Algorytmy obliczeniowe
|
|
- Fabian Kalinowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PG WETiI Katedra Systemów Automatyki Algorytmy obliczeniowe Dr inż. Krzysztof Cisowski Tel: , Kierunek studiów Automatyka i Robotyka
2 Zakres i treść przedmiotu (1) 1. Wprowadzenie do metod numerycznych: klasyfikacja błedów. 2. Metody rozwiązywania równań nieliniowych: metoda bisekcji, metoda stycznych (metoda Newtona-Raphsona), metoda iteracji prostej. 3. Interpolacja funkcji: metoda Lagrange a, metoda Czebyszewa, metoda trygonometryczna. 4. Różnice skończone. Wzór interpolacyjny Stirlinga, I i II wzór interpolacyjny Newtona. 5. Aproksymacja funkcji: metoda najmniejszych kwadratów dla przypadku ciągłego i dyskretnego. 6. Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna za za pomocą wielomianów Grama oraz za pomocą wielomianów trygonometrycznych. 7. Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych. 8. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych. Metoda eliminacji Gaussa.
3 Zakres i treść przedmiotu (2) 9. Rozkład macierzy kwadratowej na iloczyn macierzy trójkątnych. Metody rozwiązywania układu równań liniowych: metoda LU oraz metoda QR. Oblicznie wyznaczników i odwracanie macierzy trójkatnych. 10. Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych: metoda Jacobiego, metoda Gaussa-Seidela. 11. Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych: metoda najszybszego spadku, metoda Newtona-Raphsona. 12. Całkowanie numeryczne: metoda prostokątów, metoda trapezów, metoda Simpsona. 13. Różniczkowanie numeryczne z wykorzystaniem wzoru interpolacyjnego Stirlinga. 14. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych: metoda Eulera, metoda Rungego-Kutty. 15. Dyskretna transformacja Fouriera (DFT) algorytm szybkiego przekształcenia Fouriera (FFT).
4 Bibliografia 1. T. Ratajczak, Metody numeryczne Przykłady i zadania, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk A. Szatkowski, J. Cichosz, Metody numeryczne podstawy teoretyczne, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk M. Dryja, J. i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, WNT, W-wa T. Trajdos, Matematyka część III, seria Elektronika, Informatyka, Telekomunikacja, WNT Warszawa Z. Fortuna, J. Wąsowski, B. Macukow, "Metody numeryczne", seria Elektronika, Informatyka, Telekomunikacja, WNT Warszawa R. Chassaing, D. Reay, Digital signal processing and Applications with the C6713 and C6416 DSK, Wiley-Interscience 2008.
5 1. Wprowadzenie do metod numerycznych Cecha charakterystyczna metod numerycznych - wykonywanie obliczeń na liczbach przyblizonych - rozwiązania zaganień są wyrażone liczbami przybliżonymi - wielkość błędu w procesie obliczeń numerycznych jest zawsze kontrolowana Dwa pojęcia określania wielkości błędu: Błąd bezwzględny = wartość przybliżona - wartość dokładna wartość przybliżona - wartość dokładna Błąd względny = wartość dokładna
6 1.1. Klasyfikacja błędów - Błędy modelowania - Błędy danych - Błędy metody - Błędy zaokrągleń Błąd modelowania pojawiają się, gdy przyjęty model matematyczny jest jedynie przybliżeniem zjawiska rzeczywistego Przykład: Wzrost populacji często oblicza się w oparciu o zależność: N(t) = N 0 e kt, gdzie N 0, k są stałymi (N 0 oznacza liczebność populacji w chwili t = 0). Dla dużych wartości t, wzór ten zwykle zawyża wyniki.
7 Błędy danych - to błędy danych wejściowych zadania numerycznego. Pojawiają się gdy: - dane wejściowe zadania są wynikiem pomiarów, - w trakcie obliczeń używane są stałe, będące przybliżeniami liczb niewymiernych. Złe uwarunkowanie zadania numerycznego - niewielkie zmiany względne danych zadania powodują duże względne zmiany jego rozwiązania. Przykład:Rozwiązać następujące układy równań liniowych: a) b) a) b) x 1 =6, x 2 =12, x 3 =60 x' 1 = -1377,777778, x' 2 =7217,460317, x' 3 = -6663, a 13 = a 22 = a 31 = 1/3 a' 13 = a' 22 = a' 31 = 0,33
8 Błędy danych (c.d.) (a i j ) = a' i j - a i j / a i j, i, j = 1, 2, 3 (x i ) = x' i - x i / x i, i = 1, 2, 3 (a 13 )= (a 22 )= (a 31 )= /3 / 1/3 100 %= 99/ / % = 1% (x 1 )=23063%, (x 2 )=60045%, (x 3 )=11206% Wskaźnik uwarunkowania zadania oznaczany cond(zadanie) charakteryzuje liczbowo wpływ zaburzeń danych zadania na zaburzenia rozwiązania. Jest on równy najmniejszej liczbie rzeczywistej dodatniej spełniającej nierówność: błąd względny( wyniki zadania ) cond( zadanie ) błąd względny( dane zadania ) 60045% cond( x 2 ) 1% => cond( x 2 ) = Powyższe zadanie jest źle uwarunkowane wskaźnik cond( x 2 ) jest bardzo duży.
9 Błędy metody (błędy odcięcia) Błędy metody pojawiają się w wyniku zastąpienia działań nieskończonych działaniami skończonymi lub działań na wielkościach nieskończenie małych działaniami na wielkościach skończenie małych. Błędy tego typu pojawiają się, gdy obliczane są wartości pojęć zdefiniowanych za pomocą granicy. Przykład: Obliczyć wartość funkcji w przedziale za pomocą szeregu funkcyjnego. Rozwinięcie funkcji w nieskończony szereg potęgowy: y=sin (x) xϵ <0,2π >, Rozwinięcie skończone (suma skończona):
10 Błędy metody (c.d. 1.) Błędy metody pojawiający się w wyniku obcięcia szeregu nieskończonego do wyrazów nie przekroczyć zadanej wartości : f ( x) f n (x) = ( 1) k x k= n+1 (2k+1)! ε Własność szeregów naprzemiennych: Jeżeli szereg jest naprzemieny i jego wyrazy co do bezwzględnej wartości zmierzają monotonicznie do zera, to dla każdego naturalnego n prawdziwa jest nierówniość: Własność powyższą można wykorzystać jako kryterium zakończenia algorytmu obliczania wartości funkcji y = sin( x ) z zadaną dokładnością : f ( x) f n (x) = ( 1) k x k= n+1 (2k+1)! < x (2n+3)! ε ε
11 Błędy metody (c.d. 2.) Fragment programu zapisany w pseudokodzie służący do obliczania wartości funkcji y = sin( x ) w przedziale x < 0, 2π >, z zadana dokładnością :
12 Błędy Zaokrągleń Błędy zaokrągleń wynikają z faktu wykonywania obliczeń na liczbach o skończonym rozwinięciu pozycyjnym. Struktura liczby stałoprzecinkowej o długości n+2 bity (1 bit znaku, n+1 bitów przeznaczonych na wartość bezwzględną liczby): Interpretacja struktury liczby stałoprzecinkowej: (znak liczby) (bity wartości bezwzględnej liczby)
13 Błędy Zaokrągleń (c.d.) Na n+2 bitach można zapisywać liczby całkowite z przedziału [-2 n+1 +1; 2 n+1-1] Liczby stałoprzecinkowe są podzbiorem liczb całkowitych. Liczby całkowite o wartości bezwzględnej p > 2 n+1-1 nie mogą być reprezentowany przez system n+2 bitowy. Jeśli w trakcie obliczeń pojawi się taka liczba, to wystąpi sytuacja wyjątkowa nazywana nadmiarem stałoprzecinkowym.
14 Błędy Zaokrągleń (c.d.) Liczby zmiennoprzecinkowe są reprezentowane za pomocą trzech obszarów bitów: znaku liczby s, mantysy m t, zapisanej na t bitach oraz cechy (exponent) c n zapisanej w formacie stałoprzecinkowym na n+2 bitach (s c oznacza znak cechy ''1'' potęgi dodatnie, ''0'' potęgi ujemne). Wagi: Bity: t 2 n s b 1 b 2 b t s c b n b 2 b 1 b 0 Znak Liczby mantysa m t cecha c n Reprezentacja zmiennoprzecinkowa liczby x oznaczana rd(x) jest liczbą: rd x =s m t 2 c n, a samą liczbę x wyraża zależność gdzie: s = 1 albo s = -1 - znak liczby, t m t =1+ b k 2 k - mantysa znormalizowana ( 1 m t 2), k =1 n - mantysa liczby x, c n =s c b k 2 k b k 2 k - cecha. m = 1 + k=1 Błąd względny reprezentacji zmiennoprzecinkowej można oszacować w oparciu x rd x o zależność:. Liczba określa dokładność komputera, x 2 t =2 t zależy ona tylko od t - liczby bitów mantysy. k =0 x=s m 2 c n,
15 Błędy Zaokrągleń (c.d.) Liczby zmiennoprzecinkowe 32 bitowe typu float S - znak liczby, 31 bit, '0' liczba dodatnia, '1' liczba ujemna C - cecha (exponent), bity 23-30, liczba ZU2 równa wykładnikowi potęgi k powiększonemu o wartość 127 M - mantysa, bity 0-22, liczba postaci 1.xxxx..., gdzie xxxx... pozostałe bity mantysy. Mantysę zapisuje się z pominięciem pierwszej "jedynki" (przed kropką):.xxxx... Przykład: Liczba (13.75) D = ( ) B = ( ) B x 2 3 S = 0, C = = 130 = M = (13.75) D = ( ) float
16 Błędy Zaokrągleń (c.d.)
17 2. Wyznaczanie rzeczywistych i jednokrotnych pierwiastków równań nieliniowych Niech y= f (x) będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej x. Pierwiastkiem (zerem) równania f (x)=0 lub (lub pierwiastkiem (zerem) funkcji y= f (x) nazywamy każdą wartość x zmiennej niezależnej x, dla której f x =0. Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.1): Dla zadanej dokładności ε należy znaleźć takie x, dla którego zachodzi nierówność x x
18 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.1) Przybliżoną wartość pierwiastka funkcji wyznacza się w dwóch etapach: 1) Lokalizuje się pierwiastki równania tj. a) znajduje się liczbę p pierwiastków równania, b) dla każdego pierwiastaka x i znajduje się taki przedział [a i ;b i ], że x i [ a i ; b i ] oraz [a i ;b i ] [a j ;b j ]=0 dla i, j=1,2,..., p ;i j. 2) Uściśla się przybliżoną wartość pierwiastka, tj. dla zadanego x i i zadanej dokładności znajduje się wartość x i, że x i x i dla i=1, 2,..., p.
19 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.3) Lokalizacja pierwiastków: Przykład: Zlokalizować rzeczywiste pierwiastki funkcji f (x)=log(x+2) 2 x Rozwiązanie: po przyrównaniu funkcji do zera, otrzymuje się równanie: log x 2 2x 2 1=0, które przekształca się do postaci: log x 2 =2x 2 1. Otrzymana zależność wyraża równość dwóch funkcji: y=log x 2 oraz y=2x 2 1. Zaganienie to można rozwiązać graficznie, odczytując odcięte punktow przecięcia się obydwu wykresów - metoda zgrubna rozwiązywania równań. Wykres pozwala również oszacować liczbę pierwiasków (w tym przypadku p=2) oraz przedziały ich występowania: x 1 [ 0,8 ; 0,7], x 2 [1,0 ;1,1].
20 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.4) Lokalizacja pierwiastków metoda,,przesiewowa'': Tabela 1: Przykładowa symulacja
21 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.5) Metoda bisekcji (metoda połowienia przedziału) (2.5.1): Zakłada się, że w przedziale [a 0 ;b 0 ] został zlokalizowany jednokrotny, rzeczywisty pierwiastek funkcji y= f x, przy czym f x C [a 0 ;b 0 ]. Prawdziwe jest zatem: f a 0 f b 0 0. W kolejnych krokach algorytmu k=0,1, 2,... wyznacza się zmienną c k = a k b k /2 i modyfikuje przedział [a k 1 ;b k 1 ] zgodnie z zależnością: - jeśli f a k f c k 0 to a k 1 =a k,b k 1 =c k, - w przeciwnym przypadku a k 1 =c k,b k 1 =b k, Obliczenia są przerywane, gdy różnica pomiędzy krańcami przedziału zmaleje poniżej przyjętej wartości tj. a k b k.
22 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.5) Metoda bisekcji (2.5.2): Pseudokod programu:
23 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.5) Metoda bisekcji (2.5.3): Przykład : Wyznaczyć metodą bisekcji ujemny pierwiastek ( x 1 [ 0,8 ; 0,7]) funkcji f x =log x 2 2 x 2 1 z dokładnością =10 5. Tabela 2: Etapy wyznaczania rozwiązania
24 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (metoda Newtona-Raphsona (N-R)) (2.6.1): Zakłada się, że w przedziale [a 0 ;b 0 ] został zlokalizowany jednokrotny, rzeczywisty pierwiastek funkcji y= f x, zatem: f a 0 f b 0 0. Założenia metody N-R: - f x C [a 0 ;b 0 ], - dla każdego x [a 0 ;b 0 ] albo f ' x 0 albo f ' x 0 ( f ' x nie zmienia znaku na przedziale [a 0 ;b 0 ], - dla każdego x [a 0 ;b 0 ] albo f ' ' x 0 albo f ' ' x 0 ( f ' ' x nie zmienia znaku na przedziale [a 0 ;b 0 ].
25 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (2.6.2): Algorytm postępowania 1. Jako punkt startowy wybiera się ten kraniec przedziału [a 0 ;b 0 ], (tzn. albo x 0 x 0 =a 0 albo x 0 =b 0 ), który spełnia warunek f x 0 f ' ' x Wyznacza się parametr: m=min { f ' a 0 ; f ' b 0 } f x k 3. while m 4. do begin x k 1 :=x k f x k f ' x k k :=k 1 7. end 8. x k := x k Wygenerowany ciąg wartości x k,k=0,1,2,... Raphsona (procesu N-R). nosi nazwę procesu Newtona-
26 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (2.6.3): Własności procesu N-R (Twierdzenie) Jeśli funkcja 1. lim k x k = x y= f x spełnia założenia metody N-R to proces N-R ma własności: (proces jest zbieżny do pierwiastka funkcji przedziale [a 0 ;b 0 ] ). 2. Ciąg x k,k=0,1,2,... jest ściśle monotoniczny, tzn. albo x 0 x 1 x k x albo y= f x x 0 x 1 x k x. leżącego w 3. k-ty wyraz procesu spełnia nierówność gdzie m=min { f ' a 0 ; f ' b 0 }. x x k f x k m
27 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (2.6.4): Konstrukcja ciągu kolejnych przybliżeń: f(x 0 ) tg = f ' x 0 = f x 0 x 0 x 1 x 1 = x 0 f x 0 f ' x 0
28 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (2.6.5): Przykład : Wyznaczyć metodą stycznych ujemny pierwiastek ( x 1 [ 0,8 ; 0,7] ) funkcji f (x)=log(x+2) 2 x 2 +1 z dokładnością =10 5. Rozwiązanie: na początku należy wykazać, że w badanym przedziale funkcja spełnia założenia metody N-R. Dla x> 2 funkcja jest ciągła i ma ciągłe pochodne wszystkich rzędów f ' (x)= 1 8x+1 x+2 4x= 4x2 x+2 W przedziale [ 0,8 ; 0,7] spełniona jest nierówność f ' ' (x)= 1 4<0 dla x> 2. 2 (x+2) {>0 dla 2< x< <0 dla x > f ' (x)>0. Wniosek w przedziale [ 0,8; 0,7] Można stosować metodę stycznych. funkcja spełnia założenia metody N-R.
29 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (2.6.6): Rozwiązanie (cd): następnym etapem jest wyznaczenie wartości początkowej oraz m. Z tabeli 1 można odczytać wartości funkcji dla obydwu końców przedziału: f ( 0,8)= 0,09768<0, f ( 0,7)= >0. Ponieważ f ( 0,8) f ' ' ( 0,8)>0 przyjmuje się że x 0 = 0,8. Następnie oblicza się m: 1 m=min{ 0,8+2 4( 0,8) ; 1 0,7+2 4( 0,7) } =min {4,033 ;3,569} 3,569. Wartości uzyskiwane w kolejnych iteracjach metody zawiera tabela 3. Tabela 3. x 0
30 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.1): Zakłada się, że w przedziale [a 0 ;b 0 ] został zlokalizowany jednokrotny, rzeczywisty pierwiastek funkcji y= f x, zatem: f a 0 f b 0 0. Metoda iteracji prostej składa sie z dwóch etapów: 1. Równanie f x =0 przekształca się do równoważnej postaci x=φ (x) (takie przekształcenie jest zawsze wykonalne i zazwyczaj istnieje kilka jego Wariantów). 2. Wybiera się z przedziału [a 0 ;b 0 ] przybliżenie. Kolejne iteracje oblicza sie ze wzoru: x k+1 =φ (x k ) dla k=0,1, x 0
31 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.2): Twierdzenie: Niech funkcja y=φ (x) będzie określona, ciągła i różniczkowalna w przedziale domkniętym dla każdego [a;b] oraz φ (x)ϵ C [a ;b] dla każdego xϵ [a; b]. Jeśli nierówność φ ' (x) q<1 zachodzi dla każdego xϵ [a; b], to: 1) proces jest zbieżny niezależnie od wyboru x 0 ϵ [a ; b], oraz 2) zachodzą nierówności lim k x k = x [a ;b], x x k q 1 q x k x k 1 qk 1 q x 1 x 0 dla k=1,2,...
32 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.3): Algorytm postępowania 1. Równanie pierwotne przekształca się do postaci równoważnej x= x, ktora spełnia założenia Twierdzenia. 2. Jako punkt startowy x 0 wybiera się dowolny x 0 [a 0 ; b 0 ] np. x 0 = a 0 b 0 /2. 3. k :=0 4. repeat 5. k :=k 1 6. x k = x k 1 7. until q 1 q x k x k 1 8. x :=x k
33 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.4): Przykład: Obliczyć metodą iteracji prostej ujemny pierwiastek funkcji f (x)=ln(x+2) 2x 2 +1 z dokladnością ϵ =10 5. Rozwiazanie: ujemny pierwiastek funkcji leży w przedziale [ 0,8 ; 0,7] a dodatni w przedziale [1,0 ;1,1]. Najpierw przekształcamy równanie ln( x+2) 2x 2 +1=0 do równoważnej postaci, spełniającej założenia twierdzenia. Przykładowo równanie można przekształcić w sposób: x=e 2x2 1 2=φ 0 (x). Dla tego przedstawienia mamy φ ' 0 ( x) = 4 x e 2x2 1 =4 x e 2x2 1.
34 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.5): Rozwiązanie (cd) Funkcja ta jest: a) w przedziale [ 0,8 ; 0,7] monotonicznie malejąca, stad dla xϵ [ 0,8 ; 0,7] φ ' 0 (x) φ ' 0 ( 0,7) =2,74456 ; b) w przedziale [1,0;1,1] monotonicznie rosnąca, zatem dla xϵ [1,0;1,1] φ ' 0 (x) φ ' 0 (1,0) =10, W obydwu przedziałach spełniony jest warunek φ ' 0 (x) >1, utworzony przez odwzorowanie x k =φ 0 (x k 1 ), k=1,2,... jest rozbieżny. stąd proces
35 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.6): Rozwiązanie (cd) Równanie ln( x+2) 2x 2 +1=0 może być przedstawione w równoważnej postaci jako para równań: x= ln (x+2)+1 =φ 2 1 (x), x= ln(x+2)+1 =φ 2 2 (x). Dla obydwu funkcji moduł pochodnej jest równy φ ' 1,2 (x) = ln(x+2)+1 1 x+2 = ln(x+2)+1 1 x+2. Dla x 1 funkcja y= φ ' 1,2 (x) jest monotonicznie malejąca, stąd φ ' 1,2 (x) φ ' 1,2 ( 1.0) = 2 4 = <1.
36 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.7): Rozwiązanie (cd) W związku z tym, w procesie iteracyjnym zostaną użyte funkcje: a) φ 1 ( x)= ln( x+2)+1 2 dla wyznaczenia przybliżonej wartości pierwiastka z przedzialu [ 0,8 ; 0,7], b) φ 2 (x)= ln(x+2)+1 2 dla wyznaczenia przybliżonej wartości pierwiastka z przedzialu [1,0 ;1,1]. Za q przyjęto: max φ 1 ' (x)= x 0.7 dla pierwiastka z przedzialu [ 0,8 ; 0,7], max φ 2 ' (x)= x 1.1 dla pierwiastka z przedzialu [1,0 ;1,1].
37 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.8): Rozwiązanie (cd) Wartości uzyskane w kolejnych iteracjach k metody iteracji prostej podano w tabeli 4. Tabela 4.
Algorytmy obliczeniowe
PG WETiI Katedra Systemów Automatyki Algorytmy obliczeniowe Dr inż. Krzysztof Cisowski Tel: 583471274, email: krci@eti.pg.gda.pl Kierunek studiów Automatyka i Robotyka Zakres i treść przedmiotu (1) 1.
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoWybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych
Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowodr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska
Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoautomatyka i robotyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Obliczenia Naukowe Nazwa w języku angielskim : Scientific Computing. Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoKubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)
Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Interpolacja metoda funkcji sklejanych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoZwięzły kurs analizy numerycznej
Spis treści Przedmowa... 7 1. Cyfry, liczby i błędy podstawy analizy numerycznej... 11 1.1. Systemy liczbowe... 11 1.2. Binarna reprezentacja zmiennoprzecinkowa... 16 1.3. Arytmetyka zmiennopozycyjna...
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Numerical methods. Energetyka I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim uje od roku akademickiego 2012/13 2013/14
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do metod numerycznych Krzysztof Patan Metody numeryczne Dział matematyki stosowanej Każde bardziej złożone zadanie wymaga opracowania indywidualnej metody jego rozwiązywania na maszynie cyfrowej
Bardziej szczegółowoZagadnienia - równania nieliniowe
Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoCiagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.
Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowoS Y L A B U S P R Z E D M I O T U
"Z A T W I E R D Z A M Prof. dr hab. inż. Radosław TRĘBIŃSKI dm Dziekan Wydziału Mechatroniki i Lotnictwa Warszawa, dnia... S Y L A B U S P R Z E D M I O T U NAZWA PRZEDMIOTU: NUMERYCZNE METODY OBLICZENIOWE
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej Materiały pomocnicze do ćwiczeń
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
I. KARTA PRZEDMIOTU. Nazwa przedmiotu: Matematyka III. Kod przedmiotu:. Jednostka prowadząca: Wydział Nawigacji i Uzbrojenia Okrętowego. Kierunek: Informatyka 5. Specjalność: Systemy wspomagania decyzji\technologie
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1: Zagadnienia do opanowania:
Laboratorium komputerowe oraz Ćwiczenia rachunkowe z przedmiotu Metody obliczeniowe Prowadzący: L. Bieniasz (semestr letni 018) Zagadnienia do opanowania przed zajęciami, pomocnicze zadania rachunkowe
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. LICZBY RZECZYWISTE DLA KLASY PIERWSZEJ 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Bardziej szczegółowoPrzykładowy program ćwiczeń
Przykładowy program ćwiczeń Ćwiczenie 1. Obliczenie funkcji elementarnych za pomocą szeregów. Opracowanie wyrażeń rekurencyjnych. 3 4 Realizacja w Ecelu funkcji e 1. 1!! 3! 4! Przykład 1: Obliczenie wartości
Bardziej szczegółowoMetody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoMatematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA I 1.Liczby rzeczywiste 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
7. Równania nieliniowe (non-linear equations) Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Dawid Prokopek
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005
kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowo5. Twierdzenie Weierstrassa
Pytania egzaminacyjne z Metod Numerycznych 1. Jaką największą liczbę można zapisać w postaci znormalizowanej w dwójkowym systemie liczenia na 8-miu bitach podzielonych 4 + 4 na mantysę i cechę, jeśli zarówno
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.
Algorytmy i struktury danych. Metody numeryczne ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. dzienne magisterskie Numerical methods. (Part 2. Numerical methods)
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowo7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100
ZADANIE 1 (1 PKT) Dane sa zbiory A = ( 6 7, 6) i B = N liczb naturalnych dodatnich. Wówczas iloczyn zbiorów A B jest równy A) {1, 2,, 4, 5} B) (, 5 C) {1, 2,, 4, 5, 6} D) (, 6) ZADANIE 2 (1 PKT) Jeśli
Bardziej szczegółowo