Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe PWN (2012) 2
Siły zachowawcze (konserwatywne) Tylko dla niektórych sił można zdefiniować odpowiadającą im energię potencjalną Dwa warunki: Siła zależy tylko od położenia ciała Ԧr, a nie od prędkości, czasu, itd. Czyli: F = F r Praca W(1 2), jaką siła F wykonuje wzdłuż krzywej łączącej punkty 1 i 2 nie zależy od wyboru krzywej 3
Energia potencjalna U Ԧr Jeśli F(Ԧr) jest zachowawcza to można zdefiniować energię potencjalną U Ԧr, taką że: E = K + U jest zachowana! Energia potencjalna: U Ԧr = W r 0 Ԧr න r 0 Ԧr ԦF Ԧr d Ԧr Wybierz punkt odniesienia r 0, U r 0 = 0 4
Przykład: Energia potencjalna ładunku Ładunek elektryczny q znajduje się w jednorodnym polu elektrycznym E 0 skierowanym wzdłuż osi x, tak że siła działająca na q wynosi ԦF = qe = qe 0 x. 5 UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: Energia potencjalna ładunku Ładunek elektryczny q znajduje się w jednorodnym polu elektrycznym E 0 skierowanym wzdłuż osi x, tak że siła działająca na q wynosi ԦF = qe = qe 0 x. 6 UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: Energia sprężyny 7 Punkt odniesienia x = 0 czyli położenie równowagi.
Przykład: Energia pola grawitacyjnego 8 Punkt odniesienia? Taki, żeby potencjał = 0
Praca jako różnica dwóch energii potencjalnych W r 0 r 2 = W r 0 r 1 + W r 1 r 2 r 0 r 1 W r 1 r 2 = W r 0 r 2 W r 0 r 1 W r 1 r 2 = U r 2 U r 1 = ΔU r 2 9 Twierdzenie P-EK: ΔT = W r 1 r 2 ΔT = ΔU Δ T + U = 0
Zasada zachowania energii Dla jednej cząstki Jeśli na ciało działają siły F i (i = 1,, n), które są zachowawcze To z każdą z sił można związać energię potencjalną U i (r) Wówczas całkowita energia mechaniczna: E = T + U = T + U i (r) nie zależy od czasu i 10
Siły niezachowawcze Dla takiej siły nie możemy zdefiniować energii potencjalnej Nie możemy zdefiniować wielkości o charakterze energii, która byłaby zachowana Możemy zapisać twierdzenie o pracy i energii kinetycznej ΔT = W = W zach + W nzach ΔT = ΔU + W nzach ΔE = Δ T + U = W nzach 11
Siła jako gradient energii potencjalnej Zdefiniowaliśmy: U Ԧr = W r 0 Ԧr න Ԧr ԦF Ԧr d Ԧr 12 Praca przy małym przemieszczeniu z definicji: W Ԧr Ԧr + d Ԧr = ԦF Ԧr d Ԧr = F x dx + F y dy + F z dz Z drugiej strony: W Ԧr Ԧr + d Ԧr = [U Ԧr + d Ԧr U(Ԧr)] df = f x + dx f x = df dx dx r 0
Siła jako gradient energii potencjalnej W Ԧr Ԧr + d Ԧr = [U Ԧr + d Ԧr U(Ԧr)] = U x + dx, y + dy, z + dz U x, y, z = du = U x dx + U y dy + U z dz Ale z definicji mieliśmy: W Ԧr Ԧr + d Ԧr = ԦF Ԧr d Ԧr = F x dx + F y dy + F z dz Czyli: F x = U x, F y = U y, F z = U z 13
Siła jako gradient energii potencjalnej F x = U x, F y = U y, F z = U z ԦF = x U U y x y z Ƹ U z = U Operator różniczkowy Nabla: = x x + y y + zƹ z 14
Przykład: czy siła F = jest zachowawcza? Czy siła F = 2x, 2y, 2z jest zachowawcza? F x = U x = 2x U = x2 + p y, z F y = U y = 2y U = y2 + q x, z F z = U z = 2z U = z2 + r x, y Czyli istnieje potencjał: ԦF = grad U = grad(x 2 + y 2 + z 2 ) 15 Można to zrobić łatwiej
Drugi warunek zachowawczości ԦF Można pokazać (z twierdzenia Stokesa), że praca siły ԦF jest niezależna od wyboru krzywej wtedy i tylko wtedy gdy: ԦF = 0 ԦF rotacja pola wektorowego ԦF dywergencja pola wektorowego 16
Pola wektorowe W każdym punkcie wektor Pole sił Pole prędkości Pole wektorowe: funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową Przykład: f x, y = (cos y, sin x) 17
Dywergencja Divergence (diverge) czyli rozchodzić (rozbiegać) się Jak rozbiega się wektor w zadanym punkcie v > 0 źródło v < 0 dren (zlew, ściek) 18 https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/divergence-and-curl-articles/a/divergence
Rotacja Rotacja lub wirowość: wirowanie pola = h = wektor x, y, z, h = h x, h y, h z h = x y z x y z h x h y h z 19
Dywergencja i rotacja http://www.math.umd.edu/~petersd/241/html/ex27b.html#2 20
Pola sił zachowawczych ψ = 0 Jeśli A = 0 (pole bezwirowe) to istnieje takie ψ, że A = ψ Pamiętaj, że dla zachowawczej: ԦF = U Czyli faktycznie warunek zachowawczości: ԦF = 0 21
Siły centralne ԦF Ԧr = F(r) r, Ƹ gdzie r = Ԧr, r Ƹ = Ԧr r Siły zachowawcze Pod wpływem siły centralnej punkt P porusza się w płaszczyźnie, która zawiera O oraz początkową prędkość P Oba powyższe stwierdzenia można udowodnić 22
Przykład: siła grawitacji ԦF Ԧr = G Mm r 2 Stała grawitacji G = 6.67408 31 10 11 Masa Ziemi M = 5.9722 10 24 kg rƹ m3 kg s 2 Promień równikowy R 6378.1km = 6.378 10 6 m Promień biegunowy R 6356.8km = 6.356 10 6 m F R = G M m = gm R2 g 1 = G M 2 R = 9.7984 g 2 = G M R 2 = 9.8664 23
Wahadło matematyczne F θ = mgsinθ Druga zasada dynamiki: ma = mgsinθ a = d2 x dt 2 = gsinθ Długość łuku: x = Lθ Równanie ruchu: θ ሷ + g L sinθ = 0 24 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Jak to rozwiązać? θ ሷ + g L sinθ = 0 sinθ = θ θ3 3! + θ5 5! Jeśli założysz, że θ 0, wtedy sinθ = θ θ ሷ + g L θ = 0 łatwo rozwiązać (jak?) Ale co to znaczy θ 0? (doświadczenie) 25
Przestrzeń konfiguracyjna dla oscylatora harmonicznego 10 5, d /dt 0-5 -10 0 2 4 6 8 10 t 26
Przestrzeń fazowa dla oscylatora harmonicznego d /dt 10 5 0-5 Każdy punkt w tej przestrzeni określa stan układu Przestrzeń położeń i pędów x, y, z, p x, p y, p z Dla układu wielu cząstek x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, p x1, p y1, p z1, p x2, p y2, p z2, 27-10 -10-5 0 5 10
A jeśli interesują nas duże kąty? θ ሷ + g L sinθ = 0 Jak to rozwiązać? A co jeśli jakieś dodatkowe siły? Tłumienie Wymuszanie cykliczne Wahadło może zadziwić! 28
Wymuszane wahadło i chaos deterministyczny 29 2 d sin 2 dt Acos( t)
Inne formalizmy Chcemy otrzymać równania ruchu Jeśli siły zachowawcze to wygodniejsze formalizmy: Lagrange a: L = T U Hamiltona: H = T + U 30