Wykład 7 Gaz doskonały znosi si

Transkrypt

1 Wykład 7 Gaz doskonały Kolejnym przykładem oddzaływana, bardzo już realstycznym mającym praktyczne znaczene, a zarazem pozwalającym na dość naturalne uogólnena na całą klasę oddzaływań sprężystych jest oddzaływane tłoka zamykającego cylndryczny pojemnk z gazem w środku. By unknąć nepotrzebnych komplkacj, na które przyjdze pora późnej, założymy, że jest to gaz jednoatomowy, np. hel, czy argon, które to gazy są doskonałym realzacjam zboru punktów materalnych, dla których wemy dokładne, co to znaczy masa, pęd energa. Cząsteczk te maja na początku pewną energę zderzena ze ścanam cylndra tłokem są sprężyste energa tych cząstek (pók tłok pozostaje neruchomy) ma stałą wartość. Przy każdym uderzenu w tłok, atom zmena kerunek lotu pęd, oddając tym samym pewen pęd tłokow. Znów dla klarownośc rozważań przyjmemy na raze, że po drugej, zewnętrznej strone tłoka jest próżna. (W zastosowanach praktycznych na zewnątrz na ogół jest powetrze atmosferyczne, a ntensywność bombardowań od wnętrza cylndra jest dużo wększa, np. wskutek podpalena meszank palwa z powetrzem celowo tam wprowadzonych). Gdyby sę przed tym ne zabezpeczyć, tłok naberając pędu poruszałby sę coraz szybcej wypadł z cylndra, a my chcemy popatrzyć na nego zanalzować, na początek, sytuację z tłokem neruchomym. Najprostszy sposób to ustawć cylnder ponowo wykorzystując fakt bezsporny, że bez pod spodem tłok tak by opadał z przyspeszenem grawtacyjnym. Grawtacja polega na transferze (od źródła pola, w tym wypadku kul zemskej) w stałym tempe wynoszącym mg pędu. Bez nnych dzałań cało, którego pęd rośne w tym tempe, czyl wynos mgt ma stosowną prędkość v(t), tak by mgt mv(t), czyl vgt. Gdy tłok sę już ustablzował gdy wdzmy tak obraz: ze statycznym tłokem, rozumemy od razu, że transfer pędu grawtacyjny znos sę z równym mu transferem pędu w zderzenach z atomam. Dlaczego sę znos? To proste. Gdyby transfer grawtacyjny był wększy, pojawłby sę po chwl pęd w dół, a wraz z nm prędkość przesunęce. Objętość dla by zmalała atomy częścej by uderzały od dołu. Być może po pewnej lczbe wahnęć wreszce ustalłaby sę taka wysokość, że właśne omawane dwa transfery pędu by sę znosły. 1

2 Ustalene sę równowag (jeśl taka możlwość stneje) zawsze prowadz, być może po jakmś czase, do zrównoważena strumen pędu z różnych (co najmnej dwóch źródeł). Ta równość strumen (czy jak kto wol, sł) ma zupełne nny charakter nny sens, nż równość sł, o której mów III Zasada Newtona. Tam dwe sły są przyłożone do dwóch oddzałujących cał. Natomast w stane równowag zrównują sę sły dzałające na to samo cało pochodzące z różnych źródeł. Co węcej, sły z III Zasady są cały czas równe. Ne do pomyślena 1 jest by były nerówne, bo są to szybkośc strumena tego samego pędu opuszczającego cało 1 wchodzącego do cała. Natomast sły prowadzące ostateczne do stanu równowag, są w całym okrese osągana tej równowag, na ogół nerówne. Ostrzegam o tej różncy, zupełne zasadnczej, ne bez kozery! To bardzo częsty błąd. Ba! Sama nazwa, często spotykana dla III Zasady jako Zasada Akcj Reakcj jest newłaścwa. Sugeruje ona asymetrę, że najperw jest Akcja a potem Reakcja. Take rozumene jest właścwe dla równośc dwóch sł w równowadze, sł dzałających na to samo cało. Cężar położony na mękkej kanape zaczyna spadać. To jest ta akcja. Pojawa sę sła o charakterze sprężystym w mejscu styku tym wększa m kanapa sę bardzej ugne. W końcu, ustal sę taka wartość reakcj sprężystej ( take odkształcene) by zrównoważyć perwotną słę z jaką na cężarek dzała grawtacja. Zrównoważene take ne zawsze jest możlwe. Gdyby kanapa była wykonana z pany mydlanej, to żadne odkształcena ne spowodowałyby zrównoważena cężaru. Partnerem cężaru w III zasadze jest sła dzałająca na Zemę!!! Partnerem dla sprężystej sły z jaką kanapa dzała na cężar, jest sprężysta sła z jaką cężar cśne na kanapę. W perwszej faze sadana na kanape, sły sprężyste są mnejsze od grawtacyjnych, po chwl mogą być wększe (gdy po klapnęcu na kanapę, jest krótk okres odbca do góry. Dopero po uspokojenu układu sły sę zrównują. Pojęce sły reakcj stosuje sę w mechance powszechne w odnesenu do sł sprężystych, zwłaszcza w sytuacjach, gdy odkształcena koneczne do zrównoważena sły zewnętrznej są znkomo małe. Gdy na środku mostu stane mrówka, to ona ne spada do rzek. Jej cężar jest zrównoważony słą sprężystą pojawającą sę mędzy mrówką a mostem. Że jej wartość równa sę dokładne cężarow, to oczywste. Ale to ne ma nc wspólnego z III Zasadą. Sła reakcj, tak rozumana występuje także w ruchu. Np. wahadło matematyczne. nka wa- 1 Ne do pomyślena przy założenu, że są tylko dwa cała tylko one są nośnkam pędu. W oddzaływanach na odległość, np. elektromagnetycznych występuje jeszcze pole, które samo ma pewen pęd pewną energę. Pęd ubywający w jednym z cał trafa najperw do pola, a do drugego cała może zacząć wnkać ne wcześnej nż po czase /c, gdze jest odległoścą pomędzy całam. Część tego pędu może ugrzęznąć w polu na dłużej. Obserwując tylko dwa cała możemy dostrzec brak zblansowana ch pędów. W tych warunkach trudno by mówć o III Zasadze..

3 hadła (prawe nerozcąglwa) dopasowuje swoje (mkroskopjne) odkształcene, by wraz z słą grawtacj zapewnć ruch cężarka po (prawe) okręgu. W naszym przykładze akcja na tłok, spowodowała jego tak ruch, który ogranczył tak objętość, że reakcja, lość pędu wnoszona na jednostkę czasu przez atomy, jego parce zrównało sę z cężarem. Wemy, że tak jest, bo wdzmy, że ustał ruch tłoka. (Gdyby w cylndrze była neszczelność, tłok opadałby aż do całkowtego wypchnęca! Ustalene sę równowag ne jest obowązkowe. Mosty też czasam sę zawalają, ne będąc w stane wytworzyć wystarczającej reakcj na powstałe obcążene pojazdy wpadają do rzek! Zacznemy od wyznaczena wartośc pędu dostarczanego tłokow w jednostce czasu. Od czego ona będze zależeć, to sę okaże. W szczególnośc użyteczne jest określene wartośc tego transferu przypadającego na jednostkę powerzchn. Zwane jest cśnenem. Pęd cząstk padającej na tłok ma składową pozomą prostopadłą (z). Składowa pozoma sę ne zmena, prostopadła mus zmenć znak. Poneważ kwadrat pędu ma pozostać nezmenony (energa), wartość bezwzględna składowej prostopadłej jest po odbcu dentyczna jak przed zderzenem. Pęd przekazany ścance w jednym zderzenu wynos mv z. Cząstka po odbcu zmerza w kerunku dna, być może przy tym odbjając sę od ścanek ponowych, co ne zmen jej składowej prędkośc na oś z. Cząstka po drodze, może też zderzyć sę z nną, co zmen jej pęd w nekontrolowany sposób. Gdy cząstek jest dużo (a jest sporo!), dzała prawo welkch lczb. Na mejsce naszej śledzonej cząstk, która zmenła prędkość v z na jakąś nną, w nnym zderzenu, jakś nny atom, po zderzenu, z nnej wartośc został wtrącony w stan właśne o takej prędkośc. Rozkład prędkośc w gaze w warunkach równowag jest stacjonarny, mmo zderzeń. Oznacza to, ż take uproszczone myślene, że to nasza cząstka bez przeszkód docera do dna cylndra tam sę odbja ruszając w drogę powrotną w kerunku tłoka, da wynk poprawny. Oznaczając odległość tłoka od dna cylndra, łatwo oblczę czas po jakm nasz atom wróc, by znów uderzyć w tłok: /v z. W czase dt uderzeń takch będze dt/(/v z ) v z dt/. Jedno take uderzene dostarcza tłokow pęd mv z, łączne ten jeden atom w czase dt dostarczy welokrotność takego przekazu: dp mvz dt / Wskaźnk numeruje wszystke atomy. Ich prędkośc są różne. Chocaż węc każdy zachowuje sę podobne, wartość lczbowa, jaką one wnoszą ne jest wspólna dla wszystkch.

4 Całkowta zmana pędu w czase dt jest sumą po wszystkch atomach w naczynu wyrażeń przed chwlą znalezonych. d p total dt m vz Gdyby to były całe prędkośc, z przyjemnoścą byśmy skonstatowal, ż suma powyższa to podwojona energa knetyczna. Ale tu występuje tylko jedna współrzędna. Jest jasne, że dla konkretnej cząstk ne mus być, nawet w przyblżenu v trzy sumy m v z m v y m v x z? v x. Ale gdy napsać ogromne dla w stane równowag, to nkt ne pownen meć cena wątplwośc, że są one wszystke równe. Jeśl tak to nasza suma (ta ze składowym w kerunku z) może być wyrażona jako 1/ sumy wszystkch trzech m v z 1 mvx + mvy + mvz m ( v 1 x + vy + vz Zaznaczyłem, że rozpatruję gaz jednoatomowy. jest całkowtą energą tego (występuje tylko energa knetyczna). Gdyby gaz składał sę z cząsteczek weloatomowych, cząsteczk te, oprócz ruchu postępowego środka masy, wykonywałyby także obroty. nerga knetyczna zwązana z ruchem postępowym, która decyduje o cśnenu, która nam sę tu pojawła byłaby tylko ułamkem energ całkowtej. Dla dwuatomowego byłoby to /5 całkowtej energ, a dla trój( węcej) atomowego byłoby to /6 całkowtej energ knetycznej atomów. /5 dla cząstek dwuatomowych, a /6 dla cząstek weloatomowych jest energą ruchu obrotowego. Innym słowy dla dwuatomowego należałoby zastąpć / przez /5, a dla weloatomowego czynnkem /6 w powyższym wzorze. Będzece sę o tym uczyć w swom czase. Tutaj tylko sygnalzuję problem. Dla jednoatomowego sprawa jest wyjątkowo prosta ne pownna budzć wątplwośc. Wstawając powyższy wynk do wyrażena na dopływ pędu do tłoka mamy: d p total dt Szybkość tego dopływu umówlśmy sę nazywać słą, stąd: ) Zupełny pedant mógłby oponować zauważając, że jesteśmy w polu grawtacyjnym atomy latające z góry na dół zachowują sę neco naczej nż te latające pozomo. Można to wązać z efektem tzw. wzoru barometrycznego powodującego, że cśnene zmena sę z wysokoścą. No tak, ale to dopero wysoko w górach zmana jest wyraźna w stosunku do pozomu morza. W klkunastocentymetrowym naczynu, efekt jest całkowce zanedbywalny. Zresztą, można rozważać tak cylnder w stacj kosmcznej, w warunkach neważkośc. 4

5 F Słą przypadająca na jednostkę pola powerzchn tłoka (czy ścany naczyna) nazywa sę cśnenem. Tradycyjne oznacza sę cśnene lterą p, ne pownno nam sę mylć, mmo że w mechance ltera p tradycyjne używana jest dla pędu. Powerzchnę tłoka oznaczamy S, a objętość naczyna V. Mamy: p F S S V Przepszemy to jeszcze w postac znanej od ponad 00 lat: pv Rozumowane powyższe perwszy przeprowadzł Bernoull, jeszcze w końcówce XVIII weku. Trudno przecenć znaczene tego wynku dla dalszego burzlwego rozwoju chem, termodynamk. Dla potwerdzena hpotezy atomstycznej, etc. Ne mamy czasu by o tym mówć. Skupć sę mamy na mechance. Bardzej użyteczny będze wzór ne z objętoścą, a z położenem tłoka względem dna cylndra: F. Mamy, węc, kolejny przykład, gdze moglśmy wyznaczyć szybkość zmany pędu, czyl słę. Byłoby jednak pochopnym sądzć, że to jest postać, o którą chodz, postać, pozwalająca napsać równane ruchu, gdybyśmy ewentualne chcel zamenć nasz cylnder na strzelbę pneumatyczną. Pozorne wzór powyższy określa wartość sły w funkcj, czyl dla wszystkch położeń tłoka. Tak by było, gdyby nam ktoś zagwarantował, że występujące przeceż w lcznku wyrażena na słę jest stałe. Tymczasem zależy od położena. Okazuje sę, że zależność tę można wyznaczyć. Przykład będze bardzo kształcący. Zastanówmy sę, co sę stane, gdy pozwolmy tłokow sę przesuwać. O le prędkość odskoku jest taka jak prędkość padana dla tłoka neruchomego, to dla tłoka w ruchu, z prędkoścą V równość prędkośc obowązuje tylko w układze spoczynkowym tłoka. Jeśl przyjmemy, że wzrasta, prędkość nadbegającej cząstk jest v z -V względem tłoka tyle samo (z przecwnym znakem) po odbcu. Przechodząc do układu cylndra musmy V jeszcze raz odjąć, stwerdzając, że prędkość w ruchu powrotnym wynos v z -V. A zatem prędkość zmalała. Zmalała też energa knetyczna cząstk. Do cylndra zakradł sę pewen neporządek. Maleją tylko składowe w kerunku ruchu, ale ne składowe poprzeczne. Gdyby prędkość tłoka była duża, porównywalna z typową prędkoścą cząsteczek (będącą z kole rzędu prędkośc dźwę- 5

6 ku), dalsza analza sytuacj byłaby nemożlwa przy pomocy tych środków jakm dysponujemy my tu w tym momence. Ale nawet welcy eksperc melby szalone trudnośc z oblczenem przekazu pędu. Zależał by on skomplkowane od czasu, od sposobu wcześnejszego ruchu tłoka, a ne tylko od jego położena aktualnego aktualnej prędkośc. Dlaczego? Ano dlatego, że gwałtowny ruch tłoka wywołuje fale dźwękowe, zturbulencje. Stan w danej chwl jest konsekwencją całej wcześnejszej hstor. Żadna prosta, użyteczna formuła na słę ne stneje. Równane Newtona ne stneje. Nazwane, mmo to pochodnej pędu słą, jest już aktem rozpaczy, bo przeceż ne posuwa sprawy njak do przodu! Istneje jednak zakres zjawsk, dla których przekaz pędu daje sę wyznaczyć, daje sę wyznaczyć słę zależną tylko od położena cała rozkoszować sę możlwoścą przepowadana przyszłośc. Tak będze, jeśl ruch tłoka będze adabatyczny. Chocaż pochodzene słowa jest neco mylące, w mechance, w mechance kwantowej, w termodynamce, słowo adabatyczny, adabatyczna zmana parametru (w naszym wypadku objętośc wyznaczonej położenem tłoka) oznacza zmanę na tyle powolną, by czas, w którym zmana parametru staje sę już zauważalna, ale nadal newelka, był zarazem wystarczająco dług, by zakłócene wywołane zmaną, zostało znwelowane przez proces ustalana sę nowego stanu równowag. Inaczej mówąc. Ruch ma być na tyle powolny, by stan bardzo neznaczne odbegał od stanu równowag, jak na pewno by sę ścśle ustalł, gdyby tłok zatrzymać na którejkolwek pośrednej wartośc. Procesy take zwą sę też procesam quasstatycznym. W praktyce, proces quasstatyczny może być, z naszego punktu wdzena, dość szybk. Jeśl zrobmy take założene, to zanm tłok przesune sę o jakś ułamek, powedzmy 1/100, czy 1/50, cząsteczka która sę wcześnej zderzyła, zdąży tyle już razy zderzyć sę z sąsadkam, że odzyska od nch część utraconej energ, to raczej cały gaz sę ochłodz, ale rozkład prędkośc w nm będze znów równowagowy, tyle że z nższą energą. Oblczmy tę zmanę energ w przedzale czasu dt. Jedna cząstka trac mv z / mv m( vz V ) / mvzv. Zwróćmy w tym momence uwagę, że przy ruchu powrotnym ulega odwrócenu znak V perwszy z członów w wyrażenu na stratę energ zmena znak! Gdyby to był człon jedyny, energa cząstk (tej pozostałych) wrócłaby do wartośc, jak mała przy danym położenu tłoka w faze rozprężana. nerga byłaby tylko funkcją położena tłoka. Jednak drug człon kwadratem V znaku ne zmena. Oznacza to ż strata jest przez ten człon mnejsza, a Nazwa adabatyczny pochodz z greckego α-δια-βατυειυ co oznacza ne-przez-przechodzć (por. angelską nazwę cukrzycy dabetes ). 6

7 odzysk wększy!!! Po powroce tłoka w stare położene, gaz jest ceplejszy nż był. Adabatyczność oznacza prędkość na tyle powolną, że człon z V można pomnąć. W tym człone, który zostaje, występuje znana nam zmana pędu 4. Zsumowana od wszystkch cząstek w czase dt daje słę dzałającą na tłok, a w przelczenu na jednostkę powerzchn, cśnene. Sumując równane na zmanę energ jednej cząstk po wszystkch cząstkach uderzonych w czase dt dostanemy po lewej strone ubytek (zmanę) energ, a po prawej loczyn V przyrostu pędu Fdt. d FdtV Ale zróbmy cekawą obserwację. Vdt to nc nnego jak d. Zatem: d Fd Ale słę uzależnlśmy wcześnej od energ: d d Stają przed nam coraz to nowe wyzwana. Już napotykalśmy pochodną wyrażoną przez F zmenną nezależną przez zmenną zależną, a teraz są obe. Ale nc to! Przypomnjmy ż dln(x)/dx1/x. Czyl dla przyrostów dln(x) dx /x. A w naszym równanu: d d dln d ln d ( ln + ln ) 0 constans 0 0 Dzęk warunkow adabatycznośc energa jest funkcją tylko położena (a ne lczby przesunęć tłoka w te we wte), a sła też funkcją tylko położena. Cud, że potraflśmy ją wyznaczyć. Gdybyśmy ne pomnęl prędkośc V w porównanu z v, w sle pojawłby sę człon ~V, znamonujący lepkość. / 0 ( 0 / ) Teraz możemy wstawć to do wzoru na słę 4 Taka zmana pędu występuje dla tłoka neruchomego. Przy uwzględnenu prędkośc tłoka, wyrażene na słę zawerać mus człon ~V bo zmana pędu to m(v z V). 7

8 / F ( ) 0 ( 0 ) / 5 / Sła ta jest słą potencjalną, gdyż jako funkcja potęgowa jest w oczywsty sposób pochodną nnej funkcj potęgowej d F( ) d / 5/ / 0 ( 0 ) / 0( 0 / ) Jednocześne dostalśmy zwązek mędzy cśnenem a objętoścą w przemane adabatycznej: Formalna energa potencjalna dla znalezonej sły jest tożsama z energą! p V 5/ const Jak pamętamy, sła będąca zmaną pędu na jednostkę czasu, jest zarazem zmaną energ knetycznej cała na jednostkę drog. F( ) d d / 0 ( 0 / ) prowadz natychmast do: / T + 0 ( 0 / ) const dt / d F dt / d. Dlatego nasz wynk: Ne ma w tym nc dzwnego!!!!! Jest to bardzo pouczający przykład. Ilekroć odkryjemy w przyrodze fakt przekazywana pędu (słę) zależną od położena rozpatrywanego cała, jest to oznaką tego, ż cało nasze wpływa w jakś sposób na energę jakegoś układu fzycznego. Tak jak tłok wpływa na energę cząstek. Inny przykład, który warto zasygnalzować to oddzaływane atomów. Jądra są wystarczająco cężke, by uważać je za dużo powolnejsze od elektronów atomowych, czy molekularnych. Można przyjąć (tzw. przyblżene adabatyczne Borna Oppenhemera), ż w perwszym przyblżenu, jądra dwóch oddzałujących atomów są neruchome. (Tak jak nasz tłok). Chmury elektronowe w danym polu dwóch jąder zajmują stan najnższy o energ wylczonej z praw mechank kwantowej. nerga ta zależy od odległośc jąder. Przy powolnym ruchu jąder zmenającej sę odległośc, energa chmury (zupełne jak energa naszego ) zmena sę, gdy ruch jest powolny, jest stale energą najnższego stanu dla aktualnej odległośc jąder. Całkowta energa, uwzględnająca energę knetyczna jąder, mus pozostać stała, prze- 8

9 to energa stanu podstawowego elektronów ( R ) jest energą potencjalną dla wyzna- elektrony czena ruchów jąder, a węc całej molekuły (gdy jądra są blsko), albo do wyznaczena sły przycągana atomów (gdy są stosunkowo daleko). nerga potencjalna oddzaływań sprężystych cał stałych ma dokładne ten sam charakter. Dla cała stałego (kryształu, czy zlepka polkrystalcznego) stneje konfguracja równowag, w której węzły sec ne chcą an sę dalej zblżać, an oddalać. Gdyby tak ne było, kryształu by po prostu ne było! Odparowałby, albo zapadł sę jako czarna dzura (gdyby atomów zebrała sę nezła chmara)!!!!! Skoro stneje, to próby ścskana wywołają przepływ pędu na zewnątrz, a próby rozcągana na odwrót. Zewnętrzne cało, które próbuje swą obecnoścą swym ruchem wywołać take deformacje będze tracło energę knetyczną przy ścskanu przy rozcaganu. Oznacza to ż energa kryształu jest w jego stane swobodnym mnmalna. Co mu ne zrobmy, to nasze cało zewnętrzne mus płacć! A kryształow rośne. Zależność owej energ od deformacj może być bardzo złożona. Jej wylczene nemożlwe, przynajmnej na dzsaj. Ale jak jest równowaga, to jest mnmum. Jest to zarazem mnmum energ potencjalnej dla cała wymuszającego swym położenem kształt (w najprostszym przypadku długość) kryształu. W mnmum sła mus znkać, a jej wykres w zależnośc od położena mus być jakś tak Na krótkm odcnku wokół tego położena równowag dla którego sła znka, przyblżene wykresu odcnkem F k x x ) jest zawsze możlwe. Bo jak komuś różnca ( rownowaga przeszkadza, to powemy: rozpatrz mnejsze odkształcena! Powyższe słynne prawo Hooke a jest swostą matematyczną oczywstoścą. Inna sprawa, że szalene użyteczną. Zamast próbować rozwązać nerozwązywalny, koszmarny problem, (zwłaszcza, gdy znaleźlśmy przypadkem fajną sprężynę nawet ne wemy z czego jest), merzymy słę dla jednego odkształcena, sprawdzamy że jest wystarczająco dokładne razy wększa dla dwa razy wększego odchylena zapamętujemy jeden współczynnk. No, przy- 9

10 datne może być też zorentowane sę w zakrese stosowalnośc owej proporcjonalnśc. I w przyszłośc, gdy nam przyjdze użyć tej samej sprężyny, znamy słę jako funkcję położena. Znamy też energę potencjalną 1 k x x. pot. sprezystosc ( 0 ) Wyberając początek os w położenu równowag, dostaję równane Newtona: m& x kx. 10