Teoria Mnogości wykład
|
|
- Kinga Urbańska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Teoria Mnogości wykład Wykładowca: Piotr Zakrzewski Notatki spisał: Grzegorz Bokota Poprawki: Filip Rupniewski i Piotr Zakrzewski 16 czerwca 2016
2 Spis treści 1. Liczby porządkowe Definicja liczb porządkowych Liczby kardynalne Potęgowanie liczb kardynalnych Zbiory stacjonarne Ideały, filtry, ultrafiltry Twierdzenia podziałowe Drzewa Rodziny prawie rozłączne i delta systemy Zbiory prawie rozłączne Delta systemy
3 1. Liczby porządkowe Zasady dotyczące przedmiotu są na stronie Definicja 1.1. Dobry porządek zbioru X to taki porządek liniowy na zbiorze X, że w każdym niepustym zbiorze A X istnieje element najmniejszy. Przykład Dowolny porządek liniowy zbioru skończonego 2. Zwykły porządek w N 3. Zwykły porządek na zbiorach: {1 1 n+1 : n N} {1} {1 1 n+1 : n N} {1, 2, 3} {1 1 {1 1 n+1 n+1 : n N} N : n N} {2 1 n+1 : n N} {3} Definicja 1.3. Jeśli jest dobrym porządkiem to mówimy, że zbiór (X, ) jest dobrze uporządkowany. Twierdzenie 1.1. Niech liniowo porządkuje X wtedy następujące warunki są równoważne: 1. dobrze porządkuje X 2. Nie ma nieskończonych ciągów ściśle malejących o wyrazach w X. Dowód. Niech (x n ) n N będzie nieskończonym malejącym cięgiem. Weźmy zbiór złożony z elementów tego ciągu. Załóżmy, że istnieje zbiór A który nie ma elementu najmniejszego. Wówczas da się zdefiniować nieskończony ciąg malejący następująco. Niech g będzie dowolną funkcją wyboru dla rodziny wszystkich niepustych podzbiorów zbioru A. Określmy następnie ciąg (x n ) n N przez indukcję: x n+1 = g(o(x n ) A), gdzie x 0 A wybrany dowolnie. Sprzeczność z założeniem o skończoności ciągów ściśle malejących. Definicja 1.4. Odcinek początkowy w zbiorze liniowo uporządkowanym to podzbiór O X taki, że: x, y X (x O y < x) y O Oznaczenie 1.5. Odcinek początkowy w X o końcu w x X: O(x) = {y : y X, y < x} Twierdzenie 1.2. Niech (X, ) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Wtedy następujące warunki są równoważne: 2
4 1. dobrze porządkuje X 2. Każdy właściwy odcinek początkowy w (X, ) jest postaci O(x) = {y : y X, y < x} Dowód. 1) 2) Niech O X będzie właściwym odcinkiem początkowym. Niech A = X \ O. Niech a = min A. Wtedy O = O(a) 2) 1) Załóżmy, że porządek nie jest dobry. Wtedy istnieje ściśle malejący ciąg (x n ) n N o elementach z X. Niech O = {x : x X n N x < x n }. Wtedy nie istnieje takie a X, że O = O(a) Wniosek 1.3. Niech (X, ) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Wtedy następujące warunki są równoważne: 1. Porządek jest dobry. 2. Każdy właściwy odcinek początkowy w zbiorze X jest postaci O(x) dla pewnego x X. 3. Żaden ciąg o wyrazach w zbiorze X nie jest ciągiem ściśle malejącym w sensie porządku. Definicja 1.6. Dla zbioru liniowo uporządkowanego prawdziwa jest zasada indukcji jeżeli istnieje w nim element najmniejszy x 0 oraz jeżeli dla każdego A zachodzi implikacja: x 0 A a>x0 (O(a) A a A) } A = X Twierdzenie 1.4. Niech (X, ) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Wtedy następujące warunki są równoważne: 1. dobrze porządkuje X 2. Na zbiorze (X, ) prawdziwa jest zasada indukcji Dowód. 1) 2) Weźmy dowolny zbiór A X spełniający warunki implikacji z definicji indukcji (1.6). Chcemy pokazać, że A = X. Przypuśćmy więc, że jest przeciwnie, tzn. zbiór Y,złożony z tych elementów zbioru X, które nie należą do A, jest niepusty. W takim razie w zbiorze Y jest element najmniejszy a. Wówczas a > x 0, gdyż x 0 A na mocy warunku (1) z 1.6. Ponadto wszystkie elementy x X mniejsze od a należą do zbioru A, ponieważ a jest najmniejszym elementem zbioru X, który do A nie należy. To jednak, wobec warunku (2) z (1.6), implikuje, że a A, czyli a / Y i otrzymana sprzeczność kończy dowód. 2) 1) Korzystając z wniosku 1.3 punkt 2. wystarczy udowodnić, że każdy właściwy odcinek początkowy w zbiorze X jest wyznaczony przez pewien element tego zbioru. Niech A X będzie właściwym odcinkiem początkowym zbioru X. Jeśli A =, to A = O(x 0 ). Załóżmy więc, że A i przypuśćmy, że odcinek A nie jest wyznaczony przez żaden element zbioru X. Dążąc do sprzeczności, spróbujemy do zbioru A zastosować zasadę indukcji. Mamy więc: 3
5 1. x 0 A, gdyż do A należy jakiś element x oraz x 0 x. 2. niech a X, x 0 < a i załóżmy, że wszystkie elementy x X mniejsze od a należą do A, to znaczy O(a) A. Jednocześnie O(a) A, gdyż założyliśmy, że odcinek początkowy A nie jest wyznaczony przez żaden element. Weźmy zatem dowolny element a A \ O(a). Wtedy a a, A był odcinkiem początkowym a A. Z zasady indukcji wynika, że A = X sprzeczność. Definicja 1.7. Zbiory dobrze uporządkowane (A, A ), (B, B ) są tej samej długości, mają ten sam typ porządkowy (ozn. typ(a, A ) = typ(b, B )) jeśli są porządkowo izomorficzne. Czyli istnieje funkcja: h: A 1 1 B na że dla a 1, a 2 A a 1 < a 2 h(a 1 ) < h(a 2 ) Definicja 1.8. Mówmy, że (A, A ) jest nie dłuższy niż (B, B ) (ozn. typ(a, A ) typ(b, B )) jeśli istnieje włożenie izomorficzne (A, A ) w (B, B ) Czyli istnieje funkcja: że dla a 1, a 2 A a 1 < a 2 h(a 1 ) < h(a 2 ) h: A 1 1 B Twierdzenie 1.5. Dla dowolnych zbiorów dobrze uporządkowanych (A, A ), (B, B ) następujące warunki są równoważne: 1. typ(a, A ) typ(b, B ) 2. Zbiór (A, A ) jest izomorficzny z odcinkiem początkowym zbioru (B, B ) Lemat 1.6. Niech (A, A ) będzie dowolnym zbiorem dobrze uporządkowanym. Jeżeli f : A 1 1 A jest izomorficznym włożeniem A w siebie to. W szczególności: a A a A f(a) 1. A nie jest izomorficzny z żadnym swoim odcinkiem początkowym. 2. Żadne dwa różne odcinki początkowe zbioru A nie są izomorficzne. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie. Niech B = {a A : f(a) < A a}. Niech a 0 = min B. Ale wtedy, z monotoniczności funkcji f f(f(a 0 )) < A f(a 0 ) < A a Dla dowodu pozostałej części lematu ( w szczególności ) przypuśćmy, że funkcja f : A 1 1 O(a) jest izomorfizmem zbioru A i jego podzbioru zawartego we właściwym odcinku początkowym 4
6 O(a), gdzie a A, Wtedy w szczególności f(a) O(a), czyli f(a) < a, co przeczy temu co wcześniej udowodniliśmy. Spośród dwóch różnych odcinków początkowych tego samego zbioru dobrze uporządkowanego jeden jest właściwym odcinkiem początkowym, więc z 1. nie mogą być izomorficzne. Lemat 1.7. Izomorfizm porządkowy przeprowadza odcinek początkowy na odcinek początkowy. Dokładniej jeśli : X 1 1 Y jest izomorfizmem (X, X ) z (Y, Y ) to x X h[o X (x)] = na O Y (h(x)) Dowód. Niech z O X (x). Wtedy z < X x, stąd h(z) < Y h(x), czyli h(z) O Y (h(x)). analogiczne rozumowanie dla h 1. Dowód twierdzenia ) 2) Oczywiste 1) 2) załóżmy, że typ(a, A ) typ(b, B ). Definujemy funkcję f tak f = {(a, b) A B : O A (a) jest izomorficzne z O B (b)} D f = {a A : b B takie, że O A (a) O B (b)} Z lematu 1.6 wynika, że f jest dobrze określona, bo jeśli O A (a) jest izomorficzne z O B (b 1 ) i O B (b 2 ), to b 1 = b 2. Pokażemy kolejno, że: 1. Dziedzina funkcji D f jest odcinkiem początkowym w A. Co wiecej jeśli a D f i h jest izomorfizmem O A (a) i O b (f(a)) to h = f OA (a) 2. f jest izomorfizmem D f i R f (R f zbiór wartości funkcji f) 3. R f jest odcinkiem początkowym w B 4. D f = A Dla dowodu punktu (1) weźmy dowolne elementy a, x A takie że a D f i x < A a. Jeśli teraz h jest izomorfizmem odcinków O A (a) i O B (f(a)), to z lematu 1.7 wynika, że funkcja h przeprowadza odcinek O A (x) na odcinek O B (h(x)). Zatem x D f, co dowodzi, że zbiór D f jest odcinkiem początkowym w A. Ponadto wprost z definicji funkcji f wynika, że f(x) = h(x), co dowodzi że h = f OA (a). Dowód punktu (2) sprowadza się do stwierdzenia, że funkcja f jest rosnąca, tzn. x,y Df x < A y f(x) < B f(y) Niech h będzie izomorfizmem O A (y) i O B (f(y)). Wówczas, z lematu 1.7, h[o A (x)] = O B (h(x)) oraz O B (h(x)) jest właściwym odcinkiem początkowym w O B (f(y)), zatem w szczególności h(x) < B f(y). Z punktu (1) wynika, że h(x) = f(x), więc f(x) < B f(y). Aby pokazać punkt (3) rozumujemy tak samo jak w dowodzie punktu (1) (zauważmy, że R f = D f 1)). (4)Przypuśćmy przeciwnie. D f A: 5
7 Przypadek 1 R f B. Wtedy istnieją elementy a A \ D f oraz b B \ R f takie, że D f = O A (a) oraz R f = O B (b). Ale wtedy funkcja f { a, b } świadczy o tym, że a D f Przypadek 2 R f = B. Z założenia istnieje włożenie izomorficzne g : A 1 1 B. Wtedy f 1 g : A A jest izomorfizmem zbioru A i podzbioru zbioru A, zawartego w jego właściwym odcinku początkowym D f. Sprzeczność z lematem 1.7. Twierdzenie 1.8. Jeśli (A, A ) i (B, B ) są zbiorami dobrze uporządkowanymi to zachodzi dokładnie jeden przypadek: (1) typ(a, A ) = typ(b, B ) (2) (A, A ) jest izomorficzny z właściwym odcinkiem początkowym (B, B ) (3) (B, B ) jest izomorficzny z właściwym odcinkiem początkowym (A, A ) Dowód. Warunki (1) (3) parami się wykluczają, ponieważ zbiór dobrze uporządkowany nie jest izomorficzny z żadnym swoim odcinkiem początkowym. Wystarczy udowodnić, że któryś z przypadków zachodzi. Wystarczy pokazać taki zbiór dobrze uporządkowany (C, C ), że typ(a) typ(c) oraz typ(b) typ(c), ponieważ wtedy zbiory A, B są izomorficzne z odcinkami początkowymi zbioru C, więc jeden jeden izomorficzny z odcinkiem początkowym drugiego. Niech C = A B. Dokładniej, definiujemy à = {0} A, B = {1} B, C = à B i w zbiorze C określamy relację C w następujący sposób (i, x) C (j, y) (i < j (i = j = 0 x < A y) (i = j = 1 x < B y) relacja ta dobrze porządkuje zbiór C. Oczekiwane nierówności wynikają z definicji typu. Definicja 1.9. Powiemy, że zbiór (dobrze uporządkowany) (A, A ) jest krótszy (ma mniejszy typ porządkowy) niż (B, B ) (ozn. typ(a, A ) < typ(b, B )) jeśli typ(a, A ) typ(b, B ) i typ(a, A ) typ(b, B ) Uwaga 1.9. typ(a, A ) < typ(b, B ) wtedy i tylko wtedy gdy (A, A ) jest izomorficzny z własciwym odcinkiem początkowym w (B, B ) 1.1. Definicja liczb porządkowych Pomysły: 1. Zdefiniować liczby porządkowe jako wzorcowe dobre porządki, po jednym z każdego typu. 2. Utożsamić liczbę porządkową ze zbiorem liczb porządkowych od niej mniejszych 6
8 Definicja Rodzinę zbiorów Z nazywamy zbiorem przechodnim jeśli x, t((x Z t x) t Z) Uwaga Z jest przechodni wtedy i tylko wtedy gdy x(x Z x Z) Definicja Relację r w X nazywamy ostrym dobrym porządkiem zbioru X jeśli zachodzą następujące dwa warunki: 1. relacja r zdefiniowana tak, że x r y xry x = y jest dobrym porządkiem zbioru X 2. x, y X xry (x r y x y) Uwaga r jest ostrym dobrym porządkiem zbioru X wtedy i tylko wtedy gdy r jest dobrym porządkiem i r przeciwzwrotna w X (tzn. x X xrx) Oznaczenie Jeśli r = X, czyli x, y zachodzi xry x y, to r będziemy oznaczać X x X y (x y x = y) Definicja Zbiór α jest liczbą porządkową jeśli jest przechodni i α jest ostrym dobrym porządkiem zbioru α (tzn. α jest dobrym porządkiem α oraz x α x x) (intencja (α, α ) jest wzorowym dobrym porządkiem typu α) Przykład X = {, { }, {{ }}} jest przechodni, ale nie jest liczbą porządkową bo X nie jest relacją spójną {{ }} i {{ }} 2. X = {{ }, {{ }}} nie jest przechodni: { } {{ }} ale {{ }} 3. X = {, {, { }}, {, { }, {, { }}}...} jest to przykład liczby porządkowej (i jej elementami też są liczby porządkowe). Twierdzenie Dla każdego zbioru dobrze uporządkowanego (A A ) istnieje dokładnie jedna liczba porządkowa α taka, że. typ(a, A ) = typ(α, α ) Dodatkowo pokażemy, że jeśli α jest liczbą porządkową to α = {β : β jest liczbą porządkową mniejszą niż α} Twierdzenie 1.13 (o definicji przez indukcję). Niech Z i α On. Niech F = ξ<α Zξ i h : F Z. Wtedy istnieje dokładnie jeden ciąg f : α Z długości α taki, że ξ<α f(ξ) = h(f ξ) ( ) Przez Z ξ rozumiemy wszystkie ciągi o długości ξ o wyrazach w Z. 7
9 Dowód. 1. Jedyność. Niech f, g : α Z, takie, że ξ<α g(ξ) = h(g ξ) i f(ξ) = h(f ξ). Niech W = {ξ < α : f(ξ) = g(ξ)}. Chcemy pokazać, ze W = α. Udowodnimy to korzystając z zasady indukcji. Weźmy dowolne ξ < α takie że O(ξ) W, wtedy f ξ = g ξ wiec f(ξ) = h(f ξ) = h(g ξ) = g(ξ). Pokazaliśmy, że O(ξ) W ξ W. Na mocy zasady indukcji W = O(α). 2. Istnienie. Nie wprost. Przypuśćmy, że twierdzenie jest fałszywe dla pewnej α i niech α to będzie najmniejsza z nich, α > 0. Niech Z i h to zbiór i funkcja dla których nie istnieje funkcja f spełniająca ( ). α była najmniejsza, więc ξ<α fξ :ξ Z takie, że β<ξ f(β) = h(f β). Z jedyności taki ciąg jest dokładnie jeden. ξ < γ < α f ξ ξ = f ξ. Rozważmy dwa przypadki: α = β+1. Wtedy definiujemy f jako f β = f β i f(β) = h(f β ) (= h(f β )). Wtedy f : α Z i spełnia (*). więc α W - sprzeczność. α-graniczna. Z jedyności dla ξ < α f ξ+1 ξ = f ξ. Zdefiniujmy f : α Z f(ξ) = f ξ+1 (ξ) Wtedy dla ξ < α: f(ξ) = f ξ+1 (ξ) = h(f ξ+1 ξ) = h(f ξ ) więc f jest ciągiem indukcyjnym typu α, a więc α W - sprzeczność. Twierdzenie 1.14 (Zermelo). Niech X. Wtedy istnieje dobry porządek zbioru X. Dowód. Niech C : P(X)\{ } X ustalona funkcja wyboru. Niech p / X. Zdefiniujmy F : P(X {p}) X {p} { C(Z) Z P(X) \ { } F (Z) = p w.p.p. Niech G = {ξ On : istnieje różnowartościowy ciąg długości ξ o elementach w X}. Niech α = G liczba porządkowa większa od wszystkich ze zbioru G. Korzystamy z twierdzenia o definiowaniu przez indukcję do Z = X {p} oraz h(s) = F (X \ R s ) (R S - zbiór wartości s) tzn. definiujemy funkcję f : α X {p} taką, że ξ<α f(ξ) = F (X {f(β) : β < ξ}) Spostrzeżenie: dla β α f[β] X f β jest 1 1. Stąd f[α] X, bo α G (nie ma ciągu 1-1 długości α o wartościach w X). Zatem S = {β < α : f(β) = p} =. Niech β = min(s). Wtedy f β jest 1-1 i na X. Definiujemy na X tak: - szukany dobry porządek na X. x y (f β) 1 (x) (f β) 1 (y) Twierdzenie 1.15 (Lemat Kuratowskiego-Zorna). Niech X niepusty zbiór częściowo uporządkowany przez relację. Załóżmy, że każdy łańcuch w X ma ograniczenie górne w X. Wtedy w X istnieje element maksymalny. Dowód. Niech X = {x ξ : ξ < α} gdzie ciąg (x ξ : ξ < α) jest 1 1 (tw. Zermelo) 8
10 Definiujemy f : α {0, 1} gdzie f(0) = 1 i f(ξ) = { 1 ζ < ξ(f(ζ) = 1 xζ x ξ ) 0 w.p.p Zatem w ξ kroku konstrukcji przypisujemy elementowi ξ jedynkę element x ξ jest -większy od tych wszystkich mniejszych od ξ którym przypisaliśmy jedynkę. W tym momencie x ξ staje się kandydatem na poszukiwany element maksymalny zbioru X. Niech L = {ξ : f(ξ) = 1}. Wtedy L jest łańcuchem oraz każde ograniczenie górne L jest elementem L zatem L ma element -największy który jest maksymalny w X
11 2. Liczby kardynalne Definicja 2.1. Liczby kardynalne to początkowe liczby porządkowe. α jest początkowa jeśli β<α β α (chodzi o moce) Obserwacja 2.2. Każda nieskończona liczba kardynalna jest liczbą graniczną. Przykład Liczby naturalne (0, 1,2,... ) 2. ω. Oznaczenie ℵ 0 3. ω 1 najmniejsza nieprzeliczalna liczba porządkowa. Oznaczenie ℵ 1. Oznaczenie 2.4. ℵ α to α-ta nieskończona liczba kardynalna. Obserwacja 2.5. {κ : κ < ℵ α i κ jest kardynalna nieskończona} jest typu α. Twierdzenie 2.1. Dla każdego zbioru X istnieje dokładnie jedna liczba kardynalna κ taka, że X κ. Ozn κ = X (moc X). Dowód. κ = min{α On : X α} ({α On : X α}, na mocy tw. Zermelo). Definicja 2.6 (Działania na liczbach kardynalnych). κ + λ = κ {0} λ {1} κ λ = κ λ κ λ = κ λ (= O(κ) O(λ) ) Fakt (A 1 A 2, B 1 B 2, A 1 B 1 = A 2 B 2 = ) A 1 B 1 = A 2 B 2 2. (A 1 A 2, B 1 B 2 ) A 1 B 1 A 2 B 2 3. A 1 A 2, B 1 B 2 A B 1 1 A B 2 2 Twierdzenie (κ λ ) µ = κ λµ 2. (κ λ) µ = κ µ λ µ 3. κ λ+µ = κ λ κ µ Dowód. A = κ, B = λ, C = µ wtedy: 1. (A B ) C A B C 2. (A B) C A C B C 10
12 3. B C = A B C (A B A C ) Twierdzenie κ 2 κ > κ (κ - liczba kardynalna) ( To jest twierdzenie Cantora) 2. ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 3. ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 4. ℵ n 0 = ℵ ℵ 0 = ℵ ℵ 0 0 = c 6. c + c = c 7. c c = c Twierdzenie 2.4 (Hessenberg). Dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej κ zachodzi κ κ = κ Dowód. (przez indukcję) Mamy pokazać, że α On zachodzi ℵ α ℵ α = ℵ α. Dla α = 0 jest ok. Weźmy α > 0, z założenia, że dla wszystkich β < α mamy ℵ β ℵ β = ℵ β chcemy pokazać, że ℵ α ℵ α = ℵ α. Popatrzmy na κ κ = O(κ) O(κ) z porządkiem maksymoleksykograficznym (tzn (β, ξ) (α, ν) max(β, ξ) < max(α, ν) lub (max(β, ξ) = max(α, ν) max(β, ξ) lex (α, ν)). jest dobrym porządkiem. Niech α = typ(κ κ, ) pokażemy, że α = κ i to wystarczy do uzasadnienia, ze κ κ = κ 1. κ α bo funkcja ξ (0, ξ) jest włożeniem κ w (κ κ, ) 2. α κ. Wystarczy pokazać, że każdy własciwy odcinek początkowy w α (równoważnie w (κ κ, )) ma moc < κ. Rozważmy odcinek początkowy w κ κ wyznaczony przez element (δ, η), gdzie δ, η < κ. Spostrzeżenie: (β, ξ) (δ, η) β, ξ max(δ, η) < κ. Niech γ = max(δ, η) + 1 < κ zatem O (δ, η) γ γ, gdzie γ = λ < κ. Stąd O (δ, η) γ γ = λ λ = λ < κ (z założenia indukcyjnego). Twierdzenie 2.5. κ - nieskończona liczba kardynalna 1. Jeśli K rodzina mocy κ zbiorów mocy κ. Wtedy K κ 2. κ n = κ dla n N \ {0} 3. Zbiór wszystkich skończonych ciągów oraz zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru mocy κ ma moc κ Dowód. 1. Jeśli K = to K = Załóżmy więc, że K = i skoro K κ to K = {A α : α < κ} dla pewnej numeracji. Dla każdej α ustalmy A α = {a α,β : β < α}. Wtedy K = {a α,β : α, β < κ}. Stąd K κ κ = κ 2. Indukcja: κ n+1 = κ n κ κ κ = κ 11
13 3.a Niech X = κ. Chodzi o X <ω = n<ω Xn. Z podpunktu 1) wynika, że X <ω κ a z drugiej strony κ = X X <ω 3.b Chodzi o [X] <ω = {A X : A < ℵ 0 }. Mamy [X] <ω = ϕ[x <ω ] gdzie ϕ ((s 0,..., s n 1 )) = {s 0,..., s n 1 }. Stąd [X] <ω X <ω = κ a z drugiej strony κ = X [X] <ω Twierdzenie 2.6. κ, λ liczby kardynalne. Jeżeli max(κ, λ) ℵ 0 Wtedy: 1. κ + λ = max(κ, λ) 2. κ λ = max(κ, λ) (o ile κ, λ > 0 ) Dowód. Niech max(κ, λ) = κ. Wtedy: 1. κ κ + λ 2 κ κ κ = κ 2. Jeśli załozymy, że κ λ > 0 to κ κ λ κ κ = κ Definicja 2.8. Suma uogólniona liczb kardynalnych κ i i I κ i = (κ i {i}) i I i I Iloczyn uogólniony liczb λ i i I Stwierdzenie 2.7. λ i = O(λ i ) i I i I ( ( α<λ κ α = κ) α<λ κ α = κ λ α<λ ( ) λ κ λ i = κ i i I i I i I 4. Jeśli I = j J A j (suma rodziny rozłącznej) to κ λ i = κ i I λ i κ i = κ i i I j J i A j 12 κ α = κ λ)
14 oraz κ i = κ i i I j J i A j Stwierdzenie 2.8. λ ω, α<λ κ α > 0 Wtedy Dowód. Niech κ = sup κ α α<λ α<λ κ α α<λ κ = λ κ α<λ κ α α<λ 1 = λ oraz α<λ α<λ κ α = sup(κ α ) λ α<λ α<λ κ α κ α α<λ κ α κ Stwierdzenie 2.9. λ ω, α<λ κ α > 0, κ α : α < λ niemalejący (α < β < λ κ α κ β ) Wtedy ( ) λ κ α = sup κ α α<λ Dowód. Niech κ = sup α<λ α<λ α<λ κ α α<λ κ = κλ Niech λ = β<λ A β, gdzie β<λ A β = λ (tak można, bo λ = λ λ) β<λ α A β κ α sup α Aβ κ α = κ stąd α<λ κ α = β<λ α<a β κ α β<λ κ = κλ Twierdzenie 2.10 (König). Jeśli i I κ i < λ i to i I κ i < i I λ i Dowód. Niech dla i I z i i I λ i gdzie z i = κ i Wystarczy pokazać, że i I z i i I λ i Znajdziemy funkcję f i I λ i tak by dla każdego i I wartość f(i) λ i gwarantowała, że f / z i wtedy ostatecznie f / i I z i. Wystarczy wziąć f(i) (λ i \ proj i [z i ]). Jest to możliwe bo proj i [z i ] z i = κ i < λ i Wniosek Zbiór mocy c nie jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów mocy mniejszej niz c Dowód. W twierdzeniu Koniga I = N, dla n N niech λ n = c oraz κ n < c. Wtedy n κ n < n λ n = c ℵ 0 = c. Przykład 2.9. ℵ ω = sup n<ω ℵ n = n<ω ℵ n i n ℵ n < ℵ ω Wniosek ℵ ω c Dowód. to wynika z poprzedniego wniosku, przykładu i twierdzenia Königa. 13
15 Definicja Współkońcowość nieskończonej liczby kardynalnej κ ( cf(κ) = min A : A P(κ) A A A < κ ) A = κ Lemat Niech κ ω. 1. Dla dowolnej rodziny A α : α < κ : 2. Jeżeli dodatkowo α<κ A α A α+1, to: A α = α<κ α<κ A α A α α<κ α<κ ( A α = sup α<κ ) A α κ Dowód. 1. α<κ A α = α<κ (A α \ β<α A β), stąd α<κ A α = α<κ A α \ β<α A β α<κ A α. 2. α α<κ A α A α α<κ A α sup α<κ A α. α<κ A α κ, gdyż dla każdej α < κ możemy wybrać element a α A α+1 \ A α i wówczas funkcja: α a α przekształca κ różnowartościowo w α<κ A α. Ostatecznie, α<κ A α sup α<κ A α κ. Lemat cf(κ) = min{ X : X κ sup X = κ} 2. cf(κ) = min{λ On : g : λ κ ściśle ( rosnąca taka, że sup g[λ] = κ} 3. cf(κ) = min{λ Card : κ α : α < λ α < λ(κ α Card 0 < κ α < κ) ) α<λ κ α = κ } Dowód. 1. Dowód w podręczniku. 2. Ustalmy X = {x α : α < cf(κ)} κ taki, że sup X = κ. Definiujemy funkcję g : cf(κ) κ przez indukcję, za pomocą warunku g(α) = max(sup g(β), a α ) + 1, β<α spełnionego dla każdej dla α < cf(κ). 3. Ustalmy funkcję g : cf(κ) κ \ {0}, ściśle rosnącą i taką, że sup g[cf(κ)] = κ. Niech κ α = g(α). Wtedy, na mocy 2.13, mamy: κ = g[α] = κ α. α<cf(κ) α<cf(κ) 14
16 Definicja Nieskończona liczba kardynalna κ jest regularna, jeśli cf(κ) = κ. Nieskończona liczba kardynalna κ jest singularna, jeśli cf(κ) < κ Definicja Następnik kardynalny liczby κ = ℵ α : κ + = min{µ Card : κ < µ} = ℵ α+1 Twierdzenie Każdy następnik kardynalny (tzn liczba postaci ℵ α+1 ) jest liczbą regularną. Dowód. Niech A P(ℵ α+1 ), A < ℵ α+1 taka, że A A A < ℵ α+1 Wtedy A ℵ α i A A A ℵ α. Stąd A ℵ α ℵ α = ℵ α. Zatem A ℵ α+1. Definicja Liczba κ jest graniczną liczba kardynalną jeśli nie jest następnikiem kardynalnym. Przykład Liczby graniczne: ℵ 0 regularna, ℵ ω i ℵ ω+ω singularne Definicja Liczba κ jest nieosiągalna, jeśli jest nieprzeliczalna, graniczna i regularna. Liczba κ jest silnie nieosiągalna, jeśli jest nieosiągalna oraz λ<κ 2 λ < κ Są to tzw. duże liczby kardynalne których istnienia nie da się dowieść w ZFC
17 3. Potęgowanie liczb kardynalnych [κ] λ def = {A κ : A = λ} Stwierdzenie Jeśli 2 κ λ to κ λ = 2 λ. 2. Jeśli ℵ 0 λ κ, to κ λ = [κ] λ. Dowód λ κ λ λ λ ( 2 λ) λ = 2 λ λ = 2 λ 2. Jeśli f κ λ, to f λ κ, więcej: f [λ κ] λ. Ponadto λ κ = λ κ = κ Stąd κ λ [λ κ] λ = [κ] λ Dla A [κ] λ niech f A : λ 1 1 A. Przyporządkowanie A f A jest funkcją 1-1 z [κ] λ w κ λ. Stąd [κ] λ κ λ. na Stwierdzenie 3.2. Niech κ 2 i λ ℵ 0. Wtedy cf(κ λ ) > λ. W szczególności: 1. cf(2 λ ) > λ, 2. λ cf(λ) > λ. Dowód. Niech α<λ κ α < κ λ. Wtedy: α<λ κ α < α<λ κ λ = (κ λ ) λ = κ λ λ = κ λ Stąd λ < cf(κ λ ). Dla dowodu 1. wystarczy przyjąć κ = 2. Dla dowodu 2. zauważmy, że skoro cf(λ cf(λ) ) > cf(λ), to λ cf(λ) > λ. Stwierdzenie 3.3. Jeśli κ ℵ 0 i λ < cf(κ), to: 1. κ λ = α<κ αλ 2. [κ] λ = α<κ [α]λ. Dowód. Oba punkty wynikają z tego, że podzbiór liczby κ mocy mniejszej niż cf(κ) jest ograniczony w κ. 16
18 Twierdzenie 3.4 (Wzór Tarskiego). Niech κ ℵ 0 i 0 < λ < cf(κ). Wtedy κ λ = sup µ λ κ µ<κ W szczególności, jeżeli κ-graniczna, to κ λ = sup µ<κ µ λ Dowód. κ λ = [κ] λ = α<κ [α]λ 2.13 = α<κ [α]λ 2.8 = sup µ<κ µ λ κ. Jeśli κ jest liczbą graniczną, to κ = sup µ<κ µ sup µ<κ µ λ. Twierdzenie 3.5 (Wzór Hausdorffa). Niech ω κ, λ > 0. Wtedy (κ + ) λ = κ λ κ + Dowód. Przypadek 1.: κ + λ. Wtedy (κ + ) λ = 2 λ oraz κ λ = 2 λ i κ + λ < 2 λ Przypadek 2.: λ < κ + = (cf(κ + )), więc ze wzoru Tarskiego: (κ + ) λ = sup µ<κ + µ λ κ + = κ λ κ +. Twierdzenie 3.6 (Wzór Bukowskiego). Niech ω κ i cf(κ) λ < κ (w szczególności κ graniczna). Wtedy cf(κ) ( κ λ = µ λ µ<κ = ) cf(κ) sup µ λ. µ<κ Dowód. Na początek zauważmy, że µ<κ µ λ = sup µ λ. µ<κ Istotnie, µ<κ µλ = sup µ<κ µ λ {µ : µ < κ} oraz {µ : µ < κ} κ = sup µ<κ µ sup µ<κ µ λ. oczywiste: κ λ = (κ λ ) λ (sup µ<κ µ λ ) cf(κ) Niech κ = α<cf(κ) κ α, κ α < κ. Wtedy κ λ = ( α<cf(κ) κ α) λ ( α<cf(κ) κ α + ) λ = α<cf(κ) (κ α + ) λ α<cf(κ) sup µ<κ µ λ = (sup µ<κ µ λ ) cf(κ). Twierdzenie 3.7. Niech κ, λ ω. Wtedy: 1. κ λ κ λ = 2 λ. 2. Jeśli dla pewnej µ < κ mamy µ λ κ, to κ λ = µ λ. 3. Jeśli λ < κ oraz µ<κ µ λ < κ, to: a) λ < cf(κ) κ λ = κ b) cf(κ) λ κ λ = κ cf(κ) Dowód. 1. Por. stwierdzenie Przy tych założeniach mamy µ λ κ λ (µ λ ) λ = µ λ λ = µ λ. 3. Zauważmy po pierwsze, że przy tym założeniu mamy sup µ<κ µ λ κ. 17
19 a) Na mocy wzoru Tarskiego κ λ = sup µ<κ µ λ κ = κ. ( b) Na mocy wzoru Bukowskiego κ λ = sup µ<κ µ λ) cf(κ) κ cf(κ), a z drugiej strony cf(κ) λ implikuje κ cf(κ) κ λ. Hipoteza kontinuum (CH) : 2 ℵ 0 = ℵ 1. Uogólniona hipoteza kontinuum (GCH) : κ ℵ0 2 κ = κ +. Gödel : Con(ZF C) Con(ZF C + GCH) (relatywna niesprzeczność teorii mnogości z GCH jako dodatkowym aksjomatem). Cohen : Con(ZF C) Con(ZF C + CH) Twierdzenie 3.8 (potęgowanie liczb kardynalnych przy założeniu GCH). Niech κ ℵ 0 i λ 1. Wtedy: 1. Jeśli κ λ, to κ λ = λ + 2. Jeśli cf(κ) λ < κ, to κ λ = κ + 3. Jeśli λ < cf(κ) to κ λ = κ Dowód. 1. κ λ 3.1 = 2 λ GCH = λ κ κ cf(κ) κ λ κ κ = 2 κ GCH = κ κ κ λ 3.4 = sup µ<κ µ λ κ = κ, bo dla µ < κ mamy µ λ P(λ µ) = 2 κ. λ µ GCH = max(λ, µ) + Easton: Con(ZF C) Con (ZFC + dowolne wartości 2 κ dla regularnych κ, respektujące warunki: cf(2 κ ) > κ oraz 2 κ 2 λ dla κ < λ ) Definicja <κ = sup µ<κ 2 µ. Lemat κ = (2 <κ ) cf(κ). Dowód. Niech κ = α<cf(κ) κ α, κ α < κ. Wtedy 2 κ = 2 α<cf(κ) κα = α<cf(κ) 2 κα α<cf(κ) 2 <κ = (2 <κ ) cf(κ) (2 κ ) cf(κ) = 2 κ. Wniosek Jeśli κ singularna i istnieje λ < κ taka, że 2 µ = 2 λ, o ile λ µ < κ, to 2 κ = 2 λ = 2 <κ. ( Dowód. 2 κ = (2 <κ ) cf(κ) = 2 λ) cf(κ) = 2 max(λ,cf(κ)) = 2 λ, bo λ max(λ, cf(κ)) < κ. Twierdzenie 3.11 (Silver). Jeśli κ singularna i cf(κ) > ω, to z tego, że 2 λ = λ + dla każdej nieskończonej λ < κ wynika, że 2 κ = κ +.
20 4. Zbiory stacjonarne Dalej założymy, ze κ > ω i κ regularna (cf(κ) = κ) Definicja 4.1. Zbiór C κ jest domknięty jeżeli: ) α<κ ((α Lim α = sup(c α)) α C club κ = {C κ : C domknięty i nieograniczony w κ} Przykład 4.2. Przykłady zbiorów domkniętych i nieograniczonych w κ: 1. odcinki końcowe (α, κ), gdzie α < κ, 2. {α < κ : α Lim}, 3. {λ < κ : λ Card}, o ile κ jest graniczną liczbą kardynalną. Dowód. 1. oczywiste. 2. domkniętość - oczywista, nieograniczoność: weźmy β < κ, szukamy α < κ takiej, że α Lim i β < α. Wystarczy wziąć α = β + ω. 3. nieograniczoność: oczywista, domkniętość: niech α < κ, α Lim α = sup{λ < α : λ Card}. Wtedy α jest początkową liczbą porządkową, czyli liczbą kardynalną. Uwaga 4.1. Jeśli A κ nieograniczony, to A = {α < κ : sup(a α) = α} jest domknięty i nieograniczony. Dowód. Domkniętość zbioru A sprawdza się rutynowo. Dla dowodu jego nieograniczoności weźmy β < κ i indukcyjnie zdefiniujemy ciąg (β n ) n<ω elementów zbioru A tak, by β < β 0 oraz β n < β n+1 < κ. Niech α = sup n β n. Wtedy α < κ, bo cf(κ) > ω. Ponadto sup(a α) = α. Zatem α A. Definicja 4.3. f : κ κ jest funkcją normalną jeśli jest ściśle rosnąca i ciągła tzn. ) α<κ (α Lim f(α) = sup f(β) β<α Stwierdzenie 4.2. C κ jest domknięty i nieograniczony (C club κ ) wtedy i tylko wtedy gdy rosnącą numeracja elementów C jest funkcją normalną. Twierdzenie 4.3. Niech f : κ κ ma następujące własności: 19
21 1. α < β f(α) f(β) (niemalejąca) 2. ciagła 3. α < κ α f(α). Wtedy F ix(f) def = {α < κ : f(α) = α} club κ Dowód. Domknietość: Niech β < κ i β Lim oraz β = sup(f ix(f) β). Wtedy f(β) = sup{f(α) : α < β} = sup{f(α) : α F ix(f) β} = sup{α : α F ix(f) β} = β. Nieograniczonosć: Niech β < κ. Szukamy α < κ takiego, że β < α i f(α) = α. Definiujemy indukcyjnie (β n ) n ω tak, by β 0 = β i f(β n ) < β n+1 dla każdego n ω. Wtedy β 0 f(β 0 ) < β 1 f(β 1 ) < β 2... Niech α = sup n β n. Wtedy α < κ, β < α i α Lim oraz f(α) = sup β<α f(β) = sup n f(β n ) = sup n β n = α. Twierdzenie 4.4. Niech n ω \ {0} i g : κ n κ. Wtedy M g def = {α < κ : g[α n ] α} club κ (Uwaga: g[α n ] α β 1, β 2,..., β n α g(β 1, β 2,..., β n ) α). Dowód. Zdefiniujmy f g : κ κ tak ({ f g (α) = sup g(β) + 1 : β α n} ) {α} Na mocy twierdzenia 4.3 wystarczy sprawdzić, że: (i) Funkcja f g ma własności z założeń twierdzenia 4.3, (ii) M g = F ix(f g ). Własności 1. i 3. wynikają wprost z definicji. Dla dowodu ciągłości funkcji f g weźmy α κ Lim oraz γ < f g (α). Szukamy β < α takiej, że γ f g (β). Jeśli f g (α) = α, to({ γ < α oraz γ f g (γ), więc można wziąć β = γ. Jeśli f g (α) = sup g(β) + 1 : β α n}) > α, to tym bardziej f g (α) > γ, więc dla pewnych β 1, β 2,..., β n α mamy g(β 1, β 2,..., β n ) + 1 > γ. Wówczas dla β = max(β 1, β 2,..., β n ) + 1 dostajemy f g (β) g(β 1, β 2,..., β n ) + 1 > γ. Dla dowodu równości (ii) załóżmy najpierw, że α M g. Wtedy, jeśli β α n, to g(β) < α, a zatem g(β) + 1 α. Stąd f g (α) = α, czyli α F ix(f g ). Teraz załóżmy, że α F ix(f g ). Implikuje to, że jeśli β α n, to g(β) + 1 α, skąd g(β) < α. Zatem g[α n ] α, czyli α M g. 20
22 Twierdzenie 4.5. Przecięcie mniej niż κ zbiorów domkniętych i nieograniczonych w κ jest zbiorem domkniętym i nieograniczonym w κ. Dokładniej, jeśli λ < κ i α<λ C α club κ, to α<λ C α club κ. Dowód. Domkniętość łatwa. Nieograniczoność ( hand over hand ): Niech γ < κ. Indukcyjnie definiujemy (x α,n : α < λ, n < ω) tak, że γ < x 0,0 C 0, x 0,0 < x 1,0 C 1,..., tzn. β<α x β,0 < x α,0 C α. Niech α 1 = sup{x α,0 : α < λ} < κ bo λ < κ, a κ regularna. Dalej: α 1 < x 0,1 C 0, x 0,1 < x 1,1 C 1,..., tzn. β<α x β,1 < x α,1 C α itd. Niech x = sup{x α,n : α < λ, n < ω}. Wtedy α x = sup n<ω x α,n C α, więc γ < x α<λ C α Definicja 4.4. Iloczyn przekątniowy rodziny A α : α < κ podzbiorów κ to zbiór A α = {β < κ : α<β β A α } Uwaga 4.6. α<κ A α = (A α (α + 1)) α<κ Definicja 4.5. Suma przekątniowa rodziny A α : α < κ podzbiorów κ to zbiór A α = {β < κ : α<β β A α } Uwaga 4.7. α<κ 1. α<κ A α = κ \ α<κ (κ \ A α). 2. α<κ A α = α<κ (A α \ (α + 1)). Przykład 4.6. α<κ 1. Niech C α = (α, κ) (odcinek końcowy) dla α < κ. Wtedy α<κ C α = κ. 2. Niech C α = (α + 1, κ) dla α < κ. Wtedy dla β < κ mamy: β α<κ C α α<β β C α α<β α + 1 < β β jest liczbą graniczną. Zatem α<κ C α = Lim κ. 3. Niech f : κ κ i C α = (f(α), κ) dla α < κ. Wtedy α<κ C α = {β < κ : f[β] β} = M f. Twierdzenie 4.8 (Fodor). Rodzina club κ jest zamknięta na iloczyn przekątniowy (jeśli C α club κ dla α < κ, to α<κ C α club κ ). Dowód. Niech C = α<κ C α. Domkniętość zbioru C: Niech β < κ, β Lim oraz β = sup(c β). Chcemy pokazać, że β C, czyli β C α dla każdego α < β. Niech więc α < β. Zauważmy, że β = sup(c β \ (α + 1)). Ponadto, C β \ (α + 1) C α. Istotnie, jeśli γ C oraz α < γ < β, to γ C α. Zatem β C α na mocy domkniętności zbioru C α. Nieograniczoność zbioru C: Niech f : κ 2 κ będzie zdefiniowana tak: f(α, β) = min{γ C α : γ > β}. 21
23 (Chodzi o to, by: β < f(α, β) C α ). Z twierdzenia 4.4 wynika, że M f = {δ < κ : f[δ 2 ] δ} club κ. Pokażemy, że Lim M f C to da nieograniczonosć C, bo M f Lim club κ na mocy twierdzenia 4.5. Niech δ M f Lim i α < δ. Chcemy pokazać, że δ C α. Mamy: β<δ (β < f(α, β) < δ f(α, β) C α ). Stąd δ = sup β<δ f(α, β) = sup(c α δ) C α. Uwaga 4.9. Z twierdzenia 4.8 łatwo wynika, że przecięcie mniej niż κ zbiorów domkniętych i nieograniczonych w κ jest zbiorem nieograniczonym w κ (por. twierdzenie 4.5). Definicja 4.7. S κ jest stacjonarny w κ, jeśli C clubκ (S C ) Zbiór niestacjonarny to taki który nie jest stacjonarny w κ. Oznaczenia: Stat κ rodzina wszystkich stacjonarnych w κ i NS κ rodzina wszystkich niestacjonarnych w κ. Uwaga club κ Stat κ, co wynika z twierdzenia Jeśli S Stat κ, to S jest nieograniczony w κ, gdyż S (α, κ) dla każdego α < κ. Przykład 4.8. Niech κ > λ = cf(λ). Wtedy {α < κ : cf(α) = λ} Stat κ. W szczególności, Dowód. {α < ℵ 2 : cf(α) = ℵ 0 } Stat ℵ2 \ club ℵ2. 1. Niech S = {α < κ : cf(α) = λ} i C club κ. Weźmy ciąg ściśle rosnący (c α : α < λ) elementów C i niech γ = sup α<λ c α. Ponieważ λ < κ = cf(κ), to γ < κ, więc domkniętość zbioru C implikuje, że γ C. Ponadto cf(γ) = λ, stąd γ S C, co pokazuje, że S C. 2. Zbiór {α < ℵ 2 : cf(α) = ℵ 0 } nie jest domknięty w ℵ 2, gdyż ℵ 1 = sup{α < ℵ 1 : cf(α) = ℵ 0 }. Następujący fakt jest łatwym wnioskiem z twierdzenia 4.5. Twierdzenie Rodzina NS κ jest zamknięta na sumę mniej niż κ zbiorów. Dowód. Niech λ < κ i A α NS κ dla α < λ. Zatem α<λ Cα club κ A α C α =. Niech C = α<λ C α. Wówczas, na mocy twierdzenia 4.5, C club κ. Ponadto α<λ A α C =. Analogicznie, następujący fakt łatwo wynika z twierdzenia Fodora 4.8. Twierdzenie Rodzina NS κ jest zamknięta na sumę przekątniową. Dowód. Niech A α NS κ dla α < κ, zatem α<κ Cα club κ A α C α =. Niech C = α<κ C α. Wówczas, na mocy twierdzenia 4.8, C club κ. Ponadto α<κ A α C =. Mianowicie A α κ \ C α, stąd α<κ A α α<κ (κ \ C α) = κ \ α<κ C α = κ \ C. 22
24 Definicja 4.9. Niech S κ, funkcja f : S κ jest regresywna na S, jeżeli α S\{0} f(α) < α. Twierdzenie 4.13 (Lemat Fodora). Funkcja regresywna na zbiorze stacjonarnym S jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru S. Dowód. Niech S Stat κ, f : S κ regresywna. Chcemy pokazać, że istnieje α < κ takie, że warstwa A α = f 1 [{α}] Stat κ. W przeciwnym przypadku α<κ A α NS κ. Niech A = α<κ A α, wtedy A NS κ. Ale: β A β α<κ A α α<β β A α α<β f(β) = α β S \ {0} sprzeczność bo S \ {0} Stat κ. Wniosek Dowolna funkcja g : κ κ jest stała na zbiorze stacjonarnym lub ściśle rosnąca na zbiorze stacjonarnym. Dowód. Popatrzmy na C = M g regresywna na T. Są 2 przypadki: club κ. Niech T = {α C : g(α) < α}. Wtedy g jest 1. T Stat κ. Wtedy z lematu Fodora jest stacjonarny S T taki, że f S jest stała. 2. T Stat κ. Niech S = C \ T Stat κ (a nawet zawiera jakiś club). Wtedy β,α S (β < α g(β) < α), bo α C oraz α g(α), bo α T. Zatem f ściśle rosnąca na S.
25 5. Ideały, filtry, ultrafiltry Definicja 5.1. Ideał podzbiorów zbioru X (ideał na zbiorze X) to rodzina I P(X) taka, ze: 1. I zamknięta na sumy: A 1, A 2 I A 1 A 2 I 2. I zamknięta na branie podzbiorów: (A I, B A) B I Ideał I jest właściwy, jeśli I P(X) ( X / F ). Przykład NS κ 2. F IN(X) = {A X : A < ω} (jest właściwy ω X ) 3. N = {A R : λ(a) = 0} λ - miara Lebesgue a 4. I = {A Ω : B A A B P (B) = 0} P - prawdopodobieństwo dla przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P ) Definicja 5.3. Ideał I jest κ-zupełny (κ addytywny) jeżeli jest zamknięty na sumy mniej niż κ podzbiorów. Ideał ω 1 -zupełny nazywamy σ-ideałem. Przykład N jest σ-ideałem 2. NS κ jest κ-zupełny Definicja 5.5. Filtr podzbiorów zbioru X (filtr na zbiorze X) to rodzina F P(X) taka, ze: 1. F zamknięta na przecięcia: C 1, C 2 F C 1 C 2 F 2. F zamknięta na branie nadzbiorów: (A F, A B) B F Filtr F jest właściwy, jeśli F P(X) ( / F ) Definicja 5.6. Jeśli I jest ideałem na X to rodzina jest filtrem dualnym do I. Przykład 5.7. I = {C X : X \ C I} 1. Club κ - filtr nadzbiorów zbiorów z club κ 2. COF IN(X) = F r(x) = {A X : X \ A < ω} filtr Frécheta (podzbiorów koskończonych) 24
26 3. N = {A R : λ(r \ A) = 0} λ - miara Lebesgue a 4. I = {B Ω : A A A B P (A) = 1} P - prawdopodobieństwo dla przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P ) (zbiory pełnej miary Lebesque a) Definicja 5.8. Filtr F jest κ-zupełny, jeśli jest zamknięty na przecięcia < κ zbiorów. Definicja 5.9. Filtr główny na X to filtr postaci F = {C X : D C} gdzie D jest generatorem F. Definicja Filtr (właściwy) U na X jest ultrafiltrem, jeśli spełnia dodatkowy warunek: C X (C U lub X \ C U). Przykład Ultrafiltr główny generowany przez singleton: U = {C X : x 0 C} dla pewnego x 0 X. Stwierdzenie 5.1. Niech U ultrafiltr na X. Jeśli C = C 1 C 2 U, to C 1 U lub C 2 U Dowód. Przypuśćmy, że C 1 / U i C 2 / U wtedy X\C 1 U i X\C 2 U skąd (X\C 1 ) (X\C 2 ) U. Ale X \ (C 1 C 2 ) = X \ C Uwaga 5.2. Jeśli X < ω to każdy ultrafiltr na X jest główny (generowany przez przecięcie wszystkich swoich elementów). Lemat 5.3. Jeśli rodzina A P(X) ma własność skończonych przecięć (tzn. A 1, A 2,..., A n A n i=1 A i ), to A można rozszerzyć do filtru (właściwego). Dowód. Określamy rodzinę F P(X) następująco: A F n A1,...,A n A A 1... A n A. Wtedy 1. F zamknięty na nadzbiory. Oczywiste 2. F zamknięty na przecięcia. Niech A 1... A n A, A 1... A m A. Wtedy A 1... A n A 1... A m A A 3. / F bo A ma własność skończonych przecięć. Twierdzenie 5.4. Niech X ω. Jeśli U jest maksymalnym (w sensie zawierania) filtrem (właściwym) na X to U jest ultrafiltrem na X Dowód. Przypuśćmy, że U nie jest ultrafiltrem. Weźmy A X takie, że A / U i X \ A / U. Patrzymy na A = U {A}. Twierdzimy, że A ma własność skończonych przecięć (FIP). Mianowicie weźmy A 1,..., A n A. Bez utraty ogólności załóżmy, że A 1,..., A n 1 U i A n = A. Wtedy n i=1 A i = n 1 i=1 A i A = C A (C U). Przypuśćmy, że C A =. Wtedy C X \ A, więc X \ A U - sprzeczność z założeniem, że X \ A / U. Skoro A ma FIP, to jest filtr właściwy F taki, że A F. Ale A / U, więc U F sprzeczność z maksymalnością U. 25
27 Wniosek 5.5. Ultrafiltry = filtry maksymalne Dowód. poprzednie twierdzenie. : jeśli A / U to X \ A U, więc nie można powiększyć filtru właściwego o zbiór A, bo przestanie być właściwy: (X \ A) A = X. Twierdzenie 5.6. Każdy filtr na X da się rozszerzyć do ultrafiltru na X. Dowód. Lemat Kuratowskiego-Zorna. Niech F filtr właściwy na X. Niech F będzie zbiorem wszystkich filtrów rozszerzających F. Niech L F łańcuch. Wystarczy pokazać, że L F tzn. L jest filtrem (F L - oczywiste). Standardowe rozumowanie. Wniosek 5.7. Na każdym zbiorze nieskończonym istnieje ultrafiltr niegłówny. Dowód. Rozszerzamy filtr F r(x) 1 do filtru maksymalnego Definicja Rodzinę A [X] κ nazwiemy λ-niezależną rodziną podzbiorów zbioru X, gdy P 1, P 2 [A] <λ, jeśli P 1 P 2 = to A (κ \ A) A P 1 A P 2 niezależna ω-niezależna σ-niezależna ω 1 -niezależna Twierdzenie 5.8. Na każdym zbiorze mocy κ ω istnieje rodzina niezależna mocy 2 κ. Dowód. Skonstruujemy rodzinę niezależną mocy 2 κ podzbiorów zbioru Oczywiście X = κ. Dla każdej f {0, 1} κ niech X = { D, C : D [κ] <ω C {0, 1} D }. A f = { D, C X : f D C}. Wtedy rodzina A = {A f : f {0, 1} κ } jest niezależną rodziną podzbiorów zbioru X. Istotnie, niech P 1 = {f 1,..., f k } i P 2 = {g 1,..., g n }, gdzie f i, g j {0, 1} κ oraz P 1 P 2 =. Dla dowolnych i k i j n weźmy α i,j κ takie, że f i (α i,j ) g j (α i,j ). Niech D = {α i,j : i k, j n} oraz C = {f i D : i k}. Wtedy: D, C A fi (X \ A gj ). i k j n Wniosek 5.9. Na zbiorze mocy κ istnieje 2 2κ ultrafiltrów. 1 zbiory będące dopełnieniem skończonych 26
28 Dowód. Niech A = {A α : α < 2 κ }, gdzie A α A β dla α β, będzie rodziną niezależną. Dla każdej funkcji f : 2 κ κ niech C f = {A f(α) α : α < 2 κ }, gdzie A 0 α = A α i A 1 α = κ \ A α. Rodzina C f ma własność skończonych przecięć, zatem rozszerza się do ultrafiltru U f. Ponadto, jeśli f g, to U f U g. Istotnie, jeśli np. f(α) = 0 1 = g(α), to A 0 α U f i κ \ A α U g. Przykład Niech A r = {f Q[x] : f(r) > 0}, r R, gdzie Q[x] jest zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych. Wówczas rodzina {A r : r R} jest rodziną niezależną mocy kontinuum podzbiorów przeliczalnego zbioru Q[x]. Definicja Liczba κ > ω jest mierzalna, jeśli na κ istnieje κ-zupełny ultrafiltr niegłówny. Twierdzenie Jeśli κ jest mierzalna, to jest silnie nieosiągalna. Dowód. Niech U będzie κ-zupełnym i niegłównym ultrafiltrem na κ. Niech I = {κ \ A : A U} będzie ideałem dualnym do U. Ponieważ U jest ultrafiltrem, to I = P(κ) \ U; w szczególności, {α} I dla każdego α κ, gdyż U jest niegłówny. 1. κ jest liczbą regularną. Mianowicie, niech λ < κ i dla każdego α < κ niech A α κ i A α < κ. Wtedy, na mocy κ-zupełności ideału I mamy A α I dla α < κ oraz α<λ A α I, więc w szczególności α<λ A α κ. 2. Jeśli λ < κ, to 2 λ < κ. Dla dowodu przypuśćmy, że jest przeciwnie i niech {f α : α < κ}, gdzie f α f β dla α β, będzie pewną rodziną funkcji z λ w {0, 1}. Określmy funkcję f : λ {0, 1} w następujący sposób: f(β) = { 1 jeśli {α κ : fα (β) = 1} U, 0 jeśli {α κ : f α (β) = 0} U. Niech C = {α < κ : f α (β) = 1} {α < κ : f α (β) = 0}. {β<λ:f(β)=1} {β<λ:f(β)=0} Wtedy, z jednej strony, C U na mocy κ-zupełności U, ale z drugiej strony, C = 1, gdyż Otrzymujemy sprzeczność. α C β < λ f α (β) = f(β). Wniosek Nie istnieje σ-addytywna miara µ : P(ω 1 ) {0, 1} taka, że α ω 1 µ({α}) = 0. Czy istnieje σ-addytywna miara µ: P(ω 1 ) [0, 1] taka, że µ(ω 1 ) = 1 i x ω 1 µ ({x}) = 0? Definicja U α,β : α < λ, β < ϱ P(κ) jest λ, ϱ macierzą Ulama podzbiorów κ : 27
29 1. α < λ β 1, β 2 < ϱ (β 1 β 2 U α,β1 U α,β2 = ), 2. β < ϱ κ \ α<λ U α,β < κ. Twierdzenie 5.12 (Ulam). Dla każdej liczby λ ω istnieje λ, λ + macierz Ulama podzbiorów κ = λ +. Dowód. Dla każdego 0 < ξ < λ + wybierzmy funkcję f ξ z λ na ξ. Dla α < λ i β < λ + określmy U α,β = {ξ < λ + : f ξ (α) = β}. Twierdzimy, że rodzina U α,β : α < λ, β < λ + jest λ, λ + macierzą Ulama podzbiorów λ +. Istotnie, 1. Jeśli α < λ, β 1, β 2 < λ + oraz β 1 β 2, to nie ma liczby ξ takiej, że jednocześnie f ξ (α) = β 1 i f ξ (α) = β 2 ; zatem U α,β1 U α,β2 = 2. Jeśli β < λ +, to κ \ α<λ U α,β β + 1. Istotnie, jeśli ξ > β, to istnieje α < λ, dla którego f ξ (α) = β (funkcja f ξ jest suriekcją z λ na ξ). Zatem κ \ U α,β β + 1 < κ. α<λ Wniosek Niech κ = λ +, λ ω. Jeśli I jest κ-zupełnym ideałem na κ zawierającym wszystkie singletony, to istnieje κ parami rozłącznych podzbiorów κ spoza I. Co więcej, istnieje podział κ na κ parami rozłącznych zbiorów spoza I. Dowód. Niech U α,β : α < λ, β < κ będzie λ, κ macierzą Ulama podzbiorów κ = λ +. Wystarczy pokazać, że istnieje α takie, że w rodzinie {U α,β : β < κ} jest κ zbiorów spoza I. Przypuśćmy więc, że jest przeciwnie i dla każdego α < λ wybierzmy liczbę β α < κ taką, że U α,β I dla każdego β > β α. Ponieważ κ = λ +, to sup α<λ β α < κ; weźmy β = sup α<λ β α + 1. Wówczas U α,β I dla każdego α < λ, więc na mocy κ-zupełności ideału I mamy α<λ U α,β I. Jednocześnie mamy κ \ α<λ U α,β < κ, więc, ponownie korzystając z κ-zupełności ideału I oraz faktu, że zawiera on wszystkie singletony, dostajemy κ \ α<λ U α,β I, co ostatecznie daje κ I sprzeczność. Wniosek Nie istnieje σ-addytywna miara µ: P(ω 1 ) [0, 1] taka, że µ(ω 1 ) = 1 i x ω 1 µ ({x}) = 0. Dowód. Przypuśćmy, że taka miara istnieje i niech I = {A ω 1 : µ(a) = 0}. Wówczas I jest σ-ideałem na ω 1, zawierającym wszystkie singletony. Na mocy poprzedniego wniosku istnieje więc rodzina {Z α : α < ω 1 } podzbiorów ω 1 miary µ dodatniej taka, że Z α Z β = dla α β. Jest to jednak niemożliwe, gdyż dla każdej liczby naturalnej n > 0 rodzina parami rozłącznych zbiorów miary co najmniej 1 n ma co najwyżej n elementów, a {Z α : α < ω 1 } = { Z α : α < ω 1 µ(z α ) 1 }. n n>0 28
30 Twierdzenie 5.15 (Zasada zwartości). Niech (X i ) i I będzie indeksowaną rodziną podzbiorów skończonych zbioru X i dla każdego skończonego J I niech f J : J X będzie funkcją wyboru dla (X i ) i J (tzn f(i) X i dla i J). Wówczas istnieje funkcja wyboru f : I X dla (X i ) i I taka, że dla każdego skończonego zbioru J I istnieje skończony zbiór K taki, że J K I oraz f J = f K J. Dowód. Niech i I oraz A i = {f J : i J}. Wtedy rodzina {A i : i I} ma własność skończonych przecięć, gdyż dla każdego skończonego zbioru J I mamy f J i J A i. Z tego wynika, że istnieje ultrafiltr U na zbiorze {f J : J I skończony} taki, że A i U dla każdego i I. Weźmy dowolne i I. Wtedy A i = x X i B i x gdzie zbiory B i x = {f J A i : f J (i) = x}, x X i, są parami rozłączne. Skoro więc A i U, a zbiór X i jest skończony, to z własności ultrafiltru wynika, że B i x należy do U dla dokładnie jednego x X i Niech funkcja f przyjmuje w punkie i właśnie tę wartość x; zatem B i f(i) U. Weźmy J I skończone. Wtedy i J Bi f(i) U. Czyli istnieje f K i J Bi f(i). Wówczas J K oraz dla i J mamy f(i) = f K (i) (bo f K B i f(i) ) Definicja Niech (X i ) i I będzie indeksowaną rodziną zbiorów niepustych. System reprezentantów dla (X i ) i I to różnowartościowa funkcja wyboru dla (X i ) i I. Twierdzenie 5.16 (Halla (wersja skończona)). Dla ciągu skończonych zbiorów (X 1,..., X n ) istnieje system reprezentantów wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia on warunek Halla: i J X i J dla każdego J {1,..., n}. Twierdzenie 5.17 (Halla (wersja nieskończona)). Indeksowana rodzina zbiorów skończonych (X i ) i I ma system reprezentantów wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Halla: i J X i J dla każdego skończonego J I. Dowód. Na mocy założenia oraz twierdzenia Halla w wersji skończonej, dla każdego skończonego zbioru J I można wybrać system reprezentantów f J rodziny (X i ) i J. Wówczas istniejąca na mocy zasady zwartości funkcja wyboru f : I i I X i dla rodziny (X i ) i I taka, że dla każdego skończonego zbioru J I istnieje skończony zbiór K taki, że J K I oraz f J = f K J, jest różnowartościowa. Jest to więc szukany system reprezentantów dla (X i ) i J.
31 6. Twierdzenia podziałowe Twierdzenie 6.1 (Ramsey). Niech X będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Weźmy dowolną funkcję f : [X] 2 {0, 1}. Wtedy istnieje nieskończony zbiór Y X taki, że funkcja f [Y ] 2 jest stała. (Taki zbiór nazywamy jednorodnym dla f, odpowiednio, 0 jednorodnym lub 1 jednorodnym.) Dowód. Bez utraty ogólności możemy założyć, ze X = ω. Indukcyjne definiujemy ciąg (x n ) n ω liczb naturalnych oraz ciąg (A n ) n ω podzbiorów ω: x 0 = 0, A 0 = ω, A n+1 = {y A n : f({x n, y}) = i}, gdzie i jest takie, że zbiór A n+1 jest nieskończony. x n+1 = min A n+1. Ciąg (x n ) n ω ma następującą własność: n i {0, 1} m (m > n f({x m, x n }) = i). Czyli dla każdego n mamy m > n f({x n, x m }) = 0 (przypadek a) lub m > n f({x n, x m }) = 1 (przypadek b) Zdefiniujmy g : ω {0, 1}: g(n) = { 0, jeśli zachodzi przypadek a 1, jeśli zachodzi przypadek b Weźmy nieskończony zbiór A taki, że g A jest stała. Wtedy zbiór {x n : n A} jest jednorodny. Ogólna notacja: κ (λ) r µ znaczy: dla każdej funkcji f : [κ] r µ istnieje zbiór A κ, A = λ taki, że funkcja f [A] r jest stała (zbiór A jest jednorodny dla f). Twierdzenie 6.2 (Ramsey). ω (ω) 2 2 Uwaga 6.3. Niech κ 1 κ, λ 1 λ, µ 1 µ. Jeśli κ (λ) r µ to κ 1 (λ 1 ) r µ 1 30
32 Twierdzenie 6.4 (Sierpiński). 2 ω (ω 1 ) 2 2 W szczególności ω 1 (ω 1 ) 2 2 Dowód. Niech będzie dobrym porządkiem na R. Rozpatrujemy funkcję f : [R] 2 {0, 1} { 1 jesli x y f({x, y}) = 0 jeśli y x, gdzie x < y (w sensie zwykłego porządku na R). Innymi słowy para {x, y} ma kolor 1 porządki i są na niej zgodne. Jeśli zbiór A R jest 1 jednorodny (odpowiednio: 0 jednorodny), to porządek A (odpowiednio: porządek do niego odwrotny) jest dobry. Taki zbiór A musi być przeliczalny, gdyż w R nie ma ciągów ściśle monotonicznych (w sensie zwykłego porządku) nieprzeliczalnej długości. Lemat 6.5. W zbiorze {0, 1} κ nie ma ciągów ściśle monotonicznych (w sensie porządku leksykograficznego) długości κ + Twierdzenie 6.6. Dla każdej κ ω W szczególności 2 κ (κ + ) 2 2 κ + (κ + ) 2 2 Dowód. Analogicznie jak w twierdzeniu Sierpińskiego. W miejsce R z porządkiem rozpatrujemy zbiór {0, 1} κ z porządkiem leksykograficznym. Twierdzenie 6.7 (Erdös, Rado). Dla każdej κ ω W szczególności (2 κ ) + (κ + ) 2 2 (2 ω ) + (ω 1 ) 2 2. Dowód. Niech S = { ξ < (2 κ ) + : cf(ξ) = κ +}. Zbiór S jest stacjonarny w (2 κ ) + na mocy przykładu 4.8. Niech f : [(2 κ ) + ] 2 {0, 1}. Szukamy zbioru jednorodnego dla f mocy κ +. Załóżmy, że nie ma 1 jednorodnego zbioru mocy κ +. (*) Dla każdego ξ S wybierzmy, z pomocą lematu Kuratowskiego Zorna, maksymalny zbiór A ξ ξ taki, że zbiór A ξ {ξ} jest 1 jednorodny. Na mocy założenia (*) A ξ κ, więc sup A ξ < ξ (bo A ξ ξ i cf(ξ) = κ + ). Niech g(ξ) = sup A ξ + 1 dla ξ S. Funkcja g jest regresywna na zbiorze stacjonarnym S. Na mocy lematu Fodora istnieje zbiór stacjonarny T S oraz δ (2 κ ) + takie, że ξ T g(ξ) = δ 31
33 W szczególności ξ T A ξ δ Funkcja T ξ A ξ ma dziedzinę T mocy (2 κ ) + i przyjmuje wartości w zbiorze [δ] κ mocy co najwyżej 2 κ. Jest wiec zbiór W T, W = (2 κ ) + (nawet stacjonarny) oraz zbiór A δ takie, że ξ W A ξ = A. Pokażemy, że zbiór W jest 0-jednorodny. Weźmy µ, ξ W, µ < ξ. Chcemy pokazać, że f({µ, ξ}) = 0 Załóżmy przeciwnie tzn. f({µ, ξ}) = 1. Wtedy zbiór A {µ} {ξ} = A ξ {µ} {ξ} = A µ {µ} {ξ} jest 1-jednorodny (A = A ξ = A µ ). Zbiór A ξ {µ} ξ jest więc właściwym nadzbiorem zbioru A ξ takim, że (A ξ {µ}) {ξ} jest 1-jednorodny. Dostajemy sprzeczność z maksymalnością zbioru A ξ. Twierdzenie 6.8 (Erdös, Dushnik, Miller). Dla każdej κ ω κ (κ, ω) 2 2, tzn. dla każdej funkcji f : [κ] 2 {0, 1} istnieje zbiór 0-jednorodny mocy κ lub zbiór 1-jednorodny mocy ω. Dowód. (Tylko dla przypadku, gdy κ jest regularna). Rozumujemy analogicznie jak w dowodzie tw. Erdösa Rado, rozpatrując zbiór S = {ξ < κ : ξ ω}. Zbiór S jest oczywiście stacjonarny w κ. Niech f : [κ] 2 {0, 1}. Szukamy dla f zbioru 0 jednorodnego mocy κ lub nieskończonego zbioru 1 jednorodnego. Załóżmy, że nie ma nieskończonego zbioru 1 jednorodnego. (*) Dla każdego ξ S wybierzmy maksymalny zbiór A ξ ξ taki, że zbiór A ξ {ξ} jest 1 jednorodny. Na mocy założenia (*) A ξ ω, więc sup A ξ = max A ξ < ξ. Niech g(ξ) = sup A ξ + 1 dla ξ S. Funkcja g jest regresywna na zbiorze stacjonarnym S. Na mocy lematu Fodora istnieje zbiór stacjonarny T S oraz δ κ takie, że ξ T g(ξ) = δ W szczególności ξ T A ξ [δ] <ω. Funkcja T ξ A ξ ma dziedzinę T mocy κ i przyjmuje wartości w zbiorze [δ] ω mocy równej δ < κ. Istnieje więc zbiór W T, W = κ (nawet stacjonarny) oraz zbiór A δ takie, że ξ W A ξ = A. Dowód, że zbiór W jest 0-jednorodny przebiega identycznie jak w dowodzie twierdzenia Erdösa Rado. Twierdzenia Ramseya oraz Erdösa Rado mają następujące ważne uogólnienia, które odnotujemy bez dowodu: 32
34 Twierdzenie 6.9 (Ramsey). Dla dowolnych liczb naturalnych n, k > 0: ω (ω) n k. Twierdzenie 6.10 (Erdös, Rado). Dla każdej liczby κ ω oraz dowolnej liczby naturalnej n: (exp n κ) + (κ + ) n+1 κ, gdzie: { exp 0 κ = κ, exp n+1 κ = 2 expn κ. W szczególności (2 κ ) + (κ + ) 2 κ. Definicja 6.1. Liczba κ > ω jest słabo zwarta, jeśli κ (κ) 2 2. Twierdzenie Jeśli κ jest słabo zwarta, to jest silnie nieosiągalna. Dowód. 1. κ jest regularna. Przypuśćmy przeciwnie: niech κ = α<λ A α, gdzie λ < κ oraz A α < κ dla każdego α < κ. Rozpatrujemy funkcję f : [κ] 2 {0, 1} { 1 jeśli α < λ (x, y Aα ), f({x, y}) = 0 w przeciwnym razie. Dla tej funkcji nie ma zbioru jednorodnego mocy κ. 2. λ < κ 2 λ < κ. Przypuśćmy przeciwnie: niech λ < κ będzie taka, że 2 λ κ. Wtedy κ (κ) 2 2 implikuje 2 λ (λ + ) 2 2, co przeczy twierdzeniu 6.6. Twierdzenie Jeśli κ jest mierzalna, to jest słabo zwarta. Dowód. Ustalamy κ-zupełny ultrafiltr niegłówny U na κ. Podobnie jak w dowodzie twierdzenia Ramseya indukcyjnie definiujemy ciągi (x α ) α<κ elementów κ oraz (A α ) α<κ podzbiorów κ, należących do U: x 0 = 0, A 0 = κ, A β+1 = {y A β : f({x β, y}) = i}, gdzie i jest takie, że A β+1 U, A α = β<α A β, jeśli α LIM, x α = min A α. Ciąg (x α ) α<κ ma następującą własność: α i {0, 1} β (β > α f({x β, x α }) = i), co pozwala zakończyć dowód tak, jak w przypadku twierdzenia Ramseya.
35 7. Drzewa Definicja 7.1. Drzewo to taki zbiór częściowo uporządkowany T,, że dla każdego x T zbiór {y T : y < x} jest dobrze uporządkowany. Poddrzewo drzewa T to dowolny zbiór T T uporządkowany przez relację T. Poddrzewo T drzewa T nazywamy poddrzewem normalnym, jeśli jest zamknięte na branie elementów mniejszych w T, tzn. jeśli spełnia warunek: x, y T ((x T y < x) y T ). Wysokość wierzchołka x T to liczba porządkowa H T (x) = typ({y T : y < x}). Wierzchołki wysokości α tworzą α-ty poziom drzewa T: T α = {x T : H T (x) = α} Wierzchołki wysokości mniejszej niż α tworzą poddrzewo normalne T α = T β. Wysokość drzewa T to liczba porządkowa β<α H(T ) = min {α : T α = }. Gałąź drzewa T to maksymalny łańcuch w T. Długością gałezi nazywamy jej typ porządkowy (łatwo pokazać, że każdy łańcuch w drzewie jest dobrze uporządkowany). Przykład Każdy zbiór dobrze uporządkowany (w szczególności, każda liczba porządkowa) jest drzewem, którego wysokością jest jego typ porządkowy. 2. Jeśli α On, to zbiór A <α = wszystkich ciągów długości mniejszej niż α o wartościach w danym zbiorze A wraz z porządkiem zawierania (przedłużania ciągów) jest drzewem, tzw. pełnym drzewem A-arnym wysokości α. 34 β<α A β
Wstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPiotr Zakrzewski. Teoria mnogości. (skrypt wykładu) (wersja z )
Piotr Zakrzewski Teoria mnogości (skrypt wykładu) (wersja z 22.01.2018) WSTĘP Skrypt obejmuje aktualny program (dostępny na stronie https://usosweb.mimuw. edu.pl/kontroler.php?_action=actionx:katalog2/przedmioty/pokazprzedmiot(kod:
Bardziej szczegółowoZadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003
Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoElementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoProblemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych
Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA.
ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. PIOTR ZAKRZEWSKI 1. Wykłady 1/2 Definicja 1.1. Przestrzeń polska to przestrzeń topologiczna ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny. Przykład 1.2.
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoMetoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych
Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoUltrafiltry. Dominik KWIETNIAK, Kraków. 1. Ultrafiltry
W niniejszym artykule zero nie jest liczbą naturalną! Ultrafiltry Dominik KWIETNIAK, Kraków Artykuł ten stanowi zapis referatu jaki został wygłoszony na XLVII Szkole Matematyki Poglądowej Ekstrema. Przedstawiono
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoCiągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Bardziej szczegółowoKRATY BANACHA. Marek Kosiek. Wykład monograficzny dla studentów Uniwersytetu Jagiellońskiego
KRATY BANACHA Marek Kosiek Wykład monograficzny dla studentów Uniwersytetu Jagiellońskiego Spis treści Rozdział 1. Kraty wektorowe i operatory dodatnie 5 1. Kraty wektorowe 5 2. Operatory dodatnie 7 3.
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowo