Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk
Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch. Wyzncznik mcierzy. Mcierzowy zpis ukldu równń liniowych 5. Ukłd Crmer. Wzory Crmer Ann Rjfur, Mtemtyk
Pojęcie mcierzy Mcierz to prostokątn tblic, w której możn wyróżnić wiersze i kolumny. Przykłd zpisu mcierzy: kolumny, 5 wiersze Mcierze zpisuje się w nwisch kwdrtowych. Ann Rjfur, Mtemtyk
Pojęcie mcierzy cd. N przecięciu wiersz i kolumny zpisny jest element mcierzy. Przykłd:, 5 Elementmi mcierzy mogą być np.: liczby, funkcje, inne mcierze. N kżdym przecięciu wiersz i kolumny zpisny jest pewien element mcierzy. Ann Rjfur, Mtemtyk
Wymir mcierzy Jeśli mcierz m m wierszy i n kolumn, to mówimy, że jest wymiru m n (czyt.: m n n). Przykłd: wiersze, kolumny wymir mcierzy: (czyt.: cztery n dw),, 5 5, Ann Rjfur, Mtemtyk 5
Przykłd Zpisz wymiry dnych mcierzy. 5, 7, 5 8 5 (wektor kolumnowy), (wektor wierszowy) Ann Rjfur, Mtemtyk 6
Oznczeni mcierzy Mcierze ozncz się dużymi litermi: A, B,... lub A, A,... lub [ ij ], i,..., m, j,..., n Ann Rjfur, Mtemtyk 7
Identyfikownie elementów mcierzy A mcierz wymiru m n, ij element mcierzy A leżący n przecięciu i-tego wiersz z j-tą kolumną, gdzie i,..., m, j,..., n. ij numer wiersz numer kolumny Ann Rjfur, Mtemtyk 8
Przykld Dn jest mcierz A. Zpisz kżdy element ij, i,,, j,. A Ann Rjfur, Mtemtyk 9
Przykld, cd. A - Ann Rjfur, Mtemtyk
Przykld Dne są elementy mcierzy B. Zpisz mcierz. b, b -, b, b -, b, b 5, b -7, b Ann Rjfur, Mtemtyk
Przykld, cd. b, b -, b, b -, b, b 5, b -7, b B 5 7 Ann Rjfur, Mtemtyk
Wybrne postcie mcierzy Jeśli w mcierzy A m n liczb wierszy m jest równ liczbie kolumn n, to mcierz A nzywmy kwdrtową stopni n; ozn.: A n Przykłdy mcierzy kwdrtowych: stopni stopni Ann Rjfur, Mtemtyk
Przykłd Zpisz mcierz kwdrtową A n w postci ogólnej. Zpis mcierzy A n n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk
Przekątn mcierzy kwdrtowej W mcierzy kwdrtowej stopni n elementy ii, i,, n tworzą główną przekątną. A n n n n n nn przekątn (główn) mcierzy A n Ann Rjfur, Mtemtyk 5
Postcie mcierzy kwdrtowych cd. Mcierz jednostkow stopni n, ozn. I n : mcierz z jedynkmi n przekątnej głównej orz zermi poz przekątną. ii dl i,,..., n, ij dl i j. A n Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk 6
Równość mcierzy Mcierze A m n orz B p q są równe, gdy ich wymiry są jednkowe orz odpowidjące elementy są równe, czyli m p i n q orz ij b ij dl i,..., m, j,..., n. Ann Rjfur, Mtemtyk 7
Ann Rjfur, Mtemtyk 8 Przykłd Dne są mcierze A, B, C, D. Podj wrunki, przy których zchodzą równości: A B, C D. 5, A 5, z y B C D
Dziłni n mcierzch Dodwnie, odejmownie Mnożenie mcierzy przez liczbę Trnsponownie Mnożenie mcierzy przez mcierz Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk 9
Dodwnie mcierzy A m n B m n C m n c ij ij b ij i,, m, j,, n krótszy zpis: [ ij ] [b ij ] [ ij b ij ] i,, m, j,, n Ann Rjfur, Mtemtyk
Odejmownie mcierzy A m n B m n C m n c ij ij - b ij i,, m, j,, n krótszy zpis: [ ij ] - [b ij ] [ ij - b ij ] i,, m, j,, n Ann Rjfur, Mtemtyk
Mnożenie mcierzy przez liczbę k A m n C m n c ij k ij i,, m, j,, n krótszy zpis: k [ ij ] [k ij ] i,, m, j,, n Ann Rjfur, Mtemtyk
Trnsponownie mcierzy (A m n ) T C n m c ij T ij ji i,, n, j,, m krótszy zpis: [ ij ] T [ T ji] i,, m, j,, n Ann Rjfur, Mtemtyk
Mnożenie mcierzy przez mcierz c ij n k ik A m n B n p C m p b kj i,, m, j,, p krótszy zpis: b [ ij ] [b ij ] [ ik kj n k i,, m, j,, p ] Ann Rjfur, Mtemtyk
Włsność mcierzy I Dl dowolnej mcierzy A m n zchodzą równości: A m n I n A m n I m A m n A m n Ztem mcierz I jest elementem obojętnym mnożeni mcierzy. Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk 5
Kolejność dziłń Mnożenie przed dodwniem i odejmowniem Trnsponownie przed innymi dziłnimi Njpierw dziłni w nwisch Przykłd n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk 6
Prw dziłń n mcierzch Ozn.: A, B, C, D mcierze, k liczb rzeczywist. (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) A B B A Uwg. Mnożenie mcierzy nie jest przemienne. k (A B) (k A) B A (k B) k (A B) k A k B Ann Rjfur, Mtemtyk 7
Prw dziłń n mcierzch, cd. C (A B) C A C B (A B) D A D B D (A B) T A T B T (A B) T B T A T (A T ) T A Ann Rjfur, Mtemtyk 8
Zdni Zdni w pliku Zdni_mcierze_dzilni.pdf Uwg Do dziłń n mcierzch możn wykorzystć funkcje rkusz klkulcyjnego (np. CALC, EXCEL): MACIERZ.ILOCZYN TRANSPONUJ Ann Rjfur, Mtemtyk 9
Wyzncznik mcierzy Ann Rjfur, Mtemtyk
Wyzncznik mcierzy kwdrtowej A n Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej A jest pewn liczb jednozncznie przyporządkown tej mcierzy; ozn.: det A (ng. determinnt), A. Liczbę tą definiuje się podjąc metodę jej obliczeni dl mcierzy kwdrtowej stopni n, przy n,,... Ann Rjfur, Mtemtyk
Oblicznie wyzncznik metod Lplce' Dl n,,... wyzncznik mcierzy A n oblicz się metodą Lplce rozwijni wyzncznik względem wiersz lub kolumny mcierzy A n. Dl n orz n metodę Lplce możn przedstwić w postci uproszczonej. Ann Rjfur, Mtemtyk
Oblicznie det A Dl n : Przykłdy: det [ ] det [-] - det [] Ann Rjfur, Mtemtyk
Oblicznie det A Dl n : det Przykłd: det 8 8 8 6 Ann Rjfur, Mtemtyk
Oblicznie det A - schemt Srrus Dl n wyzncznik możn obliczyć stosując schemt Srrus:. Pod trzecim wierszem przepisć pierwszy wiersz, pod nim drugi. det Ann Rjfur, Mtemtyk 5
Oblicznie det A - schemt Srrus cd. det. Obliczyć iloczyny elementów n przekątnej głównej i dwóch przekątnych równoległych do niej; niech Sg ozncz sumę tych iloczynów. sum S g... Ann Rjfur, Mtemtyk 6
Oblicznie det A - schemt Srrus cd. det sum S d.... Obliczyć iloczyny elementów n drugiej przekątnej i dwóch przekątnych równoległych do niej; niech Sd ozncz sumę tych iloczynów. Ann Rjfur, Mtemtyk 7
Oblicznie det A - schemt Srrus cd.. det A S g S d Uwg Zmist dopisywć dw pierwsze wiersze pod trzecim, możn dopisć dwie pierwsze kolumny z trzecią lub wyznczyć pewne trójkąty w mcierzy. Wszystkie te grficzne sposoby służą ułtwieniu zpmiętni i stosowni podnego dlej wzoru. Ann Rjfur, Mtemtyk 8
Wzór n det A : Oblicznie det A gdzie: S g det S g S d, S d Przykłd n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk 9
Przykłd Oblicz wyzncznik dnej mcierzy. - - det 8 ( 6) 7 S d - 6 S g Ann Rjfur, Mtemtyk
Ann Rjfur, Mtemtyk Oblicznie wyzncznik mcierzy A n Metod Lplce rozwijni wyzncznik względem i-tego (dowolnego) wiersz mcierzy A n ( ) ( ) ( ) in n i in i i i i i i nn n n in i i n A A A det det det det gdzie Aij jest mcierzą, któr powstje po wykreśleniu z mcierzy A i-tego wiersz orz j-tej kolumny.
Ann Rjfur, Mtemtyk Przykłd Oblicz wyzncznik dnej mcierzy A. Polecenie możn wykonć wybierjąc rozwinięcie względem np. drugiego wiersz. A
Ann Rjfur, Mtemtyk Przykłd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) det det det det det
Ann Rjfur, Mtemtyk Przykłd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 6 det det det Odp.: det A 9. 6 - Wyznczniki zkreślonych mcierzy możn policzyć wg schemtu Srrus lub ogólną metodą Lplce'.
* Włsności wyzncznik. Wyzncznik mcierzy trójkątnej górnej (dolnej) jest równy iloczynowi elementów n głównej przekątnej.. Jeżeli mcierz kwdrtow m w pewnym wierszu (lub kolumnie) sme zer, to jej wyzncznik jest równy zeru. Ann Rjfur, Mtemtyk 5
* Włsności wyzncznik cd.. Jeżeli dw wiersze (lub kolumny) mcierzy kwdrtowej są proporcjonlne, to jej wyzncznik jest równy zeru.. Wyzncznik mcierzy jednostkowej dowolnego stopni jest równy jeden. det I n 5. Wyznczniki mcierzy A orz A T są równe. det A det A T Ann Rjfur, Mtemtyk 6
* Włsności wyzncznik cd. 6. Dl mcierzy A stopni n: det (k A) k n det A, k R 7. Wyzncznik iloczynu mcierzy kwdrtowych tego smego stopni jest równy iloczynowi wyznczników tych mcierzy: det (A B) det A det B Ann Rjfur, Mtemtyk 7
Mcierz osobliw, nieosobliw Mcierz kwdrtową A nzywmy osobliwą, gdy det A. Mcierz kwdrtową A nzywmy nieosobliwą, gdy det A. Ann Rjfur, Mtemtyk 8
Zdni Zdni w pliku Zdni_mcierze_wyzncznik.pdf Uwg Do obliczni wyzncznik mcierzy możn wykorzystć funkcję rkusz klkulcyjnego (np. CALC, EXCEL): WYZNACZNIK.MACIERZY Ann Rjfur, Mtemtyk 9
Ukłd równń liniowych Ann Rjfur, Mtemtyk 5
Zgdnieni Ukłdy równń liniowych. Zpis mcierzowy ukłdu równń. Ukłd Crmer. Wzory Crmer Ann Rjfur, Mtemtyk 5
Ann Rjfur, Mtemtyk 5 Wprowdzenie Przykłd. Dl dnych mcierzy A,, b wykonj: ) oblicz iloczyn A, b) zpisz wrunki, przy których zchodzi równnie A b. A 5 b
Ann Rjfur, Mtemtyk 5 Przykłd. cd. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A
Ann Rjfur, Mtemtyk 5 Przykłd. cd. 5 5 b A A b ukłd równń liniowych w zpisie mcierzowym ukłd równń liniowych w zpisie klsycznym
Ann Rjfur, Mtemtyk 55 Przykłd. Dny ukłd równń zpisz w postci mcierzowej. 5
Ann Rjfur, Mtemtyk 56 Przykłd. cd. Mcierzowy zpis ukłdu równń: A b. 5 Ukłd równń zpisny z wyszczególnieniem współczynnik przy kżdej niewidomej: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5
Ann Rjfur, Mtemtyk 57 Przykłd. cd. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 A 5 b
Ann Rjfur, Mtemtyk 58 Zpis mcierzowy ukłdu równń liniowych Ukłd równń liniowych: m n mn m m n n n n b b b możn zpisć w postci A b, gdzie: m n m m n n A n b m b b b
Zpis mcierzowy ukłdu równń liniowych cd. W odniesieniu do ukłdu równń liniowych w postci A b, stosowne są określeni: A - mcierz ukłdu (wymir m n) - wektor niewidomych (wymir n ) b - wektor prwych stron (wymir m ) Ann Rjfur, Mtemtyk 59
Ukłd równń liniowych Crmer Ukłd równń liniowych A b nzyw się ukłdem Crmer, jeśli mcierz ukłdu A jest kwdrtow i nieosobliw. Ukłd Crmer posid dokłdnie jedno rozwiąznie. Uwg n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk 6
Metody rozwiązywni ukłdu Crmer wzory Crmer metod mcierzy odwrotnej * Ann Rjfur, Mtemtyk 6
Wzory Crmer Rozwiąznie ukłdu równń Crmer A b, gdzie: A mcierz stopni n, [,,..., n ] T, b [b, b,..., b n ] T, podją wzory Crmer: det A i, i,,..., n i det A gdzie: A i - mcierz powstł po zstąpieniu i-tej kolumny mcierzy A kolumną prwych stron b. Ann Rjfur, Mtemtyk 6
Ann Rjfur, Mtemtyk 6 Przykłd Wyzncz rozwiąznie ukłdu równń przy użyciu wzorów Crmer. Postć mcierzow ukłdu, to Ab, gdzie A b
Przykłd cd. Czy dny ukłd jest ukłdem Crmer? det [6 A det ] [( ) Mmy det A ukłdem Crmer. Ann Rjfur, Mtemtyk 6 ] 6, więc ukłd A b jest
Ann Rjfur, Mtemtyk 65 Przykłd cd. Mcierz A : A b det det A
Ann Rjfur, Mtemtyk 66 Przykłd cd. Mcierz A : A b 6 det det A
Ann Rjfur, Mtemtyk 67 Przykłd cd. Mcierz A : A b det det A
Przykłd cd. Po podstwieniu do wzorów Crmer: det A det A det A 6 det A det A det A Uwg. Te trzy liczby stnowią JEDNO rozwiąznie ukłdu równń liniowych. Możn je zpisć w postci wektor: Ann Rjfur, Mtemtyk 68
Ann Rjfur, Mtemtyk 69 Przykłd cd. Sprwdzmy, czy zchodzi A b: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A b Ztem wektor T jest poszukiwnym rozwiązniem ukłdu równń A b.