Optymalne rozmeszzane wsotyznyh tłumów Roman Lewandows, Bartosz Choryzews Autorzy pragn wyraz podzowane swom udentom: Anne Chorowse, Anne Zelone, Bartoszow Dbrowsemu, Tomaszow Terleemu Mar Lewandowse Szymonow Staszaow, tórzy wyonal z oblze nezbdnyh do przeprowadzena w trae przygotowana nneszego opraowana Pozna, zerwe 8
Ops zadana optymalza Celem prezentowanego zadana e optymalzaa połoena tłumów wsotyznyh rozmeszzonyh na dzesoondygnayne onru ramowe Na onru naley ume tłumów o zadanyh współzynnah tłumena parametrah on przy zym na edne ondygna moe s znale la tłumów Jao model rozpatrywane onru przyto ram nan Konrua e obona słam wywołanym wymuszenem nematyznym (słam wywołanym trzsenem zem lub słam parasesmznym) Oblzena wyonano przymu la ryterów optymalza Kryterum Tłum naley rozme ta, aby bezwymarowy współzynn tłumena poa był masymalny, tzn aby funonał o poa: I, () osgał warto masymaln We wzorze () symbolem γ oznazono bezwymarowy współzynn tłumena poa Kryterum Tłum naley rozme ta, aby suma bezwymarowyh współzynnów tłumena wszyh poa pomnoonyh przez odpowedne współzynn wagowe była masymalna, tzn, aby funonał o poa: I n α γ, () osgał warto masymaln We wzorze () symbole α, γ oznaza odpowedno współzynn wagowy bezwymarowy współzynn tłumena poa o numerze Współzynn wagowe przyto ta, aby: warant a) orelały wzgldny udzał poszzególnyh poa we wzorze na przemeszzene ropu oatne ondygna, (Zelona Terle oraz Lewandowsa Stasza) warant b) orelały wzgldny udzał poszzególnyh poa we wzorze na sł poprzezn w słupe nansze ondygna (Chorowsa Dbrows) Nezalene od przytego ryterum optymalzaynego pownny by spełnone napue ogranzena: a) suma współzynnów tłumena tłumów rozmeszzanyh na rame e ała, b) spełnone s warun wynae z równa ruhu onru Równana ruhu ramy nane bez zanalowanyh tłumów Pod poem rama nana rozume s onru ramow spełna napue zało- ena []: rygle ramy s nesozene sztywne, słupy s newae, a masa ramy e sonentrowana na pozome ropów, prty ramy s neodształalne osowo, rama e obona słam pozomym Jedynym opnam dynamzne swobody ramy nane s przemeszzena pozome rygl Shemat oblzenowy omawane ramy poazano na rys
Rys Shemat oblzenowy ramy nane Równane ruhu ramy nane bez zanalowanyh tłumów mona zapsa w poa []: M q ( t) + C q ( t) + K q( t) P( t), (3) gdze M e maerz mas, K e maerz sztywno, C maerz tłumena, q(t) wetorem przemeszze dynamznyh onru, a P (t) wetorem sł wymuszayh Krop oznazono pohodn wzgldem zasu t Dla potrzeb rozpatrywanego problemu optymalza wygodne bdze zapsane równana ruhu () za pomo tzw zmennyh anu W tym elu do równana (3) dopsue s równane (4), a równane (3) zapsue s w sposób napuy: q ( t) q ( t) + I q ( t), (4) q ( t) M K q( t) M C q ( t) + M P( t), (5) gdze I e maerz ednoow Po wyprowadzenu wetor anu zdefnowanego wzorem (6): q( t) z( t), (6) q ( t) równana (4) (5) mona sprowadz do poa: ~ z ( t) A z( t) + P( t), (7) gdze ~ I P ( t), A (8) P( t) M K M C Łatwo sprawdz (porówna []), e w omawanym przypadu maerze mas sztywno ma poa: [ M,M ] dag,,m n, (9) M 3
4 + + + + n n - 4 4 3 3 3 3 K, () gdze M e mas ptra o numerze, n e lo pter ramy, sztywno ondygna o numerze W przypadu ramy ednoprzsłowe sztywno ondygna o numerze oblza s ze wzoru: 3 4 l EI () gdze symbolem l oznaza s wysoo ondygna o numerze, a symbolem EI sztywno na zgnane słupa tee ondygna Przyto, e sły tłumena ramy ma harater sł wsotyznyh Załoono, e elementy maerz tłumena C s zadane, a maerz tłumena ma napu rutur: + + + + n n 4 4 3 3 3 3 C C, () gdze symbolem oznazono współzynn tłumena sły tłumena dzałae na ondygna o numerze, (,,,n) W dalszym gu załada s, e rama e obona słam wywoływanym trzsenem zem lub słam parasesmznym Sły wymuszae opsywane s wzorem (porówna []): ) ( ) ( t q t P M e, (3) gdze ) ( q t e przyspeszenem podawy ramy, a ) ol(,,,, e 3 Równana ruhu ramy nane z zanalowanym tłumam Shemat oblzenowy ramy z zanalowanym tłumam poazano na rys Na rys 3 poazano natoma shematyzne budow tłuma W omawanyh pon- e oblzenah załoono, e tłum e tłumem wsotyznym Sł tłumena w tam tłumu mona wyznazy ze wzoru: x f t, (4) gdze e współzynnem tłumena, a x e prdo wzgldnego przemeszzena tłoa tłuma wzgldem ego obudowy
Rys Shemat oblzenowy ramy nane z zanalowanym tłumam Rys 3 Shemat tłuma Psz równana ruhu ramy nane z wsotyznym tłumam załoono ponadto, e elementy łze tłum z ram (zarzały) ma nesozene du sztywno Równane ruhu ramy nane z zanalowanym tłumam mona tae zapsa w poa []: M q ( t) + C q ( t) + K q( t) P( t) (5) Równana (3) (5) rón s tylo maerz tłumena Sły tłumena s w omawanym przypadu sum sł tłumena onru C q(t ) sł tłumena wywoływanyh przez tłum Te oatne sły mona przedaw w poa C q(t t ) wobe tego maerz tłumena wypua w równanu (5) moe by zapsana w poa: C C + C t (6) Na maerz C t słada s współzynn tłumena poszzególnyh tłumów umeszzonyh na onru Mona zapsa w poa: m C C, (7) t t 5
gdze C t e maerz tłumena uwzgldna wpływ tłuma o numerze Jeel tłum o numerze e umeszzony na ondygna to maerz ta ma poa: C t olumny wersz wersz, (8) gdze symbolem oznazono współzynn tłumena tłuma o numerze Na rys współzynn ten opsano symbolem d Jeel tłum s umeszzone w uonyh zarzałah to nezerowe elementy maerzy C t lzy s w sposób opsany w [] 4 Współzynn wagowe Współzynn wagowy α e równy współzynnow udzału poa o numerze w wyraenu na welo δ harateryzu zahowane onru (np przemeszzene wybranego puntu) Współzynn ten defnue s w napuy sposób (patrz praa []): δ α, (9) δ gdze δ e warto welo harateryzue zahowane onru poddane dzałanu sł atyznyh opsanyh wzorem gdze e ol(,,,, ), a słam: P M e, () δ e welo harateryzu zahowane ramy obone P ε M a () We wzorze () symbolem ε oznazono welo dan wzorem: a M I ε, () a Ma T T gdze a e wetorem poa własnyh, netłumonyh o numerze, spełnaym równane ( K ω M) a (3) Zdefnowane w ten sposób współzynn wagowe ma napue ehy: a) s bezwymarowe, b) ne zale od sposobu normowana wetorów poa a, ) suma wszyh współzynnów wagowyh e równa edno, tzn 6
n α (4) Neh welo harateryzu zahowane ramy bdze przemeszzene e werzhoła Wtedy δ qn, gdze q n e n-tym elementem wetora q wyznazanym z równana aty o poa: Welo Wetor K q Me (5) δ naley teraz nterpretowa ao n-ty element wetora q e rozwzanem napuego równana aty: K q gdze symbolem ε oznazono welo opsana wzorem () Z porównana wzorów (5) (6) wyna, e q (tzn δ q ) ε M a, (6) n q n q a współzynn wagowe da s wyraz wzorem: n n, (7) qn α n, (8) q gdze,,,n Jeel welo harateryzu zahowane onru e sła poprzezna w słupe perwsze ondygna Q to rozumu w podobny sposób do opsanego powye mona napsa: Q Q α, (9) Q n Q gdze Q Q to sły poprzezne w słupe ondygna ramy obone odpowedno s- łam P M e P ε M a W [3] wyazano, e wzór (9) mona przeształ do poa: g α n, (3) g gdze n ε Ma ε M a, g wetora a, tzn wetora poa o numerze M e mas -te ondygna, a n a -tym elementem 5 Wyznazane bezwymarowyh współzynnów tłumena zo własnyh tłumonyh ramy nane Rozwzanem równana ruhu (7) przy załoenu, e P ~ ( t ) e z ( t ) exp( λt), (3) 7
gdze e neznanym parametrem (warto własn), a neznanym wetorem (wetorem własnym) Po podawenu (3) do (7) otrzymue s maerzowe równane algebrazne o poa: ( A λ I) (3) Równane (3) e lnowym problemem własnym W ogólno ma ono n rozwza, gdze n e lzb opn dynamzne swobody uładu Po ego rozwzanu mamy n warto- wetorów własnyh, tóre dale oznazane bd symbolam, (,,,n) W ogólno warto własne s lzbam zespolonym, sprzonym, lub lzbam rzezywym Jeel s lzbam zespolonym to da s zapsa w poa: µ + η n + µ η, (33) gdze symbol oznaza edno uroon Poa zo poa własnyh, tłumonyh uładu o welu opnah swobody oraz zwzane z tym bezwymarowe współzynn tłumena zoały zdefnowane, mdzy nnym w pray [] Czo własnyh, tłumonyh bezwymarowego współzynna tłumena oblza s w róny sposób zalene od tego zy warto własne problemu (3) s lzbam zespolonym zy te lzbam rzezywym Dla uładu o ednym opnu swobody wyonuego na swobodne, podrytyzne tłumone mona napsa napue relae mdzy wartoam własnym równana harateryyznego, a zo własnyh tłumonyh bezwymarowym współzynnem tłumena (porówna []): +, (34) Jeel warto własne + n s lzbam zespolonym, sprzonym to przez analog z uładem o ednym opnu swobody mona napsa równana (patrz []): + +, (35) a welo + n, (36), nterpolowa odpowedno ao modalne (bezwymarowe) współzynn tłumena zo własnyh tłumonyh Mona napsa napuy uład równa ze wzgldu na, : + +, (37) (38) Po rozwzanu tyh równa otrzymue s: ; + (39) Needy warto własne s lzbam rzezywym Wypue wtedy tzw tłumene nadrytyzne poa tłumonyh o numerze W tah przypadah orzyamy z nnyh wzorów Równana (37) (38) przym teraz poa: +, (4) 8
(4) + n Z powyszyh równa wyna, e + n, + + n (4) 6 Ops zaosowane proedury optymalzayne Na wpe wyznazono zo poae własnyh ramy metod lasyzn, tzn poma w równanu ruhu sły tłumena Napne wyznazono zo własnyh bezwymarowe współzynn tłumena ramy bez tłumów, ale z uwzgldnenem wławo tłumyh ramy Maerz tłumena mała w tym przypadu poa dan wzorem () Wyonano równe oblzena zo bezwymarowyh współzynnów tłumena ramy z równomerne rozmeszzonym tłumam W tym przypadu na ade ondygna e umeszzony tłum Po wyonanu tyh oblze przypono do oblze zmerzayh do orelena optymalnego (w sense przytyh ryterów) rozmeszzena tłumów na onru Do rozwzana zadana optymalzaynego uyto metody tzw optymalza sewenyne opsane w pray [3] Je to proedura heuryyzna Ogólne rzez bor polega ona na umeszzanu w optymalnym mesu ednego tłuma za pomo pewnego popowana reurenynego przy załoenu, e ne zmena s uawena tłumów uprzedno u uawonyh Ne ma formalnego dowodu, e uzysana w ten sposób onfguraa tłumów bdze onfgura optymaln Opsana proedura optymalzayna e edna zo osowana Słada s ona z lu opsanyh pone roów Załómy, e w wynu dotyhzasowyh oblze ualono pozye r- tłumów Optymalne uawene tłuma o numerze r wymaga wyonana napuyh zynno: Kro : Wyznazy zo własnyh bezwymarowe współzynn tłumena przy załoenu, e tłum zoał umeszzony na ondygna Oblzy dla tego uawena warto fun elu Kro : Powtórzy oblzena wyonane w rou dla wszyh molwyh połoe tłumów Kro 3: Jao optymalne połoene tłuma o numerze r wybra to połoene, dla tórego warto fun elu e masymalna Kro 4: Jeel wszye tłum zoały rozmeszzone na rame to zaozy oblzena W przewnym wypadu wró do rou przyp do optymalnego uawana tłuma o numerze r+ Ne ma formalnego dowodu, e omawana proedura prowadz do wyznazena rozwzana optymalnego W szeregu zadanah udało s edna uzysa rozwzana w sposób otny lepsze od rozwza przymowanyh ntuyne lub na podawe dowadzena nynersego 9
7 Zeawene danyh przytyh do oblze Oblzena wyonywane s dla ramy dzesoondygnayne opsane w pray [4] Masy wszyh pter s ednaowe wynosz M M M 7, g Sztywno pter s róne wynosz: 687, N / m, 54, N / m, 5 6 9 3 4 7 8 47, N / m, 866, N / m, 645, N / m Do oblze przy napue warto współzynnów tłumena opsue wławo- tłume onru: 4,76 Ns / m, 3,73 Ns / m, 5 6 9 3 4 7 8,9 Ns / m,,98 Ns / m,,44 Ns / m Na onru rozmeszzano tłumów wsotyznyh Wszye tłum ma dentyzne współzynn tłumena o warto t 5, Ns / m 8 Wyn oblze 8 Czo poae własnyh, netłumonyh Czo poae własnyh, netłumonyh wyznazono rozwzu równane ( K ω M) a (43) Po wyonanu osownyh oblze otrzymano napue zo własnyh: ω,69 rad / se, ω 56,535 rad / se, ω 9,99 3 rad / se, ω 7,47 rad / se, 4 ω 5,769 5 rad / se, ω 8,4 rad / se, 6 ω 8,638 7 rad / se, ω 45,47 rad / se, 8 ω 8,55 9 rad / se, ω 34,5 rad / se Otrzymano równe napue wetory własne (wetory poa ): wetor własny wetor własny a ol(,836;,579369; a 3 wetor własny a 4 wetor własny 3 ol(,765;,66875;,98;,6597;,77763;,39457;,4333;,9974;,6734;,89839;,58455;,363498;,9354;,7875;,477467;,),74477;,4487;,59784;,) ol(,388356;,677879;,86737;,77936;,63;,;,59465;,9448)
a 4 ol(,5794;,865385;,69855; 96635;,753;,;,93;,8475;,9736; 8887) 5 wetor własny a 6 wetor własny a 5 6 ol(,34479;,473;,7587;,5;,4768;,89898;,54635;,37744;,;,56737) ol(,755999;,75457;,973;,9678; 38364;,789474;,5476;,;,533989;,67577) 7 wetor własny a 7 ol(,5663;,348843;,433843;,49733;,48469;,4645;,;,7754;,49;,4943) 8 wetor własny a 8 ol(,64539;,6439;,78544;,78;,94447;,;,58978;,937;,3536;,5389) 9 wetor własny a9 ol(,74393;,76984;,6968;,;,355853;,83;,585;,39; wetor własny a,77;,356) ol(,8594;,;,65937;,33458;,7;,34967;,6455;,83,,97;,8) 8 Czo własnyh tłumonyh bezwymarowe współzynn tłumena ramy bez tłumów Czo własnyh tłumonyh bezwymarowe współzynn tłumena wyznazono rozwzu lnowy problem własny (3) orzya ze wzorów (39) Maerz tłumena C C uwzgldna wławo tłume onru e oblzana ze wzoru () Po rozwzanu problemu własnego (3) oazało s, e wszye warto własne lzbam zespolonym, param sprzonym Otrzymano napue wyn:,869,69,,34 56,5348,,,,335 9,987,,6477 7,47, 3,3 4,4,99337 5,766,,9758 8,396, 5,5 6,6,5864 8,63,,765 45,39, 7,7 8,8,7379 8,5, 3,635 34,3 9,9, s Wylzone za pomo wzorów (39) zo własnyh tłumonyh bezwymarowe współzynn tłumena modalnego s równe: ω,69 rad/se, γ, 8,
ω 56,5349 rad/se, γ, 64, ω 9,993 3 rad/se, γ, 3496, 3 ω 7,47 4 rad/se, γ, 4744, 4 ω 5,769 5 rad/se, γ, 63, 5 ω 8,4 6 rad/se, γ, 6566, 6 ω 8,638 7 rad/se, γ, 737, 7 ω 45,48 8 rad/se, γ, 847, 8 ω 8,54 9 rad/se, γ, 975, 9 ω 34,5 rad/se, γ, Z porównana dotyhzasowyh wynów oblze dla ramy tratowane ao uład netłumony tłumony wyna napue wnos: a) zo własnyh ramy bez z uwzgldnenem sł tłumena s dentyzne, b) omawana rama e uładem o bardzo małym tłumenu (tłumene poa wynos zaledwe,% tłumena rytyznego) 83 Czo własnyh tłumonyh bezwymarowe współzynn tłumena ramy z równomerne rozmeszzonym tłumam t Przedawone pone wyn oblze dotyz ramy na tóre równomerne rozmeszzono tłumów tzn załoono, e na adym ptrze zanalowany e eden tłum Czo własnyh tłumonyh bezwymarowe współzynn tłumena wyznazono rozwzu lnowy problem własny (3) orzya ze wzorów (39) Maerz tłumena ma teraz poa C C + C uwzgldna wławo tłume onru tłumów zanalowanyh na rame Je oblzana za pomo wzorów (), (6), (7) (8) Po rozwzanu problemu własnego (3) oazało s, e wszye warto własne lzbam zespolonym, param sprzonym Otrzymano napue wyn:,3447,693, 3,837 56,537,,, 8,378 9,76, 4,64 7,59, 3,3 4,4 9,5443 49,635, 5,56 8,59, 5,5 6,6 35,498 4,6, 37,7974 4,79, 7,7 8,8 4,97 77,84, 46,4436 3,4 9,9, s Wylzone za pomo wzorów (39) zo własnyh tłumonyh bezwymarowe współzynn tłumena modalnego s równe: ω,699 rad/se, γ, 566, ω 56,647 rad/se, γ, 5667, ω 9,798 3 rad/se, γ, 89457, 3 ω 8,354 4 rad/se, γ, 396, 4
ω 5,54 5 rad/se, γ, 9373, 5 ω 8,793 6 rad/se, γ, 3783, 6 ω 7,3 7 rad/se, γ, 7854, 7 ω 44,656 8 rad/se, γ, 5449, 8 ω 8,957 9 rad/se, γ, 49386, 9 ω 33,564 rad/se, γ, 43537 Porównu wyn przedawone w podpuntah 8, 83 84 mona sformułowa napue wnos: a) zo własnyh, tłumonyh ramy z dzesoma tłumam rozłoonym równomerne ne rón s w sposób otny od zo własnyh netłumonyh zo własnyh tłumonyh ramy bez tłumów; masymalna róna mdzy tym zoam ne przeraza %, b) bezwymarowe współzynn tłumena ramy z zanalowanym tłumam wzrosły welorotne w porównanu z bezwymarowym współzynnam tłumena ramy bez tłumów, ) bezwymarowe współzynn tłumena ramy z tłumam ne wzrosły równomerne; np współzynn γ 5 zwszył s 3 razy, a współzynn γ wzrósł 3-rotne, d) bezwymarowy współzynn tłumena perwsze poa, mae zwyle naotneszy udzał w odpowedz dynamzne uładu wzrósł 9 razy 84 Wyn optymalza ryterum (masymalzaa bezwymarowego współzynna tłumena poa wzór ()) Na poztu proedury optymalzayne załada s, e na rame ne ma zanalowanyh tłumów Teraz uawa s eden tłum na olenyh ptrah oblza s bezwymarowy współzynn tłumena poa Maerz tłumena ma poa C C + Ct przy zym przyładowo C t, C t, eel tłum e umeszzony odpowedno na perwsze, a potem na druge ondygna Jeel tłum e uawony na ondygna to wartoam własnym problemu własnego (3) s:,487,695,,687 56,5395,,,,77357 9,97,,339 7,5, 3,3 4,4 3
,44547 5,793,,884 8,468, 5,5 6,6,6449 8,69, 3,576 45,49, 7,7 8,8 5,89 8,456, 7,4785 33,5 9,9, Bezwymarowy współzynn tłumena perwsze poa wynos: γ, 77 W podobny sposób oblzono bezwymarowy współzynn tłumena perwsze poa dla nnyh uawe tłuma W rezultae otrzymano: γ,77 eel tłum e uawony na ondygna, γ,739 eel tłum e uawony na ondygna, γ,9 eel tłum e uawony na 3 ondygna, γ,8 eel tłum e uawony na 4 ondygna, γ,65 eel tłum e uawony na 5 ondygna, γ,4 eel tłum e uawony na 6 ondygna, γ,387 eel tłum e uawony na 7 ondygna, γ,45 eel tłum e uawony na 8 ondygna, γ,973 eel tłum e uawony na 9 ondygna, γ,379 eel tłum e uawony na ondygna Z powyszego zeawena wyna, e tłum pownen by uawony na 7 ondygna Dla tego połoena tłuma warto fun elu wynos I, 387 Zauwamy, e namnesz warto γ otrzymue s dla tłuma uawonego na ondygna Warto γ dla tłuma umeszzonego optymalne wzrosła 3 % w osunu do tłuma uawonego namne orzyne W napne oleno oblzano bezwymarowe współzynn tłumena perwsze poa przy załoenu, e na rame s umeszzone tłum ; o ualone pozy (umeszzony na 7 ondygna) umeszzany oleno na wszyh ondygnaah (łzne z 7 ondygna) Wyn oblze przedawono w Tably Wszye warto własne rozwzywanyh problemów własnyh były lzbam zespolonym sprzonym Tabla Wyn oblze dla ramy z tłumam ( tłum umeszzony na ałe na 7 ondygna tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Perwsza warto własna Warto bezwymarowego współzynna tłumena poa -,983 +,69,458 -,947 +,69,48 3 -,479 +,69,456 4 -,999 +,69,437 5 -,988 +,694,489 6 -,775 +,694,459 4
7 -,573 +,6974,5356 8 -,849 +,699,453 9 -,949 +,6949,564 -,838 +,698,3667 Z przeprowadzonyh oblze wyna, e tłum pownen tae by uawony na 7 ondygna Namne orzyne byłoby uawene tłuma na ondygna, a warto γ dla tłuma umeszzonego optymalne e o 46 % wsza w osunu do sytua, w tóre tłum e umeszzony na ondygna W Tably zeawono wyn oblze dla ramy z dwoma tłumam uawonym na ałe (oba na 7 ondygna) tłuma zmenaego swoe połoene Tabla Wyn oblze dla ramy z 3 tłumam ( tłum umeszzone na ałe na 7 ondygna tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Perwsza warto własna Warto bezwymarowego współzynna tłumena poa -,4364 +,697,638 -,4953 +,697,698 3 -,546 +,697,6788 4 -,577 +,697,66434 5 -,658 +,6974,763 6 -,5435 +,6975,68 7 -,7384 +,764,759 8 -,54437 +,698,6844 9 -,73 +,6999,7534 -,34775 +,698,5938 Podobne a w poprzednh przypadah, z przeprowadzonyh oblze wyna, e tłum pownen by tae uawony na 7 ondygna Namne orzyne e uawene 3 tłuma na ondygna Róne w warto bezwymarowego współzynna tłumena γ s edna mnesze wynosz 8 % dla połoena nabardze namne orzynego Wyn oblze dla ramy z zteroma tłumam (3 uawonym na ałe na 7 ondygna ednym zmenaym połoene) zeawono w Tably 3 Ponowne wyn oblze wsazu 7 ondygnae ao mese optymalnego uawena tłuma Wda, e prawe ta sam warto γ uzysue s uawa ten tłum na 9 ondygna 5
Tabla 3 Wyn oblze dla ramy z 4 tłumam (3 umeszzone na ałe na 7 ondygna tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Perwsza warto własna Warto bezwymarowego współzynna tłumena poa -,945 +,759,8566 -,9388 +,759,8536 3 -,483 +,757,9 4 -,658 +,759,888 5 -,3497 +,759,94 6 -,543 +,76,9387 7 -,43 +,789,9777 8 -,535 +,768,946 9 -,98 +,784,9774 -,8564 +,77,874 Wyn olenyh oblze zmerzayh do orelena optymalne pozy pozoałyh tłumów zeawono w Tablah 4-9 Tabla 4 Wyn oblze dla ramy z 5 tłumam (4 tłum umeszzone na ałe na 7 ondygna tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Perwsza warto własna Warto bezwymarowego współzynna tłumena poa -,44346 +,78,755 -,4366 +,78,75 3 -,5484 +,778,6 4 -,5489 +,78,69 5 -,63383 +,78,593 6 -,5597 +,784,8 7 -,754 +,7347,898 8 -,5585 +,79,3 9 -,797 +,75,967 6
-,35443 +,794,36 Tabla 5 Wyn oblze dla ramy z 6 tłumam (4 tłum umeszzone na ałe na 7 ondygna, tłum na 9 ondygna tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Perwsza warto własna Warto bezwymarowego współzynna tłumena poa -,943 +,793,945 -,93437 +,794,95 3 -,3464 +,79,346 4 -,388 +,79,36 5 -,337 +,79,3783 6 -,3488 +,796,348 7 -,357 +,7359,496 8 -,3498 +,73,34 9 -,3655 +,788,46 -,858 +,79,55 Tabla 6 Wyn oblze dla ramy z 7 tłumam (4 tłum umeszzone na ałe na 7 ondygna, tłum na 9 ondygna tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Perwsza warto własna Warto bezwymarowego współzynna tłumena poa -,3498 +,773,586 -,343 +,774,556 3 -,35344 +,768,5549 4 -,359 +,77,54 5 -,36 +,768,596 6 -,353697 +,775,556 7 -,36957 +,7438,645 8 -,353777 +,784,5564 7
9 -,36793 +,7434,638 -,333967 +,79,469 Tabla 7 Wyn oblze dla ramy z 8 tłumam (5 tłumów umeszzonyh na ałe na 7 ondygna, tłum na 9 ondygna tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Perwsza warto własna Warto bezwymarowego współzynna tłumena poa -,39863 +,74,78 -,3978 +,74,798 3 -,447 +,745,769 4 -,3997 +,748,7545 5 -,43 +,744,87 6 -,468 +,74,774 7 -,46797 +,76,838 8 -,4766 +,743,776 9 -,4688 +,758,889 -,3889 +,744,683 Tabla 8 Wyn oblze dla ramy z 9 tłumam (6 tłumów umeszzonyh na ałe na 7 ondygna, tłum na 9 ondygna tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Perwsza warto własna Warto bezwymarowego współzynna tłumena poa -,4394 +,76,994 -,43853 +,76,964 3 -,44986 +,7593,976 4 -,44645 +,7597,96 5 -,458454 +,759,4 6 -,4568 +,76,977 8
7 -,46 +,783,79 8 -,455 +,76,9773 9 -,463898 +,776,364 -,4398 +,76,8896 Tabla 9 Wyn oblze dla ramy z tłumam (6 tłumów umeszzonyh na ałe na 7 ondygna, 3 tłum na 9 ondygna tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Perwsza warto własna Warto bezwymarowego współzynna tłumena poa -,4864 +,7737,354 -,48575 +,7738,33 3 -,49756 +,779,8 4 -,493688 +,7733,673 5 -,5579 +,777, 6 -,49797 +,7738,83 7 -,5969 +,797,349 8 -,49737 +,775,833 9 -,5769 +,7957,66 -,47735 +,776,954 Z przedawonyh powye wynów oblze wyna, e optymalnym, w sense ryterum, e umeszzene 7 tłumów na 7 ondygna 3 tłumów na 9 ondygna Dla taego uawena tłumów bezwymarowy współzynn tłumena perwsze poa e równy,349 Je on ooło 47% wszy od bezwymarowego współzynna tłumena perwsze poa ramy, na tóre uawono po ednym tłumu na ade ondygna Wypada tae zauway, e eel połoene wszo tłumów zoało ualone to bezwymarowy współzynn tłumena γ w małym opnu zaley od uawena olenego tłuma Przyładowo, eel połoene 8 tłumów e ualone to róna w warto γ dla połoena nabardze namne orzynego wynos 7,8% Porównamy eszze mesa usytuowana tłumów z wzgldnym przemeszzenam ondygna, eel rama wyonue na z perwsz poa Omawane przemeszzena s proporonalne do rón mdzy rzdnym poa wynosz: a a,836, a a, 835, 9
a a,433, a a, 9658 ; 3 4 3 a a,3969, a a, 9, 5 4 6 5 a a,8394, a a, 76, 7 6 8 7 a a,5375, a a, 64786 9 8 9 Łatwo mona zauway, e w myl rozpatrywanego ryterum tłum zoały umeszzone na tyh ondygnaah, na tóryh róne mdzy rzdnym poa były nawsze Na rys 4 ln gł pogrubon poazano zmany bezwymarowego współzynna tłumena perwsze poa w zaleno od lzby tłumów umeszzonyh na rame Na tym samym rysunu ln gł en poazano zman tego współzynna przy załoene, e na rame e tłumów, ale h współzynn tłumena s odpowedno mnesze Przyładowo bezwymarowy współzynn tłumena ramy z ednym tłumem umeszzonemu w optymalnym mesu odpowada przypade ramy z tłumam równomerne rozłoonym, ale o rotne mneszyh współzynnah tłumena Wda, e optymalne rozmeszzene tłumów w otny sposób zwsza omawany współzynn tłumena Wda równe, e zadan warto bezwymarowego współzynna tłumena da s osgn nalu na rame mnesza lzb tłumów, ale optymalne rozawonyh Na rys 5 poazano bezwymarowe współzynn tłumena rónyh poa ramy z tłumam rozmeszzonym optymalne (małe tróty) dla ramy z tłumam rozmeszzonym równomerne (małe romby) Dla porównana rzyyam poazano bezwymarowe współzynn tłumena ramy bez tłumów W rozwzanu uznanym za optymalne zwraa uwag bardzo znazny (w porównanu z bezwymarowym współzynnam tłumena ramy z równomerne rozłoonym tłumam ) wzro bezwymarowyh współzynnów tłumena 5 7 poa Ponadto wda, e w rozwzanu uznanym za optymalne bezwymarowe współzynn tłumena 4, 6, 8, 9 poa newele s rón od analogznyh współzynnów tłumena ramy bez tłumów Wda, e rozawene tłumów uznane tuta za optymalne bdze neoptymalne, eel udzał wspomnanyh poa w odpowedz dynamzne ramy bdze znazy 4 bezwymarowy współzynn tłumena 8 6 4 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 lzba tłumów Rys 4 Zmana bezwymarowego współzynna tłumena perwsze poa w zaleno od lzby tłumów umeszzonyh na rame
bezwymarowe współzynn tłumena 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 numer poa Rys 5 Bezwymarowe współzynn tłumena ram z róne rozmeszzonym tłumam 85 Wyn optymalza wyonane przy uyu ryterum (wag fun elu () orelone wg warantu ) Uywa sposobu poazanego w poprzednh puntah opraowana wyonano oblzena posługu s fun elu (3) Współzynn wagowe fun elu α wyznazono ze wzoru (8) Współzynn wagowe s ta dobrane by reprezentowały udzał poszzególnyh poa w przemeszzenu ropu nawysze ondygna ramy Warto współzynnów wagowyh wyznazone ze wspomnanego wzoru wynosz: 658 ; - 7365 ; 3 494 ; 4-4486 5 744 ; 6-34; 7 6; 8-4 9 ; Wyn oblze zeawono w tablah 9 W tablah tyh opróz warto fun elu dla rónyh połoe uawanego tłuma podano równe bezwymarowe współzynn tłumena dla połoena optymalnego Tabla Wyn oblze dla ramy z przeawanym tłumem Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Optymalne uawony tłum Numer warto własne Warto bezwymarowyh współzynnów tłumena 667 387 6 63597 3 95 3 4654
4 8 4 563 5 6599 5 4545 6 3478 6 75855 7 994 7 538 8 67 8 4666 9 689 9 495 969 355 Tabla Wyn oblze dla ramy z tłumam ( tłum na 7 ondygna + tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Optymalne uawony tłum Numer warto własne Warto bezwymarowyh współzynnów tłumena 3878 5356 38645 3595 3 43575 3 4759 4 485 4 43346 5 4934 5 47356 6 466 6 8344 7 5468 7 684 8 387 8 54693 9 39464 9 3356 356 58 Tabla Wyn oblze dla ramy z 3 tłumam ( tłum na 7 ondygna + tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Optymalne uawony tłum Numer warto własne Warto bezwymarowyh współzynnów tłumena
6355 7594 64 39883 3 6658 3 3733 4 6549 4 8947 5 7 5 57663 6 68798 6 84668 7 74789 7 45943 8 639 8 3688 9 6845 9 398 5356 58 Tabla 3 Wyn oblze dla ramy z 4 tłumam (3 tłum na 7 ondygna + tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Optymalne uawony tłum Numer warto własne Warto bezwymarowyh współzynnów tłumena 8385 97774 8363 76 3 8864 3 379885 4 8786 4 9398 5 9457 5 6474 6 9338 6 8457 7 96576 7 377438 8 8364 8 8645 9 8395 9 659 7557 58 3
Tabla 4 Wyn oblze dla ramy z 5 tłumam (4 tłum na 7 ondygna + tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Optymalne uawony tłum Numer warto własne Warto bezwymarowyh współzynnów tłumena 5747 8983 5485 9659 3 4 3 4494 4 9789 4 74845 5 659 5 5458 6 3354 6 834 7 7669 7 563 8 4657 8 4673 9 594 9 36 95793 555 Tabla 5 Wyn oblze dla ramy z 6 tłumam (5 tłumów na 7 ondygna + tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Optymalne uawony tłum Numer warto własne Warto bezwymarowyh współzynnów tłumena 6986 394 666 5854 3 365 3 47886 4 3997 4 54 5 37848 5 479337 6 34676 6 83 7 3863 7 667849 4
8 5676 8 348 9 563 9 898 5888 5 Tabla 6 Wyn oblze dla ramy z 7 tłumam (6 tłumów na 7 ondygna + tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Optymalne uawony tłum Numer warto własne Warto bezwymarowyh współzynnów tłumena 4757 57696 474 6488 3 5 3 4967 4 554 4 34 5 58463 5 47889 6 5555 6 793 7 463 7 6695457 8 4638 8 593685 9 459 9 57366 35473 39363 Tabla 7 Wyn oblze dla ramy z 8 tłumam (6 tłumów na 7 ondygna, tłum na 5 ondygna + tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Optymalne uawony tłum Numer warto własne Warto bezwymarowyh współzynnów tłumena 6798 7598 6753 758 3 75 3 5856 4 789 4 33543 5
5 7896 5 4779 6 75564 6 47497 7 7833 7 67935 8 664 8 96736 9 6567 9 8397 55893 4869 Tabla 8 Wyn oblze dla ramy z 9 tłumam (6 tłumów na 7 ondygna, tłum na 5 ondygna + tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Optymalne uawony tłum Numer warto własne Warto bezwymarowyh współzynnów tłumena 88356 943 87976 753 3 9987 3 6759 4 9347 4 35644 5 99345 5 459 6 95958 6 5753 7 98999 7 676958 8 86855 8 5683 9 8657 9 39486 7644 46959 Tabla 9 Wyn oblze dla ramy z tłumam (6 tłumów na 7 ondygna, 3 tłum na 5 ondygna + tłum przeawany) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Optymalne uawony tłum Numer warto własne Warto bezwymarowyh współzynnów tłumena 6
8759 3998 8385 385 3 34 3 67977 4 763 4 3346 5 963 5 478 6 636 6 5564 7 963 7 83433 8 77 8 5678 9 6563 9 3598 969 478 Z powyszyh oblze wyna, e optymalne rozmeszzene tłumów, dla tórego rozwaana funa elu ma warto masymaln, e napue (patrz rys6): tłum nr,, 3, 4, 5, 6 na 7 ondygna, tłum nr 7, 8, 9 na 5 ondygna Oatezne 3 tłum znadu s na 5 ondygna 7 tłumów na 7 ondygna Na rys 6 podano oleno umeszzana tłumów na odpowednh ondygnaah P (t) M q (t) P9 (t) M 9 9 q9 (t) P8 (t) M 8 8 q8(t) P7 (t) P6 (t) M 7 7,, 3, 4, 5, 6, M 6 6 q7 (t) q6 (t) P5 (t) M 5 7, 8, 9 5 q5 (t) P4 (t) M 4 4 q4 (t) P3 (t) M 3 3 q3 (t) P (t) M q (t) P (t) M q (t) Rys 6 Optymalne rozmeszzene tłumów (ryterum, wag fun elu wg warantu ) 7
Na rys 7 poazano, w a sposób zmena s bezwymarowe współzynn tłumena w zaleno od lzby optymalne uawonyh tłumów Dodane olenyh tłumów w otny sposób zwsza bezwymarowy współzynn tłumena 7 poa 4 bezwymarowy współzynn tłumena 3 4 tłum 3 tłum tłum tłum 3 4 5 6 7 8 9 numer poa Rys 7 Zmany bezwymarowyh współzynnów tłumena w zaleno od lzby optymalne rozmeszzonyh tłumów (ryterum, wag fun elu wg warantu ) Na rys 8 poazano bezwymarowe współzynn tłumena poszzególnyh poa ramy z tłumam rozmeszzonym równomerne oraz ramy z tłumam rozmeszzonym optymalne z zaosowanem fun elu (3) współzynnów wagowyh oblzonyh za pomo wzoru (8) Bezwymarowe współzynn tłumena 4 perwszyh poa ramy z optymalne rozmeszzonym tłumam s wsze od odpowednh współzynnów tłumena ramy z równomerne rozawonym tłumam 9 bezwymarowy współzynn tłumena 8 7 6 5 4 3 tłum rozmeszzone optymalne tłum rozmeszzone równomerne 3 4 5 6 7 8 9 numer poa Rys 8 Bezwymarowe współzynn tłumena ramy z tłumam w rozmeszzonym optymalne (rzyy) z tłumam rozmeszzonym równomerne (romby) 8
86 Wyn optymalza wyonane przy uyu ryterum (wag fun elu () orelone wg warantu ) Uywa ponowne sposobu uywanego w poprzednh puntah opraowana wyonano oblzena posługu s fun elu (3) Współzynn wagowe α wyznaza s teraz z wzoru (3) Po ego zaosowanu otrzymano: α,75797, α, 34, α, 49456, α, 4853, 3 4 α,8884, α, 38, α, 5345, α, 369, 5 6 7 8 α,385, α, 39 9 Z powyszego zeawena wyna, e w odpowedz dynamzne ramy zasadnzy udzał ma poa Udzał poa o numerah 5, 7, 8, 9 e mneszy od % Oblzena wyonano w podobny sposób a to opsano w poprzednh puntah Zmane uległa tylo funa elu, a doładne współzynn wagowe Jeel na onru znadował s tylo tłum to warto fun elu dla rónyh loalza tego tłuma zeawono w Tably Z oblze wyna, e perwszy tłum naley uaw na 9 ondygna Wyn oblze dla ramy z oleno uawanym tłumam przedawono w tablah 9 Tabla Wyn oblze dla ramy z tłumem o zmenaym s usytuowanu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu,337 6,358,845 7,59 3,3333 8,48 4,3 9,868 5,388,66 Tabla Wyn oblze dla ramy z tłumam ( o ualone loalza 9 ondygna o zmenaym s usytuowanu) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu,36 6,87,7 7,95 3,55 8,95 9
4,33 9,5473 5,5,3747 Tabla Wyn oblze dla ramy z 3 tłumam ( o ualone loalza oba na 9 ondygna o zmenaym s usytuowanu) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu,77 6,7653,6876 7,965 3,734 8,959 4,748 9,384 5,787,739 Tabla 3 Wyn oblze dla ramy z 4 tłumam (3 o ualone loalza wszye na 9 ondygna o zmenaym s usytuowanu) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu,3 6,355,79 7,5 3,349 8,598 4,365 9,63 5,3744,78 Tabla 4 Wyn oblze dla ramy z 5 tłumam (4 o ualone loalza 3 na 9 ondygna, na ondygna o zmenaym s usytuowanu) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu,883 6,958,854 7,3846 3
3,8999 8,39 4,88 9,3485 5,9465,3494 Tabla 5 Wyn oblze dla ramy z 6 tłumam (5 o ualone loalza 3 na 9 ondygna, na ondygna o zmenaym s usytuowanu) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu,3497 6,3467,3395 7,3676 3,34374 8,3676 4,3479 9,3853 5,348,379 Tabla 6 Wyn oblze dla ramy z 7 tłumam (6 o ualone loalza 4 na 9 ondygna, na ondygna o zmenaym s usytuowanu) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu,444 6,4635,39957 7,439 3,446 8,436 4,45 9,4387 5,487,43935 Tabla 7 Wyn oblze dla ramy z 8 tłumam (7 o ualone loalza 4 na 9 ondygna, 3 na ondygna o zmenaym s usytuowanu) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu,45647 6,465 3
,45364 7,4795 3,45838 8,4783 4,456 9,49367 5,469,48494 Tabla 8 Wyn oblze dla ramy z 9 tłumam (8 o ualone loalza 5 na 9 ondygna, 3 na ondygna o zmenaym s usytuowanu) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu,5 6,5445,58 7,53469 3,589 8,5347 4,54 9,534 5,5597,54535 Tabla 9 Wyn oblze dla ramy z tłumam (9 o ualone loalza 5 na 9 ondygna, 4 na ondygna o zmenaym s usytuowanu) Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu Numer ondygna na tóre umeszzono przeawany tłum Warto fun elu,568 6,566,56 7,5878 3,5647 8,5888 4,569 9,594 5,56739,5883 Z przeprowadzonyh oblze wyna, e posługu s ryterum mnmalza sły poprzezne w słupah nansze ondygna ramy dohodz s do wnosu, e optymalne rozmeszzene tłumów e napue: 6 tłumów naley ume na 9 ondygna 4 tłum na ondygna W tably 3 podano zo tłumonyh bezwymarowe współzynn tłumena ramy z tłumam uawonym w podany powye sposób Na rys 9 porównano bezwyma- 3
rowe współzynn tłumena dla uawena tłumów wyna z omawanyh oblze z bezwymarowym współzynnam tłumena Ramy z równomerne rozawonym tłumam Wda, podobne a w przypadu ryterum, e dla netóryh poa (tuta trzee pte) bezwymarowy współzynn e wyrane wszy od bezwymarowyh współzynnów tłumena pozoałyh poa Współzynn tłumena pte poa e wszy od tłumena rytyznego Zwraa te uwag bardzo małe warto bezwymarowyh współzynnów tłumena wyszyh poa Tabla 3 Warto własne, zo tłumonyh bezwymarowe współzynn tłumena ramy z 6 tłumam umeszzonym na 9 ondygna 4 tłumam umeszzonym na ondygna Warto własne Czo własnyh tłumonyh Bezwymarowe współzynn tłumena -,3969 +,86 -,3969 -,86-7,388 + 63,479-7,388-63,479-39,547 + 8,34-39,547-8,34-7,855 +,56-7,855 -,56-87,3558-75,6-6,4363 + 7,53-6,4363-7,53-3,646 +,779-3,646 -,779 -,886 + 44,747 -,886-44,747 -,7449 + 8,53 -,7449-8,53-3,6354 + 34,3-3,6354-34,3,89,43 63,873,35 9,3438,439,768,644 55,63,6965 7,645,36588,8,7758 44,758,935 8,56,9748 34,5, 33
Rys 9 Bezwymarowe współzynn tłumena ram z róne rozmeszzonym tłumam (ryterum, wag fun elu wg wzoru (9)) 9 Uwag oowe Praa dotyzy optymalnego rozmeszzana wsotyznyh tłumów na onru ramowe Do oblzenah zaosowano metod optymalza sewenyne uyto róne poae fun elu W zaleno od przyte fun elu uzysano róne, optymalne w myl przytego ryterum, onfgurae tłumów: a) ryterum (masymalza bezwymarowego współzynna tłumena poa ) optymalnym e umeszzene 7 tłumów na 7 ondygna 3 tłumów na 9 ondygna b) ryterum z wagam fun elu oblzonym za pomo wzoru (8) (masymalzue s sum wszyh bezwymarowyh współzynnów tłumena z wagam ta dobranym, aby odpowadały udzałow poszzególnyh poa we wzorze na przemeszzene ropu nawysze ondygna) optymalnym e umeszzene 3 tłumów na 5 ondygna 7 tłumów na 7 ondygna ) ryterum z wagam fun elu oblzonym za pomo wzoru (9) (masymalzue s sum wszyh bezwymarowyh współzynnów tłumena z wagam ta dobranym, aby odpowadały udzałow poszzególnyh poa w wyraenu na sł poprzezn w słupe nansze ondygna) optymalne e umeszzene 6 tłumów na 9 ondygna 4 tłumów na ondygna Bezwymarowe współzynn tłumena ramy z optymalne rozmeszzonym tłumam poazano na rys 34
Rys Bezwymarowe współzynn tłumena ram z optymalne rozmeszzonym tłumam róne rytera optymalza Rezultaty otrzymane przy uyu ryterum (masymalzaa bezwymarowego współzynna tłumena poa ) zaznazono za pomo ln głe z rombam Wyn otrzymane przy uyu ryterum poazano za pomo ln głyh z trótam lub ółam odnoszym s odpowedno do przypadu wag oblzanyh za pomo wzoru (8) (9) Dla porównana ln przerywan z rzyyam poazano bezwymarowe współzynn tłumena ramy z równomerne rozmeszzonym tłumam Wda znazne zrónowane bezwymarowyh współzynnów tłumena w zaleno od przytego ryterum optymalza Podane powye wyn dotyz przypadu wymusze nematyznyh, z tórym mamy do zynena w przypadu sł wymuszayh wywołanyh np trzsenam zem lub wpływam parasesmznym Lteratura [] R Lewandows, Dynama onru budowlanyh, Wydawntwo Poltehn Poznase, Pozna, 6, [] A K Chopra, Dynams of rutures Theory and applatons to earthquae engneerng, Prente Hall, Upper Saddle Rver, New Jersey,, [3] T Trombett, S Sler, On the modal dampng ratos of shear-type ruture equpped wth Raylegh dampng syems, Journal of Sound and Vbraton, 9, pp-58, 6, [4] Zhang R H, Soong T T, Sesm desgn of vsoela dampers for rutural applatons, J Strutural Engneerng, Proeedngs of ASCE, 8, (99) 375 39 35