Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU. P. F. Góra
|
|
- Magda Milewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU P. F. Góra
2 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam układ równań (przykład 3 3 dla oszczędności miejsca): a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (1) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 1. Równania można zapisać w innej kolejności: a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 (2) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Odpowiada to permutacji wierszy macierzy układu równań, z jednoczesna permutacja kolumny wyrazów wolnych. Copyright c P. F. Góra 2 2
3 2. Równania można dodać stronami, po pomnożeniu przez dowolna stała różna od zera: a x a x a x 13 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (z a 11 + a 31 )x 1 + (z a 12 + a 32 )x 2 + (z a 13 + a 33 )x 3 = z b 1 + b 3 (3) Odpowiada to zastapieniu jednego wiersza macierzy układu równań przez dowolna kombinację liniowa tego wiersza z innymi, z jednoczesna analogiczna operacja na kolumnie wyrazów wolnych. Copyright c P. F. Góra 2 3
4 3. We wszystkich równaniach można przestawić kolejność, w jakiej pojawiaja się zmienne: a 11 x 1 + a 13 x 3 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 23 x 3 + a 22 x 2 = b 2 (4) a 31 x 1 + a 33 x 3 + a 32 x 2 = b 3 Odpowiada to permutacji kolumn macierzy układu równań, z jednoczesna permutacja kolumny niewiadomych. Copyright c P. F. Góra 2 4
5 Eliminacja Gaussa Rozpatrzmy jeszcze raz układ równań a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (5) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Podzielmy pierwsze równanie stronami przez a 11 x 1 + a 12 a x a 13 a x 11 3 = b 1 a 11 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (6) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Teraz mnożymy pierwsze z równań (6) przez a 21 i odejmijmy stronami od Copyright c P. F. Góra 2 5
6 drugiego, a następnie mnożymy pierwsze z równań (6) przez a 31 i odejmijmy stronami od trzeciego. Otrzymujemy x 1 + (a22 a 21a 12 a 12 a 11 x 2 + a 13 a 11 x 3 = b 1 a 11 ) a x2 + ( a a ) 21a 13 a x3 = b 11 2 a 21 a b ( 11 1 a32 a ) 31a 12 a x2 + ( a a ) 31a 13 a x3 = b 11 3 a 31 a b 11 1 (7a) Przepiszmy to w postaci (tylko zmiana oznaczeń!) x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 (7b) W układzie równań (7b) pierwsza zmienna, x 1, występuje wyłacznie w pierwszym równaniu. Tego równania już nie przekształcamy, natomiast z pozo- Copyright c P. F. Góra 2 6
7 stałymi równaniami postępujemy analogicznie: dzielimy drugie stronami przez a 22 i odpowiednio mnożac, odejmujemy od trzeciego. Otrzymujemy x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 33 x 3 = b 3 Teraz pierwsza zmienna występuje wyłacznie w pierwszym równaniu, druga w pierwszym i w drugim. Gdyby równań było więcej, moglibyśmy to postępowanie kontynuować. (8) Copyright c P. F. Góra 2 7
8 Ostatecznie otrzymalibyśmy równanie postaci x 1 + x 2 + x x N = b 1 x 2 + x x N = b 2 x x N = b x N = b N gdzie symbole oznaczaja jakieś współczynniki, dajace się wyliczyć z pierwotnych współczynników równania, b i sa przekształconymi w toku całej procedury wyrazami wolnymi. (9) Równanie w postaci (9) nazywamy układem równań z macierza trójkatn a górna. Algorytm prowadzacy od (5) do (9) nazywamy eliminacja Gaussa. Copyright c P. F. Góra 2 8
9 Dygresja: Złożoność obliczeniowa Niech N oznacza liczbę danych wejściowych pewnego algorytmu. Niech M(N) oznacza liczbę operacji, jaka algorytm ten wykonuje dla N danych. Mówimy, że algorytm ma złożoność obliczeniowa O (P(N)) jeżeli N 0 N, A 1, A 2 > 0 N > N 0 : A 1 P(N) M(N) A 2 P(N) (10) Copyright c P. F. Góra 2 9
10 Złożoność obliczeniowa eliminacji Gaussa Aby usunać zmienna x 1 z jednego wiersza, należy wykonać O(N) operacji. Ponieważ zmienna x 1 musimy usunać z N 1 wierszy, musimy łacznie wykonać O(N 2 ) operacji. Ponieważ musimy to samo zrobić ze zmiennymi x 2, x 3,..., ostatecznie musimy wykonać O(N 3 ) operacji. Złożoność obliczeniowa eliminacji Gaussa wynosi O(N 3 ). Copyright c P. F. Góra 2 10
11 Backsubstitution Rozpatrzmy układ równań w postaci (9). Ostatnie równanie jest rozwia- zane ze względu na x N. Podstawiamy to rozwiazanie do wszystkich poprzednich równań. Teraz drugie od dołu równanie ma tylko jedna nieznana zmienna x N 1, a coś takiego umiemy rozwiazać. Podstawiamy to rozwiazanie do równania trzeciego od dołu i do poprzednich. Teraz trzecie od dołu równanie zawiera tylko jedna zmienna, x N 2. Rozwiazujemy, podstawiamy do poprzednich i tak dalej... Ponieważ wyeliminowanie jednej zmiennej wymaga O(N) operacji, a musimy wyeliminować N zmiennych, cały koszt rozwiazania układu z macierza trójkatn a górna za pomoca algorytmu backsubstitution wynosi O(N 2 ). Jest to niewiele w porównaniu z kosztem eliminacji Gaussa. Całkowity koszt rozwiazania układu N równań liniowych za pomoca eliminacji Gaussa z następujacym backsubstitution wynosi O(N 3 ). Copyright c P. F. Góra 2 11
12 Czy coś może pójść źle? Cały algorytm zawali się, jeżeli w którymś momencie trzeba będzie wykonać dzielenie przez zero a 11 = 0 lub a 22 = 0, lub a 33 = 0 itd. Copyright c P. F. Góra 2 12
13 Przykład Układu równań y + z = 1 x + y + z = 2 2x z = 0 (11) nie da się doprowadzić do postaci trójkatnej górnej za pomoca eliminacji Gaussa. Jeśli jednak przestawimy pierwszy wiersz z drugim lub z trzecim, eliminacja Gaussa powiedzie się. Ze względów numerycznych staramy się także unikać dzielenia przez liczby bardzo małe co do wartości bezwzględnej. Formalnie, w arytmetyce dokładnej, jest to wykonalne, ale w praktyce może to doprowadzić do bardzo znacznej utraty dokładnosci, tak, że ostateczny wynik będzie numerycznie bezwartościowy. Copyright c P. F. Góra 2 13
14 Wybór elementu podstawowego Przypuśćmy, że na pewnym etapie eliminacji Gaussa mamy układ równań x = b 1 x = b a kk x k + a k,k+1 x k = b k a k+1,k x k + a k+1,k+1 x k = b k a Nk x k + a N,k+1 x k = b N Powinniśmy teraz dzielić przez a kk. Zamiast tego wśród współczynników a kk, a k+1,k, a k+2,k,..., a Nk wyszukujemy największy co do modułu, permutujemy wiersze tak, aby ten największy co do modułu znalazł się w pozycji diagonalnej i dzielimy przez niego. Współczynnik wypromowany do pozycji diagonalnej nazywa się elementem podstawowym (ang. pivot). Ten krok algorytmu nazywa się częściowym wyborem elementu podstawowego. Dalej postępujemy jak poprzednio. Copyright c P. F. Góra 2 14 (12)
15 Koszt wyszukania jednego elementu podstawowego wynosi O(N). Jeżeli robimy to w każdym kroku, całkowity koszt jest rzędu O(N 2 ), a więc jest mały w porównaniu ze złożonościa obliczeniowa samej eliminacji Gaussa. Wynika z tego, iż częściowego wyboru elementu podstawowego należy zawsze dokonywać, gdyż nie zwiększa to znacznie kosztu całej procedury, może natomiast zapewnić numeryczna stabilność algorytmu. Zamiast szukać elementu podstawowego wyłacznie w jednej kolumnie, można szukać największego co do modułu współczynnika wśród wszystkich a i,j, k i, j N. Po znalezieniu, należy tak spermutować wiersze i kolumny układu równań, aby element podstawowy znalazł się w pozycji diagonalnej. Nazywa się to pełnym wyborem elementu podstawowego. Zauważmy, że koszt numeryczny wynosi O(N 3 ), a więc staje się porównywalny z kosztem całej eliminacji Gaussa, ponadto zaś permutacja kolumn wymaga późniejszego odwikłania permutacji elementów rozwiazania, co Copyright c P. F. Góra 2 15
16 jest kłopotliwe. Pełny wybór elementu podstawowego zapewnia większa stabilność numeryczna, niż wybór częściowy, ale w praktyce jest rzadko używany, ze wskazanych wyżej powodów. Do skutecznego przeprowadzenia eliminacji Gaussa potrzebna jest znajomość kolumny wyrazów wolnych, gdyż wyrazy wolne także sa przekształcane i permutowane w czasie eliminacji. Copyright c P. F. Góra 2 16
17 Uwagi o eliminacji Gaussa Przypuśćmy, że mamy rozwiazać kilka układów równań z ta sama lewa strona, a różnymi wyrazami wolnymi: Ax (i) = b (i), i = 1, 2,..., M (13) gdzie A R N N, x (i), b (i) R N. Eliminacja Gaussa (z wyborem elementu podstawowego!) jest efektywna, jeżeli z góry znamy wszystkie prawe strony b (1), b (2),..., b (M), gdyż w tym wypadku przeprowadzajac eliminację Gaussa, możemy przekształcać wszystkie prawe strony jednocześnie. Całkowity koszt rozwiazania (13) wynosi wówczas O(N 3 ) + O(MN 2 ). Copyright c P. F. Góra 2 17
18 Jeżeli jednak wszystkie prawe strony nie sa z góry znane co jest sytuacja typowa w obliczeniach iteracyjnych eliminacja Gaussa jest nieefektywna, gdyż trzebaby ja niepotrzebnie przeprowadzać dla każdej prawej strony z osobna, co podnosiłoby koszt numeryczny do O(MN 3 ) + O(MN 2 ). Copyright c P. F. Góra 2 18
19 Dygresja: równania macierzowe Zauważmy, że korzystajac z własności mnożenia macierzy, równania (13) można zapisać w postaci gdzie A R N N, X, B R N M, przy czym AX = B (14) x (1) 1 x (2) 1... x (M) 1 X = x (1) 2 x (2) 2... x (M) x (1) N x (2) N... x (M) N i analogicznie dla B. Innymi słowy, macierzowy układ równań (14) jest równoważny układowi równań liniowych (13) z M niezależnymi prawymi stronami. Copyright c P. F. Góra 2 19
20 Uwaga jawna konstrukcja macierzy odwrotnej Z powyższych uwag widać, że problem jawnej konstrukcji macierzy odwrotnej A A 1 = I (15) jest problemem postaci (14), a więc kolejne kolumny macierzy odwrotnej uzyskujemy rozwiazuj ac kolejne układy (13) dla i = 1, 2,..., N, przy czym b (1) = [1, 0, 0,... ] T, b (2) = [0, 1, 0,... ] T itd. Rozwiazanie układu równań Ax = b poprzez jawna konstrukcję macierzy odwrotnej, x = A 1 b, wymaga rozwiazania N układów równań liniowych, co oznacza koszt O(2N 3 ), podczas gdy koszt bezpośredniego rozwiazania równania Ax = b to O(N 3 ). Copyright c P. F. Góra 2 20
21 Pojawiajacy się często we wzorach napis A 1 b zawsze rozumiemy jako wezwanie do znalezienie Przykład Wyrażenie interpretujemy jako wektora z takiego, że Az = b. x n+1 = x n J 1 f n (16) x n+1 = x n z (17a) gdzie Jz = f n (17b) Copyright c P. F. Góra 2 21
22 Faktoryzacja LU Przypuśćmy, że udało nam się znaleźć faktoryzację A = L U, (18) gdzie macierz U jest trójkatna górna (wszystkie elementy poniżej głównej przekatnej sa zerami), natomiast L jest trójkatna dolna; dodatkowo przyjmujemy, że jej wszystkie elementy diagonalne sa równe 1, l ii = 1. Taka faktoryzację nazywamy faktoryzacja LU. Copyright c P. F. Góra 2 22
23 Jeżeli faktoryzacja LU jest znana, równanie rozwiazujemy jako Ax L Ux }{{} y = b (19) Ly = b (20a) Ux = y (20b) Pierwsze z tych równań rozwiazujemy metoda forward substitution, drugie metoda back substitution. Ponieważ sa to równania z macierzami trójkatnymi, koszt obliczeniowy rozwiazania każdego z nich wynosi O(N 2 ), a zatem koszt rozwiazania (19) wynosi O(2N 2 ). Pozostaje jezcze tylko dokonać samej faktoryzacji. Copyright c P. F. Góra 2 23
24 Algorytm Doolittle a Aby dokonać faktoryzacji LU, należy obliczyć N 2 nieznanych elementów macierzy L, U. Rozpiszmy (18): a 11 a 12 a a 1N a 21 a 22 a a 2N a 31 a 32 a a 3N a N1 a N2 a N3... a NN } {{ } A = 1 l 21 1 l 31 l l N1 l N2 l N } {{ } L u 11 u 12 u u 1N u 22 u u 2N u u 3N u NN } {{ } U (21) Okazuje się, że rozwiazywanie równań na poszczególne elementy l ij, u pq jest proste, jeżeli przeprowadza się je we właściwej kolejności, odpowiadajacej kolejnym kolumnom macierzy A. Copyright c P. F. Góra 2 24
25 Pierwsza kolumna: Aby znaleźć pierwsza kolumnę macierzy A, mnożymy kolejne wiersze L przez pierwsza kolumnę macierzy U. Ale ta kolumna ma tylko jeden element. Otrzymujemy u 11 = a 11 l 21 u 11 = a 21 l 31 u 11 = a l N1 u 11 = a N1 (22) Z pierwszego z równań (22) obliczamy u 11, a następnie z kolejnych l 21, l 31,..., l N1. Copyright c P. F. Góra 2 25
26 Druga kolumna: Wyrażenia na elementy drugiej kolumny macierzy A powstaja z przemnożenia kolejnych wierszy L przez druga kolumnę U: u 12 = a 12 l 21 u 12 + u 22 = a 22 l 31 u 12 + l 32 u 22 = a l N1 u 12 + l N2 u 22 = a N2 (23) Z pierwszego z tych równań obliczamy u 12. W tym momencie u 12 jest już znane, podobnie jak obliczone wcześniej l 1, a zatem z drugiego z równań (23) obliczamy u 22, a z kolejnych l 32, l 42,..., l N2. I tak dalej. Copyright c P. F. Góra 2 26
27 Widać, że średni koszt obliczenia któregoś z nieznanych elementów l ij, u pq jest rzędu O(N). Ponieważ elementów tych jest N 2, złożoność numeryczna algorytmu Doolittle a wynosi O(N 3 ). Całkowity koszt rozwiazania układu równań liniowych, a więc faktoryzacji LU i rozwiazania układów równań z macierzami trójkatnymi (20), jest taki sam, jak eliminacji Gaussa. Przewaga faktoryzacji LU nad eliminacja Gaussa polega na tym, iż przy pomocy faktoryacji LU można rozwiazywać dowolnie wiele równań z takimi samymi lewymi stronami (macierzami), przy czym kosztowna część, a więc sama faktoryzację, oblicza się tylko raz. Z uwagi na symetrię problemu i na kolejność wykonywanych obliczeń, faktoryzacja LU nie wymaga dodatkowej pamięci do zapamiętania obliczonych elementów faktoryzacji: elementy macierzy L (bez diagonali) zapamiętujemy w poddiagonalnym trójkacie macierzy A, elementy macierzy U na diagonali i w ponaddiagonalnym trójkacie A. Copyright c P. F. Góra 2 27
28 Przykład W celu dokonania faktoryzacji LU macierzy musimy rozwiazać równania = l 21 1 l 31 l 32 1 (24) u 11 u 12 u 13 u 22 u 23 u 33 (25) ze względu na l ik, u kj. W tym celu zapiszmy indywidualne równania, na jakie rozpada się (25), w kolejności odpowiadajace przegladaniu macierzy (24) kolumnami. Copyright c P. F. Góra 2 28
29 Pierwsza kolumna macierzy (24) odpowiada skad natychmiast otrzymujemy u 11 = 1 (26a) l 21 u 11 = 2 (26b) l 31 u 11 = 2 (26c) u 11 = 1, l 21 = 2, l 31 = 2. (27) Zwróćmy uwagę, iż pierwsze z równań (26) służy do wyliczenia elementu macierzy U, drugie i trzecie do wyliczenia elementów macierzy L. Druga kolumna odpowiada u 12 = 2 (28a) l 21 u 12 + u 22 = 1 (28b) l 31 u 12 + l 32 u 22 = 2 (28c) Copyright c P. F. Góra 2 29
30 Zauważmy, że jeśli równania (28) rozwiazywać w kolejności naturalnej, od góry do dołu, każde z nich okazuje się być równaniem z jedna niewiadoma. Pierwsze dwa służa do wyliczenia elementów macierzy U, trzecie do wyliczenia elementu macierzy L. Otrzymujemy u 12 = 2, u 22 = 3, l 32 = 2 3. (29) Trzecia kolumna (24) daje u 13 = 2 (30a) l 21 u 13 + u 23 = 2 (30b) l 31 u 13 + l 32 u 23 + u 33 = 1 (30c) W tym wypadku wszystkie trzy równania (30) sluża do obliczenia elementów macierzy U. Podobnie jak poprzednio, jeśli równania te rozwiazywać Copyright c P. F. Góra 2 30
31 od góry do dołu, każde z nich jest równaniem z jedna niewiadoma. Jako rozwiazanie otrzymujemy u 13 = 2, u 23 = 2, u 33 = 5 3. (31) Ostatecznie = Równość w (32) można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem.. (32) Copyright c P. F. Góra 2 31
32 Algorytm Crouta Przedstawiony algorytm nie zawiera wyboru elementu podstawowego (pivotingu), ten zaś jest niezbędny dla stabilności całego procesu. Z uwagi na symetrie faktoryzacji, tylko częściowy wybór elementu podstawowego jest możliwy. Omówimy to na przykładzie. Rozwiazauj ac równania (23) poczawszy od drugiego z nich, obliczamy l 22 u 22 = a 22 l 21 u 12 (l 22 1) l 32 u 22 = a 32 l 31 u 12 (33)... l N2 u 22 = a N2 l N1 u 12 Porównujemy teraz wyliczone lewe strony równań (33) i wybieramy największa (na moduł) z nich; tę uznajemy za właściwe u 22 odpowiada to permutacji wierszy macierzy A. Należy także spermutować już obliczone wiersze macierzy L. W rezultacie otrzymujemy faktoryzację LU nie Copyright c P. F. Góra 2 32
33 samej macierzy A, ale macierzy różniacej się od niej pewna permutacja wierszy. Przykład Rozpatrzmy problem znalezienia następujacej faktoryzacji: = l l 31 l l 41 l 42 l 43 1 u 11 u 12 u 13 u 14 0 u 22 u 23 u u 33 u u 44. (34) Copyright c P. F. Góra 2 33
34 Faktoryzację znajdujemy przechodzac macierz A kolumnami, poczynajac od lewego górnego rogu. Pierwsza kolumna daje zatem a 11 : u 11 = 2 (35a) a 21 : l 21 u 11 = 1 (35b) a 31 : l 31 u 11 = 0 (35c) a 41 : l 41 u 11 = 1 (35d) Po przejrzeniu pierwszej kolumny faktoryzacja ma postać = l l 42 l u 12 u 13 u 14 0 u 22 u 23 u u 33 u u 44. (36) Copyright c P. F. Góra 2 34
35 Przystępujemy do przegladania drugiej kolumny: a 12 : u 12 = 4 (37a) a 22 : u 22 = 2 = u 22 = 0 (37b) a 32 : l 32 u 22 = 1 = l 32 u 22 = 1 (37c) a 42 : l 42u 22 = 1 = l 42 u 22 = 3 (37d) Widać, iż równań (37) nie da się rozwiazać ze względu na l 32, l 42. Dzieje się tak dlatego, że aktualny element diagonalny ( element podstawowy ) jest zerem. Aby uniknać tej sytuacji, należy przestawić drugi wiersz faktoryzowanej macierzy z pewnym innym wierszem leżacym poniżej drugiego; oczywiście należy także przestawić już obliczone elementy macierzy L odpowiadajace przestawianym wierszom A. Jako wiersz, który zajmie miejsce wiersza drugiego, wybieramy ten, który prowadzi do największej (na moduł) wartości po prawej stronie równań (37), jako że ta wartość stanie Copyright c P. F. Góra 2 35
36 się nowym elementem diagonalnym, przez który będziemy dzielić. W naszym przykładzie jest to wiersz czwarty. Zatem = l l 42 l u 13 u 14 0 u 22 u 23 u u 33 u u 44. (38) Kolory wskazuja co z czym było przestawiane. Podkreślam, iż w macierzy L przestawieniu podlegaja tylko już obliczone elementy, a więc elementy leżace na lewo od aktualnie analizowanej kolumny. Ponieważ wiersze leżace powyżej aktualnie obliczanego elementu diagonalnego nie ulegaja zmianie, obliczona wartość u 12 można już było wpisać do macierzy. Teraz Copyright c P. F. Góra 2 36
37 z łatwościa obliczamy a zatem a 22 : u 22 = 1 = u 22 = 3 (39a) a 32 : l 32 u 22 = 1 = l 32 = 1 3 (39b) a 42 : l 42u 22 = 2 = l 42 = 0 (39c) = l u 13 u u 23 u u 33 u u 44. (40) Copyright c P. F. Góra 2 37
38 Przystępujemy do przegladania trzeciej kolumny. a 13 : u 13 = 1 (41a) a 23 : 1 2 u 13 + u 23 = 0 = u 23 = 1 2 (41b) a 33 : 0 u u 23 + u 33 = 2 = u 33 = 11 (41c) 6 1 a 43 : 2 u u 23 + l 43 u 33 = 3 = l 43 u 33 = 5 2 (41d) W tym wypadku nie musimy permutować wierszy (równania (41) nie zawieraja dzielenia przez zero), tym niemniej powinniśmy to zrobić, aby elementem diagonalnym był element o możliwie największym module. Ponieważ 5/2 > 11/6, permutujemy trzeci i czwarty wiersz macierzy A, przestawiajac jednocześnie odpowiednie już obliczone elementy macierzy L. Copyright c P. F. Góra 2 38
39 A zatem = l u u u 33 u u 44. (42) Jak poprzednio, kolory pokazuja elementy, które zostały przestawione. Teraz z łatwościa obliczamy najpierw brakujace elementy u 33, l 43, później zaś elementy ostatniej kolumny macierzy U w tym przypadku nie trzeba (a nawet nie da się) wykonywać już żadnych pivotów. Ostatecznie otrzymujemy = (43) Copyright c P. F. Góra 2 39
40 Widać zatem, że 1. Faktoryzacja LU nie wymaga de facto rozwiazywania skomplikowanego układu równań, jako że każde z rozwiazywanych równań jest równaniem z jedna niewiadoma, jeśli tylko macierz A jest przegladana we właściwej kolejności. Obliczenie jednego elementu wymaga N operacji, wszystkich elementów jest N 2, zatem koszt obliczeniowy faktoryzacji LU jest rzędu O(N 3 ). 2. Macierz A można przegladać kolumnami poczynajac od lewego górnego rogu, lecz jeszcze bardziej naturalna jest następujaca kolejność: (a) Zaczynamy od lewego górnego rogu. Copyright c P. F. Góra 2 40
41 (b) Przegladaj ac k ta kolumnę od pozycji diagonalnej w dół obliczamy wszystkie iloczyny l kk u kk, l k+1,k u kk,..., l Nk u kk bez wykonywania dzielenia przez u kk. Jako element podstawowy wybieramy ten z nich, który ma największa (na moduł) wartość w tym celu przestawiamy odpowiednie wiersze A oraz odpowiednie elementy L stojace w już obliczonych kolumnach (1,..., k 1). Teraz wykonujemy dzielenie przez nowe u kk (l kk = 1). Widać, że iloczynów l sk u kk, s > k, nie trzeba ponownie obliczać, ponieważ zostały policzone przed wybraniem elementu podstawowego. (c) Po przejrzeniu k tej kolumny przegladamy k ty wiersz poczynajac od pozycji k+1 (poprzednie elementy tego wiersza zostały już obliczone przy okazji przegladania poprzednich kolumn), jako że nie biora one udziału w wyborze elementu podstawowego, wszystkie zaś elementy potrzebne do ich obliczenia sa już w tym momencie znane. Copyright c P. F. Góra 2 41
42 3. Na skutek zastosowania wyboru elementu podstawowego dostajemy nie faktoryzację wyjściowej macierzy A, lecz faktoryzację macierzy różniacej się od macierzy wyjściowej kolejnościa wierszy (porównaj lewe strony (34) i (43)). Trzeba zapamiętać tę permutację wierszy, jako że przy rozwiazywaniu równania Ax = b trzeba zastosować tę sama permutację elementów wektora b. Copyright c P. F. Góra 2 42
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Uwagi o eliminacji Gaussa Przypuśćmy, że mamy rozwiazać kilka układów
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja macierzy. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja macierzy P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Uwagi o eliminacji Gaussa Przypuśćmy, że mamy rozwiazać kilka układów równań z ta sama lewa strona,
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoWykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja Cholesky ego i QR. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja Cholesky ego i QR P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Faktoryzacja Cholesky ego Niech A R N N będzie symetryczna, A T = A, i dodatnio określona:
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoIII TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Bardziej szczegółowo10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów
10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów 1. Dowód twierdzenia o faktoryzacji macierzy Twierdzenie 1 Każdadodatniookreślon aisymetryczn amacierzm można przedstawíc wpostaci M = PP T gdzie P jest
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wektory i wartości własne definicje Niech A C N N. Jeżeli
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowo"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Metoda gradientów sprzężonych motywacja Rozważmy funcję f : R N R f(x) = 1 2
Bardziej szczegółowo2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH
WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Projekt dofinansowała Fundacja mbanku UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CZĘŚĆ I Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamrą, np.: x + 0 Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH. PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ
NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ PODZIAŁ DOKŁADNE ELIMINACYJNE DEKOMPOZYCYJNE ELIMINACJI GAUSSA JORDANA GAUSSA-DOOLITTLE a GAUSSA-CROUTA CHOLESKY EGO
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoWykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy
Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Metody eliminacji i podstawienia wstecz Metoda dekompozycji LU i jej zastosowania Metody dla macierzy specjalnych i rzadkich Metody iteracyjne
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Metody iteracyjne Rozwiazanie układu równań liniowych, uzyskane
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowox 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:
RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II. Układy równań liniowych
Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 11/11/ :45 p.
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część I Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p./83 Układy równań liniowych, część I. Pojęcia
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Metody iteracyjne W metodach dokładnych otrzymane rozwiazanie jest dokładne
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoA A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoKrótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Macierze szyfrujące. 4.1 Algebra liniowa modulo 26
Rozdział 4 Macierze szyfrujące Opiszemy system kryptograficzny oparty o rachunek macierzowy. W dalszym ciągu przypuszczamy, że dany jest 26 literowy alfabet, w którym utożsamiamy litery i liczby tak, jak
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Inne rodzaje faktoryzacji. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Inne rodzaje faktoryzacji P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Współczynnik uwarunkowania macierzy symetrycznej Twierdzenie 1. Niech
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Zagadnienie własne Definicja: Niech A C N N. Liczbę λ C nazywam wartościa własna macierzy
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowo