3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz lowych zadań decyzyjych ormułujemy także elowe zadaa decyzyje (NZD). Zadae decyzyje azywamy elowym jeżel ukcja celu lub chocaż jede z waruków oraczających są elowe (p. kwadratowe wykładcze loarytmcze tp.). Przykład praktyczeo zaadea o charakterze elowym (zaadee wyboru optymaleo portela akcj) Stopa zysku ryzyko Rozważmy astępujący problem decyzyjy. Iwestor posadający określoy kaptał chce o ulokować a ełdze kupując akcje. Każda akcja jest charakteryzowaa przez dwa podstawowe czyk stote dla westora podejmująceo decyzje o zakupe akcj: stopę zysku (zwrotu) ryzyko. Stopa zysku (zwrotu) to stosuek zysku jak przyos daa akcja do kosztu jej zakupu. Stopę zysku w okrese t oblczamy wedłu wzoru: (4.) R [( P P ) D ] P t t t t / t dze: P t wartość akcj a koec okresu t P t- wartość akcj a początku okresu t D t welkość dywdedy w okrese t. Uwaa! Dla dzeych stóp zwrotu przyjmujemy ajczęścej że dywdeda jest rówa zero. Czasam stopę zwrotu deuje sę róweż pomjając składk D t.

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Wszystke decyzje zwązae z westowaem w akcje są decyzjam dotyczącym przyszłośc podejmowaym w warukach epewośc. Tak węc stopa zysku jest w stoce przyszłą oczekwaa stopą zysku jaka zostae osąęta w pewym okrese. Stąd uzyskae ustaloej wartośc stopy zysku wąże sę z ryzykem. Stopa zysku jest zmeą losową która może przyjmować róże wartośc z określoym prawdopodobeństwam. Prawdopodobeństwa te zależą od sytuacj a ełdze a te z kole od różych czyków p. od stau ospodark czy sytuacj poltyczej. Przykład 4. Rozważmy akcje dwóch spółek A B. W Tabel 4. przedstawoo rozkłady stóp zwrotu tych akcj. Tabela 4. Możlwy sta Prawdopodobeństwo Stopa zwrotu ospodark p R A (w %) R B (w %). 6. 3 4 3.4 4. - 6 5. -4 Powstaje pytae: jak a podstawe tych przewdywaych stóp zysku oszacować jede wskaźk który mółby umożlwć podjęce decyzj o zakupe akcj? Do teo celu służy oczekwaa stopa zysku (zwrotu). Określa sę ją wedłu wzoru: m (4.) R p R dze: R oczekwaa stopa zwrotu; R -ta możlwa wartość stopy zwrotu; p prawdopodobeństwo osąęca przez stopę zwrotu -tej wartośc; m lczba możlwych do osąęca wartośc stopy zwrotu.

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Po podstaweu do wzoru (4.) wartośc z Tabel 4. otrzymamy: dla spółk A: R.6%.3%.4%.( %).( 4%) % A dla spółk B: R. %. 4%.4 %. 6%. % % B Rozkład prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk A Rozkład prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk B 4 4-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 Wartośc możlwych stóp zwrotu -5-4 -3 - - 3 4 5 6 7 Wartośc możlwych stóp zwrotu a) b) Wykres 4. Rozkłady prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk A a) oraz B b) Z oblczoych wartośc oczekwaych stóp zwrotu wyka że westowae w obe spółk jest tak samo atrakcyje (te sam oczekway zysk ). Aalza wykresów 4.a) 4.b) pozwala jedakże stwerdzć że w przypadku akcj spółk A możemy rówe dobrze dużo zyskać (6% z prawdopodobeństwem.) jak dużo stracć (-4% z prawdopodobeństwem.). Dzeje sę tak dlateo że rozrzut możlwych wartośc stopy zwrotu wokół oczekwaej stopy zwrotu (R A %) jest duży. Takej złej cechy e posada rozkład stopy zwrotu spółk B. Wdać z wykresu 4.b że w ajorszym przypadku możemy a e stracć a e zyskać (dla R 5B %) atomast w ajlepszym przypadku wprawdze zyskujemy tylko % (czyl mej ż dla ajlepszeo przypadku dla spółk A tz. dla R A 6%) ale mamy mejszy rozrzut możlwych wartośc stopy zwrotu wokół wartośc oczekwaej (tz. wokół R B %). Dlaczeo? Poeważ z akcją B wąże sę zacze mejsze ryzyko ż z akcją A. Im wększe zróżcowae możlwych stóp zysku tym wększe ryzyko zwązae z daą akcją.

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Powstaje zasadczy problem: Jak zmerzyć ryzyko jak wyrazć je sytetycze za pomocą jedej lczby? Ryzyko zwązae z daą akcją moża zmerzyć za pomocą waracj stopy zysku określoej wzorem: (4.3) m V p( R R) dze: V waracja stopy zwrotu; R oczekwaa stopa zwrotu. Częścej stosuje sę ą marę ryzyka maowce odchylee stadardowe s stopy zwrotu (stadard devato o returs): (4.4) s V p m ( R R) dze: s odchylee stadardowe stopy zwrotu. Odchylee stadardowe wskazuje przecęte odchylee możlwych stóp zwrotu od oczekwaej stopy zwrotu przy czym m wększe jest odchylee stadardowe tym wększe ryzyko. Ze wzoru (4.3) oraz Tabel 4. mamy: - dla akcj spółk A V A.(.6.).(..) - dla akcj spółk B.(.3.).(.4.).4(..).66 V B.(..).(.6.).(.4.).(.).4(..).64

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata oraz ze wzoru (4.4): s s A B VA VB.66.57 5.7%.64.5 5.% Powyższe oblczea potwerdzają akt zaobserwoway a wykrese 4. że akcje spółk B cechują sę 5-co krote mejszym ryzykem bo s B <s A. Portel akcj Gdy westor kupuje klka akcj stote jest powązae ch stóp zysku merzoe za pomocą współczyka korelacj. Dla dwóch akcj ozaczoych umeram współczyk korelacj określoy jest wzorem: m p ( R (4.5) ρ R ) ( R s s R ) Rozważaa asze oprzemy o tzw. portel dwuskładkowy tz. składający sę z akcj tylko dwóch spółek. Wprowadzmy astępujące ozaczea: s s - odchylea stadardowe stóp zwrotu akcj spółk ; R R - oczekwae stopy zwrotu akcj spółk ; ρ - współczyk korelacj stóp zwrotu akcj obu spółek; w w - udzały akcj obu spółek w portelu przy czym : w w. Oczekwaa stopa zwrotu R p portela akcj dwóch spółek daa jest wzorem: (4.6) R p w R w R Przypadek dy wykluczamy krótką sprzedaż. Wówczas udzały akcj w portelu są lczbam eujemym.

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Waracja V p stopy zwrotu portela dwuskładkoweo wyraża sę wzorem: (4.7) V p w s w s w w s s ρ Z kole odchylee stadardowe stopy zwrotu portela dwuskładkoweo lczymy astępująco: (4.8) s p Vp Przykład 4. (decyzyje zadae westycyje jako zadae PN) Rozpatrzmy zaadee doboru optymaleo -składkoweo portela akcj. Chodz zatem o to aby tak dobrać udzały poszczeólych akcj w portelu by: stopa zwrotu portela R p (por. wzór (4.6)) była jak ajwększa; ryzyko portela V p (merzoe za pomocą waracj stopy zwrotu portela (por. wzór (4.7))) było jak ajmejsze. Tak zdeoway problem decyzyjy jest problemem dwukryteralym trudym do rozwązaa w tej postac. Najczęścej problem te aalzuje sę jako dwa uproszczoe problemy jedokryterale: problem I - ustalć tak portel akcj aby: a). stopa zwrotu portela była jak ajwększa; b). ryzyko portela było e wększe ż ustaloy dopuszczaly pró wartośc. problem II - ustalć tak portel akcj aby: a). ryzyko portela było jak ajmejsze; b). stopa zwrotu portela była e mejsza ż ustaloy dopuszczaly pró wartośc.

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Przyjmjmy astępujące ozaczea: lczba akcj w portelu; R oczekwaa stopa zwrotu akcj -tej spółk (por. (4.)) ; udzał akcj -tej spółk w portelu ; s odchylee stadardowe akcj -tej spółk (por. (3.3.6)) ; ρ współczyk korelacj mędzy akcją -tej j-tej spółk j j ; R pdop dopuszczaly (doly) pró wartośc oczekwaej stopy zwrotu portela; V pdop dopuszczaly (óry) pró wartośc waracj stopy zwrotu portela. Oba podproblemy moża zdeować astępująco: podproblem I - wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów) aby: (4.9) R ma przy oraczeach: (4.) j s j j s j s ρj V pdop j (4.) j (4.) Zadae (4.9) (4.) ze wzlędu a waruek (4.) jest elowym zadaem decyzyjym trudym do rozwązaa. Fukcja celu (4.9) opsuje oczekwaą stopę zwrotu z portela. Waruek (4.) odpowedzaly jest za to że ryzyko portela (merzoe za pomocą waracj stopy zwrotu portela) e przekroczy wartośc dopuszczaleo prou. Waruek (4.) zapewa to że udzały w portelu muszą sę sumować do jedośc (aczej: do %).

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata podproblem II - wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów) aby: (4.3) j s j j s j s ρ j m j przy oraczeach: (4.4) R Rpdop (4.5) j (4.6) To zadae jest róweż zadaem elowym dyż elowość wprowadza ukcja celu (4.3). Mmalzuje oa warację stopy zwrotu z portela. Waruek (4.4) zapewa to że stopa zwrotu z portela będze e mejsza ż ustaloa wartość proowa R pdop. Waruek (4.5) zapewa to że udzały w portelu muszą sę sumować do jedośc (aczej: do %). Zbudujmy optymaly portel składający sę z akcj dwóch spółek A B które charakteryzują sę astępującym parametram: oczekwae stopy zwrotu dla obu spółek wyoszą odpowedo: R A.9 R B.95; odchylea stadardowe stopy zwrotu dla obu spółek wyoszą odpowedo: s A.547 s B.36; współczyk korelacj mędzy akcjam spółk A B wyos: ρ AB.5. Perwszy westor ozajmł że zadowol o take rozwązae które zapew mu maksymalą stopę zwrotu z portela przy średm odchyleu możlwych stóp zwrotu z portela od wartośc oczekwaej e węcej ż o 4%. Dru westor e chce ryzykować teresuje o węc tak portel który mmalzuje ryzyko. Wymaa przy tym stopy zwrotu z portela e mejszej ż %. Dla perwszeo westora mamy węc astępujące zadae optymalzacj:

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów) A oraz B aby: (4.7) 9 95 ma przy oraczeach: A B (4.8) A 547 B 36 A 547 B 365 4 (4.9) A B (4.) A B Rozwązując to zadae otrzymujemy astępujące rozwązae optymale:.58 A B. 48 oraz wartość ukcj celu (oczekwaą stopę zwrotu z portela) rówą.54 czyl.54%. Jest to maksymala możlwa do osąęca oczekwaa stopa zwrotu z portela przy ryzyku (waracj stopy zwrotu z portela) e wększym ż.4. Z kole dla drueo westora mamy astępujące zadae optymalzacj: wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów) A oraz B aby: (4.) 547 36 547 365 m A przy oraczeach: B (4.) A 9 B 95 (4.3) A B (4.4) A B Rozwązując to zadae otrzymujemy astępujące rozwązae optymale:.9 A B. 79 oraz wartość ukcj celu (warację stopy zwrotu z portela) rówą.69. Jest to mmala możlwa do osąęca wartość A B

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata ryzyka (merzoeo za pomocą waracj stopy zwrotu z portela) przy zapeweu pozomu dochodów e mejszeo ż %. Należy zauważyć że przyjęce zbyt wysokej mmalej stopy zwrotu z portela R pdop prowadz do sprzeczośc zadaa lub portela akcj o bardzo dużym ryzyku (w zadau (4.) (4.4)). Podobe przyjęce zbyt skeo pozomu ryzyka V pdop w zadau (4.7) (4.) spowoduje bądź emożość spełea oraczeń bądź zalezee portela akcj o bardzo małym dochodze. Przydatość propoowaych model dla wyzaczaa optymaleo portela akcj zależy od waryodośc ormacj tz. od teo czy dyspoujemy dobrym szacukam dotyczącym przyszłośc lub czy moża wykorzystać dae z przeszłośc do podejmowaa decyzj dotyczących przyszłośc.

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Typy zadań WŁASNOŚCI ZADAŃ PROGRAMOWANIA NIELINIOWEGO Zadae decyzyje postac: () ma (4.5) przy or. ( ) ( m) ( ) ( m r) (4.6) (4.7) () m (4.5 ) przy or. ( ) ( m) ( ) ( m r) (4.6 ) (4.7 ) azywamy zadaem proramowaa eloweo (PN) jeżel ukcja celu () lub chocaż jede z waruków oraczających ( ) są elowe przy czym (... ) ozacza -wymarowy wektor zmeych decyzyjych. W proramowau elowym podstawowe zaczee mają dwa rodzaje ukcj: ukcja wypukła ukcja wklęsła. Wykresy ukcj wypukłej oraz ukcj wklęsłej przedstawoo a rysuku pożej..5^- 4 5 4 3 4 4 6 8-4 6 8 -.5 ^ 4-6 ukcja wypukła ukcja wklęsła

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Moża wyróżć dwa podstawowe typy zadań proramowaa eloweo:. zadaa proramowaa wypukłeo (PW). zadaa proramowaa ewypukłeo (PNW). Zadaem proramowaa wypukłeo azywamy take zadae proramowaa eloweo w którym: - mmalzujemy wypukłą bądź maksymalzujemy wklęsłą ukcję celu - zbór rozwązań dopuszczalych jest zborem wypukłym. Każde e zadae proramowaa eloweo azywamy zadaem proramowaa ewypukłeo. Wśród zadań proramowaa wypukłeo szczeóle zaczee zajmują zadaa proramowaa kwadratoweo a wśród zadań proramowaa ewypukłeo zadaa proramowaa wklęsłeo. Zadaem proramowaa kwadratoweo azywamy zadae PW w którym: - ukcja celu jest ukcją kwadratową - wszystke ukcje ( ) są lowe (zbór rozwązań dopuszczalych jest weloścaem wypukłym) Zadaem proramowaa wklęsłeo azywamy zadae proramowaa ewypukłeo w którym: - mmalzujemy wklęsłą bądź maksymalzujemy wypukłą ukcję celu - zbór rozwązań dopuszczalych jest weloścaem wypukłym. Idetykacja typu zadaa jest bardzo stota pozwala bowem określć trudośc jake moą wystąpć przy szukau rozwązaa optymaleo oraz wybrać odpowedą metodę rozwązaa.

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Waruk optymalośc Kuha-Tuckera (K-T) Dla zadań proramowaa eloweo waruk optymalośc rozwązań określa twerdzee Kuha-Tuckera. TWIERDZENIE Kuha-Tuckera (K-T) Jeżel jest rozwązaem optymalym zadaa (4.5) (4.7) to spełoe są astępujące waruk 3 : (a) (4.8) jest rozwązaem dopuszczalym czyl: ( ) ( m) ( ) ( m r) (b) steją take lczby (możk) ( r) że: (4.9) dla... m dowole dla m... r ( ) ( m) (c) spełoa jest ormuła: r (4.3) ( ) ( ) dze ozacza -wymarowy wektor zer. Waruk typu (a) określają spełee oraczeń. Jeżel któreś z oraczeń małoby zwrot to ależy to oraczee pomożyć przez. Podobe jeśl ukcja celu () podleałaby mmalzacj to ależy ją przemożyć przez ukcja () podlea wówczas maksymalzacj 4. 3 Uwaa! W lteraturze spotyka sę róże rówoważe decje waruków K-T. 4 Wyka to z teo że: m () ma ( ()).

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata W warukach typu (b) możk muszą być eujeme tylko dla waruków zadaa PN w postac erówośc przy czym dy waruek jest spełoy z ostrą erówoścą to z (4.9) wyka że odpowadający mu możk mus być rówy zero. Waruków typu (c) jest tyle le elemetów (zmeych) ma wektor (czyl ). Symbol ( ) ozacza radet ukcj () czyl wektor pochodych cząstkowych tej ukcj tz.: ( ) ( ) ( ) ( )... oraz ( ) ozacza radet ukcj (): ( ) ( ) ( ) ( )... dze: ( ) j - pochoda cząstkowa ukcj wzlędem j-tej składowej wektora ( ) j - pochoda cząstkowa ukcj wzlędem j-tej składowej wektora Zapsując waruek typu (c) w postac skalarej otrzymamy astępujących waruków: (4.3a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )............ r r r r r r

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Waruk różczkowe Kuha-Tuckera są warukam koeczym optymalośc (e są w oólym przypadku warukam wystarczającym). Każde rozwązae optymale zadaa proramowaa eloweo mus spełać waruk (a)-(c) ale rozwązae spełające te waruk ekoecze jest optymale. Istote jest że dla zadań proramowaa wypukłeo waruk Kuha-Tuckera są warukam wystarczającym. Jeżel rozwązae dopuszczale speła waruk różczkowe Kuha-Tuckera to jest rozwązaem optymalym. Jeżel atomast waruków e speła to e jest rozwązaem optymalym. Moża zatem powedzeć że: Dla zadań proramowaa wypukłeo waruk Kuha-Tuckera pozwalają jedozacze oceć czy badae rozwązae jest optymale. Dla zadań proramowaa ewypukłeo waruk Kuha-Tuckera są spełoe przez każde rozwązae będące ekstremum lokalym wobec teo e moża woskować czy otrzymae rozwązae jest rozwązaem optymalym (lobale). Przykład 4.3 Rozważmy zadae proramowaa eloweo: (4.3) ( ) 3 ma przy or. (4.3) Wykres ukcj celu (4.3) przedstawoo a rysuku.

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata <> 5 4 3-3 4 5-3-^ Fukcja celu (4.3) jest wklęsła a zadae jest a maksmum węc jest to zadae proramowaa wypukłeo. Z rysuku wyka że optymalym rozwązaem zadaa (4.3) (4.3) jest pukt z maksymalą wartoścą ukcj celu ( )3. Zapszmy waruek (4.3) w kowecj przyjętej w proramowau elowym: ( ) ( ). Dla zadaa (4.3) (4.3) waruk Kuha-Tuckera mają postać: (a) (b) ( ) ( ) (c) ( ) bo ( ) ( 3 ) ( 3 ) oraz ( ) ( ) ( ) ( )

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Jedyym puktem ze zboru rozwązań dopuszczalych który speła waruk Kuha-Tuckera (a)-(c) jest z możkem. Pukt jest rozwązaem optymalym zadaa (4.8) (4.9) (ale e jest werzchołkem zboru rozwązań dopuszczalych!). WNIOSEK! Rozwązae optymale zadaa proramowaa wypukłeo e mus zajdować sę w werzchołku lub a brzeu zboru rozwązań dopuszczalych (tak jak to było w przypadku zadań PL). Przykład 4.4 Z elektrocepłow eera przesyłaa jest do dwóch zużywających ją zakładów produkcyjych. Fukcja kosztów przesyłaa eer do tych zakładów w zależośc od welkośc przesyłu (odpowedo do zakładu I do zakładu II ) daa jest wzorem: ( ) 5 8 7 4 8 Rozdzelć dzeą produkcję eer wyoszącą 6 MWh pomędzy te dwa zakłady tak aby mmalzować koszty przesyłu eer. Rozwązae Zode z treścą zadae do rozwązaa jest astępujące: (4.33) ( ) 5 8 7 4 8 m przy oraczeach: (4.34 ) ( ) 6 (4.35) ( ) (4.36) ( ) 3

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Wykres ukcj celu (4.33) przedstawoo pożej. 5 <y> 5 5 5 5 5 Najperw musmy zapsać zadae (4.33)-(4.36) w rówoważej postac jako zadae typu (4.5)-(4.7) dyż podae w (4.8)-(4.3) waruk Kuha-Tuckera dotyczą zadaa postac (4.5)-(4.7). Otrzymamy zadae: (4.33 ) ( ) 5 8 7 4 8 ma przy oraczeach (4.34)-(4.36).

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Waruk Kuha-Tuckera dla teo zadaa są astępujące: (a) 6 (b) 3 3 (c) 4 4 8 II 8 I 3 Waruek (c).i otrzymalśmy oblczając: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 atomast waruek (c).ii oblczając: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 dze: ( ) 8 ( ) 4 4 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Rozwązae układu rówań erówośc określoeo przez waruk (a)-(c) możemy dokoać p. poprzez przyjmowae pewych założeń co do wartośc możków a astępe sprawdzae czy spełoe są wszystke waruk (a)-(c). Przyjmjmy a początek że 3. Przy tych założeach otrzymujemy że spełoe są waruk typu (b) oraz pozostaje am do rozwązaa astępujący układ rówań (przy czym musmy pamętać że otrzymae wartośc zmeych muszą być eujeme aby spełć pozostałe dwa założea wykające z waruku typu (a)): (a) 6 (c) 8 8 4 4 Elmujemy z (c.i) (c.ii) poprzez pomożee (c.i) przez (-) dodae stroam obu rówań: 8 8 4 ( 4 Otrzymamy: 8 8 Dodając rówae (a) otrzymujemy układ rówań: I II 8 8 6 Z rówaa II wyzaczamy 6 wstawamy do I otrzymując: ) ( 6 ) 8 8 35 8 8 4 36 / : 4 9

Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata oraz 6 7 8 Otrzymalśmy astępujące rozwązae: 9 7. Zauważmy że wszystke waruk typu (a)-(c) dla 3 otrzymaeo rozwązaa są spełoe zatem para ( ) (9 7) jest rozwązaem optymalym problemu (4.33)-(4.36). Wartość ukcj celu (4.33) dla otrzymaeo rozwązaa jest maksymala. wyos ( ) 89