1 Twierdzenie Bochnera-Minlosa

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Twierdzenie Bochnera-Minlosa"

Transkrypt

1 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 1 1 Twierdzenie Bochnera-Minlosa 1.1 Dystrybucje Niech Ω n będzie niepustym zbiorem otwartym. Przez C0 (Ω oznaczmy przestrzeń funkcji gładkich określonych na Ω o zwartych nośnikach i o wartościach zespolonych. Definicja 1.1 Mówimy, że ciąg {ϕ m } m 1 C0 (Ω jest zbieżny do zera, jeśli: 1 istnieje zbiór zwarty K Ω taki, że nosniki wszystkich funkcji ϕ m leżą w K, 2 funkcje oraz ich pochodne cząstkowe wszystkich rzędów dążą jednostajnie do zera. Przestrzeń C0 (Ω z tak określoną zbieżnością nazywamy przestrzenią funkcji próbnych i oznaczamy przez D(Ω. Lemat 1.2 Niech {ϕ m } m 1 będzie ciągiem Cauchy ego w D(Ω. Wtedy istnieje takie ϕ C 0 (Ω, że ϕ m ϕ, gdy m w D(Ω. Definicja 1.3 Liniowy funkcjonał T : D(Ω C nazywamy dystrybucją jeśli jest ciągły na przestrzeni D(Ω, tzn. taki, że gdy ϕ m ϕ, gdy m w D(Ω, to T (ϕ m T (ϕ. Przestrzeń dystrybucji (sprzężoną do D(Ω oznaczamy przez D (Ω. Twierdzenie 1.4 Liniowy funkcjonał T : D(Ω C jest dystrybucją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zwartego K Ω istnieją takie stałe A = A(K i p = p(k, że T (ϕ A sup D α ϕ(k, dla ϕ C0 (K. α p W twierdzeniu powyżej użyliśmy skrótu: Niech α = (α 1,..., α n będzie wielowskaźnikiem (n wymiar przestrzeni. Wtedy α = α α n oraz D α α ϕ ϕ = x α xαn n Dowód. Dostateczność podanego warunku jest oczywista. Podamy dowód konieczności, niewprost. Przypuśćmy, że podane oszacowanie nie zachodzi, to znaczy istnieje K Ω takie, że dla każdego A = p = m istnieje funkcja ϕ m C0 (K taka, że T (ϕ m > m sup D α ϕ m (K α m Korzystając z jednorodności powyższej nierówności mamy T (ϕ m = 1, natomiast sup D α ϕ m (K < 1/m dla α m.

2 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 2 Stąd ϕ m 0 w D(Ω, gdy m oraz T (ϕ m = 1 dla m 1 co przeczy ciągłości T. Gdy stała p w powyższym twierdzeniu może być wybrana niezależnie od K, wtedy mówimy, że dystrybucja T jest rzędu skończonego na Ω, a najmniejsza taka liczba p nazywa się rzędem dystrybucji T w Ω. 1.2 Przykłady dystrybucji 1 Niech Ω = n oraz niech µ będzie miarą borelowską skończoną na zbiorach zwartych. Wtedy T (ϕ = ϕ dµ, ϕ C0 ( n. n jest dystrybucją (rzędu 0. 2 Niech n = 1, Ω = (0, 1. Wtedy T (ϕ = D j ϕ(1/j jest dystrybucją rzedu nieskończonego. 3 bardzo ważną klasę stanowią dystrybucje regularne tj. reprezentowalne przez funkcje lokalnie całkowalne (skończenie całkowalne na zbiorach zwartych w n. Niech f będzie taką funkcją. Określmy dystrybucję T f (ϕ; = f(xϕ(x dλ n (x, ϕ C0 (Ω. Ω Liniowość T f jest oczywista. Ciągłość wynika z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności ograniczonej. Szczególnym przypadkiem dystrybucji z przykładu 1 jest delta Diraca δ a (ϕ := ϕ(a, ϕ C 0 (Ω. Wykażemy, że dystrybucja Diraca nie jest regularna. Bez straty ogólności możemy przyjąć a = 0. Załóżmy, że δ 0 jest regularna. Wtedy istniałaby funkcja lokalnie calkowalna f taka, że T f = δ 0. Jak wiadomo istnieją funkcje próbne g i D takie, że g i (x = 0 dla x > 1/i, g i (0 = 1, 0 g i (x 1 dla x n, i = 1, 2,... Zatem 1 = g i (0 = T f (g i = fg i dλ n = fg i dλ n f dλ n 0. n x 1/i x 1/i Otrzymaliśmy sprzeczność.

3 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa Granice induktywne Niech dana będzie przestrzeń X i jej podzbiory X i = (X i, T i, i I będące przestrzeniami topologicznymi takimi, że X i X j dla i j oraz X = i I X i. Niech G i : X i X będzie injekcją kanoniczną. Przestrzeń X wyposażona w topologię induktywną (tzn. najmocniejszą topologię, przy której każde odwzorowanie G i jest ciągłe nazywa się granicą induktywną przestrzeni X i i oznacza się lim i I indx i. Twierdzenie 1.5 Niech X będzie granicą induktywną przestrzeni topologicznych (X i, T i, i I i niech (Y, T będzie przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie T : X Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy T Xi jest ciągłe na (X i, T i dla każdego i I. Granice induktywne przestrzeni lokalnie wypukłych metryzowalnych (a więc takich, których topologia dana jest przez ciąg półnorm nazywają się przestrzeniami bornologicznymi (czyli Mackey. Niech Ω n będzie niepustym otwartym zbiorem. Wtedy istnieje ciąg zbiorów zwartych K j takich, że K j K j+1, j 1, każdy podzbiór zwarty K Ω jest zawarty w pewnym K j oraz K j Ω. Oznaczmy X i = D(Ω, K i := {ϕ C (Ω : supp(ϕ K i}. Przestrzeń X i ma topologię okreslona przez przeliczalną rodzinę półnorm: ϕ p,ki := sup D α ϕ(k i, p = 1, 2,... α p Jak wiemy D(Ω, K i jest przestrzenią Frecheta (metryzowalną i zupełną. Definicja 1.6 D(Ω = lim i ind D(Ω, K i. Zatem D(Ω jest przestrzenią Mackey. Twierdzenie 5 mówi, że dystrybucja jest ciągłym funkcjonałem na D(Ω. Wniosek ten jest szczególnym przypadkiem twierdzenia, które mówi, że odwzorowanie liniowe A przestrzeni Mackey E jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jest ono ciągowo ciągłe tzn. gdy dla każdego ciągu ϕ m 0 mamy Aϕ m Działania na dystrybucjach 1 óżniczkowanie dystrybucji. Niech α będzie wielowskaźnikiem. Wtedy odzorowanie D α określone wzorem (D α T (ϕ := ( 1 α T (D α ϕ, ϕ D(Ω. lub w innym zapisie ϕ, D α T = ( 1 α D α ϕ, T

4 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 4 jest dystrybucją. 2 Mnożenie dystrybucji przez funkcję (gładką. Niech T będzie dystrybucją i niech f C (Ω. Wtedy (f T (ϕ := T (fϕ, ϕ D(Ω. Okazuje się, że nie da się określić mnożenia dystrybucji przez dystrybucję tak aby działenie to było łączne. Inne działania które dają się okreslić, to iloczyn tensorowy dystrybucji, translacja dystrybucji, splot dystrybucji. 1.5 Przestrzeń funkcji szybko malejących Transformatę Fouriera dla f L 1 (λ n określa się wzorem ˆf(y = f(xe 2πi y,x dλ n (x, n gdzie x = (x 1,..., x n, y = (y 1,..., y n n oraz y, x = y 1 x y n x n. Gdy f C0 (n, wtedy całkując przez części α razy, otrzymujemy wzór (1.1 Dα f(y = (D α f(xe 2πi y,x dλ n (x = (2πi α y α ˆf(y, n gdzie dla wielowskaźnika α = (α 1,..., α n mamy oznaczenie y α = y α 1 1 yαn n. óżniczkując wzór na transformatę Fouriera i korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu całek z parametrem, otrzymujemy (1.2 (D α ˆf(y = ( 2πi α ( e α f(y, y n, gdzie e α (x = x α := x α 1 1 xαn n. Definicja 1.7 Przestrzeń S jest to zbiór wszystkich funkcji f C ( n takich, że dla wszystkich wielowskaźników α = (α 1,..., α n, β = (β 1,..., β n zachodzi f α,β := sup x n x β D α f(x <. Topologia lokalnie wypukła przestrzeni S dana jest przez przeliczalną rodzinę półnorm α,β. Lemat 1.8 Transformata Fouriera odwzorowuje S S w sposób ciągły. Pokażemy tylko, że transformata Fouriera działa z S w S. Niech f S. Korzystając ze wzorów (1.2 i (1.1 dostajemy Zachodzi następujący lemat y β (D α ˆf(y = y β ( 2πi α ê α f(y = ( 2πi α (2πi β (D β (e α f (y.

5 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 5 Lemat 1.9 Można wykazać nastepujące własności S. 1 Zbiór C0 (n jest gęsty w S. 2 Zanurzenie D S jest ciągłe. Z lematu tego wynikają następujace wnioski: Wniosek 1.10 Jeśli T S oraz T (D( n = 0, to T = 0. Wniosek 1.11 T S T D( n D ( n. Z obu tych wniosków wynika, że możemy identyfikować (zanurzać S z podzbiorem D. Uzasadnia to następującą definicję: Przestrzeń D nazywa się przestrzenią dystrybucji temperowanych. Warto zauważyć, że nie każda funkcja lokalnie całkowalna będąca dystrybucją, jest dystrybucją temperowaną. Łatwo też zauważyć, że funkcje całkowalne są dystrybucjami temperowanymi tj. L 1 S. mamy następującą własność takich dystrybucji Lemat 1.12 Jeśli f L 1, to dla dowolnej ϕ S zachodzi równość ϕ, ˆf = ˆϕ, f. Dowód. Na mocy twierdzenia Fubiniego mamy ϕ, ˆf ( = ϕ(y f(xe 2πi y,x dλ n (x dλ n (y = n n ( f(x ϕ(ye 2πi y,x dλ n (y dλ n (x = f(x ˆϕ(x dλ n (x = ˆϕ, f. n n n Na mocy powyzszego lematu możemy przyjąć następującą definicję transformaty Fouriera dystrybucji temperowanej. Definicja 1.13 Transformata dystrybucji temperowanej T dana jest wzorem ϕ, ˆT = ˆϕ, T, ϕ S. Stosując inną natację piszemy ˆT (ϕ = T ( ˆϕ, ϕ S.

6 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa Przestrzenie nuklearne Przestrzeń wektorową E nazywamy przestrzenia przeliczalnie Hilbertowską jeśli E jest przestrzenią zupełną względem topologii generowanej przez przeliczalną ilość Hilbertowskich, zgodnych norm n, n 0. Zgodność norm oznacza, że jeśli jakis ciąg w E jest zbieżny do zera w normie m oraz jest ciągiem Cauchy ego w normie n, to jest zbieżny do zera w normie n. Dla n 0 oznaczmy przez E n uzupełnienie E względem normy n. Wtedy mamy E = E n. n=0 zeczywiście, jeśli x n=0 E n, to x jest ciągiem Cauchy ego w każdej normie n. Zatem z zupełności E jest w niej zbieżny, tzn. x E. Zawieranie w drugą stronę jest oczywiste. Bez straty ogólności możemy normy ustawić w ciąg niemalejący a stąd (jako injekcyjne zanurzenia n..., E 0 E 1... E n.... Oznaczając przez E n przestrzen dualną (sprzężoną do E n mamy E 0 = E 0 E 1... E n.... Gdy natomiast oznaczymy przez n normę E n otrzymujemy { n : < n < } niemalejący ciąg Hilbertowskich norm. Lemat 1.14 Liniowy funkcjonał f : E jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły względem n dla pewnego n 0 Dowód. Dostateczność jest oczywista. Udowodnimy konieczność. Niewprost. Załóżmy, że f nie jest ciągły względem żadnej normy n dla n 0, tzn. dla każdego k 0 istnieje x k E taki, że f(x k > (k + 1 x k k. Stąd f(x k > 0 dla k 0. Określmy k + 1 y k = f(x k x k, k 0. Wtedy dla k n mamy y k n = k + 1 k + 1 f(x k x k n f(x k x k k 1 k + 1.

7 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 7 Stąd gdy k mamy y k n 0. ciągłości f. Z udowodnionego lematu mamy Tymczasem f(y k = k + 1, co przeczy E = En. n=0 Definicja 1.15 Niech E będzie przestrzenią przeliczalnie Hilbertowską. Jeśli dla każdego m 0 istnieje n > m takie, że naturalne włożenie (injekcja T n,m : E n E m jest operatorem Hilberta-Schmidta, to E nazywamy przestrzenią nuklearną przeliczalnie Hilbertowską lub krótko: przestrzenią nuklearną. 1.7 Przykład Pokażemy, że przestrzeń S = S( funkcji szybko malejących jest przestrzenią nuklearną. Topologia jest zadana przez przeliczalna rodzinę norm f n = max sup 0 k n u (1 + u 2 n f (k (u, n = 0, 1, 2,... lub równoważnie przez bazę otoczeń zera { } U n.k (ε = f S : sup (1 + u 2 n f (k (u < ε u, n 0, 0 k n, ε > 0. Pokażemy, że S jest przestrzenią przeliczalnie Hilbertowską. W tym celu wprowadzimy równoważny wyjściowemu układ norm f n = k=0 (1 + u 2 2n f (k (u 2 du, n 0. ównoważność układów norm { n } n 0 i { n } n 0 wynika z lematu Lemat 1.16 Dla n 1 istnieją stałe C n i D n takie, że dla każdego f S mamy C n f n 1 f n D n f n+1. Dowód. Prawa strona nierówności wynika z następujacego oszacowania dla k n. (1 + u 2 2n f (k (u 2 du sup[(1 + u 2 2n+2 f (k (u 2 du ] u (1 + u 2 2.

8 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 8 Stąd f 2 n = π (n + 1 max 2 k=0 sup 0 k n+1 u (1 + u 2 2n f (k (u 2 du Lewa nierówność z oszacowania poniżej dla k n 1. Stąd Zatem (1 + u 2 n 1 f (k (u = (1 + u 2 2n f (k (u 2 = π 2 (n + 1 f 2 n+1. u [(1 + u 2 n 1 f (k (u] du (1 + u 2 n 1 f (k+1 (u du + (n 1 2u(1 + u 2 n 2 f (k (u du (1 + u 2 n 1 f (k+1 (u du + (n 1 (1 + u 2 n 1 f (k (u du ( ( du 1/2( 1/2+ (1 + u 2 2 (1 + u 2 2n f (k+1 (u du 2 du 1/2 ( 1/2. (n 1 (1 + u 2 2 (1 + u 2 2n f (k (u du 2 sup (1 + u 2 n 1 f (k (u 2 u πn 2( + u (1 2 2n f (k+1 (u 2 du + (1 + u 2 2n f (k (u 2 du. f 2 n 1 2πn 2 f 2 n. Oznaczmy przez s przestrzeń ciągów rzeczywistych x = {x k } k 0 takich, że dla każdego n 0 x 2 n := (1 + k 2n x 2 k <. Określone powyżej normy tworzą ciag niemalejący n..., Domknięcie s w normie n jest równe H n, gdzie H n = {x = {x k } k 0 : x k, k 0, x n < }. k=0

9 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 9 Jak wiadomo przestrzeń ta jest zupełna. Zatem H 0 H 1... H n.... Ponadto ciąg norm n, n 0 jest zgodny na s, bo gdy n > m (przypadek n m jest oczywisty i niech {x k } k 0 s oraz x k m 0, gdy k i {x k } k 0 jest ciągiem Cauchy ego w n, to x k n 0, gdy k, wynika z monotonicznosci ciągu norm n oraz zupelności H n. Przestrzeń ciągów s jest przestrzenią zupełną (i gęstą w l 2 jest więc przeliczalnie Hilbertowską, co więcej jest przestrzenią nuklearną. zeczywiście, łatwo zauważyć, że włożenia T n+1,n : H n+1 H n są Hilberta-Schmidta. Stąd i z lematu: Lemat 1.17 Przestrzeń Schwartza S jest izomorficzna z przestrzenią ciągową s. wynika, że przestrzeń Schwartza S jest przestrzenią nuklearną. Możemy więc napisać gdzie włożenia są ciągłe. 1.8 Twierdzenie Bochnera-Minlosa Niech dana będzie trójka przestrzeni S L 2 ( S, E H E, gdzie H (zazwyczaj H = L 2 (T jest przestrzenią Hilberta, E przestrzenią nuklearną, a E sprzężoną do niej. Uogólnionym procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych (określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej indeksowanych parametrem z przestrzeni nuklearnej E tj. X = {X(x, ω} x E. taką, że przy ustalonym ω odwzorowanie X(, ω jest ciągłym funkcjonałem na E, czyli X(, ω E dla ω Ω. ozkład łączny (X(x 1,..., X(x n jest jednoznacznie określony przez funkcję charakterystyczną. ( exp i t k X(x k, ω dp (ω, t k Ω k=1 dla k = 1, 2,..., n. Korzystając z liniowości X(x, ω wzgledem x widzimy, że powyższa funkcja charakterystyczna jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X(t 1 x t n x n,. Ponieważ

10 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 10 t 1 x t n x n E możemy więc przypuszczać, że rozkład uogólnionego procesu stochastycznego jest jednoznacznie określony przez C X (x = exp[ix(x, ω] dp (ω, x E. Ω Funkcjonał C X (x, x E nazywamy funkcjonałem charakterystycznym uogólnionego procesu X. Posiada on następujące własności: 1 Funkcjonał C X jest ciągły względem x E. 2 Funkcjonał C X jest dodatnio określony tzn. dla dowolnego n N i α 1,..., α n C, x 1,..., x n E, mamy α j α k C X (x j x k 0. 3 C X (0 = 1. j,k=1 Warunki te sa identyczne jak w klasycznym twierdzeniu Bochnera. Twierdzenie Bochnera- Minlosa mówi, że gdy pewien funkcjonał C(x, x E spełnia warunki 1 3, to istnieje miara µ na E taka, że C(x = e i x,x dµ(x, x E. E Najpierw określimy σ - algebrę na której będzie określona miara µ. x 1,..., x n E oraz ustalonego B B( n określmy zbiór (cylinder U x1,...,x n;b = {x E : ( x 1, x,..., x n, x B} Dla ustalonych Jeśli F E jest skończenie wymiarową podprzestrzenią, to zbiór cylindrów indeksowanych elementami z F tworzy σ-algebrę którą oznaczmy przez G F. zeczywiście, jeśli np. dim(f = n oraz e 1,..., e n jest bazą przestrzeni F, a x 1,..., x k F. Wtedy dla x E mamy x i, x = a ij e j, x, i = 1, 2,..., k. Jeśli przez A oznaczymy operator liniowy z n w k o macierzy [a ij ], to Stąd dla B B( k mamy ( x 1, x,..., x k, x = A( e 1, x,..., e n, x. ( x 1, x,..., x k, x B A( e 1, x,..., e n, x B ( e 1, x,..., e n, x A 1 (B B( n.

11 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 11 Zatem Oznaczmy U x1,...,x k ;B = U e1,...,e n;a 1 (B. G = F E gdzie sumowanie jest po wszystkich skończenie wymiarowych podprzestrzeniach E. Jak łatwo zauważyć, G jest tylko algebrą. Przestrzenią mierzalną na której określona będzie miara µ jest (E, A, gdzie A = σ(g. Konstrukcję miary µ dla której funkcjonałem charakterystycznym jest dany funkcjonał C(x, x E spełniający warunki 1 3 podamy w trzech krokach. 1 Konstrukcja przestrzeni z miarą (E, G F, m F dla dowolnej skończenie wymiarowej przestrzeni F E. 2 Korzystając kroku pierwszego podamy konstrukcję przestrzeni (E, G, m, gdzie m jest miarą skończenie addytywną. G F, 3 ozszerzenie (E, G, m do przestrzeni z miarą (E, A, µ. Najtrudniejszy jest krok ostatni. Podamy teraz kolejne kroki konstrukcji 1 Niech F E i niech dim(f = n. Przez F a oznaczmy anihilator F. jest to podprzestrzeń E okreslona wzorem F a = {x E : y, x = 0 dla wszystkich y F }. Przestrzeń ilorazowa E /F a jest izomorficzna z F ( = F, w szczególności jest n - wymiarowa. Elementy E /F a możemy traktować jako funkcjonały na F określając je wzorem f, [x ] F := f, x, f F. Zauważmy poprawność tej definicji (nie zależy od wyboru reprezentanta klasy abstrakcji. zeczywiście, gdy y [x ], to y x F a. Stąd dla f F mamy f, [x ] F = f, y = f, x. Oznaczmy przez C F obcięcie C do F. Wtedy C F może być uważana jako funkcja charakterystyczna rozkładu m F na F tj. na E /F a, czyli C F (f = e i f,[x ] F d m F ([x ], f F. E /F a Zatem mamy przestrzeń probabilistyczną (E /F a, B F, m F, gdzie B F jest borelowską σ - algebrą na E /F a tzn. jest ona przeniesiona z n za pomocą izomorfizmu T : n E /F a, T (a 1,..., a n = a i [e i ],

12 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 12 gdzie [e i ], i = 1, 2,..., n jest bazą w E /F a. Zatem dla B B( n mamy { } T (B = a i [e i ] : (a 1,..., a n B = {[x ] : ( e 1, [x ] F,..., e n, [x ] F B} B F, gdzie e i, [e j ] = δ ij jest układem biortogonalnym i oczywiście [x ] = e i, x F [e i ]. Niech ρ F : E E /F a będzie odwzorowaniem kanonicznym tj. ρ(x = [x ] = x + F a dla x E. Wtedy ρ 1 F (B F = G F, bo ρ 1 F ({[x ] : ( e 1, [x ] F,..., e n, [x ] F B} = {x E : ( e 1, x,..., e n, x B} G F. Jeśli teraz A G F, to A = ρ 1 F (B dla pewnego B B F. Możemy teraz określić otrzymując przestrzeń z miarą (E, G F, m F. m F (A = m F (B 2 Niech F i G będą skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami E oraz niech F G. Wtedy odwzorowanie (G a F a T : E /G a E /F a x + G a x + F a, jest dobrze określone, bo T (x + G a = x + F a = F a dla x G a. Ponadto dla B B F mamy m F (B = m G (T 1 B, tzn. m F = m G T 1. zeczywiście, dla x F mamy C F (x = C G (x. Z twierdzenia Bochnera C F (x = e i x,[y ] F d m F ([y ]. E /F a Z drugiej strony majac na uwadze, że x, T ([y ] F = x, [y ] G dla x F otrzymujemy C G (x = e i x,[y ] G d m G ([y ] = E /G a T 1 (E /F a e i x,t ([y ] F d m G ([y ] =

13 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 13 E /F a e i x,[y ] F d( m F T 1 ([y ]. Porównując oba równania i korzystając z jednoznaczności miary w twierdzeniu Bochnera otrzymujemy równość m F = m G T 1. Tak więc rodzina miar Stąd rodzina miar m F, F E - podprzestrzeń skończenie wymiarowa jest zgodna tzn. jeśli F, G E oraz F G są podprzestrzeniami skończenie wymiarowymi i A G A G G, to m F (A = m G (A. zeczywiście, ponieważ T ρ G = ρ F, więc jeśli A = ρ 1 F (B, gdzie B B F, to Zatem A = ρ 1 F (B = ρ 1 G (T 1 (B. m F (A = m F (B = m G (T 1 (B = m G (A. Możemy teraz określić miarę (skończenie addytywną na G. Niech A G. Wtedi istnieje F E skończenie wymiarowa, taka, że A G F. Definiujemy m(a = m F (A Z rozważań powyżej definicja ta jest poprawna. Pokażemy, że m jest skończenie addytywna. Niech A 1,..., A n G będą parami rozłączne. Wtedy istnieją skończenie wymiarowe podprzestrzenie F 1,..., F n E takie, że A i G Fi dla i = 1, 2,..., n. Niech Wtedy A i G F dla i = 1, 2,..., n oraz Ponieważ m F jest addytywna na G F, więc F = span{f 1,..., F n } m Fi (A = m F (A, i = 1, 2,..., n. ( n m ( n A i = m F A i = m F (A i = m(a i. Mamy więc określoną przestrzeń (E, G, m ze skończenie addytywną miarą m. 3 Chcemy rozszerzyć m do miary µ na przestrzeni (E, A. Jak wiadomo takie rozszerzenie jest możliwe jeśli m jest σ - addytywna na G. Okazuje się, że warunki 1 3 nałożone na funkcjonał C(x implikują tę σ addytywność. W dowodzie skorzystamy z dwóch lematów. Lemat 1.18 Niech µ będzie rozkładem na n i niech E oznacza elipsoidę tj. { z = (z 1,..., z n n : a 2 i zi 2 c 2}.

14 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 14 Jeśli funkcja charakterystyczna ϕ rozkładu µ spelnia warunek to dla kuli K(0, r o promieniu r zachodzi ϕ(z 1 < ε, z E, µ(k(0, r < β 2( ε + 2 c 2 r 2 gdzie stała β jest dodatnia i niezależna od n i r. Dowód. Mamy następujące oszacowanie K(0,r I := n [ ( 1 exp 1 2r 2 Całkę I możemy zapisać w postaci [ ( 1 exp 1 2r 2 x 2 i ( I = 1 exp 1 n 2r 2 x 2 i a 2 i, ] dµ(x ] dµ(x [1 exp( 1/2] µ(k(0, r. x 2 i dµ(x i traktując wyrażenie pod całką jako funkcję charakterystyczną rozkładu normalnego otrzymujemy ( I = 1 (r 2 /2π n/2 exp i n n ε + (r 2 /2π n/2 2 c 2 ( x i z i exp r2 2 ( (r 2 /2π n/2 [1 ϕ(z] exp r2 n 2 (r 2 /2π n/2 + < E E E ( a 2 i zi 2 exp ( r2 2 z 2 j z 2 j z 2 j dz dz < ε + 2 c 2 r 2 dz dµ(x = ze wzoru na momenty drugiego rzędu rozkładu normalnego. Porównując otrzymane oszacowanie z otrzymanym powyżej dostajemy tezę lematu ze stałą β 2 = [1 exp( 1/2] 1. a 2 i

15 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 15 Lemat 1.19 Dostatecznym warunkiem na to aby skończenie addytywna miara m była rozszerzalna do σ - addytywnej miary na (E, A jest: dla każdego ε > 0 istnieje naturalna liczba n i kula S n = {x E : x n r n } tak, że dla dowolnego A G rozłącznego z S n mamy µ(a = m(a < ε. Dowód. Przez sprzeczność (reductio ad absurdum. Załóżmy, że {A n } n 1 G sa parami rozłączne oraz A n = E. n=1 Ponieważ m jest skończenie addytywna, to dla każdego n 1 Zatem ( n m A i = m(a i 1. m(a i 1. Załóżmy, że powyższa nierówność jest ostra. Wtedy istnieje ε > 0 takie, że m(a i = 1 3ε < 1. Dla każdego A n możemy znaleźć otwarty cylinder U n (jego zbiór borelowski B jest otwarty taki, że A n U n oraz (z regularności m na cylindrach o ustalonej bazie Oczywiste jest zawieranie m(u n \ A n < ε 2 n, n 1. S n E = U i. Ponieważ S n jest słabo zwarte, więc istnieją U i1,..., U ik Oczywiste jest, że U G oraz S n U := k U ij. 1 = m(u U = m(u + m(u, m(u takie, że k m(a ij + ε, m(u < ε.

16 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 16 Mamy więc k 1 = m(u + m(u m(a ij + ε + ε (1 3ε + 2ε = 1 ε, co daje sprzeczność. Twierdzenie 1.20 Niech C(x, x E (E przestrzeń przeliczalnie Hilbertowska będzie funkcjonałem takim, że 1. Jest ciągły w normie m dla pewnego m Jest dodatnio określony. 3. C(0 = 1. Jeśli dla pewnwgo n > m injekcja T n,m : E n E m jest operatorem Hilberta-Schmidta, to istnieje jedyne rozszerzenie m do miary µ na (E, A i miara µ jest skoncentrowana na E n. Dowód. Z założenia dla każdego ε > 0 istnieje kula K(0, c taka, że C(x 1 < ε 2β 2, x K(0, c, gdzie β jest z lematu Także z założenia istnieje kula V E n o środku w 0 taka, że T n,m (V U. Pokażemy, że kula S n w E n o środku w 0 i promieniu r = 2β T n,m 2 / c 2 ε jest kulą spełniającą założenia lematu 19. Niech A G F i A S n =. Wtedy istnieje B B F taki, że A = ρ 1 F (B oraz B ρ F (S n =. Niech x V F i niech dim F = k. Niech e 1,..., e k będzie bazą w F ortonormalną w normie n. Ponieważ normy na przestrzeniach skończenie wymiarowych są równoważne, więc istnieje α > 0 takie, że y n α 2 y m, y F. Zatem 1 α 2 k e i, x 2 e i 2 m 1 k α 2 e i, x 2 = 1 α 2 x 2 n x 2 m c 2. Stąd elementy V F mogą być opisane we współrzędnych jako elementy elipsoidy k a 2 i zi 2 c 2,

17 M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 17 gdzie a i = e i m /α. Zauważmy, że k a 2 i = 1 α 2 Z leamtu 1.19 mamy zatem k e i 2 m k e i 2 m T n,m 2 2. m F (ρ(s n < β 2( ε 2β c 2 r 2 k a 2 i < ε 2 + 2β2 c 2 r 2 T m,n 2 2 = ε. Wniosek 1.21 (Twierdzenie Minlosa Niech będzie przestrzenią nuklearną, a C(x, x E będzie funkcjonałem charakterystycznym tj. funkcjonałem spelniającym warunki 1 3. Wtedy istnieje dokładnie jedna miara µ na (E, A taka, że C(x = e i x,x dµ(x, x E. E Definicja 1.22 Niech C X (x, x E będzie funkcjonałem charakterystycznym uogólnionego procesu {X(x} x E. Wtedy miara µ na (E, A z twierdzenia Minlosa nazywana jest rozkładem uogólnionego procesu {X(x} x E. Literatura 1. Hida T., Brownian motion, Springer Maurin K., Analiza, cz.2, PWN 1971.

1 Elementy analizy funkcjonalnej

1 Elementy analizy funkcjonalnej M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie Hilberta

1 Przestrzenie Hilberta M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych) (niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe

2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe 2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Topologia I Wykład 4.

Topologia I Wykład 4. Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski

Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,

Bardziej szczegółowo

Całki powierzchniowe w R n

Całki powierzchniowe w R n Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne 1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.

3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. 3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α

Bardziej szczegółowo

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27 SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;

Bardziej szczegółowo

Analiza I.2*, lato 2018

Analiza I.2*, lato 2018 Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje

Bardziej szczegółowo

KRATY BANACHA. Marek Kosiek. Wykład monograficzny dla studentów Uniwersytetu Jagiellońskiego

KRATY BANACHA. Marek Kosiek. Wykład monograficzny dla studentów Uniwersytetu Jagiellońskiego KRATY BANACHA Marek Kosiek Wykład monograficzny dla studentów Uniwersytetu Jagiellońskiego Spis treści Rozdział 1. Kraty wektorowe i operatory dodatnie 5 1. Kraty wektorowe 5 2. Operatory dodatnie 7 3.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii

Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia stacjonarne

Zagadnienia stacjonarne Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo