Lorentza

3 Doświadczenie Michelsona - Morley a Doświadczenie Michelsona - Morley a

4 Doświadczenie Michelsona - Morley a Hipoteza eteru i doświadczenie Michelsona - Morley a Z 2 L 2 Z 1 S P L 1 T Z 1, Z 2 - zwierciadła, T - teleskop, S - źródło światła Obserwowano obraz interferencyjny promieni odbitych od zwierciadeł Z 1 i Z 2. Obraz interferencyjny powstaje w wyniku różnicy dróg P Z 1 P oraz P Z 2 P.

5 Doświadczenie Michelsona - Morley a Hipoteza eteru i doświadczenie Michelsona - Morley a Przypuśćmy, że ramię PZ 1 jest skierowane zgodnie z ruchem Ziemi względem eteru. Ziemia porusza się względem eteru z prędkościa υ Z, zaś światło - z prędkościa c. Względem interferometru światło porusza się z taka prędkościa c, że wynikajaca z tego prędkość światła względem eteru jest równa c. Oznacza to, że gdy światło porusza się w interferometrze w kierunku ruchu Ziemi (droga P Z 1 ), jego prędkość względem interferometru wynosi c υ z, a gdy przeciwnie - prędkość jest równa c+υ z. Czas potrzebny na przebycie drogi P Z 1 P wynosi: gdzie t 1 = L 1 c υ Z + L 1 c+υ Z = 2L 1 c γ2, γ = 1 1 β 2, β = υ Z c.

6 Doświadczenie Michelsona - Morley a Hipoteza eteru i doświadczenie Michelsona - Morley a Dla promienia poruszajacego się w drugim ramieniu, prędkość w układzie interferometru c musi spełniać zależność: c 2 = c 2 + υ 2 z, czyli c 2 = c 2 υ 2 z. Czas potrzebny na przebycie drogi P Z 2 P wynosi: t 2 = 2L 2 c 2 υ 2 z = 2L 2 c γ. Różnica t 1 t 2 = 2L 1 c γ2 2L 2 c γ, powoduje różnicę fazy promieni docierajacych do lunety i pojawieniu się obrazu inerferencyjnego.

7 Doświadczenie Michelsona - Morley a Hipoteza eteru i doświadczenie Michelsona - Morley a Badano, czy obraz się zmieniał, gdy interferomer był obracany wokół osi pionowej o 90 o - oczekujemy wtedy zmiany t 1 t 2. Nie zaobserwowano zmiany obrazu interferencyjnego. W doświadczeniu Kennedy ego i Thorndike a prowadzono obserwacje przez wiele miesięcy, szukajac zmiany obrazu interferencyjnego wywołanego ruchem Ziemi wokół Słońca. Wszystkie te doświadczenia dały wynik negatywny, co doprowadziło do odrzucenia hipotezy o istnieniu eteru.

8 Transformacja Lorentza Postulaty szczególnej teorii względności Formułując szczególna teorię względności, Einstein przyjał dwa postulaty: 1. Prędkość światła w próżni jest jednakowa w każdym kierunku we wszystkich inercjalnych układach odniesienia niezależnie od wzajemnego ruchu źródła i obserwatora. Jest to zarazem maksymalna prędkość rozchodzenia się oddziaływań w przyrodzie. 2. Prawa przyrody mają jednakowa postać we wszystkich inercjalnych układach odniesienia - jest to zasada względności Einsteina. (zasada względności Galileusza: zjawiska mechaniczne zachodza identycznie we wszystkich układach intercjalnych).

9 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Rozpatrujemy dwa układy współrzędnych: U i U o wzajemnie równoległych osiach. Y Y υ U X U X Z Z

10 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Zakładamy, że: w obu układach stosowane są te same jednostki czasu i przestrzeni; układ U porusza się względem układu U z prędkościa V w kierunku +x. Tzn., V = dx/dt, gdzie x oznacza położenie O (poczatek układu U ) w układzie U, a t - czas mierzony w układzie U. Oznacza to, że układ U porusza się względem układu U z prędkościa V, tzn., V = dx /dt, gdzie x - położenie O w układzie U, a t - czas mierzony w układzie U ; zakładamy, że w chwili, gdy O pokrywa się z O, zegary w obu układach wskazuja t=t = 0;

11 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Załóżmy teraz, że w punkcie O znajduje się źródło światła. Obserwator O rejestruje rozchodzac a się powierzchnię falową, która w chwili t określona jest wzorem: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. Chcemy, żeby obserwator O stwierdził, że w jego układzie x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. Idea: wychodzimy od transformacji Galileusza i tak ją poprawiamy, żeby otrzymać pożądany wynik. Szukamy transformacji liniowej (wtedy kształ powierzchni fazowej nie będzie zdeformowany).

12 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Przypuśćmy, że słuszna jest transformacja Galileusza, czyli: x = x Vt, y = y, z = z, t = t. Wtedy x 2 2xVt+V 2 t 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. Chcemy, żeby zniknęły wyrazy 2xVt+V 2 t 2. Widać, że musimy skomplikować zależność między t a t. Spróbujmy tak: gdzie a jest stałą. Wtedy x = x Vt, y = y, z = z, t = t+ax, x 2 2xVt+V 2 t 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 + 2c 2 atx+c 2 a 2 x 2.

13 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Wyrazy z xt znikna, jeśli 2xVt=2c 2 atx, czyli a= V/c 2, czyli t = t Vx/c 2. Wtedy dostaniemy x 2 ( 1 V2 c 2 )+ y 2 + z 2 = c 2 t 2 (1 V2 Kolejna poprawka pozwoli nam na usunięcie czynnika 1 V2 c 2 1 γ 2 : c 2 ). x = γ(x Vt), y = y, z = z, t = γ(t Vx/c 2 ).

14 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Podstawiamy: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 γ 2 (x Vt) 2 + y 2 + z 2 = c 2 γ 2 (t Vx/c 2 ) 2 Otrzymujemy: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 Znaleźliśmy zatem transformację, dla której prędkość światła jest taka sama dla dwóch poruszajacych się względem siebie obserwatorów.

15 Transformacja Lorentza Transformacja Lorentza = γ(x βct) y = y z = z ct = γ(ct βx) x β = V/c, γ = 1/ 1 β 2 Dla β 0, γ 1 i otrzymujemy transformację Galileusza: x = x Vt y = y z = z t = t

16 Transformacja Lorentza Co transformuje transformacja Lorentza? Transformacji podlegaja współrzędne zdarzenia obserwowanego przez poruszajacych się względem siebie obserwatorów. Praktyczny wniosek ułatwiajacy rozwiazywanie zadań: zadanie należy sformułować poprzez wskazanie ciągu zdarzeń, którym obserwatorzy przypisuja współrzędne.

17 Synchronizacja zegarów Świat radarowy Obserwator O, znajdujacy się w poczatku układu współrzędnych U bada ruch punktu P poruszajacego się wzdłuż osi x. W chwili t 1 wysyła sygnał świetlny, który odbija się (bez opóźnienia) od P i powraca do O w chwili t 2. Na tej podstawie O stwierdza, że w chwili t=(t 2 + t 1 )/2 punkt P znajdował się w odległości c(t 2 t 1 )/2, zatem jego współrzędne są równe: ( c(t2 + t 1 ) (ct,x)=, c(t ) 2 t 1 ). 2 2 Powtarzajac tę procedurę, O tworzy linię świata punktu P. Zauważmy, że linia świata sygnału świetlnego jest przekatn a układu współrzędnych (x, ct). Linia świata sygnału świetlnego nosi nazwę stożka świetlnego.

18 Fizyka 1 (mechanika) AF14 Wykład 12 Synchronizacja zegarów Świat radarowy Procedurę określenia położenia punktu P możemy zatem zobrazować tak: ct t 2 ct t 1 P Prędkość punktu P dana jest przez V c = dx cdt = tgϕ. ϕ x x

19 Synchronizacja zegarów Świat radarowy x= ct Linia świata punktu P x=υt ct x=ct x Stożek świetlny

20 Synchronizacja zegarów Sieć zsynchronizowanych zegarów Synchronizacja zegara znajdujacego się w P i nieruchomego względem O. Obserwator O mierzy odległość do P: R=c(t 2 t 1 )/2, a następnie przekazuje do P polecenie ustawienia zegara na chwilę t+r/c. W chwili t wysyła do P sygnał świetlny, który dociera do P w chwili t+r/c i uruchamia zegar wskazujacy tę właśnie godzinę. W ten sposób tworzona jest sieć zsynchronizowanych zegarów. Dwa poruszajace się względem siebie układy odniesienia należy rozumieć jak poruszajace się względem siebie sieci zegarów, z których każda jest zsynchronizowana przez swojego obserwatora.

21 Wnioski z transformacji Lorentza Dylatacja czasu Problem: w punkcie O zaszły dwa zdarzenia odległe o czas τ mierzony w układzie U. Jaki odstęp czasu przypisze tym zdarzeniom obserwator O? Zdarzenie 1: x 1 = 0,t 1 = 0; Zdarzenie 2: x 2 = 0,t 2 = τ. Transformacja Lorentza: { x 1 = γ(0 βc0) x 1 = 0 ct 1 = γ(c0 β0) t 1 = 0 { x 2 = γ(0 βcτ) x 2 = γβcτ ct 2 = γ(cτ β0) t 2 = γτ τ = γτ Wniosek: dla obserwatora O nieruchomego względem zachodzacych kolejno zdarzeń upływ czasu jest krótszy niż dla poruszajacego się obserwatora O.

22 Wnioski z transformacji Lorentza Dylatacja czasu Zróbmy teraz to samo, ale niech tym razem zdarzenia zachodza w punkcie O w odstępie τ. Mamy zatem: { 0 = γ(x1 βct 1 ) ct 1 = γ(ct 1 βx 1 ) { 0 = γ(x2 βct 2 ) ct 2 = γ(ct 2 βx 2 ) Z dwóch górnych równań dostajemy x 2 x 1 = βcτ. Różnica dwóch dolnych równań daje cτ = γ[cτ β(x 2 x 1 )]. Łącząc, dostajemy τ = γτ. Wniosek jest identyczny: dla obserwatora O nieruchomego względem zachodzacych kolejno zdarzeń upływ czasu jest krótszy niż dla poruszajacego się obserwatora O.

23 Wnioski z transformacji Lorentza Kontrakcja długości Ważna uwaga: pomiar długości pręta polega określeniu współrzędnych jego obu końców w tej samej chwili! Przypuśćmy, że pręt spoczywa w układzie U między punktami x 1 = 0 i x 2 = L. Jeśli obserwator O chce zmierzyć jego długość, to musi określić współrzędne końców pręta w swoim układzie (x 1 i x 2 ) w tej samej chwili czasu t. Czyli: { x 1 = γ(x 1 βct) = γ(x 2 βct) x 2 L = x 2 x 1 = γl; L= 1 γ L. Wniosek: długość obiektu względem ruchomego obserwatora jest mniejsza niż względem nieruchomego.

24 Wnioski z transformacji Lorentza Kontrakcja długości A teraz pręt spoczywa w U : x 2 x 1 = L. { x 1 = γ(x 1 βct 1 ) ct = γ(ct 1 βx 1 ) { x 2 = γ(x 2 βct 2 ) ct = γ(ct 2 βx 2 ) L = x 2 x 1 = γ(x 2 x 1 ) γβ(ct 2 ct 1 )=γl γβ 2 L= 1 γ L. Wniosek ten sam : długość obiektu względem ruchomego obserwatora jest mniejsza niż względem nieruchomego.