M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 1 1 Twierdzenie Bochnera-Minlosa 1.1 Dystrybucje Niech Ω n będzie niepustym zbiorem otwartym. Przez C0 (Ω oznaczmy przestrzeń funkcji gładkich określonych na Ω o zwartych nośnikach i o wartościach zespolonych. Definicja 1.1 Mówimy, że ciąg {ϕ m } m 1 C0 (Ω jest zbieżny do zera, jeśli: 1 istnieje zbiór zwarty K Ω taki, że nosniki wszystkich funkcji ϕ m leżą w K, 2 funkcje oraz ich pochodne cząstkowe wszystkich rzędów dążą jednostajnie do zera. Przestrzeń C0 (Ω z tak określoną zbieżnością nazywamy przestrzenią funkcji próbnych i oznaczamy przez D(Ω. Lemat 1.2 Niech {ϕ m } m 1 będzie ciągiem Cauchy ego w D(Ω. Wtedy istnieje takie ϕ C 0 (Ω, że ϕ m ϕ, gdy m w D(Ω. Definicja 1.3 Liniowy funkcjonał T : D(Ω C nazywamy dystrybucją jeśli jest ciągły na przestrzeni D(Ω, tzn. taki, że gdy ϕ m ϕ, gdy m w D(Ω, to T (ϕ m T (ϕ. Przestrzeń dystrybucji (sprzężoną do D(Ω oznaczamy przez D (Ω. Twierdzenie 1.4 Liniowy funkcjonał T : D(Ω C jest dystrybucją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zwartego K Ω istnieją takie stałe A = A(K i p = p(k, że T (ϕ A sup D α ϕ(k, dla ϕ C0 (K. α p W twierdzeniu powyżej użyliśmy skrótu: Niech α = (α 1,..., α n będzie wielowskaźnikiem (n wymiar przestrzeni. Wtedy α = α 1 +... + α n oraz D α α ϕ ϕ = x α 1 1.... xαn n Dowód. Dostateczność podanego warunku jest oczywista. Podamy dowód konieczności, niewprost. Przypuśćmy, że podane oszacowanie nie zachodzi, to znaczy istnieje K Ω takie, że dla każdego A = p = m istnieje funkcja ϕ m C0 (K taka, że T (ϕ m > m sup D α ϕ m (K α m Korzystając z jednorodności powyższej nierówności mamy T (ϕ m = 1, natomiast sup D α ϕ m (K < 1/m dla α m.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 2 Stąd ϕ m 0 w D(Ω, gdy m oraz T (ϕ m = 1 dla m 1 co przeczy ciągłości T. Gdy stała p w powyższym twierdzeniu może być wybrana niezależnie od K, wtedy mówimy, że dystrybucja T jest rzędu skończonego na Ω, a najmniejsza taka liczba p nazywa się rzędem dystrybucji T w Ω. 1.2 Przykłady dystrybucji 1 Niech Ω = n oraz niech µ będzie miarą borelowską skończoną na zbiorach zwartych. Wtedy T (ϕ = ϕ dµ, ϕ C0 ( n. n jest dystrybucją (rzędu 0. 2 Niech n = 1, Ω = (0, 1. Wtedy T (ϕ = D j ϕ(1/j jest dystrybucją rzedu nieskończonego. 3 bardzo ważną klasę stanowią dystrybucje regularne tj. reprezentowalne przez funkcje lokalnie całkowalne (skończenie całkowalne na zbiorach zwartych w n. Niech f będzie taką funkcją. Określmy dystrybucję T f (ϕ; = f(xϕ(x dλ n (x, ϕ C0 (Ω. Ω Liniowość T f jest oczywista. Ciągłość wynika z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności ograniczonej. Szczególnym przypadkiem dystrybucji z przykładu 1 jest delta Diraca δ a (ϕ := ϕ(a, ϕ C 0 (Ω. Wykażemy, że dystrybucja Diraca nie jest regularna. Bez straty ogólności możemy przyjąć a = 0. Załóżmy, że δ 0 jest regularna. Wtedy istniałaby funkcja lokalnie calkowalna f taka, że T f = δ 0. Jak wiadomo istnieją funkcje próbne g i D takie, że g i (x = 0 dla x > 1/i, g i (0 = 1, 0 g i (x 1 dla x n, i = 1, 2,... Zatem 1 = g i (0 = T f (g i = fg i dλ n = fg i dλ n f dλ n 0. n x 1/i x 1/i Otrzymaliśmy sprzeczność.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 3 1.3 Granice induktywne Niech dana będzie przestrzeń X i jej podzbiory X i = (X i, T i, i I będące przestrzeniami topologicznymi takimi, że X i X j dla i j oraz X = i I X i. Niech G i : X i X będzie injekcją kanoniczną. Przestrzeń X wyposażona w topologię induktywną (tzn. najmocniejszą topologię, przy której każde odwzorowanie G i jest ciągłe nazywa się granicą induktywną przestrzeni X i i oznacza się lim i I indx i. Twierdzenie 1.5 Niech X będzie granicą induktywną przestrzeni topologicznych (X i, T i, i I i niech (Y, T będzie przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie T : X Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy T Xi jest ciągłe na (X i, T i dla każdego i I. Granice induktywne przestrzeni lokalnie wypukłych metryzowalnych (a więc takich, których topologia dana jest przez ciąg półnorm nazywają się przestrzeniami bornologicznymi (czyli Mackey. Niech Ω n będzie niepustym otwartym zbiorem. Wtedy istnieje ciąg zbiorów zwartych K j takich, że K j K j+1, j 1, każdy podzbiór zwarty K Ω jest zawarty w pewnym K j oraz K j Ω. Oznaczmy X i = D(Ω, K i := {ϕ C (Ω : supp(ϕ K i}. Przestrzeń X i ma topologię okreslona przez przeliczalną rodzinę półnorm: ϕ p,ki := sup D α ϕ(k i, p = 1, 2,... α p Jak wiemy D(Ω, K i jest przestrzenią Frecheta (metryzowalną i zupełną. Definicja 1.6 D(Ω = lim i ind D(Ω, K i. Zatem D(Ω jest przestrzenią Mackey. Twierdzenie 5 mówi, że dystrybucja jest ciągłym funkcjonałem na D(Ω. Wniosek ten jest szczególnym przypadkiem twierdzenia, które mówi, że odwzorowanie liniowe A przestrzeni Mackey E jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jest ono ciągowo ciągłe tzn. gdy dla każdego ciągu ϕ m 0 mamy Aϕ m 0. 1.4 Działania na dystrybucjach 1 óżniczkowanie dystrybucji. Niech α będzie wielowskaźnikiem. Wtedy odzorowanie D α określone wzorem (D α T (ϕ := ( 1 α T (D α ϕ, ϕ D(Ω. lub w innym zapisie ϕ, D α T = ( 1 α D α ϕ, T
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 4 jest dystrybucją. 2 Mnożenie dystrybucji przez funkcję (gładką. Niech T będzie dystrybucją i niech f C (Ω. Wtedy (f T (ϕ := T (fϕ, ϕ D(Ω. Okazuje się, że nie da się określić mnożenia dystrybucji przez dystrybucję tak aby działenie to było łączne. Inne działania które dają się okreslić, to iloczyn tensorowy dystrybucji, translacja dystrybucji, splot dystrybucji. 1.5 Przestrzeń funkcji szybko malejących Transformatę Fouriera dla f L 1 (λ n określa się wzorem ˆf(y = f(xe 2πi y,x dλ n (x, n gdzie x = (x 1,..., x n, y = (y 1,..., y n n oraz y, x = y 1 x 1 +... + y n x n. Gdy f C0 (n, wtedy całkując przez części α razy, otrzymujemy wzór (1.1 Dα f(y = (D α f(xe 2πi y,x dλ n (x = (2πi α y α ˆf(y, n gdzie dla wielowskaźnika α = (α 1,..., α n mamy oznaczenie y α = y α 1 1 yαn n. óżniczkując wzór na transformatę Fouriera i korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu całek z parametrem, otrzymujemy (1.2 (D α ˆf(y = ( 2πi α ( e α f(y, y n, gdzie e α (x = x α := x α 1 1 xαn n. Definicja 1.7 Przestrzeń S jest to zbiór wszystkich funkcji f C ( n takich, że dla wszystkich wielowskaźników α = (α 1,..., α n, β = (β 1,..., β n zachodzi f α,β := sup x n x β D α f(x <. Topologia lokalnie wypukła przestrzeni S dana jest przez przeliczalną rodzinę półnorm α,β. Lemat 1.8 Transformata Fouriera odwzorowuje S S w sposób ciągły. Pokażemy tylko, że transformata Fouriera działa z S w S. Niech f S. Korzystając ze wzorów (1.2 i (1.1 dostajemy Zachodzi następujący lemat y β (D α ˆf(y = y β ( 2πi α ê α f(y = ( 2πi α (2πi β (D β (e α f (y.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 5 Lemat 1.9 Można wykazać nastepujące własności S. 1 Zbiór C0 (n jest gęsty w S. 2 Zanurzenie D S jest ciągłe. Z lematu tego wynikają następujace wnioski: Wniosek 1.10 Jeśli T S oraz T (D( n = 0, to T = 0. Wniosek 1.11 T S T D( n D ( n. Z obu tych wniosków wynika, że możemy identyfikować (zanurzać S z podzbiorem D. Uzasadnia to następującą definicję: Przestrzeń D nazywa się przestrzenią dystrybucji temperowanych. Warto zauważyć, że nie każda funkcja lokalnie całkowalna będąca dystrybucją, jest dystrybucją temperowaną. Łatwo też zauważyć, że funkcje całkowalne są dystrybucjami temperowanymi tj. L 1 S. mamy następującą własność takich dystrybucji Lemat 1.12 Jeśli f L 1, to dla dowolnej ϕ S zachodzi równość ϕ, ˆf = ˆϕ, f. Dowód. Na mocy twierdzenia Fubiniego mamy ϕ, ˆf ( = ϕ(y f(xe 2πi y,x dλ n (x dλ n (y = n n ( f(x ϕ(ye 2πi y,x dλ n (y dλ n (x = f(x ˆϕ(x dλ n (x = ˆϕ, f. n n n Na mocy powyzszego lematu możemy przyjąć następującą definicję transformaty Fouriera dystrybucji temperowanej. Definicja 1.13 Transformata dystrybucji temperowanej T dana jest wzorem ϕ, ˆT = ˆϕ, T, ϕ S. Stosując inną natację piszemy ˆT (ϕ = T ( ˆϕ, ϕ S.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 6 1.6 Przestrzenie nuklearne Przestrzeń wektorową E nazywamy przestrzenia przeliczalnie Hilbertowską jeśli E jest przestrzenią zupełną względem topologii generowanej przez przeliczalną ilość Hilbertowskich, zgodnych norm n, n 0. Zgodność norm oznacza, że jeśli jakis ciąg w E jest zbieżny do zera w normie m oraz jest ciągiem Cauchy ego w normie n, to jest zbieżny do zera w normie n. Dla n 0 oznaczmy przez E n uzupełnienie E względem normy n. Wtedy mamy E = E n. n=0 zeczywiście, jeśli x n=0 E n, to x jest ciągiem Cauchy ego w każdej normie n. Zatem z zupełności E jest w niej zbieżny, tzn. x E. Zawieranie w drugą stronę jest oczywiste. Bez straty ogólności możemy normy ustawić w ciąg niemalejący a stąd (jako injekcyjne zanurzenia 0 1... n..., E 0 E 1... E n.... Oznaczając przez E n przestrzen dualną (sprzężoną do E n mamy E 0 = E 0 E 1... E n.... Gdy natomiast oznaczymy przez n normę E n otrzymujemy { n : < n < } niemalejący ciąg Hilbertowskich norm. Lemat 1.14 Liniowy funkcjonał f : E jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły względem n dla pewnego n 0 Dowód. Dostateczność jest oczywista. Udowodnimy konieczność. Niewprost. Załóżmy, że f nie jest ciągły względem żadnej normy n dla n 0, tzn. dla każdego k 0 istnieje x k E taki, że f(x k > (k + 1 x k k. Stąd f(x k > 0 dla k 0. Określmy k + 1 y k = f(x k x k, k 0. Wtedy dla k n mamy y k n = k + 1 k + 1 f(x k x k n f(x k x k k 1 k + 1.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 7 Stąd gdy k mamy y k n 0. ciągłości f. Z udowodnionego lematu mamy Tymczasem f(y k = k + 1, co przeczy E = En. n=0 Definicja 1.15 Niech E będzie przestrzenią przeliczalnie Hilbertowską. Jeśli dla każdego m 0 istnieje n > m takie, że naturalne włożenie (injekcja T n,m : E n E m jest operatorem Hilberta-Schmidta, to E nazywamy przestrzenią nuklearną przeliczalnie Hilbertowską lub krótko: przestrzenią nuklearną. 1.7 Przykład Pokażemy, że przestrzeń S = S( funkcji szybko malejących jest przestrzenią nuklearną. Topologia jest zadana przez przeliczalna rodzinę norm f n = max sup 0 k n u (1 + u 2 n f (k (u, n = 0, 1, 2,... lub równoważnie przez bazę otoczeń zera { } U n.k (ε = f S : sup (1 + u 2 n f (k (u < ε u, n 0, 0 k n, ε > 0. Pokażemy, że S jest przestrzenią przeliczalnie Hilbertowską. W tym celu wprowadzimy równoważny wyjściowemu układ norm f n = k=0 (1 + u 2 2n f (k (u 2 du, n 0. ównoważność układów norm { n } n 0 i { n } n 0 wynika z lematu Lemat 1.16 Dla n 1 istnieją stałe C n i D n takie, że dla każdego f S mamy C n f n 1 f n D n f n+1. Dowód. Prawa strona nierówności wynika z następujacego oszacowania dla k n. (1 + u 2 2n f (k (u 2 du sup[(1 + u 2 2n+2 f (k (u 2 du ] u (1 + u 2 2.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 8 Stąd f 2 n = π (n + 1 max 2 k=0 sup 0 k n+1 u (1 + u 2 2n f (k (u 2 du Lewa nierówność z oszacowania poniżej dla k n 1. Stąd Zatem (1 + u 2 n 1 f (k (u = (1 + u 2 2n f (k (u 2 = π 2 (n + 1 f 2 n+1. u [(1 + u 2 n 1 f (k (u] du (1 + u 2 n 1 f (k+1 (u du + (n 1 2u(1 + u 2 n 2 f (k (u du (1 + u 2 n 1 f (k+1 (u du + (n 1 (1 + u 2 n 1 f (k (u du ( ( du 1/2( 1/2+ (1 + u 2 2 (1 + u 2 2n f (k+1 (u du 2 du 1/2 ( 1/2. (n 1 (1 + u 2 2 (1 + u 2 2n f (k (u du 2 sup (1 + u 2 n 1 f (k (u 2 u πn 2( + u (1 2 2n f (k+1 (u 2 du + (1 + u 2 2n f (k (u 2 du. f 2 n 1 2πn 2 f 2 n. Oznaczmy przez s przestrzeń ciągów rzeczywistych x = {x k } k 0 takich, że dla każdego n 0 x 2 n := (1 + k 2n x 2 k <. Określone powyżej normy tworzą ciag niemalejący 0 1... n..., Domknięcie s w normie n jest równe H n, gdzie H n = {x = {x k } k 0 : x k, k 0, x n < }. k=0
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 9 Jak wiadomo przestrzeń ta jest zupełna. Zatem H 0 H 1... H n.... Ponadto ciąg norm n, n 0 jest zgodny na s, bo gdy n > m (przypadek n m jest oczywisty i niech {x k } k 0 s oraz x k m 0, gdy k i {x k } k 0 jest ciągiem Cauchy ego w n, to x k n 0, gdy k, wynika z monotonicznosci ciągu norm n oraz zupelności H n. Przestrzeń ciągów s jest przestrzenią zupełną (i gęstą w l 2 jest więc przeliczalnie Hilbertowską, co więcej jest przestrzenią nuklearną. zeczywiście, łatwo zauważyć, że włożenia T n+1,n : H n+1 H n są Hilberta-Schmidta. Stąd i z lematu: Lemat 1.17 Przestrzeń Schwartza S jest izomorficzna z przestrzenią ciągową s. wynika, że przestrzeń Schwartza S jest przestrzenią nuklearną. Możemy więc napisać gdzie włożenia są ciągłe. 1.8 Twierdzenie Bochnera-Minlosa Niech dana będzie trójka przestrzeni S L 2 ( S, E H E, gdzie H (zazwyczaj H = L 2 (T jest przestrzenią Hilberta, E przestrzenią nuklearną, a E sprzężoną do niej. Uogólnionym procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych (określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej indeksowanych parametrem z przestrzeni nuklearnej E tj. X = {X(x, ω} x E. taką, że przy ustalonym ω odwzorowanie X(, ω jest ciągłym funkcjonałem na E, czyli X(, ω E dla ω Ω. ozkład łączny (X(x 1,..., X(x n jest jednoznacznie określony przez funkcję charakterystyczną. ( exp i t k X(x k, ω dp (ω, t k Ω k=1 dla k = 1, 2,..., n. Korzystając z liniowości X(x, ω wzgledem x widzimy, że powyższa funkcja charakterystyczna jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X(t 1 x 1 +... + t n x n,. Ponieważ
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 10 t 1 x 1 +... + t n x n E możemy więc przypuszczać, że rozkład uogólnionego procesu stochastycznego jest jednoznacznie określony przez C X (x = exp[ix(x, ω] dp (ω, x E. Ω Funkcjonał C X (x, x E nazywamy funkcjonałem charakterystycznym uogólnionego procesu X. Posiada on następujące własności: 1 Funkcjonał C X jest ciągły względem x E. 2 Funkcjonał C X jest dodatnio określony tzn. dla dowolnego n N i α 1,..., α n C, x 1,..., x n E, mamy α j α k C X (x j x k 0. 3 C X (0 = 1. j,k=1 Warunki te sa identyczne jak w klasycznym twierdzeniu Bochnera. Twierdzenie Bochnera- Minlosa mówi, że gdy pewien funkcjonał C(x, x E spełnia warunki 1 3, to istnieje miara µ na E taka, że C(x = e i x,x dµ(x, x E. E Najpierw określimy σ - algebrę na której będzie określona miara µ. x 1,..., x n E oraz ustalonego B B( n określmy zbiór (cylinder U x1,...,x n;b = {x E : ( x 1, x,..., x n, x B} Dla ustalonych Jeśli F E jest skończenie wymiarową podprzestrzenią, to zbiór cylindrów indeksowanych elementami z F tworzy σ-algebrę którą oznaczmy przez G F. zeczywiście, jeśli np. dim(f = n oraz e 1,..., e n jest bazą przestrzeni F, a x 1,..., x k F. Wtedy dla x E mamy x i, x = a ij e j, x, i = 1, 2,..., k. Jeśli przez A oznaczymy operator liniowy z n w k o macierzy [a ij ], to Stąd dla B B( k mamy ( x 1, x,..., x k, x = A( e 1, x,..., e n, x. ( x 1, x,..., x k, x B A( e 1, x,..., e n, x B ( e 1, x,..., e n, x A 1 (B B( n.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 11 Zatem Oznaczmy U x1,...,x k ;B = U e1,...,e n;a 1 (B. G = F E gdzie sumowanie jest po wszystkich skończenie wymiarowych podprzestrzeniach E. Jak łatwo zauważyć, G jest tylko algebrą. Przestrzenią mierzalną na której określona będzie miara µ jest (E, A, gdzie A = σ(g. Konstrukcję miary µ dla której funkcjonałem charakterystycznym jest dany funkcjonał C(x, x E spełniający warunki 1 3 podamy w trzech krokach. 1 Konstrukcja przestrzeni z miarą (E, G F, m F dla dowolnej skończenie wymiarowej przestrzeni F E. 2 Korzystając kroku pierwszego podamy konstrukcję przestrzeni (E, G, m, gdzie m jest miarą skończenie addytywną. G F, 3 ozszerzenie (E, G, m do przestrzeni z miarą (E, A, µ. Najtrudniejszy jest krok ostatni. Podamy teraz kolejne kroki konstrukcji 1 Niech F E i niech dim(f = n. Przez F a oznaczmy anihilator F. jest to podprzestrzeń E okreslona wzorem F a = {x E : y, x = 0 dla wszystkich y F }. Przestrzeń ilorazowa E /F a jest izomorficzna z F ( = F, w szczególności jest n - wymiarowa. Elementy E /F a możemy traktować jako funkcjonały na F określając je wzorem f, [x ] F := f, x, f F. Zauważmy poprawność tej definicji (nie zależy od wyboru reprezentanta klasy abstrakcji. zeczywiście, gdy y [x ], to y x F a. Stąd dla f F mamy f, [x ] F = f, y = f, x. Oznaczmy przez C F obcięcie C do F. Wtedy C F może być uważana jako funkcja charakterystyczna rozkładu m F na F tj. na E /F a, czyli C F (f = e i f,[x ] F d m F ([x ], f F. E /F a Zatem mamy przestrzeń probabilistyczną (E /F a, B F, m F, gdzie B F jest borelowską σ - algebrą na E /F a tzn. jest ona przeniesiona z n za pomocą izomorfizmu T : n E /F a, T (a 1,..., a n = a i [e i ],
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 12 gdzie [e i ], i = 1, 2,..., n jest bazą w E /F a. Zatem dla B B( n mamy { } T (B = a i [e i ] : (a 1,..., a n B = {[x ] : ( e 1, [x ] F,..., e n, [x ] F B} B F, gdzie e i, [e j ] = δ ij jest układem biortogonalnym i oczywiście [x ] = e i, x F [e i ]. Niech ρ F : E E /F a będzie odwzorowaniem kanonicznym tj. ρ(x = [x ] = x + F a dla x E. Wtedy ρ 1 F (B F = G F, bo ρ 1 F ({[x ] : ( e 1, [x ] F,..., e n, [x ] F B} = {x E : ( e 1, x,..., e n, x B} G F. Jeśli teraz A G F, to A = ρ 1 F (B dla pewnego B B F. Możemy teraz określić otrzymując przestrzeń z miarą (E, G F, m F. m F (A = m F (B 2 Niech F i G będą skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami E oraz niech F G. Wtedy odwzorowanie (G a F a T : E /G a E /F a x + G a x + F a, jest dobrze określone, bo T (x + G a = x + F a = F a dla x G a. Ponadto dla B B F mamy m F (B = m G (T 1 B, tzn. m F = m G T 1. zeczywiście, dla x F mamy C F (x = C G (x. Z twierdzenia Bochnera C F (x = e i x,[y ] F d m F ([y ]. E /F a Z drugiej strony majac na uwadze, że x, T ([y ] F = x, [y ] G dla x F otrzymujemy C G (x = e i x,[y ] G d m G ([y ] = E /G a T 1 (E /F a e i x,t ([y ] F d m G ([y ] =
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 13 E /F a e i x,[y ] F d( m F T 1 ([y ]. Porównując oba równania i korzystając z jednoznaczności miary w twierdzeniu Bochnera otrzymujemy równość m F = m G T 1. Tak więc rodzina miar Stąd rodzina miar m F, F E - podprzestrzeń skończenie wymiarowa jest zgodna tzn. jeśli F, G E oraz F G są podprzestrzeniami skończenie wymiarowymi i A G A G G, to m F (A = m G (A. zeczywiście, ponieważ T ρ G = ρ F, więc jeśli A = ρ 1 F (B, gdzie B B F, to Zatem A = ρ 1 F (B = ρ 1 G (T 1 (B. m F (A = m F (B = m G (T 1 (B = m G (A. Możemy teraz określić miarę (skończenie addytywną na G. Niech A G. Wtedi istnieje F E skończenie wymiarowa, taka, że A G F. Definiujemy m(a = m F (A Z rozważań powyżej definicja ta jest poprawna. Pokażemy, że m jest skończenie addytywna. Niech A 1,..., A n G będą parami rozłączne. Wtedy istnieją skończenie wymiarowe podprzestrzenie F 1,..., F n E takie, że A i G Fi dla i = 1, 2,..., n. Niech Wtedy A i G F dla i = 1, 2,..., n oraz Ponieważ m F jest addytywna na G F, więc F = span{f 1,..., F n } m Fi (A = m F (A, i = 1, 2,..., n. ( n m ( n A i = m F A i = m F (A i = m(a i. Mamy więc określoną przestrzeń (E, G, m ze skończenie addytywną miarą m. 3 Chcemy rozszerzyć m do miary µ na przestrzeni (E, A. Jak wiadomo takie rozszerzenie jest możliwe jeśli m jest σ - addytywna na G. Okazuje się, że warunki 1 3 nałożone na funkcjonał C(x implikują tę σ addytywność. W dowodzie skorzystamy z dwóch lematów. Lemat 1.18 Niech µ będzie rozkładem na n i niech E oznacza elipsoidę tj. { z = (z 1,..., z n n : a 2 i zi 2 c 2}.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 14 Jeśli funkcja charakterystyczna ϕ rozkładu µ spelnia warunek to dla kuli K(0, r o promieniu r zachodzi ϕ(z 1 < ε, z E, µ(k(0, r < β 2( ε + 2 c 2 r 2 gdzie stała β jest dodatnia i niezależna od n i r. Dowód. Mamy następujące oszacowanie K(0,r I := n [ ( 1 exp 1 2r 2 Całkę I możemy zapisać w postaci [ ( 1 exp 1 2r 2 x 2 i ( I = 1 exp 1 n 2r 2 x 2 i a 2 i, ] dµ(x ] dµ(x [1 exp( 1/2] µ(k(0, r. x 2 i dµ(x i traktując wyrażenie pod całką jako funkcję charakterystyczną rozkładu normalnego otrzymujemy ( I = 1 (r 2 /2π n/2 exp i n n ε + (r 2 /2π n/2 2 c 2 ( x i z i exp r2 2 ( (r 2 /2π n/2 [1 ϕ(z] exp r2 n 2 (r 2 /2π n/2 + < E E E ( a 2 i zi 2 exp ( r2 2 z 2 j z 2 j z 2 j dz dz < ε + 2 c 2 r 2 dz dµ(x = ze wzoru na momenty drugiego rzędu rozkładu normalnego. Porównując otrzymane oszacowanie z otrzymanym powyżej dostajemy tezę lematu ze stałą β 2 = [1 exp( 1/2] 1. a 2 i
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 15 Lemat 1.19 Dostatecznym warunkiem na to aby skończenie addytywna miara m była rozszerzalna do σ - addytywnej miary na (E, A jest: dla każdego ε > 0 istnieje naturalna liczba n i kula S n = {x E : x n r n } tak, że dla dowolnego A G rozłącznego z S n mamy µ(a = m(a < ε. Dowód. Przez sprzeczność (reductio ad absurdum. Załóżmy, że {A n } n 1 G sa parami rozłączne oraz A n = E. n=1 Ponieważ m jest skończenie addytywna, to dla każdego n 1 Zatem ( n m A i = m(a i 1. m(a i 1. Załóżmy, że powyższa nierówność jest ostra. Wtedy istnieje ε > 0 takie, że m(a i = 1 3ε < 1. Dla każdego A n możemy znaleźć otwarty cylinder U n (jego zbiór borelowski B jest otwarty taki, że A n U n oraz (z regularności m na cylindrach o ustalonej bazie Oczywiste jest zawieranie m(u n \ A n < ε 2 n, n 1. S n E = U i. Ponieważ S n jest słabo zwarte, więc istnieją U i1,..., U ik Oczywiste jest, że U G oraz S n U := k U ij. 1 = m(u U = m(u + m(u, m(u takie, że k m(a ij + ε, m(u < ε.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 16 Mamy więc k 1 = m(u + m(u m(a ij + ε + ε (1 3ε + 2ε = 1 ε, co daje sprzeczność. Twierdzenie 1.20 Niech C(x, x E (E przestrzeń przeliczalnie Hilbertowska będzie funkcjonałem takim, że 1. Jest ciągły w normie m dla pewnego m 0. 2. Jest dodatnio określony. 3. C(0 = 1. Jeśli dla pewnwgo n > m injekcja T n,m : E n E m jest operatorem Hilberta-Schmidta, to istnieje jedyne rozszerzenie m do miary µ na (E, A i miara µ jest skoncentrowana na E n. Dowód. Z założenia dla każdego ε > 0 istnieje kula K(0, c taka, że C(x 1 < ε 2β 2, x K(0, c, gdzie β jest z lematu 1.18. Także z założenia istnieje kula V E n o środku w 0 taka, że T n,m (V U. Pokażemy, że kula S n w E n o środku w 0 i promieniu r = 2β T n,m 2 / c 2 ε jest kulą spełniającą założenia lematu 19. Niech A G F i A S n =. Wtedy istnieje B B F taki, że A = ρ 1 F (B oraz B ρ F (S n =. Niech x V F i niech dim F = k. Niech e 1,..., e k będzie bazą w F ortonormalną w normie n. Ponieważ normy na przestrzeniach skończenie wymiarowych są równoważne, więc istnieje α > 0 takie, że y n α 2 y m, y F. Zatem 1 α 2 k e i, x 2 e i 2 m 1 k α 2 e i, x 2 = 1 α 2 x 2 n x 2 m c 2. Stąd elementy V F mogą być opisane we współrzędnych jako elementy elipsoidy k a 2 i zi 2 c 2,
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 17 gdzie a i = e i m /α. Zauważmy, że k a 2 i = 1 α 2 Z leamtu 1.19 mamy zatem k e i 2 m k e i 2 m T n,m 2 2. m F (ρ(s n < β 2( ε 2β 2 + 2 c 2 r 2 k a 2 i < ε 2 + 2β2 c 2 r 2 T m,n 2 2 = ε. Wniosek 1.21 (Twierdzenie Minlosa Niech będzie przestrzenią nuklearną, a C(x, x E będzie funkcjonałem charakterystycznym tj. funkcjonałem spelniającym warunki 1 3. Wtedy istnieje dokładnie jedna miara µ na (E, A taka, że C(x = e i x,x dµ(x, x E. E Definicja 1.22 Niech C X (x, x E będzie funkcjonałem charakterystycznym uogólnionego procesu {X(x} x E. Wtedy miara µ na (E, A z twierdzenia Minlosa nazywana jest rozkładem uogólnionego procesu {X(x} x E. Literatura 1. Hida T., Brownian motion, Springer 1981. 2. Maurin K., Analiza, cz.2, PWN 1971.