Analiza danych pomiarowych

Transkrypt

1 Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa

2 Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety sprawozdaa z dośwadczea fzyczego 5 Aalza daych pomarowych 7 R OZDZIAŁ PRZYDATNE INFORMACJE W PIGUŁCE 8 R OZDZIAŁ 3 POMIAR WIELKOŚCI FIZYCZNEJ Źródła odchylea wyku od wartośc dokładej Główe przyczyy odchyleń od wartośc dokładej R OZDZIAŁ 4 BŁĄD SYSTEMATYCZNY 3 Dokładość przyrządów 3 Merk cyfrowe 4 Merk aalogowe 6 R OZDZIAŁ 5 BŁĄD PRZYPADKOWY (LOSOWY) ROZKŁAD GAUSSA (LICZBA POMIARÓW >0) 8 Test 3σ A. Porówae wyku pomaru z wartoścą tablcową B. Weryfkacja pojedyczych daych pomarowych zacze odbegających od wartośc oczekwaej R OZDZIAŁ 6 ROZKŁAD T-STUDENTA (LICZBA POMIARÓW 0) 3 R OZDZIAŁ 7 WYNIK POMIARU ORAZ JEGO ZAPIS 6 7. ZASADY ZAOKRĄGLANIA LICZB 7 R OZDZIAŁ 8 POMIAR WIELKOŚCI FIZYCZNEJ I JEJ NIEPEWNOŚĆ - PODSUMOWANIE 8 R OZDZIAŁ 9 POMIARY POŚREDNIE I PROPAGACJA MAŁYCH BŁĘDÓW 3 9. Pochode fukcj elemetarych Pochoda fukcj złożoej Pochoda fukcj welu zmeych 35 R OZDZIAŁ 0 POMIARY O RÓŻNYCH DOKŁADNOŚCIACH ŚREDNIA WAŻONA 36 Dygresja: średa ważoa a średa arytmetycza 37 R OZDZIAŁ METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW 38

3 R OZDZIAŁ DODATEK 4 Rozdzał A: Kalbracja przyrządu - wyjaśee 4 Rozdzał B: Pomar pojedyczej welkośc oraz jej epewość wyprowadzee wzorów 43 Rozdzał C: Wartośc krytycze t współczyków rozkładu t α, Studeta 45 Rozdzał D: Dokładość skalowaa epewośc welkośc zmerzoej w zależośc od typu użytego przyrządu oraz jego zakresu. 46 Rozdzał E: Aalza epewośc pomarowych prezetacja 54

4 Podzękowaa Autor pracy bardzo serdecze dzękuję Pa dr Bożee Jaowskej-Dmoch za lcze dyskusje, cerplwość oraz udostępee materałów ezwykle pomocych przy powstawau poższego tekstu. Lteratura. J. R. Taylor, Wstęp do aalzy błędu pomarowego, Wydawctwo Naukowe PWN, Warszawa, R. Nowak, Statystyka dla fzyków, ćwczea Wydawctwo Naukowe PWN, Warszawa, G. L. Squres, Praktycza fzyka, Wydawctwo Naukowe PWN, Warszawa, H. Abramowcz, Jak aalzować wyk pomarów, Wydawctwo Naukowe PWN, Warszawa, 99. Wstęp Poższy tekst jest przezaczoy dla studetów I roku Wydzału Chem UW, którzy chcą apsać sprawozdae z Pracow Fzyczej. Skrypt ma a celu przedstawee ogólych zasad aalzy daych pomarowych oraz formy psaa raportów z wykoaych dośwadczeń fzyczych. Dokumet e opsuje wszystkch ogólych zasad statystyk. Autor skocetrował sę a praktyczym przedstaweu ajstotejszych formacj rezygując z wyprowadzaa wzorów. 3

5 Rozdzał Sprawozdae z dośwadczea fzyczego Każdy ma własy styl psaa raportów. Warto jedak pamętać, że podstawą pozytywej ocey pracy dośwadczalej jest rzetele przeprowadzee eksperymetu właścwe przedstawee jej wyków. Ne steje jeda recepta a przedstawee wyków dośwadczea, gdyż zależy oa od charakteru dośwadczea. Dlatego ajlepej wszelke wątplwośc wyjaść z asystetem. Ogóle ops jest to rzetele, zwęzłe sprawozdae z wykoaego dośwadczea. NIE wolo przepsywać ksążek, strukcj lub psać zdań oczywstych mających a celu zwększee objętośc opsu. Sprawozdae mus być czytele zrozumałe dla czytającego. Dlatego powo zawerać jedye ezbęde formacje. Po wykoau pomaru, a przed przystąpeem do apsaa opsu warto wykoać półloścowe sprawdzee zebraych daych dośwadczalych. Dlatego, ajlepej jeszcze w trakce zajęć: a) jeśl szukaa welkość fzycza jest wartoścą bezpośredo merzoą, porówać ją z wartoścą przewdywaa tz. sprawdzć rząd welkośc. Gdy zmerzoe wartośc zacze odbegają od oczekwaych trzeba sprawdzć czy e zostały popełoe tzw. błędy grube (rozdzał 3). b) W przypadku zależośc fukcyjej pomędzy welkoścą zmerzoą oraz badaą koecze jest wykoae wykresu. Rysuek wykoujemy starae, wykorzystując całą wolą przestrzeń a kartce. Skala a osach e mus zaczyać sę od zera, lecz powa dobrze pasować do zakresu zmerzoych parametrów. Na wykrese zazaczamy pukty pomarowe wraz z krzywą tredu. Warto też zazaczyć epewośc (błędy) welkośc zmerzoych, przyajmej dla klku skrajych puktów pomarowych. W te sposób możemy grafcze oszacować p. współczyk achylea prostej a oraz jej wyraz woly b. Następe sprawdzamy rząd welkośc obu parametrów a, b oraz ogóly tred puktów pomarowych. Jeżel jest taka potrzeba, sprawdzamy pukty odstające od dopasowaa. Dopero po takm sprawdzau daych pomarowych wykoujemy aalzę używając bardzej zaawasowaych techk p. a komputerze. Ta wstępa grafcza aalza jest bardzo waża. Komputer ma tylko za zadae ułatwć przyśpeszyć aalzę daych. Waże jest jedak, aby rozumeć kotrolować arzędza statystycze używaego programu. Dlatego po dopasowau krzywej do aszych puktów dośwadczalych, warto ją arysować sprawdzć: jej kształt oraz zgodość z aszym oczekwaam, jej achylee dla graczych wartośc wykających z dokładośc dopasowaa (p. dla prostej), sprawdzć wartośc dla charakterystyczych puktów, p. puktów przecęca z osam, ekstrema td. Take przemyślee otrzymaego wyku pozwol am ukąć oczywstych pomyłek. 4

6 Pewe elemety raportu powy zostać przedstawoe w każdym z opsów. Pożej zostały opsae sugeste a temat prawdłowego wykoaa sprawozdaa. Stałe elemety sprawozdaa z dośwadczea fzyczego. Wstęp Klka własych zdań (-3) zawerających formacje o celu przeprowadzoego dośwadczea oraz przedstawających model badaego zjawska. Ne ależy tracć mejsca a przepsywae z podręczków wyprowadzeń wzorów czy hstor zjawsk.. Techka realzacj pomaru Rozpoczyamy od opsaa (krótko) jake czyośc zostały wykoae w jakm celu (ops metody pomarowej td.). Jeśl dośwadczee wymagało zmotowaa układu (p. elektryczego) schematycze przedstawamy układ. Ne przerysowujemy fragmetów strukcj do sprawozdaa, e przerysowujemy rysuków z strukcj. 3. Ops aalza zebraych daych Zawera opracowae aalzę zebraych daych pomarowych zgode z podaym puktam wykoaego dośwadczea oraz zgode z rachukem błędu. a) Każdą zmerzoą lub wylczoą welkość fzyczą przedstawoą w pracy podajemy wraz z epewoścą pomaru (czasem używaa jest azwa błąd pomaru). Należy przy tym pamętać, że: welkość zmerzoą jej epewość podajemy w tych samych jedostkach, w zależośc od lczby wykoywaych pomarów, epewość zaokrąglamy do jedej lub dwóch cyfr zaczących, lczba mejsc po przecku prezetowaej wartośc zmerzoej jest taka sama jak dla jej epewośc p. g ( 9,8 ± 0,) m s lub g ( 9,8 ± 0,05) m s (źle: g ( 9,8 ± 0,) m s lub ( 9 0,) m s g ± ). b) Zebrae dae eksperymetale przedstawamy wraz z krótkm wylczeam wyków (a e same końcowe lczby). Najlepej przedstawć wyrażee (wzór), z którego skorzystao, z przykładowym jedym wylczeem. W przypadku pozostałych, aalogcze wykoaych oblczeń, wystarczy ograczyć sę do wartośc końcowych. Należy pamętać o różych formach przedstawea daych. Najbardzej popularą metodą jest tabela, która powa zawerać azwy prezetowaych welkośc oraz jedostk, w których są oe zmerzoe. Iym sposobem, lepej obrazującym badae zjawsko jest wykres lub hstogram. c) Klka uwag o prezetacj daych w forme tabel oraz wykresów. Każdej tabel czy wykresow adajemy krótk, zrozumały tytuł. Symbole welkośc fzycze używae do podpsów tabel czy wykresów powy być take same jak w tekśce opsu. Należy pamętać, że ektóre termy jak p. czas jest welkoścą mogącą opsywać róże welkośc fzycze p. czas spadku kulk, czas spadku kulk merzoy od położea td. Dlatego waże jest precyzyjy dobór azw. W tabelach azwy, symbole, welkośc fzycze oraz jedostk umeszczamy w agłówkach kolum lub werszy. NIE podajemy jedostek mar w komórkach tabel obok każdej wartośc lczbowej. 5

7 Opór omowy R Nepewość R Napęce U Nepewość U (Ω) (Ω) (V) (V),00 0,05 0,0 0, 4,00 0,05 0,0 0, Ose wykresów opsujemy azwą, symbolem oraz jedostką odpowedej welkośc fzyczej. Ose muszą być wyskalowae w tak sposób, aby przejrzyśce przedstawć badae. NIE łączymy prostą łamaa poszczególych puktów dośwadczalych, a jedye zazaczamy pukty pomarowe wraz z epewoścą. Następe zazaczamy lę tredu pokazującą ogólą tedecje daych p. wzrost lub spadek wartośc. Na poższym rysuku la przerywaa (tzw. la tredu) pokazuje proporcjoalą zależość drog od czasu. Rzut poowy: zalezosc drog od czasu Droga (cm) Czas (s) 4. Podsumowae wosk W tej częśc powtarzamy co było celem aszego dośwadczea, jake były asze oczekwaa w badaych zależoścach fzyczych czy zmerzoe wartośc pomarowe potwerdzają asze przewdywaa. Stosując przejrzystą argumetację ależy jedozacze wskazać fakt potwerdzający daą tezę (p. zgodość teor z dośwadczeem w gracach błędu). Powe być to argumet loścowy (p. 0%), a e jakoścowy (czyl e pszemy zdań typu łatwo zauważyć, że.. ). Jeżel teora odbega od aszego wyku dośwadczalego, ależy przedstawć jaka powa być tedecja badaej zależośc fzyczej. Warto też podać możlwe powody rozbeżośc. NIE zmeamy daych pomarowych w celu uzyskaa lepszej zgodośc wyku dośwadczalego przewdywaej teor. Używae argumetów jakoścowych jest częstym błędem w opsach. Gdy porówujemy wyk dośwadczaly z teorą, e używamy sformułowań typu jest to dużo wększe lub pomar był za krótk. Należy podać rząd welkośc dyskutowaych zmeych (p. czas pomaru) lub odeść sę do testu 3σ (patrz dalszy materał). 5. Załączk Na końcu sprawozdaa umeszczamy wdma lub e rejestracje wykoae w czase trwaa pomarów. 6

8 6. Do opsu dołączamy PROTOKÓŁ staowący tegralą część sprawozdaa. 7. Korekty sprawozdań powy zostać wykoae a dołączoej kartce, a e poprzez zamazywae dotychczasowego tekstu w sprawozdau.. Aalza daych pomarowych Ogóle mamy trzy śceżk aalzy daych pomarowych.. Szukaa welkość fzycza jest bezpośredo merzoa w dośwadczeu (wykoujemy serę 3-5 lub węcej pomarów). Szczegóły postępowaa zostały opsae w rozdzale 8 wraz z rozdzałam poprzedzającym (4-7).. Szukaa welkość fzycza jest wyzaczaa w sposób pośred. Stosujemy ją w przypadku, gdy e ma możlwośc bezpośredego zmerzea teresującej as welkośc fzyczej, ale moża wykorzystać prostą zależość matematyczą. Wyzaczamy dośwadczale pomoce parametry fzycze (jak p. czas, długość, masa), które po podstaweu do zależośc matematyczej doprowadzą as do wyzaczea teresującej as welkośc fzyczej (p. pęd cząstk, eerga td.). Szczegóły postępowaa zostały opsae w rozdzale 9 wraz z rozdzałam poprzedzającym (4-8). 3. Szukaa welkość fzycza jest fukcyją zależoścą ych parametrów, które mogą zostać wyzaczoe dośwadczale. Jest to aalza fukcyja współzależośc zmerzoych welkośc, które moża przedstawć a wykrese. Szczegóły postępowaa zostały opsae w rozdzale. 7

9 Rozdzał Przydate formacje w pgułce Możk Nazwa Symbol , 0-0,0 0-0, , , , , , eksa peta tera gga mega klo hekto deka - decy cety ml mkro ao pko femto atto E P T G M k h da - d c m µ p f a Jedostk ektórych welkośc elektryczych Welkość Nazwa Ozaczee Prąd amper A Napęce volt V Rezystacja om Ω Pojemość farad F Idukcyjość her H 8

10 Dla zboru daych:,,,3,..., Średa arytmetycza: ( ); + () Nepewość pojedyczego pomaru: S () ( ) ( ), Nepewość wartośc średej: S S ( ), ( ) (3) Całkowta epewość welkośc zmerzoej: 3 ( przypadkowy losowy) + ( systematyczy dokładość przyrządu ) Czyl ( ) ( ) L + S (4) 3 Gdze Błąd losowy L t α, S t - współczyk t-studeta odczytay z tablc (Dodatek, Rozdzał C). α, Średa ważoa oraz jej epewość (5) w ( ) t ( ) ( ) [( ) ] :, S :, S (6) Wyk końcowy podajemy w postac Ma{S S }, et ( ) ( ). gdze S ozacza epewość wewętrzą, S - epewość zewętrzą. t w ± et t, et (7) 9

11 Metoda Najmejszych kwadratów (regresja lowa) Wzory a parametry a oraz b prostej o rówau ya+b ( ) ( ) y y y y a. (8) ( ) ( ) y y y y a y b. (9) a y b y a y S. (0) a b S S. () Prawdłowy zaps wyku końcowego ± () 0

12 Rozdzał 3 Pomar welkośc fzyczej Każdy pomar welkośc fzyczej jest wykoay ze skończoą dokładoścą. To ozacza, że e jesteśmy w stae podać bezwzględej wartośc welkośc zmerzoej, lecz wyzaczamy ją z pewą dokładoścą (tzw. epewoścą pomarową, czasem używaa jest azwa błąd pomaru). Jest to zwązae z edoskoałoścą wykoaa przyrządów pomarowych, przypadkowym staem mater w chwl wykoywaa pomaru oraz przyblżoym charakterem model rzeczywstych opsywaych w postac praw fzyk. Dlatego celem każdego dośwadczea jest podae ajlepszego przyblżea (ocey) welkośc zmerzoej oraz przedzału, w którym ta welkość leży, co zapsujemy jako Wyzaczoa wartość X µ± δ gdze: µ jest to ajlepsze przyblżee welkośc zmerzoej, δ epewość pomaru. Sposób w jak określmy welkość δ będze zależał od przebegu dośwadczea, czy został wykoay pojedyczy pomar, sera pomarów oraz jake przyrządy zostały użyte do wykoaa pomaru. Waże jest też czy welkość wyzaczoa została bezpośredo zmerzoa czy też została wylczoa pośredo z ych welkośc zmerzoych. Na te pytaa ależy sobe odpowedzeć zam zdecydujemy sę jak wyzaczyć epewość wyzaczoej wartośc. Zam jedak przejdzemy do omawaa szczegółów zaczjmy od krótkego wprowadzea Źródła odchylea wyku od wartośc dokładej: metoda pomaru; warto sobe uśwadomć, że czasem steje klka metod wyzaczea teresującej as welkośc fzyczej. Mmo, ż wartość wyzaczoej welkośc fzyczej jest rówa ezależe od zastosowaej metody dośwadczalej, jej epewość przyjmuje róże wartośc, zależe od zastosowaego sposobu pomaru /lub aalzy. W przypadku pracow mamy zapropooway kokrety sposób postępowaa. Warto jedak przedyskutować e metody w przypadku, gdy zmerzoa wartość ma dużą epewość. sposób postępowaa (ustalee kotrolowae waruków pomaru);

13 w przypadku wykoywaa dośwadczeń czułych a zmee waruk ależy zwrócć uwagę a otrzymywae wartośc sprawdzć w trakce dośwadczea czy są oe zgode z wartoścam oczekwaym. jakość przyrządów; przyrządy używae w dośwadczeach oraz zakresy merków powy być dobrae odpowedo do wartośc merzoych welkośc. Główe przyczyy odchyleń od wartośc dokładej: błąd gruby : pomyłka zapsu, źle odczytay zakres merka, zmerzee e tej welkośc co trzeba, awara aparatury (p. przerwy w zaslau...); ukae elmowae błędów grubych: staraość postępowaa szczegółowe dokumetowae przebegu pomaru; błąd systematyczy (poprawk): jest to odchylee wyku od wartośc dokładej, która ma tą samą wartość przy powtarzau pomaru w tych samych warukach p. - klasa dokładośc przyrządów, - poprawk wykające z różych czyków p. temperatura otoczea róża od temperatury kalbracj przyrządów, błąd wskazań merka, - wpływ obserwatora a pomar; ocea welkośc błędu systematyczego: e moża go całkowce wyelmować, ale moża wyzaczyć poprawk lub zmejszyć jego wkład poprzez zastosowae dokładejszych przyrządów; błąd przypadkowy (losowy): podlega rozkładow Gaussa; wyka z welu losowych przyczyków; błędu przypadkowego e moża całkowce wyelmować, ale moża oceć parametry rozkładu pojawających sę wartośc odchyleń z m zwązaych zastosować odpowed model matematyczy. Uwaga! Jeśl błąd losowy jest wększy od błędu systematyczego wówczas błąd losowy decyduje o epewośc pomarów. Jeśl błąd losowy jest mejszy od błędu systematyczego wówczas błąd systematyczy decyduje o epewośc pomarów.

14 Rozdzał 4 Błąd systematyczy S Jedą z przyczy odchyleń od wartośc dokładej jest błąd systematyczy. Błędy systematycze mają stałą wartość zwykle powodują przesuęce wyków w jedą stroę w stosuku do wartośc oczekwaej (p. systematycze zawyżae każdej wartośc w ser pomarów). Jedym ze źródeł błędu systematyczego może być: dokładość przyrządu, edotrzymae ezmeych waruków pomaru podczas jego wykoywaa: zmaa temperatury, cśea lub wlgotośc powetrza przy długotrwałych pomarach, drgaa lub achylea stołu laboratoryjego, zmaa potecjału zachodząca a zerującym bolcu gazda elektryczego lub a zacskach uzemea, euwzględee zmay oporośc wewętrzej merka podczas zmay jego zakresu pomarowego, błąd odkształceń sprężystych (p. przy pomarze długośc), błąd hsterezy (spowodoway p. tarcem, albo luzam częśc ruchomych), błąd odczytu przyrządu (paralaksa, terpolacja, błąd kwatowaa) td., przyblżoy charakter modelu zjawska fzyczego: pomęce waruków małych wychyleń przy pomarze okresu wahań wahadła, wylczae dukcj magetyczej w os cewk laboratoryjej z zależośc prawdzwej dla cewk o eskończoej długośc co e jest prawdą w warukach laboratoryjych td. W zależośc od sposobu pomaru welkośc fzyczej są róże metody, które elmują ektóre błędy systematycze. Ogóle, ależy starać sę o usuęce źródeł błędu, jeśl zamy jego przyczyy, wprowadzee poprawek do wyku pomaru: oblczoych, wyzaczoych dośwadczale (w zależośc od użytej metody), uwzględee dokładośc przyrządów używaych w pomarze. Wykoując pomary w warukach pracow, w wększośc ćwczeń ajbardzej zaczącym błędem systematyczym jest dokładość przyrządów. Dlatego w dalszej częśc skocetrowao sę jedye a tym zagadeu. Dokładość przyrządów Wykoując dośwadczee fzycze zwykle używamy merków cyfrowych lub ych dokładych przyrządów. W takm wypadku welokrote wykoywae pomaru (0-0 razy) welkośc fzyczej e ma sesu. Powtarzając pomar otrzymujemy za każdym razem detyczy odczyt a merku 3

15 cyfrowym lub też strzałka merka zatrzymuje sę w tym samym mejscu. Itucyje moglbyśmy sądzć, że e popełamy błędu, a asz wyk jest dokłady. Oczywśce e jest to prawdą. Fluktuacje czyl zmay welkośc odczytywaej są mejsze ż dokładość przyrządu, a merk dokouje zaokrąglea do ostatej cyfry a wyśwetlaczu. Przy perwszym podejścu moglbyśmy uważać, że epewość aszej odczytywaej welkośc wyka właśe z tego zaokrąglea jest rówa dokładośc z jaką możemy odczytać (p. dokładość odczytu z wyśwetlacza lub ajmejsza welkość dzałk a merku wskazówkowym). W rzeczywstośc problem jest bardzej skomplkoway. Każdy przyrząd przed oddaem do sprzedaży jest sprawdzay a le rzetele podaje zmerzoe wartośc. Wyk tego testu jest odotowyway jako dokładość przyrządu (klasa). Jest to lczba wyrażoa w procetach, która określa stosuek odchylea rezultatu odczytaego od wartośc prawdzwej do zakresu skal. Na pracow spotkamy sę z różym merkam elektroczym. Przy każdym dośwadczeu jest dołączoa strukcja o daym merku jego dokładość odczytu. Aby ułatwć zrozumee załączoej strukcj, pożej został przedstawoy przykład wyzaczea epewośc welkośc odczytywaej wykorzystując merk uwersaly. Merk cyfrowe Przykład : Dokładość merka uwersalego BM805 W strukcj obsług merka BM 805 zameszczoe są mędzy ym tabele do oblczaa dokładośc pomaru apęca stałego, skrót DC (dla temperatury 3ºC ± 5ºC wlgotośc względej pożej 75%). Pożej załączoo jedą z ch, dotyczącą pomaru apęca. Napęce DC - zakres Dokładość 400,0 mv 0,3% + 4c 4,000 V; 40,00 V; 400,0 V 0,5% + 3c 000 V,0% + 4c Załóżmy, że zmerzoo apęce stałe 30V używając merka uwersalego a zakrese 40V DC. To ozacza, że wykoując oblczea epewośc odczytaej wartośc skorzystamy z wersza drugego powyższej tabel. Szacowae dokładośc merka cyfrowego, czyl maksymalej różcy pomędzy rzeczywstą wartoścą welkośc zmerzoej, a wskazaem merka a daym zakrese pomarowym wylcza sę ze wzoru o postac ± ( w % + ), (4.) (w aszym przykładze 0,5% + 3c), gdze:. ± w ozacza maksymaly błąd wartośc aktualego wskazaa wyrażoy w procetach (± %) a daym zakrese pomarowym. Jeśl producet gwaratuje, że e przekroczy o 0,5% a daym zakrese pomarowym to dla wskazaa 30,00 V DC wyese o maksymale 30,00V 0,005 ± 0,5V 4

16 . ± - błąd dopuszczalej odchyłk określaej jako lczba ajmej zaczących cyfr a daym zakrese (czyl zmaa o razy ajmejszej wyśwetlaej cyfry lub razy ajmejszej podzałk). Jest oa zależa od wybraego zakresu pomarowego (rozdzelczośc pomaru) jakośc przetworka A/C, ezależej zaś od wartośc welkośc merzoej. Jeśl producet określa, że a zakrese pomarowym 40,00 V DC błąd odchyłk wyos ± 3 cyfry to zaczy, że wskazaa mogą sę różć o ± 0,03 V. Sumując oba składk dla zmerzoego apęca 30 V DC otrzymamy epewość pomaru ± (0,5V + 0,03V) ± 0,8 V (0,6%) dla zakresu 40,00 V DC, czyl ostatecze zmerzoe apęce to U (30,00 ± 0,8)V. Robąc aalogcze oblczea dla tej samej wartośc zmerzoej, ale a zakrese 400,0 V DC, przy tych samych parametrach składowych błędu (także drug wersz aszej tabel) otrzymamy błąd pomaru : ± (0,5V + 0,3V) ± 0,45 V (,5%) dla zakresu 400,0 V DC, czyl U (30,00 ± 0,45)V. Wosek : Aby zmejszyć epewość pomaru ależy dobrać tak zakres merka, aby pomar dokoyway był z możlwe ajwększą rozdzelczoścą. Przykład : Dokładość skalowaa apęca stałego (DC) multmetrem METEX Napęce DC - zakres 00,0 mv,,000v, 0,00V, 00,0V Dokładość 0,3% apęca merzoego + cyfra 000 V 0,5% apęca merzoego + cyfra p. gdy merk wskazuje,959v a zakrese V to U (0,3%, ,00)V (0,006+ 0,00)V 0,007 V, zaś gdy a zakrese 0V merk wskazuje,95v wówczas U (0,3%,95 + 0,0)V (0,006+ 0,0)V 0,0 V. Przykład 3: Dokładość skalowaa apęca stałego (DC) multmetrem MASTECH Napęce DC - zakres Dokładość 36,0 mv 0,5% apęca merzoego + cyfry 3,6V, 3,6V, 36V 0,3% apęca merzoego + cyfry 000 V 0,5% apęca merzoego + cyfry p. gdy merk wskazuje,77v a zakrese 3,6V to 5

17 U (0,3%,77 + 0,00)V (0, ,00)V 0,0055V 0,006 V, zaś gdy a zakrese 3,6V merk wskazuje,7v wówczas U (0,3%,7 + 0,0)V (0, ,0)V 0,035 V 0,0 V. Przykład 4: Dokładość skalowaa apęca stałego (DC) multmetrem SAF 30S Napęce DC - zakres 00,0 mv,,000v, 0,00V, 00,0V Dokładość 0,8% apęca merzoego + cyfry 000 V,0% apęca merzoego + 3 cyfry p. gdy merk wskazuje,959v a zakrese V to U (0,8%, ,00)V (0, ,00)V 0,08 V, zaś gdy a zakrese 0V merk wskazuje,95v wówczas U (0,8%,95 + 0,0)V (0,056+ 0,0)V 0,036 V. Uwaga! Węcej formacj a temat dokładośc skalowaa welkośc zmerzoych w zależośc od typu użytego merka oraz zakresu zostało zameszczoych w Dodatku rozdzał D. Merk aalogowe Błąd maksymaly welkośc fzyczych zmerzoych bezpośredo Wększość merków aalogowych ma podaą klasę przyrządu zameszczoą a metryce w poblżu skal lub w strukcj obsług przyrządu. Z puktu wdzea rachuku błędu ależy pamętać, że epewość welkośc zmerzoej wyzaczamy z poższego wzoru zakres klasa S (4.) 00%. Jeśl p. merzymy wartość atężea prądu amperomerzem klasy 0,% w przypadku, gdy maksymale wskazae aszego merka jake jest a skal wyos 5A, to maksymaly błąd jak popełamy używając tego przyrządu wyos 5A 0,% S 0,005A 5mA. 00% To ozacza, że epewość odczytaej wartośc a tym zakrese wyos 5mA. W przypadku merka łatwo jest ustalć zakres. Iaczej to wygląda z urządzeam aalogowym jak p. oporca dekadowa. Oporce dekadowe używae a pracow mają klasę 0,05. Należy jedak pamętać, że zakres zależy od pokrętła a oporcy, którego w daym momece używamy. Jeśl używamy perwszego pokrętła ustawoy opór przyjmuje wartośc od 0 do 0Ω (co wyka z opsu a oporcy). Ustawając opór a wartość Ω, jej epewość wyos 6

18 0Ω 0,05% R S 0, 005 Ω. 00% Zatem ostatecze otrzymujemy (,000 ±0,005)Ω. W przypadku, gdy używamy dwóch lub węcej pokręteł zakres jest sumą ustawoego zakresu (zz +z, gdze z - zakres perwszego pokrętła, z -zakres drugego pokrętła), a epewośc wyzaczamy aalogcze jak powyżej. Wyka to z budowy oporcy dekadowej faktu, że oporków a dwóch różych zakresach e możemy uważać jako ezależe. Iym urządzeem aalogowym używaym a pracow jest dzelk apęca. Przy jego zastosowau możemy zmejszyć apęce wejścowe dzeląc je przez stały czyk N ustawoy a dzelku apęca. Klasa przyrządu 0, umeszczoa a dzelku apęca dotyczy apęca wyjścowego. Przykład: Na dzelku apęca ustawoo apęce Czyl U take, że A jej epewość wyos U U N 450, apęce wejścowe N U ,45 U U 00V. Na wyjścu uzyskamy 00 0, V 0, U 0, 09V V Iformacje o sposobe postępowaa używając oporcy dekadowej zostały zameszczoe w Dodatku, rozdzał D. Dygresja : Dawej uważao, że marą błędu systematyczego może być tylko epewość maksymala, której sposób wyzaczea opsao powyżej. Nowa Norma traktuje błąd systematyczy jako zjawsko przypadkowe, gdyż e zamy a pror jego welkośc zaku. Norma zaleca stosowae epewośc stadardowej S (a e maksymalej wartośc odstępstwa pomędzy wartoścą zmerzoą a rzeczywstą dokładość przyrządu). Zatem dla omawaego przykładu ależy pomożyć ją przez co zapsujemy astępująco: 3 R 0,005 Ω S 0,003Ω (4.3) 3 3 Jest to zwązae z prawdopodobeństwem w rozkładze Gaussa. Wyjaśee powyższego wzoru zostało zameszczoe w Dodatku (rozdzał A: Kalbracja przyrządu wyjaśee ). 7

19 Rozdzał 5 Błąd przypadkowy (losowy) L Rozkład Gaussa (lczba pomarów > 0) Na błędy losowe składa sę bardzo wele ezależych przyczy. Dlatego e moża ch całkowce wyelmować, ale moża oceć wartośc parametrów opsujących rozkład daej welkośc merzoej. Wększość welkośc przez as merzoych podlega rozkładow Gaussa. Dlatego wprowadźmy klka podstawowych cech tego rozkładu. Gęstość prawdopodobeństwa wystąpea welkośc podlega rozkładow Gaussa zdefowaego jako ( µ ) f ( ; µ, σ) ep σ π (5.) σ gdze: µ - ajbardzej prawdopodoba wartość welkośc merzoej (rysuek ). Może ą być średa arytmetycza zdefowaa wzorem ( ); + Kolejym parametrem rozkładu, który występuje we wzorze (5.) jest dyspersja rozkładu σ. Przyblżamy ją przez błąd pojedyczego pomaru czyl odchylee stadardowe ( ). σ S (5.) S ; (5.) ( ) ( ) Postarajmy sę teraz zrozumeć podstawowe pojęca dotyczące rozkładu Gaussa. Ustalmy wartość oczekwaą rozkładu p. µ 0 oraz jej szerokość σ. Podstawając argumety do wzoru (5.) otrzymamy krzywą przedstawoą a rysuku (kolor ebesk). Dla porówaa przedstawoo dwe e krzywe Gaussa dla różych wartośc oczekwaych. O szerokośc krzywej Gaussa decyduje wartość( σ S ). Jak wygląda jej kształt przy ustaloej wartośc oczekwaejµ, ale dla różych σ przedstawoo a rysuku. 8

20 0, 0,8 Rozkłady Gaussa σ µ 0 µ 5 µ 0 f(,µ,σ) 0,6 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0, Rysuek Przykładowe rozkłady gęstośc prawdopodobeństwa w rozkładze Gaussa dla trzech różych wartośc parametru µ (µ 0 kolor ebesk, µ 5 kolor czerwoy oraz µ 0 kolor zeloy) oraz stałej wartośc dyspersjσ. Rozkład Gaussa 0,9 0,8 µ 0 σ 0,5 f(,µ, σ) 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 σ σ, Rysuek Przykładowe rozkłady gęstośc prawdopodobeństwa w rozkładze Gaussa dla trzech różych wartośc parametru σ (σ 0,5 kolor ebesk, σ kolor czerwoy oraz σ,5 kolor zeloy) stałej wartoścµ. 9

21 Wykoując koleje pomary w aszej ser otrzymujemy kolejo,... td. ogóle. Dla < prawdopodobeństwo, że koleja zmerzoa wartość podlegająca rozkładow Gaussa przyjmuje wartość pomędzy rówa jest polu pod krzywą Gaussa zawartą pomędzy ( p., ), co zostało zlustrowae pożej a rysuku 3. 3 Rozkład Gaussa µ 0 ; σ 68,3% Rysuek 3 Gęstość prawdopodobeństwa w rozkładze Gaussa dla µ 0, σ. Iterpretacja powyższego rysuku została wyjaśoa w tekśce. Ogóle możemy powedzeć: prawdopodobeństwo, że wyk pomaru meśc sę w odpowedm przedzale wyos P P P P ( σ + σ) ( σ + σ) ( 3σ + 3σ) ( 4σ + 4σ) (5.3) Wosk: Załóżmy, że w wyku pomaru parametru podlegającemu rozkładow Gaussa wyzaczylśmy ajlepszą oceę welkośc zmerzoej (p. długośc wyrażoej w metrach), która podlega rozkładow Gaussa. Otrzymaa wartość wraz z epewoścą to (0 ± ) m. Co to ozacza? Powróćmy a chwle do rysuku, gdze dla krzywej ozaczoej kolorem ebeskm mamy wartość oczekwaą 0. Z rówaa (5.3) wyka, że P( σ + σ) 0, 687 czyl w aszym przypadku P( ) Gdyby węc kolejych 00 studetów powtórzyło asz 0,687 68% 8. Jeśl rozszerzymy pomar to 68 (czyl ) spośród ch otrzymałoby wyk ( ) 0

22 asz przedzał o koleje σ P( σ + σ) w przedzale ( 6 4) oczekujemy, że asz wyk zajduje sę. To ozacza, że 95 studetów będze mało wyk zawarty w powyższym przedzale. Iym słowy ufamy w 95%, że zmerzoa welkość jest pomędzy 6 a 4. Z rówaa (5.3) wyka jeszcze jedo waże spostrzeżee. Jeżel rozszerzymy asz przedzał do tzw. 3 σ czyl P ( 3 σ + 3 σ) to prawdopodobeństwo albo ym słowy pozom aszej ufośc, że wyk meśc sę w przedzale ( ) czyl ( 4 6) wyos 99,7%. Tylko 0,3% przypadków e meśc sę w powyższym przedzale. Wyka z tego bardzo waży wosek fzyczy, który mów, że mamy ufość, ż zmerzoy wyk meśc sę w przedzale 3 σ aż w 99,7 %. Powyższy fakt możemy wykorzystać w trakce pomarów do weryfkacj wyków jedostkowych, co zostało opsae pożej. Test,, 3σ '' A. Porówae wyku pomaru z wartoścą tablcową. W dośwadczeu uzyskujemy wartość teresującej as welkośc fzyczej, którą ależy porówać z jej wartoścą tablcową (oczekwaą dla tego typu pomarów). Z formacj o rozkładze Gaussa wemy, że prawdopodobeństwo uzyskaa wartośc pojedyczego pomaru w przedzale P( 3 σ + 3 σ) wyos 99,7%. Przypomjmy jeszcze raz, że ozacza średą arytmetyczą, atomast σ (w tym wypadku) całkowtą epewość wartośc średej. Jeżel asz wyk meśc sę w przedzale ( 3 σ + 3 σ) to możemy stwerdzć, że jest o zgody z wartoścą tablcową. W przypadku, odwrotym ależy go odrzucć. A jak to wygląda w praktyce? Prześledźmy poższy przykład. Przykład: Załóżmy, że celem aszego dośwadczea jest wyzaczee przyspeszea zemskego g. W wyku ser pomarów otrzymalśmy otrzymujemy ( 4,8 ± 0,) m s ( 4,8 0,) ± σ ± Czyl ( 4,8 3 0, 4, ,) ( 4, 5,4),. Dokoując terpretacj uzyskaej wartośc podczas gdy wartość tablcowa wyos g 9,8m. To ozacza, że wyk aszego dośwadczea s jest błędy ależy go odrzucć. B. Weryfkacja pojedyczych daych pomarowych zacze odbegających od wartośc oczekwaej (średej arytmetyczej). Załóżmy, że wykoalśmy serę 0 pomarów tej samej welkośc fzyczej. Zaważylśmy jedak, że jede z pojedyczych wyków zacze odbegający od pozostałych daych. Itucja podpowada am, aby odrzucć pomar odbegający od reszty, gdyż uwzględee go do dalszych oblczeń (jak średej arytmetyczej td.) może zafałszować wyk końcowy. W fzyce trudo polegać jedye a m s

23 tucj. Ale w tym przypadku możemy wykorzystać aszą wedzę o rozkładze Gaussa zastosować kryterum trzech sgma. Jeżel pomar róż sę o węcej ż 3 stadardowe odchylea od wartośc oczekwaej, to pomar te merzy ą welkość fzyczą ż sądzmy (lub źle szacujemy epewość pomaru) moża go odrzucć. Uwaga! W tym przypadku chcemy porówywać pojedyczy pomar z wartoścą oczekwaą, a zatem za σ musmy przyjąć epewość pojedyczego pomaru. Jak to wygląda w praktyce? Wykorzystajmy poowe przykład z przyspeszeem zemskm g, którego wartość tablcowa wyos g 9,8m. Wykoując serę klku pomarów uzyskalśmy s zblżoe wartośc, ale jede wyk 6,8m zacze odbega od pozostałych. Nepewość s pojedyczego pomaru wyos S 0,3m. Sprawdzamy, czy możemy odrzucć pojedyczy pomar s zgode z kryterum trzech sgma. W tym celu sprawdzamy poższy waruek 3 S 6,8 9,8 3 0,3 3,0 0,9 zdae fałszywe Dlatego wyk 6,8m możemy odrzucć. W przypadku, gdy e zamy wartośc oczekwaej s welkośc przez as merzoej, ajlepej jest wylczyć wartość oczekwaą (średą arytmetyczą zmerzoych wartośc) oraz odchylee stadardowe pojedyczego pomaru pomjając odbegający wyk. Następe porówać odbegającą wartość z wyzaczoą wartoścą oczekwaą. Jeśl e speła oa kryterum trzech sgma, pomar odrzucamy kometując zgode z kryterum 3 sgma pomar odrzucamy. Jeśl kryterum speła, wyk te ależy uwzględć w dalszych oblczeach poowe wyzaczyć wartość oczekwaą oraz jej epewość.

24 Rozdzał 6 Rozkład t-studeta (lczba pomarów 0) Ze względu a ograczea czasowe w czase trwaa zajęć e mamy możlwośc wykoaa dużej lczby pomarów. Dlatego e możemy wykorzystać formacj o rozkładze Gaussa prawdopodobeństwach przedstawoych w (5.3). Dla prób o małej lczebośc (jak 3-5 pomarów) możemy zastosować rozkład Studeta. Dla dużej lczby prób (p. 30) jego kształt jest detyczy z rozkładem Gaussa. W przypadku mejszej lczby pomarów krzywa Studeta jest bardzej płaska 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 3 0 r. Gaussa Sere Sere Sere3 0,5 0, 0, odległość pomędzy puktam przegęca jest wększa ż dla rozkładu ormalego (rysuek 4). Rozkład Studeta jest stabelaryzoway. Zwykle e Rysuek 4. Rozkłady gęstośc prawdopodobeństwa w rozkładze t-studeta dla 3 (kolor czerwoy) oraz 0 (kolor zeloy) pomarów. Dla porówaa a rysuku została przedstawoa aalogcza krzywa dla rozkładu Gaussa (ormalego) (kolor ebesk). teresuje as jego gęstość prawdopodobeństwa, lecz tzw. wartośc krytycze t. Parametr α, występujący jako wskaźk przy α, t, azywa sę pozomem stotośc, a welkość (-α) pozomem 3

25 ufośc. Pod pojęcem pozomu ufośc rozumemy stopeń prawdopodobeństwa, ż wyk pomaru uzyskay w próbe jest zgody ze staem faktyczym. Dokładej lustruje to poższy przykład. Przykład: Na podstawe badaa reprezetatywej próby osób posadających samochód przy 95% pozome ufośc oszacowao, że 0 %(±%) posadaczy jeźdz autam mark A. Ozacza to, ż jesteśmy pew a 95% (pozom ufośc), że w stoce od 8 do % ogółu użytkowków (przedzał ufośc) posada samochody mark A. Jedocześe, zakładamy z 5% ryzykem, że mylmy sę w aszych szacukach w ewadomym stopu. Uwaga! W ektórych starszych podręczkach czy tablcach statystyczych używa sę odwrotego azewctwa; parametr α os azwę pozomu ufośc przyjmuje wartośc blske 0,9. Jego terpretacja jest wówczas aalogcza jak dla (-α) w poższym skrypce. Przykład: Celem dośwadczea jest wyzaczee średcy mosężego pręta (d). W tym celu 5-krote został wykoay pomar średcy pręta przy użycu suwmark. Wyk poszczególych pomarów zostały przedstawoe w poższej tabel. Na ch podstawe oblczoo średą arytmetyczą oraz jej epewość. d ( cm) d d 6 ( ) d d 0,7 + 0,04 96,73 0, ,7 + 0, ,7 + 0, ,74 0,06 56 Suma 50 d,740 S d 0,005 Nektórzy studec moglby poprzestać a tym podając w rozwązau: średa wartość średcy pręta wyos d, 74 z epewoścą S d 0,005 cm, co ozacza, że rzeczywsta średca pręta meśc sę w przedzale (,789;,79). Nc bardzej mylego! Każda merzoa przez as welkość podlega rozkładow. Wykoae przez as pomaru polega a przypadkowym lub losowym wyborze pewych wartośc zawartych w zborze podstawowym. I e zawsze a podstawe aszej próbk (krótkej ser pomarów) jesteśmy w stae oceć wartość oczekwaą tego co merzymy oraz szerokość rozkładu. Z tabel rozkładu t-studeta zawartej w Dodatku w rozdzale C odczytujemy wartość współczyka t dla 3 wybraych pozomów ufośc α oraz 4 stop swobody (5 pomarów ). α, α 0,9 0,95 0,99 4,38,7764 4,604 Powyższe wartośc możymy przez S d poszerzając asz rozkład czyl zwększając pole pod krzywą aalogczą jak a rysuku 3, a tym samym zwększając prawdopodobeństwo otrzymaa tego samego wyku poowe. 4

26 t α S d 0,009 0,04 0,035 Na podstawe powyższych oblczeń możemy powedzeć, że średa wartość średcy pręta wyos d,74 oraz, że z prawdopodobeństwem odpowedo 90%, 95%, 99% jest oa zawarta w odpowedm przedzale z prawej kolumy. Wosek: α 0,90 α 0,95 α 0,99 ( d t S ; d + t ) α, d α, Sd (,73;,7349) (,7098;,738) (,7005;,7475) Jak wdzmy, poprzestae tylko a oblczeach błędu średego metodą klasyczą (,789;, 79) sugeruje am zbyt optymstycze podejśce do problemu. 5

27 Rozdzał 7 Wyk pomaru oraz jego zaps Zam przejdzemy do omawaa jak powe zostać zaprezetoway wyk końcowy, przyblżmy klka podstawowych pojęć: Cyfry zaczące daej lczby to wszystke jej cyfry (także zera) z wyjątkem tzw. zer poprzedzających. Z puktu wdzea zagadea cyfr zaczących lczby 0,0 oraz 0,00 są różym lczbam. Perwsza z ch 0,0 ma cyfry zaczące, atomast druga 0,00 jest bardzej dokłada ma 3 cyfry zaczące. Przykłady: WARTOŚĆ CYFRY ZNACZĄCE WARTOŚĆ CYFRY ZNACZĄCE 9,8 3 5, ,8 0,0 5, ,00 3 Przy podawau wyku końcowego ależy pamętać, że: - wartość lczbową welkośc zmerzoej oraz jej epewośc podajemy w tym samych jedostkach a (3, ± 0, ) g/cm 3, (7.) - zgode z przyjętym regułam wartość epewośc zaokrąglamy do dwóch cyfr zaczących otrzymując w aszym przypadku 0, g/cm 3 0,083 g/cm 3, (7.) - zmerzoą (lub wylczoą) wartość welkośc fzyczej zaokrąglamy tak, że jego ostata cyfra zacząca jest a tym samym mejscu dzesętym co ostata cyfra w epewośc 3, g/cm 3 3,34 g/cm 3, (7.3) - ostatecze otrzymujemy a (3,34 ± 0,083) g/cm 3. (7.4) NIE wykoujemy oblczeń pośredch a wartoścach zaokrągloych, lecz a wartoścach dokładych. Powyżej przedstawoo jedye sposób zapsu wyku w sprawozdau. 6

28 Uwaga! W przypadku małej lczby pomarów (p. gdy w ser mamy zaledwe 3-5 pomarów) bardzej zasade jest zaokrąglae wyku pomaru do jedej cyfry zaczącej. Pożej zostały opsae powody takej prezetacj daych. 7. Zasady zaokrąglaa lczb Podsumowując aszą dotychczasową wedzę możemy powedzeć, że wykoując serę pomarów oblczamy średą arytmetyczą uważając ją za ajbardzej oczekwaą wartość (estymator), jaką powśmy otrzymać w dośwadczeu. Oczywśce, gdy powtórzymy aszą serę jako ezależy pomar poowe wyzaczymy średą arytmetyczą, jej wartość będze a ż uzyskaa za perwszym razem. Tą czyość możemy powtarzać welokrote za każdym razem otrzymując ą wartość średej arytmetyczej. Wemy jedak, że różce pomędzy poszczególym średm arytmetyczym będą mejsze ż fluktuację pomędzy pojedyczym pomaram. Dlatego chcąc oszacować aszą welkość fzyczą, jako ajlepsze jej przyblżee (estymator) używamy średej arytmetyczej. Marą fluktuacj kolejych średch arytmetyczych jest odchylee stadardowe wartośc średej. W tym momece musmy sobe uśwadomć, że błąd średej arytmetyczej czyl odchylee stadardowe jest także welkoścą losową będze przyjmowało róże wartośc podobe jak średa arytmetycza. Wyka z tego, że wyzaczaa przez as epewość wartośc średej e jest welkoścą zaą jedozacze oa także podlega rozkładow. A zatem dla ej także możemy wyzaczyć błąd o le sę mylmy (tzw. epewość epewośc). Wyzaczymy to oblczając fluktuacje odchylea stadardowego wartośc średej s czyl wyrażee ε ( s σ ) ) σ 4 S Symbolem ε ozaczoo estymator wyrażea ( s σ ) σ.. (7.5) Oczywśce e ma sesu wykoywać takch oblczeń do aszych pomarów wkać w szczegóły techcze oblczeń. Powyższe rówae ma dla as głęboke kosekwecje praktycze. Dotyczą oe sposobu zapsu wyku matematyczego aszego pomaru. Jeśl podstawmy za lczbę S wykoaych pomarów wartość 64 to otrzymamy 8,9 0 0%. To ozacza, że epewość epewośc wyos około 0%, czyl podając wartość aszej epewośc mylmy sę o 0%. Ne ma zatem sesu podawać cągu zbyt welu cyfr zaczących przedstawając asz wyk, gdyż już druga cyfra zacząca w welkośc opsującej odchylee stadardowe e jest dokłada. W aszym przykładze, gdze a (3,34 ± 0,083) g/cm 3 drugą cyfrą zaczącą epewośc jest 3. I tu już popełamy błąd! Zauważmy, że w klasyczych pomarach pracow fzyczej wykoujemy zacze mej pomarów. Zwykle jest to 5 lub 3. Tutaj precyzja osąga wartość 30%-40%. Na tej podstawe możemy powedzeć, że słusze jest podawae odchylea stadardowego z dokładoścą do jedej cyfry zaczącej. W rozdzale 6 poższego skryptu zostało przedstawoe węcej formacj, jak ależy prezetować wyk przy małej lczbe pomarów. σ σ 6 7

29 Rozdzał 8 Pomar welkośc fzyczej jego epewość - podsumowae Celem aszego dośwadczea jest wyzaczee pewej welkośc fzyczej oraz jej epewośc. Wykoujemy zatem serę ezależych pomarów teresującej as welkośc fzyczej. Wszystke pomary są wykoae tą samą metodą. W rezultace otrzymujemy serę wyków,, 3, 4..., co ogóle możemy zapsać jako,,,3,...,. (8.) Jak zauważymy, merząc tą samą welkość, za każdym razem uzyskujemy wartośc zblżoe, ale różące sę od sebe. Wyka z tego, że e możemy dokłade wyzaczyć wartośc zmerzoej welkośc fzyczej X, ale możemy ją oceć. Dodatkowo, możemy próbować oceć też, o le mylmy sę w swojej ocee. Ścślej mówąc, możemy oszacować szerokość rozkładu zmerzoej welkośc. Warto tu podkreślć, że zmerzoa welkość fzycza podlega rozkładow, którego parametry e są zae (wartość oczekwaa czyl ajbardzej prawdopodoba oraz dyspersja czyl szerokość rozkładu). Wykoując pomar możemy jedye OCENIĆ te parametry oblczając średą arytmetyczą oraz odchylee stadardowe wartośc średej. Ne są to jedak wartośc dokłade rozkładu, któremu podlega zmerzoa welkość. Powtarzając pomar otrzymamy ą wartość średej arytmetyczej oraz jej epewośc. Krok Zakładamy, że zostały wyelmowae błędy grube (p. błędy odczyt skal, pomyłka zapsu). Krok (uwzględee błędu losowego) Na podstawe zmerzoych ser wyków,, 3, 4... wylczamy astępujące welkośc: ( ), + (8.) S (8.3) ( ) ( ), 8

30 S S ( ), ( ) (8.4) które odpowedo ozaczają: - ajbardzej prawdopodoba wartość welkośc merzoej (średa arytmetycza), S - epewość pojedyczego pomaru (odchylee stadardowe pojedyczego pomaru), S - epewość wartośc średej pomaru (odchylee stadardowe wartośc średej). Krok 3 (w zależośc od lczby pomarów wykoujemy pukt A lub B) A. Lczba pomarów >0 (korzystamy z rozkładu Gaussa) Wykoując serę pomarów (5, 0 td) otrzymujemy z dośwadczea wartośc zblżoe do parametrów rozkładu Gaussa, któremu podlega zmerzoa welkość. Błąd losowy L S (8.5a) B. Lczba pomarów 0 (korzystamy z rozkładu t-studeta) Ze względu a ograczea czasowe, w warukach laboratoryjych wykoujemy krótke sere pomarowe (3-5 wyków). To ozacza, że oblczając ajbardzej prawdopodobą wartość welkośc fzyczej, którą zmerzylśmy (średą arytmetyczą) wkład błędu losowego e zostae w peł uwzględoy. Dlatego ależy zastosować współczyk Studeta t α, (rozdzał 6) dla daego pozomu ufośc ( α). Aby meć wysoke prawdopodobeństwo uzyskaa wartośc pojedyczego pomaru w aszym przedzale, za pozom ufośc przyjmujemy α 0,95 już ta wartość wystarczy w aszych warukach laboratoryjych do poprawk epewośc. Z tablc załączoych w dodatku (rozdzał C) odczytujemy wartość t dla daego pozomu ufośc α oraz stop swobody. Symbolem ozaczoo lczbę pomarów. Wówczas α, ( ) Błąd losowy L t S (8.5b) α, Krok 4 (uwzględee błędu systematyczego S ) Każdy pomar jest wykoyway przyrządam fzyczym, których dokładość jest skończoa. Dlatego ZAWSZE ależy ją uwzględć. Przyrząd jest źródłem dodatkowej składowej błędu przypadkowego. W statystyce sumujemy błędy jako perwastek z ch sumy kwadratów czyl ( przypadkowy losowy) + ( systematyczy dokladosc przyrzadu) ( ) + ( ) L 3 S 3 (8.6) Krok 5 (prezetacja daych terpretacja) ± (8.7) 9

31 Zgode z przyjętym regułam epewość zaokrąglamy do jedej lub dwóch cyfr zaczących. Zmerzoą (lub wylczoą) welkość fzyczą zaokrąglamy tak, że jej ostata cyfra zacząca jest a tym samym mejscu dzesętym co epewość. Tak wyzaczoą wartość porówujemy z welkoścą tablcową tablce. Jeżel asz wyk meśc sę w przedzale ( tablce + ) to jest o zgody z wartoścą tablcową. W przecwym wypadku wyk aszego pomaru ależy odrzucć. Uwaga! W przypadku daych podlegających rozkładow Gaussa ależy wykoać test 3σ (rozdzał 5.) Przykład (Badae zderzeń cetralych) Celem dośwadczea było zbadae zasady zachowaa pędu badając zderzea cetrale m.. dwóch metalowych kulek. Na podstawe aszej dotychczasowej wedzy, e możemy jeszcze wylczyć epewośc końcowych wartośc pędu. Możemy jedak poprawe wyzaczyć ajbardzej oczekwaą wartość zmerzoych welkośc fzyczych wraz z epewoścą, co zostało przedstawoe pożej. W tabel przedstawoo przykładowe wyk uzyskae przez jedego ze studetów w latach ubegłych, gdze wprowadzoo astępujące ozaczea wychylee kulk uderzaej, masa m wychylee kulk uderzaej, masa m (cm) 7,8 8,0 8,0 8, 8, 8, 8, 8,4 8,4 8,4 (cm) 6,8 6,8 6,8 7, 6,8 7, 7, 7,4 7,4 7,4 a) Oblczamy wartość średej arytmetyczej 0 0 ( 7,8 + 8,0 + 8,0 + 8, + 8, + 8, + 8, + 8,4 + 8,4 + 8,4) 8,8 8,8 cm 0 7,0 0 ( 6,8 + 6,8 + 6,8 + 7, + 6,8 + 7, + 7, + 7,4 + 7,4 + 7,4) 7,0 cm (8.8) b) Oblczamy wartośc epewośc pomarowej pojedyczego pomaru S S 0 0 ( 8,8 7,8) + ( 8,8 8,0) + ( 8,8 8,0) + ( 8,8 8,) +...( 8,8 8,4) ) 0,99 cm ( 7,0 6,8) + ( 7,0 6,8) + ( 7,0 6,8) + ( 7,0 7,) +...( 7,0 7,4) ) 0,7 cm (8.9) c) Oblczamy wartośc epewośc pomarowej wartośc średej 30

32 S S S 0,99 0,069 cm, 0 S 0,7 0,0856 cm. 0 (8.0) d) Z tablc t-studeta dla pozomu ufośc α0,95 oraz stop swobody -9, gdze ozacza lczbę wykoaych pomarów, odczytujemy wartość współczyka,6 oraz wyzaczamy wartość błędu przypadkowego t α, L L S S t t α, α, 0,069,6 0,43 cm, 0,0856,6 0,936 cm. (8.) e) W astępym kroku uwzględamy dokładość przyrządu, którym pomar został wykoay (błąd systematyczy). W tym przypadku pomary zostały wykoae z dokładoścą 0,cm. A zatem S S epewość pomaru (0,43) (0,936) + + (0,) 3 (0,) 3 (przypadkowy) 0,83 cm 0,54 cm + (systematyczy) 3 (8.) f) Ostatecze asz wyk to 8,8 cm 7,0 cm co po zaokrągleu do cyfr zaczących ( 8,8 ± 0,8 ) cm, ( 7,0± 0,3) cm. 0,83 cm 0,54 cm (8.3) g) Tak wyzaczoe wartośc podstawamy do wzoru a pęd poday w strukcj do tego ćwczea wyzaczając kolejo p oraz p.. p m gl (8.4) l Welkośc m oraz l są welkoścam merzoym bezpośredo w dośwadczeu; za g przyjmujemy g 9,8m s. Poeważ pęd e jest welkoścą merzoą bezpośredo w dośwadczeu, lecz wyzaczoą w sposób pośred (czyl korzystając ze wzoru), jej epewość ależy wyzaczyć z prawa propagacj błędu. Szczegóły zostały przedstawoe w kolejym rozdzale. 3

33 Rozdzał 9 Pomary pośrede,,propagacja małych błędów''. Ne zawsze możlwy jest bezpośred pomar teresującej as welkośc fzyczej y, albo też pomar tak e byłby wystarczająco dokłady. W takm przypadku wykorzystujemy zae zależośc fukcyje pomędzy teresującą as welkoścą y a ym welkoścam, które możemy bezpośredo zmerzyć y f (,,..., ), gdze (,,..., ) k f jest zaą fukcją, atomast k,,..., k welkoścam fzyczym bezpośredo merzoym. Jaka jest epewość aszego ostateczego wyku? Zadae to moża łatwo rozwązać przy założeu, że asza zależość fukcyja jest dobrze aproksymowaa zależoścą lową w obszarze epewośc jej argumetu. Zakładamy także, że welkośc,,..., k są merzoe ezależe. Wykorzystując propagację małych błędów oraz aszą zajomość lczea pochodych cząstkowych, epewość y wylczamy astępująco: - z pomaru zamy wartośc zmerzoych welkośc fzyczych,,..., wraz z ch epewoścam,,..., k,,..., k - Fukcja f ( ) k. Są to pojedycze pomary lub wartośc średe z ser pomarów. y jest różczkowala w sposób cągły. - Wartość szukaej welkośc fzyczej wylczamy ze wzoru y k. - Jej epewość y wyzaczamy z astępującej zależośc y y f (,,..., ) k δf δ, (9.) gdze epewość każdej ze zmerzoych welkośc fzyczych wyzaczamy ze wzoru co zostało szczegółowo opsae w rozdzale 8. - Wyk końcowy przedstawamy w postac ( ) ( ) L + S (9.) 3 _ y y± y (9.3) Aby dobrze rozumeć ozaczea w wyrażeu (9.), oblczae pochodych cząstkowych zostało przedstawoe w podrozdzale 9.3, po wcześejszym przypomeu podstawowych pojęć z rachuku różczkowego (podrozdzał 9,, 9.). 3

34 Przykład: Nech celem aszego dośwadczee będze wyzaczee przyspeszea zemskego g. Do pomaru wykorzystamy wahadło. W takm przypadku asza fukcja o postac L 4π L T π g (9.4) g T zależy od dwóch zmeych L oraz T, które zostaą zmerzoe w dośwadczeu. Załóżmy, że wykoamy serę 0 pomarów merząc okres wahadła T przy ustaloym L. Krok Oblczamy: - średą arytmetyczą okresu wahadła T, - jego epewość T oblczamy uwzględając czło losowy (zależy od długośc ser pomarowej) oraz systematyczy (zależy od dokładośc użytego stopera) w sposób opsay w rozdzale 8. W wyku otrzymujemy p. ( T ± T ) (, 9 ± 0, )s Krok Następe - wykoujemy jedokroty pomar długośc wahadła L, - jej epewość L zależy wyłącze od dokładośc użytego przyrządu. W wyku otrzymujemy p. ( L ± L) ( 0, 90 ± 0, 0)m Krok 3 Przyśpeszee zemske g wyzaczymy podstawając do wzoru (9.4) wyzaczoe wartośc T oraz L otrzymując 4π L 4 34, 0, 9 m m g 9, 83 (9.5) T ( 9, s) s Krok 4 Wykorzystując wzór (9.) wyzaczymy epewość wyzaczoego współczyka g. W aszym dośwadczeu jedye dwe welkośc są obarczoe epewoścą: L oraz T. A zatem, wykorzystując wzór (9.) możemy apsać wyrażee a epewość wartośc g ± g : Ostatecze otrzymujemy δg 4π δl T δg 4π δt T 3 L 8π L 3 T (9.6) g δg δg 4π 8π L L T L T δl δt T T (9.7) 4 34, 8 34, 0, 9 g 0, 0 0,, , + 9,. (9.8) 33

35 Krok 5 Podajemy wartość końcową m ± (9.9) s ( g g) ( 9, 8 ± 0, ) 9. Pochode fukcj elemetarych W każdym podręczku z zakresu aalzy matematyczej moża zaleźć podstawowe formacje a temat defcj oraz terpretacj pochodych fukcj. Dlatego wedza ta e będze powtarzaa w poższym skrypce. Pożej, ze względów praktyczych zostały przypomae jedye ektóre pochode fukcj elemetarych. dy dy f ' d d stała 0 s cos cos s a a l a tg cos + tg f ( ) y f ' ( ) f ( ) y ( ) p. e p. e ctg s ( + ctg ) log a l l a ' ' ' ' ' ' [ f ( ) ± g( ) ] f ( ) ± g ( ) p. [ + 5] ( ) + ( 5) + 0 ' ' [ stala f ( ) ] stala f ( ) p. [ 5] ' ' ' [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) 5 ' ' ( ) 5 5 f g ( ) ( ) ' f ' ' ( ) g( ) f ( ) g ( ) ( g( ) ) 9. Pochoda fukcj złożoej Pochoda fukcj złożoej rówa sę loczyow pochodej fukcj zewętrzej pochodej fukcj wewętrzej tz. jeżel y F( f ( ) ) fukcje zewętrza y F( u) oraz wewętrza u f ( ) są różczkowale to dy d dy du du. d 34

36 Przykłady: Oblcz pochode fukcj ) y ( + ) 3 3 ( ) ) s y ( ) u 3) l s 3 y ( ) u fukcja zewętrza fukcja wewętrza oblczea F u u u + dy 3( + ) d F u s u dy cos( ) d F u l u s v v 3 dy cos3 3 d s Pochoda fukcj welu zmeych Często teresująca as welkość fzycza jest zależa od klku ych zmeych p. f (, y) Oblczamy wówczas pochode cząstkowe fukcj f (, y) z. z kolejo po obu zmeych traktując drugą zmeą jako parametr stały p. oblczamy pochodą cząstkową względem zmeej, przy założeu, że zmea y jest stała. Jak w praktyce wykoać podobe zależośc przedstawa poższy przykład. Przykład: Oblczyć pochode cząstkowe fukcj z s( + y) Rozwązae: Przy oblczau pochodej cząstkowej względem traktujemy tę fukcję jako loczy δ z s( + y) + cos( + y) δ Przy oblczau pochodej cząstkowej względem y traktujemy tę fukcję jako loczy stałej przez fukcje δ z cos( + y) δy 35

37 Rozdzał 0 Pomary o różych dokładoścach - średa ważoa. Rozważmy przypadek, gdy rezultatem dwóch ezależych pomarów są astępujące wyk ( 9,8 ± 0,) m oraz ( 8, ±,5) m. Który z ch jest blższy wartośc rzeczywstej? s s Jak polczyć końcowy wyk? Itucyje werzymy, że perwszy wyk ( 9,8 ± 0,) m jest blższy s rzeczywstej wartośc. Ale przeceż e możemy odrzucć drugej wartośc, poeważ tak akazuje am tucja! Rozwązaem jest oblczee średej ważoej z obu otrzymaych rezultatów zamast ch średej arytmetyczej. Idea oblczaa średej ważoej jest podoba jak średej arytmetyczej z tym tylko, że każdy wyk wchodz do rezultatu końcowego z wagą, którą jest odwrotość kwadratu epewośc ( błędu z jakm go wyzaczymy). Czyl w perwszym wypadku ( ) m 0 9,8 ± 0, wagą będze współczyk 5 5, s 0, w drugm ( ) m 8, ±,5 waga wyos ( 0.4) 0, 6 jest zacze mejsza. s,5 Wartość średą ważoą w oraz jej epewość oblczamy korzystając z poższych wzorów, gdze S ozacza epewość wewętrzą, S - epewość zewętrzą. t et N w : N, S t : N, S et N w N ( N ). (0.) A wyk końcowy podajemy w postac w ± Ma{S co ozacza, że za epewość przyjmujemy tę S t lub S et, która ma wększą wartość. t, S et } (0.) Czyl w aszym przypadku 36

38 ( 0,) (,5) 9,8 + 8, ( 0,) (,5) 45 +, ,6 w + 9,789 (0.3) St 0, +,5 5,06 0, ,9995 0,0 (0.4) S S et et ( 9,8 9,789) ( 0,) ( ) Zatem otrzymujemy. 0, + ( 8, 9,789) (,5),5 0, ,355 0,4 + _ w 0, , , ,0 5,06 ± Ma{S t, S et ( 9,80 ± 0,0) m s } (0.5) (0.6) W wększośc przypadków wykoywaych w warukach laboratoryjych S przyjmuje wększą S et wartość ż. Dlatego w ektórych podręczkach wzór dla S et jest pomjay. Wyka z tego, że w perwszym przyblżeu oblczeń możemy ograczyć sę wyłącze do wyzaczea S jej wartość przyjąć jako epewość średej ważoej. t Dygresja: Średa ważoa a średa arytmetycza. Rozważmy dośwadczee, którego celem jest pomar oporu. Pomar został wykoay trzykrote tym samym merkem (epewość każdego pomaru jest taka sama wyos Ω. ) otrzymując R ( ± ) Ω, R ( 0 ± ) Ω, R 3 ( 8 ± ) Ω. Jak wyzaczyć wartość średą? Korzystając ze średej arytmetyczej czy średej ważoej? Poeważ epewość każdego pomaru przyjmuje taką samą wartość, możemy wykorzystać wzór a średa arytmetyczą otrzymując R 0. A jaką otrzymamy wartość oblczając wartość średą oblczając ze wzoru a średą ważoą? Oblczea przedstawoo pożej t ( ) N ( ) w : 0. N ( ) Z tego prostego przykładu wdać, że przy stałej wartośc epewośc, wzór a średą ważoą sprowadza sę do wzoru a średą arytmetyczą. (0.7) 37