UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który można zapisać w postaci macierzowej: A X B
gdzie: Układy równań liniowych A a a... a n a a... a... anan... ann n X R n B b b R b n A macierz główna układu X wektor niewiadomych B wektor wyrazów wolnych 3
Układy równań liniowych Założenie: Układ równań jest oznaczony, (tzn. posiada jedno rozwiązanie) Macierz główna układu równań A nie jest osobliwa (wyznacznik tej macierzy jest różny od zera) 4
Zastosowanie macierzy odwrotnej
Zastosowanie macierzy odwrotnej Układ równań: A X B Można rozwiązać obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu: X A B 6
Układ równań, w którym tylko główna przekątna macierzy A ma elementy niezerowe
Układ równań z niezerową główną przekątną macierzy A a b a b... a b nn n n Algorytm: bi i, aii 0, i,,..., n a ii 8
Trójkątny układ równań
Trójkątny układ równań a + a +... + a b a +... + a b... a b n n n n nn n n 0
Trójkątny układ równań Algorytm: n b a n nn Przy spełnionym warunku: n bi aiss i s+ i a, i n, n,..., ii a 0, i,,..., n ii
Trójkątny układ równań Przykład Rozwiązać trójkątny układ równań: 4 3 5 0 4 4 3 8 0 0 3 3
Trójkątny układ równań 3 b a 3 33 8 3 8 3 b a a 3 3 8 4 5 4 5 b a a a 3 3 3 8 5 4 7 5 3
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) Układ równań liniowych zapisujemy w postaci macierzowej. Przez W oznaczamy macierz główną układu równań, czyli: W a a... a n a a... a... an an... ann n Obliczamy wyznacznik tej macierzy: W 5
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) Jeżeli W 0 to obliczamy wyznaczniki macierzy pomocniczych: W b a... n b a... n... b a... a a a n n nn W a b... a n a b... a n... a b... a n n nn itd.. 6
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) Następnie obliczamy elementy wektora niewiadomych X: W W W W 3 W3 W itd.. 7
Przykład Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) Rozwiązać układ równań metodą wyznacznikową: 3 4 8 4 48 5 3 3 3 W 8 8
W 3 48 8 4 3 3 Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) W 4 W 4 48 4 W 6 5 3 3 W3 3 4 8 48 W3 40 5 3 9
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) W W 4 3 8 W W 6 8 3 W3 W 40 5 8 0
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Trójprzekątniowy układ równań: Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych a 0 b c d a b c d a3 b3 c 3 d3... an bn c n n d n an bn n dn c n 0
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych Układ można zapisać w następujący sposób: a + b + c d, i,,..., n i i i i i i+ i a 0, c 0 n () Rozwiązania tego układu równań poszukuje się w postaci: lub inaczej zapisując: i β i i + + γ i () β + γ (3) i i i i β i, γ i nieznane współczynniki 3
Po podstawieniu (3) do () i obliczeniu i : Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych i c d aγ + a b a b i i i i i+ iβ i + i iβ i + i (4) Z porównania prawych stron () i (4): c i i i i β i γ i ai β i + bi aiβ i + bi d aγ (5) 4
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych Na podstawie równania () można wyznaczyć wartości początkowe (dla i ): b + c d c d + (6) b b Ponieważ z () dla i wynika, że: β + γ (7) więc: β c d, γ (8) b b 5
Do ostatniego równania układu (), czyli: Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych a n n + b n n dn (9) wstawiamy zależność (3) (dla i n): ( ) a β + γ + b d (0) n n n n n n n skąd otrzymujemy: n d a γ n n n γn anβ n + bn () 6
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych Po wyznaczeniu wartości n kolejne niewiadome obliczamy z równania (3) dla i n -, n -,..., 7
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych Algorytm: c β γ b b d c i i i i β i γ i ai β i + bi aiβ i + bi d aγ i,3,..., n γ n n i β i i + + γ i n, n,, i 8
Przykład Rozwiązać układ równań metodą Thomasa: Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych 0 0 0 3 0 0 6 0 4 0 3 4 0 0 4 0 0 0 5 4 9
c β b c β a β + b 3() + c β 3 3 4 8 a β + 3 b3 (/) + 5 c β 4 4 5 a β + 4 3 b4 ( 8/5) + 3 Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych c β 0 5 5 a β + 5 4 b5 (5/3) + 0 30
γ γ d b d a d a γ β + b a 6 3 3 3() + 3 3γ 4 ( 3/) γ 3 a3 β + b3 (/) + 5 Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych γ 4 d a a γ β + b 4 4 3 4 3 4 (/5) ( 8/5) + d5 a5γ 4 4 γ 5 a5 β 4 + b5 (5/3) + 0 3
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych 5 γ5 0 β + γ 4 4 5 4 β + γ 3 3 4 3 5 0 + 3 8 + 5 5 3 β + γ ( ) + 3 β + γ ( ) + 3 3
Metoda eliminacji Gaussa
A a a... a n a a... a... an an... ann n B b b b Metoda eliminacji Gaussa Macierz główną układu równań i wektor wyrazów wolnych: Zapisujemy w postaci macierzy C: n C a a... a b a a... a b n n............... a a... a b n n nn n c c... c n c, n+ c c... cn c, n+............... cn cn... cnn cn, n+ 34
Metoda eliminacji Gaussa Podstawowy wariant metody:. etap: Przekształcenie macierzy C w taki sposób, aby n pierwszych kolumn tworzyło macierz trójkątną.. etap: Rozwiązanie trójkątnego układu równań. 35
Metoda eliminacji Gaussa Jeżeli c 0 Pierwsze równanie mnożymy przez: c i c Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego, i tego równania (i, 3,..., n) Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich. 36
Metoda eliminacji Gaussa Otrzymujemy następujący układ równań: c + c + c +... + c c 3 3 n n, n+ () () () () c + c3 3 +... + cnn c, n+ () () () () c3 + c33 3 +... + c3nn c3, n+... c + c +... + c c () () () () n n3 3 nn n n, n+ 37
Metoda eliminacji Gaussa Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy C do C : C c c c3... c n c, n+ () () () () 0 c c3... cn c, n+ () () () () 0 c3 c33... c3n c3, n+.................. () () () () 0 cn cn3... cnn c n, n+ za pomocą wzorów określających nowe współczynniki: c c c c, i,3,..., n j,3,..., n+ () i ij ij ij c 38
Metoda eliminacji Gaussa Jeżeli c () 0 Drugie równanie mnożymy przez: () c i () c Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego, i tego równania (i 3, 4,..., n) Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich. 39
Metoda eliminacji Gaussa Otrzymujemy następujący układ równań: c + c + c +... + c c 3 3 n n, n+ () () () () c + c3 3 +... + cnn c, n+ () () () c33 3 +... + c3n n c3, n+... c +... + c c () () () n3 3 nn n n, n+ 40
Metoda eliminacji Gaussa Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy C do C : C c c c3... c n c, n+ () () () () 0 c c3... cn c, n+ () () () 0 0 c33... c3n c3, n+.................. () () () 0 0 cn3... cnn c n, n+ za pomocą wzorów określających nowe współczynniki: c c c c, i 3,4,..., n j 3,4,..., n+ () () () i () ij ij () j c 4
Metoda eliminacji Gaussa Po wykonaniu n kroków otrzymujemy trójkątny układ równań: c + c + c +... + c c 3 3 n n, n+ () () () () c + c3 3 +... + cnn c, n+ () () () c33 3 +... + c3n n c3, n+... c c ( n ) ( n ) nn n n, n+ 4
Metoda eliminacji Gaussa Dla tego układu macierz C n- ma postać: C n- c c c3... c n c, n+ () () () () 0 c c3... cn c, n+ () () () 0 0 c33... c3n c3, n+.................. ( n ) ( n ) 0 0 0... cnn c n, n+ 43
Metoda eliminacji Gaussa Algorytm: s,,..., n i s+, s+,..., n ( s ) ( s) ( s ) cis ( s ) cij cij c,,,..., ( s ) sj j s+ s+ n+ css 44
Metoda eliminacji Gaussa Przykład Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa: 4 3 4 3 3 4 4 3 C 4 3 4 45
Metoda eliminacji Gaussa s i c c c c () c 4 4 5 4 c c c c () 3 3 3 c 3 4 4 () c c4 c4 c 4 c 4 46
Metoda eliminacji Gaussa i 3 c c c c () 3 3 3 c 3 4 5 c c c c () 3 33 33 3 c 3 4 () c3 c34 c34 c 4 4 c 3 4 47
Metoda eliminacji Gaussa C 4 3 5 0 4 4 5 0 3 48
s i 3 c c c c () () () 3 () 33 33 () 3 c 5 4 5 4 Metoda eliminacji Gaussa 3 c c c c () () () 3 () 34 34 () 4 c 5 4 3 5 8 3 49
Metoda eliminacji Gaussa C 4 3 5 0 4 4 8 0 0 3 3 Macierz odpowiada trójkątnemu układowi równań. Rozwiązanie takiego układu równań: patrz wcześniejszy przykład 50