3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która

Podobne dokumenty
INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Interpolacja funkcji

Metody numeryczne. Ilorazy różnicowe. dr Artur Woike. Wzory interpolacyjne Newtona i metoda Aitkena.

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Metody numeryczne Wykład 6

1 Równania nieliniowe

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Bardzo łatwa lista powtórkowa

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223

Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

Elementy metod numerycznych

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A

VII. WYKRESY Wprowadzenie

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Interpolacja. Interpolacja wykorzystująca wielomian Newtona

Zaawansowane metody numeryczne

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Wykład z równań różnicowych

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.

Analiza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

x y

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym

Elementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad

CIĄGI wiadomości podstawowe

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Matematyka dyskretna dla informatyków

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

Obliczenia iteracyjne

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Funkcje dwóch zmiennych

Całkowanie numeryczne

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Układy równań i równania wyższych rzędów

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

Wprowadzenie do Mathcada 1

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Algorytmy obliczeniowe

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Programowanie celowe #1

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zajęcia nr. 3 notatki

KADD Minimalizacja funkcji

S n = a 1 1 qn,gdyq 1

Metody numeryczne w przykładach

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Równania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski

Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

Transkrypt:

3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x 2,, x n, tzn. y i = f x i dla i=0,1,, n. Zbiór argumentów {x i },i=0,1,, n, nazywany jest węzłami interpolacji, przy czym zakłada się, że: a x 1, x 2,, x n b. Powyższą funkcję nazywa się funkcją tabelaryczną ponieważ można ją określić podając tabelę:

Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1.1) Zagadnienie interpolacji w sensie Lagrange'a polega na znalezieniu funkcji y=f x należącej do pewnej określonej klasy funkcji, która w węzłach interpolacji przyjmuje te same wartości co funkcja y= f x, tj. F x i = y i dla i=0,1,,n. Funkcję y=f x nazywa się funkcją interpolującą, a y= f x - funkcją interpolowaną.

Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1.2) Zagadnienie interpolacji wykorzystuje się najczęściej do wyznaczania przybliżonych wartości funkcji y= f x dla argumentów x leżących pomiędzy węzłami interpolacji. W związku z tym funkcję interpolującą y=f x dobra się tak, aby jeśli to możliwe, dobrze przybliżała funkcję y= f x a następnie oblicza się wartość F x przyjmując, że f (x) F (x). Wyznaczona ocena wartości f x obarczona jest błędem R x = f x F x zwanym błędem interpolacji (błędem metody), który (jeśli istnieją ku temu możliwości) powinien również zostać oszacowany. W zależności od wybranej klasy funkcji, zagadnienie interpolacji może mieć jedno rozwiązanie, wiele rozwiązań (nawet nieskończenie wiele) lub nie mieć rozwiązań wcale. W dlalszej części przyjęto, że funkcja interpolująca jest wielomianem uogólnionym, tzn, funkcją postaci: F (x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a n φ n (x). Gdzie: φ 0 (x), φ 1 (x),... φ n (x) są funkcjami określonymi na przedziale [a ;b], w którym tworzą układ liniowo niezależny nazywany bazą.

Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1.3) Aby wielomian uogólniony stał się funkcją interpolującą, muszą zachodzić równości: F (x 0 )=a 0 φ 0 (x 0 )+a 1 φ 1 (x 0 )+...+a n φ n (x 0 )= y 0, F (x 1 )=a 0 φ 0 (x 1 )+a 1 φ 1 (x 1 )+...+a n φ n (x 1 )= y 1,..., F (x n )=a 0 φ 0 (x n )+a 1 φ 1 (x n )+...+a n φ n (x n )= y n. Równania powyższe tworzą układ n 1 równań liniowych z niewiadomymi a 0,a 1,, a n. Jeśli wyznacznik główny układu jest różny od zera tj.: φ 0(x0) φ 1(x0)... φ n( x0) φ 0 (x 1 ) φ 1 (x 1 )... φ n (x 1 ),............ φ 0 (x n ) φ 1 (x n )... φ n (x n ) 0 istnieje wówczas jedno rozwiazanie, którym są poszukiwane współczynniki funkcji interpolującej a 0,a 1,, a n.

Wzór Lagrange'a (3.2) Niech bazę funkcji interpolujących stanowi zbiór jednomianów: które tworzą układ liniowo niezależny dla przyjmuje postać zwykłego wielomianu a układ równań przyjmuje postać: a 0 +a 1 x 0 +a 2 x 0 2 +...+a n x 0 n = y 0, a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 1 2 +...+a n x 1 n = y 1,..., a 0 +a 1 x n +a 2 x n 2 +...+a n x n n = y n. φ 0 (x)=1,φ 1 (x)= x,...,φ n (x)=x n F (x)=a 0 +a 1 x+...+a n x n Wyznacznik macierzy głównej układu jest wyznacznikiem Vandermonda ------> <x<+, wówczas funkcja 1 x0... x0 1 x 1... n x 1............ i> j 1 x n... x n = n W praktyce metoda powyższa jest rzadko stosowana ze wzgędu na czesto występujące złe uwarunkowanie zadania. n (x i x j ) 0

Wzór Lagrange'a (3.2.1) Do częściej stosowanych funkcji interpolacyjnych należy wielomian interpolacyjny Lagrange'a W praktyce wykorzystuje się inną postać wielomianu, wymagającą mniejszej liczby operacji arytmetycznych: gdzie Można pokazać, że wielomian Lagrange'a jest wielomianem stopnia conajwyżej n i że błąd uzyskiwany przy jego wykorzystaniu do interpolacji spełnia nierówność gdzie

Wzór Lagrange'a (3.2.2) Przykład: Odczytane wartości temperatury zestawiono w tabeli: Należy okereślić temperaturę o godzinie 14:30. Rozwiązanie: Do obliczenia T 14,5 zastosowano drugi wzór Lagrange'a. Stąd otrzymano:

Wzór Lagrange'a (3.2.3)

Wzór Lagrange'a (3.2.4) Odpowiedź: O godzinie 14:30 temperatura była w przybliżeniu równa 21,6 o C. Nie można ocenić błędu wyznaczonej temperatury, ponieważ nie jest znana 5 pochdna funkcji T t czyli T 5 t.

Wzór Lagrange'a (3.2.5) Uwaga: Chcąc zminimalizować błąd interpolacji w przedziale [a ;b], węzły interpolacji x 1, x 2,, x n powinny być zerami wielomianu Czebyszewa pierwszego rodzaju i wyrażać się wzorami: W tym przypadku błąd interpolacji jest równy:

Interpolacja Czebyszewa (3.3) Jeśli za zbiór funkcji bazowych przyjmie się wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju określone wzorami: funkcja interpolująca przyjmie postać Wspólczynniki a 0,a 1,,a n wyznacza się rozwiązująć układ równań Uogólniony wielomian interpolacyjny F x z obliczonymi współczynnikami a 0,a 1,,a n nosi nazwę wielomianu interpolacjnego Czebyszewa.

Interpolacja Czebyszewa (3.3.1) Uwagi: Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są określone na przedziale [ 1;1]. Jeśli interpoluje się funkcję y= f t w przedziale [a ;b] to trzeba dokonać podstawienia t= a b /2 [ b a /2] x. Interpolacji poddana zostanie funkcja f 1 x powiązana z funkcją f t zależnością: f 1 x = f a b /2 [ b a / 2] x Interpolacja Czebyszewa jest mniej wrażliwa na błędy zaokrągleń od interpolacji z użyciem wzoru Lagrange'a. Przykład: Odczytane wartości temperatury zestawiono w tabeli: Korzystając z wielomianu interpolacyjnego Czebyszewa określić temperaturę o godzinie 14:30.

Interpolacja Czebyszewa (3.3.2) Rozwiązanie: Ponieważ w przykładzie występuje 5 węzłów interpolacyjnych ( n 1=5), należy wyznaczyć pięć wielomianów bazowych o rzędach od 0 do 4: gdzie 1 x 1. Funkcja interpolowana określona jest w przedziale [a ;b]=[12 ;16] zatem wielomian interpolacyjny musi zostać przeskalowany za pomocą zależności: (jest to wyrażenie odwrotne do omawianego na poprzedniej stronie). Funkcja T =T t będzie więc interpolowana wielomianem,

Interpolacja Czebyszewa (3.3.3) Współczyniki liniowych: a 0,a 1,, a n należy obliczyć rozwiązując układ równań Układ ten po podstawieniu danych przyjmuje postać Rozwiązaniem układu równań są wspólczynniki wielomianu Ponieważ dla t=14,5 x=14,5/2 7=0,25 stąd Odpowiedź: O godz. 14:30 temperatura była w przybliżenu równa 21,6 o C.

Interpolacja trygonometryczna (3.4) W wielu przypadkach konieczna jest interpolacja funkcji okresowej y= f t. O funkcji takiej zakłada się, że jest okresowa o okresie głównym [0 ;2 ] lub w przypadku ogólniejszym [a ;b]. Ponieważ jako bazę funkcji stosuje się funkcje trygonometryczne postaci których okresem głównym jest przedział [0 ;2 ] ''wielokrotności'') w przypadku okresu głownego przeskalowanie przedziału za pomocą zależności (lub jego całkowite [a ;b] konieczne jest Funkcja interpolująca jest wielomianem trygonometrycznym o postaci F (x)= a m 0 2 + (a k cos(k x)+b k sin (k x)). k=1 Przy czym n=2m (liczba węzłów interpolacji jest równa n+1). Współczynniki a 0,a 1,b 1,a m,b m wyznacza się rozwiązując układ równań

Interpolacja trygonometryczna (3.4.1) W praktyce najważniejszy jest przypadek, gdy węzły interpolacji są równoodległe tj. W tym przypadku macierz główna układu równań pomnożona przez 2/2m 1 staje się macierzą ortogonalną. Dzięki temu można podać bezpośrednie wzory na obliczanie współczynników a 0,a 1,b 1,a m,b m.

Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5) Obecnie analizowany będzie przypadek, gdy argumenty funkcji dyskretnej są rozmieszczone w równych odstępach, tzn. x i+1 x i =h=const dla i=0,1,...,n 1. Omówione poniżej wzory interpolacyjne wykorzystują pojęcie różnicy skończonej. Różnicą skończoną progresywną rzędu pierwszego dla argumentu nazywa się różnicę Δ y i = f (x i +h) f (x i )= y i+1 y i dla i=0,1,...,n 1. x i Różnice skończone progresywne rzędu k+1 definiuje się rekurencyjnie Δ k +1 y i =Δ(Δ k y i )=Δ k y i+1 Δ k y i dla i=0,1,...,n k.

Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5.1) Wzór Stirlinga Numerując węzły interpolacji...,x 2, x 1, x 0, x 1, x 2,... oraz oznaczając q= x x 0. h Wzór interpolacyjny Stirlinga rozpięty na węzłach wyraża zależność: S 2m (x)= y 0 +q Δ y 1 +Δ y 0 2 + q2 x m,..., x 2, x 1, x 0, x 1, x 2,... x m 2! Δ2 y 1 + q(q2 1 2 ) Δ3 y 2 +Δ 3 y 1 +...+ 3! 2 + q(q2 1 2 )(q 2 2 2 )... (q 2 (m 1) 2 ) Δ2m 1 y m +Δ 2 m 1 y m+1 (2 m 1)! 2 + q(q2 1 2 )(q 2 2 2 )... (q 2 (m 1) 2 ) Δ 2m y (2 m)! m. Błąd interpolacji wynikający z użycia wzoru Stirlinga jest w przybliżeniu równy: R 2m (x)= f (x) S 2m (x)= = q(q2 1 2 )(q 2 2 2 )... (q 2 m 2 ) Δ2 m+1 y m 1 +Δ 2 m+1 y m (2 m+1)! 2.

Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5.2) Przykład: Znane są nastepujące wartości funkcji y= f (x): Obliczyć y= f (0,5) z dokładnością ε =10 5. Tabela: Różnice skończone funkcji y= f (x)

Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5.3) Rozwiązanie: Do obliczenia przybliżonej wartości y= f (0,5) zostanie zastosowany wzor Stirlinga. Pierwszym etapem bedzie takie ponumerowanie węzłów interpolacji aby węzeł x 0 znajdował się w pobliżu argumentu x=0,5, dla którego szukana jest przybliżona wartość funkcji. Dzięki temu współczynnik q=( x x 0 )/h= 0,5 0,6 = 0,5, gdzie h=x 0,2 i+1 x i =0,2,i= 3,...,0,...,5, przyjmie małą wartość, stąd kolejne składniki wzoru Stirlinga będą szybko malały stąd do wyznaczenia wartości S 2 m (x) z zadaną dokładnością ε we wzorze interpolacyjnym wystarczy wziąć pod uwagę tylko kilka początkowych składników. W tabeli zamieszczonej na poprzediej stronie zestawiono różnice skończone do rzędu szóstego. Tłustym drukiem zostały wyróżnione liczby, które wystąpią we wzorze Stirlinga. W kolejnych iteracjach k algorytmu należy wyznaczać S 2 k (x) oraz sprawdzać warunek końca obliczeń R 2 k (x) <ε.

Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, I wzór Newtona (3.5.4) Numerując węzły interpolacji wzorze Stirlinga rozpięty na węzłach q=( x x 0 )/h. x 0, x 1,..., x n P ' n (x)= y 0 +q Δ y 0 + q(q 1) 2! x 0, x 1,..., x n oraz oznaczając podobnie jak we Pierwszy wzór interpolacyjny Newtona wyraża zależność: Δ 2 y 0 + q (q 1)(q 2) Δ 3 y 3! 0 +... + q(q 1)... (q n+1) Δ n y n! 0. Błąd interpolacji wynikający z użycia pierwszego wzoru Newtona jest w przybliżeniu równy: R' k (x)= f (x) P ' k (x)= q(q 1)(q 2)... (q k) Δ k +1 y (k+1)! 0. Przykład: Znane są nastepujące wartości funkcji y= f (x): Obliczyć y= f (0,1) z dokładnością ε =10 5.

Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, I wzór Newtona (3.5.5) Rozwiązanie: Do obliczenia przybliżonej wartości y= f (0,1) zostanie zastosowany pierwszy wzór interpolacyjny Newtona. Węzły interpolacji należy tak ponumerować, aby węzeł x 0 znajdował się w pobliżu argumentu x=0,1, stąd przyjmuje się x 0 =0, x 1 =0,2,..., x 8 =1,6, daje to: q=(0,0 0,1)/0,2= 0,5. W tabeli poniżej zestawiono różnice skończone (tłustym drukiem zostały wyróżnione liczby, które wystąpią w pierwszym wzorze interpolacyjnym Newtona).

Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, I wzór Newtona (3.5.6) Wartość P ' k (0,1) obliczamy iteracyjnie sprawdzając w każdym kroku, czy spełniony jest warunek R' k (0,1) <ε.

Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, II wzór Newtona (3.5.7) Węzły interpolacji numerujemy podobnie jak w pierwszym wzorze interpolacyjnym Newtona x 0, x 1,..., x n jednak przez q oznaczamy q=( x x n )/h. Drugi wzór interpolacyjny Newtona rozpięty na węzłach x 0, x 1,..., x n wyraża zależność: P ' ' n (x)= y n +q Δ y n 1 + q(q+1) Δ 2 y 2! n 2 + q (q+1)(q+2) Δ 3 y 3! y 3 +... + q(q+1)... (q+n 1) Δ n y n! 0. Błąd interpolacji wynikający z użycia pierwszego wzoru Newtona jest w przybliżeniu równy: R' ' k (x)= f (x) P ' ' k (x)= q(q+1)(q+2)... (q+k ) Δ k +1 y (k+1)! n (k +1). Przykład: Znane są nastepujące wartości funkcji y= f (x): Obliczyć y= f (1,5) z dokładnością ε =10 5.

Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, II wzór Newtona (3.5.8) Rozwiązanie: Do obliczenia przybliżonej wartości y= f (1,5) zostanie zastosowany drugi wzór interpolacyjny Newtona. Węzły interpolacji należy tak ponumerować, aby węzeł x n = x 8 =1,6 znajdował się w pobliżu argumentu x=1,5, stąd przyjmuje się x 0 =0, x 1 =0,2,..., x 8 =1,6, daje to: q=(1,5 1,6)/0,2= 0,5. W tabeli poniżej zestawiono różnice skończone (tłustym drukiem zostały wyróżnione liczby, które wystąpią w drugim wzorze interpolacyjnym Newtona).

Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, II wzór Newtona (3.5.9) Wartość P ' ' k (1,5) obliczamy iteracyjnie sprawdzając w każdym kroku, czy spełniony jest warunek R' ' k (1,5) <ε.