Układy fizyczne z więzami Wykład 2

Układy fizyczne z więzami Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/48

Współrzędne uogólnione Wszystkie wielkości, które mogą opisywać pewien układ mechaniczny nazywamy współrzędnymi uogólnionymi. Mogą to być np. współrzędne kartezjańskie, cylindryczne, sferyczne, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/48

Współrzędne uogólnione Wszystkie wielkości, które mogą opisywać pewien układ mechaniczny nazywamy współrzędnymi uogólnionymi. Mogą to być np. współrzędne kartezjańskie, cylindryczne, sferyczne, albo ich kombinacja. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/48

Współrzędne uogólnione Wszystkie wielkości, które mogą opisywać pewien układ mechaniczny nazywamy współrzędnymi uogólnionymi. Mogą to być np. współrzędne kartezjańskie, cylindryczne, sferyczne, albo ich kombinacja. Minimalną liczbę niezależnych współrzędnych uogólnionych niezbędnych do pełnego opisu danego układu fizycznego będziemy nazywali liczbą stopni swobody układu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/48

Współrzędne uogólnione Przykładowo, punkt materialny mogący poruszać się swobodnie, tzn. bez żadnych ograniczeń geometrycznych, w trójwymiarowej przestrzeni ma 3 stopnie swobody, a jeśli może się poruszać na płaszczyźnie, to ma 2 stopnie swobody. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/48

Współrzędne uogólnione Przykładowo, punkt materialny mogący poruszać się swobodnie, tzn. bez żadnych ograniczeń geometrycznych, w trójwymiarowej przestrzeni ma 3 stopnie swobody, a jeśli może się poruszać na płaszczyźnie, to ma 2 stopnie swobody. Układ N punktów materialnych nie podlegający ograniczeniom geometrycznym ma w trójwymiarowej przestrzeni 3N stopni swobody, a na płaszczyźnie 2N stopni swobody. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/48

Współrzędne uogólnione Przykładowo, punkt materialny mogący poruszać się swobodnie, tzn. bez żadnych ograniczeń geometrycznych, w trójwymiarowej przestrzeni ma 3 stopnie swobody, a jeśli może się poruszać na płaszczyźnie, to ma 2 stopnie swobody. Układ N punktów materialnych nie podlegający ograniczeniom geometrycznym ma w trójwymiarowej przestrzeni 3N stopni swobody, a na płaszczyźnie 2N stopni swobody. Swobodna bryła sztywna ma w trójwymiarowej przestrzeni 6 stopni swobody, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/48

Współrzędne uogólnione Przykładowo, punkt materialny mogący poruszać się swobodnie, tzn. bez żadnych ograniczeń geometrycznych, w trójwymiarowej przestrzeni ma 3 stopnie swobody, a jeśli może się poruszać na płaszczyźnie, to ma 2 stopnie swobody. Układ N punktów materialnych nie podlegający ograniczeniom geometrycznym ma w trójwymiarowej przestrzeni 3N stopni swobody, a na płaszczyźnie 2N stopni swobody. Swobodna bryła sztywna ma w trójwymiarowej przestrzeni 6 stopni swobody, gdyż dodatkowo do swobody ruchu postępowego w 3 kierunkach, możemy ją obrócić na 3 różne sposoby. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/48

Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/48

Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/48

Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/48

Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, gdziewspółrzędnekartezjańskie (x 1,y 1,z 1 )pierwszegopunktu ponumerowaliśmy (x 1,x 2,x 3 ), Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/48

Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, gdziewspółrzędnekartezjańskie (x 1,y 1,z 1 )pierwszegopunktu ponumerowaliśmy (x 1,x 2,x 3 ),współrzędnekartezjańskie (x 2,y 2,z 2 ) drugiegopunktuponumerowaliśmy (x 4,x 5,x 6 ), Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/48

Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, gdziewspółrzędnekartezjańskie (x 1,y 1,z 1 )pierwszegopunktu ponumerowaliśmy (x 1,x 2,x 3 ),współrzędnekartezjańskie (x 2,y 2,z 2 ) drugiegopunktuponumerowaliśmy (x 4,x 5,x 6 ),itd. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/48

Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, gdziewspółrzędnekartezjańskie (x 1,y 1,z 1 )pierwszegopunktu ponumerowaliśmy (x 1,x 2,x 3 ),współrzędnekartezjańskie (x 2,y 2,z 2 ) drugiegopunktuponumerowaliśmy (x 4,x 5,x 6 ),itd. Związki te możemy zapisać wektorowo r i = r i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,N. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/48

Współrzędne uogólnione Ograniczmy się do jednego punktu materialnego (N = 1) i napiszmy związki w przypadku układu sferycznego: x i =x i (q 1,q 2,q 3,t), i =1,2,3, x 1 = rsinθcosϕ, x 2 = rsinθsinϕ, x 3 = rcosθ, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/48

Współrzędne uogólnione Ograniczmy się do jednego punktu materialnego (N = 1) i napiszmy związki w przypadku układu x i =x i (q 1,q 2,q 3,t), i =1,2,3, sferycznego: cylindrycznego: x 1 = rsinθcosϕ, x 2 = rsinθsinϕ, x 1 = rcosϕ, x 2 = rsinϕ, x 3 = rcosθ, x 3 = z, gdziezmienner =r(t),θ=θ(t),ϕ =ϕ(t)iz=z(t)są funkcjami czasu, a jawna zależność od czasu nie występuje. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/48

Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/48

Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Wynika to z konieczności uwzględnienia dodatkowych sił. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/48

Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Wynika to z konieczności uwzględnienia dodatkowych sił. Więzy holonomiczne to więzy opisane równaniami f i (q 1,q 2,...,q 3N,t) =0, i =1,2,...,k. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/48

Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Wynika to z konieczności uwzględnienia dodatkowych sił. Więzy holonomiczne to więzy opisane równaniami f i (q 1,q 2,...,q 3N,t) =0, i =1,2,...,k. k niezależnych równań więzów holonomicznych redukuje liczbę stopni swobody układu N punktów materialnych do 3N k. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/48

Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Wynika to z konieczności uwzględnienia dodatkowych sił. Więzy holonomiczne to więzy opisane równaniami f i (q 1,q 2,...,q 3N,t) =0, i =1,2,...,k. k niezależnych równań więzów holonomicznych redukuje liczbę stopni swobody układu N punktów materialnych do 3N k. Więzy nieholonomiczne to więzy, których nie można opisać zwykłymi(algebraicznymi) równaniami. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/48

Więzy holonomiczne przykłady Przykład1.Krążekopromieniurtoczysiębezpoślizguna płaszczyźnie po prostej nachylonej do osi Ox kartezjańskiego układu współrzędnych pod kątem α. Prosta ta spełnia rolę więzów. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/48

Więzy holonomiczne przykłady Przykład1.Krążekopromieniurtoczysiębezpoślizguna płaszczyźnie po prostej nachylonej do osi Ox kartezjańskiego układu współrzędnych pod kątem α. Prosta ta spełnia rolę więzów. Bez więzów do opisu ruchu krążka na płaszczyźnie potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/48

Więzy holonomiczne przykłady Przykład1.Krążekopromieniurtoczysiębezpoślizguna płaszczyźnie po prostej nachylonej do osi Ox kartezjańskiego układu współrzędnych pod kątem α. Prosta ta spełnia rolę więzów. Bez więzów do opisu ruchu krążka na płaszczyźnie potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych, np. współrzędnych środkakrążka (x,y)ikątaazymutalnego ϕ opisującego możliwy ruch obrotowy krążka, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/48

Więzy holonomiczne przykłady Przykład1.Krążekopromieniurtoczysiębezpoślizguna płaszczyźnie po prostej nachylonej do osi Ox kartezjańskiego układu współrzędnych pod kątem α. Prosta ta spełnia rolę więzów. Bez więzów do opisu ruchu krążka na płaszczyźnie potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych, np. współrzędnych środkakrążka (x,y)ikątaazymutalnego ϕ opisującego możliwy ruch obrotowy krążka, ale krążek może poruszać się tylko wzdłuż prostej. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/48

Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/48

Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Odległość punktu A od początku układu jest równa długości łuku opartej na kącie ϕ, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/48

Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Odległość punktu A od początku układu jest równa długości łuku opartej na kącie ϕ, a więc otrzymujemy równania x A =rϕcosα, y A =rϕsinα, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/48

Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Odległość punktu A od początku układu jest równa długości łuku opartej na kącie ϕ, a więc otrzymujemy równania x A =rϕcosα, y A =rϕsinα, które łatwo sprowadzić do postaci x A rϕcosα =0, y A rϕsinα =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/48

Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Odległość punktu A od początku układu jest równa długości łuku opartej na kącie ϕ, a więc otrzymujemy równania x A =rϕcosα, y A =rϕsinα, które łatwo sprowadzić do postaci x A rϕcosα =0, y A rϕsinα =0. Liczbastopniswobodyjestzatemrównan =3 2 =1. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/48

Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/48

Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Bez więzów do opisu ruchu koralika w przestrzeni potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/48

Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Bez więzów do opisu ruchu koralika w przestrzeni potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych. Ze względu na symetrię zagadnienia wybieramy współrzędne cylindryczne, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/48

Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Bez więzów do opisu ruchu koralika w przestrzeni potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych. Ze względu na symetrię zagadnienia wybieramy współrzędne cylindryczne, w których równania więzów mają postać: Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/48

Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Bez więzów do opisu ruchu koralika w przestrzeni potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych. Ze względu na symetrię zagadnienia wybieramy współrzędne cylindryczne, w których równania więzów mają postać: ϕ =ωt, z =ar 2. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/48

Więzy holonomiczne przykłady Równanieϕ =ωtokreślawartośćkąta,októryobrócisię płaszczyzna paraboli w czasie t, jeśli w chwili początkowej pokrywałasięonazpłaszczyznąxoy,arównaniez=ar 2 jest równaniem paraboli o zadanym współczynniku a. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/48

Więzy holonomiczne przykłady Równanieϕ =ωtokreślawartośćkąta,októryobrócisię płaszczyzna paraboli w czasie t, jeśli w chwili początkowej pokrywałasięonazpłaszczyznąxoy,arównaniez=ar 2 jest równaniem paraboli o zadanym współczynniku a. Przypomnijmy, że równanie paraboli o wierzchołku w początku układuwspółrzędnychmapostaćy =ax 2.Wtymprzypadkurolę zmiennejxspełniar,arolęzmiennejyspełniaz. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/48

Więzy holonomiczne przykłady Równanieϕ =ωtokreślawartośćkąta,októryobrócisię płaszczyzna paraboli w czasie t, jeśli w chwili początkowej pokrywałasięonazpłaszczyznąxoy,arównaniez=ar 2 jest równaniem paraboli o zadanym współczynniku a. Przypomnijmy, że równanie paraboli o wierzchołku w początku układuwspółrzędnychmapostaćy =ax 2.Wtymprzypadkurolę zmiennejxspełniar,arolęzmiennejyspełniaz. Równania więzów łatwo sprowadzić do postaci ϕ ωt =0, z ar 2 =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/48

Więzy holonomiczne przykłady Równanieϕ =ωtokreślawartośćkąta,októryobrócisię płaszczyzna paraboli w czasie t, jeśli w chwili początkowej pokrywałasięonazpłaszczyznąxoy,arównaniez=ar 2 jest równaniem paraboli o zadanym współczynniku a. Przypomnijmy, że równanie paraboli o wierzchołku w początku układuwspółrzędnychmapostaćy =ax 2.Wtymprzypadkurolę zmiennejxspełniar,arolęzmiennejyspełniaz. Równania więzów łatwo sprowadzić do postaci ϕ ωt =0, z ar 2 =0. Również tym razem liczba stopni swobody jest równa n =3 2 =1. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/48

Więzy nieholonomiczne przykłady Przykład 3. Punkt materialny zsuwa się po powierzchni kuli o promieniu R. Położenie punktu opisujemy wektorem r. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/48

Więzy nieholonomiczne przykłady Przykład 3. Punkt materialny zsuwa się po powierzchni kuli o promieniu R. Położenie punktu opisujemy wektorem r. Jeśli prędkość punktu będzie mała, to będzie on pozostawał na powierzchni kuli, jeśli natomiast prędkość punktu będzie odpowiednio duża, to oderwie się on od powierzchni. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/48

Więzy nieholonomiczne przykłady Przykład 3. Punkt materialny zsuwa się po powierzchni kuli o promieniu R. Położenie punktu opisujemy wektorem r. Jeśli prędkość punktu będzie mała, to będzie on pozostawał na powierzchni kuli, jeśli natomiast prędkość punktu będzie odpowiednio duża, to oderwie się on od powierzchni. Obie możliwości możemy uwzględnić pisząc nierówność dla wektora położenia punktu r = r(t) r 2 R 2 r 2 R 2 0, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/48

Więzy nieholonomiczne przykłady Przykład 3. Punkt materialny zsuwa się po powierzchni kuli o promieniu R. Położenie punktu opisujemy wektorem r. Jeśli prędkość punktu będzie mała, to będzie on pozostawał na powierzchni kuli, jeśli natomiast prędkość punktu będzie odpowiednio duża, to oderwie się on od powierzchni. Obie możliwości możemy uwzględnić pisząc nierówność dla wektora położenia punktu r = r(t) r 2 R 2 r 2 R 2 0, która oczywiście nie jest równaniem. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/48

Więzy nieholonomiczne przykłady Ważną klasę więzów nieholonomicznych tworzą więzy różniczkowe niecałkowalne. Przykład 4. Moneta toczy się bez poślizgu swoją boczną stroną po blacie stołu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/48

Więzy nieholonomiczne przykłady Ważną klasę więzów nieholonomicznych tworzą więzy różniczkowe niecałkowalne. Przykład 4. Moneta toczy się bez poślizgu swoją boczną stroną po blacie stołu. Położenie monety możemy opisać podając 5 współrzędnych, które możemy wybrać następująco x A,y A współrzędnepunktua,wktórymmonetastykasięz blatem, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/48

Więzy nieholonomiczne przykłady ϕ kąt,którytworzychwilowykierunekruchumonetyzosią Ox, θ kąt nachylenia płaszczyzny monety do blatu, ψ kątobrotowymonety. W każdej chwili moneta toczy się w kierunku prostej, wzdłuż której płaszczyzna monety przecina się z blatem. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/48

Więzy nieholonomiczne przykłady ϕ kąt,którytworzychwilowykierunekruchumonetyzosią Ox, θ kąt nachylenia płaszczyzny monety do blatu, ψ kątobrotowymonety. W każdej chwili moneta toczy się w kierunku prostej, wzdłuż której płaszczyzna monety przecina się z blatem. Przy obrocie o nieskończenie mały kąt dψ kierunek ruchu, a więc kąt ϕ, pozostaje w przybliżeniu stały. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/48

Więzy nieholonomiczne przykłady ϕ kąt,którytworzychwilowykierunekruchumonetyzosią Ox, θ kąt nachylenia płaszczyzny monety do blatu, ψ kątobrotowymonety. W każdej chwili moneta toczy się w kierunku prostej, wzdłuż której płaszczyzna monety przecina się z blatem. Przy obrocie o nieskończenie mały kąt dψ kierunek ruchu, a więc kąt ϕ, pozostaje w przybliżeniu stały. RzutypokonanejprzytakimobrociedrogirdψnaosieOxiOy dane są odpowiednio równaniami dx A = rdψcosϕ, dy A = rdψsinϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/48

Więzy nieholonomiczne przykłady Znak po prawej stronie odzwierciedla fakt, że zgodnie z rysunkiemprzyrostywspółrzędnychx A iy A sąujemne. Przenosząc wszystko na lewą stronę i zmieniając kolejność otrzymamy dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/48

Więzy nieholonomiczne przykłady Znak po prawej stronie odzwierciedla fakt, że zgodnie z rysunkiemprzyrostywspółrzędnychx A iy A sąujemne. Przenosząc wszystko na lewą stronę i zmieniając kolejność otrzymamy dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. Jest to układ równań różniczkowych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/48

Więzy nieholonomiczne przykłady Znak po prawej stronie odzwierciedla fakt, że zgodnie z rysunkiemprzyrostywspółrzędnychx A iy A sąujemne. Przenosząc wszystko na lewą stronę i zmieniając kolejność otrzymamy dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. Jest to układ równań różniczkowych. Za chwilę pokażemy, że układtenniejestcałkowalny,azatemniemożnagozapisaćw postaci układu równań algebraicznych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/48

Więzy nieholonomiczne przykłady Znak po prawej stronie odzwierciedla fakt, że zgodnie z rysunkiemprzyrostywspółrzędnychx A iy A sąujemne. Przenosząc wszystko na lewą stronę i zmieniając kolejność otrzymamy dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. Jest to układ równań różniczkowych. Za chwilę pokażemy, że układtenniejestcałkowalny,azatemniemożnagozapisaćw postaci układu równań algebraicznych. Jak sprawdzić czy układ równań różniczkowych jest całkowalny lub nie? Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/48

Więzy różniczkowe Rozważmy ogólną postać k równań więzów różniczkowych nałożonych na układ N punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni. 3N j=1 a ij dq j +a it dt =0, i =1,2,...,k, gdziewspółczynnikia ij ia it mogązależećodwszystkich współrzędnych uogólnionych i czasu, ale nie zależą od prędkości ( a ij =a ij q1,q 2,...,q }{{ 3N,t ) a } ij (q,t), q ( a it =a it q1,q 2,...,q }{{ 3N,t ) a } it (q,t). q Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/48

Więzy różniczkowe Wprowadziliśmy tu skrótową notację, w której zależność od wszystkichwspółrzędnychuogólnionychq 1,q 2,...,q 3N oznaczyliśmy literą q. Tej skrótowej notacji będziemy często używać. Układ równań 3N j=1 a ij dq j +a it dt =0, i =1,2,...,k, jest z pewnością całkowalny, jeśli istnieje zbiór funkcji różniczkowalnychf i (q,t),i =1,2,...,k,dlaktórychpowyższe równania są różniczkami zupełnymi. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/48

Więzy różniczkowe Obliczmyróżniczkęzupełnąfunkcjif i (q,t)iprzyrównajmyjądo lewej strony i-tego równania więzów df i = 3N j=1 f i dq j + f 3N i q j t dt a ij dq j +a it dt. Równość zachodzi tylko pod warunkiem równości współczynników przyniezależnychprzyrostachzmiennychdq j idt j=1 f i q j =a ij i f i t =a it, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/48

Więzy różniczkowe alewarunkiemwystarczającymnatoabyfunkcjaf i (q,t)była różniczkowalna jest istnienie wszystkich drugich pochodnych i równość odpowiednich pochodnych mieszanych. Skąd otrzymujemy warunki 2 f i q j q l = a ij q l = 2 f i q l q j = a il q j, 2 f i q j t = a ij t = 2 f i t q j = a it q j, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/48

Więzy różniczkowe alewarunkiemwystarczającymnatoabyfunkcjaf i (q,t)była różniczkowalna jest istnienie wszystkich drugich pochodnych i równość odpowiednich pochodnych mieszanych. Skąd otrzymujemy warunki 2 f i q j q l = a ij q l = 2 f i q l q j = a il q j, 2 f i q j t = a ij t = 2 f i t q j = a it q j, awięc a ij q l = a il q j, a ij t = a it q j, dlawszystkichwartościindeksówi,jtakich,żei j. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/48

Więzy różniczkowe Otrzymaliśmy w ten sposób następujący warunek. Więzy różniczkowe 3N j=1 a ij dq j +a it dt =0, i =1,2,...,k, są całkowalne, jeśli niezależne od prędkości uogólnionych współczynnikia ij (q,t)ia it (q,t)spełniająwarunki a ij q l = a il q j, a ij t = a it q j, dlawszystkichwartościindeksówi,jtakich,żei j. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/48

Więzy różniczkowe Uwaga. Warunki te można w rzeczywistości osłabić do żądania abyformaróżniczkowa 3N j=1 a ij dq j +a it dtmiałatzw.czynnik całkujący, co można sprowadzić do warunku ( ail a ik a ) ( ij aik +a ij a ) ( il aij +a il a ) ik =0. q j q l q l q k q k q j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/48

Więzy różniczkowe Uwaga. Warunki te można w rzeczywistości osłabić do żądania abyformaróżniczkowa 3N j=1 a ij dq j +a it dtmiałatzw.czynnik całkujący, co można sprowadzić do warunku ( ail a ik a ) ( ij aik +a ij a ) ( il aij +a il a ) ik =0. q j q l q l q k q k q j Wyprowadzenie tego warunku można znaleźć np. w podręczniku G. Białkowskiego Mechanika klasyczna. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/48

Więzy różniczkowe przykłady Zadanie 1. Udowodnić, że więzy w przykładzie z monetą toczącą się po blacie stołu dane równaniami różniczkowymi dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. nie są całkowalne. Rozwiązanie. Przeprowadzimy dowód nie wprost, tzn. pokażemy, że założenie całkowalności układu prowadzi do sprzeczności. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/48

Więzy różniczkowe przykłady Zadanie 1. Udowodnić, że więzy w przykładzie z monetą toczącą się po blacie stołu dane równaniami różniczkowymi dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. nie są całkowalne. Rozwiązanie. Przeprowadzimy dowód nie wprost, tzn. pokażemy, że założenie całkowalności układu prowadzi do sprzeczności. Powyższy układ równań jest całkowalny jeśli istnieją dwie funkcje pięciuzmiennychf i (x A,y A,ϕ,θ,ψ),i =1,2,dlaktórychrównania układu są różniczkami zupełnymi. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/48

Więzy różniczkowe przykłady Obliczmyróżniczkizupełnefunkcjif i (x A,y A,ϕ,θ,ψ),i =1,2,i przyrównajmy do lewej strony równań więzów f 1 dx A + f 1 dy A + f 1 x A y A ϕ dϕ+ f 1 θ dθ + f 1 ψ dψ = dx A +rcosϕdψ, f 2 dx A + f 2 dy A + f 2 x A y A ϕ dϕ+ f 2 θ dθ + f 2 ψ dψ = dy A +rsinϕdψ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/48

Więzy różniczkowe przykłady Obliczmyróżniczkizupełnefunkcjif i (x A,y A,ϕ,θ,ψ),i =1,2,i przyrównajmy do lewej strony równań więzów f 1 dx A + f 1 dy A + f 1 x A y A ϕ dϕ+ f 1 θ dθ + f 1 ψ dψ = dx A +rcosϕdψ, f 2 dx A + f 2 dy A + f 2 x A y A ϕ dϕ+ f 2 θ dθ + f 2 ψ dψ = dy A +rsinϕdψ. Porównajmywspółczynnikiprzydx A,dy A,dϕ,dθidψ f 1 =1, x A f 2 =0, x A f 1 =0, y A f 2 =1, y A f 1 ϕ =0, f 1 θ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 θ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/48

Więzy różniczkowe przykłady Skoncentrujmy się na równaniach w kolorze niebieskim f 1 ϕ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Zróżniczkujmy równania w pierwszej kolumnie po zmiennej ψ, a równania w drugiej kolumnie po zmiennej ϕ Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/48

Więzy różniczkowe przykłady Skoncentrujmy się na równaniach w kolorze niebieskim f 1 ϕ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Zróżniczkujmy równania w pierwszej kolumnie po zmiennej ψ, a równania w drugiej kolumnie po zmiennej ϕ 2 f 1 ϕ ψ =0 2 f 1 ψ ϕ = rsinϕ, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/48

Więzy różniczkowe przykłady Skoncentrujmy się na równaniach w kolorze niebieskim f 1 ϕ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Zróżniczkujmy równania w pierwszej kolumnie po zmiennej ψ, a równania w drugiej kolumnie po zmiennej ϕ 2 f 1 ϕ ψ =0 2 f 1 ψ ϕ = rsinϕ, 2 f 2 ϕ ψ =0 2 f 2 ψ ϕ =rcosϕ, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/48

Więzy różniczkowe przykłady Skoncentrujmy się na równaniach w kolorze niebieskim f 1 ϕ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Zróżniczkujmy równania w pierwszej kolumnie po zmiennej ψ, a równania w drugiej kolumnie po zmiennej ϕ 2 f 1 ϕ ψ =0 2 f 1 ψ ϕ = rsinϕ, 2 f 2 ϕ ψ =0 2 f 2 ψ ϕ =rcosϕ, a zatem układ równań nie jest całkowalny. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/48

Więzy różniczkowe przykłady Uwaga. Właściwie dla wyprowadzenia powyższej konkluzji należałoby pokazać, że nie istnieje czynnik całkujący. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/48

Dalsza klasyfikacja więzów Więzy możemy również sklasyfikować ze względu na zależność od czasu dzieląc je na więzy skleronomiczne, które nie zawierają jawnej zależności od czasu,jaknp.więzyx A rϕcosα =0,y A rϕsinα =0,z przykładu krążka toczącego się po prostej, więzy reonomiczne, które zależą jawnie od czasu, jak np. więzyϕ =ωt,z=ar 2,wprzypadkukoralikaporuszającego się po obracającej się paraboli. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/48

Rozważmy teraz układ N punktów materialnych, na który nałożono więzy holonomiczne opisane równaniami f i (q 1,q 2,...,q 3N,t) =0, i =1,2,...,k, zktórychmożemywyeliminowaćkwspółrzędnychuogólnionychq j. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/48

Rozważmy teraz układ N punktów materialnych, na który nałożono więzy holonomiczne opisane równaniami f i (q 1,q 2,...,q 3N,t) =0, i =1,2,...,k, zktórychmożemywyeliminowaćkwspółrzędnychuogólnionychq j. Nie zmniejszając ogólności rozważań możemy przyjąć, że wyeliminowaliśmy k ostatnich współrzędnych q 3N k+1,q 3N k+2,...,q 3N Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/48

Rozważmy teraz układ N punktów materialnych, na który nałożono więzy holonomiczne opisane równaniami f i (q 1,q 2,...,q 3N,t) =0, i =1,2,...,k, zktórychmożemywyeliminowaćkwspółrzędnychuogólnionychq j. Nie zmniejszając ogólności rozważań możemy przyjąć, że wyeliminowaliśmy k ostatnich współrzędnych q 3N k+1,q 3N k+2,...,q 3N tak, że wektory położenia poszczególnych punktów układu będą powiązane z pozostałymi 3N k niezależnymi współrzędnymi uogólnionymi równaniami r i = r i (q 1,q 2,...,q 3N k,t), i =1,2,...,N. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/48

W obecności więzów równanie ruchu i-tego punktu wynikające z II zasady dynamiki Newtona ma postać m i ri = F i + Z i, i =1,2,...,N, gdzie po prawej prawej stronie Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/48

W obecności więzów równanie ruchu i-tego punktu wynikające z II zasady dynamiki Newtona ma postać m i ri = F i + Z i, i =1,2,...,N, gdzie po prawej prawej stronie oprócz wypadkowej, aktywnej siły działającej na i-ty punkt Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/48

W obecności więzów równanie ruchu i-tego punktu wynikające z II zasady dynamiki Newtona ma postać m i ri = F i + Z i, i =1,2,...,N, gdzie po prawej prawej stronie oprócz wypadkowej, aktywnej siły działającejnai-typunkt wprowadziliśmysiłęreakcjiwięzów Z i, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/48

W obecności więzów równanie ruchu i-tego punktu wynikające z II zasady dynamiki Newtona ma postać m i ri = F i + Z i, i =1,2,...,N, gdzie po prawej prawej stronie oprócz wypadkowej, aktywnej siły działającejnai-typunkt wprowadziliśmysiłęreakcjiwięzów Z i, która sprawia, że punkt materialny porusza się w sposób zgodny z więzami. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/48

W obecności więzów równanie ruchu i-tego punktu wynikające z II zasady dynamiki Newtona ma postać m i ri = F i + Z i, i =1,2,...,N, gdzie po prawej prawej stronie oprócz wypadkowej, aktywnej siły działającejnai-typunkt wprowadziliśmysiłęreakcjiwięzów Z i, która sprawia, że punkt materialny porusza się w sposób zgodny z więzami. Znamy skutki działania sił reakcji więzów, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/48

W obecności więzów równanie ruchu i-tego punktu wynikające z II zasady dynamiki Newtona ma postać m i ri = F i + Z i, i =1,2,...,N, gdzie po prawej prawej stronie oprócz wypadkowej, aktywnej siły działającejnai-typunkt wprowadziliśmysiłęreakcjiwięzów Z i, która sprawia, że punkt materialny porusza się w sposób zgodny z więzami. Znamy skutki działania sił reakcji więzów, ale na ogół nie znamy ich wielkości, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/48

W obecności więzów równanie ruchu i-tego punktu wynikające z II zasady dynamiki Newtona ma postać m i ri = F i + Z i, i =1,2,...,N, gdzie po prawej prawej stronie oprócz wypadkowej, aktywnej siły działającejnai-typunkt wprowadziliśmysiłęreakcjiwięzów Z i, która sprawia, że punkt materialny porusza się w sposób zgodny z więzami. Znamy skutki działania sił reakcji więzów, ale na ogół nie znamy ich wielkości, dlatego ich występowanie komplikuje rozwiązanie zagadnienia ruchu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/48

Przykład3.Punktmaterialnyomasiemporuszasiępo wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α. z Równanie ruchu ma postać g m m r =m g + Z, α ϕ r y x Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/48

Przykład3.Punktmaterialnyomasiemporuszasiępo wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α. z Równanie ruchu ma postać g α m m r =m g + Z, awskładowych x ϕ r y mẍ = Z x, mÿ = Z y, m z = mg +Z z. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/48

Przykład3.Punktmaterialnyomasiemporuszasiępo wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α. z Równanie ruchu ma postać x g α ϕ Równanie więzów: r z r m y m r =m g + Z, awskładowych mẍ = Z x, mÿ = Z y, =ctgα r ztgα =0. m z = mg +Z z. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/48

Jako zmienne niezależne wybieramy współrzędne cylindryczne r i ϕ. Obliczmy pochodne czasowe odpowiednich związków ze współrzędnymi kartezjańskimi x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = rctgα, ẋ Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/48

Jako zmienne niezależne wybieramy współrzędne cylindryczne r i ϕ. Obliczmy pochodne czasowe odpowiednich związków ze współrzędnymi kartezjańskimi x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = rctgα, ẋ = Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/48

Jako zmienne niezależne wybieramy współrzędne cylindryczne r i ϕ. Obliczmy pochodne czasowe odpowiednich związków ze współrzędnymi kartezjańskimi x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = rctgα, ẋ = ṙcosϕ r ϕsinϕ, ẏ Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/48

Jako zmienne niezależne wybieramy współrzędne cylindryczne r i ϕ. Obliczmy pochodne czasowe odpowiednich związków ze współrzędnymi kartezjańskimi x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = rctgα, ẋ = ṙcosϕ r ϕsinϕ, ẏ = Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/48

Jako zmienne niezależne wybieramy współrzędne cylindryczne r i ϕ. Obliczmy pochodne czasowe odpowiednich związków ze współrzędnymi kartezjańskimi x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = rctgα, ẋ = ṙcosϕ r ϕsinϕ, ẏ = ṙsinϕ+r ϕcosϕ, ż Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/48

Jako zmienne niezależne wybieramy współrzędne cylindryczne r i ϕ. Obliczmy pochodne czasowe odpowiednich związków ze współrzędnymi kartezjańskimi x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = rctgα, ẋ = ṙcosϕ r ϕsinϕ, ẏ = ṙsinϕ+r ϕcosϕ, ż = Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/48

Jako zmienne niezależne wybieramy współrzędne cylindryczne r i ϕ. Obliczmy pochodne czasowe odpowiednich związków ze współrzędnymi kartezjańskimi x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = rctgα, ẋ = ṙcosϕ r ϕsinϕ, ẏ = ṙsinϕ+r ϕcosϕ, ż = ṙctgα, Zadanie 2. Uzasadnić powyższe wzory na pochodne czasowe w oparciu o wzór na pochodną funkcji złożonej wielu zmiennych, biorącpoduwagę,żer =r(t),ϕ =ϕ(t)akątαjeststały. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/48

Obliczmy drugą pochodną czasową ẍ ẍ = d (ṙcosϕ r ϕsinϕ) dt Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/48

Obliczmy drugą pochodną czasową ẍ ẍ = d (ṙcosϕ r ϕsinϕ) dt = Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/48

Obliczmy drugą pochodną czasową ẍ ẍ = d (ṙcosϕ r ϕsinϕ) dt = rcosϕ ṙ ϕsinϕ ṙ ϕsinϕ r ϕsinϕ r ϕ 2 cosϕ Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/48

Obliczmy drugą pochodną czasową ẍ ẍ = d (ṙcosϕ r ϕsinϕ) dt = rcosϕ ṙ ϕsinϕ ṙ ϕsinϕ r ϕsinϕ r ϕ 2 cosϕ = rcosϕ 2ṙ ϕsinϕ r ϕsinϕ r ϕ 2 cosϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/48