Metody rozwiązania równania Schrödingera

Podobne dokumenty
Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera

Modele kp Studnia kwantowa

Modele kp wprowadzenie

Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

wartość oczekiwana choinki

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera

gęstością prawdopodobieństwa

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?

Równanie Schrödingera

Inżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład

półprzewodniki Plan na dzisiaj Optyka nanostruktur Struktura krystaliczna Dygresja Sebastian Maćkowski

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

Wykład VI. Teoria pasmowa ciał stałych

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni (ZZU)

Wykład III. Teoria pasmowa ciał stałych

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera

Fizyka 3.3 WYKŁAD II

Spis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

Metody numeryczne Wykład 4

Równanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ

Wektory i wartości własne

Systemy. Krzysztof Patan

Faculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów

Mechanika kwantowa Schrödingera

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

Algebra liniowa z geometrią

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

Wektory i wartości własne

Metoda elementów skończonych

Układy równań liniowych

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

Podstawy fizyki wykład 2

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

Podstawy Automatyki. wykład 1 ( ) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Fizyka komputerowa(ii)

Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6

Wykład 21: Studnie i bariery cz.1.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

Transformaty. Kodowanie transformujace

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

2. Układy równań liniowych

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Metoda Różnic Skończonych (MRS)

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Podstawy elektrodynamiki / David J. Griffiths. - wyd. 2, dodr. 3. Warszawa, 2011 Spis treści. Przedmowa 11

S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Pasma energetyczne. Pasma energetyczne

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój

Symulacje komputerowe

Akademia Górniczo-Hurnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej. Praca inżynierska.

Wstęp do równań różniczkowych

Stara i nowa teoria kwantowa

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

Metoda elementów brzegowych

Dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 13 Mechanika Kwantowa

Dynamika manipulatora. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska. Podstawy robotyki wykład VI

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

1. Liczby zespolone i

Wykład Budowa atomu 3

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Semestr Pierwszy Liczby i działania

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)

Transkrypt:

Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania Schrödingera dla układu ze zmienną masą Metoda różnicowa pozwalająca wyznaczyć strukturę pasmową dla skończonej studni potencjału

Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa 1. Druga zasada dynamiki Newtona: pęd, operator, potencjał, energia kinetyczna, energia potencjalna 2. Równanie Schrödingera - swobodny elektron - elektron w studni potencjału: potencjał!!! Fizyczna realizacja studni (jamy) potencjału 2

Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi - metody macierzowe znane również jako metody globalne - metody strzałów (metoda Numerowa) Metody wariacyjne Metody elementów skończonych 3 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

4 Operator drugiej pochodnej w postaci numerycznej

5 Równanie Schrödingera z numerycznym operatorem drugiej pochodnej

Idea rozwiązania równania Schrödingera metodą strzałów (Numerowa) Warunki brzegowe: Przykładowe warunki startowe: 6

Postać bezwymiarowa równania Schrödingera 7 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

Bezwymiarowa postać równania Schrödingera z numerycznym operatorem drugiej pochodnej 8 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej 9 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej Algebraiczne zagadnienie własne dla dyskretnego operatora energii 10 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

Rozwiązanie przy pomocy metody z Lapacka 11 Nagłówek procedury służącej do obliczania wartości własnych symetrycznej Macierzy (procedura była omawiana) Uwaga! Sprowadzenie macierzy do bezwymiarowej postaci nie jest konieczne jednak jest bardzo wygodne

Algorytm Martina-Deana 12 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

Kwantowanie energii elektronów nieskończona studnia potencjału (przypomnienie) 0 d Z Funkcja próbna: Z warunków brzegowych mamy: 13

Kwantowanie energii elektronów skończona studnia potencjału (przypomnienie) W barierze funkcja falowa zanika wykładniczo Funkcja falowa praz jej pierwsza pochodna jest ciągłą na całym obszarze Brak rozwiązania analitycznego dla tego zagadnienia 14

Skończona studnia potencjału Warunek brzegowy: Rozwiązanie postaci: Oznaczenia: Otrzymujemy równanie: 15

Skończona studnia Rozwiązanie równania Schrödingera dla skończonej studni potencjału sprowadza się do numerycznego wyznaczenia zera funkcji. 16

Ruch elektronu w ciele stałym masa efektywna 1. Struktura krystalograficzna (twierdzenie Blocha) 2. Struktura pasmowa ciała stałego: metale, półprzewodniki (dielektryki?) 3. Pojęcie masy efektywnej 17

Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą Gdzie pojawia się problem przy masie zmiennej z położeniem? Operator pędu zakłada, że masa efektywna nie zmienia się z położeniem co nie prawdą w przypadku studni kwantowych realizowanych w strukturach półprzewodnikowych. 18

Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą 19 Literatura: W. Salejda, et al. Acta Physica Pollonica A 95, 881 (1999).

Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą g0:=2.62452e-4 20 Literatura: W. Salejda, et al. Acta Physica Pollonica A 95, 881 (1999).

Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą Algebraiczne zagadnienie własne można sprowadzić do postaci: Gdzie: w-jest to odwrotność masy efektywnej wyznaczona na siatce punktów pośrednich Algebraiczne zagadnienie własne można rozwiązać przy pomocy algorytmu Martina-Deana lub przy pomocy zewnętrznej funkcji diagonalizującej macierz 21 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

Metoda różnic skończonych do wyznaczenia struktury pasmowej studni kwantowej Równanie Schrödingera Zakładamy Hamiltonian postaci: Rozkładamy Hamiltonian ze względu na potęgę przy kz. A,B,C macierze odpowiadające metodzie np. 8kp. Operator: 22

Zapewnienie ciągłości funkcji falowej na interfejsach oraz hermitowskość macierzy gwarantują następujące dyskretyzację operatorów

Otrzymujemy następujące równanie macierzowe: Rząd macierzy N=n*Nz Nz- pokrojenie w przestrzeni rzeczywistej 24

Oznaczenia M i,j to macierze: Indeks i numeruje macierze w zależności od położenia gdzie A jest macierzą współczynników stojących przy wyrazach kz 2, B jest macierzą współczynników stojących przy wyrazach kz a C jest macierzą niezależną od wyrazów kz. Każda z macierzy jest rozmiaru n n gdzie n oznacza liczbę funkcji bazowych (rodzaj modelu kp np.:8) 25

Metoda różnic skończonych do wyznaczenia struktury pasmowej Tworzymy macierze A, B i C, dla konkretnych wartości kx, ky. Na zadane siatce punktów w przestrzeni rzeczywistej. Na podstawie hamiltonianu odpowiadającemu metodzie kp, grupujemy człony ze względu na kz. Tworzymy macierz N-rzędu n*nz i ją diagonalizumemy. Możemy od razu uzyskać funkcję falową. Proces powtarzamy dla zadanego punktu w przestrzeni k (np. [100]) 26

Metoda Fal płaskich vs. Metoda Elementów skończonych Metoda rozwinięcia na fale płaskie Metoda elementów skończonych Musimy wybrać ilość fal płaskich i dokonać transformaty Fouriera dla wszystkich wielkości zależnych od położenia Szybkość metody zależy od ilości fal płaskich i czas obliczeń wzrasta wykładniczo wraz z ilością fal płaskich Dokładność metody zależy od ilości fal płaskich Przy optymalnym doborze parametrów metoda szybka Punktem wyjścia jest dyskretyzacja wszystkich wielkości w przestrzeni rzeczywistej Dokładność metody zależy od pokrojenia w przestrzeni rzeczywistej Szybkość metody zależy od liczby punktów w przestrzeni rzeczywistej Metoda stosunkowo wolna 27

28 Porównanie metody fal płaskich(pwe) i metody elementów skończonych(fdm)

Jeszcze raz o falach płaskich Fala płaska jest to fala, której powierzchnie falowe tworzą równoległe do siebie linie proste, gdy fala rozchodzi się po powierzchni, lub płaszczyzny, gdy rozchodzi się w przestrzeni trójwymiarowej. Równanieopisujące falę płaską: Fala płaska w 1D Fala płaska rozchodząca się w Kierunku z w periodycznej sieci (niezależna od czasu) u z = Ae 2πik(z+dz) k = π n L Przedstawiając daną wielkość w bazie fal płaskich musimy znaleźć układ ortonormalny o węzłach odpowiadających pokojeniu w Kz 29

Transformata Fouriera W rzeczywistości jako produkt transformaty Fouriera powstają macierze 2Nx2N. Z wielkości które były wektorami zależnymi od z (położenie) powstały macierze kwadratowe. i==-n..n Dla wybranej siatki punktów w przestrzeni rzeczywistej j=-n..n i dla danego N(liczba fal płaskich dokonujemy transformaty) n=i-j n 0 L zi L AF = න 0 2 π n A(z) e 2πzi/L n dz 1 e 2πzi/L n z n = 0 0 = AF L A z / Ldz Kz = π (i + j) L 30 Oznaczenia zi=i(zespolone)