Wcłw Gierulski 1) Bogusłw Rdziszewski ) MODEOWANIE I STABINOŚĆ RYNKU STRESZCZENIE W prcy rozwż się kilk różnych modeli rynku i sposoby zchowni ceny bieżącej względem ceny równowgi. Szczególną uwgę zwrócono n przypdek, gdy producenci przy prognozowniu ceny uwzględniją nie ylko kulne poziomy cen le i ich poziomy z okresów wcześniejszych. Przenlizowno procesy dojści ceny kulnej do ceny równowgi, wyznczono obszry jej sbilności orz zbdno chrker bifurkcji n brzegch. 1. WSTĘP Rynek jes mechnizmem, kóry decyduje zrówno o cenie, jk i ilości sprzednych dóbr. Mówi się o mechnizmie rynkowym jko wzjemnym oddziływniu popyu i podży. Przy rozprywniu ego mechnizmu, w większości przypdków, rkuje się czs jko niezleżną zmienną dyskreną, przyjmującą wrości cłkowie oznczjące kolejne godziny, dni, ygodnie, miesiące czy eż l. Ozncz o, że wrości rozprywnych zmiennych (np. cen, popy, podż) mogą zmienić się ylko wedy, gdy jedn wrość cłkowi zmiennej zosje zsąpion kolejną cłkowią wrością ej zmiennej. Zkłd się, że w przedziłch między kolejnymi wrościmi kiej dyskrenej zmiennej niezleżnej nie zmieniją swoich wrości zmienne opisujących zchownie się rynku. Kolejne wrości zmiennej reprezenują zem kolejne okresy, nie chwile czsu reprezenowne przez ę zmienną. Popy (funkcj popyu) o zleżność pomiędzy ilością dobr, kórą chcą i mogą kupić konsumenci, ceną ego dobr. Zwykle przyjmuje się, że popy w dnym okresie zleży od ceny w ym smy okresie. Podswowe prwo popyu mówi, że gdy cen rośnie, spd ilość dnego dobr, jką są skłonni kupić konsumenci, przy złożeniu innych czynników jko słych. Prwo o doyczy zdecydownej większości dóbr, kóre są nzywne dobrmi normlnymi. 1) dr hb. inż., prof. PŚk., Wydził Zrządzni i Modelowni kompuerowego, Poliechnik Święokrzysk, Kielce ) prof. dr hb., Wydził Zrządzni i Modelowni Kompuerowego, Poliechnik Święokrzysk, Kielce
Zuwżmy, że przewidywn cen n produkowne dobr jes jednym z podswowych czynników decydujących o poziomie produkcji. W związku z ym problem en jes jednym z podswowych problemów zrządzni produkcją. W przypdku rynku produków nierwłych cen jes wyznczn z wrunku oczyszczni rynku czyli z wrunku, że w kżdym rozprywnym okresie podż jes równ popyowi (oczyszcznie rynku w kżdym okresie) [1]. Tk syucj m miejsce wedy, gdy nie jes możliwe gromdzenie zpsów. Bd się również modele rynku uwzględnijące mgzynownie. Wedy przy kszłowniu ceny w przyszłości uwzględni się cenę kulną skorygowną skłdnikiem zleżnym od kulnego poziomu zpsów [1,9]. W prezenownej prcy przy kszłowniu kulnego poziomu podży uwzględniono kilk różnych modeli kszłowni ceny dobr [-9], w szczególności wzięo pod uwgę ceny z większej liczby wcześniejszych okresów. Wyznczono obszry sbilności ceny, zbdno chrker bifurkcji n brzegch orz przenlizowno procesy dochodzeni ceny kulnej do ceny równowgi. Propozycje innych modeli rynku możn znleźć między innymi w prcch [1-4].. POPYT, PODAŻ I CENA RÓWNOWAGI W njprosszym przypdku przyjmuje się funkcję popyu w posci [1] Q d, = α βp, (1) gdzie α, β >. Wrość współczynnik β możn rkowć jko spdek popyu przy jednoskowym podwyższeniu ceny dobr. Przyjmuje się również, że podż dobr zleży od ceny ego dobr. Krzyw podży m zwykle nchylenie rosnące - przy cench wyższych sprzedwcy są skłonni oferowć n sprzedż większe ilości dóbr niż przy cench niższych Q = γ + δe( p ), () s, gdzie E( p ) jes ceną oczekiwną w okresie, γ, δ oznczją słe dodnie. W njprosszym przypdku wrość współczynnik δ możn rkowć jko przyros podży przy jednoskowym podwyższeniu ceny dosrcznego n rynek dobr. Wspomniny wyżej wrunek o oczyszczniu rynku możn przy powyższych oznczenich zpisć w posci Q s Q, d, = (3) dl wszyskich.
Eliminując z ych równń wielkości podży i popyu, możn orzymć nsępujące równnie opisujące zminy ceny: gdzie δ α+γ =, c =. β β p + E( p ) = c, (4) W przypdku ogólnym cen oczekiwn może zleżeć od pewnej liczby cen w poprzednich okresch. Jeśli ogrniczymy się do zleżności ceny oczekiwnej od cen z 1 poprzednich okresów, o możn ją wyrzić w posci E( p ) = f ( p 1, p,..., p ). Funkcj f ozncz przyporządkownie cenom z poprzednich okresów ceny kulnej. W njprosszym przypdku przyjmuje się, że f jes funkcją liniową jednej ceny, dokłdniej E p ) p. Osni ( = 1 zleżność ozncz, że ceną oczekiwną w przyszłym okresie jes cen kuln. W ej prcy przyjmiemy między innymi, że 1 i 1 E( p ) = k p = i i. (5) i 1 1 k i= 1 Ozncz o, że w ndchodzącym okresie cen oczekiwn jes średnią wżoną cen z poprzednich okresów. Dokłdniej, cen jes unormownym szeregiem geomerycznym (w przypdku k < 1) lub średnią rymeyczną (w przypdku k = 1 ) cen z poprzednich okresów. Zuwżmy, że jeżeli p =, gdzie p ozncz cenę równowgi, o p równ równ E ( p równ ) = p równ. (6) Wobec ego z równni ( 4) możn wyznczyć cenę równowgi w posci c p równ =, (7) 1 + wedy zmienn y określon wzorem y = p p równ będzie opisywć odchylenie ceny kulnej p od ceny równowgi p. Wyznczjąc sąd cenę różnicowe p równ i podswijąc do równni (4) orzymmy równnie 3
y + E( y ) =. (8) opisujące zchownie się ego odchyleni w kolejnych okresch czsu. Aby zbdć sbilność modeli rynku nleży wyznczyć zchownie się odchyleni ceny kulnej od ceny równowgi. Jeśli odchylenie o w kolejnych okresch zmniejsz się o cen równowgi jes sbiln, jeśli zwiększ się, o cen równowgi jes niesbiln. Ten heurysyczny opis sbilności w ujęciu memycznym sprowdz się do zbdni zchowni się rozwiązń równni (8), kóre przy uczynionych wyżej złożenich mją posć y = cλ, (9) gdzie c i λ oznczją słe, z kórych c jes słą dowolną, λ spełni k zwne równnie chrkerysyczne w posci λ + E( λ) =. (1) Jes o równnie lgebriczne sopni względem λ.. 3. STABINOŚĆ I BIFURKACJA CENY RÓWNOWAGI Z posci (9) rozwiązń równni (8) wynik, że będą one ze wzrosem mleć do zer (będą sympoycznie sbilne) wedy i ylko wedy, gdy wszyskie pierwiski λ równni chrkerysycznego (8) będą spełnić nierówność λ < 1, gdzie ozncz w przypdku pierwisk chrkerysycznego rzeczywisego wrość bezwzględną, w przypdku pierwisk zespolonego jego moduł. Zuwżmy, że jeżeli równnie ypu (8) m chociż jedno rozwiąznie, kóre jes sympoycznie sbilne, o wszyskie jego rozwiązni są sympoycznie sbilne. W ej syucji wysrczy zbdć n przykłd sbilność k zwnego rozwiązni rywilnego, czyli rozwiązni = równni (8). Widomo [1], że wrunkiem koniecznym i y dosecznym sympoycznej sbilności rozwiązni rywilnego równni (8) jes spełnienie nierówności mx i λ i <1, gdzie λi (i =1,,..., ) oznczją pierwiski równni chrkerysycznego (1). Wobec ego bdnie sbilności modelu rynku sprowdz się do sprwdzeni czy wszyskie pierwiski równni chrkerysycznego (1) spełniją powyższą nierówność. Twierdzenie o w posci geomerycznej możn sformułowć nsępująco: wrunkiem koniecznym i dosecznym sbilności sympoycznej rozwiązni rywilnego równni (8) jes, by wszyskie pierwiski równni 4
chrkerysycznego (1) leżły n płszczyźnie zespolonej wewnąrz jednoskowego okręgu (rys. 1). Wrunek en wyzncz w przesrzeni prmerów pewien obszr Ω nzywny obszrem sbilności sympoycznej. Jeśli prmery nleżą do obszru sbilności sympoycznej, o sąd wynik, że po upływie pewnej liczby okresów rozwiązni zczną, co do modułu, mleć. Szybkość zleżny m.in. od kroności pierwisk chrkerysycznego im kroność jes większ ym czs en może być dłuższy. Jeżeli równnie chrkerysyczne m chociż jeden pierwisek, kóry leży poz wspomninym wyżej okręgiem jednoskowym, o mmy do czynieni z niesbilnością. W ym przypdku odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi będzie w pewnych okresch corz większe. Przy bdniu sbilności jes rzeczą równie ineresującą zchownie się rozwiązń z kimi prmermi, kóre lokują pierwiski chrkerysyczne w ooczeniu brzegu obszru sbilności sympoycznej, w szczególności n brzegu ego obszru. W przypdku, gdy jeden pierwisek rzeczywisy lub dw pierwiski zespolone równni chrkerysycznego leżą n brzegu okręgu jednoskowego pokznego n rysunku 1, mmy do czynieni z bifurkcją. W kiej syucji odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi może oscylcyjnie zmienić się, le nie będzie ni mleć do zer, ni nie będzie rosnąć nieogrniczenie. Rys. 1. Położenie pierwisków równni chrkerysycznego n płszczyźnie zespolonej w przypdku sbilności N ej płszczyźnie njbrdziej chrkerysycznymi punkmi ze względu n sbilność są punky A i B. W przypdku punku A mmy pierwisek chrkerysyczny równy 1, w punkcie B pierwisek równy1. Pierwiski leżące w innych punkch ego okręgu są zespolone sprzężone, ich moduł jes równy 1. Jeśli przynjmniej jeden pierwisek chrkerysyczny jes równy 1, pozosłe leżą wewnąrz jednoskowego okręgu, o wedy mówi się bifurkcj jes ypu siodło-węzeł. 5
Jeśli przynjmniej jeden pierwisek chrkerysyczny jes równy 1, pozosłe leżą wewnąrz jednoskowego okręgu, o mmy do czynieni z bifurkcją ypu ognisko. Jeśli wysępuje przynjmniej jedn pr pierwisków równni chrkerysycznego leżących n okręgu jednoskowym ( λ = e πiθ, i = 1 ), pozosłe leżą wewnąrz ego okręgu, o bifurkcj jes ypu Neimrk -Hopf. W dlszej części prcy będą pokzne przykłdy kich bifurkcji. W związku z powyższym, podswijąc 1, 1 lub e πiθ do równni chrkerysycznego (9) możn wyznczyć zkres zmienności prmerów, przy kórym mmy do czynieni odpowiednio z bifurkcją ypu siodło-węzeł, ognisko lub bifurkcją Neimrk -Hopf. 4. STATYCZNE OCZEKIWANIA CENOWE Syczne oczekiwni cenowe doyczą njprosszego modelu rynku, gdy cen oczekiwn w okresie jes k sm jk był w okresie 1 (w zleżności (5) =1), czyli E p ) = p. (11) ( 1 lub po przekszłcenich α βp p = γ + δp p + 1 = 1, c. (1) Równnie chrkerysyczne (9) przyjmuje erz posć. λ + =. (13) W rozwżnym przypdku wrunek konieczny i doseczny sbilności ceny równowgi przyjmuje posć < 1. (14) Ozncz o, że jednoskowy przyros produkcji powinien być co do bezwzględnej wrości mniejszy od jednoskowego spdku popyu. Punky = 1 i = 1 n osi liczbowej są brzegiem obszru sbilności (rys. ). 1 1 Rys.. Obszr sbilności w przesrzeni prmerów w przypdku sycznych oczekiwń cenowych 6
1. NORMANE OCZEKIWANIA CENOWE p norm Niech erz ozncz cenę jką producenci chcą uzyskć. Jeśli kuln cen różni się od ceny normlnej, o oczekiwni cenowe producenci uslją według wzoru E ( p ) = p 1 + µ ( pnorm p 1). (15) Współczynnik µ jes mirą szybkości zmierzni ceny bieżącej do ceny normlnej. Częso przyjmuje się, że cen normln jes ceną równowgi, czyli p norm = p równ. Jeśli µ =, o normlne oczekiwni cenowe redukują się do sycznych oczekiwń cenowych (11). Podswijąc oczekiwni cenowe określone wzorem (15) do wzoru (), określjącego podż i posępując podobnie jk w przypdku oczekiwń sycznych, orzymmy nsępujące równnie różnicowe określjące odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi kórego równnie chrkerysyczne m posć y = ( 1 µ ) y 1, (16) λ = ( 1 µ ). (17) Wobec ego odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi, reprezenowne przez rozwiązni równni (16) jes sbilne wedy i ylko wedy, gdy ( 1 µ ) < 1. (18) Obszr sbilności n płszczyźnie prmerów (,µ ), wyznczony przez ukłd nierówności (18), pokzno n rysunku 3. Rys. 3. Obszr sbilności w przypdku normlnych oczekiwń cenowych W celu zbdni rodzju bifurkcji n brzegu obszru sbilności podswijąc 1 λ =1 do równni chrkerysycznego (17). Wedy orzymmy µ =1+. N ym brzegu obszru sbilności, reprezenownym przez ę zleżność, mmy bifurkcję 7
ypu siodło- węzeł. N rysunku 4 pokzno przykłdowe zchownie się ceny w ooczeniu ceny równowgi. 1 8 wnęrze 1 8 brzeg 1 8 zewn. 6 6 6 4 4 4 1 1 1 Rys. 4. Bifurkcj ypu siodło-węzeł (zminy ceny w czsie) Jeśli do równni chrkerysycznego (17) podswimy λ = 1, o orzymmy 1 µ =1. N ym brzegu mmy zem do czynieni z bifurkcją ypu ognisko. (rys.5) 1 8 wnęrze 1 8 brzeg 1 8 zewn. 6 6 6 4 4 4 1 1 1 Rys. 5. Bifurkcj ypu ognisko (zminy ceny w czsie) 5. ADAPTACYJNE OCZEKIWANIA CENOWE Rozwżmy erz przypdek, gdy oczekiwni cenowe są w kżdym okresie modyfikowne przez dodnie wyrzu proporcjonlnego do różnicy między ceną obserwowną i ceną przewidywną w poprzednim okresie, czyli E ( p ) E( p 1 ) = µ [ p 1 E( p 1 )], (19) gdzie µ jes słym współczynnikiem. Jeśli µ = 1, o dpcyjne oczekiwni cenowe redukują się do sycznych oczekiwń cenowych (11). Podswijąc powyższą zleżność do równni równowgi orzymmy po przekszłcenich nsępujące równnie różnicowe opisujące odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi kórego równnie chrkerysyczne m posć y = [ 1 µ (1 + )] y 1, () λ = 1 µ (1 + ). (1) 8
Wobec ego, cen równowgi w przypdku dpcyjnych przewidywń cenowych będzie sbiln wedy i ylko wedy, gdy 1 µ (1 + ) < 1. () Obszr sbilności n płszczyźnie prmerów (,µ ), wyznczony przez ukłd nierówności (), pokzno n rysunku 6. Rys. 6. Obszr sbilności w przypdku dpcyjnych oczekiwń cenowych Podswijąc λ =1 do równni chrkerysycznego (1) orzymmy = 1 lub µ =. N ych brzegch obszru sbilności mmy bifurkcję ypu siodło-węzeł (prz rys. 4). Jeśli podswimy λ = 1, o orzymmy µ =. N ym brzegu 1 + obszru sbilności mmy do czynieni z bifurkcją ypu ognisko (prz rys. 5). 6. EKSTRAPOACYJNE OCZEKIWANIA CENOWE Niech przewidywni cenowe kszłują się według wzoru E ( p ) = p 1 + µ ( p 1 p ). (3) Ozncz o, że syczne oczekiwni cenowe są modyfikowne przez wyrżenie proporcjonlne do różnicy cen w osnich dwóch okresch i redukują się do nich przy µ =. Posępując podobnie jk w poprzednich punkch możn wyznczyć cenę równowgi i uzyskć nsępujące równnie różnicowe opisujące zchownie się odchyleni ceny kulnej od ceny równowgi y µ µ + 1 = ( 1+ ) y + y kórego równnie chrkerysyczne przyjmuje posć 1, (4) λ + (1 + µ ) λ µ =. (5) 9
Możn pokzć [5], że cen równowgi jes sbiln wedy i ylko wedy, gdy spełniony jes ukłd nierówności µ < 1, µ > (1 + µ ) 1, µ > (1 + µ ) 1. (6) Obszr sbilności n płszczyźnie prmerów (,µ ), wyznczony przez ukłd nierówności (5), pokzno n rysunku 7. Rys. 7. Obszr sbilności w przypdku eksrpolcyjnych i regresywnych oczekiwń cenowych Podswijąc λ =1 do równni chrkerysycznego (5) orzymmy = 1. N ym brzegu obszru sbilności mmy bifurkcję ypu siodło-węzeł (prz rys. 4). 1 Jeśli λ = 1, o orzymmy µ =. N ym brzegu obszru sbilności mmy do czynieni z bifurkcją ypu ognisko (prz rys. 5). 1 Jeśli µ =, o równnie chrkerysyczne (4) m pierwiski zespolone ± sprzężone w posci λ = e πiθ. Ozncz o, że n ym brzegu obszru 1, sbilności obserwujemy bifurkcję ypu Neimrk-Hopf. [1,5]. Przedswijąc e pierwiski w posci rygonomerycznej orzymmy λ 1 + λ = cos(πθ). Ale n podswie (4) sum pierwisków ego równni wyrż się wzorem 1 λ 1 + λ = 1. Wobec ego cos πθ =. N rozwżnym brzegu obszru sbilności (rys. 7) mmy [ 1,3] i wobec ego cos( πθ) [ 1,1], o ozncz, że θ [,1]. W ej syucji równnie (4) m rozwiąznie szczególne w posci y = sin πθ i wobec ego θ reprezenuje zw. częsość włsną (lub częsość rezonnsową). Niech θ = p / q, gdzie p < q oznczją liczby nurlne. Wedy θ jes liczbą wymierną i przy bdniu bifurkcji Neimrk-Hopf sosunek p / q określ yp rezonnsu. Jeżeli θ jes liczbą niewymierną, o rozwżne rozwiąznie 1
szczególne jes prwie okresowe. Z powyższych rozwżń wynik, że możliwe ypy rezonnsów zleżą od przedziłu zmienności prmerów modelu, osecznie od przedziłu zmienności θ. Jeżeli n przykłd =, o θ = p / q = 1/ 3. Przy = 1 orzymmy θ = p / q = 1/ 4 id. 1 y 1 1 wnęrze y brzeg zewn. y 1 y +1 1 1 1 1 1 1 1 y Rys.8. Bifurkcj Neimrk-Hopf 1:3 (zleżności czsowe i płszczyzn fzow) Rys.9. Bifurkcj ypu Neimrk-Hopf,, 1 µ = (wewnąrz obszru sbilności) Rys.1. Bifurkcj ypu Neimrk-Hopf,, 1 µ = (zewnąrz obszru sbilności) N rysunkch 8, 9 i 1 pokzno chrkerysyczne zchownie się odchyleni ceny kulnej od ceny równowgi w przypdku rezonnsu 1 : 3. 11
7. OCZEKIWANIA CENOWE W POSTACI ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ CEN Z WIĘKSZEJ ICZBY OKRESÓW Rozwżmy erz dlsze uogólnienie rozwżnego modelu. Przypuśćmy, że decyzj o poziomie produkcji podejmown w okresie zleży od cen p, gdzie =1,,...,m, m jes jednym z elemenów zbioru { 1,,..., }. W przypdku = 1 decyzj o poziomie produkcji w okresie jes podejmown n podswie ceny p 1 (prz zleżność (3)), w przypdku = n podswie cen p 1 i p (prz zleżność (16)) id. Rozwżmy erz przypdek, gdy oczekiwni cenowe kszłuje się n podswie średniej rymeycznej cen z 1 poprzednich okresów. W ym przypdku z równni (5) orzymmy 1 = 1 E ( p ) p s= s. (7) Urzymując w mocy złożenie, że w kżdym okresie cen rynkow jes usln n poziomie oczyszczjącym rynek, z równń (1), () i (4) orzymmy nsępujące równnie różnicowe, opisujące rozwżny model rynku α βp = γ + δ 1 1 s= p s lub po przekszłcenich Wrości prmerów wzrosem cen. 1 1 p = p +. s= s c (8) i c zwykle powinny być kie, by podż rosł ze Aby zbdć sbilność ceny równowgi, wynikjącej z równni (8), wprowdźmy podobnie jk poprzednich punkch nową zmienną chrkeryzującą odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi. Będzie on spełnić nsępujące równnie różnicowe 1 1 s= y = ys. (9) O zchowniu się rynku wokół ceny równowgi decyduje zchownie się rozwiązń ego równni. Zuwżmy, że zgdnienie o przez podswienie (7) sprowdziliśmy do bdni sbilności ( dokłdniej sbilności sympoycznej) rozwiązni rywilnego równni (8). Równnie chrkerysyczne ego równni przyjmuje posć 1
λ + [ λ 1 + λ Jes o równnie lgebriczne sopni względem λ. +... + λ + 1] =. (3) Możn pokzć [3], że wrunkiem koniecznym i dosecznym sbilności rynku w ym przypdku jes spełnienie nierówności 1 < <, (31) Jeśli uwzględnimy ceny dobr ylko z jednego okresu ( = 1 ), o wrunek (31) jes równowżny wrunkowi (8). Przy = wrunek sbilności przyjmuje posć nierówności 1 < <. (3) W związku z ym przy = wrunkiem koniecznym i dosecznym sbilności jes spełnienie przez prmer nierówności (3). Dl dowolnych obszry sbilności (w posci odcinków) wyznczone przez nierówność (31) pokzno n rysunku 11. Rys.11. Obszr sbilności w przypdku oczekiwń cenowych w posci średniej rymeycznej cen z poprzednich okresów Punkmi brzegowymi ych obszrów sbilności są punky A 1, A,... orz punky B 1, B,.... Podswijąc λ =1 do równni chrkerysycznego (9) orzymmy = 1. Ozncz o, że w punkch B 1, B,... mmy bifurkcję ypu siodło-węzeł (prz rys. 4). Niech erz będzie liczbą nieprzysą. Wedy podswijąc λ = 1 do równni chrkerysycznego (9) orzymmy 1 + =, sąd =. To ozncz, że w 13
punkch A 1, A 3,... ( A z wskźnikmi nieprzysymi) mmy do czynieni z bifurkcjmi ypu ognisko (prz rys. 5). Niech erz będzie liczbą przysą. Po podswieniu = do równni chrkerysycznego (3) orzymmy λ + λ 1 + λ +... + λ + 1 =. Możn pokzć, że dl wszyskich przysych równnie o nie m pierwisków rzeczywisych, wszyskie pierwiski zespolone są prmi sprzężone i leżą w płszczyźnie zespolonej n jednoskowych okręgu. A o ozncz, że w punkch A, A 4,... ( A z wskźnikmi przysymi) mmy bifurkcje ypu Neimrk-Hopf (prz rys. 8, 9 i 1). 8. OCZEKIWANIA CENOWE W POSTACI ŚREDNIEJ WAŻONEJ CEN Z WIĘKSZEJ ICZBY OKRESÓW Rozwżmy erz dlsze uogólnienie rozwżnego modelu. Złóżmy, że decyzj o poziomie produkcji podejmown w okresie zleży od cen p, gdzie =1,,..., m, m jes jednym z elemenów zbioru { 1,,..., }. W przypdku = 1 decyzj o poziomie produkcji w okresie jes podejmown n podswie ceny p 1 (prz zleżność (3)), w przypdku = n podswie cen {,1,... } i p (prz zleżność (16)) id. W przypdku ogólnym przyjmiemy, że oczekiwni cenowe są średnią wżoną cen z poprzednich 1, czyli 1 1 s E ( p ) = k p 1 s= s. (33) j k j= 1 Urzymując w mocy złożenie, że w kżdym okresie cen rynkow jes usln n poziomie oczyszczjącym rynek, z równń (1), () i (4) orzymmy równnie (4) w posci równni różnicowego, p 1 1 1 s 1 j= 1 = = k p +. j s s c, (34) k gdzie < k < 1. Osni nierówność zpewni, że udził cen z wcześniejszych okresów w kszłowniu wielkości podży jes wykłdniczo mlejący. Z równni (34), podobnie jk poprzednio możn orzymć cenę równowgi p = p równ w posci (7). Aby zbdć sbilność ceny równowgi zuwżmy, że równnie różnicowe (8), chrkeryzujące odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi, przyjmuje w rozwżnym przypdku posć 14
1 1 1 s 1 s= k j j= 1k y = y. (35) Równnie chrkerysyczne ego równni przyjmuje posć λ + ( k, )[ λ 1 + kλ +... + k s λ + k 1 ] =, (36) gdzie ( k, ). j 1 k = j = 1 Możn łwo sprwdzić, że równnie λ [ λ + ( k, ) k] ( k, ) k = (37) m kie sme pierwiski jk równnie (35) i dodkowo pierwisek λ = k. Przypdek k =1 (wpływ n poziom kulnej ceny m średni rymeyczn zpsów z okresów wcześniejszych) zosł rozprzony w punkcie 7. Rozwżmy wobec ego przypdek = i 1 < k 1. Równnie chrkerysyczne przyjmuje erz posć λ + [ λ + k] = (38) 1 + k Rys. 1. Obszr sbilności w przypdku = i wobec ego wrunek sbilności przyjmuje posć nsępującego ukłdu nierówności k < 1 + k, k > ( 1+ k), k > ( 1+ k). (39) 15
Obszr sbilności n płszczyźnie ( k, ), wyznczony przez en ukłd nierówności, pokzno n rysunku 1. k Podswijąc λ =1 do równni (38) orzymmy 1 + + =, sąd 1+ k 1+ k = 1. N ym brzegu obszru sbilności pokznego n rysunku 11 mmy do czynieni z bifurkcją ypu siodło-węzeł (rys. 4). Jeżeli do równni chrkerysycznego (38) podswimy λ = 1, o orzymmy 1+ k =. N ym brzegu obszru sbilności pokznego n rysunku 11 bifurkcj 1 k jes ypy ognisko (rys.5). 1 Podswijąc = + 1 do równni chrkerysycznego orzymmy k 1 λ + λ+ 1 =. Sąd widć, że w ineresującym ns zkresie prmerów czyli k 1< k <.5 lub.5 < k < 1 równnie o m pierwiski zespolone w posci ± πiθ λ = e. Poniewż ich moduł równ się jedności, o ozncz, że n 1, rozwżnym brzegu obszru sbilności pokznego n rys. 1 mmy do czynieni z bifurkcją ypu Neimrk-Hopf. Powyższe przypdki doyczą sbilności, gdy w kszłowniu wielkości podży uwzględni się ceny z "młej" liczby okresów (z wyjąkiem k =1). W przypdku ρ równnie chrkerysyczne (36) jes sopni co njmniej rzeciego i nie możn podć k prosych wrunków sbilności jk (39). Zbdjmy wobec ego przypdek, gdy wielkość podży kszłuje się n podswie "dużej" liczby okresów. Przy uczynionych wyżej złożenich ozncz o, że m dążyć do nieskończoności (eoreycznie) lub przyjmuje wrości większe od jedności (prkycznie). Jeżeli k < 1 i, o równnie chrkerysyczne (36) redukuje się do posci gdyż ( k, ) (1 k) przy. Wobec ego ukłd nierówności λ + ( 1 k) k = (4) k < 1, k (1 k) < 1 wyzncz n płszczyźnie ( k, ) obszr sbilności pokzny n rysunku 13. 16
Rys. 13. Obszr sbilności w przypdku oczekiwń cenowych w posci ciągu geomerycznego nieskończonego cen z poprzednich okresów Zbdjmy erz chrker bifurkcji n brzegu ego obszru sbilności. Podswijąc λ =1 do równni chrkerysycznego (4) orzymmy = 1. Wobec ego n ym brzegu mmy bifurkcję ypu siodło-węzeł (rys.4). Jeśli 1+ k podswimy λ = 1 do ego smego równni, o orzymmy = lub k =1. 1 k N ych brzegch mmy do czynieni z bifurkcją ypu ognisko (rys.5). 9. PODSUMOWANIE Ocen sbilności rozwżnych modeli rynku, nliz bifurkcyjn i różne rodzje bifurkcji n brzegu obszru sbilności pokzują jk złożone może być zchownie się ceny nwe w przypdku liniowych modeli rynku. Informcj o zchowniu się ceny n brzegu obszru sbilności ułwi przewidywnie jej zchownie się w jego ooczeniu. ITERATURA [1] Alf C. Ching, Podswy ekonomii memycznej, PWE, Wrszw 1994 [] Goeree J.K., Hommes C.H., Heerogeneous beliefs nd he non-liner Cobweb model, J. of Economics Dynmics & Conrol., vol.4, no.5-7, June. [3] Cirell Crl, He Xue-Zhong, erning bou he Cobweb, Complexiy, vol.6, 1998. [4] Cirell Crl, He Xue-Zhong, Dynmics of beliefs nd lerning under i -processes he heerogeneous cse, Journl of Economic nd Conrol, 7, 3,53-531. [5] Gierulski W., Rdziszewski B., Anliz sbilności modeli podży i popyu, Kwrlnik AGH Zgdnieni Techniczno - Ekonomiczne,.48, z.3, AGH Krków 3. [6] Gierulski W., Rdziszewski B., Oczekiwni cenowe sbilność rynku, Zrządznie przedsiębiorswem w wrunkch inegrcji europejskiej, część, Ekonomi, Informyk i meody memyczne, AGH Uczelnine wyd. nuk.- dydk., Krków 4. 17
[7] Gierulski W., Rdziszewski B., Anliz sbilności modeli podży i popyu z uwzględnieniem zpsów, V Sympozjum Insyuu Ekonomii i Zrządzni, Poliechnik Święokrzysk, Kielce..4, ZN Nuki Ekonomiczne nr 3, 4. [8] Gierulski W., Rdziszewski B., O sbilności i niesbilności modelu rynku przy różnych oczekiwnich cenowych, VI Sympozjum Insyuu Ekonomii i Zrządzni, Poliechnik Święokrzysk, Kielce 31.1.5, ZN Nuki Ekonomiczne nr 33, 5. [9] Okniński A., Rdziszewski B., Sbilność rynku przy prognozowniu ceny n podswie zpsów, Kwrlnik AGH Zgdnieni Techniczno Ekonomiczne (prc złożon do druku), Krków 5. MARKET MODEING AND STABIITY SUMMARY This sudy is n nlysis of rdiionl mrke models in cse when curren price depends no only on price in previous period of ime, bu lso on prices level in mny previous periods. Achieving equilibrium (blnce) of such mrke, region of sbiliy nd bifurcions prmeers re nlysed. 18