Wykład 9: Elektrostatyka cd Katarzyna Weron

Transkrypt

1 Wykład 9: Elektrostatyka cd Katarzyna Weron Matematyka Stosowana

2 Natężenie pola w przewodniku Gdzie się zgromadzi nadmiar ładunku? W jednym miejscu w środku Równomiernie w środku Równomiernie na zewnątrz Jeszcze inaczej Czy w środku przewodnika może być elektryczne jeśli nie ma prądu? Pole elektryczne wywiera siły na ładunki poruszając nimi - relaksacja

3 Natężenie pola i potencjał w przewodniku Nie ma pola elektrycznego wewnątrz przewodnika Prawo Gaussa nie ma ładunku w środku A co z takim tworem? Powierzchnia Gaussa

4 Pytanie: Czy w czasie burzy wysiadać z samochodu? /Faraday_cage

5 Energia potencjalna U - powtórka Jaką pracę musisz wykonać, aby przenieść Q do punktu R z? +q 1 R +q 2 0 R ԦF KW ԦF el R q W KW = න F ԦKW d Ԧr = න F Ԧ 1 q 2 el d Ԧr = න R R 4πε 0 r 2 = q 1q 2 dr න 4πε 0 R r 2 = q 1q 2 1 ൨ 4πε 0 r R r Ƹ d Ԧr = U = W KW = q 1q 2 4πε 0 R J > 0

6 Potencjał elektryczny V - powtórka Elementarna praca (na ładunek jednostkowy) aby przenieść ładunek R +Q R +q 0 R U = Qq 4πε 0 R J, V = U q = Q 4πε 0 R V > 0 dla Q > 0 V < 0 dla Q < 0 V = 0 dla R = ԦF KW ԦF el J C = V(volt)

7 Powierzchnie ekwipotencjalne i pole ) Na powierzchni ekwipotencjalnej nie wykonujesz pracy 2) 2) Siła na powierzchni zero 3) 3) Nie ma składowej natężenia 4) 4) Powierzchnie ekwipotencjalne natężenia pola 5) 5) Brak pola stały potencjał (nie 0)

8 A Treatise on Electricity and Magnetism James Clerk Maxwell

9 Po co wprowadzać potencjał elektryczny i powierzchnie ekwipotencjalne? Chcesz znaleźć trajektorię ładunku potrzebujesz E Często nie potrzebne tak dokładne informacje i wystarczy V V A V C V B

10 Różnica potencjałów V A R dԧl d Ԧr V A = න E d Ԧr A V B = න E d Ԧr B V B Siła zachowawcza B B V A V B = න E d Ԧr = න E dԧl A A

11 Różnica potencjałów - przykład V A = 150V dԧl q R d Ԧr V B = 50V Marcin Weron Przenoszę ładunek q z bud. C4 do punktu B: W KW = qv B = 50q J Przenoszę ładunek q z bud. C4 do punktu A: W KW = qv A = 150q J Różnica energii potencjalnej q(v A V B )

12 Zasada zachowania energii V A q(v A V B ) = K B K A R V B Kawałek metalu (bez poruszających się ładunków wewnątrz) jest ekwipotencjalny Kosz na śmieci i puszka ekwipotencjalne Elektron będzie się poruszał od puszki do kosza na śmieci Jak? Trajektoria trudne (E)

13 Natężenie i potencjał A 0 = V A V A = න E dԧl = ර E dԧl A To prawda tylko dla sil zachowawczych! Znamy natężenie pola elektrycznego: V A = න A To znamy potencjał! Co jeśli znamy potencjał? Natężenie powinno być pochodną. Co ze znakiem? E d Ԧr

14 Obliczanie natężenia pola z potencjału +Q rƹ r Czy natężenie to pochodna? dv dr = Q 4πε 0 r 2 E E = Q 4πε 0 r 2 rƹ V = Q 4πε 0 r Ale natężenie pola to wektor! Pomnóżmy obustronnie: dv dr r Ƹ = Q 4πε 0 r 2 rƹ Brakuje jeszcze minusa! E = dv dr rƹ

15 Powierzchnie ekwipotencjalne i ruch Ruch ładunku zawsze w kierunku linii sił pola Linie sił pola E Powierzchnie ekwipotencjalne E Ruch powierzchni ekwipotencjalnych v 0 = 0

16 W układzie kartezjańskim W pewnym punkcie P mamy V P, E(P) Ruszamy się o Δx w kierunku x Nie ma różnicy potencjału tzn. E x P = 0 Generalnie zmiana o ΔV E x = ΔV V Δx yz m To samo w pozostałych kierunkach: E = V x x + V y V y + z z Ƹ = V

17 Jak pole zależy od krzywizny? R A drut przewodzący R B Kula przewodnik Umieszczę ładunek Q A na A, V A = Q A /4πε 0 R A Umieszczę ładunek Q B na B, V B = Q B /4πε 0 R B Ale jeśli połączymy przewodnikiem V A = V B Q A = Q B Q A = Q B 4πε 0 R A 4πε 0 R B R A R B

18 Jak pole zależy od krzywizny? R A drut przewodzący R B Kula przewodnik Q A = Q B, niech R R A R B = 2R A wtedy Q B = 2Q A B Co z gęstością powierzchniową ładunku? σ B = Q B 4πR B 2 = 2Q A 4π 2R A 2 = Pole przy powierzchni E σ 2Q A 4π2 2 2 R = σ A A 2

19 Promień krzywizny i natężenie pola Q σ r > σ g Jak to zmierzyć? Elektroskopem σ g

20 Przebicia elektryczne Jeśli pole elektryczne zbyt duże to przebicie Elektrony zderzają się z cząstkami powietrza i jonizują je - lawina E

21 Przebicia elektryczne jak silne pole? Ile energii musi mieć elektron? Żeby zjonizować tlen 12.5 ev Żeby zjonizować azot 15 ev Co to jest za jednostka energii ev? Elektron poruszając się przez różnicę potencjału 1V nabywa energii kinetycznej 1eV 1eV = q e 1V, q e = C 1eV = J Zróbmy naiwne, zgrubne obliczenia

22 Przebicia elektryczne jak silne pole? Suche powietrze w 1Atm i temperatura pokojowa: elektron średnio podróżuje Δx = 1μm = 10 6 m pomiędzy zderzeniami Różnica potencjałów potrzebna do jonizacji ΔV 10eV E = ΔV Δx = = ev 107 m W rzeczywistości natężenie przebicia: Co to znaczy?

23 Generator van de Graffa jakie napięcie? Dla sfery: V = Q 4πε 0 R, E = Q, V = ER 4πε 0 R2 E = volt czy to bezpieczne? R 3mm 3cm 30cm V 10kV 100kV 1MV

24 Nowa koncepcja pojemność elektryczna Q C = Q V (farad = F) R V = Q 4πε 0 R C = 4πε 0R Sfera, przewodnik R C m 1 F 6400 km 700 μf = F 1cm 1pF = F

25 Pojemność wzajemna A B C = Q B V B Ok, jak nie ma A, ale Potencjał to praca na przeniesienie z do danego punktu Łatwiej w obecności A (przeciwny ładunek), tzn. V B Ponieważ ładunek jest jaki jest tzn. C B Jest to pojemność B w obecności A: d C = Q ΔV C = Q ΔV = σa Ed = σa = Aε 0 σd/ε 0 d

26 Jak magazynować energię? Energia potencjalna Naciąganie cięciwy łuku, ściskanie sprężyny, podnoszenie na wysokość Kondensator magazynuje energię potencjalną pola elektrycznego Elektrownie Pompowo-Szczytowe

27 Elektrownia szczytowo-pompowa Energię elektryczna energię potencjalna grawitacji (wpompowanie wody) ze zbiornika dolnego do górnego w okresie nadwyżki produkcji W godzinach szczytu, następuje odwrócenie procesu Energia elektryczna jest skupowana w okresie kiedy jest najtańsza, a sprzedawana w okresie najwyższego zapotrzebowania i za wysoką cenę

28 Kondensator Kondensator element elektryczny (elektroniczny), zbudowany z dwóch przewodników (okładek) rozdzielonych dielektrykiem. Magazynowanie energii Elementy obwodów służących do dostrajania nadajników/odbiorników radiowych i telewizyjnych Pamięć w komputerach

29 elektrony uciekają z okładki aż do wyrównania potencjałów elektrony płyną do okładki aż do wyrównania potencjałów Ładowanie kondensatora wyższy potencjał niższy potencjał

30 Kondensator Podłącz na chwilę przewodniki z przeciwnymi biegunami baterii ładunek +Q, Q Różnica potencjału - napięcie (voltage) U = V a V b = φ a φ(b) Pojemność: zależy od ośrodka C = Q U F = C V 1F = 1C/V (Farad) 1μF = 10 6 F, 1pF = UNIVERSITY F PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

31 Kondensator Symbol na schematach układów elektrycznych i elektronicznych: wyższy (dodatni) potencjał W rzeczywistości najczęściej: UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

32 Ładowanie kondensatora Physics for Scientists and Engineers 6E by Serway and Jewett

33 Pojemność kondensatora jeszcze raz C = Q U b W ab = න E ds = φ a φ b U q 0 a Chcemy przenieść ładunek musimy wykonać pracę W = Uq Obliczyliśmy na wykładzie nr 6, że: U = Ed

34 Pojemość kondensatora C = Q U ale: U = Ed Natężenie pola można policzyć z prawa Gaussa (robiliśmy to dla pojedynczej płyty na wyk. 6): ර S E ds = ቐ 0 dla q na zewnątrz S q ε 0 dla q wewnątrz S

35 Pojemość kondensatora Jedna płyta: EA + EA = σa ε 0 E = σ 2ε 0 E = 2σ = σ = Q 2ε 0 ε 0 ε 0 A C = Q U = Eε 0A Ed = ε 0A d

36 Pojemość kondensatora kulistego Żeby obliczyć pojemność potrzebujemy obliczyć napięcie: C = Q U Żeby obliczyć napięcie potrzebujemy obliczyć natężenie pola U = r ഥE dlҧ Natężenie pola liczymy z prawa Gaussa to już robiliśmy UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

37 Pojemość kondensatora kulistego U = න r = q 4πε 0 r തE d ҧ l = න r 1 4πε 0 q r 2 dr UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

38 Pojemość kondensatora kulistego U = V a V b = Q 4πε 0 r a Q 4πε 0 r b = Q 1 1 4πε 0 r a r b C = Q U = 4πε r a r b 0 r b r a UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

39 Kondensatory podłączone równolegle To samo napięcie!!! U = Q 1, U = Q 2 C 1 C 2 Q = Q 1 + Q 2 = U(C 1 + C 2 ) Q U = C 1 + C 2 = C UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

40 Kondensatory podłączone szeregowo Ten sam ładunek!!! U 1 = Q C 1, U 2 = Q C 2, U = U 1 + U 2 = Q 1 C C 2 U Q = 1 C C 2 = 1 C UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

41 Jak działa ekran dotykowy pojemnościowy Dwie warstwy cienkich przeźroczystych przewodników jedna za drugą Stałe napięcie pomiędzy warstwami Przewodniki tworzą kratę Palec (przewodnik) drugi szeregowo ułożony kondensator Zmiany pojemności

42 Typowe zadanie zastąp układ kondensatorów wypadkowym 1 C = 1 C C 2 szeregowo C = C 1 + C 2 równolegle UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

43 Magazynowanie energii w kondensatorze Chcemy przenieść ładunek z jednej płytki na drugą musimy wykonać pracę dw = UdQ To właśnie robimy ładując kondensator Pamiętacie prace w innych układach? Działamy siłą powodując przesunięcie: dw = F x dx Układ wykonuje pracę zmieniając objętość: dw = pdv Uwaga: Patrzymy z punktu widzenia pracy nad układem: dw = F x dx, dw = pdv

44 Magazynowanie energii w kondensatorze Chcemy przenieść ładunek z jednej płytki na drugą musimy wykonać pracę dw = UdQ Ale C = Q U U = Q C W = න 0 W dw = න 0 W Q C dq = Q2 2C = 1 2 C Q C 2 = 1 2 CU2 = Energia potencjalna zmagazynowana w kondensatorze

45 Defibrylator medyczny Można zmagazynować energię elektryczną aż do 360J gdy kondensator jest w pełni naładowany Ta energia może być dostarczona pacjentowi w ciągu 2ms W przybliżeniu to 3000 razy więcej niż 60W żarówka! Inne zastosowanie: lampa błyskowa

46 Kondensator 25m 5cm d = 0.01mm C = Aε 0 d = 1μF

47 Dielektryki W praktyce między okładkami kondensatora nie ma próżni! Dielektryk (izolator elektryczny): plastik, szkło, guma Jak myślicie po co? Mniejsza odległość między okładkami Napięcie przebicia Wzrost pojemności UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

48 Kondensator z dielektrykiem Michael Faraday 1837 pokazał, że pojemność kondensatora wzrasta: pojemność bez dielektryka (z próżnią) C = ε r C 0 dielektryk Powietrze [1atm] Papier 3.5 Porcelana 6.5 Krzem 12 Woda (20 st) 80.4 ε r Stała dielektryczna (przenikalność elektryczna względna)

49 Kondensator z dielektrykiem Wsuwamy dielektryk między okładki utrzymując stały ładunek Wówczas: Q = C 0 U 0 = CU U = C 0 C U 0 Ale: C = ε r C 0 U = U 0 ε r To można zmierzyć w doświadczeniu! To samo się dzieje z polem: E = E 0 ε r

50 E = E 0 E ind Physics for Scientists and Engineers 6E by Serway and Jewett Kondensator z dielektrykiem obraz mikroskopowy Dielektryki Polarne: trwałe momenty dipolowe Niepolarne: uzyskują moment dipolowy w polu (indukowany)