Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda z funkcji odwzorowuje R m R Przykład Niech f : R 2 R 3 będzie dana wzorem f (x, y) = (x y, 2x 3 xy, y + 3), wtedy f 1 (x, y) = x y, f 2 (x, y) = 2x 3 xy, f 3 (x, y) = y + 3

Odwzorowania liniowe Odwzorowanie (L 1, L 2,, L n ) = L: R m R n nazywamy liniowym, gdy każde z odwzorowań L i, i = 1, 2,, n, jest następujacej postaci To oznacza, że L i (x 1, x 2,, x m ) = a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a im x m L(x 1, x 2,, x m ) = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1m x m a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2m x m a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nm x m

Odwzorowania liniowe Cd Możemy to krócej zapisać: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m L(x 1, x 2,, x m ) = a n1 a n2 a nm x 1 x 2 x m Macierz a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm nazywamy macierza odwzorowania liniowego L Najkrótszy zapis: L(x) = Ax

różniczka odwzorowania Dany jest zbiór otwarty U R m, punkt p 0 U i odwzorowanie f : U R n Mówimy, że odwzorowanie f jest różniczkowalne w punkcie p 0, gdy istnieje odwzorowanie liniowe d p0 f : R m R n takie, że f (p) f (p 0 ) d p0 f (p p 0 ) lim = 0 p p 0 p p 0 Różniczka (jako odwzorowanie ) jest postaci d p0 f (h) = A h, dla pewnej macierzy A R nm (o n wierszach i m kolumnach)

pochodna kierunkowa Dany jest zbiór otwarty U R m, punkt p 0 U i odwzorowanie f : U R n Mówimy, że odwzorowanie f ma w punkcie p 0 pochodna kierunkowa w kierunku wektora a R m \ {0}, gdy istnieje granica : lim t 0 f (p 0 + at) f (p 0 ) t Granicę tę oznaczamy symbolem f a(p 0 ) i nazywamy pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie p 0 w kierunku wektora a

Pochodne czastkowe Niech f = (f 1, f 2,, f n ): U R n, pochodna kierunkowa funkcji f i w kierunku wektora (0, 0,, 0, 1, 0,, 0)(1 na k-tym miejscu; taki wektor oznaczać będziemy e k ) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f i względem k-tej zmiennej i oznaczamy f i x k Tak więc, dla p = (x 1, x 2,, x m ), f i f i (x 1, x 2,, x k + t,, x n ) f i (x 1, x 2,, x n ) (p) = lim x k t 0 t Mamy też, gdy istnieje f e k (p), to zachodzi wzór f e k (p) = ( f1 x k (p), f 2 x k (p),, f n x k (p) W szczególności, gdy n = 1 (f : R m R), to mamy f e k (p) = f x k (p) )

Postać różniczki-macierz pochodnych czastkowych Jeśli odwzorowanie f = (f 1, f 2,, f n ): U R n jest różniczkowalne w punkcie p U R m, to dla dowolnego h = (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi wzór f 1 x 1 (p) f 2 d p f (h) = x 1 (p) f n x 1 (p) f 1 f 1 x 2 (p) x m (p) f 2 f x 2 (p) 2 x m (p) f n f x 2 (p) n x m (p) h 1 h 2 h m Macierz ta oznaczmy f (p) Jeżeli n = 1 (czyli f : R m U R), to ta macierz jest wektorem Nazywamy ja (go) gradientem funkcji f w punkcie p i oznaczamy (gradf )(p) Tak więc: (gradf )(p) = ( f x 1 (p), f f x 2 (p),, x m (p) )

Pochodne czastkowe wyższych rzędów Rozważmy funkcję f : R 3 R dana wzorem f (x, y, z) = xy 2 z 3 Wówczas f x (x, y, z) = y 2 z 3, f y (x, y, z) = 2xyz3, f z (x, y, z) = 3xy 2 z 2 Z funkcji tych możemy znowu obliczać pochodne czastkowe otrzymujac: (x, y, z) = 0, x 2 2 f y x (x, y, z) = 2yz3, x y (x, y, z) = 2yz3, 2 f y 2 (x, y, z) = 2xz3, x z (x, y, z) = 3y 2 z 2, I dalej, np 3 f y z x (x, y, z) = 6yz2, z x (x, y, z) = 3y 2 z 2, z y (x, y, z) = 6xyz2, y z (x, y, z) = 6xyz2, 2 f z 2 (x, y, z) = 6xy 2 z 3 f y 2 z (x, y, z) = 6xz2

Ekstrema funkcji wielu zmiennych Niech U R m będzie zbiorem otwartym, f : U R Funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne, gdy f (p) f (p 0 ) dla p z pewnego otoczenia punktu p 0 (maksimum lokalne), lub f (p) f (p 0 ) dla p z pewnego otoczenia punktu p 0 (minimum lokalne)

Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego Jeżeli f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne i jest w tym punkcie różniczkowalna, to dla każdego i = 1, 2,, m f x i (p 0 ) = 0

Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum Załóżmy, że f ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne rzędu drugiego, f x i (p 0 ) = 0, dla i = 1, 2,, m Jeśli dla dowolnych niezerowych wektorów (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi nierówność: m (p 0 )h i h j > 0 x i x j i,j=1 to ma w punkcie p 0 minimum lokalne; jeśli dla dowolnych niezerowych wektorów (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi nierówność: m i,j=1 x i x j (p 0 )h i h j < 0 to ma w punkcie p 0 maksimum lokalne;

cd jesli natomiast istnieja niezerowe wektory h = (h 1, h 2,, h m ) i k = (k 1, k 2,, k m ) takie, że p 0 + h, p 0 + k U i m i,j=1 m i,j=1 x i x j (p 0 )h i h j < 0, x i x j (p 0 )k i k j > 0 to f nie ma ekstremum w punkcie p 0

wyznacznik macierzy kwadratowej Wyznacznik macierzy kwadratowej definiujemy rekurencyjnie w następujacy sposób: det[a] = a, a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m det = a n1 a n2 a nm a 12 a 13 a 1m a 22 a 23 a 2m n = ( 1) k+1 a k1 det a k 1 2 a k 1 3 a k 1 m k=1 a k+1 2 a k+1 3 a k+1 m a n2 a n3 a nm

cd w szczególności: det a b c d e f g h i ( a b det c d ) = ad bc = aei + dhc + gbf gec hfa idb

inny warunek wystarczajacy istnienia ekstremum Wprowadźmy następujace oznaczenia: W (p 0 ) = det x1 2 (p 0 ) x 1 x 2 (p 0 ) x 1 x m (p 0 ) x 2 x 1 (p 0 ) x m x 1 (p 0 ) i (p 0 ) = det (p x2 2 0 ) 2 f x 2 x m (p 0 ) x m x 2 (p 0 ) 2 f (p xm 2 0 ) (p x1 2 0 ) 2 f x 1 x i (p 0 ) x i x 1 (p 0 ) 2 f xi 2 (p 0 ),,

cd Załóżmy, że f ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne rzędu drugiego, f x i (p 0 ) = 0, dla i = 1, 2,, m Jeżeli dla każdego i = 1, 2, m mamy i (p 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 minimum lokalne; jeśli ( 1) i i (p 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 maksimum lokalne

To kryterium dla m = 2 Załóżmy, że f ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne rzędu drugiego, f x i (p 0 ) = 0, dla i = 1, 2 Jeżeli mamy W (p 0 ) = 2 (p 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne; jeśli 2 f (p x1 2 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 minimum lokalne a jeśli 2 f (p x1 2 0 ) < 0 to f ma w punkcie p 0 maksimum lokalne

Twierdzenie o funkcji uwikłanej Niech U R 2 będzie zbiorem otwartym, a F : U R funkcja o ciagłych pochodnych czastkowych w zbiorze U Jeśli w pewnym punkcie (x 0, y 0 ) U mamy F(x 0, y 0 ) = 0, oraz F y (x 0, y 0 ) 0, to istniej taka δ > 0 i istnieje dokładnie jedna taka funkcja y : (x 0 δ, x 0 + δ) R różniczkowalna, o ciagłej pochodnej, że y(x 0 ) = y 0 oraz F(x, y(x)) = 0 dla wszelkich x (x 0 δ, x 0 + δ) Ponadto y (x) = F x F y (x, y(x)) (x, y(x)), x (x 0 δ, x 0 + δ)

Całka oznaczona Riemanna w przestrzeni R n Definiujac całkę oznaczona Riemanna w przestrzeni R n postępujemy podobnie, jak przy definicji całki Riemanna w R Wprowadzamy kolejno pojęcia: -przedziału w R n ([a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ]) - podziału i podpodziału przedziału P, -sumy aproksymacyjnej dolnej i górnej, - całki górnej i dolnej, i wreszcie, gdy obie całki były równe -całki Riemanna z funkcji ograniczonej określonej na przedziale w R n Również określonej na pewnym podzbiorze przedziału, (dookreślamy wtedy funkcję f na cały przedział P, zadajac 0, tam, gdzie nie była zdefiniowana)

Sumy aproksymacyjne górna i dolna Niech f : P R będzie funkcja ograniczona Niech Π = {P 1, P 2,, P m } będzie podziałem przedziału P Oznaczmy M k = sup f (P k ), m k = inf f (P k ) Liczbę: s(f, P, Π) = m m k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna dolna, a liczbę S(f, P, Π) = m M k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna górna funkcji f na przedziale P dla podziału Π

Całka górna i dolna Uwaga s(f, P, Π) S(f, P, Π) Jeśli Σ jest podpodziałem podziału Π to, s(f, P, Π) s(f, P, Σ) S(f, P, Σ) S(f, P, Π) Całka górna i dolna z funkcji f Liczbę I(f, P) = sup s(f, P, Π) nazywamy całka dolna funkcji f na przedziale P, a liczbę I(f, P) = inf S(f, P, Π) nazywamy całka górna funkcji f na przedziale P, supremum, i infimum brane jest po wszystkich podziałach przedziału P

Całka Riemanna funkcji f na przedziale P Jezeli I(f, P) = I(f, P), to, ta wspólna wartość nazywamy całka Riemanna funkcji f na przedziale P i zapisujemy f (x) dx, lub f (x 1, x 2, x n ) dx 1 dx 2 dx n, P mówimy wtedy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna Uwaga Funkcje ciagłe sa całkowalne

Zamiana na całkę iterowana Niech P R 2 będzie prostokatem postaci P = {(x, y) : a x b, c y d}, a f : P R funkcja ograniczona Jeśli istnieja całki: f (x, y)dxdy, d c b a P f (x, y)dy, f (x, y)dx, x [a, b], y [c, d], to istnieja całki iterowane i sa równe całce z funkcji f na przedziale P, tzn ( b ) d ( d ) b f (x, y)dy dx = f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy a c P c a

Obszar normalny Zbiór D R 2 nazywamy obszarem normalnym względem osi OX, jeśli istnieja takie funkcje ciagłe φ, ψ : [a, b] R, φ(x) < ψ(x), x [a, b], że D = {(x, y) : a x b, φ(x) y ψ(x)} Zbiór D R 2 nazywamy obszarem normalnym względem osi OY, jeśli istnieja takie funkcje ciagłe φ, ψ : [c, d] R, φ(y) < ψ(y), y [c, d], że D = {(x, y) : c y d, φ(y) x ψ(y)}

zamiana całki po obszarze normalnym na całkę iterowana Jeśli D jest obszarem normalnym względem osi OX, D = {(x, y) : a x b, φ(x) y ψ(x)}, a funkcja f jest ciagła, to f (x, y)dxdy = D b a ( ) ψ(x) f (x, y)dy dx φ(x) Jeśli D jest obszarem normalnym względem osi OY, D = {(x, y) : c y d, φ(y) x ψ(y)}, a funkcja f jest ciagła, to f (x, y)dxdy = D d c ( ) ψ(y) f (x, y)dx dy φ(y)

Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej Załóżmy, że G R 2 jest zbiorem otwartym, a G oraz D R 2 sa oszarami normalnymi Załóżmy dalej, że odwzorowanie F : G R 2 dane wzorem F (u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v)), spełnia następujace założenia: F( ) = D, funkcje φ, ψ maja ciagłe pochodne czastkowe w każdym punkcie obszaru, odwzorowanie F jest różnowartościowe na wnętrzu obszaru jakobian odwzorowania F, to jest funkcja J(u, v) := det ( φ u ψ u jest różny od zera we wnętrzu φ (u, v) ψ (u, v) v v ) (u, v) (u, v)

cd Jeśli funkcja f : D R jest ciagła, to zachodzi równość: f (x, y)dxdy = f (φ(u, v), ψ(u, v)) J(u, v) dudv D

Zamiana zmiennych na współrzędne biegunowe = [0, r] [0, 2π] D = K (0, r) φ(u, v) = u cos v, ψ(u, v) = u sin v, czyli F (u, v) = u cos v, u sin v A więc K (0,r) J(u, v) := det ( φ u ψ u φ (u, v) ψ (u, v) v ( cos v u sin v = det sin v u cos v f (x, y)dxdy = [0,r] [0,2π] v ) (u, v) = (u, v) ) = u f (u cos v, u sin v)u dudv