Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie Transformata ; blokowe struktury opisujące filtr Przemysław Korohoda, KE, AGH awartość instrukcji: Materiał z zakresu DSP. Transformata.2 Transmitancja. Blokowa struktura filtru.4 mienne stanu 2 Korzystanie z pakietu MATLAB 2. Struktury filtrów używane w Matlab ie 2.2 Opis wybranych funkcji pakietu adania do wykonania
Na instrukcję składają się następujące części: Materiał z zakresu DSP 2 Korzystanie z pakietu MATLAB adania do wykonania Do sprawnego wykonania ćwiczenia nie jest konieczna wcześniejsza praktyczna znajomość nie wprowadzonych w ramach poprzednich ćwiczeń funkcji pakietu MATLAB, jednak niezbędna jest dobra orientacja w materiale przedstawionym w częściach oraz 2 tej instrukcji oraz w zagadnieniach będących przedmiotem poprzednich ćwiczeń. Dlatego też wskazane jest dokładne przeczytanie obu wymienionych części instrukcji oraz zanalizowanie podanych przykładów. UWAGA: znajomość i zrozumienie części, 2 oraz materiału z poprzednich ćwiczeń mogą zostać przez prowadzącego skontrolowane w trakcie zajęć. W realizacji zadań z części może pomóc ich wcześniejsze przemyślenie. W razie niejasności należy skonsultować się przed zajęciami ( tzn. na przykład w terminie konsultacji ) z prowadzącym, bezpośrednio lub poprzez e-mail: korohoda@uci.agh.edu.pl 2
Materiał z zakresu DSP UWAGA: Rozważane są wyłącznie systemy liniowe, niezmienne względem przesunięcia.. Transformata Ważnym narzędziem w badaniu i projektowaniu systemów (filtrów) cyfrowych jest transformacja. Istnieją dwie podstawowe odmiany tej transformacji - jednostronna i dwustronna. Obie polegają na wyznaczeniu dla zadanego ciągu, oznaczonego przykładowo jako x[ n], transformaty będącej funkcją ciągłej zmiennej zespolonej, oznaczanej zwykle jako z. Nie ma znaczenia, czy x[ n] reprezentuje sygnał, czy na przykład odpowiedź impulsową. Będzie on niekiedy nazywany ciągiem pierwotnym lub oryginalnym. Analogicznie dziedzina indeksów n będzie nazywana dziedziną pierwotną lub oryginalną, natomiast dziedzina z - dziedziną transformaty (lub w skrócie, gdy nie będzie to powodowało nieporozumień - dziedziną transformaty). Jednostronna transformata ciągu x[n] dana jest wzorem. X ( z) = x[ n] z n= 0 n () natomiast dwustronna transformata : n (a) n= X ( z) = x[ n] z nacznie częściej stosuje się transformację dwustronną (a) i na tej wersji będą bazowały dalsze rozważania. Dla wielu typowych ciągów x[ n] wzór (a) nie jest zbieżny (do wartości o skończonym module) dla dowolnej zespolonej liczby z. Przykładowo łatwo jest sprawdzić, że dla x[ n] = u[ n] oraz z = wzór (a) nie jest zbieżny. Wartości z, dla których transformata jest zbieżna tworzą na płaszczyźnie zespolonej pewien obszar zwany obszarem zbieżności. Dyskusja obszarów zbieżności nie będzie przedmiotem ćwiczeń, jednak warto o tym ograniczeniu pamiętać i w prostych przypadkach umieć określić obszar zbieżności. Dokładniejsze wyjaśnienia można znaleźć w podanej literturze uzupełniającej. Transformata (o ile istnieje) zawiera pełną informację umożliwiającą idealne odtworzenie ciągu pierwotnego za pomocą transformacji odwrotnej. wykle informacja ta jest zawarta w transformacie z dość dużą nadmiarowością. Do wyznaczenia transformaty odwrotnej wystarczy bowiem znać postać transformaty wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej, obejmującej na płaszczyźnie z punkt (0,0) - może to być na przykład okrąg. Oczywiście krzywa ta musi zawierać się w obszarze zbieżności, bo poza nim transformata nie istnieje. Wyznaczanie transformaty odwrotnej według odpowiedniego wzoru definicyjnego nie będzie tematem ćwiczeń, zatem dalszych wyjaśnień należy szukać w literaturze uzupełniającej. Transformacja jest liniowa, czyli dla dowolnych liczb a i b oraz ciągów posiadających transformaty zachodzi: x[ n] X ( z) y[ n] Y( z) a x[ n] + b y[ n] a X ( z) + b Y( z) (2) W ramach przygotowania do ćwiczeń laboratoryjnych należy przećwiczyć wykazanie tej cechy za pomocą wzoru (a) i odpowiednich przekształceń.
Jedną z ważniejszych właściwości transformacji jest fakt, że przesunięciu ciągu w dziedzinie pierwotnej odpowiada pomnożenie transformaty tego ciągu przez wartość z w odpowiedniej potędze: ( x n X z ) ( x n k [ ] ( ) [ ] z X z ) k ( ) Można to wykazać za pomocą wzoru definicyjnego (a) i podstawienia l = n k dla k < : n l k k l x[ n k] z = x[ l] z = z x[ l] z (4) n= l= Jaka jest transformata z delty Kroneckera oraz delty Kroneckera przesuniętej w czasie? Jakie są odpowiednie obszary zbieżności? (4) oraz liniowości transformacji wynika, że liniowa kombinacja kopii ciągu x[ n] poprzesuwanych w dziedzinie indeksów posiada następującą transformatę: ( x[ n] X ( z) ) l= a x[ n] + a x[ n ] + + ak x[ n k + ] 2 k + a X ( z) + a z X ( z) + + a z X ( z) 2 (5) wynika transformata równania różnicowego: K a y[ n k + ] = b x[ n m + ] k k = m= K k = k + m+ a z Y( z) = b z X ( z) k M M m= m m k () (5) (6).2 Transmitancja a pomocą elementarnych przekształceń można transformatę (6) sprowadzić do następującej postaci (zakładamy, że wcześniej zadbano by a = ): Y( z) X ( z) b + b2 z + b z + + bm z = H( z) = + a z + a z + + a z 2 2 M + 2 K+ K (7) Otrzymaną funkcję ciągłej zmiennej zespolonej z, czyli H( z), nazywa się transmitancją systemu. Ponieważ transmitancja zawiera identyczne współczynniki, co odpowiadające jej równanie różnicowe, więc zawiera dokładnie tę samą informację o systemie, zatem dyskusja cech systemu w zależności od warunków początkowych dotyczy jej w tym samym stopniu. Dla równania różnicowego w postaci nierekursywnej - odpowiadającego systemowi FIR - postać transmitancji (7) jest nieco prostsza: Y( z) X ( z) = H( z) = b + b z + b z + + b z 2 (8) 2 M + M 4
Wynika stąd, że ponieważ odpowiedź impulsowa składa się z elementów będących współczynnikami prawej strony równania różnicowego ( h[ k] = ), więc w tym przypadku transmitancja jest transformatą odpowiedzi impulsowej: b k h[ n] H( z) (9) Dla systemów typu IIR zależność (9) jest także aktualna. Pomijając problematykę zbieżności transformaty, można to wykazać w sposób następujący. Mimo, że w praktyce jest to mało przydatne, to dla potrzeb teoretycznych rozważań odpowiedź impulsową filtru typu IIR można zapisać za pomocą sumy o nieskończonej ilości składników: (0) h[ n] = h[ k] d[ n k] k = Transformata takiej odpowiedzi impulsowej jest zatem przedstawiona poniżej: h[ n] H ( z) = h[ k] z k () k = Współczynniki h[ k] nie uległy zmianie, gdyż z punktu widzenia transformacji są to stałe - nie zależą od n. Splot liniowy sygnału i odpowiedzi impulsowej (skończonej lub nieskończonej) określa odpowiedź systemu na ten sygnał. Porównując zatem związek pomiędzy ciągiem x[ n] i y[ n] opisany za pomocą h[ n] oraz związek pomiędzy odpowiednimi transformatami zapisany dla systemów FIR w (8) można stwierdzić, że splot liniowy w dziedzinie pierwotnej (indeksów) odpowiada mnożeniu odpowiednich transformat: y[ n] = x[ n] h[ n] Y( z) = X ( z) H( z) (2) ależność (2) jest prawdziwa także dla systemów IIR. Aby to wykazać można posłużyć się ogólniejszym wyprowadzeniem niż przedstawione powyżej dla systemów FIR. Jeżeli system liniowy, stacjonarny jest opisany za pomocą odpowiedzi impulsowej (która może być nieskończona), to jego odpowiedź na sygnał x[ n] można wyznaczyć za pomocą splotu liniowego i splot ten można również poddać transformacji (należy pamiętać, że w tym przypadku wartości ciągów zależne wyłącznie od indeksu k są traktowane jako stałe): () k = k = k y[ n] = h[ k] x[ n k] Y( z) = h[ k] z X ( z) Po zamianie w otrzymanej transformacie liter indeksów sumowania z k na n (co nie było konieczne, jednak zostało przeprowadzone dla podkreślenia związku ze wzorem (a)) oraz wyciągnięciu wspólnego elementu przed znak sumy otrzymuje się równość potwierdzającą prawdziwość wzoru (2): n Y( z) = X ( z) h[ n] z = X ( z) H ( z) (4) n= Otrzymany wynik potwierdza także, że transmitancja H( z) określona równaniem (7) jest transformata H ( z) według równania (). równa odpowiedzi impulsowej 5
Transmitancja (7) posiada w liczniku i mianowniku ujemne potęgi zmiennej z. W celu zapisu transmitancji z wykorzystaniem wyłącznie dodatnich potęg tej zmiennej należy w zależności (7) pomnożyć licznik i mianownik przez odpowiednią potęgę z, wymaga to jednak rozróżnienia trzech przypadków: a) dla K > M K K 2 K b z + b2 z + b z + + bm z H( z) = K K 2 K z + a z + a z + + a K M 2 K (5a) b) dla K < M H( z) = M M 2 M b z + b z + b z + + b 2 M M N 2 K M M 2 M z + a z + a z + + a z (5b) c) dla K = M K K 2 K b z + b2 z + b z + + b H( z) = K K 2 K z + a z + a z + + a 2 K M (5c) Postać wzorów (5) jest oparta na współczynnikach wielomianów licznika i mianownika. Tę samą transmitancję można opisać za pomocą miejsc zerowych licznika i mianownika, czyli zer (z) i biegunów (p): Jak łatwo zauważyć: K H( z) = K m = b m a = b ( z z) ( z z2 ) ( z z M ) ( z p ) ( z p ) ( z p ). 2 K Transmitancja systemu o strukturze nierekursywnej (FIR) posiada w punkcie (0,0) płaszczyzny z tyle biegunów, ile zer ma licznik transmitancji. W takim przypadku można bowiem (8) przepisać do postaci: H( z) = K m ( z z ) ( z z ) ( z z ) M M z 2 Pamiętając o związku transmitacji z równaniem różnicowym, łatwo teraz pokazać, w jaki sposób można tworzyć równoważne równania różnicowe (a w szczególności, jak system nierekursywny opisać za pomocą struktury rekursywnej). Wystarczy w transmitancji w postaci (6) lub (7) pomnożyć licznik i mianownik przez te same czynniki wprowadzające dodatkowe miejsca zerowe do licznika i mianownika. punktu widzenia funkcjonowania systemu wprowadzone dodatkowe zera i bieguny redukują się wzajemnie, jednak po przekształceniu do postaci równania różnicowego można stwierdzić pojawienie się nowych czynników po obu stronach równania. opisanych powiązań można także skorzystać, chcąc sprawdzić, czy określone rekursywne równanie różnicowe opisuje system FIR - jeżeli tak, to bieguny położone poza punktem (0,0) powinny redukować się z odpowiednimi zerami transmitancji. Należy jednak pamiętać, że zera i bieguny mogą być liczbami zespolonymi, co nie zawsze prowadzi do równania różnicowego o współczynnikach pozbawionych części urojonej. W ramach ćwiczeń trzeba będzie sprawdzić, jakie warunki powinny spełniać zera i bieguny, by danej transmitancji odpowiadało równanie różnicowe o wyłącznie rzeczywistych współczynnikach. Różne formy opisu tego samego systemu - równanie różnicowe, odpowiedź impulsowa, transmitancja - mogą się okazać przydatne dlatego, iż w każdej z nich w łatwy sposób można określić pewne wybrane cechy systemu. Jak pokazano powyżej transmitancja w postaci zer i biegunów ukazuje wprost, czy (6) (7) 6
system może mieć strukturę nierekursywną. Inną cechą łatwą do sprawdzenia jest stabilność (w sensie BIBO). Aby filtr przyczynowy był stabilny potrzeba i wystarcza, by wszystkie bieguny (czyli miejsca zerowe mianownika) znajdowały się wewnątrz okręgu jednostkowego o środku w środku układu współrzędnych. Warto się zastanowić z czego ta właściwość wynika (patrz też literatura uzupełniająca). Powyższy warunek stabilności jest oczywiście spełniony dla wszystkich systemów typu FIR.. Blokowa struktura filtru Dany filtr można opisać za pomocą schematu blokowego na wiele sposobów. Jednak z punktu widzenia realizacji nawiązujących do równania różnicowego lub transmitancji istotne znaczenie mają dwie podstawowe struktury opisane poniżej. Schematy składają się z elementów trzech typów: sumatora, elementu mnożącego oraz elementu opóźniającego. Ponadto schematy te pokazują kierunki przepływu sygnałów. Rys. przedstawia przykład typowej struktury blokowej filtru drugiego rzędu, powstałą bezpośrednio z poniższego równania różnicowego: a y[ n] = b x[ n] + b x[ n ] + b x[ n 2] a y[ n ] a y[ n 2] (8) 2 2 Rys.. Przykładowa struktura filtru typu I, równoważna transponowanej strukturze typu II (ang. Direct form II transposed) Na rys.2 pokazano przykład nierekursywnej struktury filtru drugiego rzędu. Rys. 2. Struktura filtru drugiego rzędu realizująca splot liniowy ciągu wejściowego x[ n] oraz ciągu współczynników b, ciąg y[ n] jest wynikiem splatania 7
.4 mienne stanu Ten sam system, opisany za pomocą transmitancji (w postaci (6) lub (7)) albo równania różnicowego, może być także opisany za pomocą czterech macierzy A, B, C, D, o odpowiednich wymiarach, z wykorzystaniem zmiennych stanu, które stanowią wektor ciągów oznaczony poniżej jako s[ n] : s[ n + ] = A s[ n] + B x[ n] y[ n] = C s[ n] + D x[ n] Opis (7) jest równoważny opisowi za pomocą równania różnicowego (otrzymanego przez wyrugowanie z (7) zmiennych stanu) lub też transmitancji: (9) ( ) H( z) = C z I A B + D (20) gdzie I to macierz jednostkowa - tj. posiadająca na diagonalnej i 0 w pozostałych miejscach. W przypadku przykładu z rys. wektor zmiennych stanu z równania (9) jest dwuelementowy (składa się z dwóch ciągów): s [ n] s[ n] = s [ n] 2 (2) Dla przedstawionego przykładu macierze opisujące filtr za pomocą zmiennych stanu według równania (9) mają następujące wymiary: A 2 x2, B 2 x, C x2, D x. + Rys.. Filtr w postaci struktury typu Transposed direct form II z zaznaczonymi zmiennymi stanu Transpozycja struktury filtru polega na zamianie kolumn ze współczynnikami a i b, odwróceniu kierunków przepływu w gałęziach poziomych i pionowych oraz przeniesieniu elementów sumujących z gałęzi centralnych na brzegowe (lub odwrotnie). 8
Rys.4. Filtr w postaci struktury typu Direct form II z zaznaczonymi zmiennymi stanu Rząd filtru jest równy ilości elementów opóźniających w jego strukturze - czyli ilości zmiennych stanu. Przedstawiony opis filtru za pomocą zmiennych stanu ma sens tylko wtedy, gdy filtr jest liniowy i niewrażliwy na przesunięcie. Jako ćwiczenie przygotowujące należy porównać opis w postaci zmiennych stanu dla obu przedstawionych typów struktur (macierze A,B,C,D), gdy wiadomo, że dany system przyczynowy jest opisany równaniem: a) y[ n] y[ n ] = 2 x[ n] b) y[ n] 0, 5 y[ n ] = 2 x[ n] 0, 5 x[ n ] 9
2 Korzystanie z pakietu MATLAB 2. Struktury filtrów używane w Matlab ie Postać ogólna instrukcji filter (z warunkami początkowymi): [wyjscie,warunki_koncowe]=filter(b,a,x,zin); gdzie b, a, x, zin oznaczają kolejno: wektory współczynników b, a, ciąg wejściowy oraz warunki początkowe Element wzmacniający struktury z rys. otoczony przerywaną linią nie jest zazwyczaj uwzględniany Współczynnik a przyjmuje się wtedy jako równy, skalując odpowiednio pozostałe współczynniki. W takim przypadku można ten element pominąć na schemacie. Jednak instrukcja filter wymaga zawsze podania niezerowej wartości a, która w razie potrzeby może być różna od, o czym należy pamiętać podając wektor współczynników a. Odpowiedź filtru składa się z odpowiedzi wymuszonej (w wyniku podania niezerowego sygnału na wejście) oraz z odpowiedzi swobodnej (na niezerowe warunki początkowe). Obie odpowiedzi sumują się dając sygnał wyjściowy filtru. Warunki początkowe opisane są za pomocą zmiennych stanu - w przypadku Matlab a są to sygnały wyjściowe z elementów opóźniających - patrz rys. (wiele podręczników definiuje jako zmienne stanu sygnały wejściowe elementów opóźniających, naturalnie obie wersje są z punktu widzenia zastosowań równoważne, wymagają jedynie modyfikacji indeksów czasowych przy dalszym wykorzystywaniu zmiennych stanu). Warto się zastanowić - ogólnie lub na przykładzie systemów z ćwiczenia na końcu poprzedniego rozdziału - jak taka zmiana w definicji zmiennych stanu może wpłynąć na postać równania (9) oraz zawartość macierzy A,B,C,D. UWAGA : Przy wyznaczaniu za pomocą funkcji filter odpowiedzi swobodnej filtru na niezerowe warunki początkowe wartość współczynnika a jest zawsze przyjmowana jako równa, natomiast odpowiedź wymuszona wyliczana jest przy uwzględnieniu podanej przez użytkownika wartości tego współczynnika. UWAGA 2: Przy korzystaniu z funkcji zamiany postaci opisu filtru tf2ss oraz tf2zp należy dopilnować, by wektory współczynników licznika i mianownika były tej samej długości (w razie potrzeby należy je dopełnić zerami). UWAGA : Strukturę typu Direct form II założono w funkcjach: tf2ss, ss2tf, zp2ss, ss2zp. Strukturę typu Direct form II transposed założono w funkcjach filter oraz filtic. 0
2.2 Opis wybranych funkcji pakietu Funkcja Opis filtic przeliczenie podanych ciągów wejściowego i wyjściowego dla indeksów czasowych poprzedzających początek aktualnej filtracji na zmienne stanu filtru o podanych współczynnikach - czyli wyznaczenie warunków początkowych dla instrukcji filter w oparciu o ciągi: wejściowy i wyjściowy z przeszłości poly wyznaczanie współczynników wielomianu o podanych miejscach zerowych roots wyznaczanie miejsc zerowych wielomianu o podanych współczynnikach ss2zp przeliczenie opisu filtru z macierzy dla zmiennych stanu na zera i bieguny transmitancji ss2tf przeliczenie opisu filtru z macierzy dla zmiennych stanu na współczynniki licznika i mianownika transmitancji zp2ss przeliczenie opisu filtru z postaci zer i biegunów transmitancji na odpowiednie macierze opisu za pomocą zmiennych stanu zp2tf przeliczenie opisu filtru z postaci zer i biegunów transmitancji na współczynniki licznika i mianownika transmitancji tf2zp przeliczenie opisu filtru z postaci współczynników licznika i mianownika transmitancji na zera i bieguny transmitancji tf2ss przeliczenie opisu filtru z postaci współczynników licznika i mianownika transmitancji na odpowiednie macierze opisu za pomocą zmiennych stanu impz wyznaczanie odpowiedzi impulsowej filtru o zadanej transmitancji z (transmitancję można określić za pomocą współczynników licznika i mianownika) zplane zaznaczanie na płaszczyźnie zespolonej zer i biegunów transmitacji podanej w postaci współczynników licznika i mianownika lub w postaci zer i biegunów Szczegółowy opis powyższych funkcji dostępny jest po wywołaniu funkcji help z nazwą funkcji jako parametrem, np: >>help ss2zp; Jeżeli wektory opisujące transmitancję dla funkcji zplane są wektorami wierszowymi, wówczas są traktowane jako zera i bieguny opisujące transmitancję. Funkcja zplane umożliwia także wykreślenie zer i biegunów wprost z wielomianowej postaci transmitancji. Kolejne współczynniki wielomianów licznika i mianownika (w takiej właśnie kolejności) należy w takiej sytuacji podać w postaci wektorów kolumnowych.
adania do wykonania. Wykazać za pomocą przykładów równoważność opisów systemu poprzez równanie różnicowe oraz transmitancję (w postaci układu zer, biegunów i wzmocnienia). 2. Po przeprowadzeniu odpowiednio dobranych prób odpowiedzieć na pytanie: Kiedy z układu zer i biegunów transmitancji wynika równanie różnicowe o zespolonych współczynnikach?. Wykazać w oparciu o przykłady, że dany system może być opisany za pomocą różnych równań różnicowych, a w szczególności, że system FIR może być opisany za pomocą struktury rekursywnej. 4. Potwierdzić za pomocą przykładu, iż z rozmieszczenia biegunów transmitancji wynika stabilność filtru. 5. Pokazać na przykładzie, że funkcja filter może wyznaczać zarówno odpowiedź wymuszoną, jak i swobodną systemu oraz, że odpowiedź ogólna jest sumą obu wspomnianych odpowiedzi. 6. Pokazać, w jaki sposób można wyznaczyć odpowiedź systemu na zadany sygnał, jeżeli interesujący nas przedział indeksów czasowych zostanie podzielony na kilka kolejnych podprzedziałów. Należy skorzystać z funkcji filter oraz warunków początkowych i końcowych. 7. Potwierdzić za pomocą przykładu równoważność - przy odpowiednich założeniach - opisów poprzez zmienne stanu i transmitancję (patrz wzory (9) i (20)). 8. a pomocą prostego przykładu filtru drugiego rzędu sprawdzić, jakie struktury przyjęto do realizacji funkcji filtic i filter oraz np. tf2ss lub zp2ss (według wyboru prowadzącego). 9. (dodatkowe) Korzystając z możliwości pakietu DSP-Blockset (opis w literaturze uzupełniającej) zanalizować działanie filtru o zadanej strukturze blokowej. Wykazać na przykładzie wybranego filtru, że transpozycja struktury nie zmienia funkcji realizowanej przez filtr. 2