dla i = 1,2,3...,N. , to siła zewntrzna działajca na ciało o numerze i, a siła F ij

Transkrypt

1 Wykład 0 Zagadnene welu cał. Specyfczne własnoc rodka masy sł wzajemnych centralnych, pozwalaj na udowodnene dwóch uytecznych twerdze dla układu punktów materalnych poddanych dzałanu sł zewntrznych wewntrznych. W probleme tzw. dwóch cał, rozpatrzonym na poprzednm wykładze, jedynym słam były sły wewntrzne. Jel punktów jest wele, N, a ponadto dzałaj sły zewntrzne, równana Newtona zapszemy tak: m r = F Sła + j F j dla =,,3...,N. F, to sła zewntrzna dzałajca na cało o numerze, a sła F j, to sła wewntrzna, dzałajca na cało o numerze ze strony cała o numerze nalecego do rozpatrywanego układu. O słach zewntrznych ne zakładamy nc szczególnego, sły wewntrzne spełnaj, z załoena, prawo akcj reakcj : F j = F j. Zakładamy ponadto centralno sł wewnetrznych: Fj ( r rj ) Przy tych załoenach sumujemy wszystke równana Newtona: m r = F + Fj j, Z defncj rodka masy: mr = R m = MR gdze oznaczylmy przez M mas całkowt układu, wynka, e m r = MR W podwójnej sume, oprócz składnka, np. F, który pojawł s, w równanu cała perwszego (obok N pozostałych sł) wystp te, z konecznoc, składnk F pojawajcy s w równanu cała (tez obok N nnych składnków). W sume prawych stron wszystkch równa, take pary uncestwaj s wzajemne. Ostateczne

2 MR = F rodek masy cała porusza s tak, jak punkt materalny o mase M, pod dzałanem sły, bdcej sum wszystkch sł dzałajcych na to cało. Powysze twerdzene wyjana, dlaczego ruchy odpowedno małych cał (albo ruchy postpowe cał dowolnych rozmarów) traktujemy w mechance dentyczne jak ruchy punktów materalnych. Przece nawet małe cała rozmate klock, czy kulk składaj s z blonów blonów atomów, a przykładane sły, a to dzałaj na wszystke składnk (grawtacja), a to na mały wybrany obszar powerzchn, gdze przyspawany jest haczyk, a to na cał powerzchn (jak sły elektryczne na naładowany przewodnk). Dla ruchu rodka kuleczk lczy s tylko suma sł. adne punkty przyłoena s tu ne lcz!!! Tzw. punkt przyłoena, jak wymysł nedowarzonych dydaktyków ne jest stot wektora. Tak jak ne jest stot pendza, kto go dostał! (Cho to jest wana nformacja!). W przypadku newystpowana sł zewntrznych, powysze twerdzene redukuje s do stwerdzena, rodek masy porusza s ruchem jednostajnym prostolnowym. Oznacza to stnene dwóch wektorowych praw zachowana! Prawa te to: m r = P = constans m r MR = mr t mr = R0 = constans M M W szczególnoc, jel układ ma pd zero, to połoena jego rodka masy jest stałe, ne mona bo zmen adnym dzałanam wewntrznym. (Baron Münchausen mógł wycgn s z bagna za własne włosy, jedyne w lteraturze). Druge wane ogólne twerdzene wynkajce z załoonych własnoc sł wewntrznych, to prawo zman całkowtego momentu pdu. Tym razem, przed wysumowanem, mnoymy stronam równana Newtona wektorowo przez wektory wodzce: r m r = r F r F + Lew stron mona zastp przez d r mr, dt j j

3 gdy: d r mr dt = r m r + r m r (wektory równoległe daj loczyn wektorowy zero). Otrzymujemy: d dt r mr = r F + r j F j W podwójnej sume, obok kadego członu o ustalonych wartocach j, np. wystp dokładne jeden raz człon z ndeksam zamenonym. Ich suma: r F + r F = r F r F = r r ) F = r F 0 ( = wynos zero, bo sła F jest równoległa do wektora r. W ten sposób, param, wkłady od sł wewntrznych do zman momentu pdu całkowtego s znosz. Zostaje tylko wkład sł zewntrznych. Oznaczajc całkowty moment pdu układu lter J, a całkowty moment sł zewntrznych lter N: J = r mr N = r F dostajemy pkne, wane uyteczne prawo: d J = N. dt Prawo powysze jest szczególne cenne w przypadku układu punktów materalnych, których potencjały sł wewntrznych maj głboke mnma wyznaczajce, praktyczne nezmenne odległoc medzy wszystkm składnkam. O układze takm mówmy jako o bryle sztywnej. eby mów jak bryła s porusza, trzeba najperw zrozume, jake welkoc opsuj kompletne połoene takej bryły. Warto wyrón dwa przypadk: brył swobodn brył z uneruchomonym jednym punktem. W tym drugm przypadku połoene bryły, czy moe lepej powedze, jej konfguracj, mona opsywa wyberajc najperw w bryle trzy prostopadłe os (wychodzce z punktu zamocowana), a potem zastanawajc s le jakch lczb trzeba poda, by połoene tych os w przestrzen opsa. 3

4 Okazuje s, e trzeba trzy lczby. Mona to łatwo uzasadn. O z-ów zwzana z brył moe przyj dowolny kerunek. Ten okrela s tak, jak w geograf lub astronom: dwa kty długo szeroko geografczna, albo azymut wysoko. Gdy o z-ów jest opsana, brył mona jeszcze obraca wokół tej os o dowolny kt. Mona go okrel jako kt mdzy os y a krawdz przecca płaszczyzny x,y bryły a płaszczyzn xy ustalonego układu nercjalnego. Krawd ta, w rónych kontekstach nazywa s ln wzłów. Np. płaszczyzna Równka przecna płaszczyzn Eklptyk od punktu równonocy wosennej do jesennej. Wektorowe prawo zman momentu pdu jest akurat wystarczajce, by pełn rol trzech równa drugego rzdu dla wyznaczena (po podanu warunków pocztkowych) kompletnego opsu orentacj bryły w dowolnej chwl pónejszej. Prawo zman pdu ne jest potrzebne do wyznaczena ruchu. Gdy punkt zamocowana ne pokrywa s ze rodkem masy, ten w czase obrotu wruje tak, jak równana dla obrotów mu to wyznaczyły. Prawo zman pdu, pozwala w tym wypadku wyznaczy (przez odjce sł przyłoonych od loczynu masy przyspeszena) sł reakcj tej mechancznej konstrukcj uneruchamajcej wybrany punkt. W przypadku bryły swobodnej, os układu zwzanego z brył lokujemy zawsze w rodku masy. Znajc sum sł zewntrznych (o le one wystpuj) wyznaczamy ruch rodka masy, a nastpne wprowadzamy układ (nenercjalny) zwzany ze rodkem masy. W układze tym pojaw s wprawdze sły bezwładnoc, ale moment sł bezwładnoc wzgldem rodka masy jest równy zero! ( N = r m a = a m r = Ma 0, gdy wektor rodka masy w układze rodka masy jest 0. Jest to przece wektor wodzcy pocztku układu!). Dlatego problem sprowadza s do poprzednego, jakby z uneruchomonym rodkem masy. Duo prostszy od ruchu jest problem wyznaczena równowag bryły. Sprawa jest oczywsta. W równowadze moment pdu jest zero. W równowadze pd jest zero. Warunkem równowag bryły sztywnej jest znkane sumy sł przyłoonych sumy momentów sł przyłoonych. Tu s wyjana, dlaczego w szeregu podrcznków wprowadza s jake reguły przesuwana punktów zaczepena, etc. Chodz o zastpowane sł przyłoonych do pewnych punktów, słam przyłoonym do nnych punktów tej samej bryły sztywnej tak, by ta nowa sła dawała ten sam wkład do całkowtej sły do całkowtego momentu. Wtedy z punktu wdzena zapewnena równowag take zastpstwo jest dopuszczalne. Gdy bryła ne jest sztywna, take zastpstwo moe by nonsensem. Aby zachowa równowag, sadamy na krzele. Dzałaj na nas ze strony krzesła sły rozłoone na sporej powerzchn, bdce w równowadze 4

5 z słam ckoc. Matematyczne mona polczy gdze przyłoy jaka sła jest nby potrzebna, dla zastpena stołka sterczc szpl na której pownnmy us. Zgodzmy s? Na raze w prawe zman momentu pdu wystpuje mnóstwo połoe wszystkch punktów. Jel to bryła jednego mola mater, to atomów jest prawe blon blonów! Droga do trzech nezbdnych welkoc jest dosy długa. Bdzece mel czas j pozna na mechance teoretycznej. Tutaj pokrótce omówmy neskoczene prostszy przypadek obrotów wokół jednej ustalonej os. Orentacj bryły okrela w tym wypadku jeden kt. Łatwo jest uzyska zwzek szybkoc zman tego kta z jedn składow momentu pdu, a to ju wystarczy do wyznaczena ruchu obrotowego.wszystke punkty bryły obracaj s w płaszczyznach prostopadłych do os obrotu, któr utosamamy z os z. Sytuacje t ju rozpatrywalmy przy okazj sły Corolsa. Opsuje j wektor prdkoc ktowej skerowany wzdłu os obrotu. Prdko kadego punktu bryły o wektorze wodzcym r dana jest loczynem wektorowym: r = ω r Moment pdu, z defncj: J = = ω r mr = m r r ω mr ( ω r ) = ω mr r m z r = ( ω m z x, ω m r ( ω r ) = m z y, ω m ( x + y )) ma, jak wdzmy, w ogólnoc, trzy składowe. Moment pdu ne jest, na ogół równoległy do prdkoc ktowej. To jeden z powodów komplkacj sytuacj ogólnej. Zauwamy, e obracajc brył zmenamy moment pdu, nawet, gdy obrót jest jednostajny! Jest to spowodowane tym, e sumy: m z x oraz m z y, o le ne s stale równe zero, zmenaj s na ogół wraz z obrotem, bo zmenaj s w przestrzen współrzdne punktów bryły x y. Zmany składowych x-owych y-kowych momentu pdu wymagaj momentu sły. W raze potrzeby dostarczy ch sztywno zamocowana wymuszajca, zgodne z zało- enem, ruch tylko wokół zadanej os. Łoyska cko pracuj. Dlatego, gdy obracajca s cz maszyny jest le wywaona, mog powsta due sły nszczce. Oczywce owo dobre wywaene polega na zadbanu, by sumy m z x oraz m z y były równe zeru. Tak zaw- 5

6 sze bdze, gdy o z pokrywa s bdze z os symetr bryły, cho ne jest to warunek koneczny. Jedyne m ( x + y ) jest nwarantem obrotu wokół os z. Welko t nazywa s momentem bezwładnoc (w płaszczyne x,y, czyl wokół os z). B = m ( x + y ). Mamy ostateczne: J z = Bω Jel okrelmy kt obrotu, merzony od wybranego połoena, to: J z = Bϕ Jel znamy zaleno momentu sły od kta, mamy równane ruchu: J z = Bϕ = N z (ϕ) Wrujca bryła ma energ knetyczn zalen od prdkoc ktowej. Dla rozpatrywanego przypadku ruchu wokół ustalonej os, energe t łatwo wyraz przez ten sam moment bezwładnoc, przez który przed chwl wyrazlmy moment pdu: T = m r = m ( ω r ) = ω m ( x Przejce od kwadratu loczynu wektorowego: + y r ) = Bω ( ω ) do ( x + y ) ω mona uzasadn na róne oczywste sposoby. Np.: ( ω r ) = ( ωk ( zk + x + yj )) = ω ( xk + yk j) = ω ( xj y ) = ω ( x + y Czsto mów s o analog prawa ruchu postpowego obrotowego wymenajc: Odpowednkem połoena jest kt. Prdkoc, prdko ktowa. Masy, moment bezwładnoc. Przyspeszena, przyspeszene ktowe. Sły, moment sły. Odpowednkem prawa zachowana pdu, prawo zachowana momentu pdu. Odpowednkem wzoru mv / wzór B ω /. Duo jest w tym prawdy! Ale jest jedna subtelna rónca!! W ruchu postpowym jest jeszcze prawo zachowana połoena pocztkowego rodka masy. Nektórzy myl to z prawem zachowana pdu. Myl, e to jest tego konsekwencja. Jeel bd chodzł wzdłu łódk, do przodu do tyłu. Take po łuku od rufy do dzoba, rodek łódk bdze s przemeszczał, a (abstrakcyjny rodek masy bdze stał). Jel jednak po ser przemeszcze wróc na stare mejsce na łódce, rodek łódk te wróc na swoje ) W warsztace samochodowym ne próbuje s dealne doklepa felg, czy podc gum opon, by nada m kształt dealne kolsty, a raczej odpowedno dobra małe, ołowane cark przymocowywane do koła. 6

7 mejsce. Przece, gdyby s przemecł, to ja razem z nm rodek ckoc te. A to nemolwe. A teraz stamy na mogcej obraca s płyce. Idzemy troch po obwodze w prawo, płyta pod nogam w lewo. My do tyłu, płyta do przodu. Wrócmy na swoje mejsce na płyce, płyta wróc na swoje mejsce. Wynka to rzeczywce z prawa zachowana momentu pdu. Argument jest prosty. Gdy nadalmy sobe prdko po obwodze równ v wzgldem Zem, to płyta zyskała prdko przecwn tak, by nasze momenty pdu s znosły: v B R tarczy = mrv. Jakkolwek zmena s prdko w czase, kty przebyte przeze nasza mne przez płyt, przy takm chodzenu, s w stałej proporcj. Gdy wróc, wróc płyta do swojego połoena. Podobny argument stosowałby s do łódk, tyle, e tam proporcja prdkoc okrelona by była przez masy: łódk moj. Ale zróbmy płyce pskusa. Idzemy ne wracamy, a zataczamy całe koło wzgldem płyty, (ale nepełne wzgldem Zem, bo płyta od drugej strony wyszła nam na spotkane), wracajc do perwotnego punktu płyty s zatrzymujemy. Płyta tez s zatrzymuje. Prawo zachowana momentu pdu dzała. Ale płyta ( my z n) jestemy obrócen w przestrzen. Troch jak ten Münchausen. Moemy te pój kawałek po łuku do przodu. Płyta do tyłu. My po promenu do rodka płyty, a płyta sto. Potem znów po promenu do starego mejsca. A płyta sto. I razem z płyt jestemy obrócen do tyłu! Prawo zachowana połoena rodka masy, cho spokrewnone z prawem zachowana pdu, jest od nego odrbne. Prawo zachowana momentu pdu ne ma takego spokrewnonego ze sob dalszego prawa. Gdyby mało, to razem z prawam zachowana energ pdu melbymy takch unwersalnych praw zachowana dla układu odosobnonego 3. Brzydka lczba! Gdyby prawa zachowana rodka masy ne było, melbymy takch praw 7. Te lczba podejrzana! W rzeczywstoc jest ch 0. Mówc bardzej sero, lczba 0 to lczba nezalenych parametrów okrelajcych wybór nercjalnego układu odnesena (4 współrzdne zdarzena gdze lokujemy pocztek, 3 parametry orentacj os 3 składowe wektora prdkoc). Zmana układu (dozwolona przece, bez adnych konsekwencj) to jest symetra. A z kada symetr we s prawo zachowana, (co w skromnym zakrese zaobserwowalmy). A wc prawo zachowana połoena rodka masy mus stne dodatkowo oprócz energ, pdu momentu pdu. I ne moe ju by nnego o tym charakterze. (Mog by, s, nne prawa zachowana, nezwzane ju jednak z symetr czterowymarowej czasoprzestrzen). 7

8 Kot moe obróc s w całoc, by spa na cztery łapy dzałajc tylko słam wewntrznym. To, e po drodze mus s wygna, to nna sprawa. Baron Münchausen te mógłby próbowa s wygna, a nc mu ne pomoe. By analoga była pełnejsza, pownnmy raczej połoy barona, czy postaw, na dealnym lodze kaza mu s przesun o par metrów. Ne da rady! Oczywce obróc s moe! Wystarczy, e zaczne krc rk młynka ponad głow. Całe cało tez zaczne s obraca, cho powol. Przerwe, gdy uzyska orentacj, jak sobe zaplanował. 8