Optymalizacja systemów
|
|
- Antoni Wojciechowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Optymalizacja systemów Laboratorium Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania binarnego. Rozwiązanie należy zaimplementować w środowisku MATLAB z użyciem funkcji z pakietu do optymalizacji. Zasady Sudoku Sudoku jest to łamigłówka polegająca na wypełnieniu kwadratowej planszy o wymiarach 9 9 liczbami od 1 do 9, gdzie część liczb została już wpisana. Przy czym w każdej kolumnie, każdym wierszu oraz w każdej komórce o wymiarach 3 3 (patrz rysunek 1) żadna z liczb od 1 do 9 nie może się powtarzać. Poniżej przedstawiono planszę do Sudoku, gdzie ponumerowano kolumny, wiersze oraz komórki 3 3. Rysunek 1: Plansza do Sudoku. Problem Sudoku jako programowanie binarne Niech X oznacza trójwymiarowy tensor o wymiarach 9 9 9, gdzie każdy jego element przyjmuje jedynie binarne wartości, tj. x ijk {0, 1}. Przyjmijmy konwencję, że jeśli, to znaczy, że w i-tym wierszu i j-tej kolumnie na planszy stoi cyfra k. Ponadto załóżmy, że I oznacza zbiór trójek (i, j, k) informujących o tym, że w i-tym wierszu i j-tej kolumnie została na stałe wpisana cyfra k. 1
2 Wtedy problem Sudoku można przedstawić jako następujący problem programowania binarnego: minimalizuj (po X) 0 przy ograniczeniach: i,k j=1 j,k i=1 u,v {0,3,6} k 3 3 x i+u,j+v,k = 1 i=1 j=1 i,j k=1 (i,j,k) I Problem programowania binarnego można rozwiązać z użyciem algorytmu Branch & Bound, który omówiony zostanie w trakcie zajęć. Dla problemu programowania binarnego domyślnie można go wywołać poprzez użycie komendy: [x val flag] = bintprog(f,[],[],a,b). lub [x val flag] = intlinprog(f,1:numvars,a,b) Wybór funkcji determinowany jest tutaj wersją środowiska Matlab. Funkcja intlinprog została wprowadzona w wersji 2014a i wymaga podania dodatkowego argumentu, określającego indeksy zmiennych optymalizowanych z dziedzinie liczb całkowitych. Wywołanie tego algorytmu należy zaimplementować w pliku solve sudoku.m. Ograniczenia równościowe muszą być podane do algorytmu w formie macierzowej Ax = b, gdzie x jest wektorem zmiennych decyzyjnych utworzonym z trójwymiarowego tensora X. Trójwymiarowy tensor można zamienić na wektor kolumnowy stosując w Matlabie następujące polecenie: x = X(:). Każde z ograniczeń (wiersze w macierzy A) złożone jest wyłącznie z zer i jedynek, gdzie jedynka pojawia się wtedy, jeśli odpowiadająca jej zmienna decyzyjna w x jest sumowana w danym ograniczeniu. Dlatego ograniczenia łatwiej jest tworzyć jako trójwymiarowe tensory analogiczne do X, a następnie zamieniać je na wiersze macierzy A, stosując wyżej wspomniane polecenie. Poniżej omówiono wszystkie ograniczenia w modelu. 1. Pierwszy zestaw ograniczeń gwarantuje, że w każdym wierszu każda cyfra stoi dokładnie raz. Ograniczenia należy zaimplementować w pliku row const.m. Aby automatyczny walidator 2
3 zadziałał, ograniczenia należy wprowadzić w kolejności numerowania wierszy (rysunek 1), gdzie dla każdego wiersza należy wprowadzić 9 ograniczeń odpowiadających kolejno cyfrom 2. Drugi zestaw ograniczeń gwarantuje, że w każdej kolumnie każda cyfra stoi dokładnie raz. Ograniczenia należy zaimplementować w pliku column const.m. Aby automatyczny walidator zadziałał, ograniczenia należy wprowadzić w kolejności numerowania kolumn (rysunek 1), gdzie dla każdej kolumny należy wprowadzić 9 ograniczeń odpowiadających kolejno cyfrom 3. Trzeci zestaw ograniczeń gwarantuje, że w każdej komórce 3 3 każda cyfra stoi dokładnie raz. Ograniczenia należy zaimplementować w pliku cell const.m. Aby automatyczny walidator zadziałał, ograniczenia należy wprowadzić w kolejności numerowania komórek (rysunek 1), gdzie dla każdej komórki należy wprowadzić 9 ograniczeń odpowiadających kolejno cyfrom 4. Czwarty zestaw ograniczeń gwarantuje, że każdemu polu na planszy przypisana jest dokładnie jedna cyfra. Ograniczenia należy zaimplementować w pliku unique const.m. Aby automatyczny walidator zadziałał, ograniczenia należy wprowadzić w kolejności numerowania wierszy (rysunek 1), gdzie dla każdego wiersza należy wprowadzić 9 ograniczeń odpowiadających kolejnym polom w tym wierszu zgodnie z numeracją kolumn. 5. Ostatni zestaw ograniczeń gwarantuje, że w początkowo wypełnionych polach będą stały odpowiednie cyfry. Ograniczenia należy zaimplementować w pliku initial const.m. Aby automatyczny walidator zadziałał, ograniczenia należy wprowadzić w kolejności ich występowania w macierzy I, która jest argumentem tej funkcji. Na rysunku 2 przedstawiono przykładowe Sudoku przed i po rozwiązaniu przy pomocy programu. Zadanie do wykonania (5 pkt.) Po zaprezentowaniu działającego programu, prowadzący zadaje do kilku pytań kontrolnych mających na celu sprawdzenie poziomu zrozumienia zaimplementowanego w zadaniu kodu. Punkty są przyznawane wyłącznie na podstawie udzielonych odpowiedzi, co oznacza że samo zaimplementowanie kodu, bez jego zrozumienia, nie gwarantuje uzyskania punktów. 1. Wprowadzić własną macierz I inicjalizującą planszę do Sudoku w pliku my sudoku.m. 2. Zaimplementować wyliczenie ograniczeń na wiersze w pliku row const.m. 3
4 3. Zaimplementować wyliczenie ograniczeń na kolumny w pliku column const.m. 4. Zaimplementować wyliczenie ograniczeń na komórki w pliku cell const.m. 5. Zaimplementować wyliczenie ograniczeń na unikalność cyfr w polu w pliku unique const.m. 6. Zaimplementować wyliczenie ograniczeń na przypisanie początkowych pól w pliku initial const.m. 7. Zaimplementować rozwiązanie problemu Sudoku z użyciem programowania binarnego w pliku solve sudoku.m. UWAGA! Wszelkie nazwy funkcji i zmiennych w plikach *.m muszą pozostać zachowane. Zmiana jakichkolwiek nazw i dodanie fragmentów kodu poza wskazanymi miejscami skutkować będzie otrzymaniem 0 pkt. Rysunek 2: Plansza początkowa i rozwiązane Sudoku. Pytania kontrolne (5 pkt.) Prowadzący zadaje do kilku pytań kontrolnych osobie oddającej zadanie. Lista przykładowych pytań: 1. Co to jest problem programowania binarnego? Czym różni się on od problemu programowania liniowego? 2. Jaka jest interpretacja tensora zmiennych decyzyjnych X w powyższym zadaniu? Dlaczego jest on trójwymiarowy? 4
5 3. Ile jest binarnych zmiennych decyzyjnych w powyższym zadaniu? Oszacuj ile czasu zajęłoby zastosowanie przeglądu zupełnego (sprawdzenie wszystkich kombinacji zmiennych decyzyjnych) do znalezienia optymalnego rozwiązania. 4. Wytłumacz w jaki sposób zagwarantowane jest, że w każdym wierszu/kolumnie/komórce znajdą się różne cyfry. Które ograniczenia to zapewniają? Ile jest tych ograniczeń? 5. Wytłumacz do czego służy czwarty zestaw ograniczeń. Co mogłoby się stać z rozwiązaniem problemu, jeśli usunęlibyśmy te ograniczenia? 6. Wytłumacz w jaki sposób ustawia się początkowe pola tak, by pozostały one niezmienione w końcowym rozwiązaniu? Które ograniczenia to zapewniają? Ile jest tych ograniczeń? 7. Podaj ogólną ideę działania algorytmu Branch & Bound. Do jakich problemów się go stosuje? Czy algorytm znajduje zawsze rozwiązanie optymalne? 8. Co to jest relaksacja do problemu programowania liniowego? Po co się ją wykonuje w algorytmie Branch & Bound? Jaka jest relacja pomiędzy optymalnymi wartościami funkcji celu w problemie wyjściowym i zrelaksowanym? 9. Czy do sformułowanego w zadaniu problemu Sudoku da się bezpośrednio zastosować algorytm Interior-Point? Odpowiedź uzasadnij. 10. Dlaczego jeśli zmniejszymy liczbę początkowo wprowadzonych wartości do zbioru I, to czas rozwiązania istotnie się wydłuży? 5
Optymalizacja systemów
Optymalizacja systemów Laboratorium Zadanie nr 3 Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania
Bardziej szczegółowoOptymalizacja systemów
Optymalizacja systemów Laboratorium - problem detekcji twarzy autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak, S. Zaręba, P. Klukowski Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z gradientowymi algorytmami optymalizacji
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab
LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI Wprowadzenie do środowiska Matlab 1. Podstawowe informacje Przedstawione poniżej informacje maja wprowadzić i zapoznać ze środowiskiem
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium MATLAB Zadanie nr 1 Regresja liniowa autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z liniowym zadaniem najmniejszych
Bardziej szczegółowoPrzykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego
Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie
Bardziej szczegółowo//warunki początkowe m=500; T=30; c=0.4; t=linspace(0,t,m); y0=[-2.5;2.5];
4.3. Przykłady wykorzystania funkcji bibliotecznych 73 MATLAB % definiowanie funkcji function [dx]=vderpol(t,y) global c; dx=[y(2); c*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; SCILAB // definiowanie układu function [f]=vderpol(t,y,c)
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium Zadanie nr 3 Osada autor: A Gonczarek Celem poniższego zadania jest zrealizowanie fragmentu komputerowego przeciwnika w grze strategiczno-ekonomicznej
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium MATLAB Zadanie nr 2 Detekcja twarzy autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się algorytmem gradientu prostego
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Zastosowanie Matlab a... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Zagadnienie standardowe... 3 1.3 Zagadnienie transportowe... 5 1 Zastosowanie Matlab a Anna Tomkowska [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Bardziej szczegółowoZad. 3: Układ równań liniowych
1 Cel ćwiczenia Zad. 3: Układ równań liniowych Wykształcenie umiejętności modelowania kluczowych dla danego problemu pojęć. Definiowanie właściwego interfejsu klasy. Zwrócenie uwagi na dobór odpowiednich
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoW powyższym kodzie utworzono wyliczenie dni tygodnia.
Typ wyliczeniowy (zwane również enumeration lub enum) jest to typ danych składający się z zestawu nazwanych wartości. Do zmiennej, która została zadeklarowana jako typ wyliczeniowy może być przypisane
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011 Fordoński
Bardziej szczegółowoNiezwykłe tablice Poznane typy danych pozwalają przechowywać pojedyncze liczby. Dzięki tablicom zgromadzimy wiele wartości w jednym miejscu.
Część XIX C++ w Każda poznana do tej pory zmienna może przechowywać jedną liczbę. Jeśli zaczniemy pisać bardziej rozbudowane programy, okaże się to niewystarczające. Warto więc poznać zmienne, które mogą
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Struktury i Algorytmy Wspomagania Decyzji Zapoznanie z narzędziami optymalizacyjnymi w środowisku MATLAB
Bardziej szczegółowoAlgorytmy sztucznej inteligencji
www.math.uni.lodz.pl/ radmat Przeszukiwanie z ograniczeniami Zagadnienie przeszukiwania z ograniczeniami stanowi grupę problemów przeszukiwania w przestrzeni stanów, które składa się ze: 1 skończonego
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoTablice mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2011
Tablice mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2011 Załóżmy, że uprawiamy jogging i chcemy monitorować swoje postępy. W tym celu napiszemy program, który zlicza, ile czasu
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium MATLAB Zadanie nr 2 κ-nn i Naive Bayes autorzy: M. Zięba, J.M. Tomczak, A. Gonczarek, S. Zaręba Cel zadania Celem zadania jest implementacja klasyfikatorów
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoRobert Susmaga. Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań
... Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7 Wyłączenie odpowiedzialności
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA DYSKRETNA
Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowo[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)
. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoRozpoznawanie obrazów
Rozpoznawanie obrazów Laboratorium Python Zadanie nr 1 Regresja liniowa autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak, S. Zaręba, M. Zięba, J. Kaczmar Cel zadania Celem zadania jest implementacja liniowego zadania
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoTablice. Jones Stygar na tropie zmiennych
Tablice Jones Stygar na tropie zmiennych Czym jest tablica? Obecnie praktycznie wszystkie języki programowania obsługują tablice. W matematyce odpowiednikiem tablicy jednowymiarowej jest ciąg (lub wektor),
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoProgramowanie obiektowe
Laboratorium z przedmiotu Programowanie obiektowe - zestaw 08 Cel zajęć. Celem zajęć jest zapoznanie z praktycznymi aspektami powiązania modelu obiektowego z modelem okienkowym w C#. Wprowadzenie teoretyczne.
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x
Bardziej szczegółowo04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A =
04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia 1. Wstęp Środowisko Matlab można z powodzeniem wykorzystać do rozwiązywania układów równań z wykorzystaniem rozkładów macierzy m.in. Rozkładu Choleskiego,
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel
Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoUkład równań liniowych
Układ równań liniowych 1 Cel zadania Wykształcenie umiejętności projektowania własnych klas modelujących pojęcia niezbędne do rozwiązania postawionego problemu. Rozwinięcie umiejętności przeciążania operatorów
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoŁączenie liczb i tekstu.
Łączenie liczb i tekstu. 1 (Pobrane z slow7.pl) Rozpoczynamy od sposobu pierwszego. Mamy arkusz przedstawiony na rysunku poniżej w którym zostały zawarte wypłaty pracowników z wykonanym podsumowaniem.
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji
Bardziej szczegółowoLaboratorium technik optymalizacji: układanie uniwersyteckiego planu zajęć
Laboratorium technik optymalizacji: układanie uniwersyteckiego planu zajęć Marek Kubiak Opis problemu Rozważany problem układania uniwersyteckiego planu zajęć (ang. University Course Timetabling Problem
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium MATLAB Zadanie nr 3 Detekcja twarzy autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak, S. Zaręba, M. Zięba Cel zadania Celem zadania jest zaimplementowanie algorytmów
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji
Bardziej szczegółowoMetody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
Bardziej szczegółowoAlgorytm grupowania danych typu kwantyzacji wektorów
Algorytm grupowania danych typu kwantyzacji wektorów Wstęp Definicja problemu: Typowe, problemem często spotykanym w zagadnieniach eksploracji danych (ang. data mining) jest zagadnienie grupowania danych
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1
Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoProgramowanie i techniki algorytmiczne
Temat 2. Programowanie i techniki algorytmiczne Realizacja podstawy programowej 1) wyjaśnia pojęcie algorytmu, podaje odpowiednie przykłady algorytmów rozwiązywania różnych 2) formułuje ścisły opis prostej
Bardziej szczegółowoEkonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej
Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Mathcada 1
Wprowadzenie do Mathcada Ćwiczenie. - Badanie zmienności funkcji kwadratowej Ćwiczenie. pokazuje krok po kroku tworzenie prostego dokumentu w Mathcadzie. Dokument ten składa się z następujących elementów:.
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoETAP III wojewódzki 16 marca 2019 r.
oraz klas trzecich oddziałów gimnazjalnych prowadzonych w szkołach innego typu Liczba punktów możliwych do uzyskania: 40 ETAP III wojewódzki 16 marca 2019 r. Zasady ogólne: 1. Za każde poprawne rozwiązanie
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metod Optymalizacji
Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena
Bardziej szczegółowoAlgorytmy sortujące i wyszukujące
Algorytmy sortujące i wyszukujące Zadaniem algorytmów sortujących jest ułożenie elementów danego zbioru w ściśle określonej kolejności. Najczęściej wykorzystywany jest porządek numeryczny lub leksykograficzny.
Bardziej szczegółowoMETODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z
Bardziej szczegółowoProgramowanie w Baltie klasa VII
Programowanie w Baltie klasa VII Zadania z podręcznika strona 127 i 128 Zadanie 1/127 Zadanie 2/127 Zadanie 3/127 Zadanie 4/127 Zadanie 5/127 Zadanie 6/127 Ten sposób pisania programu nie ma sensu!!!.
Bardziej szczegółowoMATLAB - laboratorium nr 1 wektory i macierze
MATLAB - laboratorium nr 1 wektory i macierze 1. a. Małe i wielkie litery nie są równoważne (MATLAB rozróżnia wielkość liter). b. Wpisanie nazwy zmiennej spowoduje wyświetlenie jej aktualnej wartości na
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 1. WSTĘP DO
Bardziej szczegółowoMATLAB tworzenie własnych funkcji
MATLAB tworzenie własnych funkcji Definiowanie funkcji anonimowych Własne definicje funkcji możemy tworzyć bezpośrednio w Command Window, są to tzw. funkcje anonimowe; dla funkcji jednej zmiennej składnia
Bardziej szczegółowoZadanie Wstaw wykres i dokonaj jego edycji dla poniższych danych. 8a 3,54 8b 5,25 8c 4,21 8d 4,85
Zadanie Wstaw wykres i dokonaj jego edycji dla poniższych danych Klasa Średnia 8a 3,54 8b 5,25 8c 4,21 8d 4,85 Do wstawienia wykresu w edytorze tekstu nie potrzebujemy mieć wykonanej tabeli jest ona tylko
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu
Bardziej szczegółowoInstrukcja obsługi Nowego Punktatora
Instrukcja obsługi Nowego Punktatora Nowy Punktator jest niezbędnym narzędziem do wygenerowania ankiety okresowej oceny wyników pracy nauczycieli akademickich, wynikającej z art. 132 ustawy z dnia 27 lipca
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe
Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym
Bardziej szczegółowoI. Podstawy języka C powtórka
I. Podstawy języka C powtórka Zadanie 1. Utwórz zmienne a = 730 (typu int), b = 106 (typu long long), c = 123.45 (typu double) Wypisz następujące komunikaty: Dane sa liczby: a = 730, b = 106 i c = 123.45.
Bardziej szczegółowoPętle iteracyjne i decyzyjne
Pętle iteracyjne i decyzyjne. Pętla iteracyjna for Pętlę iteracyjną for stosuje się do wykonywania wyrażeń lub ich grup określoną liczbę razy. Licznik pętli w pakiecie MatLab może być zwiększany bądź zmniejszany
Bardziej szczegółowo