Piotr Zakrzewski. Teoria mnogości. (skrypt wykładu) (wersja z )

Piotr Zakrzewski Teoria mnogości (skrypt wykładu) (wersja z 22.01.2018)

WSTĘP Skrypt obejmuje aktualny program (dostępny na stronie https://usosweb.mimuw. edu.pl/kontroler.php?_action=actionx:katalog2/przedmioty/pokazprzedmiot(kod: 1000-135TMN)) wykładu fakultatywnego Teoria mnogości, wielokrotnie prowadzonego przeze mnie na Wydziale MIM Uniwersytetu Warszawskiego. Pisząc go, korzystałem z licznych książek, których spis zamieszczam w bibliografii. Zalążkiem skryptu stały się notatki do wykładu z roku akad. 2013/14, spisane w LaTeX-u przez słuchacza tego wykładu, pana mgr. Grzegorza Bokotę, któremu chciałbym za to serdecznie podziękować. Dziękuję też panu dr. Mateuszowi Łełykowi oraz licznym moim studentom za wskazanie wielu literówek i innych usterek tekstu. Praca nad skryptem nie jest zakończona i może on nadal zawierać błędy. Będę wdzięczny Czytelnikom za wszelkie uwagi krytyczne. Aktualna wersja skryptu znajduje się na stronie: https://www.mimuw.edu.pl/~piotrzak/tm.html. Piotr Zakrzewski

Spis treści 1. Aksjomaty teorii mnogości............................... 3 2. Dobre porządki i liczby porządkowe......................... 5 2.1. Zbiory dobrze uporządkowane............................ 5 2.2. Definicja liczb porządkowych............................. 10 2.3. Arytmetyka liczb porządkowych........................... 18 2.4. Definiowanie przez indukcję, twierdzenie Zermelo i lemat Kuratowskiego-Zorna. 24 3. Liczby kardynalne..................................... 32 3.1. Definicja liczb kardynalnych............................. 32 3.2. Działania na liczbach kardynalnych......................... 35 3.3. Współczynnik współkońcowości............................ 45 3.4. Potęgowanie liczb kardynalnych........................... 49 4. Zbiory domknięte i nieograniczone oraz zbiory stacjonarne........... 56 4.1. Zbiory domknięte i nieograniczone.......................... 56 4.2. Zbiory stacjonarne lemat Fodora.......................... 62 5. Filtry, ideały i ultrafiltry................................ 64 5.1. Definicja filtru, ideału i ultrafiltru.......................... 64 5.2. Istnienie ultrafiltrów niegłównych. Rodziny niezależne............... 66 5.3. Filtry i ideały κ-zupełne. Liczby mierzalne i macierz Ulama............ 70 5.4. Zasada zwartości.................................... 74 6. Twierdzenia podziałowe................................. 77 7. Drzewa............................................ 84 8. Rodziny prawie rozłączne i -systemy........................ 93 8.1. Zbiory prawie rozłączne................................ 93 8.2. -systemy....................................... 95 Bibliografia........................................... 100 2

1. Aksjomaty teorii mnogości Przedmiotem badań teorii mnogości są zbiory. Powszechnie przyjęty system aksomatów E. Zermelo i A. A. Fraenkla wraz z aksjomatem wyboru (w skrócie: ZFC C jest pierwszą literą angielskiego słowa choice, czyli wybór) opisują uniwersum, którego wszystkimi obiektami są zbiory (wobec czego znika różnica pomiędzy zbiorem, a rodziną zbiorów). Aksjomaty teorii ZFC gwarantują, że to uniwersum jest niepuste: istnieje zbiór pusty(aksjomat zbioru pustego). Zapewniają, że każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy: zbiory, które mają dokładnie te same elementy są identyczne (aksjomat ekstensjonalności). Pozwalają tworzyć zbiory z danych elementów: dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór C, którego elementami są dokładnie zbiory A oraz B (aksjomat pary). Umożliwiają definiowanie zbiorów za pomocą definiowalnych własności. Dokładniej, jeśli W jest własnością, zdefiniowaną za pomocą formuły logiki pierwszego rzędu w języku, którego jedynym symbolem pozalogicznym jest predykat należenia, to dla każdego zbioru A istnieje zbiór B = {a A : W (a)}, złożony z dokładnie tych a B, które mają własność W (aksjomaty wyróżniania). Inny dopuszczalny sposób definiowania zbiorów polega na tym, że jeśli W (x, y) jest definiowalną własnością i A jest zbiorem, spełniającym warunek, że dla każdego a A istnieje dokładnie jeden b taki, że W (a, b), to istnieje zbiór B = {b : a A W (a, b)}, będący obrazem zbioru A względem funkcji o dziedzinie A, zdefiniowanej za pomocą własności W (x, y) (aksjomaty zastępowania). Kolejne aksjomaty leżą u podstaw używania następujących operacji na zbiorach: sumy: dla każdego zbioru A istnieje zbiór A = {x : A (x A A A)} (aksjomat sumy), zbioru potęgowego: dla każdego zbioru A istnieje zbiór P(A) = {Z : Z A} (aksjomat zbioru potęgowego), produktu: dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów (A i : i I) zbiór A i = {f : f : I A i i If(i) A i } i I i I 3

jest niepusty (aksjomat wyboru). Zauważmy, że aksjomat wyboru postuluje istnienie funkcji f : I i I A i takiej, że f(i) A i dla każdego i I (tzw. funkcji wyboru dla rodziny (A i : i I)) mimo, że nie została ona w żaden sposób zdefiniowana. Aksjomat wyboru gwarantuje też, że dla dowolnej rodziny A, złożonej z niepustych zbiorów, istnieje funkcja f : A A taka, że f(a) A dla każdego A A, którą nazywamy funkcją wyboru dla rodziny A. Aksjomat wyboru zapewnia również, że jeśli rodzina A składa się z niepustych zbiorów parami rozłącznych, to istnieje selektor tej rodziny, tzn. taki zbiór S A, który z każdym ze zbiorów rodziny A ma dokładnie jeden element wspólny. Ostatnim aksjomatem, z którego w tych wykładach będziemy korzystać, jest aksjomat nieskończoności, który zapewnia istnienie zbiorów nieskończonych i w szczególności zbioru liczb naturalnych N = {0, 1, 2,...}. Do teorii ZFC należy jeszcze aksjomat regularności, który narzuca na zbiory następujący warunek: każdy niepusty zbiór A ma element rozłączny z A. Wynika stąd w szczególności, że nie istnieje zbiór A taki, że A A. W tych wykładach ani z aksjomatu regularności, ani z tej jego konsekwencji, nie będziemy jednak korzystać. Uwaga 1.1. Jeśli A jest dowolnym zbiorem, to choć aksjomaty ZFC bez aksjomatu regularności nie pociągają za sobą (o ile, w co wierzymy, są niesprzeczne), że A A, to zawsze istnieje zbiór p A. Mianowicie, wystarczy wziąć p = {x A : x x} (tzw. paradoks Russella). Wynika stąd w szczególności, że nie istnieje zbiór, do którego należą wszystkie zbiory.

2. Dobre porządki i liczby porządkowe 2.1. Zbiory dobrze uporządkowane Definicja 2.1. Dobry porządek zbioru X to taki liniowy porządek zbioru X, że w każdym niepustym zbiorze A X istnieje element najmniejszy. Zbiór dobrze uporządkowany to para (X, ), gdzie jest dobrym porządkiem zbioru X. Przykład 2.2. Przykłady dobrych porządków: (1) Dowolny porządek liniowy zbioru skończonego. (2) Zwykły porządek w N. (3) Zwykły porządek w zbiorach: {1 1 : n N \ {0}}, n {1 1 : n N \ {0}} {1,..., m}, n {1 1 : n N \ {0}}... {m 1 : n N \ {0}}, n n {m 1 : m, n N \ {0}}. n Uwaga 2.3. Relacja pusta dobrze porządkuje zbiór pusty. Stwierdzenie 2.4. Następujące operacje zachowują dobre porządki: (1) izomorfizm porządkowy: jeśli (X, X ) oraz (Y, T ) są izomorficznymi zbiorami częściowo uporządkowanymi i jeden z nich jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to drugi też, (2) obcięcie dobrego porządku do podzbioru: jeśli (X, X ) jest zbiorem dobrze uporządkowanym i Y X, to relacja Y = (Y Y ) dobrze porządkuje zbiór Y, (3) suma rozłączna: jeśli (X, X ) i (Y, T ) są zbiorami dobrze uporządkowanymi oraz X Y =, to zbiór Z = X Y wraz z relacją, zdefiniowaną w następujący sposób: z 1 z 2 (z 1, z 2 X i z 1 X z 2 ) lub (z 1, z 2 Y i z 1 Y z 2 ) lub (z 1 X i z 2 Y ) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, 5

(4) porządek leksykograficzny: jeśli (X, X ) i (Y, Y ) są zbiorami dobrze uporządkowanymi, to zbiór X Y wraz z relacją porządku leksykograficznego leks, zdefiniowaną następująco: (x 1, y 1 ) leks (x 2, y 2 ) (x 1 < X x 2 ) lub ( x 1 = x 2 i y 1 Y y 2 ), jest zbiorem dobrze uporządkowanym. Twierdzenie 2.5. Niech relacja liniowo porządkuje X. Wtedy następujące warunki są równoważne: (1) Relacja dobrze porządkuje X. (2) Nie ma nieskończonych ciągów ściśle malejących (w sensie porządku ) o wyrazach w X. Dowód. (1) (2) Przypuśćmy, że (x n ) n N jest nieskończonym ciągiem malejącym o wyrazach w X. Wtedy w zbiorze {x n : n N} nie ma elementu najmniejszego, gdyż dla każdego n N mamy x n+1 < x n. (2) (1) Załóżmy, że istnieje niepusty zbiór A X, w którym nie ma elementu najmniejszego. Wówczas definiujemy nieskończony ciąg malejący o elementach w A indukcyjnie: zaczynamy od dowolnego elementu x 0 A, a mając x n A korzystamy z tego, że x n nie jest elementem najmniejszym w A i wybieramy dowolny element x n+1 A taki, że x n+1 < x n (dokładniej, jeśli f jest ustaloną funkcją wyboru dla rodziny wszystkich niepustych podzbiorów zbioru A, to określamy x n+1 = f({x A : x < x n })). Definicja 2.6. Odcinek początkowy w zbiorze liniowo uporządkowanym (X, ) to podzbiór O X taki, że: x, y X (x O y < x) y O. Przykładem właściwego (tzn. różnego od X) odcinka początkowego w niepustym zbiorze X jest zbiór O(x) = {y : y X, y < x} odcinek początkowy wyznaczony przez element x X. Twierdzenie 2.7. Niech (X, ) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Wtedy następujące warunki są równoważne: (1) Relacja dobrze porządkuje X. (2) Każdy właściwy odcinek początkowy w (X, ) jest postaci O(x) dla pewnego elementu x X. 6

Dowód. (1) (2) Niech O X będzie właściwym odcinkiem początkowym. Niech A = X \ O i a = min A. Wtedy O = O(a). (2) (1) Załóżmy, że porządek nie jest dobry i niech A X, A, nie ma elementu najmniejszego. Wtedy zbiór O = {x X : a A x < a} jest właściwym odcinkiem początkowym w X oraz nie istnieje taki x X, że O = O(x). Definicja 2.8. Dla zbioru liniowo uporządkowanego (X, ) prawdziwa jest zasada indukcji, jeżeli istnieje w nim element najmniejszy x 0 oraz jeżeli dla każdego A X zachodzi implikacja: x 0 A ( ) x > x 0 O(x) A x A A = X. Twierdzenie 2.9. Niech (X, ) będzie niepustym zbiorem liniowo uporządkowanym. Wtedy następujące warunki są równoważne: (1) Relacja dobrze porządkuje X. (2) Dla zbioru (X, ) prawdziwa jest zasada indukcji. Dowód. (1) (2) Oczywiście w zbiorze X istnieje element najmniejszy x 0. Weźmy dowolny zbiór A X spełniający założenia implikacji z definicji 2.8. Chcemy pokazać, że A = X. Przypuśćmy więc, że jest przeciwnie, tzn. zbiór Y = X \ A jest niepusty. Niech x będzie najmniejszym elementem zbioru Y. Wówczas x > x 0, gdyż x 0 A. Ponadto O(x) A, ponieważ x jest najmniejszym elementem zbioru X, który do A nie należy. To jednak implikuje (por. definicja 2.8), że x A i otrzymana sprzeczność kończy dowód. (2) (1) Na mocy twierdzenia 2.7 wystarczy udowodnić, że każdy właściwy odcinek początkowy w zbiorze X jest wyznaczony przez pewien element tego zbioru. Niech O X będzie właściwym odcinkiem początkowym zbioru X. Jeśli O =, to O = O(x 0 ), gdzie x 0 jest elementem najmniejszymw X. Załóżmy więc, że O i przypuśćmy, że odcinek O nie jest wyznaczony przez żaden element zbioru X. Dążąc do sprzeczności, zastosujemy do zbioru O zasadę indukcji. Mamy więc: 1. x 0 O, gdyż do O należy jakiś element x oraz x 0 x. 2. Niech x X, x 0 < x i załóżmy, że O(x) O. Jednocześnie O(x) O, gdyż założyliśmy, że odcinek początkowy O nie jest wyznaczony przez żaden element. Weźmy zatem dowolny element a O \ O(x). Wtedy x a, więc x O, bo O jest odcinkiem początkowym w X. Z zasady indukcji wynika, że O = X sprzeczność. 7

Definicja 2.10. Niech (A, A ), (B, B ) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi. zbiory (A, A ) i (B, B ) mają ten sam typ porządkowy (są równej długości), ozn. tp(a, A ) = tp(b, B ), jeśli są izomorficzne, tzn., jeśli istnieje funkcja h: A 1 1 B na taka, że ( ) a 1, a 2 A a 1 A a 2 h(a 1 ) B h(a 2 ). zbiór (A, A ) jest typu porządkowego nie większego niż zbiór (B, B ) (jest nie dłuższy niż (B, B )), ozn. tp(a, A ) tp(b, B ), jeśli istnieje włożenie izomorficzne (A, A ) w (B, B ), tzn. funkcja h: A 1 1 B taka, że ( ) a 1, a 2 A a 1 A a 2 h(a 1 ) B h(a 2 ). Uwaga 2.11. W powyższej definicji równoważności można zastąpić implikacjami (w prawo). Lemat 2.12. Niech (A, ) będzie dowolnym zbiorem dobrze uporządkowanym. Jeśli funkcja f : A 1 1 A jest izomorficznym włożeniem A w siebie, to a f(a) dla każdego a A. W szczególności: (1) Zbiór A nie jest izomorficzny z żadnym swoim podzbiorem zawartym we właściwym odcinkiem początkowym. (2) Żadne dwa różne odcinki początkowe zbioru A nie są izomorficzne. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie i ustalmy element a A taki, że f(a) < a. Przez indukcję łatwo wtedy pokazać, że ciąg (f (n) (a)) n N jest malejący, co daje sprzeczność z twierdzeniem 2.5. Dla dowodu punktu (1) przypuśćmy, że funkcja f : A 1 1 O(a) jest izomorfizmem zbioru A i jego podzbioru zawartego we właściwym odcinku początkowym O(a), gdzie a A. Wtedy w szczególności f(a) O(a), czyli f(a) < a, co przeczy temu, co wcześniej udowodniliśmy. Dla dowodu punktu (2) zauważmy, że spośród dwóch różnych odcinków początkowych tego samego zbioru dobrze uporządkowanego jeden jest właściwym odcinkiem początkowym drugiego. Na mocy punktu (1) nie mogą więc być one izomorficzne. Lemat 2.13. Izomorfizm zbiorów dobrze uporządkowanych przeprowadza odcinki początkowe na odcinki początkowe. Dokładniej, jeśli h: X 1 1 Y jest izomorfizmem zbiorów na dobrze uporządkowanych (X, X ) i (Y, Y ), to x X h[o X (x)] = O Y (h(x)). 8

Dowód. Powyższa równość jest przeformułowaniem definicji izomorfizmu. Twierdzenie 2.14. Jeśli (A, A ) i (B, B ) są zbiorami dobrze uporządkowanymi, to zachodzi dokładnie jeden z przypadków: (1) tp(a, A ) = tp(b, B ). (2) (A, A ) jest izomorficzny z właściwym odcinkiem początkowym (B, B ). (3) (B, B ) jest izomorficzny z właściwym odcinkiem początkowym (A, A ). Ponadto, zbiór (A, A ) jest izomorficzny z odcinkiem początkowym zbioru (B, B ) wtedy i tylko wtedy, gdy tp(a, A ) tp(b, B ). Dowód. Przypadki (1) (3) parami się wykluczają, ponieważ zbiór dobrze uporządkowany nie jest izomorficzny z żadnym swoim właściwym odcinkiem początkowym. Wystarczy więc udowodnić, że zachodzi co najmniej jeden z nich. Zdefiniujmy funkcję f : D f B o dziedzinie przyjmując, że D f = {a A : b B odcinki O A (a) i O B (b) są izomorficzne} f(a) = b odcinki O A (a) i O B (b) są izomorficzne. Funkcja f jest dobrze określona, bo jeśli odcinek O A (a) jest izomorficzny z odcinkami O B (b 1 ) i O B (b 2 ), to z lematu 2.12(2) wynika, że b 1 = b 2. Pokażemy kolejno, że: (i) D f jest odcinkiem początkowym w A. Co wiecej, jeśli a D f i h jest izomorfizmem O A (a) i O B (f(a)), to h = f O A (a). (ii) f jest izomorfizmem zbiorów D f i R f (gdzie R f jest zbiorem wartości funkcji f). (iii) R f jest odcinkiem początkowym w B. (iv) D f = A lub R f = B. Dla dowodu punktu (i) weźmy dowolne elementy a, x A takie że a D f i x < A a. Jeśli teraz h jest izomorfizmem odcinków O A (a) i O B (f(a)), to z lematu 2.13 wynika, że funkcja h przeprowadza odcinek O A (x) na odcinek O B (h(x)). Zatem x D f, co dowodzi, że zbiór D f jest odcinkiem początkowym w A. Ponadto wprost z definicji funkcji f wynika, że f(x) = h(x), co dowodzi że h = f O A (a). Dowód punktu (ii) sprowadza się do sprawdzenia, że zachodzi następująca implikacja x, y D f ( x <A y f(x) < B f(y) ). 9

Niech więc x, y D f, x < A y i niech h będzie izomorfizmem odcinków O A (y) i O B (f(y)). Na mocy lematu 2.13 mamy h[o A (x)] = O B (h(x)) oraz O B (h(x)) jest właściwym odcinkiem początkowym w O B (f(y)), zatem w szczególności h(x) < B f(y). Z punktu (1) wynika, że h(x) = f(x), więc f(x) < B f(y). Aby pokazać punkt (iii) rozumujemy tak samo, jak w dowodzie punktu (2) (zauważmy, że R f = D f 1). Aby dowieść punktu (iv), dążąc do sprzeczności przypuśćmy, że D f A oraz R f B. Na mocy twierdzenia 2.7 istnieją elementy a A \ D f oraz b B \ R f takie, że D f = O A (a) oraz R f = O B (b). Ale wtedy, na mocy punktu (ii), funkcja f { a, b } świadczy o tym, że a D f i otrzymujemy sprzeczność. Kończąc tę część dowodu zauważmy, że jeśli D f = A, to funkcja f jest izomorfizmem zbioru (A, A ) z odcinkiem początkowym zbioru (B, B ), jeśli natomiast R f = B, to funkcja f 1 jest izomorfizmem zbioru (B, B ) z odcinkiem początkowym zbioru (A, A ). Załóżmy teraz dodatkowo, że tp(a, A ) tp(b, B ). Na mocy poprzedniego akapitu wystarczy pokazać, że D f = A. Niech więc g : A 1 1 B będzie włożeniem izomorficznym A w B. Gdybyśmy mieli R f = B, to funkcja f 1 g : A A byłaby izomorfizmem zbioru A i podzbioru zbioru A, zawartego w jego właściwym odcinku początkowym D f, co przeczyłoby lematowi 2.13. Zatem mamy D f = A, co kończy dowód. Definicja 2.15. Zbiór dobrze uporządkowany (A, A ) jest typu porządkowego mniejszego niż (B, B ) (jest krótszy niż (B, B )), ozn. tp(a, A ) < tp(b, B ), jeśli tp(a, A ) tp(b, B ) i tp(a, A ) tp(b, B ). Wniosek 2.16. tp(a, A ) < tp(b, B ) wtedy i tylko wtedy gdy (A, A ) jest izomorficzny z właściwym odcinkiem początkowym w (B, B ). 2.2. Definicja liczb porządkowych Liczby porządkowe reprezentują typy zbiorów dobrze uporządkowanych. Dokładniej, każdemu zbiorowi dobrze uporządkowanemu przypisujemy liczbę porządkową jego typ w taki sposób, że typy przyporządkowane dwóm zbiorom dobrze uporządkowanym są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory te są izomorficzne (co uzasadnia stosowaną przez nas dotychczas terminologię zob. definicja 2.10). Motywacje, stojące za pochodzącą od von Neumanna definicją liczb porządkowych, którą przedstawimy, sprowadzają się do dwóch głównych pomysłów: 10

(1) Zdefiniować liczby porządkowe jako wzorcowe zbiory dobrze uporządkowane, po jednym z każdej klasy porządków izomorficznych. (2) Utożsamić liczbę porządkową ze zbiorem liczb porządkowych od niej mniejszych, z porządkiem porównywania ich pod względem długości. Definicja 2.17. Zbiór Z nazywamy zbiorem przechodnim, jeśli x, t((x Z t x) t Z). Uwaga 2.18. Zbiór Z jest przechodni wtedy i tylko wtedy gdy Z P(Z). Definicja 2.19. Relację r w zbiorze X nazywamy ostrym dobrym porządkiem zbioru X, jeśli zachodzą następujące dwa warunki: (1) relacja r, zdefiniowana w następujący sposób: jest dobrym porządkiem zbioru X, (2) x, y X (xry (x r y x y)) x r y (xry x = y), Uwaga 2.20. Relacja r jest ostrym dobrym porządkiem zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeciwzwrotna w X (tzn. x X xrx), a relacja r jest dobrym porządkiem zbioru X. Jeśli r = X = {(x, y) X X : x y}, to relację r będziemy oznaczać X. Zatem dla x, y X mamy x X y wtedy i tylko wtedy, gdy (x y x = y). Definicja 2.21. Zbiór α nazywamy liczbą porządkową, jeśli jest przechodni i relacja α jest ostrym dobrym porządkiem zbioru α. Uwaga 2.22. Zbiór α jest liczbą porządkową wtedy i tylko wtedy, gdy jest przechodni, relacja α jest dobrym porządkiem zbioru α oraz x α x x. Warunek x α x x można by pominąć, gdybyśmy przyjęli aksjomat regularności, który w szczególności wyklucza w ogóle istnienie zbiorów, ktore są swoimi własnymi elementami, zob. rozdział 1. Przykład 2.23. 11

(1) Zbiór X = {, { }, {{ }}} jest przechodni, ale nie jest liczbą porządkową, bo relacja X nie jest spójna: {{ }} i {{ }}. (2) Zbiór X = {{ }, {{ }}} nie jest przechodni: { } {{ }} ale {{ }}. (3) Zbiory:, { }, {, { } }, {, { }, {, { }} }, {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }} }} i tak dalej są liczbami porządkowymi. W następującym twierdzeniu zebrane są podstawowe konsekwencje przyjętej definicji liczb porządkowych. Twierdzenie 2.24. (1) Jeśli α jest liczbą porządkową, to α α. (2) Jeśli α jest liczbą porządkową i z α, to z jest liczbą porządkową. (3) Jeśli α i β są liczbami porządkowymi, to: (a) β α β jest właściwym odcinkiem początkowym w zbiorze dobrze uporządkowanym (α, α ). Co więcej, jeśli β α, to β = O α (β) = α β, (b) β α (β = α β α); warunki β = α i β α wykluczają się wzajemnie. (c) β α (β α α β); warunki β α i α β wykluczają się wzajemnie. (4) W dowolnym zbiorze Z, którego elementami są wyłącznie liczby porządkowe, relacja Z jest relacją inkluzji w zbiorze Z. W szczególności, jeśli γ jest liczbą porządkową oraz α, β γ, to β γ α β α. (5) Dowolny zbiór przechodni, którego elementami są wyłącznie liczby porządkowe, jest liczbą porządkową. Dowód. (1) Przypuśćmy, że α α. Wówczas jednak dla x = α mielibyśmy x α oraz x x, co przeczy definicji liczby porządkowej (zob. uwaga 2.22). (2) Najpierw udowodnimy, że zbiór z jest przechodni. Niech więc x z oraz t x. Pokażemy, że t z. Skoro x z i z α, to z przechodniości zbioru α mamy x α. Analogicznie, t x i x α daje t α. Mamy zatem x, t, z α oraz t x i x z, czyli t α x i x α z. Stąd, na mocy przechodniości relacji α, dostajemy t α z, tzn. t z. Żeby pokazać, że relacja z dobrze porządkuje zbiór z, wystarczy zauważyć, że z α implikuje z α, co z kolei daje z = α z. Zbiór z jest więc dobrze uporządkowany jako podzbiór zbioru dobrze uporządkowanego α. 12

Na koniec zauważmy, że jeśli x z, to z przechodniości zbioru α wynika, że x α, a więc x x. Na mocy uwagi 2.22 zbiór z jest więc liczbą porządkową. (3a) Załóżmy najpierw, że β α. Wtedy β α, gdyż zbiór α jest przechodni. Zatem β = α β, czyli β = {ξ α : ξ β} = O α (β) jest właściwym odcinkiem początkowym w α wyznaczonym przez β. Teraz załóżmy, że β = O α (γ) = α γ jest właściwym odcinkiem początkowym w α wyznaczonym przez pewien element γ α; chcemy udowodnić, że β = γ. Ale skoro γ α, to γ α, więc γ = α γ = β. (3b) Jeśli β α, to z przechodniości zbioru β wynika natychmiast, że β jest odcinkiem początkowym zbioru α: jeśli γ β i ξ α γ, to ξ γ, a stąd ξ β. Zatem albo β = α, albo β α na mocy udowodnionego już punktu (3a). Implikacja odwrotna wynika z przechodniości zbioru α. (3c) Załóżmy, że β α i niech γ = α β. Wówczas zbiór γ jest liczbą porządkową. Istotnie, jest on przechodni, gdyż jeśli x γ, to x α oraz x β, skąd x α i x β, czyli x γ. Ponadto, jest on dobrze uporządkowany przez relację γ jako podzbiór zbioru dobrze uporządkowanego α. Wreszcie, jeśli x γ, to x α, więc x x. Z punktu (1) wynika teraz, że γ γ, czyli γ α lub γ β. Załóżmy najpierw, że γ α. Mamy jednocześnie γ α, więc z punktu (3b) wynika, że γ = α, czyli α β. Skoro jednak β α, to ponownie korzystając z punktu (3b) dostajemy α β. Analogiczne rozumowanie pokazuje, że jeśli γ β, to β α. Na odwrót, jeśli α β lub β α, to β α na mocy punktu (1). (4) Niech Z będzie zbiorem, którego elementami są wyłącznie liczby porządkowe. Wówczas dla dowolnych α, β Z mamy β Z α wtedy i tylko wtedy, gdy β = α lub β α, co z kolei na mocy punktu (3b) jest równoważne temu, że β α. (5) Niech Z będzie zbiorem przechodnim, którego elementami są wyłącznie liczby porządkowe. Na początku zauważmy, że jeśli x Z, to warunek x x wynika z punktu (1). Wystarczy więc pokazać, że relacja Z dobrze porządkuje zbiór Z. Z punktu (3c) wynika natychmiast, że relacja Z jest liniowym porządkiem zbioru Z. Żeby dowieść, że jest to porządek dobry, weźmy dowolny niepusty podzbiór Y Z i niech α Y. Jeśli α jest najmniejszym elementem zbioru Y, to dowód jest zakończony. W przeciwnym razie istnieje element ξ Y taki, że ξ Z α, tzn., ξ α. W szczególności, zbiór Y α jest niepusty; niech γ będzie najmniejszym elementem tego zbioru w sensie dobrego porządku α. Wówczas γ jest szukanym elementem najmniejszym zbioru Y. Istotnie, jeśli β Y, to na mocy punktów (3b) i (3c) zachodzi α β lub β α. W pierwszym przypadku 13

γ β, w drugim (na mocy definicji liczby γ) γ α β, co z kolei znaczy, że γ β. W obu przypadkach otrzymujemy γ Z β. Zbiór Z jest więc liczbą porządkową na mocy uwagi 2.22. Wniosek 2.25. Niech α i β będą liczbami porządkowymi. (1) tp(β, β ) = tp(α, α ) β = α, (2) tp(β, β ) tp(α, α ) β α, (3) tp(β, β ) < tp(α, α ) β α. Definicja 2.26. Niech α i β będą liczbami porządkowymi. Powiemy, że: β jest mniejsza bądź równa α, ozn. β α, jeśli tp(β, β ) tp(α, α ), β jest mniejsza od α, ozn. β < α, jeśli tp(β, β ) < tp(α, α ). Wniosek 2.25 można teraz przeformułować w sposób następujący. Wniosek 2.27. Jeśli α i β są liczbami porządkowymi., to: (1) β α β α, (2) β < α β α. W konsekwencji każda liczba porządkowa jest zbiorem liczb porządkowych od niej mniejszych, dobrze uporządkowanym przez relację porównywania pod względem długości. Wniosek 2.28. (1) Każdy właściwy odcinek początkowy liczby porządkowej α jest liczbą porządkową mniejszą od α. (2) Jeśli α jest liczbą porządkową, to zbiór α {α} jest najmniejszą liczbą porządkową większą od α. (3) Jeśli A jest dowolnym zbiorem liczb porządkowych, to zbiór α = A jest najmniejszą liczbą porządkową taką, że β α dla każdej liczby β A. W szczególności, A α {α} oraz α {α} A. Dowód. (1) Zauważmy, że na mocy punktu (4) twierdzenia 2.24 zbiór β α jest odcinkiem początkowym α wtedy i tylko wtedy, gdy jest przechodni. Z punktów (5) i (3) twierdzenia 2.24 wynika więc, że β jest liczbą porządkową oraz β α, czyli β < α. Dowody dwóch pozostałych punktów oprzemy na punkcie (5) twierdzenia 2.24, pokazując każdorazowo, że rozpatrywany zbiór składa się z liczb porządkowych i jest przechodni. 14

(2) Zbiór α {α} składa się z samej liczby α oraz elementów zbioru α, które na mocy twierdzenia 2.24 (punkt (2)), są liczbami porządkowymi. Ponadto zbiór ten jest przechodni, gdyż jeśli β α {α}, to β α lub β = α i w obu przypadkach β α {α}. Zatem α {α} jest liczbą porządkową i oczywiście α < α {α}. Ponadto, jeśli γ jest liczbą porządkową taką, że α < γ, to z wniosku 2.27 wynika kolejno, że α γ i α γ a więc α {α} γ, czyli α {α} γ. (3) Niech A będzie dowolnym zbiorem liczb porządkowych i niech α = A. Jeśli x α, to x β dla pewnej liczby porządkowej β A. Wtedy z twierdzenia 2.24 (punkt (2)) wynika, że x jest liczbą porządkową. Ponadto x β oraz β α, więc x α. Zatem zbiór α jest przechodni i składa się z liczb porządkowych, więc jest liczbą porządkową. Oczywiście β α, czyli β α dla każdej liczby β A. Ponadto jeśli γ jest taką liczbą porządkową, że β γ czyli β γ dla każdej liczby β A, to α = A γ, czyli α γ. Wniosek 2.29. (1) Niech α, β, γ będą liczbami porządkowymi. Wtedy: α α, (α β β γ) α γ, (α β β α) α = β, α β β α. (2) W każdym niepustym zbiorze, którego elementami są liczby porządkowe, istnieje liczba najmniejsza. (3) Ustalmy definowalną własność W (x) (por. rozdział 1). Jeśli istnieje liczba porządkowa α taka, że W (α), to istnieje też najmniejsza taka liczba α. Dowód. Dowodu wymagają jedynie punkty (2) i (3). (2) Niech zbiór A składa sie z liczb porządkowych. Niech α = A i η = α {α}. Na mocy wniosku 2.28(3) mamy A η. Najmniejszy element zbioru A w sensie dobrego porządku η jest szukaną najmniejszą liczbą w zbiorze A. (3) Niech α będzie dowolną liczbą porządkową z własnością W. Wtedy albo α jest najmniejszą taką liczbą, albo jest nią najmniejsza liczba w zbiorze {β < α : W (β)}. Powyższy wniosek można streścić w nieformalnym stwierdzeniu, że relacja porównywania liczb porządkowych jest dobrym porządkiem. Stwierdzenie to, rozumiane dosłownie, jest jednak nieprawdziwe wobec następującej, natychmiastowej konsekwencji wniosku 2.28 (punkt (3)), znanej jako paradoks Burali-Forti. 15

Wniosek 2.30. Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe i tylko one. Następujące twierdzenie pokazuje, że liczby porządkowe rzeczywiście reprezentują wszystkie typy zbiorów dobrze uporządkowanych są wzorcowymi zbiorami dobrze uporządkowanymi, po jednym z każdej klasy porządków izomorficznych. Twierdzenie 2.31. Dla każdego zbioru dobrze uporządkowanego (A A ) istnieje dokładnie jedna liczba porządkowa α taka, że tp(a, A ) = tp(α, α ). Dowód. Niech (A, A ) będzie dowolnym zbiorem dobrze uporządkowanym. Zauważmy, że jedyność liczby α takiej, że tp(a, A ) = tp(α, α ), wynika z wniosku 2.25 (punkt (1)). Zatem dla każdego elementu a A istnieje co najwyżej jedna liczba porządkowa β a taka, że odcinek początkowy O(a) i liczba β a są izomorficzne. Niech więc zbiór à składa się z tych elementów zbioru A, które wyznaczają odcinki początkowe izomorficzne z liczbami porządkowymi. Na zbiorze à określmy funkcję f następującym wzorem: f(a) = β a dla a Ã. Zbiór R f = {β a : a Ã} składa się z liczb porządkowych (to, że f jest funkcją, a R f zbiorem, wynika z aksjomatu zastępowania, zob. rozdział 1), więc z wniosku 2.28 (punkt (3)) wynika, że γ = R f jest liczbą porządkową oraz η = γ {γ} jest taką liczbą porządkową, że η R f. Na mocy definicji funkcji f znaczy to, że zbiór dobrze uporządkowany (η, η ) nie jest izomorficzny z żadnym właściwym odcinkiem początkowym zbioru (A, A ). Z twierdzenia 2.14 wnioskujemy więc, że zbiór (A, A ) jest izomorficzny z pewnym odcinkiem początkowym liczby η. Ale na mocy wniosku 2.28 (punkt (1)) ten odcinek jest liczbą porządkową jest to właśnie szukana liczba α taka, że tp(a, A ) = tp(α, α ). Definicja 2.32. Typem porządkowym zbioru dobrze uporządkowanego (A, ), oznaczanym symbolem tp(a, ) (lub tp(a), jeśli porządek jest znany z kontekstu), nazywamy jedyną liczbę porządkową α, dla której zbiory dobrze uporządkowane (A, ) i (α, α ) są izomorficzne. Zauważmy, że sens dotychczasowych oznaczeń (por. definicja 2.10): tp(a, A ) = tp(b, B ), tp(a, A ) tp(b, B ), tp(a, A ) < tp(b, B ), 16

pozostaje niezmieniony, jeśli interpretujemy je jako związki pomiędzy zdefiniowanymi powyżej typami porządkowymi odpowiednich zbiorów dobrze uporządkowanych. Oczywiście dla każdej liczby porządkowej mamy tp(α, α ) = α. Typy skończonych zbiorów dobrze uporządkowanych, czyli skończone liczby porządkowe, utożsamiamy z liczbami naturalnymi. Najmniejszą liczbą porządkowa i zarazem najmniejszą liczbą naturalną jest 0 =. Definicja 2.33. Następnikiem liczby porządkowej α, ozn. α + 1, nazywamy liczbę α {α}. Liczbę porządkową α nazywamy następnikową, jeśli α = β + 1 dla pewnej liczby β. Liczbę porządkową α nazywamy graniczną, jeśli α 0 i α nie jest liczbą następnikową. Kresem górnym zbioru A, złożonego z liczb porządkowych, ozn. sup A, nazywamy liczbę porządkową A. Najmniejszą liczbą graniczną jest ω = tp(n, ). Konsekwencją utożsamienia skończonych liczb porządkowych z liczbami naturalnymi jest równość ω = N. Uwaga 2.34. Jeśli α jest liczbą porządkową i α 0, to następujące warunki są równoważne: (1) α jest liczbą graniczną, (2) dla każdej liczby porządkowej β, jeśli β < α, to β + 1 < α, (3) w zbiorze α nie ma liczby największej, (4) sup α = α. W dalszej części wykładu będziemy stosować następujące oznaczenia: α ON znaczy: α jest liczbą porządkową, α LIM znaczy: α jest graniczną liczbą porządkową. Dla każdej liczby porządkowej prawdziwa jest oczywiście zasada indukcji (zob. 2.8). Jej odpowiednikiem w kontekście wszystkich liczb porządkowych jest następujące twierdzenie, pozwalające dowodzić przez indukcję, że każda liczba porządkowa ma ustaloną definiowalną własność W (x) (por. rozdział 1). Twierdzenie 2.35 (Zasada indukcji dla liczb porządkowych). ( W (0) α > 0 ( ( β < α W (β)) W (α) )) α ON W (α). 17

Dowód. Załóżmy, że poprzednik dowodzonej implikacji jest prawdziwy, a następnik nie. Uzyskujemy sprzeczność, znajdując na mocy wniosku 2.29(3) najmniejszą liczbę porządkową α, która nie ma własności W. Wówczas bowiem (por. dowód twierdzenia 2.9) mamy α > 0 i każda liczba β < α ma własność W. 2.3. Arytmetyka liczb porządkowych Działania na liczbach porządkowych ułatwiają analizę struktury dobrych porządków. Definicja 2.36 (Dodawanie i mnożenie liczb porządkowych). Niech α, β ON. Suma: α + β = tp(({0} α) ({1} β), ), gdzie Iloczyn: α β = tp(β α, leks ). (i, ξ) (j, η) ( i < j lub (i = j oraz ξ η) ). Zauważmy, że wprowadzone wcześniej oznaczenie następnika liczby α jako α + 1 jest zgodne z powyższą definicją dodawania. Wprost z definicji dodawania i mnożenia łatwo wynikają następujące własności tych działań. Twierdzenie 2.37. Dla dowolnych α, β, γ ON: (1) jeśli α < β, to γ + α < γ + β, (2) jeśli α β, to α + γ β + γ, (3) jeśli α < β i γ > 0, to γ α < γ β, (4) jeśli α β, to α γ β γ, (5) α + (β + γ) = (α + β) + γ, (6) α (β γ) = (α β) γ, (7) α (β + γ) = (α β) + (α γ). Dowód. (1) Jeśli α < β, to zbiór ({0} γ) ({1} α) jest właściwym odcinkiem początkowym w zbiorze ({0} γ) ({1} β) (z relacją leks ). (2) Jeśli α β, to zbiór ({0} α) ({1} γ) jest podzbiorem zbioru ({0} β) ({1} γ). (3) Analogicznie do (1). (4) Analogicznie do (2). (5) Obie liczby wyrażają typ zbioru ({0} α) ({1} β) ({2} γ), uporządkowanego leksykograficznie. (6) Obie liczby wyrażają typ zbioru γ β α, uporządkowanego leksykograficznie. (7) Mamy: 18

( (({0} ) ) α (β + γ) = tp β) ({1} γ) α, (α β) + (α γ) = tp( ({0} (β α) ) ( {1} (γ α) ) ), gdzie zbiory po prawych stronach powyższych równości rozpatrujemy wraz z odpowiednimi porządkami leksykograficznymi. Naturalna bijekcja pomiędzy tymi zbiorami jest izomorfizmem porządkowym. Nie wszystkie własności dodawania i mnożenia liczb naturalnych przenoszą się na dowolne liczby porządkowe. Przykład 2.38. (1) 1 + ω = ω < ω + 1, (2) 2 ω = ω < ω 2, (3) 1 < 2, ale ω = 1 + ω = 2 + ω = ω, (4) 1 < 2, ale ω = 1 ω = 2 ω, (5) (1 + 1) ω = ω 1 ω + 1 ω. Twierdzenie 2.39. Niech α, β ON oraz α, β 1. Każda liczba porządkowa γ < α β ma jednoznaczne przedstawienie w postaci γ = α β + α, ( ) gdzie β < β i α < α. Dokladniej, jeśli γ jest typem porządkowym odcinka początkowego w zbiorze dobrze uporządkowanym (β α, leks ), wyznaczonego przez parę (β, α ), to zachodzi równość ( ). Dowód. Niech γ < α β i niech γ = tp(o( β, α )) dla pewnej pary β, α β α. Zauważmy, że O( β, α ) = (β α) ({β } α ), przy czym dowolny element pierwszego składnika powyższej sumy poprzedza w porządku leks każdy element jej drugiego składnika. Ponadto, tp(β α) = α β oraz tp({β } α ) = α, co kończy dowód ( ). Jednoznaczność przedstawienia ( ) wynika z tego, że różnym parom α, β β α odpowiadaja różne, a więc nieizomorficzne, odcinki początkowe w zbiorze dobrze uporządkowanym (β α, leks ). 19

Wniosek 2.40. Niech α ON i α 1. Każda liczba porządkowa γ ma jednoznaczne przedstawienie w postaci γ = α β + α, ( ) gdzie α < α oraz β γ. Dowód. Wystarczy zauważyć, że γ < α (γ+1), przyjąć β = γ+1 i skorzystać z twierdzenia 2.39. Definicja 2.41. Niech (A, A ) i (B, B ) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi i jeśli A, to niech 0 będzie elementem najmniejszym zbioru A. Nośnikiem funkcji f : B A nazywamy zbiór supp(f) = {b B : f(b) 0}. W dalszej części tego wykładu niech F (A, B) oznacza zbiór wszystkich funkcji z B w A o skończonym nośniku. Dla każdej niezerowej funkcji f F (α, β) niech rk(f) = max supp(f) będzie największym elementem nośnika funkcji f. Uwaga 2.42. F (A, B) = { { }, jeśli B =,, jeśli A = i B. Definicja 2.43 (Potęgowanie liczb porządkowych). Niech α, β ON. Potęga: α β = tp(f (α, β), ), gdzie f g ( f = g lub f(ξ) < g(ξ) ) dla ξ = max{η < β : f(η) g(η)}. Poprawność definicji potęgowania wymaga sprawdzenia. Lemat 2.44. Dla dowolnych α, β ON relacja dobrze porządkuje zbiór F (α, β). Dowód. Na początek zauważmy, że relacja liniowo porządkuje zbiór F (α, β). Ponadto, jeśli α = 0 lub β = 0, to zbiór F (α, β) ma co najwyżej jeden element i jest dobrze uporządkowany przez (dokładniej: α 0 = 1 oraz 0 β = 0, jeśli β > 0). Ustalmy α > 0. Dowód tego, że jeśli β > 0, to dobrze porządkuje zbiór F (α, β), przeprowadzimy przez indukcję po β (por. twierdzenie 2.35). Jeśli β = 1, to zbiór F (α, β) jest porządkowo izomorficzny z α. Niech więc β > 1 i załóżmy, że dowodzona własność jest prawdziwa dla liczb porządkowych mniejszych od β. Weźmy niepusty zbiór A F (α, β); pokażemy, że istnieje w nim element najmniejszy. Jeśli funkcja zerowa należy do A, to ona jest jego elementem najmniejszym. 20

Przypuśćmy więc, że funkcja zerowa nie należy do A i niech: β 1 = min{rk(f) : f A}, α 1 = min{f(β 1 ) : rk(f) = β 1 }, A 1 = {f A : rk(f) = β 1 f(β 1 ) = α 1 }. Zauważmy, że A 1 jest odcinkiem początkowym w A, więc wystarczy znaleźć element najmniejszy w A 1. Ale odwzorowanie f f β 1 jest izomorfizmem porządkowym pomiędzy A 1 i podzbiorem zbioru F (α, β 1 ), który na mocy założenia indukcyjnego, zastosowanego do β 1 < β, jest dobrze uporządkowany. To kończy dowód indukcyjny. Wprost z definicji potęgowania łatwo wynikają jego naturalne własności. Twierdzenie 2.45. Dla dowolnych α, β, γ ON: (1) jeśli α β, to α γ β γ, (2) jeśli 1 < α i β < γ, to α β < α γ, (3) α β+γ = α β α γ, (4) (α β ) γ = α β γ. Dowód. (1) Jeśli 0 < α β, to F (α, γ) F (β, γ). (2) Jeśli 1 < α i β < γ, to F (α, γ) jest właściwym odcinkiem początkowym w F (β, γ). (3) Niech C = {ξ < β + γ : β ξ}. Oczywiście tp(c) = γ oraz α γ = tp(f (α, C), ), gdzie dobry porządek jest zdefiniowany tak, jak w definicji 2.43. Wystarczy zauważyć, że funkcja f f C, f β jest izomorfizmem porządkowym zbiorów dobrze uporządkowanych F (α, β + γ) (typu α β+γ ) oraz F (α, C) F (α, β) (z porządkiem leksykograficznym, a więc typu α β α γ ). (4) Wystarczy zauważyć, że funkcja dana wzorem ϕ(f) = g, gdzie ϕ : F (F (α, β), γ) F (α, γ β) g(ξ, η) = f(ξ)(η), jest izomorfizmem porządkowym zbiorów dobrze uporządkowanych F (F (α, β), γ) (typu (α β ) γ ) oraz F (α, γ β) typu α β γ (w zbiorze γ β jest porządek leksykograficzny). Przykład 2.46. 2 < 3, ale 2 ω = 3 ω = ω. Ogólniej, jeśli 0 < n < ω, to n ω = ω. Istotnie, łatwo zauważyć, że liczba n ω jest graniczna i odcinek początkowy w zbiorze F (n, ω) wyznaczony przez dowolną funkcję f F (n, ω) jest skończony. 21

Twierdzenie 2.47. Niech α, β ON oraz α 2 i β 1. Każda liczba porządkowa γ taka, że 0 < γ < α β ma jednoznaczne przedstawienie w postaci γ = α β1 α 1 +... + α βk α k, ( ) gdzie β > β 1 >... > β k oraz 0 < α 1,..., α k < α. Dokładniej, jeśli γ > 0 jest typem porządkowym odcinka początkowego w zbiorze dobrze uporządkowanym (F (α, β), ), wyznaczonego przez niezerową funkcję f γ F (α, β), to zachodzi równość ( ), gdzie supp(f γ ) = {β 1,..., β k }, β > β 1 >... > β k oraz f γ (β i ) = α i dla i {1,..., k}. W szczególności, dla γ 1, γ 2 < α β mamy: γ 1 < γ 2 f γ1 f γ2. Dowód. Ustalmy α 2. Dowód tego, że każda liczba γ < α β ma przedstawienie ( ), odpowiadające funkcji f γ, przeprowadzimy przez indukcję po β 1 (por. twierdzenie 2.35). Jeśli β = 1 i 0 < γ < α 1, to γ = α 0 γ oraz β 1 = 0 i α 1 = f γ (0) = γ. Niech teraz β > 1 i załóżmy, że dowodzona własność jest prawdziwa dla liczb porządkowych mniejszych od β. Niech 0 < γ < α β, supp(f γ ) = {β 1,..., β k }, gdzie β > β 1 >... > β k oraz niech f γ (β i ) = α i dla i {1,..., k}. Zauważmy, że O(f γ ) = {g F (α, β) : rk(g) β 1 g(β 1 ) < α 1 } {g F (α, β) : rk(g) = β 1 g(β 1 ) = α 1 g β 1 f γ β 1 }, przy czym dowolny element pierwszego składnika powyższej sumy poprzedza w porządku każdy element jej drugiego składnika. Ponadto, tp({g F (α, β) : rk(g) β 1 g(β 1 ) < α 1 }) = tp(f (α, β 1 )) α 1 = α β1 α 1. Natomiast drugi składnik, o ile jest niepusty, jest porządkowo izomorficzny z odcinkiem początkowym, wyznaczonym w zbiorze dobrze uporządkowanym (F (α, β 1 ), ) przez funkcję f γ β 1. Na mocy założenia indukcyjnego, zastosowanego do β 1 < β, zbiór ten jest więc typu α β2 α 2 +... + α β k αk. Ostatecznie, co kończy dowód indukcyjny. γ = tp(o(f γ )) = α β1 α 1 + (α β2 α 2 +... + α βk α k ), 22

Jednoznaczność przedstawienia ( ) wynika z tego, że występujące w nim parametry β 1,..., β k oraz α 1,..., α k jednoznacznie wyznaczają funkcję f γ, przy czym różnym zestawom parametrów odpowiadają różne funkcje. Z kolei różnym elementom zbioru F (α, β) odpowiadają różne, a więc nieizomorficzne, odcinki początkowe w tym zbiorze. Wniosek 2.48. Niech α ON i α 2. Każda liczba porządkowa γ ma jednoznaczne przedstawienie w postaci γ = α β1 α 1 +... + α βk α k, gdzie γ β 1 >... > β k oraz 0 < α 1,..., α k < α. Dowód. Wystarczy zauważyć, że γ < α γ+1, przyjąć β = γ + 1 i skorzystać z twierdzenia 2.47. Na koniec odnotujmy, że wprowadzone działania na liczbach porządkowych spełniają pewne naturalne zależności indukcyjne. Twierdzenie 2.49. Dla dowolnych α, β ON: (1) (a) α + 0 = α, (b) α + (β + 1) = (α + β) + 1, (c) α + β = sup{α + γ : γ < β}, jeśli β LIM. (2) (a) α 0 = 0, (b) α (β + 1) = α β + α, (c) α β = sup{α γ : γ < β}, jeśli β LIM. (3) (a) α 0 = 1, (b) α β+1 = α β α, (c) α β = sup{α γ : γ < β}, jeśli β LIM. Ponadto każdy z zestawów warunków (1), (2), (3) jednoznacznie definiuje odpowiadające mu działanie. Na przykład, jeśli α, η ON, η > 0 i funkcja f o dziedzinie η i wartościach w ON spełnia warunki: (a) f(0) = 1, (b) f(β + 1) = f(β) α, jeśli β + 1 < η, (c) f(β) = sup{f(γ) : γ < β}, jeśli β < η i β LIM, to f(β) = α β dla każdego β < η. ( ) 23

Dowód. W każdym z punktów podpunkty (a) i (b) są oczywiste. Skoncentrujemy się na podpunktach (c). W każdym z nich jest jasne, że wskazana liczba porządkowa jest ograniczeniem górnym odpowiedniego zbioru, więc wystarczy pokazać, że nie ma ograniczenia mniejszego. Załóżmy więc, że β LIM. (1) Żadna liczba porządkowa mniejsza od α + β nie ogranicza z góry zbioru {α + γ : γ < β}. Jeśli bowiem δ < α + β, to albo δ < α, albo δ = α + ξ dla pewnego ξ < β i wówczas δ < α + γ, gdzie γ = ξ + 1 < β. (2) Żadna liczba porządkowa mniejsza od α β nie ogranicza z góry zbioru {α γ : γ < β}. Jeśli bowiem δ < α β, to na mocy twierdzenia 2.39, δ = α β + α, gdzie β < β i α < α. Wtedy δ < α γ, gdzie γ = β + 1 < β. (3) Żadna liczba porządkowa mniejsza od α β nie ogranicza z góry zbioru {α γ : γ < β}. Jeśli bowiem δ < α β, to na mocy twierdzenia 2.47, δ = α β1 α 1 +... + α βk α k, gdzie β > β 1 >... > β k i 0 < α 1,..., α k < α. Wówczas δ < α γ, gdzie γ = β 1 + 1 < β. Istotnie, nierówność α β1 α 1 +... + α βk α k < α β 1+1, łatwo wynika z twierdzenia 2.47. Można jej też dowieść przez indukcję po k. Mianowicie, dla k = 1 mamy α β1 α 1 < α β1 α = α β 1+1. Natomiast w kroku indukcyjnym, biorąc k > 1 i korzystając z założenia indukcyjnego dla k 1 oraz ciągów β 2 >... > β k i α 2,..., α k < α dostajemy: α β1 α 1 + (α β2 α 2... + α βk α k ) < α β1 α 1 + α β 2+1 α β1 α 1 + α β 1 = α β1 (α 1 + 1) α β1 α = α β 1+1. Jednoznaczności funkcji, które spełniają zestawy warunków (1), (2) i (3), dowodzi się łatwo przez indukcję. 2.4. Definiowanie przez indukcję, twierdzenie Zermelo i lemat Kuratowskiego-Zorna Drugim, obok dowodów przez indukcję (zob. twierdzenia 2.9 i 2.35), aspektem indukcji są definicje indukcyjne, stanowiące jedno z najważniejszych narzędzi teorii mnogości. 24

Definicja 2.50. Niech α ON. Ciągiem pozaskończonym długości (lub typu) α nazywamy dowolną funkcję o dziedzinie α. Ciągi pozaskończone oznacza się podobnie jak zwykłe ciągi: (x β : β < α), (x α ) β<α itp. (pamiętając o tym, że α = {β ON : β < α}). Przypomnijmy, że Y X oznacza zbiór wszystkich funkcji f : X Y. W szczególności A α oznacza zbiór wszystkich ciągów pozaskończonych długości α ON o wartościach w zbiorze A. Twierdzenie 2.51 (o definiowaniu przez indukcję). Niech γ ON. Dla każdego niepustego zbioru A i dowolnej funkcji ϕ : α<γ A α A istnieje dokładnie jeden ciąg pozaskończony f : γ A długości γ taki, że f(α) = ϕ(f α) ( ) dla każdego α < γ. Dowód. Dla każdej liczby porządkowej ξ γ, ciągiem indukcyjnym typu ξ nazwiemy ciąg pozaskończony f : ξ A długości ξ spełniający warunek: czyli warunek ( ) dla argumentów α < ξ. f(α) = ϕ(f α), dla każdego α < ξ, Udowodnimy, że dla każdej liczby ξ γ, istnieje dokładnie jeden ciąg indukcyjny f ξ typu ξ; oczywiście ciąg f γ będzie ciągiem, którego szukamy. Zaczniemy od pokazania, że dla każdej liczby ξ istnieje co najwyżej jeden ciąg indukcyjny typu ξ. Dla ξ = 0 jest to oczywiste: funkcja pusta jest jedynym ciągiem indukcyjnym typu 0. Weźmy następnie liczbę ξ > 0 i załóżmy, że f, g : ξ A są dwoma ciągami indukcyjnymi typu ξ. Niech Y = {β < ξ : f(β) = g(β)}. Udowodnimy, że Y = ξ, stosując (do zbioru dobrze uporządkowanego ξ) zasadę indukcji. Oczywiście, skoro ξ > 0 oraz f(0) = ϕ( ) = g(0), to 0 Y. Weźmy więc dowolną liczbę α < ξ i załóżmy, że α Y. Znaczy to, że f α = g α, a stąd f(α) = ϕ(f α) = ϕ(g α) = g(α), czyli α Y. Na mocy zasady indukcji Y = ξ. Niech teraz Z = {ξ γ : istnieje ciąg indukcyjny typu ξ}. Stosując ponownie zasadę indukcji pokażemy, że Z = {ξ : ξ γ}, co zakończy dowód twierdzenia. 25

Oczywiście, 0 Z. Weźmy więc dowolną liczbę ξ, taką że 0 < ξ γ i załóżmy, że ξ Z. Znaczy to, że dla każdej liczby β < ξ istnieje ciąg indukcyjny typu β. Ponadto, na mocy pierwszej części dowodu, ciąg taki jest dokładnie jeden; oznaczmy go f β. Rozważmy dwa przypadki: Przypadek 1. ξ jest liczbą następnikową: ξ = β + 1. Wtedy wystarczy zdefiniować ciąg f ξ : ξ A jako przedłużenie ciągu f β dane wzorem f ξ β = f β, f ξ (β) = ϕ(f β ). Wtedy f ξ (β) = ϕ(f ξ β), a dla α < β mamy f ξ (α) = f β (α) = ϕ(f β α) = ϕ(f ξ α), czyli f ξ jest ciągiem indukcyjnym typu ξ, co pokazuje, że ξ Z. Przypadek 2. ξ LIM. Zauważmy, że z udowodnionej wcześniej jedyności ciągu indukcyjnego danego typu wynika, że jeśli β < η < ξ, to f η β = f β. Zdefiniujmy ciąg f ξ : ξ A wzorem: f ξ (α) = f α+1 (α). Prawa strona powyższego wzoru ma sens, gdyż jeśli α < ξ, to α + 1 < ξ i zgodnie z założeniem istnieje ciąg indukcyjny f α+1 długości α + 1. Dla dowolnego α < ξ mamy teraz f ξ α = f α+1 α, gdyż jeśli β < α, to f ξ (β) = f β+1 (β) = f α+1 (β). Stąd f ξ (α) = f α+1 (α) = ϕ(f α+1 α) = ϕ(f ξ α), czyli f ξ jest ciągiem indukcyjnym typu ξ, a więc i w tym przypadku ξ Z. Ostatecznie, na mocy zasady indukcji, Z = {ξ : ξ γ}. Definiując jakiś ciąg (x α ) α<γ długości γ przez indukcję pozaskończoną, mówimy zwykle, że konstruujemy ten ciąg przez indukcję (pozaskończoną) po α < γ. Kluczowym elementem takiej konstrukcji jest określenie funkcji ϕ (por. twierdzenie 2.51). Na ogół w praktyce nie jest ono zbyt formalne i definicja ϕ w ogóle się explicite nie pojawia. Opis konstrukcji indukcyjnej jest zgodny z intuicją procesu indukcyjego, którego istotą jest to, że jest on rozbity na kolejno po sobie nastepujące kroki, przy czym wynik danego kroku zależy od wyników kroków wcześniejszych. W kroku α < γ zakładamy więc po prostu, że ciąg 26

(x β ) β<α został już skonstruowany i opisujemy, jak za pomocą jego wyrazów zdefiniować wyraz x α. Technikę konstrukcji indukcyjnych zastosujemy w dowodach dwóch fundamentalnych twierdzeń teorii mnogości: twierdzenia Zermelo oraz lematu Kuratowskiego-Zorna. Twierdzenie 2.52 (Zermelo). Dla każdego zbioru X istnieje relacja, która jest jego dobrym porządkiem. Dowód. Relacja pusta dobrze porządkuje zbiór pusty, załóżmy więc, że X. Zauważmy, że wówczas istnienie dobrego porządku zbioru X danego typu η jest równoważne istnieniu różnowartościowego ciągu pozaskończonego długości η, którego wyrazy wyczerpują wszystkie elementy zbioru X. Istotnie, jeśli funkcja f : η X jest bijekcją z η na X, to z jej pomocą można zadać na X dobry porządek f typu η, przyjmując, że x f y f 1 (x) f 1 (y) dla x, y X. Na odwrót, jeśli relacja dobrze porządkuje zbiór X w typ η, to izomorfizm porządkowy z η na X jest bijekcją. Idea dowodu jest więc następująca: dla odpowiednio dużej liczby porządkowej γ, przez indukcję po α < γ wybieramy kolejno coraz to nowe elementy zbioru X aż do wyczerpania wszystkich za pomocą wyrazów skonstruowanego w ten sposób różnowartościowego ciągu pozaskończonego pewnej długości η < γ. Ustalmy najpierw funkcję wyboru h rodziny P(X) \ { } oraz p / X. Zdefiniujmy funkcję F : P(X {p}) X {p} w sposób następujący Niech { h(z), jeśli Z P(X) \ { } F (Z) = p w przeciwnym razie. R = {(Y, ) : Y X i jest dobrym porządkiem zbioru Y } i niech R będzie zbiorem wartości funkcji (Y, ) tp(y, ) dla (Y, ) R (to, że jest to funkcja, a R jest zbiorem, wynika z aksjomatu zastępowania, zob. rozdział 1). Innymi słowy R jest zbiorem tych wszystkich ξ ON, dla których istnieje różnowartościowy ciąg pozaskończony długości ξ o wyrazach w X. 27

Ustalmy liczbę porządkową γ większą od wszystkich elementów zbioru R (zob. wniosek 2.28). Zastosujmy twierdzenie 2.51 (o definiowaniu przez indukcję) do liczby γ, zbioru A = X {p} oraz funkcji ϕ(g) = F (X \ {g(β) : β < α}) dla g A α, α < γ. Istnieje więc ciąg pozaskończony f : γ X {p} taki, że f(α) = ϕ(f α) = F (X \ {f(β) : β < α}) dla każdego α < γ. Zauważmy, że dla każdego β γ, jeśli f[β] X, to funkcja f β jest różnowartościowa. Istotnie, jeśli ξ < β oraz f(ξ) X, to f(ξ) p, a stąd na mocy definicji funkcji F f(ξ) = h(x \ {f(ζ) : ζ < ξ}) f(ζ) dla każdego ζ < ξ. Stąd wynika, że f[γ] X, bo skoro γ R, to w szczególności funkcja f γ nie jest różnowartościowa, o ile przyjmuje wartości w zbiorze X, gdyż (na mocy definicji liczby γ) nie istnieje żaden różnowartościowy ciąg pozaskończony długości γ o wyrazach w X. Zatem zbiór S = {α < γ : f(α) = p} jest niepusty i niech η = min(s). Wtedy f[η] X, więc na mocy wcześniejszego spostrzeżenia funkcja f η jest różnowartościowa. Ponadto mamy p = f(η) = F (X \ {f(β) : β < η}), co na mocy definicji funkcji F implikuje, że X = {f(β) : β < η}. Zatem funkcja f η jest bijekcją z η na X i z jej pomocą można przenieść na X dobry porządek typu η (zob. uwagi na początku dowodu). Następujący wniosek jest w zasadzie przeformułowaniem twierdzenia Zermelo (por. początek powyższego dowodu), które w zastosowaniach jest używane najczęściej w tej właśnie formie. Wniosek 2.53. Każdy zbiór jest równoliczny z pewną liczbą porządkową jest zbiorem wyrazów pewnego różnowartościowego ciągu pozaskończonego. Z powyższego wniosku w szczególności wynika istnienie nieprzeliczalnych liczb porządkowych. Najmniejszą nieprzeliczalną liczbę porządkową oznaczamy ω 1. Liczba ω 1 jest taką nieprzeliczalną liczbą porządkową, której każdy właściwy odcinek początkowy jest co najwyżej przeliczalny. 28

Twierdzenie 2.54 (Lemat Kuratowskiego-Zorna). Niech X będzie niepustym zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację. Jeśli każdy łańcuch w X ma ograniczenie górne w X, to w X istnieje element maksymalny. Dowód. Przedstawimy dwa dowody tego twierdzenia. Dowód 1. Idea tego dowodu jest następująca: dla odpowiednio dużej liczby porządkowej γ, przez indukcję po α < γ wybieramy kolejno coraz to większe (w sensie porządku ) elementy zbioru X aż do momentu osiągnięcia elementu maksymalnego. Zacznijmy od ustalenia funkcji wyboru h rodziny P(X) \ { } i pewnego p / X, a następnie zdefiniujmy funkcję F : P(X {p}) X {p} jak w dowodzie twierdzenia 2.52: { h(z), jeśli Z P(X) \ { } F (Z) = p w przeciwnym razie. Korzystając z wniosku 2.53, ustalmy liczbę porządkową γ mocy większej niż X (np. równoliczną z P(X)). Zastosujmy twierdzenie 2.51 (o definiowaniu przez indukcję) do liczby γ, zbioru A = X {p} oraz funkcji ϕ(g) = F ( B g \ {g(β) : β < α} ) dla g A α, α < γ, gdzie B g jest (być może pustym) zbiorem wszystkich ograniczeń górnych zbioru {g(β) : β < α} w X (w szczególności B g =, jeśli g(β) = p dla pewnego β < α). Istnieje więc ciąg pozaskończony f : γ X {p} taki, że f(α) = ϕ(f α) = F ( B f α \ {f(β) : β < α} ) dla każdego α < γ. Zauważmy, że dla każdego α γ, jeśli f[α] X, to funkcja f α jest ściśle rosnąca (w sensie porządku ). Istotnie, jeśli ξ < α oraz f(ξ) X, to f(ξ) p, a stąd na mocy definicji funkcji F f(ξ) = h ( B f ξ \ {f(ζ) : ζ < ξ} ) f(ζ) dla każdego ζ < ξ. Stąd wynika, że f[γ] X, bo skoro γ R, to w szczególności funkcja f γ nie jest ściśle rosnąca, o ile przyjmuje wartości w zbiorze X, gdyż (na mocy wyboru liczby γ) nie istnieje żaden ściśle rosnący ciąg pozaskończony długości γ o wyrazach w X. Zatem zbiór S = {α < γ : f(α) = p} jest niepusty i niech α 0 = min(s). Wtedy f[α 0 ] X, więc na mocy wcześniejszego spostrzeżenia funkcja f α 0 jest ściśle rosnąca. Zbiór {f(β) : β < α 0 } jest więc łańcuchem w X, a zatem ma ograniczenie górne m w X. 29