Jan Pyrzowski i Justyna Signerska Termodynamika multifraktali 1
Prawdopodobienstwo w teorii uk ladów dynamicznych Empiryczna definicja prawdopodobieństwa: R - liczba wszystkich roz lacznych zdarzeń, które mog a być wynikami eksperymentu n i n = H i -relatywna czȩstość wystȩpowania zdarzenia i w ci agu n niezależnych eksperymentów lim n H i = p i - prawdopodobienstwo obserwacji zdarzenia i W uk ladach chaotycznych: x n+1 = f(x n ) µ n (A)-prawdopodobieństwo znalezienia n-tej iteracji x n odwzorowania f w zbiorze A: µ n (A) = (ρ n -gȩstość prawdopodobieństwa) A ρ n(x)dx, n 0 µ n+1 (A) = µ n (f 1 (A)) (1) µ n+1 (A) = µ n (A) (2) Miarȩ probabilistyczn a µ n spe lniaj ac a warunki (1) i (2) nazywamy miar a niezmiennicz a, a odpowiadaj ac a jej gȩstość ρ n gȩstości a niezmiennicz a. 2
A A µ(a) = µ(f 1 (A)) (3) A ρ(x)dx = f 1 (A) ρ(x)dx (4) Wartość oczekiwana obserwabli Q: Q = X ρ(x)q(x)dx Q = Q(x)dµ(x) X Wartości oczekiwane obserwabli s a niezmiennicze wzglȩdem odwzorowania f: Q = X Q(x)dµ(x) = Q(x)dµ(f 1 (x)) = X = X Q(f(x))dµ(x) = Q f (5) Średnia czasowa obserwabli Q wzglȩdem ustalonej trajektorii: Q = lim N 1 N N 1 n=0 Q(x n ) 3
Ergodyczność Mówimy, że odwzorowanie f : X X zachowuj ace miarȩ na przestrzeni probabilistycznej (X, β, µ) jest ergodyczne, jeśli wszystkie zbiory f - niezmiennicze s a miary 0 lub 1. Twierdzenie ergodyczne (Birkhoff): Jeśli odwzorowanie f : X X jest ergodyczne oraz µ jest miar a niezmiennicz a, to: Q = Q µ-prawie wszȩdzie. (6) 4
Fraktale Iterated function system (IFS) (X, d) - zwarta przestrzeń metryczna {w i : X X i = 1,2,...N} - uk lad kontrakcji takich, że w i (X) = X Liść Barnsley a : T i (x, y) = (a 11 x + a 12 y + b 1, a 21 x + a 22 y + b 2 ), i 1,2,3,4 5
Samopodobieństwo (self-similarity): Zwarta przestrzeń topologiczna X jest samopodobna, jeżeli istnieje skończony zbiór niesurjektywnych homeomorfizmów {f s : X X} s S, takich, że: X = s S f s (X) 6
Wymiar fraktalny (box dimension): D(0) = lim ε 0 ln r(ε) ln ε, gdzie: r(ε)-liczba obiektów ( pude lek ) o liniowym rozmiarze ε, którymi możemy pokryć badany obiekt Wymiar Hausdorffa: Zbiór fraktalny A pokrywamy zbiorami σ k o średnicy ε k, gdzie ε k < ε. Dla β > 0 definiujemy: m(β, ε) := inf {σ k } k (ε k ) β Istnieje β 0 takie, że: { ε 0 m(β, ε) 0, dla β > β0 ; ε 0 m(β, ε), dla β < β 0. β 0 nazywamy wymiarem Hausdorffa D H zbioru A: D H = β 0 7
Dwuskalowy zbiór Cantora : a β 0 1 + aβ 0 2 = 1 8
Multifraktale... 9
Informacja Shannona Ω-zbiór N zdarzeń elementarnych ω o równym prawdopodobieństwie p i -prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia i w zbiorze R roz l acznych zdarzeń i = 1,2,..., R: p i = N i N, gdzie N = R N i (7) lnn - liczba bitowa potrzebna, aby wybrać ustalone zdarzenie ω ze zbioru Ω b i -liczba bitowa potrzebna, aby wybrać podzbiór (zdarzenia) i Ω b i + ln N i = ln N (8) b i = ln p i (9) 10
b i = I(p) = R p i ln p i -informacja Shannona S(p) = I(p) -entropia Shannona (funkcje rozk ladu p) W lasności funkcji I(p): I(p) przyjmuje maksymaln a wartość 0 dla rozk ladu p i = δ ij I(p) przyjmuje minimaln a wartość ln R dla rozk ladu jednostajnego p i = 1 R I(p) jest wypuk l a funkcj a rozk ladu 11
Aksjomaty Khinchin a I. I(p) = I(p 1,..., p R ) II. I( 1 R, 1 R,..., 1 R ) I(p) III. I(p 1,..., p R ) = I(p 1,..., p R,0) Jeśli system (Ω, p) ze zdarzeniami postaci (i, j) jest z lożeniem systemów (Ω I, p I ) i (Ω II, p II ), w których wyróżniamy odpowiednio zdarzenia i i j, to zachodzi: IV. I(p) = I(p I ) + i p I i I(P i), gdzie: P(j i)-prawdopodobieństwo warunkowe, że Ω II jest w stanie j, jeśli Ω I jest w stanie i p i,j = P(j i)p I i, I(P i) = j P(j i)ln P(j i) - informacja warunkowa rozk ladu P(j i) prawdopodobieństwa zdarzeń j przy ustalonym zdarzeniu i. 12
Inne miary informacji Informacja Rényi ego I β (p) = 1 β 1 ln r (p i ) β, (10) gdzie: - parametr β R - r - liczba zdarzeń i, dla których p i 0. 13
W lasności funkcji I β (p) w zależności od parametru β : 1. β = 0 I 0 (p) = ln r I 0 (p) wzrasta logarytmicznie wraz z liczb a niepustych zdarzeń i 2. β = 1 podstawiaj ac ε = β 1 otrzymujemy: r p 1+ε i = r p i exp(εln p i ) = r p i (1 + εln p i ) = 1 + ε r p i ln p i, a st ad: lim I 1 1+ε(p) = lim ε 0 ε 0 ε ln(1 + ε czyli: r p i ln p i ) = r p i ln p i, lim I β(p) = I(p) (11) β 1 14
Zasada maksymalnej entropii Mi σ -wartość σ-obserwabli dla i-tego mikrostanu Warunki dla wartości oczekiwanych tych obserwabli: M σ = R p i M σ i Warunek dla normalizacji rozk ladu: R p i = 1 Zasada maksymalnej entropii (minimalnej informacji): δi(p) = 0 15
Zatem: δi(p) = R (1 + ln p i )δp i = 0 Dla nieskończenie ma lych wariacji (?) δp i zachodzi: R R M σ i δp i = 0 (12) δp i = 0 (13) Uwzglȩdniaj ac powyższe warunki otrzymujemy: R p i Ψ + (ln β σ Mi σ )δp i = 0, σ gdzie β σ i Ψ s a mnożnikami Lagrange a odpowiednio dla warunków (12) i (13). Ponieważ δp i mog a przyjmować dowolne wartości, zasadȩ maksimum entropii spe lnia rozk lad o postaci: P i = exp(ψ σ β σ M σ i ) (14) Rozk lad taki nazywamy rozk ladem kanonicznym (Gibbs a ) 16
Entropia rozk ladu kanonicznego (14): S = Ψ + σ β σ M σ (15) Ψ nie jest niezależnym parametrem. Warunek normalizacji rozkladu: daje R i P i = 1, Ψ = ln Z, gdzie: Z = R i exp( σ to tzw. funkcja podzia lu. β σ M σ i ) (16) 17
Transformacja Legendre a Maj ac wypuk l a lub wklȩs l a funkcjȩ F(x), oznaczamy: df(x) dx = y (17) y(x) jest monotoniczna; definiujemy funkcjȩ L(y): L(y) = F(x) + xy Otrzymujemy: dl dy = df dx dx dy + ydx dy + x Korzystaj ac z (17) uzyskujemy: dl(y) dy = x 18
Za lóżmy, że mamy tylko jeden warunek typu (12). Różniczkuj ac: S = Ψ + βm po M, otrzymujemy: ds dm = dψ dβ dβ dm + M dβ dm + β. (18) Z definicji funkcji podzia lu (16) wynika: dψ dβ = M, co po podstawieniu do (18) daje: ds dm = β Powyższe roważania latwo uogólnic dla wiȩkszej liczby warunków typu (12): Ψ(β) + S(M) = σ β σ M σ M σ = Ψ β σ β σ = S M σ 19
Rozk lady eskortowe Za lóżmy, że mamy dowolny rozk lad p. Zdefiniujmy transformacjȩ: p i pβ i Ri p β i β R (19) Wykorzystuj ac zależność: p i = exp( b i ), możemy zapisać (19) w postaci analogicznej do rozk ladu kanonicznego (14): gdzie: exp( b i ) exp(ψ βb i ), Ψ = ln Z Z = Mamy również: R i exp( βb i ) = R i p β i. (20) I β (p) = 1 β 1 ln r p β i = 1 Ψ(β). (21) β 1 20
Multifraktale Za lóżmy że mamy miarȩ probabilistyczn a µ na fraktalnym nośniku w d-wymiarowej przestrzeni fazowej Ω. R ε d - liczba d-wymiarowych sześcianów o boku ε 0 pokrywaj acych Ω. r-liczba sześcianów o niezerowym prawdopodobieństwie. p i - miara µ i-tego sześcianu o środku w punkcie x, i = 1,2,..., r Zdefiniujmy: α i (ε) α(ε, x) = ln p i ln ε - wskaźnik osobliwości (22) α(x) = lim ε 0 α(ε, x) - wymiar punktowy Fraktal nazywamy multifraktalem jeżeli α(x) nie jest sta le. 21
Korzystaj ac z (22) oraz p i = exp( b i ), mamy: b i = α i (ε)ln ε. (23) Z (21) otrzymujemy, że rozk lady eskortowe (19) maj a postać : gdzie: Ψ(β) = ln P i = exp(ψ βb i ), r exp( βb i ) = (β 1)I β (p). Funkcja podzia lu dana jest wzorem: Z(β) = r p β i = r exp( βb i ) = exp[ Ψ(β)], a informacjȩ Rényi ego można wyrazić jako: I β (p) = 1 β 1 ln Z(β). 22
Wymiary Rényi ego D(β) = lim ε 0 I β (p) ln ε = lim ε 0 Zatem dla ε 0: a st ad otrzymujemy: Z(β) ε (β 1)D(β), 1 1 r ln ε(β 1) ln p β i (24) dla β = 0 D(0)- box dimension dla β 1 1 D(1) = lim ε 0 ln ε r p i ln p i = 1 = lim ε 0 ln ε = lim 1 I(p) = α(x) ε 0 ln ε D(1)-wymiar informacji 23
dla β = 2 D(2)-wymiar korelacji D(+ ) D( ) W laściwości wymiaru Rényi ego 1. D(β) 0 2. D(β ) D(β) dla β > β 24
25
Uogólniony wymiar Renyi ego {σ 1, σ 2,...σ r }-pokrycie multifraktala roz l acznymi zbiorami o różnych kszta ltach i średnicach l i < l, i 1,2,..., r p i -miara probabilistyczna zbioru σ i Uogólnion a funkcjȩ podzia lu definujemy jako: Z(β, τ) = inf r {σ} (p β i /lτ i ), dla β 1, τ 0; sup r {σ} (p β i /lτ i ), dla β > 1, τ > 0. Istnieje τ 0 (β) = (β 1)D(β) takie, że: lim Z(β, τ 0) O(1) l 0 D(β) nazywamy uogólnionym wymiarem Renyi ego. 26
Spektrum osobliwości f(α) Oznaczaj ac V = ln(ε), granicȩ V nazywać bȩdziemy granic a termodynamiczn a. W granicy termodynamicznej wyrażenie na energiȩ swobodn a Ψ (20) zastȩpujemy przez: αmax Ψ = lim ln exp( βαv )γ(α)dα. V α min Zak ladaj ac że γ(α) ε f(α) otrzymujemy: αmax Ψ = lim ln exp([f(α) βα]v )dα. V α min Niech teraz α = α(β) oznacza wartość α, dla której wyrażenie f(α) βα osi aga maksimum. f α α= α = β 2 f α 2 α= α < 0; 27
Mamy wtedy: Ψ [β α f( α)]v (25) Korzystaj ac z zależności (15) oraz (23) mamy: Ψ = β αv S (26) Porównuj ac (25) i (26) otrzymujemy: lim V S V = f( α) Natomiast z (24) i (21) otrzymujemy: lim V Ψ V = τ(β) τ(β) = (β 1)D(β) 28
Wielkości f( α) i τ(β) powi azane s a transformacj a Legendre a w granicy termodynamicznej podobnie jak S i Ψ dla skończonych wartości V. S(b) = βb Ψ(β) Analogicznie: dψ dβ = b ds db = β f( α) = β α τ(β) (27) dτ dβ = α df d α = β (28) Oznaczaj ac α(β) = α możemy przedstawic (28) w postaci: α(β) = D(β) + (β 1)D (β) f(α(β)) = D(β) + β(β 1)D (β) 29
Daje to w szczególności: f(α(0)) = D(0) = α(0) + D (0) f(α(1)) = D(1) = α(1) Można również pokazać: α min = D(+ ) α max = D( ) 30
31
32
33
Hiperboliczność W s 1 (x) = {y : lim n n ln fn (x) f n (y) < 0} W u 1 (x) = {y : lim n n ln fn (x) f n (y) < 0} 34
Odwzorowanie Ulam a: x 1 2x 2 ρ(x) = x [ 1,1] 1 π 1 x 2 35
Styczności homokliniczne w odwzorowaniu Henon a 36
Odwzorowanie Henon a: 37
Bibliografia: 1. Beck S., Schlögl F., Thermodynamics of chaotic systems,cambridge University Press (1993) 2. Eckmann JP, Ruelle D., Ergodic theory of chaos and strange attractors,rev. Mod. Phys. 57, 617-656 (1985) 3. Jensen et al., Scaling structure and thermodynamics of strange sets,phys. Rev. A 36, 1409-1420 (1987) 4. Halsey et al., Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets,phys. Rev. A 33, 1141-1151 (1986) 5. Eckmann JP, Procaccia I, Fluctuations of dynamical scaling indices in nonlinear systems,phys. Rev. A 34, 659-661 (1986) 6. Gunaratne GH, Procaccia I, Organization of chaos,phys. Rev. Lett. 59, 1377-1380 (1987) 7. Grebogi C, Ott E, Yorke JA,, Unstable periodic orbits and the dimensions of multifractal chaotic attractors,phys. Rev. A 37, 1711-1724 (1988) 8. Ott E., Chaos w uk ladach dynamicznych,wnt (1994) 38