Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017
część 1: Charakterystyki częstotliwościowe
Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych. W analizie układów liniowych charakterystyki częstotliwościowe są wykorzystywane do badania m.in. stabilności układów, a także określonych własności dynamicznych układów. Określają w funkcji częstotliwości: stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych: charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykres Bode a)
Charakterystyki częstotliwościowe Rysunek 1 : Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych u(t) = A 1 sin[ωt] (1) y(t) = A 2 sin[ω(t t ϕ )] (2) gdzie: A i - amplituda sygnału, ω - częstotliwość sygnału (stała dla we/wy), t ϕ - opóźnienie fazy sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego. Przesunięcie fazowe: odpowiednio t ϕ < 0 - ujemne przesunięcie fazowe, t ϕ > 0 - dodatnie przesunięcie fazowe,
Charakterystyki częstotliwościowe Rysunek 2 : Sygnał wejściowy Rysunek 3 : Sygnał wyjściowy, ujemne przesunięcie fazowe
Charakterystyki częstotliwościowe Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego można wyrazić jako przesunięcie w czasie o wartość t ϕ i wtedy sygnał wyjściowy opisywany jest funkcją lub jako przesunięcie kątowe y(t) = A 2 sin[ω(t t ϕ )] (3) ϕ(ω) = ωt ϕ (4) wtedy y(t) = A 2 sin[ωt ϕ] (5)
Charakterystyki częstotliwościowe Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnały sinusoidalnie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmową G(jω). Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniem Fouriera, które funkcji czasu f (t) przyporządkowuje transformatę F (jω) (gdzie j - jednostka urojona) zgodnie z zależnością zwaną całką Fouriera: F (jω) = f (t)e jωt (6) Transmitancja widmowa Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego. G jω = y(jω) x(jω) (7)
Transmitancja widmowa Między transmitancją widmową, a transmitancją operatorową istnieje formalny związek G(jω) = G(s) s=jω (8) wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace a i Fouriera. Przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace a dla s = jω.
Transmitancja widmowa Z własności transformaty Laplace a - twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej L{f (t + τ)} = L{f (t)}e τs (9) można napisać transmitancję widmową obiektu w przypadku sygnału sinusoidalnego na jego wejściu G(s) = L {A 2(ω)sin[ω(t + t ϕ )]} L {A 1 sin[ω(t)]} ponieważ = A 2(ω) L {sin[ω(t)]} e tϕs A 1 L {sin[ω(t)]} = A 2(ω) A 1 e tϕs (10) G(jω) = Y (jω) U(jω), G(jω) = G(s) s=jω, t ϕ = ϕ(ω) ω (11) to G(jω) = A 2(ω) A 1 e tϕs s=jω = A 2(ω) e tϕjω = A 2(ω) e jϕ(ω) (12) A 1 A 1
Transmitancja widmowa Transmitancję widmową zapisuje się następująco gdzie: M(ω) = A2(ω) A 1 G(jω) = A 2(ω) A 1 e jϕ(ω) = M(ω)e jϕ(ω) (13) - moduł transmitancji widmowej, ϕ(ω) - argument transmitancji widmowej. W transmitancji można wyróżnić 2 składowe gdzie: G(jω) = M(ω)e jϕ(ω) = P(ω) + jq(ω) (14) P(ω) - część rzeczywista transmitancji widmowej Q(ω) - część urojona transmitancji widmowej
Charakterystyka amplitudowo-fazowa Charakterystyka amplitudowo-fazowa Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona w płaszczyźnie zmiennej zespolonej, która jest miejscem geometrycznym końca wektora transmitancji widmowej G(jω) przy zmianach ω = 0 M(ω) = [P(ω)] 2 + [Q(ω)] 2 (15) ( ) Q(ω) ϕ(ω) = arctg P(ω) (16) Rysunek 4 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa P(ω) = M(ω) cos[ϕ(ω)] (17) Q(ω) = M(ω) sin[ϕ(ω)] (18) M(ω) = P(ω) cos[ϕ(ω)] = Q(ω) sin[ϕ(ω)] (19)
Charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyki częstotliwościowe Częstotliwościowe charakterystyki amplitudowa i fazowa są przedstawiane na dwóch oddzielnych wykresach: charakterystyka amplitudowa L(ω) = G(jω) w zależności od częstości ω, charakterystyka fazowa ϕ = arg G(ω) w zależności od częstości ω. Moduł logarytmiczny (jednostka - decybel) Rysunek 5 : Charakterystyki logarytmiczne L(ω) = 10log 10 M 2 (ω) = = 20 log M(ω)[dB] (20)
część 2: Podstawowe człony dynamiczne
Wstęp W złożonych układach automatyki można często wyodrębnić szereg najprostszych niepodzielnych elementów funkcjonalnych. Ich właściwości można przyporządkować z pewnym przybliżeniem kilku podstawowym modelom matematycznym. Abstrakcyjne elementy o właściwościach odpowiadających tym modelom nazywamy podstawowymi (elementarnymi) liniowymi członami dynamicznymi. Opis liniowych członów dynamicznych: równanie ruchu, transmitancja operatorowa, charakterystyka statyczna, odpowiedź na wymuszenie skokowe, transmitancja widmowa, charakterystyka amplitudowo - fazowa (Nyquista), logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa (Bodego),
Podstawowe człony dynamiczne y(t) = ku(t) (21) człon proporcjonalny (bezinercyjny) T dy(t) + y(t) = ku(t) (22) człon inercyjny T dy(t) T dy(t) T 2 d 2 y(t) = u(t), lub dy(t) y(t) = T du(t) + y(t) = T d du(t) = ku(t) (23) (24) (25) +2ξT dy(t) +y(t) = ku(t) (26) człon całkujący człon różniczkujący idealny człon różniczkujący rzeczywisty człon oscylacyjny, jeżeli 0 < ξ < 1 y(t) = u(t T 0 ) (27) człon opóźniający
Elementy bezinercyjne Rysunek 6 : Przykłady elementów bezinercyjnych.: a) czwórnik, b) dźwignia, c) dźwig hydr. a) U 2 (t) = R2 R 1+R 2 U 1 (t) b) y(t) = b a x(t) c) F 2 (t) = d 2 2 d 2 1 F 1 (t) Równanie ruchu y(t) = ku(t) (28) gdzie: k - wzmocnienie
Człon proporcjonalny Równanie dynamiki y(t) = ku(t) (29) Charakterystyka statyczna y = ku (30) Transmitancja operatorowa Rysunek 7 : Charakterystyka statyczna członu proporcjonalnego G(s) = Y (s) U(s) = k (31) Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s k] = ku st (32) Rysunek 8 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu proporcjonalnego
Człon proporcjonalny Transmitancja widmowa G(jω) = G(s) s=jω = k (33) P(ω) = k, Q(ω) = 0 (34) M(ω) = k (35) L(ω) = 20 log k[db] (36) ϕ(ω) = 0 (37) Rysunek 9 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Człon proporcjonalny Charakterystyka amplitudowa L(ω) = 20 log k[db] (38) Charakterystyka fazowa ϕ(ω) = 0 (39) Rysunek 10 : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Elementy inercyjne Rysunek 11 : Element inercyjny gdzie: p 1 - ciśnienie przed zwężką, p 2 - ciśnienie w zbiorniku, V - objętość zbiornika. Założenia: zmiany ciśnienia w zbiorniku są powolne i nie powodują zmian jego temperatury (zmiany ciśnienia wg przemiany izotermicznej), w zwężce występuje przepływ laminarny.
Element inercyjny - przykład Równanie stanu gazu (prawo Clapeyrona): pv = mrθ (40) gdzie: m - masa powietrza, R - stała gazowa, Θ - temperatura. zakładając Θ = const (41) dm(t) G = dm(t) m = p 2(t)V RΘ = V RΘ dp 2 (t) (42) (43) = α(p 1 (t) p 2 (t)) (44) gdzie: G - strumień masy, α - współczynnik proporcjonalności. ostatecznie V dp 2 (t) = α(p 1 (t) p 2 (t)) = αp 1 (t) αp 2 (t) (45) RΘ V dp 2 (t) + p 2 = p 1 (46) αrθ
Człon inercyjny Równania ruchu przykładowych elementów inercyjnych Rysunek 12 : Elementy inercyjne Równanie ruchu V dp a) 2(t) αrθ + p 2 = p 1 b) J R c) L R dω(t) d t + ω(t) = 1 R M(t) du 2(t) + U 2 (t) = U 1 (t) T dy(t) + y(t) = ku(t) (47) gdzie: T - stała czasowa.
Człon inercyjny Równanie dynamiki T dy(t) +y(t) = ku(t) (48) Charakterystyka statyczna y = ku (49) Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = k Ts + 1 (50) Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 1 k [u st s Ts + 1 ] ) = u st k (1 e t T (51) Rysunek 13 : Charakterystyka statyczna członu inercyjnego Rysunek 14 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu inercyjnego
Człon inercyjny Rysunek 15 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu inercyjnego
Człon inercyjny Transmitancja widmowa G(jω) = G(s) s=jω = k Ts + 1 k s=jω = = P(ω) + jq(ω) (52) Tjω + 1 P(ω) = k kt ω T 2 ω 2, Q(ω) = + 1 T 2 ω 2 + 1 (53) Rysunek 16 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa, ω s - częstotliwość sprzęgająca
Człon inercyjny charakterystyka amplitudowa k M(ω) = (54) T 2 ω 2 + 1 L(ω) = 20 log k 20 log T 2 ω 2 + 1[dB] (55) dla dla ω 1 = ωs T (56) L(ω) = 20 log k[db] (57) ω 1 = ωs (58) T L(ω) = (20 log k 20 log T 2 ω 2 + 1)[dB] (59) charakterystyka fazowa ϕ = arctg(t ω) (60) Rysunek 17 : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Elementy całkujące Rysunek 18 : Elementy całkujące
Elementy całkujące a) { } 2 Q = αb ρ (p z p s ) x(t) = Bx(t) (61) Równanie ruchu Q 1 = Q 2 = Bx(t) = A dy(t) T dy(t) = u(t) (65) (62) A dy(t) lub = x(t) (63) dy(t) B = ku(t) (66) b) T ϕ(t) = ω x(t) (64) r
Człon całkujący Równanie dynamiki T dy(t) = u(t) (67) Charakterystyka statyczna u = 0 (68) Transmitancja operatorowa Rysunek 19 : Charakterystyka statyczna członu całkującego G(s) = Y (s) U(s) = 1 Ts (69) Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s 1 Ts ] = u t st T (70) Rysunek 20 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu całkującego
Człon całkujący Transmitancja widmowa G jω = G(s) s=jω = 1 Ts s=jω = 1 Tjω = j 1 T ω P(ω) = 0, Q(ω) = 1 T ω (71) (72) Rysunek 21 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu całkującego
Człon całkujący M(ω) = 1 T ω charakterystyka amplitudowa L(ω) = 20 log 1 T ω = 20 log T ω[db] (73) (74) charakterystyka fazowa ϕ(ω) = arctg 1 T ω 0 (75) = arctg( ) = π 2 Rysunek 22 : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Elementy różniczkujące - idealne a) Prądnica tachometryczna Rysunek 23 : Element różniczkujący - prądnica tachometryczna b) Dozownik cieczy U y (t) = dθ(t) (76) Rysunek 24 : Element różniczkujący - dozownik cieczy Q(t) = A dx(t) (77)
Człon różniczkujący - idealny Równanie dynamiki y(t) = T d du(t) Charakterystyka statyczna (78) y = 0 (79) Rysunek 25 : Charakterystyka statyczna członu różniczkującego idealnego Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = T ds (80) Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s T ds] = u st T d δ(t) (81) Rysunek 26 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego idealnego
Człon różniczkujący - idealny Transmitancja widmowa G jω = T d s s=jω = jt d ω (82) P(ω) = 0, Q(ω) = T d ω (83) Rysunek 27 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego idealnego
Człon różniczkujący - idealny charakterystyka amplitudowa M(ω) = T d ω (84) L(ω) = 20 log T d ω[db] (85) charakterystyka fazowa ϕ(ω) = arctg T dω 0 (86) = arctg( ) = π 2 Rysunek 28 : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Elementy różniczkujące - rzeczywiste a) amortyzator [ du(t) A dy(t) ] = Q = k p (87) pa = Cy(t), p = C A y (88) A 2 dy(t) + y(t) = A2 du(t) kc kc T dy(t) + y(t) = T d du(t) (89) (90) Rysunek 29 : Element różniczkujący (rzeczywisty) - amortyzator
Elementy różniczkujące - rzeczywiste b) czwórnik RC Rysunek 30 : Element różniczkujący (rzeczywisty) - czwórnik RC RC du 2(t) T dy(t) + U 2 (t) = RC du 1(t) + y(t) = T d du(t) (91) (92)
Człon różniczkujący - rzeczywisty Równanie dynamiki T dy(t) du(t) + y(t) = T d, (93) k d = T d T Charakterystyka statyczna (94) y = 0 (95) Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = T d s Ts + 1 Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s (96) T d s Ts + 1 ] = T d ust T e T t Rysunek 31 : Charakterystyka statyczna członu różniczkującego rzeczywistego = u stk d e t T (97) Rysunek 32 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego rzeczywistego
Człon różniczkujący - rzeczywisty Transmitancja widmowa G jω = T ds Ts + 1 s=jω = T djω Tjω + 1 P(ω) = T dt ω 2 T 2 ω 2 + 1, Q(ω) = T dω T 2 ω 2 + 1 (98) (99) Rysunek 33 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego rzeczywistego
Człon różniczkujący - rzeczywisty charakterystyka amplitudowa M(ω) = T d ω T 2 ω 2 + 1 (100) L(ω) = [20 log T d ω 20 log T 2 ω 2 + 1] (101) charakterystyka fazowa ϕ(ω) = arctg 1 T ω = π arctg(t ω) 2 (102) Rysunek 34 : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Elementy oscylacyjne Rysunek 35 : Elementy oscylacyjne: a) siłownik pneumatyczny, b) czwórnik RLC
Elementy oscylacyjne a) ustawnik pozycyjny m d 2 y(t) 2 + B dy(t) + Cy(t) = Ap(t) (103) m d 2 y(t) C 2 + B dy(t) + y(t) = A p(t) (104) C C Równanie ruchu T 2 d 2 y(t) 2 + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t) (105)
Elementy oscylacyjne b) czwórnik RLC U 3 (t) = I (t)r (106) di (t) U 4 (t) = L (107) I (t) = C du 2(t) (108) U 1 (t) = U 2 (t) + U 3 (t) + U 4 (t) (109) LC d 2 U 2 (t) 2 + RC du 2(t) + U 2 (t) = U 1 (t) (110) Równanie ruchu T 2 d 2 y(t) 2 + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t) (111)
Człon oscylacyjny Równanie ruchu lub T 2 d 2 y(t) 2 1 ω 2 0 d 2 y(t) 2 + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t) (112) + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t) (113) ω 0 d 2 y(t) dy(t) 2 + 2ξω 0 + ω 2 0y(t) = kω0u(t) 2 (114) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω 0 - pulsacja drgań nietłumionych. Charakterystyka statyczna y = ku (115)
Człon oscylacyjny Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = k T 2 s 2 + 2ξTs + 1 (116) Odpowiedź skokowa = ku st [1 G(s) = Y (s) U(s) = kω 2 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 (117) [ y(t) = L 1 1 kω 2 ] 0 u st s s 2 = + 2ξω 0 s + ω 0 1 ( ) ] (118) 1 ξ 2 e ξω0t sin ω 0 1 ξ2 t + φ φ = arctg 1 ξ 2 ξ (119)
Człon oscylacyjny Rysunek 36 : Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego
Człon oscylacyjny Rysunek 37 : Wpływ wartości współczynnika tłumienia ξ na charakter odpowiedzi skokowej członu oscylacyjnego
Człon oscylacyjny Transmitancja widmowa G(jω) = kω2 0 [(ω2 0 ω2 ) j2ξω 0 ω] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (120) P(ω) = Charakterystyka amplitudowa kω 2 0 [(ω2 0 ω2 )] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (121) k[2ξω0 3 Q(ω) = ω] (ω0 2 (122) ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 kω 2 0 M(ω) = (ω0 2 (123) ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 [ ] L(ω) = 20 log kω0 2 20 log (ω 20 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (124) Charakterystyka fazowa ϕ = arctg 2ξω 0ω ω 2 0 ω2 (125)
Człon oscylacyjny Rysunek 38 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa Rysunek 39 : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Element opóźniający Rysunek 40 : Element opóźniający - transporter taśmowy gdzie: Q 1, Q 2 - strumienie masy na początku i na końcu transportera. Q 2 (t) = Q 1 (t T 0 ), T 0 = L v (126) Równanie ruchu y(t) = u(t T 0 ) (127)
Człon opóźniający Równanie dynamiki y(t) = u(t T 0 ) (128) gdzie: T 0 - opóźnienie transportowe. Charakterystyka statyczna Transmitancja operatorowa Rysunek 41 : Charakterystyka y = u (129) statyczna członu opóźniającego G(s) = Y (s) U(s) = e T0s (130) Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s e T0s ] = u st 1(t T 0 ) Rysunek 42 : Odpowiedź na (131) wymuszenie skokowe członu opóźniającego
Człon opóźniający Transmitancja widmowa G(jω) = e jt0ω (132) P(ω) = cos ( T 0 ω) (133) Q(ω) = sin ( T 0 ω) (134) Rysunek 43 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Człon opóźniający Charakterystyka amplitudowa M(ω) = 1, L(ω) = 0 (135) Charakterystyka fazowa ϕ(ω) = T 0 ω (136) Rysunek 44 : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017