MODELOANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 4 s. 403-40 Gwce 0 OBSZARY FLATTERO I DYERGENCYJN NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ PRZY OBCIĄŻENIU UOGÓLNIONYM BECKA LECH TOMSKI JANUSZ SZMIDLA Insyu Mechank Podsaw Konsrukcj Maszyn Poechnka Częsochowska e-ma: szmda@mpkm.pcz.p Sreszczene. pracy prezenuje sę badana eoreyczne oraz obczena numeryczne doyczące drgań swobodnych prosokąnej dwu-pręowej ramy przy obcążenu uogónonym Becka. Na podsawe całkowej energ mechancznej wyznacza sę równana ruchu warunk brzegowe rozparywanego układu. Rozwązane zagadnena brzegowego prowadz do odpowednch zaeżnośc na zakres zman warośc obcążena kryycznego oraz częsośc drgań własnych w funkcj obcążena zewnęrznego. ynk obczeń numerycznych prezenuje sę przy wybranych paramerach fzycznych geomerycznych ramy płaskej.. STĘP eraurze naukowej doyczącej saecznośc smukłych układów sprężysych opsane są obcążena konserwaywne nekonserwaywne. Obcążene Euera słą skerowaną do beguna [] zacza sę do obcążena konserwaywnego. Przypadkam obcążena nekonserwaywnego są: obcążene uogónone Becka [] oraz obcążene Reua [3]. ymenone przypadk obcążeń charakeryzuje okreśony przebeg krzywych na płaszczyźne: obcążene - częsość drgań własnych. Isneją układy ypu dywergencyjnego (obcążene konserwaywne) ypu faerowego (obcążene nekonserwaywne) oraz hybrydowego. Układy ypu hybrydowego [4] łączą cechy układów ypu dywergencyjnego faerowego. Na yp uray saecznośc układów smukłych przy obcążenu uogónonym Becka ma wpływ mędzy nnym współczynnk śedzena obcążena szywność sprężyn ransacyjnych roacyjnych ub warość masy skuponej. Układy ramowe kasyfkuje sę jako oware ub zamknęe [5 6]. Ramy zamknęe [7 8] o ake na końcach kórych wysępują srukury podporowe ub głowce reazujące obcążene. przypadku ram owarych [9] co najmnej jeden z końców układu jes swobodny. Borąc pod uwagę kryera uray saecznośc oraz rodzaje obcążeń ram płaskch przeprowadzono obszerne badana eoreyczne numeryczne odnośne do ch saecznośc. zakrese badań zamknęych ram płaskch wyznaczono warośc obcążena kryycznego [7 8 0-4] oraz przebeg zman częsośc drgań własnych w funkcj obcążena zewnęrznego [9-4] przy przyjęych rozwązanach konsrukcyjnych układów. wększośc pubkacj naukowych rozważano konsrukcje ram o kszałce kąownka ramy ypu Γ [7 3] ramy rzypręowe ramy ypu T [ 4] ub układy złożone z pewnej czby ram prosych (poraowe) [5].
404 L. TOMSKI J. SZMIDLA nnejszej pracy rozwązano zagadnene saecznośc drgań własnych dwu-pręowej zamknęej ramy płaskej ypu Γ poddanej obcążenu uogónonemu Becka. Na podsawe zasady Hamona wyznaczono równana ruchu warunk brzegowe nezbędne do rozwązana zagadnena brzegowego. Uwzgędnając przyjęe paramery geomeryczne oraz fzyczne układu w ym współczynnka śedzena obcążena zewnęrznego ramy płaskej przedsawono wynk obczeń eoreycznych numerycznych. Podano zakres warośc obcążena kryycznego oraz przebeg zman częsośc drgań własnych w funkcj obcążena zewnęrznego. Anazowano wpływ współczynnka asymer szywnośc na zgnane słupa ryga ramy oraz współczynnka śedzena na obszary nesaecznośc dywergencyjnej faerowej układu.. MODEL FIZYCZNY ENERGIA MECHANICZNA UKŁADU Na rys. przedsawono sposób obcążena oraz sposób zamocowana rozparywanego układu ypu Γ. Rama składa sę dwóch pręów o szywnoścach na zgnane ( ) ( ) oraz masy przypadającej na jednoskę długośc (ρa ) (ρa ). Ryge ramy o szywnośc na zgnane oraz słup ramy o szywnośc na zgnane ( ) zamocowane są w sposób szywny. Rys.. Mode fzyczny ramy płaskej przy obcążenu uogónonym Becka Pręy układu (słup ryge) połączono w en sposób że kąy ugęca obu członów ramy są sobe równe. Ryge ramy ma dodakowo możwość przemeszczena w kerunku wzdłużnym. przypadku rozważanego obcążena uogónonego Becka słup ramy obcążony jes słą skuponą P kórej kerunek dzałana przechodz przez punk połączena słupa ryga. Kerunek dzałana obcążena zewnęrznego opsano współczynnkem śedzena obcążena η w odnesenu do kąa ugęca końca słupa ramy (η 0 ). Energa kneyczna T rozważanej ramy płaskej jes sumą energ kneycznej poszczegónych jej pręów :
OBSZARY FLATTERO I DYERGENCYJN NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ PRZY 405 d A T 0 ρ () zapse energ poencjanej V uwzgędna sę sprężysość zgnana poszczegónych pręów układu oraz kerunek dzałana obcążena zewnęrznego: 0 0 d P d V () Borąc pod uwagę nepoencjaną składową obcążena okreśonego współczynnkem śedzena η (por. rys.) wyznacza sę dodakowo zaeżność opsującą pracę sł nezachowawczych L w rozważanym układze: P L η (3) 3. SFORMUŁOANIE ZAGADNIENIA RÓNANIA RUCHU ARUNKI BRZEGOE Zagadnene brzegowe formułuje sę na podsawe kneycznego kryerum saecznośc. Berze sę od uwagę zasadę Hamona kóra w odnesenu do układów nekonserwaywnch jes wyrażona wzorem: 0 + d L V T δ (4) Geomeryczne warunk brzegowe warunk cągłośc rozparywanej ramy płaskej są nasępujące: 0 0 0 0 0 (5a d) (5e) Podsawając zwązk () () (3) do zasady Hamona (4) po uprzednm wykorzysanu odpowednch warunków brzegowych (5a e) orzymano: - równana ruchu 0 0 4 4 4 4 + + + A A P ρ ρ (6ab) - warunk brzegowe w punkce połączena słupa ryga ramy:
406 L. TOMSKI J. SZMIDLA 3 ( ) P( η) + 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) + μ 0 m 3 ( ) 0 0 (7a c) przy czym współczynnk asymer szywnośc na zgnane μ pomędzy rygem a słupem ramy płaskej wyrażono zwązkem: ( ) ( ) μ (8) 4. YNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH Borąc pod uwagę przyjęy mode maemayczny wykonano obczena numeryczne doyczące saecznośc drgań swobodnych rozważanego układu. Na podsawe równań ruchu (6ab) oraz warunków brzegowych (5a e) (7a c) rozwązano zagadnene brzegowe uwzgędnając sayczne kneyczne kryerum saecznośc układu [6 7]. yprowadzono równane przesępne na warość obcążena kryycznego przy zmane współczynnka śedzena w zakrese η 0 0.5 oraz równane przesępne na częsość drgań własnych ω w pełnym zakrese rozparywanego w pracy współczynnka śedzena η 0. Zagadnene rozwązano przy wykorzysanu agorymów numerycznych dosępnych w środowsku C++. Anazowano wpływ współczynnka śedzena obcążena η w zakrese η 0 współczynnka asymer szywnośc na zgnane μ na yp uray saecznośc ramy płaskej. Rys.. Zmana kryycznego parameru obcążena λ c w funkcj warośc współczynnka asymer szywnośc na zgnane μ. obczenach uwzgędnono sałą szywność na zgnane ( ) słupa ramy oraz sałą równą długość eemenów składowych układu (ϕ / ) Zmanę warośc współczynnka μ uzyskano przyjmując zmenną szywność na zgnane ( ) ryga ramy.
OBSZARY FLATTERO I DYERGENCYJN NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ PRZY 407 yznaczone zakresy zman warośc częsośc drgań własnych ω w funkcj obcążena zewnęrznego P warośc obcążena kryycznego P kr wyrażono we współrzędnych bezwymarowych: 4 P kr P ( ρa ) ω λ c λ Ω (9a c) Na rys. zaprezenowano zakres zman obcążena kryycznego ramy płaskej w funkcj zmany warośc współczynnka asymer szywnośc na zgnane μ przy wybranych waroścach współczynnka śedzena obcążena η. zakrese zmany współczynnka śedzena obcążena η 0 0.5) rozparywany układ rac saeczność na skuek wyboczena słupa ramy (D - nesaeczność dywergencyjna) nezaeżne od szywnośc jej ryga ( ). Przy waroścach współczynnka η (0.5 oraz waroścach współczynnka asymer szywnośc na zgnane μ (0 μ gr ) uraa saecznośc ramy płaskej nasępuje w wynku rosnących ampud drgań oscyacyjnych (F- nesaeczność faerowa). Przy μ μ gr ma mejsce przeskok z nesaecznośc faerowej na dywergencyjną (F D) co charakeryzuje układy hybrydowe. pozosałym zakrese współczynnka μ (μ >μ gr ) ma mejsce nesaeczność dywergencyjna. Szywność na zgnane ryga ramy ( ) ne ma wpływu na warość obcążena kryycznego ramy płaskej przy współczynnku śedzena η 0.5. Rys. 3. Zmana kryycznego parameru obcążena λ c w funkcj warośc współczynnka asymer szywnośc na zgnane μ (0 0.5. Dodakowo wykazano (rys. rys.3) że współczynnk asymer szywnośc na zgnane μ ma wpływ na charaker faerowej uray saecznośc układu. O warośc charakerze zman obcążena kryycznego decyduje przebeg zman częsowośc drgań własnych w funkcj obcążena zewnęrznego co przedsawono na rys. 4a-c 5a-c przypadku nesaecznośc dywergencyjnej (D) przejśce ze sanu saecznego w nesaeczny zachodz gdy krzywa podsawowej częsośc drgań własnych (Ω ) przecna oś rzędnych w punkce Ω 0 odpowadającemu obcążenu wyboczenowemu (rys.4a rys.5c). zakrese nesaecznośc faerowej (F) uraa saecznośc układu wysępuje gdy Ω Ω +. Przy rozparywanym w pracy zakrese zman współczynnka asymer szywnośc na zgnane μ w zakrese μ (0 μ gr ) zjawsko nesaecznośc faerowej (F) zachodz pomędzy drugą (Ω ) rzecą
408 L. TOMSKI J. SZMIDLA Rys. 4a-c. Krzywe na płaszczyźne: paramer obcążena λ c - paramer częsośc drgań własnych Ω przy μ 0.6. Rys. 5a-c. Krzywe na płaszczyźne: paramer obcążena λ c - paramer częsośc drgań własnych Ω przy η. (Ω 3 ) częsoścą drgań własnych (F(Ω -Ω 3 )) co przedsawono na rys.4c rys.5a. Przy współczynnku μ (μ gr μ gr ) zjawsko faeru ma mejsce naomas przy warunku Ω Ω
OBSZARY FLATTERO I DYERGENCYJN NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ PRZY 409 (F(Ω -Ω )) (rys.4a rys.5b). Charaker zman faerowej sły kryycznej P kr przedsawono na rys. rys.3 ne: (8a a.) (7b b). Na podsawe przeprowadzonych symuacj numerycznych wyznaczono równeż przebeg zman częsośc drgań własnych w funkcj obcążena zewnęrznego kóre charakeryzują układ ypu hybrydowego (rys.4a na (5) rys. 5c- na ()). Przykładowy przebeg zman warośc własnych przy kórym zjawsko nesaecznośc faerowej wysępuje jednocześne przy perwszej drugej (F(Ω -Ω )) oraz drugej rzecej (F(Ω -Ω 3 )) częsośc drgań własnych zaprezenowano na rys. 4b. Rys. 6. Obszar dywergencyjnej faerowej uray saecznośc w funkcj współczynnka śedzena η oraz współczynnka asymer szywnośc na zgnane μ. Przeprowadzone badana eoreyczne numeryczne umożwły wyznaczene obszarów dywergencyjnej (D) faerowej (F) nesaecznośc ramy płaskej poddanej obcążenu uogónonemu Becka (rys. 6) przy przyjęym zakrese zman warośc współczynnka śedzena obcążena η oraz asymer szywnośc na zgnane pomędzy rygem a słupem układu. ykazano że przy odpowednm doborze współczynnka asymer szywnośc na zgnane rozparywana rama płaska jes układem ypu dywergencyjnego w całym zakrese przyjęych w obczenach warośc współczynnka śedzena obcążena η 0. Praca wykonana w ramach Badań Sauowych BS -0/30/99/P oraz granu nr N N50 736 fnansowanego przez Mnserswo Nauk Szkoncwa yższego. LITERATURA. Lephoz H. H. E.: On conservave easc sysems of he frs and second knd. Ingeneur-Archv 974 43 p. 55-7.. Beck M.: De Kncas des enseg engespannen angena gedrucken Sabes. ZAMP 4 953 5-8 S. 476-477. 3. Nema-Nasser S. Herrmann G.: Adjon Sysems n Nonconservave Probems of Easc Saby AIAA Journa 4() 966 s.-. 4. Sundararajan C.: Infuence of an easc end suppor on he vbraon and saby of Beck s coumn. In. J. Mech. Sc. 976 8 p. 39 4. 5. Hepper G.R. Oguamanam D.C.D. Hansen J.S.: Vbraon of a wo-member open frame. Journa of Sound and Vbraon 003 63() p. 99 37.
40 L. TOMSKI J. SZMIDLA 6. Oguamanam D.C.D. Hepper G.R. Hansen J.S.: Vbraon of arbrary orened wo member open frames wh p mass. Journa of Sound and Vbraon 998 09 4 p. 65 669. 7. Godey M. H. R. Chver A. H.: Easc buckng of overbraced frames. Journa Mechanca Engneerng Scence 970 4 p. 38 47. 8. Kounads A. N. Gr J. Smses G. J.: Dvergence buckng of a smpe frame subjec o a foower force. Journa App. Mech. Trans. of he ASME 978 45 p. 46 48. 9. Bang H.: Anayca souon for dynamc anayss of a febe L-shaped srucure. Journa of Gudance Conro and Dynamcs 996 9() p. 48 50. 0. Kounads A. N. Ioannds G. I.: The prmary bendng effec and he buckng boundaryvaue probem n easc framed srucures. Engneerng Srucures 997 9 6 p. 43-438.. Ras N. S. Kounads A. N.: Nonnear sway buckng of geomercay mperfec recanguar frames. Ing. Arch. 985 55 p. 90 97.. Szmda J.: Vbraons and saby of T ype frame oaded by ongudna force n reaon o s bo. Thn aed Srucures 007 45 0 - p. 93 935. 3. Szmda J.: Saeczność drgana ramy ypu Γ obcążonej słą skerowaną do beguna. : Saby of Srucures. XIIh Symposum Zakopane 009 s.395 40 4. Przybysk J. Tomsk L. :Posbuckng behavour of T frame wh renfoced verca bar. In: Saby of See Srucures ed. by M.Ivany Vo.. Akadema Kado Pubshng House of Hungaran Academy of Scence Budapes 995 p. 73 80. 5. Smses G. J.. Hodges D. H.: Fundamenas of srucura saby. Chaper 4: buckng of frames. Buerworh Henemann Esever Inc. 006 p. 03-44. 6. esołowsk Z.: Zagadnena dynamczne nenowej eor sprężysej. arszawa: PN 974. 7. Zeger H.: Prncpes of srucura saby. aham 968. THE REGIONS OF FLUTTER AND DIVERGENCE INSTABILITY OF A Γ TYPE PLANAR FRAME SUBJECTED TO BECK S GENERALISED LOAD Summary. The heoreca research and numerca cacuaons concernng free vbraon of recanguar wo-rod frame a generazed Beck s oad are presened n he paper. On he bass of oa mechanca energy equaons of moon and boundary condons of anayzed sysem are deermned. The souon of boundary vaue probem eads o deermne of approprae reaonshps o range of changes of crca oad vaues and free vbraon frequences n funcon of eerna oad. Resus of numerca cacuaons carred ou a he chosen of physca and geomerca parameers of fa frame.