TEORIA STEROWANIA I, w 3. dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW

TEORIA STEROWANIA I, w 3 dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW

Podstawowy dla tego wykładu matematyczny opis obiektu: Transmitancyjny opis LTI D u (s) B x 0 sx(s) 1 s A x(s) C y( s) y(s) = [ C( si A) 1 = G( s) u ( s) + G B + D] u ( s) + C( si x ( s) x 0. A) 1 x 0 = D u ( z ) zx( z) 1 x( z) y( z) B C z x 0 z A 1 1 y( z) [ C( zi A) B D] u ( z) Cz( zi A) x0 = + + = = G( z) u ( s) + G ( z) x. x 0 2

PYTANIE: skąd wziąć matematyczny opis obiektu? Należy dobrze wykonać właściwie przygotowane czynności składające się na proces modelowania. 3

Racjonalność modelowania Czynności składające się na proces modelowania powinno się analizować z punktu widzenia ich racjonalności (łac. rationalis rozumowy, rozumny). T. Kotarbiński w swojej fundamentalnej pracy Traktat o dobrej robocie (1955) określił jako podstawę każdego rozumnego działania spełnienie wymagania tzw. prakseologicznej zasady racjonalności postępowania w myśl której człowiek powinien opierać swoją działalność na dobieraniu możliwie najlepszych sposobów osiągania wybranych celów. (1886 1981) Spełnienie tej zasady jest możliwe gdy działanie jest racjonalne rzeczowo, to znaczy jest przystosowane do obiektywnie istniejącej sytuacji, racjonalne metodologicznie, to znaczy zapewnia zgodność postępowania z posiadanymi: wiedzą uporządkowaną i informacjami (danymi). 4

Etapy modelowania obiektu Wyróżnię cztery etapy tworzenia matematycznego modelu obiektu: Analiza systemowa obiektu. Określenie postaci matematycznych zależności składających się na modelu obiektu. Identyfikacja parametrów modelu. Walidacja. Walidacja (potwierdzenie) modelu to procedura szukania odpowiedzi na pytanie: Czy model reprezentuje zebrane dane w sposób wystarczający do zaprojektowania system sterowania, którego działanie uznamy co najmniej za dobre? 5

Racjonalność rzeczowa i metodologiczna modelowania W odniesieniu do specyficznego działania jakim jest modelowanie, wymaganie racjonalności rzeczowej, to wymaganie zebrania całej dostępnej wiedzy na temat determinantów sytuacji modelującego. Dla pierwszych dwu etapów modelowania obiektu postulat ten oznacza, m.in., konieczność początkowego rozważenia jak najszerszego zakresu obiektu i świadome eliminowanie tych elementów, które nie są istotne dla osiągnięcia (dobrze określonego) celu działania systemu sterowania, a także pełną świadomość subiektywizmu swoich ograniczeń myślowych w postrzeganiu rzeczywistości. Dalej, aby spełnić to wymaganie trzeba zebrać całą istotną informację o obiekcie a także, co najmniej, skatalogować wiedzę teoretyczną i praktyczną na temat modelowania podobnych obiektów. Natomiast racjonalność metodologiczna to specyficzna umiejętność wykonania rzetelnego eksperymentu a następnie twórczego wykorzystania zebranej informacji i posiadanej wiedzy uporządkowanej (istniejących teorii i opracowanych danych eksperymentu), pozwalającego, np. na właściwe opracowanie wyników eksperymentu, wybór właściwej teorii albo stworzenie nowej, uzasadnienie odrzucenia niepotrzebnych informacji i na końcu dokonania przekonywającej walidacji. Zwróćmy jednak uwagę na to, że model opracowany w wyniku procesu racjonalnego metodologicznie, ale wykorzystującego niepełną informację (a więc nie racjonalny rzeczowo) może daleko odbiegać od rzeczywistości. 6

Etapy modelowania obiektu Analiza systemowa Określenie matematycznej postaci modelu Budowa modelu i identyfikacja obiektu Identyfikacja parametrów Dane pomiarowe MODEL wejścia Walidacja symulacja MODEL Obiekt eksperyment wyjścia obliczone Porównanie wyjścia zmierzone 7

Pożyteczny przykład: Kijek na palcu (Broom balancing) Segway Personal Transporter 8

Laboratoryjna realizacja: odwrócone wahadło na wózku napędzanym elektrycznym silnikiem liniowym J l odległość osi obrotu od środka masy kuli, której trzeba zapewnić równowagę, p położenie, θ kąt wychylenia obiektu, F siła, M masa wózka, m masa kuli, J jej moment bezwładności, masę pręta pomijamy. 9

Forcer-platen linear motor Płaski indukcyjny silnik liniowy (INDUKTOR, BIEGNIK, WÓZEK) F v p (BIEŻNIA) Obecnie produkowane silniki liniowe są tak zaprojektowane że dynamikę ich części elektromagnetycznej można pominąć i z zadawalającą dokładnością ich zachowanie opisuje równanie: F = k v cpɺ, m gdzie v to napiecie sterujące, a cpɺ siła przeciwelektromotoryczna. 10

J Wózek Równania ruchu wózka z wahadłem: kmv γ γ B Oznaczamy: g przyspieszenie ziemskie. γ i γ B współczynniki tarcia lepkiego, przyjmujemy γ B = 0. Nieliniowe równanie stanu: x = [ p θ pɺ θ ɺ ], u = k v, y = [ x x ] = [ p θ] T T T m 1 2 s θ = sinθ, c θ = cosθ d x dt = f ( x, u ) p 1 0 0 0 θ y = g( x) = Cx 0 1 0 0 = pɺ Liniowe równanie wyjścia θ ɺ 11

Odwrócone wahadło (inverted pendulum) Uprośćmy sobie sytuację zakładając, że położenie wózka nas nie interesuje (wózek rusza się by utrzymać w pionie wahadło). Gubimy zatem dwie współrzędne stanu związane z położeniem, a do równań nie wchodzi masa wózka (M t = m). Wprowadzając stosowne zmiany w równaniach, a także przyjmujac, że: siła przeciwelektromotoryczna jest pomijalnie mała, c 0, 2 θɺ 0, dostajemy: θ x1 TERAZ: x = = θɺ x 2 xɺ 1 x 2 0 u, y x1 x = 2 a21 sin x1 a22x + = 2 b2 cos x ɺ 1 a 21 > 0 xɺ = f ( x, u), y = g( x) = [ 1 0] x a 22 > 0 b 2 > 0 Przyjmujemy: a21 = a22 = b2 = 1. 12

Ruch na płaszczyźnie fazowej swobodnego odwróconego wahadła xɺ 1 x 2 x = ɺ 1 sin x 1 x x ' = y 2 y ' 1= s in(x) - y 2 0.5 [ 0.5 0.5] 0.4 0.3 0.2 θ ɺ y 0.1 0-0.1 [ 0.5 0] [0.1 0] -0.2-0.3-0.4-0.5 [0.1 0.5] -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x 30 = 0.5236 rad θ Programy J.C. Polkinga dla MATLABa: http://math.rice.edu/~dfield/ 13

1 2 Stabilizacja wahadła Stabilizujemy wahadło wykorzystując liniowe sprzężenie od stanu: u = Kx = [13 7] x, co daje następujące równania systemu sterowania xɺ = x xɺ = sin( x ) x + cos( x )( 13x 7 x ) 2 1 2 1 1 2 OBIEKT xɺ ( t) 1 x 01 x 1 (t) sin( ) xɺ ( t) 2 x 2 (t) x 02 cos( ) u(t) 7 13 LINIOWE SPRZĘŻENIE ZWROTNE 14

θ ɺy xɺ = Ustabilizowane odwrócone wahadło x 1 2 xɺ = x x + x x x x ' = y sin( y ' = s in(x) ) - y - 13 x cos( (x) - 7 y )( cos (x) 13 7 ) 2 1 2 1 1 2 0.5 0.4 0.3 [0.3 0.3 ] 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 [ 0.5 0.4 ] -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x θ [rad] 30 = 0.5236 rad 15

Stabilizacja wahadła z nasyceniem sterowania α gdy v < α v sat( v, α ) = v gdy v α α gdy v > α xɺ = x 1 2 xɺ = sin( x ) x + cos( x ) sat[ 13x 7 x,0.5] 2 1 2 1 1 2 OBIEKT xɺ ( t) 1 x 01 x 1 (t) sin( ) xɺ ( t) 2 x 2 (t) x 02 cos( ) u(t) 7 13 NIELINIOWE SPRZĘŻENIE ZWROTNE 16

xɺ = x 1 2 Stabilizowane odwrócone wahadło z nasyceniem sterowania xɺ = sin( x ) x + cos( x ) sat[ 13x 7 x,0.5] 2 1 2 1 1 2 0.5 α gdy v < α v sat( v, α ) = v gdy v α α gdy v > α 0.4 0.3 0.2 y 0.1 θ ɺ 0-0.1 [0 0.464 ] [0 0.464 ] -0.2-0.3-0.4-0.5 30 = 0.5236 rad -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x θ 17

xɺ = x 1 2 Stabilizowane odwrócone wahadło z nasyceniem sterowania xɺ = sin( x ) x + cos( x ) sat[ 13x 7 x,0.5] 2 1 2 1 1 2 0.5 α gdy v < α v sat( v, α ) = v gdy v α α gdy v > α 0.4 0.3 0.2 y 0.1 θ ɺ 0-0.1 [0 0.464 ] [0 0.464 ] -0.2-0.3-0.4-0.5 30 = 0.5236 rad -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x θ Obszar stabilności 18

Modelowanie układu dynamicznego będącego obiektem sterowanym w projektowanym serwomechanizmie położenia robota IRp6 Serwomechanizm ustalający położenia poszczególnych osi robota IRp6 stanowi element najniższej warstwy jego systemu sterowania. Określenie co jest obiektem sterowanym dla takiego serwomechanizmu wynika z przyjętej zasady projektowania (całego) systemu regulacji ruchu robota. 19

Etapy modelowania obiektu Wyróżniłem cztery etapy tworzenia matematycznego modelu obiektu: Analiza systemowa obiektu. Określenie postaci matematycznych zależności składających się na model obiektu. Identyfikacja parametrów modelu. Walidacja. 20

Analiza systemowa przygotowująca projektowanie serwomechanizmu położenia robota Ruchy manipulacyjne robota planuje się w wybranym, stałym układzie współrzędnych kartezjańskich. Wyznaczenie realizujących ten ruch przemieszczeń kątowych (postępowych) poszczególnych osi robota jest tzw. zadaniem odwrotnym kinematyki manipulatora. Znalezienie rozwiązania tego zadania nie jest łatwe, bo na ogół nie jest ono jednoznaczne. Zadanie proste kinematyki to zadanie polegające na wyznaczeniu zmian pozycji (i orientacji) narzędzia w wybranym układzie współrzędnych kartezjańskich na podstawie przemieszczeń kątowych poszczególnych osi. Ponieważ mierzymy przemieszczenia kątowe osi to system regulacji ruchu robota można zaprojektować na dwa sposoby. 21

Pierwszy rodzaj systemu regulacji ruchu robota Sygnały sterujące silnikami poszczególnych osi są obliczane na podstawie uchybów położenia wyliczanych dla poszczególnych współrzędnych układu kartezjańskiego. 22

Pierwszy rodzaj systemu regulacji ruchu robota Zadanie proste kinematyki rozwiązywane on-line staje się tu elementem układu pomiarowego. Ceną jaką płacimy za możliwość użycia tego zadania jest konieczność zaprojektowania wielowymiarowego (wielopętlowego) algorytmu regulacji. Zauważmy, że dobry algorytm wielowymiarowy można uzyskać tylko wtedy gdy dysponujemy bardzo dokładnym modelem dynamicznych własności całego obiektu wzajemnie połączonych układów elektromagnetycznych i mechanicznych dla wszystkich osi. Spełnienie tego warunku może być bardzo trudne. 23

Drugi rodzaj systemu regulacji ruchu robota Sygnały sterujące silnikami poszczególnych osi są obliczane na podstawie uchybu położenia dla przemieszczeń kątowych tych osi. 24

Drugi rodzaj systemu regulacji ruchu robota Zadanie odwrotne kinematyki jest tu elementem procedury wyznaczania zadanego przebiegu przemieszczeń kątowych. Może być ono rozwiązywane off-line, gdy zadany przebieg jest wyznaczany wcześniej jako program ruchu. Gdy dysponujemy efektywnym algorytmem jego rozwiązywania i szybkim procesorem w systemie sterowania, można je rozwiązywać on-line. Projektując ten system nie musimy określać wielowymiarowego algorytmu regulacji. Często możemy interakcje pomiędzy osiami występujące w układzie mechanicznym uznać w trakcie projektowania za zakłócenia, z którymi potrafi sobie poradzić zamknięty układ sterowania. Zatem system regulacji może składać się z autonomicznych, jednopętlowych układów zaprojektowanych dla poszczególnych osi. Jeżeli wspomniane interakcje nie są zbyt silne, to zaprojektowanie dobrego układu jednopętlowego jest możliwe nawet wtedy gdy model obiektu, którym dysponujemy nie jest zbyt dokładny. Zauważmy tu, że manipulatory robotów są najczęściej projektowane tak, aby interakcje pomiędzy poszczególnymi osiami były jak najmniejsze. 25

Analiza systemowa: Decyzja strukturalna Przyjmujemy, że potrafimy efektywnie rozwiązywać zadanie odwrotne kinematyki. Zatem projektowana struktura systemu sterowania robota będzie strukturą drugą: kontrola ruchu poszczególnych osi zostanie powierzona jednopętlowym, autonomicznym układom regulacji położenia, dla których zadany przebieg jest wyznaczany przez rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki manipulatora. 26

Etapy projektowania systemu sterowania Analiza systemowa obiektu Określenie postaci matematycznych zależności składających się na model obiektu. 27

Określenie postaci matematycznych zależności składających się na model obiektu: modelowanie matematyczne obiektu sterowania Przy takiej decyzji strukturalnej obiektem sterowanym jest silnik napędowy osi wraz z obciążeniem, poddany dodatkowym wpływom interakcyjnym wynikającym z ruchu pozostałych osi. Obecnie najczęściej jest to silnik elektryczny. Z ogólnego punktu widzenia taki silnik z obciążeniem jest przetwornikiem energii elektromagnetycznej na mechaniczną. Schemat oddziaływań pomiędzy obydwoma procesami, tj. elektromagnetycznymi i mechanicznymi, dla silnika obrotowego jest następujący: M z u UKŁAD ELEKTRO MAGNETYCZNY M e W M UKŁAD MECHANICZNY ϕ 1 N θ BE 28

Modelowanie matematyczne obiektu sterowania M z u UKŁAD ELEKTRO MAGNETYCZNY M e W M UKŁAD MECHANICZNY ϕ 1 N θ BE Układ elektromagnetyczny na tym rysunku traktujemy szerzej niż na rysunkach poprzednich. W zależności od przyjętych rozwiązań konstrukcyjnych włączamy do niego cały układ wykonawczy albo co najmniej tę jego część, która związana jest z przekazywaniem mocy. W tej sytuacji: u oznacza elektryczny sygnał sterowania podawany na wejście układu sterowania wzmacniaczem mocy, M e moment napędowy będący wynikiem procesów elektromagnetycznych, M z sumę momentów zewnętrznych i wewnętrznych zmniejszających moment napędowy, M moment zmieniający położenie (przemieszczenie kątowe) θ kolejnej osi robota, 1/N to przekładnia zamieniająca szybkie obroty silnika na dużo wolniejsze obroty osi, BE oddziaływanie wsteczne procesów mechanicznych na elektromagnetyczne. 29

Modelowanie matematyczne obiektu sterowania Dalej założymy, że przedstawione powyżej układy są sztywne, przy czym dla każdego z nich sztywność jest rozumiana inaczej. Klasycznie rozumiana sztywność układu mechanicznego to brak podatności na odkształcenia członów mechanicznych. Oznacza to, że w modelu matematycznym takiego układu wynikającym z zasady równowagi momentów: dϕ = ω dt 1 dω ( J + J ) 2 ob = M e M z N dt gdzie J jest momentem bezwładności silnika, a jest momentem bezwładności mas obciążających zredukowanym na wał silnika, można pominąć momenty zależne od położenia., 1 N 2 J ob 30

Modelowanie matematyczne obiektu sterowania Moment zakłócający M z, zmniejszający moment napędowy, jest sumą zredukowanych na wał silnika momentów pochodzących z interakcji z pozostałymi osiami 1 M ir = M i N i momentu tarcia M f. Zwykle przyjmuje się trójczłonowy model tarcia M f = M s + M C + k f ω gdzie ostatni człon opisuje moment tarcia lepkiego (viscous friction) proporcjonalnego do prędkości, M s to moment tarcia spoczynkowego (static friction), a M C to moment tarcia suchego (Coulomba) (Coulomb friction). 31

Modelowanie matematyczne obiektu sterowania: upraszczanie Przyjęte podejście pozwala na włączenie momentu tarcia lepkiego do równania równowagi momentów 1 dω ( J + J ) + k ω = M M 2 N dt 1 M z = M i + M s + M C N ob f e z Zwykle przełożenie jest duże, N > 100. Oznacza to, że tak bezwładnościowe jak i momentowe wpływy zewnętrzne można pominąć 1 J + J ob J, M z M s + 2 N M C 32

Model składnika mechanicznego obiektu sterowania Zatem silnik z dostatecznie duża przekładnią jest sztywny i jego dynamikę dobrze opisuje równanie: J dω + dt k f ω = M e M M e moment napędowy będący wynikiem procesów elektromagnetycznych, M s moment tarcia spoczynkowego, M C moment tarcia suchego. s M C Podkreślmy taki model nie nadaje się do projektowania serwomechanizmów położenia dla robotów z napędem bezpośrednim (direct drive), w których nie ma przekładni, θ = ϕ. 33

Model składnika elektromagnetycznego obiektu sterowania Sztywność układu elektromagnetycznego rozumiemy ostrzej niż sztywność układu mechanicznego. Zakładamy bowiem, że przekształcenie sygnału sterowania na moment jest liniowym procesem statycznym (pomijamy dynamikę procesów elektromagnetycznych): M e = k em (u k be BE). Do pełnego opisu brakuje modelu określającego zależność oddziaływania wstecznego BE od prędkości i położenia. Dla silników elektrycznych BE zależy tylko od prędkości ω i w większości przypadków statyczny model liniowy jest wystarczający: BE = k ω ω. 34

Model obiektu sterowania Łącząc powyższe wzory i wprowadzając oznaczenie s dla operatora różniczkowania, po prostych przekształceniach dostajemy następujący opis obiektu gdzie: (Ts + 1)ω = k v (u M fu ) T = sϕ = ω M fu = η(m s + M C ) k J + k k k f be ω em, k v tarcie mierzone w jednostkach sterowania kem 1 =, η =. k + k k k k f be ω em em Wprowadzony powyżej współczynnik η to współczynnik przeliczeniowy pozwalający na dodawanie momentów tarcia do sygnału sterowania. 35

(Transmitancyjny) Model obiektu sterowania M fu u ω 1 ϕ k v Ts +1 Przyjęte założenia pozwoliły zatem opisać obiekt jako szeregowe połączenie członu inercyjnego o stałej czasowej T i wzmocnieniu prędkościowym k v oraz członu całkującego. Jest to model bardzo prosty, lecz założenie sztywności pozwala na posługiwanie się tylko podstawowymi cechami obciążonego silnika: inercją przy odpowiadaniu na wymuszenia i definicyjną zależnością między położeniem a prędkością. Jednak wartość tego modelu jest wątpliwa dopóki nie wyznaczymy parametrów tych zależności i nie sprawdzimy zgodności przebiegów uzyskanych symulacyjnie z przebiegami zmierzonymi w obiekcie. s 36

Transmitancja obiektu sterowania sterowanie zakłócenie człon inercyjny całkowanie wyjście Zwróćmy tu uwagę, że modelowany obiekt sterowany nie był czarną skrzynką. Przy tworzeniu zależności miedzy interesującymi nas wielkościami posługiwaliśmy się skumulowaną wiedzą inżynierską (m. innymi prawami natury) i doświadczeniem. UWAGA: Formalna wartość tego schematu blokowego jest taka sama jak układu równań 37

Określenie postaci matematycznych zależności składających się na modelu obiektu Schemat blokowy opisujący zależności matematyczne (schemat transformacji sygnałów): M fu dla N dużego: M fu = η(m s + M C ) u ω 1 ϕ k v Ts +1 s Schemat blokowy opisujący zależności fizyczne: M z M z = 1 M i + M s + N M C u UKŁAD ELEKTRO MAGNETYCZNY M e W M UKŁAD MECHANICZNY ϕ 1 N θ BE 38

Etapy projektowania systemu sterowania Analiza systemowa obiektu Określenie postaci matematycznych zależności składających się na modelu obiektu Identyfikacja parametrów modelu. 39

Identyfikacja parametrów modelu Przedstawię teraz możliwą metodę identyfikacji parametrów wybranego modelu dla pierwszego stopnia swobody (osi) robota IRp 6 tj. wózka. 40

Realizacja sprzętowa serwomechanizmów Przetwornik Wzmacniacz mocy Silnik z obciążeniem Pomiar przemieszczenia Urządzenie wykonawcze Obiekt Regulator Sterownik 41 (Układ sterujący)

Identyfikacja parametrów modelu Najprostszą metodą identyfikacji pozwalającą na określenie wartości parametrów wybranego transmitancyjnego modelu obiektu jest analiza odpowiedzi skokowych. t 1(t) 1 1 2 0 (unit) step G( s) G(s) k t 5.4510 = 0.0867s + 1 t h(t) step response Amplitude 6 5 4 3 2 1 Step Response Istotne założenie: Możemy taki eksperyment przeprowadzić! 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Time (sec) T 42

Identyfikacja parametrów modelu Ponieważ w naszym przypadku obiekt jest astatyczny wymuszenie identyfikujące musi mieć postać impulsu prostokątnego o zadanej amplitudzie i dostatecznie długim czasie trwania. Najczęściej możemy mierzyć położenie i prędkość, jednak ze względu na to, że pomiar prędkości jest zawsze bardziej zaszumiony do identyfikacji lepiej jest posłużyć się zmierzonymi zmianami położenia. 350 Oś 3, wykresy znormalizowane 3 przyrosty 300 250 200 150 100 0.7 0.9 --0.7 0.8 Prędkości trzeciej osi zmierzone przy skokach o różnych amplitudach. 50 0 Polycrank -50 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 czas (milisekundy) 43

Identyfikacja parametrów modelu t 1(t) u( ) kv G( s) = s( Ts + 1) Odpowiedź obiektu o takiej transmitancji jest następująca: Step Response 16 h( ) t h(t) ϕ( ) 3 x 104 2.5 2 Ponieważ ( t) u(t) [ 255,255], to jako amplitudę skoku wybieramy wartość środkową : U =120 120h( ) 14 12 10 1.5 2.5 x 104 zmierzona prędkość Amplitude 8 1 2 6 4 0.5 1.5 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time (sec) t t h( t) = T (exp( ) 1) + t T 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 1.2 1.4 1.6 1.8 time [s] Zatem: eksperymentalnie potwierdziliśmy, że jakościowo nasz model jest właściwy! 0-0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 time (sec) 44

Identyfikacja parametrów modelu G( s) = kv s( Ts + 1) Trzeba teraz wyznaczyć wartości parametrów k v i T. Wzór określający odpowiedź przyjętego modelu obiektu przy założeniu zerowego momentu tarcia M fu na skok o amplitudzie U przyłożony w chwili t 0 jest następujący t t0 hmod ( t; t0, U, kv, T ) = Ukv[ T (exp( ) 1) + ( t t0)]. T Posługując się tym wzorem łatwo jest obliczać wartości wskaźnika metody najmniejszych kwadratów określającego stopień dopasowania parametrów do wartości rzeczywistych 2 ( k, T ) V( k, T ) = M [ h ( n) h ( nt ;0, U, k, T )] v v n= 1 r mod p v gdzie { h ( )} M r n n= 1 jest zmierzoną w M kolejnych chwilach, nt p, odpowiedzią obiektu na skok o amplitudzie U =120. Dla danych przedstawionych na rysunku takie postępowanie dało: k v = 131.93 oraz T = 0.2118[s]. 45

Identyfikacja parametrów modelu G( s) = 131.93 s(0.2118s + 1) Trzeba teraz dokonać walidacji (potwierdzenia) modelu. Porównajmy więc zmierzoną odpowiedź obiektu z obliczoną (symulowaną) przez zidentyfikowany model. 3 x 104 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Zatem: eksperymentalnie potwierdziliśmy, że ilościowo nasz model jest właściwy! 46

Walidacja modelu Zatem: eksperymentalnie potwierdziliśmy, że ilościowo nasz model jest właściwy. Porównajmy odpowiedzi skokowe modelu zerowej osi ruchomego robota IRp6 (wózka) z odpowiedziami zarejestrowanymi dla skoków o różnych amplitudach U l : Amplitude Czy to stwierdzenie jest prawdziwe? 3.5 x 104 Step Response 3 2.5 2 1.5 1 U = 140 U = 120 U = 80 Nie wygląda to dobrze. Oparcie identyfikacji tylko na jednym eksperymencie nie jest wystarczające. Z ilościowego punktu widzenia (a ten jest dla nas najważniejszy) model nie jest w właściwy. 0.5 0-0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Time (sec) Model musi w sensowny sposób pokryć cały zakres sygnałów wejściowych. 47

Identyfikacja parametrów modelu Trzeba w sensowny sposób pokryć cały zakres sygnałów wejściowych. Ze względów bezpieczeństwa do badania wybrano następujące ciągi amplitud skoków: {U l } = {30, 50, 80, 100, 120, 140, 150} (w jednostkach pomiaru sterowania) {U l } = { 30, 50, 80, 110, 120, 150} Przebieg zmierzonych odpowiedzi skokowych zerowej osi ruchomego robota IRp6 (wózka) dla skoków o różnych amplitudach U l : przesuniecie [impulsy rezolwera] 3.5 x 104 3 2.5 2 1.5 1 0.5 zmiany polozenia skok 150 skok 140 skok 120 skok 100 skok 80 skok 50 skok 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 czas [s] 48

Identyfikacja parametrów modelu t t0 hmod ( t; t0, U, kv, T ) = Ukv[ T (exp( 1) + ( t t0)] T Postępując jak poprzednio, tj. posługując się metodą najmniejszych kwadratów ze wskaźnikiem M V( k, T ) = [ h ( n, U ) h ( nt ;0, U, k, T )] l l n= 1 r l mod p l l l gdzie {h r (n;u l )} jest zmierzoną w chwilach nt p odpowiedzią obiektu na skok o amplitudzie U l, l = 1,2,...,m, otrzymamy odpowiadające im wartości parametrów T l i k l. Wykorzystując komputer do porównywania wykresów można te parametry dostroić tak by przebiegi rzeczywiste i obliczone były jak najbardziej zbliżone do siebie. Jeżeli nie udaje się tego osiągnąć to przyjęty model nie jest prawdziwy obiekt nie jest sztywny i trzeba się zastanowić nad bardziej skomplikowanym opisem. 2 49

Identyfikacja parametrów modelu Otrzymane metodą najmniejszych kwadratów wartości stałej czasowej inercji T l, l = 1,2,...,m, z reguły nie różnią się znacznie od siebie i dlatego jako wartość stałej T w modelu można przyjąć wartość średnią Postępując tą drogą otrzymałem T = 0.2121 [s]. Większy kłopot sprawiło wyznaczenie wzmocnienia k v, ponieważ dla wybranego ciągu amplitud otrzymano ciąg wzmocnień {k l } = {47.32, 74.58, 105.76, 130.20, 131.93, 140.24, 51.89, 75.56, 105.01, 123.12, 137.46, 141.88} [imp_rezolwera/s]. Jak wybrnąć z kłopotów w tej sytuacji? HIPOTEZA: Wyznaczany współczynnik wzmocnienia wzrasta ze wzrostem amplitudy dlatego, że w obiekcie występuje suche tarcie dodatkowy moment zewnętrzny M Cu = ηm C, który dotychczas nie był uwzględniany. W takiej sytuacji właściwą ocenę wzmocnienia prędkościowego k v, a przy okazji wielkość współczynnika tarcia suchego c 0, można wyznaczyć w następujący sposób. 50

Wybór nowego modelu obiektu sterowanego Przyjmujemy, że moment tarcia suchego (w jednostkach pomiaru sterowania) jest opisywany wzorem M Cu = c 0 sgn(ω). (*) Następnie rozszerzamy nasz liniowy model do modelu nieliniowego przyjmując dla uproszenia, że moment tarcia jest tylko momentem tarcia suchego, M fu = M Cu. c 0 Nowy model model nieliniowy M Cu c 0 u ω ϕ 1 Dodanie zależności (*) oznacza, że w czasie ruchu sterowanie jest zmniejszone o c 0. k vn Ts + 1 s 51

Identyfikacja parametrów modelu nieliniowego Do wyznaczenia współczynnika wzmocnienia k vn tak rozszerzonego modelu możemy ponownie posłużyć się metodą najmniejszych kwadratów, tym razem jednak z funkcją Minimalizując tę funkcję otrzymamy wartość wzmocnienia k vn, i wielkość współczynnika tarcia suchego c 0 dla modelu nieliniowego. Podsumowując: Przedstawiony sposób postępowania zastosowany do danych przedstawionych na rysunku dał następujące wartości parametrów modelu nieliniowego dla pierwszego stopnia swobody ruchomego robota IRp6: Przypominam: {k l } = {47.32, 74.58, 105.76, 130.20, 131.93, 140.24, 51.89, 75.56, 105.01, 123.12, 137.46, 141.88} [imp_rezolwera/s]. 52

Nieliniowy model obiektu c 0 M Cu c 0 u ω ϕ vn 1 T sk + 1 s 53

Etapy modelowania obiektu Analiza systemowa obiektu Określenie postaci matematycznych zależności składających się na model obiektu Identyfikacja parametrów modelu Walidacja. 54

Walidacja modelu nieliniowego Musimy teraz eksperymentalnie potwierdzić, ze model nieliniowy jest ilościowo właściwy. d 2 s = ( ), ( Ts + s) φ = kvn ( u c0sgn( sφ )), kvn = 171.34, T = 0.2121 c0 = 26.0 dt Ponieważ model jest nieliniowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu jedynym praktycznym sposobem jego sprawdzenia jest numeryczne (komputerowe) rozwiązanie tego równania. W tym celu posłużymy się SIMULINkiem. 55

Walidacja modelu nieliniowego 2000 1500 Musimy teraz eksperymentalnie potwierdzić, że model nieliniowy jest ilościowo właściwy. U = 30 7000 6000 U = 50 model, pomiar 15000 U = 80 1000 5000 4000 10000 500 0 3000 2000 1000 5000-500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.5 x 104 U = 100 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 3 x 104 U = 120 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 3.5 x 104 U = 140 2 1.5 1 0.5 2.5 2 1.5 1 0.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Przyjmujemy, że w zakresie roboczym model nieliniowy jest ilościowo właściwy. 56

Przyjęty model obiektu c 0 Struktura: M Cu k vn c 0 u ω ϕ Ts + 1 1 s Parametry: k = 171.34, T = 0.2121, c = 26.0 vn Zakres stosowania: sterowanie u należy do przedziału [50,140] 0 57

Etapy projektowania systemu sterowania Analiza systemowa obiektu Określenie postaci matematycznych zależności składających się na model obiektu Identyfikacja parametrów modelu Walidacja 58

To jeszcze nie koniec modelowania! Analiza systemowa Określenie matematycznej postaci modelu Budowa modelu i identyfikacja obiektu Identyfikacja parametrów Dane pomiarowe MODEL Walidacja 59

Określenie postaci matematycznych zależności składających się na model obiektu Zidentyfikowaliśmy parametry przyjętego modelu nieliniowego: c 0 M Cu c 0 k vn u ω ϕ Ts + 1 1 s Zakres stosowania: sterowanie u należy do przedziału [50,140] Nasz model ma posłużyć do projektowania serwomechanizmu. Jedną z najskuteczniejszych metod projektowania serwomechanizmów jest metoda częstotliwościowa. Niestety można ją stosować tylko dla obiektów liniowych. Interesująca jest więc odpowiedź na pytanie: czy do celów projektowych model nieliniowy z tarciem suchym, może być zastąpiony rodziną modeli liniowych parametryzowaną przez jeden współczynnik, tzw. liniowym modelem przedziałowym. Odpowiedź pozytywna oznacza, że charakterystyki częstotliwościowe obiektu stałyby się grubymi krzywymi i w procesie projektowania trzeba pamiętać o najgorszym przypadku, ale podstawowe własności częstotliwościowej metody projektowania serwomechanizmów zostają zachowane. 60

Wyznaczenie modelu przedziałowego obiektu Dla modelu nieliniowego przy u(t) = U1(t), U > 0, w stanie ustalonym prawdziwa jest równość ω ust = k vn (U c 0 ). Można ją przepisać w sposób następujący c ω 0 ust = ρ( U ) U, gdzie ρ ( U ) = k vn (1 ) U co pokazuje, że model nieliniowy można zapisać jako układ równań w którym wzmocnienie ρ( ) jest zależne od wartości sygnału sterującego. Jest to tzw. model z nieliniowym współczynnikiem wzmocnienia. 61

Wyznaczenie modelu przedziałowego obiektu 0 rysunek ω ust = kvn ( U c0 ) ω + k c = k U U ust vn 0 ω = ust + c k vn 0 vn c0 ρ ( U ) = kvn (1 ) = U c0 = kvn (1 ) = ω ust + c0 k vn k (1 vnc = k 0 vn ) = ω + k c ( k ) = kvn ω + k ust vn 0 vn 2 c 0 c ust vn 0 Jeżeli znamy maksymalną ω d + i minimalną ω d, prędkości sygnału zadanego ω d to zakres zmian nieliniowego współczynnika wzmocnienia ρ( ), a tym samym zakres zmian wzmocnienia prędkościowego k v przyjmowany w procesie projektowania, jest łatwo wyznaczyć 62

Ustalenie parametrów modelu przedziałowego na podstawie zidentyfikowanych parametrów nieliniowego modelu obiektu Dla wózka ruchomego robota IRp6 przyjęto ω d = 5 000 [imp_rezolwera/s] oraz ω d + = 15 000 [imp_rezolwera/s], co po stosownym zaokrągleniu dało zakres wzmocnienia prędkościowego 90 k v 133. Jak pamiętamy stała czasową wyznaczyliśmy jako równą T = 0.2121 [s]. ϕ = G Przedziałowy model z czasem ciągłym u G(s) k v ( s ) u = u, k v s ( 0.2121 s + 1) [ 90,133 Model ważny dla prędkości z przedziału 5 000 ω 15 000 ϕ ] 63

3.5 x 104 3 2.5 2 1.5 1 0.5 2.5 x 104 2 1.5 Walidacja wybranego modelu przedziałowego Zakres ważności modelu obszarowego: 5 000 ω 15 000. U = 140 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 U = 100 2.5 2 1.5 1 0.5 18000 16000 14000 3 x 104 U = 120 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 U = 80 Ustalona prędkość przy U = 140 jest równa ω s 22 000, U = 120 jest równa ω s 16 000, U = 100 jest równa ω s 14 000. U = 80 jest równa ω s 10 000. Przyjmujemy, że dla wybranego zakresu prędkości, który określa górną granicę amplitudy sterowania na 100, model obszarowy jest jakościowo i ilościowo właściwy. 1 12000 10000 0.5 8000 6000 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 czas [s] 4000 2000 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 64

Etapy projektowania systemu sterowania Analiza systemowa obiektu Określenie postaci matematycznych zależności składających się na model obiektu wybrano model przedziałowy Identyfikacja parametrów modelu przedziałowego Walidacja 65

Ostateczna walidacja wybranego modelu Przyjmujemy, że dla wybranego zakresu prędkości, który określa górną granicę amplitudy sterowania na 100, model przedziałowy jest jakościowo i ilościowo właściwy. Jak możemy potwierdzić tą hipotezę? Inżynier zawsze buduje model, który do czegoś ma służyć. W przypadku rozważanego obiektu wózka robota IRp6 model miał być wykorzystany do zaprojektowania serwomechanizmu tej osi. Przetwornik Wzmacniacz mocy Urządzenie wykonawcze Układ sterujący (Układ sterujący) Silnik z obciążeniem Obiekt Sterownik Regulator Pomiar przemieszczenia uchyb sterowanie prędkość maksymalna 10 000 przyspieszenie maksymalne 25 000 100 impulsów rezolwera= 0.58651 mm 66

Model z niepewnością parametryczną Przy okazji wprowadziłem nową klasę modeli: modele z niepewnością parametryczną W rozważanym przykładzie był to model transmitancyjny o znanej strukturze (postaci transmitancji G) i nieznanych konkretnych wartościach parametrów tej transmitancji: ( s C)G(s, ): A C, gdzie A zbiór wartości parametrów. Ponieważ znamy strukturę modelu (wzór określający transmitancję) o takich opisach mówi się, że posiadają: ustrukturalizowany opis niepewności (structured uncertainty). 67

Niebezpieczeństwa modelowania wg Lennart Ljung, Torkel Glad, Modeling of dynamic systems, Prentice Hall 1994. UNIKAJMY: 1. Efektu Pigmaliona: nie wierzmy, że nasz model jest dobry, bo w jego opracowanie włożyliśmy wiele wysiłku (Don t fall in love with your model). 2. Efektu Prokrusta: nie naginajmy danych pomiarowych tak by lepiej pasowały do naszego modelu (Don t disregard phenomena that conflict with your model). 3. Efektu myślenia życzeniowego (wishful thinking): nie zapominajmy, że model jest tylko przybliżeniem rzeczywistości (Be aware of the model s ( lack of ) accuracy). 68