Wykład 7 Gaz doskonały Kolejnym przykładem oddzaływana, bardzo ju realstycznym majcym praktyczne znaczene, a zarazem pozwalajcym na do naturalne uogólnena na cał klas oddzaływa sprystych jest oddzaływane tłoka zamykajcego cylndryczny pojemnk z gazem w rodku. By unkn nepotrzebnych komplkacj, na które przyjdze pora pónej, załoymy, e jest to gaz jednoatomowy, np. hel, czy argon, które to gazy s doskonałym realzacjam zboru punktów materalnych, dla których wemy dokładne, co to znaczy masa, pd energa. Czsteczk te maja na pocztku pewn energ zderzena ze canam cylndra tłokem s spryste energa tych czstek (pók tłok pozostaje neruchomy) ma stał warto. Przy kadym uderzenu w tłok, atom zmena kerunek lotu pd, oddajc tym samym pewen pd tłokow. Znów dla klarownoc rozwaa przyjmemy na raze, e po drugej, zewntrznej strone tłoka jest próna. (W zastosowanach praktycznych na zewntrz na ogół jest powetrze atmosferyczne, a ntensywno bombardowa od wntrza cylndra jest duo wksza, np. wskutek podpalena meszank palwa z powetrzem celowo tam wprowadzonych). Gdyby s przed tym ne zabezpeczy, tłok naberajc pdu poruszałby s coraz szybcej wypadł z cylndra, a my chcemy popatrzy na nego zanalzowa, na pocztek, sytuacj z tłokem neruchomym. Najprostszy sposób to ustaw cylnder ponowo wykorzystujc fakt bezsporny, e bez pod spodem tłok tak by opadał z przyspeszenem grawtacyjnym. Grawtacja polega na transferze (od ródła pola, w tym wypadku kul zemskej) w stałym tempe wynoszcym mg pdu. Bez nnych dzała cało, którego pd rone w tym tempe, czyl wynos mgt ma stosown prdko v(t), tak by mgt mv(t), czyl vgt. Gdy tłok s ju ustablzował gdy wdzmy tak obraz: ze statycznym tłokem, rozumemy od razu, e transfer pdu grawtacyjny znos s z równym mu transferem pdu w zderzenach z atomam. Dlaczego s znos? To proste. Gdyby transfer grawtacyjny był wkszy, pojawłby s po chwl pd w dół, a wraz z nm prdko przesunce. Objto dla by zmalała atomy czcej by uderzały od dołu. By moe po pewnej lczbe wahn wreszce ustalłaby s taka wysoko, e włane omawane dwa transfery pdu by s znosły. 1
Ustalene s równowag (jel taka molwo stneje) zawsze prowadz, by moe po jakm czase, do zrównowaena strumen pdu z rónych (co najmnej dwóch ródeł). Ta równo strumen (czy jak kto wol, sł) ma zupełne nny charakter nny sens, n równo sł, o której mów III Zasada Newtona. Tam dwe sły s przyłoone do dwóch oddzałujcych cał. Natomast w stane równowag zrównuj s sły dzałajce na to samo cało pochodzce z rónych ródeł. Co wcej, sły z III Zasady s cały czas równe. Ne do pomylena 1 jest by były nerówne, bo s to szybkoc strumena tego samego pdu opuszczajcego cało 1 wchodzcego do cała. Natomast sły prowadzce ostateczne do stanu równowag, s w całym okrese osgana tej równowag, na ogół nerówne. Ostrzegam o tej róncy, zupełne zasadnczej, ne bez kozery! To bardzo czsty błd. Ba! Sama nazwa, czsto spotykana dla III Zasady jako Zasada Akcj Reakcj jest newłacwa. Sugeruje ona asymetr, e najperw jest Akcja a potem Reakcja. Take rozumene jest włacwe dla równoc dwóch sł w równowadze, sł dzałajcych na to samo cało. Car połoony na mkkej kanape zaczyna spada. To jest ta akcja. Pojawa s sła o charakterze sprystym w mejscu styku tym wksza m kanapa s bardzej ugne. W kocu, ustal s taka warto reakcj sprystej ( take odkształcene) by zrównoway perwotn sł z jak na carek dzała grawtacja. Zrównowaene take ne zawsze jest molwe. Gdyby kanapa była wykonana z pany mydlanej, to adne odkształcena ne spowodowałyby zrównowaena caru. Partnerem caru w III zasadze jest sła dzałajca na Zem!!! Partnerem dla sprystej sły z jak kanapa dzała na car, jest sprysta sła z jak car cne na kanap. W perwszej faze sadana na kanape, sły spryste s mnejsze od grawtacyjnych, po chwl mog by wksze (gdy po klapncu na kanap, jest krótk okres odbca do góry. Dopero po uspokojenu układu sły s zrównuj. Pojce sły reakcj stosuje s w mechance powszechne w odnesenu do sł sprystych, zwłaszcza w sytuacjach, gdy odkształcena koneczne do zrównowaena sły zewntrznej s znkomo małe. Gdy na rodku mostu stane mrówka, to ona ne spada do rzek. Jej c- ar jest zrównowaony sł spryst pojawajc s mdzy mrówk a mostem. e jej warto równa s dokładne carow, to oczywste. Ale to ne ma nc wspólnego z III Zasad. Sła reakcj, tak rozumana wystpuje take w ruchu. Np. wahadło matematyczne. nka wa- 1 Ne do pomylena przy załoenu, e s tylko dwa cała tylko one s nonkam pdu. W oddzaływanach na odległo, np. elektromagnetycznych wystpuje jeszcze pole, które samo ma pewen pd pewn energ. Pd ubywajcy w jednym z cał trafa najperw do pola, a do drugego cała moe zacz wnka ne wczenej n po czase /c, gdze jest odległoc pomdzy całam. Cz tego pdu moe ugrzzn w polu na dłuej. Obserwujc tylko dwa cała moemy dostrzec brak zblansowana ch pdów. W tych warunkach trudno by mów o III Zasadze..
hadła (prawe nerozcglwa) dopasowuje swoje (mkroskopjne) odkształcene, by wraz z sł grawtacj zapewn ruch carka po (prawe) okrgu. W naszym przykładze akcja na tłok, spowodowała jego tak ruch, który ogranczył tak objto, e reakcja, lo pdu wnoszona na jednostk czasu przez atomy, jego parce zrównało s z carem. Wemy, e tak jest, bo wdzmy, e ustał ruch tłoka. (Gdyby w cylndrze była neszczelno, tłok opadałby a do całkowtego wypchnca! Ustalene s równowag ne jest obowzkowe. Mosty te czasam s zawalaj, ne bdc w stane wytworzy wystarczajcej reakcj na powstałe obcene pojazdy wpadaj do rzek! Zacznemy od wyznaczena wartoc pdu dostarczanego tłokow w jednostce czasu. Od czego ona bdze zalee, to s okae. W szczególnoc uyteczne jest okrelene wartoc tego transferu przypadajcego na jednostk powerzchn. Zwane jest cnenem. Pd czstk padajcej na tłok ma składow pozom prostopadł (z). Składowa pozoma s ne zmena, prostopadła mus zmen znak. Ponewa kwadrat pdu ma pozosta nezmenony (energa), warto bezwzgldna składowej prostopadłej jest po odbcu dentyczna jak przed zderzenem. Pd przekazany cance w jednym zderzenu wynos mv z. Czstka po odbcu zmerza w kerunku dna, by moe przy tym odbjajc s od canek ponowych, co ne zmen jej składowej prdkoc na o z. Czstka po drodze, moe te zderzy s z nn, co zmen jej pd w nekontrolowany sposób. Gdy czstek jest duo (a jest sporo!), dzała prawo welkch lczb. Na mejsce naszej ledzonej czstk, która zmenła prdko v z na jak nn, w nnym zderzenu, jak nny atom, po zderzenu, z nnej wartoc został wtrcony w stan włane o takej prdkoc. Rozkład prdkoc w gaze w warunkach równowag jest stacjonarny, mmo zderze. Oznacza to, take uproszczone mylene, e to nasza czstka bez przeszkód docera do dna cylndra tam s odbja ruszajc w drog powrotn w kerunku tłoka, da wynk poprawny. Oznaczajc odległo tłoka od dna cylndra, łatwo oblcz czas po jakm nasz atom wróc, by znów uderzy w tłok: /v z. W czase dt uderze takch bdze dt/(/v z ) v z dt/. Jedno take uderzene dostarcza tłokow pd mv z, łczne ten jeden atom w czase dt dostarczy welokrotno takego przekazu: dp mvz dt / Wskank numeruje wszystke atomy. Ich prdkoc s róne. Choca wc kady zachowuje s podobne, warto lczbowa, jak one wnosz ne jest wspólna dla wszystkch.
Całkowta zmana pdu w czase dt jest sum po wszystkch atomach w naczynu wyrae przed chwl znalezonych. d p total dt m vz Gdyby to były całe prdkoc, z przyjemnoc bymy skonstatowal, suma powysza to podwojona energa knetyczna. Ale tu wystpuje tylko jedna współrzdna. Jest jasne, e dla konkretnej czstk ne mus by, nawet w przyblenu v trzy sumy m v z m v y m v x z? v x. Ale gdy napsa ogromne dla w stane równowag, to nkt ne pownen me cena wtplwoc, e s one wszystke równe. Jel tak to nasza suma (ta ze składowym w kerunku z) moe by wyra- ona jako 1/ sumy wszystkch trzech m v z 1 mvx + mvy + mvz m ( v 1 x + vy + vz Zaznaczyłem, e rozpatruj gaz jednoatomowy. jest całkowt energ tego (wystpuje tylko energa knetyczna). Gdyby gaz składał s z czsteczek weloatomowych, czsteczk te, oprócz ruchu postpowego rodka masy, wykonywałyby take obroty. nerga knetyczna zwzana z ruchem postpowym, która decyduje o cnenu, która nam s tu pojawła byłaby tylko ułamkem energ całkowtej. Dla dwuatomowego byłoby to /5 całkowtej energ, a dla trój( wcej) atomowego byłoby to /6 całkowtej energ knetycznej atomów. /5 dla czstek dwuatomowych, a /6 dla czstek weloatomowych jest energ ruchu obrotowego. Innym słowy dla dwuatomowego naleałoby zastp / przez /5, a dla weloatomowego czynnkem /6 w powyszym wzorze. Bdzece s o tym uczy w swom czase. Tutaj tylko sygnalzuj problem. Dla jednoatomowego sprawa jest wyjtkowo prosta ne pownna budz wtplwoc. Wstawajc powyszy wynk do wyraena na dopływ pdu do tłoka mamy: d p total dt Szybko tego dopływu umówlmy s nazywa sł, std: ) Zupełny pedant mógłby oponowa zauwaajc, e jestemy w polu grawtacyjnym atomy latajce z góry na dół zachowuj s neco naczej n te latajce pozomo. Mona to wza z efektem tzw. wzoru barometrycznego powodujcego, e cnene zmena s z wysokoc. No tak, ale to dopero wysoko w górach zmana jest wyrana w stosunku do pozomu morza. W klkunastocentymetrowym naczynu, efekt jest całkowce zanedbywalny. Zreszt, mona rozwaa tak cylnder w stacj kosmcznej, w warunkach newakoc. 4
F Sł przypadajca na jednostk pola powerzchn tłoka (czy cany naczyna) nazywa s cnenem. Tradycyjne oznacza s cnene lter p, ne pownno nam s myl, mmo e w mechance ltera p tradycyjne uywana jest dla pdu. Powerzchn tłoka oznaczamy S, a objto naczyna V. Mamy: p F S S V Przepszemy to jeszcze w postac znanej od ponad lat: pv Rozumowane powysze perwszy przeprowadzł Bernoull, jeszcze w kocówce XVIII weku. Trudno przecen znaczene tego wynku dla dalszego burzlwego rozwoju chem, termodynamk. Dla potwerdzena hpotezy atomstycznej, etc. Ne mamy czasu by o tym mów. Skup s mamy na mechance. Bardzej uyteczny bdze wzór ne z objtoc, a z połoenem tłoka wzgldem dna cylndra: F. Mamy, wc, kolejny przykład, gdze moglmy wyznaczy szybko zmany pdu, czyl sł. Byłoby jednak pochopnym sdz, e to jest posta, o któr chodz, posta, pozwalajca napsa równane ruchu, gdybymy ewentualne chcel zamen nasz cylnder na strzelb pneumatyczn. Pozorne wzór powyszy okrela warto sły w funkcj, czyl dla wszystkch połoe tłoka. Tak by było, gdyby nam kto zagwarantował, e wystpujce przece w lcznku wyraena na sł jest stałe. Tymczasem zaley od połoena. Okazuje s, e zaleno t mona wyznaczy. Przykład bdze bardzo kształccy. Zastanówmy s, co s stane, gdy pozwolmy tłokow s przesuwa. O le prdko odskoku jest taka jak prdko padana dla tłoka neruchomego, to dla tłoka w ruchu, z prdko- c V równo prdkoc obowzuje tylko w układze spoczynkowym tłoka. Jel przyjmemy, e wzrasta, prdko nadbegajcej czstk jest v z -V wzgldem tłoka tyle samo (z przecwnym znakem) po odbcu. Przechodzc do układu cylndra musmy V jeszcze raz odj, stwerdzajc, e prdko w ruchu powrotnym wynos v z -V. A zatem prdko zmalała. Zmalała te energa knetyczna czstk. Do cylndra zakradł s pewen neporzdek. Malej tylko składowe w kerunku ruchu, ale ne składowe poprzeczne. Gdyby prdko tłoka była dua, porównywalna z typow prdkoc czsteczek (bdc z kole rzdu prdkoc dw- 5
ku), dalsza analza sytuacj byłaby nemolwa przy pomocy tych rodków jakm dysponujemy my tu w tym momence. Ale nawet welcy eksperc melby szalone trudnoc z oblczenem przekazu pdu. Zaleał by on skomplkowane od czasu, od sposobu wczenejszego ruchu tłoka, a ne tylko od jego połoena aktualnego aktualnej prdkoc. Dlaczego? Ano dlatego, e gwałtowny ruch tłoka wywołuje fale dwkowe, zturbulencje. Stan w danej chwl jest konsekwencj całej wczenejszej hstor. adna prosta, uyteczna formuła na sł ne stneje. Równane Newtona ne stneje. Nazwane, mmo to pochodnej pdu sł, jest ju aktem rozpaczy, bo przece ne posuwa sprawy njak do przodu! Istneje jednak zakres zjawsk, dla których przekaz pdu daje s wyznaczy, daje s wyznaczy sł zalen tylko od połoena cała rozkoszowa s molwoc przepowadana przyszłoc. Tak bdze, jel ruch tłoka bdze adabatyczny. Choca pochodzene słowa jest neco mylce, w mechance, w mechance kwantowej, w termodynamce, słowo adabatyczny, adabatyczna zmana parametru (w naszym wypadku objtoc wyznaczonej połoenem tłoka) oznacza zman na tyle powoln, by czas, w którym zmana parametru staje s ju zauwaalna, ale nadal newelka, był zarazem wystarczajco dług, by zakłócene wywołane zman, zostało znwelowane przez proces ustalana s nowego stanu równowag. Inaczej mówc. Ruch ma by na tyle powolny, by stan bardzo neznaczne odbegał od stanu równowag, jak na pewno by s cle ustalł, gdyby tłok zatrzyma na którejkolwek porednej wartoc. Procesy take zw s te procesam quasstatycznym. W praktyce, proces quasstatyczny moe by, z naszego punktu wdzena, do szybk. Jel zrobmy take załoene, to zanm tłok przesune s o jak ułamek, powedzmy 1/1, czy 1/5, czsteczka która s wczenej zderzyła, zdy tyle ju razy zderzy s z ssadkam, e odzyska od nch cz utraconej energ, to raczej cały gaz s ochłodz, ale rozkład prdkoc w nm bdze znów równowagowy, tyle e z nsz energ. Oblczmy t zman energ w przedzale czasu dt. Jedna czstka trac mv z / mv m( vz V ) / mvzv. Zwrómy w tym momence uwag, e przy ruchu powrotnym ulega odwrócenu znak V perwszy z członów w wyraenu na strat energ zmena znak! Gdyby to był człon jedyny, energa czstk (tej pozostałych) wrócłaby do wartoc, jak mała przy danym połoenu tłoka w faze rozprana. nerga byłaby tylko funkcj połoena tłoka. Jednak drug człon kwadratem V znaku ne zmena. Oznacza to strata jest przez ten człon mnejsza, a 6
odzysk wkszy!!! Po powroce tłoka w stare połoene, gaz jest ceplejszy n był. Adabatyczno oznacza prdko na tyle powoln, e człon z V mona pomn. W tym człone, który zostaje, wystpuje znana nam zmana pdu. Zsumowana od wszystkch czstek w czase dt daje sł dzałajc na tłok, a w przelczenu na jednostk powerzchn, cnene. Sumujc równane na zman energ jednej czstk po wszystkch czstkach uderzonych w czase dt dostanemy po lewej strone ubytek (zman) energ, a po prawej loczyn V przyrostu pdu Fdt. d FdtV Ale zróbmy cekaw obserwacj. Vdt to nc nnego jak d. Zatem: d Fd Ale sł uzalenlmy wczenej od energ: d d Staj przed nam coraz to nowe wyzwana. Ju napotykalmy pochodn wyraon przez F zmenn nezalen przez zmenn zalen, a teraz s obe. Ale nc to! Przypomnjmy dln(x)/dx1/x. Czyl dla przyrostów dln(x) dx /x. A w naszym równanu: d d dln d ln d ( ln + ln ) constans Dzk warunkow adabatycznoc energa jest funkcj tylko połoena (a ne lczby przesun tłoka w te we wte), a sła te funkcj tylko połoena. Cud, e potraflmy j wyznaczy. Gdybymy ne pomnl prdkoc V w porównanu z v, w sle pojawłby s człon ~V, znamonujcy lepko. / ( / ) Teraz moemy wstaw to do wzoru na sł Taka zmana pdu wystpuje dla tłoka neruchomego. Przy uwzgldnenu prdkoc tłoka, wyraene na sł zawera mus człon ~V bo zmana pdu to m(v z V). 7
/ F ( ) ( ) / 5 / Sła ta jest sł potencjaln, gdy jako funkcja potgowa jest w oczywsty sposób pochodn nnej funkcj potgowej d F( ) ( ) / d / 5 / / ( / ) Formalna energa potencjalna dla znalezonej sły jest tosama z energ! Jak pamtamy, sła bdca zman pdu na jednostk czasu, jest zarazem zman energ knetycznej cała na jednostk drog. F( ) d d / ( / ) prowadz natychmast do: / T + ( / ) const dt / d F dt / d. Dlatego nasz wynk: Ne ma w tym nc dzwnego!!!!! Jest to bardzo pouczajcy przykład. Ilekro odkryjemy w przyrodze fakt przekazywana pdu (sł) zalen od połoena rozpatrywanego cała, jest to oznak tego, cało nasze wpływa w jak sposób na energ jakego układu fzycznego. Tak jak tłok wpływa na energ czstek. Inny przykład, który warto zasygnalzowa to oddzaływane atomów. Jdra s wystarczajco cke, by uwaa je za duo powolnejsze od elektronów atomowych, czy molekularnych. Mona przyj (tzw. przyblene adabatyczne Borna Oppenhemera), w perwszym przyblenu, jdra dwóch oddzałujcych atomów s neruchome. (Tak jak nasz tłok). Chmury elektronowe w danym polu dwóch jder zajmuj stan najnszy o energ wylczonej z praw mechank kwantowej. nerga ta zaley od odległoc jder. Przy powolnym ruchu jder zmenajcej s odległoc, energa chmury (zupełne jak energa naszego ) zmena s, gdy ruch jest powolny, jest stale energ najnszego stanu dla aktualnej odległoc jder. Całkowta energa, uwzgldnajca energ knetyczna jder, mus pozosta stała, przeto energa stanu podstawowego elektronów ( R ) jest energ potencjaln dla wyzna- elektrony czena ruchów jder, a wc całej molekuły (gdy jdra s blsko), albo do wyznaczena sły przycgana atomów (gdy s stosunkowo daleko). nerga potencjalna oddzaływa sprystych cał stałych ma dokładne ten sam charakter. 8
Dla cała stałego (kryształu, czy zlepka polkrystalcznego) stneje konfguracja równowag, w której wzły sec ne chc an s dalej zbla, an oddala. Gdyby tak ne było, kryształu by po prostu ne było! Odparowałby, albo zapadł s jako czarna dzura (gdyby atomów zebrała s nezła chmara)!!!!! Skoro stneje, to próby cskana wywołaj przepływ pdu na zewntrz, a próby rozcgana na odwrót. Zewntrzne cało, które próbuje sw obecnoc swym ruchem wywoła take deformacje bdze tracło energ knetyczn przy cskanu przy rozcaganu. Oznacza to energa kryształu jest w jego stane swobodnym mnmalna. Co mu ne zrobmy, to nasze cało zewntrzne mus płac! A kryształow rone. Zaleno owej energ od deformacj moe by bardzo złoona. Jej wylczene nemolwe, przynajmnej na dzsaj. Ale jak jest równowaga, to jest mnmum. Jest to zarazem mnmum energ potencjalnej dla cała wymuszajcego swym połoenem kształt (w najprostszym przypadku długo) kryształu. W mnmum sła mus znka, a jej wykres w zalenoc od połoena mus by jak tak Na krótkm odcnku wokół tego połoena równowag dla którego sła znka, przyblene wykresu odcnkem F k x x ) jest zawsze molwe. Bo jak komu rónca ( rownowaga przeszkadza, to powemy: rozpatrz mnejsze odkształcena! Powysze słynne prawo Hooke a jest swost matematyczn oczywstoc. Inna sprawa, e szalene uyteczn. Zamast próbowa rozwza nerozwzywalny, koszmarny problem, (zwłaszcza, gdy znalelmy przypadkem fajn spryn nawet ne wemy z czego jest), merzymy sł dla jednego odkształcena, sprawdzamy e jest wystarczajco dokładne razy wksza dla dwa razy wkszego odchylena zapamtujemy jeden współczynnk. No, przydatne moe by te zorentowane s w zakrese stosowalnoc owej proporcjonalnc. I w przyszłoc, gdy nam przyjdze uy tej samej spryny, znamy sł jako funkcj połoena. Znamy te energ potencjaln 1. pot. sprezystosc k( x x ) Wyberajc pocztek os w połoenu równowag, dostaj równane Newtona: m x kx. 9