Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 1 of 16 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzia! Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA!"#$%&'()* +, -.!(/0"!* "% 1 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji Optymalizacja konstrukcji kratownicowej Celem ćwiczenia jest wyznaczenie minimum ciężaru kratownicy czteroelementowej z wykorzystaniem modułu obliczeniowego Optimization Tool programu Matlab. W toku ćwiczenia studenci zapoznają się również z wybranymi zagadnieniami metody elementów skończonych, w szczególności z metodyką modelowania prętów prostych. Wybrany sposób analizy konstrukcji posłuży do wyznaczenia przemieszczeń węzłów optymalizowanej kratownicy. 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Jednym z istotniejszych zagadnień w formułowaniu problemów optymalizacyjnych jest wyrażenie funkcji celu i ograniczeń rozwiązywanego zadania w postaci jawnych zależności od przyjętych zmiennych decyzyjnych. Dla wielu układów, nawet stosunkowo prostych, zagadnienie to jest dość złożone i czasochłonne. W przypadku bardziej skomplikowanych konstrukcji wyznaczenie zamkniętych wzorów(funkcji) jest często wręcz niemożliwe; zadania tego typu muszą być rozwiązywane przybliżonymi metodami numerycznymi np. metodą elementów brzegowych lub elementów skończonych w połączeniu z analizą wrażliwości konstrukcji np. za pomocą różnic skończonych. Pewne możliwości w zakresie formułowania wspomnianych zależności funkcyjnych daje zastosowanie metody przemieszczeń i wywodzącej się z niej metody elementów skończonych. W metodzie tej punktem wyjścia do rozwiązania zadania jest zapisanie macierzy sztywności całej analizowanej kon- strona1z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 2 of 16 strukcji. Macierz ta powstaje na podstawie macierzy sztywności poszczególnych elementów składowych układu. W dalszej kolejności formułuje się równanie równowagi badanego układu. Rozwiązaniem tego równania są przemieszczenia punktów węzłowych konstrukcji. 2.1. Rozwiązanie kratownicy z wykorzystaniem metody elementów skończonych 2.1.1. Równowaga pręta w lokalnym układzie współrzędnych Rozważmy dowolny prosty pręt o stałym przekroju poprzecznym, wykonany ze sprężystego, jednorodnego materiału izotropowego patrz rysunek 1. Końce elementu stanowią punkty węzłowe 1 i 2, w których przyłożono siły skupionef 1 if 2 skierowanewzdłużosi12=oxukładuwspółrzędnych związanego z prętem. Zakładamy, że na element nie działają żadne inne siły zewnętrzne i pręt pozostaje w stanie spoczynku. y A 1 u 2 1 u 2 F 1 F 2 l Rysunek 1. Siły i przemieszczenia węzłowe pręta prostego W wyniku działających obciążeń węzły 1 i 2 doznają przemieszczeń wzdłużosipręta odpowiedniou 1 iu 2.Jeśliprętjestbryłąsztywną,to przemieszczeniatesąjednakoweu 1 =u 2,wprzypadkuzaśukładuodkształcalnegou 1 u 2.Statycznerównanierównowagiprzyjmujepostać i=2 i=1 F ix =F 1 +F 2 =0. (1) W wyniku działania obciążeń zewnętrznych pręt odkształca się w kierunku osiowym o niewielki odcinek l x l=u 2 u 1, (2) strona2z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 3 of 16 Odkształcenie względne pręta można zapisać na podstawie definicji ε=ε x = u 2 u 1. (3) l Wobec przyjętych założeń o liniowości rozważanego układu powstałe odkształcenia i naprężenia spełniają prawo Hookea σ=eε, (4) gdzie E jest modułem Younga materiału pręta. Wartości naprężeń w punktach węzłowych A i B można określić na podstawie definicji: węzeł1: σ= F 1 A węzeł2: σ= F 2 A ściskanie(siła skierowana do węzła), rozciąganie, gdzie A jest polem przekroju poprzecznego pręta(rysunek 1). Wstawiając zależności(2),(3) oraz(4) do równania(5) otrzymujemy warunek równowagi F 1 = σa = EεA = EA (u 2 u 1 )= EA u 1 EA u 2 ; l l l F 2 =σa =EεA = EA (u 2 u 1 )= EA u 1 + EA u 2. l l l Zależności(6) stanowią układ dwu równań liniowych z dwoma niewiadomymi(u 1 iu 2 ),którymożnazapisaćwpostacimacierzowej { } F1 = EA [ ] { } 1 1 u2 F=K u, (7) F 2 l 1 1 u 1 gdziekjestkwadratową,symetryczną 1 idodatniookreślonąmacierząsztywności elementu prętowego w lokalnym układzie współrzędnych(tj. układzie związanym z tym prętem), F wektorem działających sił, zaś u wektorem przemieszczeń punktów końcowych. 1 WaruneksymetriimacierzyKwynikabezpośredniozzasadywzajemnościprzemieszczeń Maxwell a tj. odpowiedź układu mierzona w punkcie j na wymuszenie przyłożone w punkcie i, jest identyczna z odpowiedzią w punkcie i na identyczne wymuszenie działającewpunkciej (5) (6) strona3z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 4 of 16 2.1.2. Równowaga pręta w globalnym układzie odniesienia Przedstawione powyżej rozważania pozwoliły na znalezienie relacji pomiędzy działającymi siłami zewnętrznymi a przemieszczeniami końców pręta (7) w lokalnym układzie współrzędnych, tj. układzie związanym z rozważanym prętem. W przypadku analizowania konstrukcji składającej się z większej liczby elementów i znajdujących się w różnych położeniach zachodzi konieczność przedstawienia powyższej zależności w jednym, wspólnym układzie współrzędnych(tzw. układzie globalnym). Przejście z układu lokalnego do układu globalnego jest realizowane za pomocą macierzy transformacji. W celu określenia zależności transformacyjnych rozważmy analizowany w poprzednim paragrafie pręt w nowym położeniu, określonym kątem skierowanym θ zawartym między osią Ox obranego prostokątnego układu współrzędnych a osią Ox pręta patrz rysunek 2. Układ współrzędnych xoy nazwiemyglobalnymukłademodniesienia. 2 y F 1 θ 1 y v 1 u 1 u 1 θ F 2 v 2 u 2 x Rysunek 2. Pręt z siłami i przemieszczeniami węzłowymi w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych Rozważając rzuty prostokątne przemieszczeń węzłów 1 i 2 na osie globalnego układu współrzędnych można wyprowadzić zależność 2 u =Θ u, (8) 2 Dlaodróżnieniawielkościlokalnychi globalnychprzyjmujemyzasadę,żewielkości odnoszące się do globalnego układu współrzędnych będą wyróżnione dodatkowym nadkreśleniem. u 2 x strona4z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 5 of 16 gdzie macierz Θ jest opisana zależnością cosθ sinθ 0 0 sinθ cosθ 0 0 Θ= 0 0 cosθ sinθ. (9) 0 0 sinθ cosθ Jest to macierz transformacji przemieszczeń elementu prętowego z układu globalnego do układu lokalnego(istotny w dalszych obliczeniach jest zwrot kątaθ patrzrysunek2). Występujący w zależności(8) wektor u zawiera przemieszczenia węzłów 1 i2prętawjegolokalnymukładzieodniesienia(xoy) tj.u={u 1,0,u 2,0}, zaś wektor u zawiera przemieszczenia tych samych punktów w układzie globalnym(xoy) tj.u={u 1,v 1,u 2,v 2 } patrztakżerysunek2. Analogiczna do równania(8) zależność obowiązuje dla sił węzłowych F=Θ F, (10) gdziewektorfzawierarzutyprostokątnesiłf 1 if 2 naosieukładu(xoy) tj.f={f 1x,F 1y,F 2x,F 2y }. Zapisany w lokalnym układzie warunek równowagi(7) może być zatem przekształcony do postaci obowiązującej w globalnym układzie współrzędnych. Wykonując niezbędne podstawienia otrzymujemy F=K u gdzie K=Θ K Θ. (11) Występującą w powyższym wzorze macierz K nazywamy macierzą sztywnościelementuprętowegowglobalnymukładziewspółrzędnych,indeks() oznacza transpozycję macierzy(tj. wzajemną zamianę wierszy i kolumn). Wykorzystując zależności(7) oraz(9) ostatecznie uzyskuje się cos 2 θ sinθcosθ cos 2 θ sinθcosθ K= EA sinθcosθ sin 2 θ sinθcosθ sin 2 θ l cos 2 θ sinθcosθ cos 2 θ sinθcosθ. (12) sinθcosθ sin 2 θ sinθcosθ sin 2 θ 2.1.3. Uogólniona macierz sztywności konstrukcji Wyprowadzona w poprzednim paragrafie macierz sztywności elementu prętowego K wiąże zależnością matematyczną(11) przemieszczenia jego końców strona5z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 6 of 16 u wzdłuż osi xoy z przyłożonymi obciążeniami zewnętrznymi F wyrażonymi w globalnym układzie współrzędnych. W zadaniu analizy układu wieloprętowego w podobny sposób można zapisać macierz sztywności oraz warunek równowagi całej konstrukcji. Celem zilustrowania sposobu wyprowadzenia takiego równania równowagi rozważmy kratownicę trójelementową przedstawioną na rysunku 3. u 2 A y α u 1 2 F 1 u 4 γ B β Rysunek 3. Przykładowa konstrukcja 3-elementowa oraz przyjęte oznaczenia przemieszczeń węzłów Na podstawie zależności(12) można zapisać macierze sztywności poszczególnych prętów kratownicy w globalnym układzie współrzędnych stosującpodstawieniazaθdlaposzczególnychprętów:θ 1 =0,θ 2 =αiθ 3 = β. Stąd otrzymujemy 1 2 5 6 1 0 0 0 K 1 =Θ 1 K 1 Θ 1 = EA 1 0 1 0 0 l 1 0 0 1 0 0 0 0 1 K 2 =Θ 2 K 2 Θ 2 = = EA 2 1 2 3 4 cos 2 α sinαcosα cos 2 α sinαcosα sinαcosα sin 2 α sinαcosα sin 2 α cos 2 α sinαcosα cos 2 α sinαcosα sinαcosα sin 2 α sinαcosα sin 2 α 1 2 5 6 u 3 3 u 6 C u 5 x (13) 1 2 3 4 strona6z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 7 of 16 K 3 =Θ 3 K 3 Θ 3 = 3 4 5 6 cos 2 β sinβcosβ cos 2 β sinβcosβ = EA 3 sinβcosβ sin 2 β sinβcosβ sin 2 β cos 2 β sinβcosβ cos 2 β sinβcosβ sinβcosβ sin 2 β sinβcosβ sin 2 β Wpowyższychzależnościachwprowadzonododatkowocyfry( 1...6 )oznaczeń kolumn i wierszy, odpowiadające numeracji poszczególnych przemieszczeń u 1...u 6 węzłówa,b,ickonstrukcjiwg.kolejnościprzyjętejnarycinie3. Wobec powyższego można zapisać równania równowagi dla każdego z elementów wyrażone w globalnym układzie współrzędnych element 1: element 2: element 3: { } =K1 { }, F1 F 2 F 5 F 6 u 1 u 2 u 5 u 6 { } =K2 { }, F1 F 2 F 3 F 4 u 1 u 2 u 3 u 4 { } =K3 { }, F3 F 4 F 5 F 6 u 3 u 4 u 5 u 6 3 4 5 6 (14) gdzieposzczególnewyrazyf i sąskładowymisiłprzyłożonychwkolejnych węzłach i działającymi wzdłuż kierunków przemieszczeń 1... 6. Zapisane powyżej równania można połączyć w jedną całość, formułując równanie równowagi całej konstrukcji(15) zbliżone w swej postaci do zależności(11) obowiązującej dla pojedynczego elementu. Występująca w(15) macierz kwadratowa nosi nazwę uogólnionej macierzy sztywności konstrukcji. Powstaje ona przez wstawienie indywidualnych składników macierzy sztywnościposzczególnychelementówk i,i=1,2,3(patrz(13))wodpowiednie komórki macierzy K. Miejsce wstawienia określa numer wiersza i kolumny wynikający z numeracji stopni swobody poszczególnych węzłów konstrukcji tak, jak zaznaczono na rysunku 3 i w zależnościach(13). Należy zaznaczyć, że zapisane w(15) równanie równowagi konstrukcji nie ma jednoznacznego rozwiązania. Wynika to bezpośrednio z faktu, że strona7z16
strona8z16 F 1 F 2 F 3 =E F 4 F 5 F 6 1 2 3 4 5 6 A 1 l 1 + A 2 c 2 α A 2 sαcα A 2 c 2 α A 2 sαcα A 1 l 1 0 1 A 2 s 2 α A 2 sαcα A 2 s 2 u 1 α 0 0 2 u 2 A 2 c 2 α+ A 3 c 2 β A 2 sαcα A 3 sβcβ A 3 c 2 β A 3 sβcβ 3 u 3 (15) A 2 s 2 α+ A 3 s 2 A β 3 sβcβ A 3 s 2 β u 4 4 A 1 l 1 + A 3 c 2 β A u 3 sβcβ 5 5 u 6 A 3 SYMETRIA s 2 β 6 Dlauproszczeniazapisuprzyjętododatkoweoznaczeniasα=sinα,cα=cosα,sβ=sinβorazcβ=cosβ. Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 8 of 16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 9 of 16 macierz sztywności całej konstrukcji, podobnie jak macierz sztywności każdego z elementów, jest macierzą osobliwą(tzn. det K = 0). Jednoznaczne rozwiązanie układu można uzyskać dopiero po uwzględnieniu warunków brzegowych zadania. Z ilustracji 3 wynika, że na konstrukcję nałożone są więzy w postaci podporystałejwpunkcieaorazpodporyruchomejwpunkciec.azatempunkt A ma odebrane wszystkie stopnie swobody, punktowi C natomiast została odebrana możliwość przemieszczania się w kierunku pionowym. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami odebrane stopnie swobody odpowiadają zerowym przesunięciomu 1 =u 2 =u 6 =0.Azatemzmacierzysztywnościkonstrukcji K(15) można wykreślić wiersze oraz kolumny o numerach jeden, dwa i sześć. PowstaławtensposóbnowamacierzK ks reprezentujezachowanierozważanego ustroju i jest nazywana szczególną macierzą sztywności konstrukcji A 2 c 2 α+ A 3 c 2 β A 2 sαcα A 3 sβcβ A 3 c 2 β A 2 K ks =E s 2 α+ A 3 s 2 A β 3 sβcβ, (16) A 1 SYMETRIA l 1 + A 3 c 2 β a równanie równowagi całego układu(15), po uwzględnieniu działających obciążeń, przyjmuje poniższą postać: F 2 Fsinγ c 2 α+ F 3 c 2 β F 2 sαcα F 3 sβcβ F 3 c 2 β u 3 F 2 F cosγ =E s 2 α+ F 3 s 2 F β 3 sβcβ u 4 (17) 0 F 1 SYMETRIA l 1 + F 3 c 2 β u 5 Rozwiązując powyższy układ liniowych równań algebraicznych można określićwartościskładowychpionowychipoziomychu i przemieszczeńwęzłów kratownicy. Tak określone wielkości mogą zostać wykorzystane do dalszych obliczeń, np. do sformułowania ograniczeń przemieszczeniowych w zadaniach optymalizycjnych. strona9z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 10 of 16 3. PRZEBIEG ĆWICZENIA Prowadzący zajęcia przydzieli każdemu zespołowi laboratoryjnemu zadanie do rozwiązania. Będzie to zadanie optymalizacji kratownicy płaskiej, czteroelementowej, statycznie wyznaczalnej. 3.1. Sformułowanie algebraiczne zadania optymalizacji W pierwszej kolejności wykonujący ćwiczenie winni wyznaczyć siły wewnętrzne we wszystkich prętach kratownicy. Następnie, bazując na zależnościach (12), należy sformułować i zapisać macierze sztywności poszczególnych prętów projektowanej kratownicy(lub wybrane jej wyrazy, podane przez prowadzącego). Otrzymane wyniki obliczeń skonsultować z prowadzącym. W dalszej kolejności, korzystając z programu Matlab, należy rozwiązać równanie równowagi konstrukcji(patrz przykład i zależność(17)) wyznaczając przemieszczenia węzła(węzłów) wymagane do warunków ograniczeń rozwiązywanego zadania optymalizacyjnego. W tym celu należy: uruchomić program Matlab, a następnie w linii poleceń systemu wybrać folder roboczy C:\Users\kms\Desktop\Optymalizacja\Cwiczenie5, w głównym oknie programu, tzw. Command Window, otworzyć plik displacement wpisując polecenie edit displacement, w otwartym oknie edytora zdefiniować wyrazy globalnej macierzy sztywnościk ks kratownicy patrzzależność(16);zapisaćwprowadzonezmiany wybierając polecenie File Save, uruchomić obliczenia poleceniem run displacement lub ew. wybierając z pasku skrótów przycisk z zieloną strzałką. Wyniki obliczeń wyświetlane są w głównym oknie programu Mathlab(tj. oknie Command Window), postępując zgodnie z wytycznymi aplikacji pojawiającymi się na ekranie odczytać wartości sił węzłowych i wartości składowych przemieszczeń; zanotować uzyskane wyniki, zamknąć okno edytora. Uzyskane wyniki obliczeń skonsultować z prowadzącym. W dalszej części ćwiczenia należy ostatecznie sformułować zadanie optymalizacji poprzez określenie zmiennych decyzyjnych, funkcji celu oraz funkcji ograniczeń. Proponowaną postać zadania skonsultować z prowadzącym. strona10z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 11 of 16 3.2. Zdefiniowanie problemu w programie Matlab Do wyznaczenia optimum sformułowanego problemu zostanie wykorzystany algorytm iteracyjny fmincon, służący do rozwiązywania nieliniowych zadań optymalizacji z ograniczeniami. Algorytm ten jest częścią modułu Optimization Toolbox programu Matlab. Dane do obliczeń w tym module należy wprowadzić w postaci dwu plików tj. pliku zawierającego funkcję celu oraz pliku definiującego nieliniowe ograniczenia nierównościowe i równościowe rozwiązywanego zadania. Pozostałe parametry algorytmu są zadawane bezpośrednio w oknie modułu Optimization Toolbox. 3.2.1. Funkcja celu Funkcja celu zostanie zdefiniowana w pliku o nazwie bar4truss. W tym celu należy: wybraćzgłównegomenuprogramumatlabikonęnewscript(ctrl+n) lub w oknie poleceń wpisać komendę edit bar4truss. Otwarte zostanie okno edytora programu MATLAB, podać definicję funkcji celu według poniższego schematu: function f = bar4truss(x) f = 2*x(1)+ (x(2))^2; gdzie wpis w pierwszej linii jest nagłówkiem funkcji(powinien być identyczny z podanym), natomiast wpis w drugiej linii jest wzorem określającym funkcję celu odpowiadającą warunkom rozwiązywanego zadania (powyżej podano jedynie definicję przykładową), zapisać plik wybierając polecenie File Save. Jeśli we wcześniejszym etapiewybranoikonęnewscripttoprogrampoprosiopodanienazwypliku. 3 Nowy plik o nazwie bar4truss.m pojawi się po lewej stronie głównego okna programu, na liście z zawartością bieżącego folderu, zamknąć okno edytora. 3.2.2. Ograniczenia nieliniowe Utworzyćplikzawierającyograniczenianieliniowe. 4 SkładniaprogramuMatlabwymusza,abypliktenzawierałograniczeniezapisanew formieg(x) 3 NienależyzmieniaćnazwplikówsugerowanychprzezprogramMatlabininiejsząinstrukcję. 4 Ograniczenialiniowesąwpisywanewinnymoknieprogramu strona11z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 12 of 16 0. Ponadto plik ten musi zawierać ograniczenia równościowe h(x) = 0. Jeśli w rozwiązywanym zadaniu ograniczenia tego typu nie występują, to konieczne jest pozostawienie pustego argumentu w ich definicji. W celu utworzenia pliku ograniczeń należy: wybraćzgłównegomenuprogramumatlabikonęnewscript(ctrl+n) lub w oknie poleceń wpisać komendę edit bar4constraints, ponownie otwarte zostanie okno edytora, w którym należy podać definicję funkcji ograniczeń według poniższego schematu w oknie głównym programu wpisać polecenie edit bar4constraints. Otwarte zostanie okno edytora programu MATLAB, wpisać ograniczenia zadania; strukturę pliku przedstawiono poniżej: function [g,h]= bar4constraints(x) g(1)= 1/x(1) + x (2)^2-5; g(2)= x(1) + x (2)*x(3) - 5; g(3)= 100/x(4) - 5; g(4)= 1/x(1) -1; h=[]; pause(0.1) gdzie podobnie jak wcześniej wpis w pierwszej linii jest nagłówkiem funkcji(powinien być identyczny z podanym), natomiast wpisy w liniach 2-6 są przykładowymi zależnościami określającymi funkcje nieliniowych ograniczeń nieliniowych; dwie ostatnie linie pliku pozostawić bez zmian, zapisać plik wybierając polecenie File Save. Plik bar4constraints.m pojawi się po lewej stronie głównego okna programu, na liście z zawartością bieżącego folderu, zamknąć okno edytora. 3.2.3. Konfiguracja algorytmu iteracyjnego poszukiwania rozwiązań Uruchomić moduł optymalizacyjnego wpisując w oknie głównym programu polecenie optimtool. W wyświetlonym oknie należy: w linii Solver wybrać opcję fmincon- Constrained nonlinear minimization. Ten typ algorytmu służy do rozwiązywania zagadnień nieliniowych z ograniczeniami(jak łatwo zauważyć w sformułowanym zadaniu ograniczenie przemieszczeniowe jest nieliniową funkcją zmiennych decyzyjnych), w linii Algorithm wybrać opcję Active set, strona12z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 13 of 16 w linii Objective function wpisać@bar4truss(nazwa pliku zawierającego funkcję celu poprzedzona znakiem at ), wliniistartpointwpisać[1.01.01.01.0];podaneliczbysądobrane dowolnie i oznaczają wartości początkowe zmiennych decyzyjnych, które są przyjmowane jako startowe do algorytmu optymalizacyjnego. Oczywiście liczba podanych wartości musi odpowiadać liczbie zmiennych decyzyjnych zadania, polaa,b,aeq,beq,lower,uppersłużądodefiniowanialiniowychograniczeńnierównościowych.wpolulowerwpisać[0000] sątodolne, Rysunek 4. Okno modułu optymalizacyjnego Optimization Tool programu Matlab strona13z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 14 of 16 dopuszczalne wartości zmiennych decyzyjnych. Pole Upper, jak i pozostałe pozostawić puste, w linii Nonlinear constraint function wpisać nazwę pliku zawierającego nieliniowe ograniczenia nierównościowe tj.@bar4constraints(poprzedzoną znakiem at ), w części Options prawa strona okna modułu optimtool odnaleźć zakładkę Plot functions, w której zaznaczyć opcje Current point, Max constraint oraz Function value. Ponadto w zakładce Display to command window wybrać opcje final with detailed message, Prawidłowo wypełnione okno powinno wyglądać jak na rysunku 4. 3.3. Rozwiązanie zadania Uruchomić obliczenia naciskając przycisk Run. Jeśli nie popełniono żadnych błędów, powinno pojawić się nowe okno Optimization PlotFcnc. W oknie tym powinny pojawiać się aktualne wartości zmiennych decyzyjnych w kolejnych krokach iteracyjnych, bieżąca wartość funkcji celu a także stopień naruszenia przyjętych ograniczeń zadania przez bieżące rozwiązanie(nieoptymalne), po zakończeniu procesu optymalizacji odczytać z obszaru Run solver and view results okna Optimization Tool wartości optymalne zmiennych decyzyjnych oraz wartość funkcji celu. Dane te, a także szereg innych, dodatkowych parametrów, są podawane także w głównym oknie Command window programu Matlab, powtórzyć obliczenia optymalizacyjne dla różnych punktów startowych algorytmu optymalizacyjnego. Wykonać kilka symulacji celem sprawdzenia, czy wybór punktu początkowego algorytmu ma wpływ na uzyskiwane rozwiązanie. Wyniki zanotować w Tabeli 2. Ocenić przebieg zmian wartości funkcji celu w kolejnych krokach iteracyjnych, a także zmian wartości funkcji ograniczeń. 4. OPRACOWANIE WYNIKÓW Opracowując wyniki ćwiczenia należy: strona14z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 15 of 16 Uzupełnić tabelę z wartościami sił prętowych Tabela 1. Tabela 1. Wartości sił w prętach rozważanej kratownicy Siła: N 1 N 2 N 3 N 4 [N] Zapisać równanie równowagi konstrukcji w postaci(17) oraz wyznaczone przez program Matlab zależności na składowe przemieszczeń węzłów kratownicy(paragraf 3.1). Uzupełnić tabelę z wartościami zmiennych decyzyjnych wyznaczonymi w trakcie kolejnych uruchomień algorytmu optymalizacyjnego dla różnych punktów startowych Tabela 2. Wydrukować wykresy przebiegu wartości funkcji celu oraz naruszenia funkcji ograniczeń w kolejnych krokach iteracyjnych dla jednego z analizowanych zestawów zmiennych startowych. Tabela 2. Wyznaczone rozwiązanie zadania optymalizacyjnego dla różnych wartości zmiennych startowych obliczeń Lp. Wartościstartowe[mm 2 ] Wartościkońcowe[mm 2 ] f(x ) x 01 x 02 x 03 x 04 x 1 x 2 x 3 x 4 [kg] 1.... 5. SPRAWOZDANIE Sprawozdanie z realizacji ćwiczenia powinno zawierać: 1. Tabelkę identyfikacyjną grupy wykonującej. 2. Cel ćwiczenia. 3. Schemat analizowanej kratownicy. 4. Tabelę wyznaczonych wartości sił prętowych. strona15z16
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 16 of 16 Tabela3.Wyznaczonerozwiązanieoptymalnex kratownicyczteroelementowej Zmienna[mm 2 ] x 1 x 2 x 3 x 4 f(x 1,x 2,x 3,x 4 )[kg] 5. Równanie równowagi konstrukcji w postaci(17) oraz jego ostateczne rozwiązanie. 6. Sformułowanie zadania optymalizacji. 7. Zestawienie wyników końcowych według wzoru Tabeli 3. 8. Wykresy przebiegu wartości funkcji celu oraz naruszenia funkcji ograniczeń w kolejnych krokach iteracyjnych. 9. Wnioski końcowe. strona16z16