Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie Miary kątów wyrażone w radianach zapisać w stopniach: a) π, b) π, c) π, d) π, e) π, f) 7π, g) π, h) π π, i) π, j), k) 7π, l) 7π, m) π 0 Funkcje trygonometryczne Zadanie Wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α wiedząc, że: a) kąt α jest ostry i sin α =, b) kąt α jest rozwarty i cos α = Zadanie Naszkicować wykresy funkcji trygonometrycznych i omówić ich własności Zadanie Naszkicować wykresy następujących funkcji: ( a) f(x) = sin x +, b) f(x) = sin x π ) (, c) f(x) = cos x + π ), d) f(x) = tg ( x), e) f(x) = ctg x, f) f(x) = cos x, g) f(x) = tg x, h) f(x) = sin x, i) f(x) = cos x Zadanie Określić zbiór wartości funkcji: a) y = sin x, b) y = cos x, c) y = tg x ctg x Zadanie Obliczyć: a) ( sin π ) π cos : tg π (, b) sin π ( cos ) π ) π : tg, c) sin π cos π + tg π, d) sin π, e) cos 7π, f) ctg π, g) sin 7π, h) tg π, i) cos π π, j) sin (, k) sin π ) (, l) cos π )

Zadanie Wyznaczyć kąt α, gdy a) sin α = i cos α =, b) sin α = i cos α =, c) sin α = i cos α =, d) sin α = i cos α =, e) sin α = i cos α = 0, f) sin α = 0 i cos α = Zadanie 7 Rozwiązać równania: a) sin x =, b) cos x =, c) ctg x =, d) tg x f) sin x =, g ) sin x + sin x = 0, h ) sin x cos x = =, e) cos x =, Zadanie 8 Rozwiązać nierówności: a) sin x, b) cos x <, c) tg x >, d) ctg x, e) sin x Zadanie 9 Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: a) (sin x + cos x) + (sin x cos x) =, b) ctg x + sin x + cos x = sin x, sin(x + y) + sin(x y) c) cos(x + y) + cos(x y) = tg x, d) sin x + + sin x = cos x Wektory Zadanie Mając dane współrzędne punktów A(, ), B(, ), C(, ) obliczyć współrzędne i długości wektorów: a) AB AC, b) AB + BC + CA Zadanie Oblicz współrzędne punktu C mając dane: a) D(, ) i CD = [, ], b) D(, ) i DC = [, ] Zadanie Dane są wektory: a = [, ], b = [0, ], c = [, ] Znaleźć długość wektora x, gdy: a) x = a b + c, b) x = a + b c

Zadanie Dany jest równoległobok rozpięty na wektorach a = [, ] i b = [, ] Obliczyć długości jego przekątnych Zadanie Wyznaczyć cosinusy kierunkowe wektora u = [, ] Jaką długość ma wektor [cos α, cos β]? Zadanie Punkt S(7, ) jest środkiem odcinka AB Wyznaczyć współrzędne punktu B mając dane współrzędne punktu A(, ) Zadanie 7 Obliczyć współrzędne punktów, które dzielą odcinek AB na trzy równe części, jeśli A(8, ), B(, ) Zadanie 8 Zbadać, która z podanych par wektorów jest parą wektorów równoległych: a) u = [, ], v = [, 0]; b) u = [ 8, ], v = [, ] Zadanie 9 Dane są wektory a = [, ], b = [, ] i c = [, 8] Dla jakiej wartości k 0 wektory k c i a + b są równoległe? Zadanie 0 Punkty A(, ), B(, ), C(x, 0) są współliniowe Wyznaczyć x Zadanie Mając dane u = 8, v = oraz ( u, v ) = π, obliczyć ( u v ) u Zadanie Mając dane u =, v = oraz ( u, v ) = π, obliczyć długość wektora: a) u v, b) u v Zadanie Dane są wektory: u = [, ], v = [, ] Obliczyć a) u v, b) u, c) v, d) ( u + v ), e) ( u + v ) ( u v ) Zadanie Dane są punkty P (, ), R(, 0), S(, ), T (, ) Obliczyć ( P R + RS ) ( ST RP ) Zadanie Obliczyć miarę kąta między wektorami u = [, ], v = [0, ] Zadanie Zbadać, która z podanych par wektorów u i v jest parą wektorów prostopadłych: a) u = [, 0], v = [, [; b) u = [, ], v = [, ] Zadanie 7 Znaleźć współrzędne wektora jednostkowego prostopadłego do wektora a = [, 8]

Równanie prostej na płaszczyźnie Zadanie Dane są punkty A(, ) i B(, ) Podać równania: a) ogólne, b) kierunkowe, c ) parametryczne, d ) odcinkowe prostej, do której należą te dwa punkty Zadanie Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P (, ) oraz a) prostopadłej do prostej x y = 0, b) równoległej do prostej x y + 7 = 0, c) równoległej do osi Ox, d) tworzącej z osią Ox kąt π Zadanie Mając dane równanie prostej w postaci kierunkowej y = x +, napisać równanie tej prostej w postaci ogólnej, w której wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi i współczynnik przy zmiennej x jest liczbą dodatnią Podać przykład niezerowego wektora n prostopadłego do tej prostej Zadanie Mając dane równanie prostej w postaci ogólnej x y + = 0, napisać równanie tej prostej w postaci kierunkowej Podać miarę kąta nachylenia tej prostej do osi Ox Zadanie Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P (, ) i a) równoległej, b) prostopadłej do prostej { x = + t, l : t R y = t, Zadanie Dane są trzy wierzchołki trójkąta A(, ), B(, 0) i C(, ) Znaleźć równania: a) boków tego trójkąta, b) symetralnych jego boków, c) środkowych, d) wysokości Zadanie 7 Znaleźć punkt symetryczny do punktu P (, ) względem prostej x + y + = 0 Równanie okręgu Zadanie Znaleźć współrzędne środka i promień okręgu o równaniu a) x + x + y y = 0, b) x + y x = 0, c) x + x + y y = 0, d) x + x + y + y = 0 Zadanie Naszkicować zbiory punktów (x, y) na płaszczyźnie spełniających warunki: a) x + x + y y, b) x + y < Zadanie Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkty: a) A(, ), B(, 0) i C(, ); b) A(7, 7), B(0, 8) i C(, ) Zadanie Napisać równanie okręgu o środku w punkcie S(, ) i przechodzącego przez punkt A(, ) Zadanie Napisać równanie okręgu współśrodkowego z okręgiem x + x + y y = 0 i przechodzącego przez punkt A(, )

Wielomiany Zadanie Podać przykład trójmianu kwadratowego o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkami są liczby + i Zadanie Naszkicować wykres i omówić własności funkcji y = x Obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem podanej funkcji kwadratowej f, zapisać wzór tej funkcji w postaci kanonicznej oraz narysować tę parabolę: a) f(x) = x x +, b) f(x) = x x Zadanie Rozwiązać równania i nierówności: a) x = 0, b) x + 7x = 0, c) x x + = 0, d) x x + 9 = 0, e) x x + = 0, f) x 0, g) x x + > 0, h) x + 9 > 0, i) x(x + ) Zadanie Obliczyć sumę współczynników wielomianu W (x) = (9x x ) 000 (x 7x + x) Zadanie Podać przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest liczba x 0 = + Zadanie Dla jakich wartości k, l, m wielomiany x + mx (k + l)x + lx + oraz x ( m)x (k + m)x + (k m)x + są równe? Zadanie 7 Obliczyć iloraz wielomianów: a) (x + x + x ) : (x + ), b) (x 7x x + x ) : (x ) Zadanie 8 Obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu: a) x x + x x + 8 przez x, b) x x + x x + przez x x + Zadanie 9 Rozwiązać równania: a) x x x + = 0, b) x x 0x 8x + 0 = 0, c) x + x x = 0, d) x x + x x + = 0 Zadanie 0 Rozwiązać nierówności: a) (x )(x )(x ) 0, b) ( x)(x + ) ( x) 0, c) x >, d) x x + 9x + x 0, e) (x x )(x + x ) 0, f) x x + 0x 8x 0, g) x + x x < 0, h) x x + x > 0

7 Funkcje wymierne Zadanie 7 Wyznaczyć i narysować zbiory A B, A B, A \ B, B \ A, A, gdy { a) A = x R: x + x x } { x }, B = x R: x + x x + 0 ; { } b) A = {x R: x > 0}, B = x R: x + x + Zadanie 7 Wyznaczyć dziedzinę funkcji: a) f(x) = 0 x + x, b) g(x) = x x x +, c) h(x) = x x + x x + Zadanie 7 Naszkicować wykresy funkcji: f(x) = x, g(x) = x, h(x) = x Zadanie 7 Rozwiązać równania: a) x + x + = x, b) x x + = x, c) x x x x + = x x + x Zadanie 7 Rozwiązać nierówności: a) x x, b) 7 x x + 8, c) x + x 8 Funkcje wykładnicze Zadanie 8 Obliczyć wartości podanych wyrażeń: ( a) 8, b) 7, c) ), d) 7 8, e) 0,,, 0,, f) 0, 0, 0, 0,,, g) 0, ( ) 0,7 0,7 Zadanie 8 Narysować wykresy funkcji i omówić ich własności: ( ) x a) f(x) = x, b) f(x) = Zadanie 8 Korzystając z wykresu funkcji y = x naszkicować wykresy funkcji: a) y = x +, b) y = x+, c) y = x, d) y = x, e) y = x, f) y = x

Zadanie 8 Rozwiązać równania: a) x+ x = 9, b) x x+ =, c) x x+ + = x, ( ) x d) = 9 x, e ) x x = x + x Zadanie 8 Rozwiązać nierówności: a) ( 8 8x 9) 9 ( 9 8) 9x 8, b) ( x ) +x > ( ) x +x 8, c ) x+ x < 7 x x, d ) x+ x x, e) 7 < ( ) x 9 Funkcje logarytmiczne Zadanie 9 Obliczyć wartości podanych wyrażeń: a) log 7, b) log 7, c) log, d) log 8, e) log, f) log, g) log 7, h) log, i) 0+ log 7, j) log, k ) log 9 log 7, l) log log log 7 log 9 Zadanie 9 Obliczyć log 8, jeżeli log = a i log = b Zadanie 9 Korzystając z wykresu funkcji y = x naszkicować wykresy funkcji (w przykładach a), b) omówić również ich własności): a) f(x) = log x, b) f(x) = log x, c) y = log (x ), d) y = log ( x), e) y = + log (x + ), f) y = log x Zadanie 9 Narysować wykresy funkcji: a) f(x) = log x, b) f(x) = log x, c) f(x) = log x, d) f(x) = sgn(log x) Zadanie 9 Rozwiązać równania: a) x =, b) log (x + ) log (x ) =, c) log (x ) =, d) log x [log (log x)] = 0, e) log ( x) + log x = 0, f) (log x) + x log x =, g) (log x) = log x 7

Zadanie 9 Rozwiązać nierówności: a) log 7 x <, b) log x >, c) log ( x) >, d) log (x ) log (x ) > log, e) log (log x) 0, f) log (x x ) <, g) 8 log x x x, h) log x + log x > 0, i) log ( x+ x ) Zadanie 97 Wyznaczyć dziedzinę funkcji: a) f(x) = log [log (x + ) + ], b) f(x) = log (x + ), c) f(x) = log (x+) ( x), d) f(x) = log (x + ) + + x x Odpowiedzi a) π, b) π, c) π, d) π, e) π, f) π, g) π, h) π, i) π, j) π, k) π π π, l), m) π, n), 9 l) π a) 8 90, b) 0, c) 0, d) 0, e) 0, f) 0, g), h) 9, i) 080, j) 90, k), l) 0, m) a) cos α =, tg α =, ctg α =, b) sin α =, tg α =, ctg α = a) y [0; ], b) y [; ], c) y {} a), b), c), d), e), f), 8 9 g), h) 0, i), j), k), l) a) α = π, b) α = π, c) α = π, d) α = 7π, e) α = π, f) α = π 7 a) x = π + kπ lub x = π + kπ, gdzie k Z; b) x = ± π + kπ, gdzie k Z; c) x = π +kπ, gdzie k Z; d) x = π +kπ, gdzie k Z; e) x = π +kπ lub x = π + kπ, gdzie k Z; f) x = π π + kπ lub x = + kπ, gdzie k Z; g ) x = π + kπ, gdzie k Z; h ) x = π + kπ lub x = π + kπ, gdzie k Z 8 a) x [ kπ; π + kπ] [ π + kπ; (k + )π], gdzie k Z; b) x ( π + kπ; 7π + kπ), gdzie k Z; c) x ( π + kπ; π + kπ), gdzie k Z; d) x ( kπ; π + kπ], gdzie k Z; e) x ( π + kπ; π + kπ), gdzie k Z a) [, ], 7, b) [0, 0], 0 a) C(, ), b) C(0, ) a) x = 9, b) x =, [cos α, cos β] = [, ] = B(, 7) 7 P (, ), Q(0, ) 8 a) tak, b) nie 9 k R 0 x = 88 a), b) a), b), c), d) 9, e) 9 π a) nie, b) tak 7 [, ] { x = + t, a) x y = 0, b) y = x, c ) t R; d y = + t, ) x + y = a) x + y = 0, b) x y = 0, c) y + = 0, d) x y = 0 x + y 0 = 0, n = [, ] y = x +, α = π { { x = + t, x = + t, a) t R; b) t R a) x + y = 0, y = t, y = + t, x + y 9 = 0, x + y = 0, b) x y = 0, x y + 7 = 0, x y + 8 = 0, 8

c) x + y = 0, x = 0, x + y = 0, d) x y + 7 = 0, x y + = 0, x y = 0 7 (, ) a) S(, ), r =, b) S(, 0), r =, c) S(, ), r =, d) S(, ), r = a) (x ) + (y + ) = 0, b) (x ) + (y ) = (x ) + (y + ) = 8 (x + ) + (y ) = x x + a) (, ( ), b), ) 9 a) x {, }, b) x { 7, 0}, c) x {, }, d) x =, e) x {,,, }, f) x ( ; ] [; ), g) x ( ; ) (; ), h) x R, i) x [, ] x 0x + k =, l =, m = 7 a) x +x, b) x +x x+ 8 a) iloraz x x +x, reszta ; b) iloraz x +x+, reszta x 9 a) x =, b) x {,, +, }, c) x {,, }, d) x = 0 a) x [; ] [; ), b) x [; ] { }, c) x ( ; ) (; ), d) x ( ; ] {} [; ), e) x [ ; ] {}, f) x [0; ], g) x ( ; ) ( ; ), h) x (; ) 7 a) A = ( ; ] (; ), B = ( ; ] (; ] (; ), A B = ( ; ] (; ] (; ), A B = ( ; ] (; ), A \ B = ( ; ] (; ], B \ A = ( ; ] (; ], A = ( ; ] ( ; ]; b) A = ( ; ) (; ), B = ( ; ) [0; ], A B = = ( ; ) [0; ), A B = ( ; ), A \ B = (; ), B \ A = [0; ], A = [ ; ] 7 a) D f = R \ {, 0}, b) D g = R \ {}, c) D h = ( ] [ ; + ; ) 7 a) x =, b) x { ( ) ( )}, +, c) x = 7 a) x ( ; ), b) x ( ; ) [ ; ), c) x ( ; ] 8 a), b), c), d), e), f),, g) 8 a) x =, b) x =, c) x {0, }, d) x =, e ) x = 8 a) x [ ; ], b) x ( ; ), c ) x (; ), d ) x ( ; ], e) x [ 0; ) 9 a), b), c) 8, d), e), f), g), h), i) 900, j), k ), l) 9 a+ b+ a 9 a) x = log, b) x =, c) x = ±, d) x = 9, e) x =, f) x {, 9 9}, g) x {, } 9 a) x (0; 9), b) x ( ; 7) \ {}, c) x ( ; 0), d) x (; ), e) x (; ], f) x ( ; ) (; ), g) x (0; ] [; ), h) x (; ), i) x ( ; 0] [log ; ) 97 a) D f = ( ; ), b) D f = [; ), c) D f = ( ; ) ( ; ), d) D f = ( ; 0] [; 7] x x + a) (, ( ), b), ) 9 a) x {, }, b) x { 7, 0}, c) x {, }, d) x =, e) x {,,, }, f) x ( ; ] [; ), g) x ( ; ) (; ), h) x R, i) x [, ] x 0x + k =, l =, m = 7 a) x +x, b) x +x x+ 8 a) iloraz x x +x, reszta ; b) iloraz x +x+, reszta x 9 a) x =, b) x {,, +, }, c) x {,, }, d) x = 0 a) x [; ] [; ), b) x [; ] { }, c) x ( ; ) (; ), d) x ( ; ] {} [; ), e) x [ ; ] {}, f) x [0; ], g) x ( ; ) ( ; ), h) x (; ) 7 a) A = ( ; ] (; ), B = ( ; ] (; ] (; ), A B = ( ; ] (; ] (; ), A B = ( ; ] (; ), A \ B = ( ; ] (; ], B \ A = ( ; ] (; ], A = ( ; ] ( ; ]; b) A = ( ; ) (; ), B = ( ; ) [0; ], A B = 9

= ( ; ) [0; ), A B = ( ; ), A \ B = (; ), B \ A = [0; ], A = [ ; ] 7 a) D f = R \ {, 0}, b) D g = R \ {}, c) D h = ( ] [ ; + ; ) 7 a) x =, b) x { ( ) ( )}, +, c) x = 7 a) x ( ; ), b) x ( ; ) [ ; ), c) x ( ] ;?? a) +, b) +, c) + x+, x x+ x x+ x+ x x+ d) + 7, e) +, f) +, g) + +, h) x + x (x ) x x + x + x + x x+ x + x +x+ (x +x+) 8 a), b), c), d), e), f),, g) 8 a) x =, b) x =, c) x {0, }, d) x =, e ) x = 8 a) x [ ; ], b) x ( ; ), c ) x (; ), d ) x ( ; ], e) x [ 0; ) 9 a), b), c) 8, d), e), f), g), h), i) 900, j), k ), l) 9 a+ b+ a 9 a) x = log, b) x =, c) x = ±, d) x = 9, e) x =, f) x {, 9 9}, g) x {, } 9 a) x (0; 9), b) x ( ; 7) \ {}, c) x ( ; 0), d) x (; ), e) x (; ], f) x ( ; ) (; ), g) x (0; ] [; ), h) x (; ), i) x ( ; 0] [log ; ) 97 a) D f = ( ; ), b) D f = [; ), c) D f = ( ; ) ( ; ), d) D f = ( ; 0] [; 7] ϕ 0 π cos ϕ sin ϕ 0 π π π π π 0 π 7π π π π π π 0 7π π 0 tg x = sin x cos x, cos x ctg x =, sin (x + kπ) = sin x, cos (x + kπ) = cos x, sin x tg (x + kπ) = tg x, ctg (x + kπ) = ctg x, gdzie k jest liczbą całkowitą 0