MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko
PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn tej siły przez długość przesunięcia (1) Jednostka kg m J = Nm = 2 s m Rys. 1 Wektor siły jest nachylony do kierunku przesunięcia pod kątem α
PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ (2) WNIOSEK: Pracę wykonuje tylko składowa siły stycznej do toru F t. Praca składowej normalnej do toru F n jest równa zeru. Z równania (2) wynika, że dla: WNIOSEK: Praca jest skalarem, może przyjmować wartości dodatnie, ujemne i równe zeru.
PRACA MECHANICZNA SIŁY ZMIENNEJ Definicja pracy elementarnej: Pracą elementarną siły zmiennej na przesunięciu nazywamy iloczyn skalarny siły F ρ ds ρ przez to przesunięcie elementarne. (3) Ponieważ (4) to (5) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ F = i X + jy + kz ds = i dx + jdy + kdz Podstawiając do wzoru (3): oraz otrzymamy po wymnożeniu i podstawieniu do (5) : (6)
PRACA MECHANICZNA SIŁY ZMIENNEJ Pracę całkowitą od położenia 1 do położenia 2 na torze otrzymamy, całkując wyrażenie przedstawiające pracę elementarną. (7) Praca siły na pewnym przesunięciu jest równa sumie prac sił składowych na odpowiednich przemieszczeniach składowych.
PRACA MECHANICZNA PO OKRĘGU Gdy siła F ρ działa na punkt poruszający się po torze kołowym (np. siła naciągu pasa przekładni pasowej), otrzymamy Rys. 2 Wyrażenie F t r określa moment siły (8) względem środka O (np. środka tarczy). F ρ Nazywamy go momentem obrotowym (9)
PRACA MECHANICZNA PO OKRĘGU Wzór na pracę elementarną przybiera postać: (10) ϕ ϕ2 Pracę całkowitą na drodze kątowej od 1 do określa całka (11)
F W 1 2 jeśli x koń W s = Fdx = k s = x x kx koń pocz 2 x pocz ( ) x x x koń pocz kx dx = k = x pocz 1 2 = 0 Ws = 1 kx 2 kx 2 2 pocz x x koń pocz xdx 1 2 kx = 2 koń
PRACA WYKONANA PRZEZ SIŁĘ ZEWNĘTRZN TRZNĄ W zewn W s JEŚLI KLOCEK PRZYMOCOWANY DO SPRĘŻ ĘŻYNY JEST W SPOCZYNKU NA POCZĄTKU I NA KOŃCU PRZEMIESZCZENIA, TO PRACA WYKONANA NAD KLOCKIEM PODCZAS JEGO RUCHU PRZEZ SIŁĘ ZEWNĘTRZN TRZNĄJEST PRZECIWNA DO PRACY, WYKONANEJ NAD NIM PRZEZ SIŁĘ ŁĘSPRĘŻYSTOŚCI. = Wzewn = 1 kx 2 2 W = E Es = 1 kx 2 2
PRACA MECHANICZNA siły sprężystości F ρ Siła sprężystości jest wielkością zmienną proporcjonalną do wydłużenia sprężyny. Przyjmując oś sprężyny za oś x napiszemy (12) gdzie c stała sprężyny. Praca elementarna siły sprężystości jest równa (13) Składowe siły sprężystości
PRACA MECHANICZNA siły sprężystości Po podstawieniu (14a) Praca całkowita siły sprężystości na drodze całkowitego wydłużenia sprężyny będzie równa (14b) Uwzględniając, że cl = F otrzymamy ostatecznie (15)
PRACA MECHANICZNA siły ciężkości z z 1 G=mg z 2 y x
PRACA MECHANICZNA siły ciężkości Praca elementarna Składowe siły ciężkości Zatem praca elementarna Praca całkowita Gdy z 1 >z 2 to A > 0, gdy z 1 < z 2 to A < 0.
MOC CHWILOWA Pracę odniesioną do jednostki czasu nazywamy mocą. Moc chwilowa (17) wyrażenie na moc chwilową przedstawimy w następującej postaci: lub (18)
MOC W RUCHU OBROTOWYM W ruchu obrotowym Ponieważ W związku z tym (20)
MOC I SPRAWNOŚĆ Gdy prędkość w ruchu obrotowym zadana jest za pomocą prędkości obrotowej n, obr/min wówczas prędkość kątową ω obliczamy z ze wzoru: Po podstawieniu do (20) wyrazimy moc w postaci: (21) Jednostką podstawową mocy mocy jest W = J/s = Nm/s Jednostki techniczne to: kw i MW
SPRAWNOŚĆ Sprawnością mechaniczną maszyny lub silnika nazywamy stosunek pracy (lub mocy) użytecznej do pracy (lub mocy) włożonej. (22)
ZASADA PRACY I ENERGII KINETYCZNEJ Po wyrażeniu siły F t w postaci: Wzór na pracę elementarną przybiera postać ds/dt = v Prawa strona tego równania jest różniczką zupełną funkcji E = mv 2 / 2 zwanej energią kinetyczną poruszającego się punktu materialnego.
ZASADA PRACY I ENERGII KINETYCZNEJ Zatem (23) Po całkowaniu otrzymujemy (24) Energia kinetyczna poruszającego się punktu materialnego rośnie lub maleje o wielkość pracy wykonanej przez siły działające na ten punkt materialny.
POLE SIŁ Określić pole sił, to znaczy podać wektor-funkcję położenia (25) Albo jego składowe
Pole magnetyczne Ziemi Pole magnetyczne magnesu trwałego
Pola sił i ruchy Powtórzenie
LINIE POLA SIŁ Linię charakteryzującą się tym, że w każdym jej punkcie wektor pola jest styczny do niej, nazywamy linią pola sił. Równanie różniczkowe tych linii ma postać (26) Jeżeli linie pola sił są prostymi równoległymi, pole nazywamy jednorodnym.
PRACA W POLU SIŁ Pracę całkowitą wykonaną przez siły pola określa całka (27) Aby obliczyć pracę całkowitą, należy ustalić: a) współrzędne punktu początkowego i końcowego (1 i 2), b) wektor siły pola F F x, y, z,. ρ = ρ ( ) c) równanie toru, wzdłuż którego pole wykonuje pracę.
PRZYKŁAD 1 ρ ρ ρ Obliczyć pracę siły 2 2 F = y i x j od położenia I (0, 1) do II (1, 0) gdy praca jest wykonywana: Rys. 3 a) po linii prostej y = 1 x, 2 2 b) po okręgu x + y = 1, c) po osiach wsp. x = 0, y = 0. Jednostki: [F] N, [x, y] m
Dla przykładu a) X = y 2, Y = -x 2, równanie (27) przybiera postać: Lub Ponieważ y =1 x to dy = dx Po scałkowaniu w granicach x(0,1) otrzymamy:
Dla przykładu b) praca po okręgu x 2 + y 2 = 1, X = y 2, Y= -x 2 Po podstawieniu do (27) Po scałkowaniu:
Dla przykładu c) praca po osiach współrzędnych: Równanie osi x ma postać y = 0 Równanie osi y ma postać x = 0 Zatem WNIOSEK: w tym zadaniu praca pola sił zależy od kształtu toru Takie pola sił, w których praca zależy od kształtu toru, nazywamy polami niepotencjalnymi lub wirowymi.
PRZYKŁAD 2 Niech w poprzednim przykładzie siła pola będzie określona równaniem gdzie a i b stałe, Składowe siły Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 będzie określona wzorem Φ - nazywamy funkcją pola sił.
FUNKCJA POLA SIŁ ( ) Funkcją pola sił nazywamy funkcję położenia x, y, z, której różniczka zupełna jest równa pracy elementarnej sił pola. W omawianym przykładzie funkcja ta miała postać : Φ gdyż W polu potencjalnym praca nie zależy od kształtu toru, a jedynie od położenia początkowego i końcowego siły pola - równa jest wartości funkcji pola w położeniu końcowym i początkowym. Różniczka zupełna funkcji pola jest równa
FUNKCJA POLA SIŁ Aby ta różniczka zupełna była równa pracy elementarnej muszą być spełnione zależności Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli
POTENCJAŁ POLA SIŁ Potencjałem pola sił nazywamy skalarną ( ) funkcję położenia U x, y, z, której pochodne cząstkowe względem odpowiednich kierunków są równe składowym siły pola w tych kierunkach ze znakiem ujemnym. Gradient tej funkcji jest równy sile pola ze znakiem (-). Miejsce geometryczne punktów, dla których ( x, y, z) const U = nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.
PRACA W POTENCJALNYM POLU SIŁ Praca elementarna W polu potencjalnym praca elementarna jest różniczką zupełną pewnej funkcji skalarnej - potencjału pola sił - ze znakiem ujemnym. Praca całkowita stąd W polu potencjalnym praca całkowita jest równa różnicy potencjałów w położeniu początkowym i końcowym.
Potencjał ma postać PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 będzie równa Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2) potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi gdzie h wysokość położenia 1 nad poziomem Ziemi.
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Pracę U = mgh nazywamy energią potencjalną. Jest to praca, jaką wykona pole sił ciężkości przy przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię Ziemi. Z zasady pracy i energii kinetycznej energii potencjalnej δa = du δa = de wynikaże: oraz pracy i de = du czyli Jest to forma różniczkowa zasady zachowania energii mechanicznej.
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Całkując to równanie otrzymujemy W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej jest w każdym położeniu wielkością stalą. W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę tę możemy przedstawić za pomocą wzoru
PRZYKŁAD 3 Ciało o masie m, zawieszone na linie przerzuconej przez krążek, zaczyna poruszać się w górę równi pochyłej o kącie nachylenia α (rysunek poniżej). Obliczyć pracę sił i momentu po przebyciu przez to ciało drogi s, jeśli dane są współczynnik tarcia µ ciała o równię, promień krążka r i moment M działający na krążek (pominąć tarcie cięgna o krążek). Dane: m, s,α, M, r, µ
Rozwiązanie Całkowita praca jest równa sumie prac: momentu o wartości M; wypadkowej sił: ciężkości G oraz nacisku N; siły tarcia T. Praca momentu M: A = Mϕ M gdzieφ kąt, o jaki obrócił się krążek w czasie, gdy ciało przebyło drogę s Mamy: ϕ = s Zatem: = A M r
Praca sił G oraz N: α N ρ bo F = GN Siła tarcia: F ρ GN G ρ Praca siły tarcia T:
Zatem praca wszystkich sił i momentu wynosi:
PRZYKŁAD 4 Znaleźć, jaką moc uzyskuje silnik samochodu o masie 1 Mg po 10 sekundach, jeśli samochód rusza ze stałym przyspieszeniem a = 1 m/s 2 : (1) po drodze poziomej; (2) pod górę o nachyleniuα=30 ; (3) z góry o takim samym nachyleniu. Współczynnik tarcia kół samochodu o drogę wynosi 0.07. Rozwiązanie t 0 = 10s Ruch jest prostoliniowy, a więc po czasie :
Rozwiązanie (1) T ρ N ρ F ρ silnika G ρ
Rozwiązanie (1) Zatem moc chwilowa silnika wynosi:
Rozwiązanie (2) N ρ F ρ silnika T ρ G ρ
(3) Rozwiązanie T ρ N ρ F ρ silnika G ρ moc hamowania
PRZYKŁAD 5 Wózek o masie m poruszał się po torze płaskim bez tarcia z prędkością v 0. Po przyłożeniu stałej siły hamującej zatrzymał się, przebywając odcinek s. Obliczyć wartość siły hamującej oraz czas hamowania. Dane: m, v 0, s Szukane: F, t
Rozwiązanie Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej: gdzie W 1 2 praca siły hamowania, F siła hamująca. Podstawiając:
Zasada pędu: Stąd:
PRZYKŁAD 6 Z wierzchołka równi o kącie nachyleniaαiwysokości h puszczono ciało (bez prędkości początkowej). Współczynnik tarcia ciała o równię wynosi µ. Obliczyć czas ruchu i prędkość końcową na dole równi. Dane:α, h, µ Szukane: v 1, t
Rozwiązanie Zasada równoważności pracy i energii: W 0 1 =
Podstawiając: Czas ruchu obliczymy z zasady pędu:
Siła wypadkowa F w jest równa: Podstawiając:
PRZYKŁAD 7 Klocek został ustawiony na wierzchołku równi o kącie nachylenia α. Gdyby klocek zsunął się w dół bez tarcia, uzyskałby na dole równi prędkość v 1. Z kolei dla ruchu z tarciem prędkość wynosi ½v 1. Oblicz współczynnik tarcia µ klocka o równię. Dane:α, v 1 Szukane: µ
Bez tarcia: Zasada równoważności pracy i energii:
Bez tarcia: Stąd obliczymy wysokość h:
Z tarciem: Zasada równoważności pracy i energii: Podstawiając: