ANALIZA MODELI CAŁKOWANIA I RÓŻNICZKOWANIA UŁAMKOWEGO

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ 292, Elekroechnika 34 RUTJEE, z. 34 (2/2015), kwiecień-czerwiec 2015, s. 213-222 Yaroslav MARUSHCHAK 1 Bogdan KOPCHAK 2 ANALIZA MODELI CAŁKOWANIA I RÓŻNICZKOWANIA UŁAMKOWEGO W arykule przeanalizowano dokładność modeli ułamkowych członów całkoworóżniczkowych w ujęciu Riemanna, Riemanna-Liouville a, Grünwald Lenikov i Ousaloupa względem modelu opracowanego na podsawie przekszałcenia Laplace'a jako modelu wzorcowego. Pokazano wady i zaley każdego z ych modeli. Zaproponowano modyfikację aproksymacji Ousaloupa, kóra pozwala realizować regulaory sysemów elekroechnicznych ułamkowego rzędu przy użyciu mikrokonrolera. Badania prowadzone przez auorów doyczące możliwości aproksymacji ułamkowych członów ransmiancją rzędu całkowiego wykazały, że reprezenacja całkującego członu ułamkowego za pomocą pakieu NINTEGER z dość wysokim rzędem aproksymacji (N 5) zgadza się z wynikami aproksymacji Ousaloupa. Jednak w pierwszej chwili odpowiedzi jednoskowe zmieniają się skokowo, z czym nie można się zgodzić dla członu całkującego. Aby rozwiązać en problem zaproponowano modyfikację meody aproksymacji Ousaloupa. Modyfikacja a polega na ym, że sopień wielomianu licznika jes zmniejszony o jeden. Dla weryfikacji akiego posępowania zosało przeprowadzone badanie możliwości pominięcia jednego zera w ransmiancji aproksymacyjnej, albo usunięcia składowej wielomianu licznika najwyższego sopnia s. Wyniki akich badań wykazały korzyść drugiego podejścia. Dokładność modeli NINTEGER i Ousaloupa jes prakycznie jednakowa, ylko model Ousaloupa realizuje się w programie MATLAB, a model NINTEGER w programie MATLAB Simulink. Tym samym wyniki symulacji z wykorzysaniem modelu Ousaloupa znajdują się w pamięci programu MATLAB co uławia ich analizę. Należy zaznaczyć, że model Ousaloupa pozwala w dość prosy sposób realizować ułamkowe regulaory wskuek prosoy procedury obliczeń, chociaż dokładność ego modelu nie jes wysoka. Słowa kluczowe: model, całkowanie ułamkowe, różniczkowanie ułamkowe, regulaory, ransmiancja ułamkowa. 1 Auor do korespondencji: Yaroslav Marushchak, Poliechnika Rzeszowska, Kaedra Elekroechniki i Podsaw Informayki, ul. W. Pola 2, 35-959 Rzeszów, el.: 17 743-2469, jamaru@prz.edu.pl 2 Bogdan Kopchak, Poliechnika Lwowska, Kaedra Maszyn Elekrycznych. ul. S. Bandery 12, 79-013 Lwów Ukraina, el.: 380 32 258 2656, kopchak@mail.ru

214 Y. Marushchak, B. Kopchak 1. Wprowadzenie Obecnie sosowanie ułamkowego różniczkowania i całkowania rozwija się eoreycznie i w aspekcie sosowanym. Ta dziedzina maemayki przekszałciła się w poężną meodę modelowania maemaycznego skomplikowanych procesów dynamicznych w zwykłych i frakalnych środowiskach. Dzięki ej meodzie isnieje możliwość rozwiązywania różnych zadań analizy, synezy, idenyfikacji, diagnosyki, projekowania nowoczesnych sysemów serowania ip. [3-6, 10]. Badania w dziedzinie sysemów rzędu ułamkowego udowodniły, że sysemy rzędu całkowiego są przypadkiem cząskowym sysemów ułamkowych. Zmniejszenie rzędu modelu jes bardzo ważną dziedziną badań ze względu na możliwość sosowania konrolerów serujących dla układów ułamkowych na zasadach różnych sraegii serowania auomaycznego [3]. Jednocześnie szczególną uwagę należy zwrócić na zapobieganie uracie najważniejszych cech sysemów dynamicznych. We współczesnej lieraurze [3-6, 9] isnieją różne podejścia do realizacji regulaorów ułamkowego rzędu z wykorzysaniem różnych modeli. Są one opare na różnych opisach ułamkowych członów różniczkująco - całkujących. Główne wzory całkowania ułamkowego zosały opracowane przez Liouville a i Riemanna. Rozwijając eorie Liouville a, Grünwald wprowadził pojęcie pochodnej ułamkowej, jako granice ilorazów różnicowych. Capuo zaproponował swoje rozwiązanie, kóre różni się od definicji Riemanna-Liouville a ym, że funkcję na począku różniczkuje się z najmniejszym rzędem całkowiym n, kóry przekracza ułamkowy rząd j a nasępnie całkuje się z rzędem n-j. Doświadczenia naukowców w dziedzinie synezy elekroechnicznych regulaorów ułamkowych, a zwłaszcza sysemów elekromechanicznych pokazują, że ułamkowy rząd składowej różniczkującej nie jes większy niż j1 [1, 6, 8, 9]. Do rozwoju i koreky ej eorii w dziedzinie elekroechniki przyczynili się: Heaviside, N. Viner i J. Carlson. Na obecnym eapie modelowania ułamkowych członów różniczkująco - całkujących w sysemach elekroechnicznych powszechnie używa się pakieu NINTEGER [7]. Sosowanie specjalnie zaprojekowanego programu NINTEGER, jako pakieu aplikacji MATLAB Simulink, pozwala wykonywać badania zasosowania regulaorów rzędu ułamkowego w układach regulacji auomaycznej z ułamkowymi obiekami regulacji. Należy zaznaczyć, że NINTEGER ma pewne wady: pakie NINTEGER działa wyłącznie w środowisku MATLAB Simulink i niemożna zasosować go poza ym środowiskiem; z lieraury wiadomo, że nie jes znana w ym pakiecie dokładność modelowania członów ułamkowych.

Analiza modeli całkowania 215 2. Aproksymacja ransmiancji ułamkowej Celem arykułu jes eoreyczne opracowanie możliwości oprogramowania w środowisku programowym MATLAB w oparciu o znaną aproksymację Ousaloupa. Takie oprogramowanie powinno mieć możliwość jego wykorzysania w aplikacji MATLAB Simulink zamias NINTEGER. Oprócz ego powinna być możliwość badania porównywalnej dokładności modeli ułamkowych regulaorów w przedsawieniu Ousaloupa, Riemanna, Riemanna- Liouville a i Grünwalda Lenikova względem modeli uzyskanych przez przekszałcenia Laplace'a jako modelu wzorcowego. Pozwoli o wybrać najlepszy model dla realizacji regulaorów z wykorzysaniem mikrokonrolera. Wyżej wymienione wady pakieu NINTEGER skłoniły auorów do opracowania własnych modeli w środowisku programowym MATLAB oparych o wyrażenia znanej aproksymacji Ousaloupa. Zgodnie z aką aproksymacją, α s ransmiancję ułamkowych członów różniczkujących ( ) i całkujących +α ( s ), jako składowych regulaorów ułamkowych, można przedsawić wyrażeniem s ±α ω ω u h α k N k N ' k 1+ s / ω 1+ s / ω k, (1) ' gdzie N- rząd aproksymacji, kóry należy zadać; ω k, ω k - zera i bieguny zasępczej ransmiancji rzędu całkowiego; ω u ω lω h (ω 1, ω h - dolna i górna granica przedziału częsoliwości). Obliczone zgodnie z (1) warości zer, biegunów i współczynniki wzmocnienia zasępczej ransmiancji rzędu całkowiego dla N 1;2;.. 5 zosały zaimplemenowane w środowisku MATLAB Simulink. Taka aproksymacja zapewnia nasępujące zaley względem pakieu NINTEGER: opracowane modele członów ułamkowych można sosować nie ylko w środowisku MATLAB Simulink, ale akże w środowisku programowym MATLAB; srukura i paramery ransmiancji aproksymującej, orzymanej na podsawie meody Ousaloupa znajduje się w pamięci programu MATLAB, co uławia ich przegląd, badanie i weryfikację. Na rysunku 1 i rysunku 2 przedsawiono odpowiedzi jednoskowe ułamkowych, całkujących i różniczkujących członów obliczonych za pomocą pakieu NINTEGER (krzywa -1) i korzysając z aproksymacji Ousaloupa rzędu N 3 (krzywa -2) i N4 (krzywa -3) dla ransmiancji ułamkowej s -0.5 (rys. 1) i s 0.5 (rys. 2). Oprócz ego, na rysunku 1 zaprezenowano odpowiedź

216 Y. Marushchak, B. Kopchak jednoskową gdy sosuje się ak zwaną modyfikację aproksymacji Ousaloupa (krzywa-4), o kórej mowa niżej, i odpowiedzi jednoskowe obliczone meodą przekszałcenia Laplace'a z wykorzysaniem programu Mahcad (krzywa -5). Na rys.2 krzywa - 4 reprezenuje odpowiedź jednoskową obliczoną meodą przekszałcenia Laplace'a. Rys. 1. Odpowiedzi jednoskowe całkującego członu ułamkowego z ransmiancją s -0.5 Fig. 1. Response Uni member of he fracional inegraor wih he ransfer funcion s -0.5 Rys. 2. Odpowiedzi jednoskowe różniczkującego członu ułamkowego z ransmiancją s 0.5 Fig. 2. Response Uni member fracional differeniaion wih he ransfer funcion s 0.5

Analiza modeli całkowania 217 Badania [7] prowadzone przez auorów doyczące możliwości aproksymacji ułamkowych członów ransmiancją rzędu całkowiego wykazały, że reprezenacja całkującego członu ułamkowego za pomocą pakieu NINTEGER z dość wysokim rzędem aproksymacji (N 5) zgadza się z wynikami aproksymacji Ousaloupa. Jednak, jak widać z powiększenia na rysunku 1, krzywe 2 i 3 w pierwszej chwili zmieniają się skokowo, z czym nie można się zgodzić dla członu całkującego. To zjawisko może być wyłumaczone ym, że ransmiancja według wzoru (1) zawiera wielomiany w liczniku i mianowniku jednakowego sopnia. Aby rozwiązać en problem zaproponowano modyfikację meody aproksymacji Ousaloupa. Modyfikacja a polega na ym, że sopień wielomianu licznika jes zmniejszony o jeden. Dla weryfikacji akiego posępowania zosało przeprowadzone badanie możliwości pominięcia jednego zera w ransmiancji aproksymacyjnej, albo usunięcia składowej wielomianu licznika najwyższego sopnia s. Wyniki akich badań wykazały korzyść drugiego podejścia. W ym przypadku odpowiedź jednoskowa przedsawia się krzywą 4 na rysunku 1. 3. Dokładność modelowania członów ułamkowych Pozosaje jednak problem analizy dokładności aproksymacji Ousaloupa. Dlaego, aby sprawdzić dokładność modelu Ousoloupa musi być znaleziony model kóry można porakować jako ealon. Taki model pozwala orzymać odpowiedzi jednoskowe wzorcowe. Wiadomo, że odwrone przekszałcenie Laplace'a ransformay s α zapisuje się w sposób nasępujący: L -1 { 1 α 1 s α } Γ(α) (2) gdzie: Г(α) funkcja gamma. W rzeczywisości wzór (2) jes odpowiedzią impulsową członu. Dlaego eż odpowiedź jednoskowa może być znaleziona po scałkowaniu odpowiedzi impulsowej. Całkując (2), orzymujemy wyrażenie odpowiedzi jednoskowej I(). I() α 1 Γ(α) d α Γ(α) α + C (3) Teraz zapiszemy odwrone przekszałcenie Laplace'a dla różniczkującego członu ułamkowego z ransmiancją s 0.5.

218 Y. Marushchak, B. Kopchak L{ α s } Γ( α 1 α) (4) Całkując wyrażenie (4) znajdujemy odpowiedz jednoskową I() dla akiego członu. I() α 1 Γ( α) d Γ( α + C α + 1 ) (5) Wyrażenia (3) i (5) opisują odpowiedzi jednoskowe, kóre przyjmujemy, jako wzorcowe. Odpowiadają im wykresy na rysunku 1 (krzywa-5) i na rysunku 2 (krzywa-4). Korzysając z ych przebiegów można przeanalizować dokładność modelowania innymi sposobami. Najczęściej spoykanymi modelami są: Model Riemanna [8] przewiduje nasępujący wzór do obliczenia odpowiedzi jednoskowej dla całkującego członu ułamkowego: D ν f(x) 1 Γ(ν) x c (x ) ν 1 f()d + C() (6) Model Riemanna Liouville [8] pozwala obliczać odpowiedzi jednoskowe dla różniczkującego członu ułamkowego w sposób nasępujący: 1 f(τ(τ) α n a D f() ( ) α n+ 1 Γ(n α) d a ( τ) d Model Grünwalda Lenikova [8] pozwala modelować ułamkowe człony różniczkująco - całkujące według wyrażenia a a h α α j α D f ( ) lim h ( 1) ( )f( jh) (8) h 0 j j 0 Modele maemayczne (6)-(8) zrealizowane zosały z wykorzysaniem programu MahCAD. W rakcie modelowania procesów według wzorów (6)-(8) spokaliśmy się z nasępującymi problemami: obliczenie każdego nasępnego punku przebiegu odpowiedzi jednoskowej wymaga znajomości warości wszyskich policzonych wcześniej warości. To powoduje, że każdy nasępny punk zwiększa czas obliczeń i dla długorwałych procesów nie każdy procesor sobie z ym zjawiskiem radzi; (7)

Analiza modeli całkowania 219 rwałość obliczenia odpowiedzi jednoskowej członu ułamkowego całkującego według modelu Riemanna (6) i członu ułamkowego różniczkującego według modelu Riemanna Liouville a (7) zależy od kroku całkowania i mocy obliczeniowej kompuera. Jednocześnie należy zaznaczyć zaley modelu Grünwalda Lenikova (8): wzór (8) ławo policzyć dzięki emu, że przedsawia on skończoną sumę a nie całkę; wysępuje w nim większa szybkość obliczenia przebiegów dynamicznych; przedsawienie całkującego czy różniczkującego członu ułamkowego porzebuje ylko zmiany znaku w ym samym wyrażeniu (+ dla różniczkującego członu i dla całkującego członu). Wadą ego modelu jes zwiększenie czasu obliczeń przy zwiększeniu dokładności obliczeń. Sosując wyrażenia (3), (5) oraz modele (6)-(8) obliczono odpowiedzi jednoskowe całkującego członu ułamkowego z ransmiancją s -05 i różniczkującego członu ułamkowego z ransmiancją s 0.5. Na podsawie wyników ych obliczeń przeanalizowano dokładność różnych sposobów modelowania. Dla oceny dokładności modelowania zasosowano nasępujące charakerysyki: - dyspersja przebiegu odpowiedzi jednoskowej σ 2, obliczonej jako σ n (y y n 2 1 i 1 2 i ie ) n 1, albo σ (y y n i 1 2 i ie ), (9) gdzie: y i warości badanej odpowiedzi jednoskowej w i-ym punkcie; y ie warości wzorcowej odpowiedzi jednoskowej w i-ym punkcie; n- ilość próbek; - względny uchyb aproksymacji odpowiedzi jednoskowej (sosuje się ylko dla całkującego członu ułamkowego), kóry oblicza się jako σ δ 100 % (10) y u gdzie y u - usalona warość, albo warość odpowiedzi jednoskowej dla wybranego czasu u na liniowej części krzywej wykresu. Wyniki oceny dokładności aproksymacji różniczkującego i całkującego członu ułamkowego dla różnych modeli względem modelu na podsawie przekszałcenia Laplace'a (model wzorcowa) pokazano w abeli 1. Do obliczeń przyjęo n1001, u 1s. Badania przeprowadzone dla innych warości ułamkowej poęgi α, a nie ylko dla α ±0,5, powierdziły uzyskane wyniki.

220 Y. Marushchak, B. Kopchak Tabela 1.Wyniki oceny dokładności modelowania członów ułamkowych Table 1.Resuls assess he accuracy of modeling fracional members Model Transmiancja NINTEGER Riemanna Riemanna -Liouville a Grünwalda Lenikova Ousaloupa N3 N3(modyfik.) σ δ σ δ σ δ σ δ σ δ 0.5 s 648 10-5 0,57 8 10-8 7,1 10-6 - - 572 10-5 0,51 0.5 s 0,3147 - - - 1,57 10-7 - 71 10-3 - 699 10-5 877 10-5 0,62 0,778 0,3135 0,3135-4. Podsumowanie Na podsawie analizy wyników reprezenowanych w ablicy 1 wnioskujemy, że najwyższą dokładność modelowania uzyskujemy gdy korzysamy z modelu Riemanna (6) dla całkującego członu ułamkowego. Dla modelowania różniczkującego członu ułamkowego najlepiej jes sosować model Riemanna Liouville a (7). Dokładność modeli NINTEGER i Ousaloupa jes prakycznie jednakowa, ylko model Ousaloupa realizuje się w programie MATLAB, a model NINTEGER w programie MATLAB Simulink. Tym samym wyniki symulacji z wykorzysaniem modelu Ousaloupa znajdują się w pamięci programu MATLAB co uławia ich analizę. Model Grünwalda Lenikova ma mniejszą dokładność w porównaniu z modelami Riemanna i Riemanna Liouville ale model en charakeryzuje się większą szybkością obliczeń. Należy zaznaczyć, że model Ousaloupa pozwala w dość prosy sposób realizować ułamkowe regulaory wskuek prosoy procedury obliczeń, chociaż dokładność ego modelu nie jes wysoka. Lieraura [1] Busłowicz M. Wybrane zagadnienia z zakresu liniowych i ciągłych układów niecałkowiego rzędu. Pomiary Auomayka Roboyka, 2/2010, sr. 93-114. [2] Duare Pedro Maa de Oliveira Valerio. Nineger v 2.3 Fracional conrol oolbox for Malab. User and programmer manual. Universidade ecnica de Lisboa insiuo superior ecnico. 2005. pp. 96 [3] Dzieliński A., Sierociuk D., Sarwas G.. Some applicaions of fracional order calculus A. Bullein Of Polish Academy Of Sciences. Warsaw: Technical Sciences,

Analiza modeli całkowania 221 vol. 58 (4). 2010. pp. 583 592. [4] Foruna L., Graziani S., Muscao G., Nunnari G., Poro D.. Approximaion of High- Order Lumped Sysems by using Non-Ineger Order Transfer Funcions. Proc. of he 7h Medierranean Conference on Conrol and Auomaion (MED99). 1999. pp. 2222 2230. [5] Leon O. Chua. Fracional order sysems. Modeling and conrol Applicaions. World scienific series on nonlinear sciences. Series A. vol.72. Chaper 1. Fracional Order Sysems. pp. 1-32. [6] Maii D., Biswas S., Konar A. Design of a Fracional Order PID Conroller Using Paricle Swarm Opimizaion Technique. Proc. 2 nd - Naional Conference on Recen Trends in Informaion Sysems (ReTIS-08). 2008. p.5. [7] Marushchak Y.Y., Kopczak B.L. Ułamkowe sandardowe formy sosowane do synezy sysemów elekromechanicznych. Czasopismo Sysemy elekroechniczne i kompuerowe. Wydanie emayczne Problemy Auomayzowanego Napędu Elekrycznego. Teoria i prakyka. Technika. Kijev. Wyd. 15(91). 2014. ss.57-60. (w j.ukrainskim). [8] Mehdi Dalir. Applicaion of fracional calculus. Applied Mahemaical Sciences, Vol. 4, 2010, pp. 1021-1032. [9] Podlubny I. Fracional Differenial Equaions/Mahemaics in Science and Engineering. Vol. 198. -Academic Press. 1999. pp. 340. [10] Wasilew W.W., Simak L.A.: Ułamkowe obliczenia i meody aproksymacyjne w modeluwaniu sysemów dynamicznych, NAN, Kijev, ss. 256. 2008 (w j. rosyjskim). ANALYSIS OF THE MODEL OF INTEGRATION-DIFFERENTIAL FRACTIONAL Summary The auhors research on he possibiliy of approximaion of fracional order unis by ransfer funcions of ineger order proved ha represenaion of fracional inegral uni in he NINTEGER package wih high approximaion order (n 5) is consisen wih he resuls of approximaion by Ousoloup ransformaion. As for he inegral uni, here is a leap in is ransiion funcion which is no characerisic of inegral regulaor. To ackle his issue, we have proposed he modificaion of Ousaloup mehod, in which he order of a numeraor polynomial is reduced by one. Wih he aim o calculae he accuracy of such represenaion, he research was done on he possibiliy of neglecing one zero in he resuling ransfer funcion of ineger order by means of reducing he numeraor polynomial order by one or by exclusion of he iem wih he highes degree of s operaor. The accuracy of he NINTEGER and Ousaloup models is almos he same, bu he Ousaloup mehod is implemened in MATLAB program while he NINTEGER model is pu ino effec in MATLAB Simulink. Thus, he simulaion resuls wih he use of Ousaloup model are recorded in MATLAB memory, which faciliaes heir analysis. I should be noed ha he Ousaloup mehod enables o easily implemen fracional conrollers because of he relaive simpliciy of calculaion procedures, alhough he accuracy of he model is no high.

222 Y. Marushchak, B. Kopchak Keywords: models, fracional order conrollers model, inegraed and differenial unis. DOI: 10.7862/re.2015.17 Teks złożono w redakcji: luy 2015 Przyjęo do druku: kwiecień 2015