Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0

Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002. [3] Filipczak F. M., Teoria miary i całki (skrypt). [4] Kołodziej W., Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 1980. [5] Kołodziej W., Wybrane rozdziały analizy matematycznej. PWN, Warszawa 1982. [6] Musielak J., Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN, Warszawa 1976. [7] Prus S., Stachura A., Analiza funkcjonalna w zadaniach.. PWN, Warszawa 2007. [8] Rusinek J., Zadania z analizy funkcjonalnej z rozwiązaniami. Wyd. Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego, 2006. 3

1 Przypomnienie wiadomości o przestrzeniach liniowych W dalszej części zakładać będziemy, że X jest dowolnym niepustym zbiorem (nazwiemy go przestrzenią), a K niech będzie niepustym zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych. 1.1 Przestrzenie liniowe Definicja 1.1. Załóżmy, że są określone dwa działania: dodawanie +:X X X i mnożenie przez liczbę : K X X, spełniające następujące warunki (przy dowolnych x, y, z X, α, β K): 1. x + y = y + x (przemienność dodawania), 2. x +(y + z) =(x + y)+z (łączność dodawania), 3. istnieje takie element zerowy θ X, żedlakażdegox X, x + θ = x, 4. jeżeli θ spełnia poprzedni warunek, to dlakażdego x X istnieje element przeciwny x X taki, że x +( x) =θ, 5. α(x + y) =αx + αy (rozdzielność mnożenia względem dodawania elementów), 6. (α + β)x = αx + βx (rozdzielność mnożeniz względem dodawania liczb), 7. α(βx)=(αβ)x (łączność mnożenia), 8. 1 x = x. Wtedy zbiór X z działaniami + i nazywamy przestrzenia liniową (wektorową) rzeczywistą lub zespoloną (w zależności od tego, czy K jest zbiorem liczb rzeczywistych, czy zespolonych) i oznaczamy symbolem X, +,. Przykład 1. Przykłady przestrzeni liniowych (wektorowych): X = K n - zbiór wektorów (punktów) n-wymiarowych, tzn. elementów x =(t 1,t 2,t 3,...,t n ), gdzie t 1,t 2,...,t n K, z działaniami: x + y := (t 1 + s 1,t 2 + s 2,...,t n + s n ), αx := (αt 1,αt 2,...,αt n ) dla x =(t 1,t 2,t 3,...,t n ), y =(s 1,s 2,...,s n ) K n, α K. Elementem zerowym jest θ := (0, 0,...,0), a elementem przeciwnym do x jest x := ( t 1, t 2,..., t n ). X = K -zbiórciągówx =(t k ), gdziet k K, z działaniami: x + y := (t k + s k ), αx := (αt k) dla x =(t k ), y =(s k), α K. Elementem zerowym jest θ := (0) k+1, a elementem przeciwnym do x jest x := ( t k ). 4

X = K Ω - zbiór funkcji określonych w dowolnym zbiorze niepustym Ω o wartościach z K, tzn:f :Ω K, przy czym, jeśli f,g K Ω, α K, to określamy działania: (f + g)(t) :=f(t)+g(t), (αf)(t) :=αf(t) dla t Ω. Elementem zerowym jest funkcja tożsamościowo równa zero, a elementem przeciwnym do f jest f. X = M(m n, K) -zbiórmacierzyom wierszach i n kolumnach o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych, z naturalnymi działaniami na macierzach, tzn. dla α K oraz dla x =[α ij ] i=1..m,j=1..n i y =[β ij ] i=1..m,j=1..n,gdzie α 11... α 1n β 11... β 1n [α ij ] i=1..m,j=1..n :=......... i [β ij] i=1..m,j=1..n :=......... α m1... α mn β m1... β mn określamy α 11 + β 11... α 1n + β 1n x + y := [α ij ] i=1..m,j=1..n +[β ij ] i=1..m,j=1..n =......... α m1 + β m1... α mn + β mn αα 11... αα 1n oraz αx := α[α ij ] i=1..m,j=1..m =.......... αα m1... αα mn Elementem zerowym θ jest macierz, której elementami sa same zera, a elementem przeciwnym do x jest x := [ α ij ] i=1..m,j=1..n. Definicja 1.2. Jeśli X, +, jest przestrzenią liniową (wektorową), to niepusty podzbiór X 0 X nazywamy jej podprzestrzenią liniową, gdy X 0, +, jest przestrzenią liniową. Z definicji tej wynika natychmiast twierdzenie: Twierdzenie 1.1. Niech X, +, będzie przestrzenią linową (wektorową). Niepusty podzbiór X 0 X jest jej podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla x, y X 0 i α K mamy x + y X 0 i αx X 0. Uwaga 1. Warunek: dla x, y X 0 i α K mamy x + y X 0 i αx X 0 można zastąpić następującym: dla x, y X 0 i α, β K mamy αx + βy X 0. Przykład 2. Przykłady podprzestrzeni liniowych (wektorowych) ciągowych: 5

X = K, X 0 = c 00 - przestrzeń ciągów skończonych, tzn. x c 00,jeślix =(t k ), gdziet k K, przy czym tylko skończona ilość t k jest niezerowa. X = K, X 0 = m - przestrzeń ciągów ograniczonych, tzn. x m, jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym sup.. t k <. X = K, X 0 = c - przestrzeń ciągów zbieżnych, tzn. x c, jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym lim k t k = t 0 dla pewnego t 0 K. X = K, X 0 = c 0 - przestrzeń ciągów zbieżnych do zera, tzn. x c 0,jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym lim k t k =0. X = K, X 0 = l - przestrzeń ciągów sumowalnych, tzn. x l, jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym t k <. Łatwo zauważyć następującą zależność: c 00 l c 0 c m K. Przykład 3. Przykłady podprzestrzeni liniowych (wektorowych) funkcyjnych: X = K Ω, gdzie Ω = [a, b] R, X 0 = B([a, b], K) - przestrzeń funkcji ograniczonych, tzn. x B([a, b], K), jeśli sup t [a,b] x(t) <. X = K Ω, gdzie Ω = [a, b] R, X 0 = C([a, b], K) - przestrzeń funkcji ciągłych na [a, b]. Łatwo zauważyć następującą zależność: C([a, b], K) B([a, b], K) K [a,b]. Definicja 1.3. Elementy x 1,x 2,...,x n przestrzeni wektorowej X, +, nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieją takie liczby α 1,α 2,...,α n K nie wszystkie równe zero, że zachodzi równość α 1 x 1 + α 2 x 2 + α n x n = θ. (1) Jeśli przeciwnie, z (1) wynika, że α 1 = α 2 =... = α n =0,toelementyx 1,x 2,...x n nazywamy liniowo niezależnymi. Definicja 1.4. Największą liczbę całkowitą nieujemną n o tej własności, że istnieje n elementów liniowo niezależnych w X, +, nazywamy wymiarem przestrzeni X, +, i oznaczamy symbolem dimx. Jeśli taka liczba n istnieje, to przestrzeń nazywamy skończenie wymiarową, a jeśli nie istnieje, to przestrzeń 6

nazywamy nieskończenie wymiarową i piszemy dimx =. Jeśli dimx = n, to każdy zbiór n liniowo niezależnych elementów przestrzeni X nazywamy bazą przestrzeni liniowej X, +,. Twierdzenie 1.2. Jeśli niepusty zbiór B X jest bazą przestrzeni X, +,, to każdy wektor przestrzeni daje się w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru B. Definicja 1.5. Jeśli bazę w przestrzeni skończenie wymiarowej tworzą elementy e 1,e 2,...,e n, to na podstawie poprzedniego twierdzenia każdy wektor x X można zapisać jako: x = t 1 e 1 + t 2 e 2 + + t n e n. Układ (e 1,e 2,...,e n ) nazywamy bazą algebraiczną tej przestrzeni, a liczby t 1,t 2,...,t n nazywamy współrzędnymi elementu x względem tej bazy. Przykład 4. Dla każdego k =1,...,n niech e k K n oznacza wektor jednostkowy, tzn. e 1 =(1, 0, 0,...,0, 0), e 2 =(0, 1, 0,...,0, 0),...,e n =(0, 0, 0,...0, 1). Wektory te są oczywiście liniowo niezależne i tworzą bazę algebraiczną przestrzeni K n. Bazę tę nazywamy bazą kanoniczną. Wtedy każdy wektor x =(t 1,t 2,...,t n ) K n można zapisać jako n x = t 1 e 1 + t 2 e 2 + + t n e n = t k e k w sposób jednoznaczny, przy czym liczby t 1,t 2,...,t n są współrzędnymi elementu x względem bazy kanonicznej. Przykład 5. Rozważmy przestrzeń liniową X, +, z X = K, którą tworzą ciągi nieskończone x =(t k ) liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Taka przestrzeń liniowa jest nieskończenie wymiarowa, bo elementy e 1 =(1, 0, 0,...), e 2 =(0, 1, 0,...),...,e 3 =(0, 0, 1,...).,... są liniowo niezależne, tzn. układ e 1,e 2,...,e m jest liniowo niezależny dla każdego naturalnego m. Wtedy każdy wektor (ciąg) x =(t k ) K można zapisać jako x = t 1 e 1 + t 2 e 2 + = t k e k w sposób jednoznaczny. 7

Definicja 1.6. Niech X 1,X 2 będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej X, +,. Jeżeli każdy element x X daje się jednoznacznie pzredstawić w postaci x = x 1 + x 2, gdzie x 1 X 1,x 2 X 2, (2) to mówimy, że X jest sumą prostą podprzestrzeni X 1 i X 2 i zapisujemy X = X 1 X 2. Twierdzenie 1.3. Jeżeli X = X 1 X 2, to podprzestrzenie X 1 i X 2 mają wspólny jedynie element zerowy. Na odwrót, jeśli każdy element x ma rozkład (2) i podprzestrzenie X 1 i X 2 nie mają elementów wspólnych, prócz zerowego, to X = X 1 X 2. Dowód. Dla dowodu pierwszej części przypuśćmy, że istnieje element x 0 θ należący do obu podprzestrzeni X 1 i X 2. Wtedy x o przedstawieniu (2) dałby się również zapisać w postaci x =(x 1 x 0 )+(x 0 + x 2 ) i x 1 x 0 X 1, x 0 + x 2 X 2, x 1 x 0 x 1, x 0 + x 2 x 2, co jest wbrew założonej jednoznaczności takiego przedstawienia. Dla dowodu drugiej części wystarczy sprawdzić jednoznaczność przedstawienia (2). Niech więc x = x 1 + x 2 = x 1 + x 2, gdzie x 1,x 1 X 1, x 2,x 2 X 2. Wtedy x 1 x 1 = x 2 x 2,alex 1 x 1 X 1 i x 2 x 2 X 2, więc x 1 x 1 = x 2 x 2 = θ (bo jedynym wspólnym elementem jest zero). Stąd x 1 = x 1 i x 2 = x 2. W dalszej części wykładu dla uproszczenia zapisu będziemy często pisać, że X jest przestrzenią liniową, zamiast X, +,. 1.2 Operatory liniowe Definicja 1.7. Niech X, Y będą przestrzeniami wektorowymi (liniowymi) nad ciałem K liczb rzeczywistych lub zespolonych. Odwzorowanie T : X Y nazywamy operatorem liniowym (odwzorowaniem liniowym), jeśli T (x 1 + x 2 )=T(x 1 )+T(x 2 ), T (αx) =αt (x) dla dowolnych x 1,x 2 X i α K. Jeżeli Y = K, to operator liniowy T : X K nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową. 8

Przy operatorach liniowych będziemy często pisali T x zamiast T (x). Uwaga 2. Warunki addytywności i jednorodności w definicji operatora liniowego można zastąpić jednym: dla dowolnych x 1,x 2 X i α, β K. T (αx 1 + βx 2 )=αt (x 1 )+βt(x 2 ) Podstawowe operatory analizy matematycznej, jak operator obliczania granicy ciągu, sumowania szeregu, różniczkowania i całkowania funkcji, to przykłady operatorów liniowych lub funkcjonałów liniowych. Przykład 6. Przykłady operatorów liniowych. Niech X = c będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : c K będzie określone następująco: T (x) = lim k t k dla x =(t k ) c. Operator T jest funkcjonałem liniowym, co wynika z własności granicy ciągu. Niech X = l będzie przestrzenią ciągów sumowalnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : l K będzie określone następująco: T (x) = t k dla x =(t k ) l. Operator T jest funkcjonałem liniowym, co wynika z własności sum nieskończonych. Istotnie: T (x 1 + x 2 )= (t k + t k) = t k + t k = Tx 1 + tx 2 oraz T (αx) = αt k = α t k = αt x, dla x =(t k ), x 1 =(t k), x 2 =(t k), α K. Niech X będzie przestrzenią funkcji x :[a, b] R K różniczkowalnych w [a, b], a Y = K [a,b].wtedy Tx = x,gdziex jest pochodną funkcji x jest operatorem liniowym z X w Y (na podstawie własności różniczkowania). Niech X będzie przestrzenią funkcji x :[a, b] R R całkowalnych na [a, b], a Y = R. WtedyTx = [a,b] x(t) dt jest operatorem liniowym z X w Y na podstawie własności całki. 9

Twierdzenie 1.4. Każdy operator liniowy T : K n K m,gdziek jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaci Tx = y, gdzie y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n, y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n,........., y m = a m1 x 1 + a m2 x 2 +...+ a mn x n, (3) przy czym x =(x 1,x 2,...,x n ), y =(y 1,y 2,...,y m ), a ik K. Na odwrót, każdy operator T : K n K m postaci (3) jest liniowy. Dowód. Niech e 1 =(1, 0,...,0), e 2 =(0, 1, 0,...,0),..., e n = (0, 0,...,1) będzie bazą w K n oraz niech e 1 = (1, 0,...,0), e 2 =(0, 1, 0,...,0),..., e m =(0, 0,...,1) będzie bazą w Km. Ponieważ Te k K m dla k = 1, 2,...,n, więc istnieją takie a ik K, żete k = m i=1 a ik e i (bo daje się przedstawić jako kombinacja liniowa elementów bazy K m. Weźmy x =(x 1,x 2,...,x n ) i przypuśćmy, że Tx = y =(y 1,y 2,...,y m ). Wtedy ( m n ) y i e i = y = Tx = T n n m m ( x k e k = x k Te k = x k a ik e i = n ) a ik x k e i. i=1 i=1 i=1 Stąd y i = n a ik x k dla i =1, 2,...,m, czyli zachodzi (3). Na odwrót, gdy Tx = y, gdziex i y są związane równościami (3), to jest widoczne, że T jest operatorem liniowym. Wniosek 1.1. Każdy funkcjonał liniowy T nad przestrzenią K n,gdziek jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaci Tx = a 1 x 1 + a 2 x 2 +...+ a n x n, gdzie x =(x 1,x 2,...,x n ), a k K dla k =1, 2,...,n. Na odwrót, każdy funkcjonał wymienionej postaci jest liniowy. Twierdzenie 1.5. Jeżeli T : X Y,gdzieX, Y są przestrzeniami liniowymi, to Tθ X = θ Y przestrzeni Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y. oraz obraz TX przestrzeni X w Dowód. Mamy Tθ X = T (θ x + θ X )=Tθ X + Tθ X =2Tθ X, więc Tθ X = θ Y. Niech teraz y, y 1,y 2 TX,aα K. Wtedy istnieją takie x, x 1,x 2 X, żey = Tx, y 1 = Tx 1, y 2 = Tx 2. Zatem y 1 + y 2 = Tx 1 + Tx 2 = T (x 1 + x 2 ) TX i αy = αt x = T (αx) TX,codowodzi,żeTX jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y. 10

Twierdzenie 1.6. Jeżeli T : X Y,gdzieX, Y są przestrzeniami liniowymi, to T jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy Tx = θ implikuje x = θ (są to oczywiście elementy zerowe odpowiednich przestrzeni). Dowód. Przypomnijmy, że z definicji różnowartościowości mamy dla dowolnych x 1,x 2 X Tx 1 = Tx 2 implikuje x 1 = x 2, czyli Tx 1 Tx 2 = θ implikuje x 1 x 2 = θ, T (x 1 x 2 )=θ implikuje x 1 x 2 = θ. Jest to równoważne warunkowi twierdzenia. Przypomnijmy teraz, że jądrem odwzorowania liniowego T : X Y nazywamy przeciwobraz zera i oznaczamy symbolem kert, czyli kert = {x X : Tx = θ}. W świetle ostatniego twierdzenia można teraz powiedzieć, że operator T jest różnowartościowy, gdy jego jądro zawiera tylko wektor zerowy. Jeśli więc operator T ma jądro z elementem zerowym tylko i jest ponadto odwzorwaniem surjektywnym, to jest odwracalny. Można wykazać, że jeśli T jest liniowy, to operator odwrotny do niego T 1 też jest liniowy. W zbiorze wszystkich operatorów liniowych T : X Y można wprowadzić działania algebraiczne. Sumę T + S dwóch oepratorów T i S określamy równością (T + S)x := Tx+ Sx, a iloczyn αt operatora T przez liczbę α - równością: (αt )x := αt x. W wyniku tych działań otrzymujemy również operatory liniowe. Ponadto nietrudno sprawdzić, że spełnione są wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej, czyli rozważany zbiór jest przestrzenią wektorową, w której elementem zerowym jest operator tożsamościowo równy zero. Przestrzeń liniową operatorów liniowych T : X Y oznaczamy symbolem L(X, Y ). 11