2 Wielomiany ortogonalne

Wielomiany ortogonalne 2 1 2 Wielomiany ortogonalne Niech będzie przedziałem otwartym a, b) niewykluczone, że nieograniczonym). Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu 2.1) px)u x) + qx)u x) + rx)ux) = fx), gdzie p, q, r, f : R są co najmniej ciągłe. Ponadto zakładamy, że px) > 0 dla wszystkich x. Równanie 2.1) można przekształcić na wiele sposobów. Jednym z nich jest cechowanie: zapisujemy ux) = ϕx)vx), gdzie ϕ: R jest funkcją klasy C 2 taką, że ϕx) 0 dla wszystkich x. Zachodzi u x) = ϕ x)vx)+ϕx)v x), u x) = ϕ x)vx)+2ϕ x)v x)+ϕx)v x), co po podstawieniu do równania 2.1) daje ) px)v x)+ 2px) ϕ x) ϕx) +qx) v x)+ px) ϕ x) x) ϕx) +qx)ϕ ϕx) +rx) ) vx) = fx) qx). Przy pomocy odpowiedniego cechowania możemy, na przykład, usunąć wyrazy rzędu pierwszego w równaniu. stotnie, zauważmy, że biorąc ϕ takie, że ϕ ϕ = q 2p na przykład, ϕx) = exp x x 0 ) qξ) 2pξ) dξ, gdzie x 0 jest ustalone), w równaniu na vx) współczynnik przy wyrazach rzędu pierwszego jest stale równy zeru. 2.1 Twierdzenie Sturma 1) Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne liniowe jednorodne drugiego rzędu 2.2) px)u x) + qx)u x) + rx)ux) = 0. 1) Jacques-)Charles-François Sturm 1803 1855), matematyk francuski.

2 2 Skompilował Janusz Mierczyński Twierdzenie 2.1 Twierdzenie Sturma). Niech u 1, u 2 będą nietrywialnymi rozwiązaniami równań px)u j x) + qx)u jx) + r j x)u j x) = 0, j = 1, 2, gdzie r 1 x) < r 2 x) dla wszystkich x. Wówczas, jeśli dla pewnych c, d, c < d, zachodzi u 1 c) = u 1 d) = 0, to istnieje x c, d) takie, że u 2 x) = 0. Dowód. Poprzez cechowanie i podzielenie przez px) można założyć, że równania mają postać u j x) + r j x)u j x) = 0, j = 1, 2. Załóżmy, że u 1 nie ma miejsc zerowych na c, d) w przeciwnym razie, za d bierzemy pierwsze miejsce zerowe na prawo od c). Załóżmy nie wprost, że u 2 nie ma miejsc zerowych na c, d). Dla ustalenia uwagi można założyć, że u 1 i u 2 są dodatnie na c, d). Oznaczmy przez W wrońskian układu funkcji u 1, u 2 ), Zachodzi u W := 1 u 2 u 1 u = u 1u 2 u 1u 2. 2 W = u 1u 2+u 1 u 2 u 1u 2 u 1u 2 = u 1 r 2 u 2 +r 1 u 1 u 2 = r 1 r 2 )u 1 u 2 < 0 na c, d). Ponieważ miejsca zerowe nietrywialnego rozwiązania równania różniczkowego liniowego jednorodnego drugiego rzędu są proste 2), musi zachodzić u 1c) > 0 i u 1d) < 0, zatem W c) = u 1c)u 2 c) 0 i W d) = u 1d)u 2 d) 0. Doszliśmy zatem do sprzeczności. 2.2 Operatory różniczkowe z równaniem różniczkowym li- Operatorem różniczkowym stowarzyszonym niowym jednorodnym drugiego rzędu 2.3) px)u x) + qx)u x) + rx)ux) = 0 nazywamy odwzorowanie liniowe zdefiniowane jako L := px) d2 dx 2 + qx) d dx + rx), 2) Miejsce zerowe funkcji jednej zmiennej, klasy C 1, nazywamy prostym, gdy pochodna jest tam niezerowa.

Wielomiany ortogonalne 2 3 którego dziedziną jest pewna podprzestrzeń liniowa przestrzeni liniowej funkcji rzeczywistych określonych na. Niech w : R będzie funkcją ciągłą w praktyce, znacznie bardziej regularną) taką, że wx) > 0 dla wszystkich x. Taką funkcje w nazywamy wagą. Dla wagi w na przedziale oznaczmy L 2 w := { f : R, mierzalne, fx)) 2 wx) dx < }. Dla f, g L 2 w definiujemy f, g) w := fx)gx)wx) dx. L 2 w jest rzeczywistą) przestrzenią Hilberta, z iloczynem skalarnym, ) w. Definicja 2.2. Operator różniczkowy L stowarzyszony z równaniem 2.2) jest symetryczny względem wagi w, gdy Lu, v) w = Lv, u) w dla dowolnych u, v klasy C 2, o nośnikach zawartych w zwartym podprzedziale przedziału. 3) Od tej pory zakładamy, że wszystkie współczynniki równań, wagi, itp., są tak regularne, by występujące w dowodach operacje różniczkowania i całkowania miały sens. Lemat 2.3. Operator różniczkowy L stowarzyszony z równaniem 2.2) jest symetryczny względem wagi w wtedy i tylko wtedy, gdy L = p d2 dx + pw) 2 w d dx + r = 1 w d pw d ) + r. dx dx Dowód. Załóżmy dodatkowo, że waga w jest klasy C 1. Niech L będzie operatorem symetrycznym. Dla dowolnych u i v jak w definicji operatora symetrycznego zachodzi pu + qu + ru)vw dx = pv + qv + rv)uw dx, 3) Zauważmy, że takie funkcje u, v należą do przestrzeni Hilberta L 2 w.

2 4 Skompilował Janusz Mierczyński czyli pwu v v u) + qwu v v u) ) dx = 0, i dalej pu v uv ) + qu v uv ) ) w dx = 0. Ale więc 2.4) pw)u v uv ) dx = pw) u v uv ) dx, u v uv ) qw pw) ) dx = 0. Dla dowolnej, lecz ustalonej, funkcji v klasy C 2 o zwartym nośniku zawartym w weźmy za u funkcję klasy C 2, o zwartym nośniku zawartym w, przyjmującą wartość 1 na pewnym przedziale zwartym zawierającym nośnik funkcji v w swym wnętrzu. ux) vx) ) Dla każdej funkcji vx) można znaleźć funkcję ux) taką, że u x)vx) ux)v x) = v x) na Z 2.4) wynika, po scałkowaniu przez części, 0 = v qw pw) ) dx = v qw pw) ) dx. Skoro powyższa równość zachodzi dla dowolnej funkcji v klasy C 2 o zwartym nośniku zawartym w, zachodzi qw pw) = c, gdzie c jest stałą. Znów niech v będzie funkcją klasy C 2, o zwartym nośniku zawartym w. Weźmy za u funkcję klasy C 2, o zwartym nośniku zawartym w, i taką że ux) = x na pewnym przedziale zwartym zawierającym nośnik funkcji v w swym wnętrzu.

Wielomiany ortogonalne 2 5 vx) ux) ) 0 Dla każdej funkcji vx) można znaleźć funkcję ux) taką, że u x)vx) ux)v x) = vx) xv x) na Na podstawie wzoru 2.4) zachodzi, po scałkowaniu przez części, 0 = c vx) xv x)) dx = 2c vx) dx. Ponieważ zachodzi to dla dowolnej funkcji nieujemnej i nierównej stale zero, wynika stąd, że c = 0. Wniosek. Dla operatora różniczkowego L stowarzyszonego z równaniem 2.2) istnieje waga w, określona jednoznacznie z dokładnością do mnożenia przez stałą dodatnią, taka, że L jest symetryczny względem w. Dowód. pw) /w = q, czyli pw) /pw) = q/p, a zatem wx) = C px) exp gdzie x 0 jest ustalonym punktem z. x x 0 qy) py) dy, x, Dla danego operatora różniczkowego L stowarzyszonego z równaniem 2.2) można postarać się rozszerzyć jego dziedzinę w taki sposób, by był on wciąż symetryczny względem wagi w. Przykład. Niech = a, b), gdzie < a < b <. Załóżmy ponadto, że p, p, q, q, w, w rozszerzają się w sposób ciągły na [a, b]. Możemy powiedzieć, że operator L jest symetryczny względem wagi w, gdy dla dowolnych u, v L 2 w takich, że u, u, v, v są ciągłe na [a, b] zachodzi Lu, v) w = Lv, u) w. Zauważmy jednak, że przy takich u i v zachodzi Lu, v) w Lv, u) w = pwu v pwuv ) b a.

2 6 Skompilował Janusz Mierczyński Zatem przy powyższej definicji operatora symetrycznego, oprócz warunku qw = pw) trzeba jeszcze założyć coś więcej. Na przykład, warunkiem dostatecznym jest, by pa)wa) = pb)wb) = 0. Dla danego operatora L przez klasę funkcji dopuszczalnych rozumiemy odpowiednio dużą klasę funkcji, zawartą w L 2 w i zawierającą funkcje klasy C 2 o zwartych nośnikach zawartych w, dla których spełniony jest warunek Lu, v) w = Lv, u) w. W powyższym przykładzie gdy jest przedziałem ograniczonym, qw = pw) oraz pa)wa) = pb)wb) = 0), funkcje dopuszczalne to funkcje dające sie przedłużyć do funkcji klasy C 1 na [a, b]. Dopuszczalna funkcja u 0 jest funkcją własną dla operatora L, odpowiadającą wartości własnej λ, gdy Lu + λu = 0. Załóżmy, że u 1, u 2 są funkcjami własnymi symetrycznego operatora L odpowiadającymi wartościom własnym λ 1 λ 2. Zachodzi zatem Lu 1, u 2 ) w = λ 1 u 1, u 2 ) w i u 1, Lu 2 ) w = λ 2 u 1, u 2 ) w. Ale Lu 1, u 2 ) w = Lu 2, u 1 ) w, zatem u 1, u 2 ) w = 0. 2.2.1 Wielomiany Hermite a, Laguerre a i Jacobiego Zastanówmy się, kiedy w skład rodziny funkcji własnych symetrycznego operatora L = p d2 dx + pw) d 2 w dx + r na = a, b) wchodzą pewne) wielomiany dowolnego stopnia. Dla każdego n = 0, 1, 2, 3,... istnieje wielomian stopnia n będący funkcją własną operatora L. Wynika stąd, że dla każdego takiego n operator L przeprowadza przestrzeń liniową wielomianów stopnia co najwyżej n w siebie. Dalej, skoro funkcje własne należą do L 2 w, musi zachodzić 2.5) x n wx) dx < dla wszystkich n = 0, 1, 2,.... W szczególności, 2.6) wx) dx <. Dalej, L1 = λ oraz L1 = r, zatem współczynnik rzędu zerowego r musi być stały. Przesuwając wartości własne można założyć, że r 0.

Wielomiany ortogonalne 2 7 L przeprowadza przestrzeń liniową wielomianów stopnia co najwyżej jeden w siebie. Dla ux) = x zachodzi zatem Lu = pw) w = p + p w w, 2.7) p + p w w jest wielomianem stopnia 1. L przeprowadza przestrzeń liniową wielomianów stopnia co najwyżej dwa w siebie. Dla ux) = 1 2 x2 zachodzi zatem Lu = p + x p + p w w 2.8) p jest wielomianem stopnia 2. Skoro L jest operatorem symetrycznym w rozszerzonym znaczeniu), musi zachodzić 2.9) b a ) pwu v uv ) ) dx = 0 dla dowolnych dopuszczalnych u, v, w szczególności dla u i v będących wielomianami. A) p jest funkcją stałą. Weźmy p 1. Zatem w /w jest wielomianem stopnia co najwyżej jeden. Wynika stąd, że w jest eksponentą pewnego wielomianu stopnia co najwyżej dwa. Dokonując afinicznej zmiany zmiennej niezależnej i dzieląc przez stałą dodatnią, można założyć, że albo wx) 1, albo wx) = e x, albo wx) = e ±x2. Jeśli wx) 1, z warunku 2.6) wynika, że musi być przedziałem ograniczonym. Lecz warunek 2.9) nie może być spełniony. Załóżmy, że wx) = e x. Warunek 2.6) wymusza, że nie może być równy, ). Lecz wtedy warunek 2.9) nie może być spełniony w skończonych krańcach przedziału. W przypadku wx) = e ±x2 warunek 2.9) wymusza, że =, ), zaś z warunku 2.6) wynika, że wx) = e x2. Operator L ma zatem postać L = d2 dx 2 2x d dx

2 8 Skompilował Janusz Mierczyński na, ), z wagą wx) = e x2. Zauważmy, że operator L przeprowadza, dla każdego n = 0, 1, 2,..., przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej n w siebie. Wynika stąd, że dla każdego n istnieje wielomian stopnia n będący funkcją własną operatora L. Taki, odpowiednio znormalizowany 4), wielomian nazywamy n-tym wielomianem Hermite a 5), i oznaczamy przez H n. Łatwo wykazać, że n-ty wielomian Hermite a H n odpowiada wartości własnej 2n: LH n + 2nH n = 0. Wielomiany Hermite a są ortogonalne w przestrzeni Hilberta L 2 R, e x2 dx). Funkcje H n x)e 1 2 x2 są ortogonalne w przestrzeni L 2 R). Są one funkcjami własnymi operatora d 2 dx 2 + 1 x2 ). B) p jest funkcją liniową. Dokonując afinicznej zmiany zmiennej niezależnej i dzielenia przez stałą dodatnią można założyć, że px) = x. Z 2.7) wynika, że w /w = β + α/x. Zatem wx) = x α e βx. Z 2.9) wynika, że =, 0) lub = 0, ). Wybierzmy to drugie. Warunek 2.6) implikuje, że β < 0 i α > 1. Po przeskalowaniu i podzieleniu przez stałą dodatnią możemy założyć, że β = 1. Operator L ma zatem postać L = x d2 dx 2 + α + 1) x ) d dx na 0, ), z wagą wx) = x α e x, gdzie α > 1 Zauważmy, że operator L przeprowadza, dla każdego n = 0, 1, 2,..., przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej n w siebie. Wynika stąd, że dla każdego n istnieje wielomian stopnia n będący funkcją własną operatora L. Taki, odpowiednio znormalizowany 6), wielomian nazywamy n-tym wielomianem Laguerre a 7), i oznaczamy przez L α) n. 4) W tym przypadku oznacza to, że współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 2 n. 5) Charles Hermite 1822 1901), matematyk francuski. 6) W tym przypadku oznacza to, że współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1) n /n!. 7) Edmond Laguerre 1834 1886), matematyk francuski.

Wielomiany ortogonalne 2 9 Łatwo wykazać, że n-ty wielomian Laguerre a L α) n własnej n: LL α) n + nl α) n = 0. odpowiada wartości Wielomiany Laguerre a są ortogonalne w przestrzeni Hilberta L 2 0, ), x α e x dx). Funkcje L α) n x)x 1 2 α e 1 2 x są ortogonalne w przestrzeni L 2 0, )). Są one funkcjami własnymi operatora x d2 dx + d 2 dx x 4 α2 4x + α + 1. 2 C) p jest funkcją kwadratową, z wyróżnikiem dodatnim. Dokonując afinicznej zmiany zmiennej niezależnej i dzielenia przez stałą dodatnią można założyć, że px) = 1 x 2. Z 2.7) wynika, że w /w = β/1+x) α/1 x). Zatem wx) = 1 x) α 1+ x) β. Z 2.9) wynika, że = 1, 1), lub =, 1), lub = 1, ). Dwa ostatnie przypadki są wykluczone, gdyż wtedy x n dla dostatecznie dużych n nie należałyby do L 2 w, co przeczy 2.5). Zatem = 1, 1). Warunek 2.6) implikuje, że α > 1 i β > 1. Operator L ma zatem postać L = 1 x 2 ) d2 dx 2 + β α α + β + 2)x ) d dx na 1, 1), z wagą wx) = 1 x) α 1 + x) β, gdzie α, β > 1. Zauważmy, że operator L przeprowadza, dla każdego n = 0, 1, 2,..., przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej n w siebie. Wynika stąd, że dla każdego n istnieje wielomian stopnia n będący funkcją własną operatora L. Taki, odpowiednio znormalizowany 8), wielomian nazywamy n-tym wielomianem Jacobiego 9), i oznaczamy przez P n α,β). Łatwo wykazać, że n-ty wielomian Jacobiego P n α,β) odpowiada wartości własnej nn + α + β + 1): LP α,β) n + nn + α + β + 1)P α,β) n = 0. Wielomiany Jacobiego są ortogonalne w przestrzeni Hilberta L 2 1, 1), 1 x) α 1 + x) β dx). D) p jest funkcją kwadratową, z wyróżnikiem ujemnym. 8) Tutaj normalizacja jest bardziej skomplikowana. 9) Carl Gustav Jacob Jacobi 1804 1851), matematyk niemiecki.

2 10 Skompilował Janusz Mierczyński Dokonując afinicznej zmiany zmiennej niezależnej i dzielenia przez stałą dodatnią można założyć, że px) = 1 + x 2. Z 2.7) wynika, że wx) = 1+x 2 ) a. Z 2.9) wynika, że =, ). Lecz wtedy, jakiekolwiek a weźmiemy, x n dla dostatecznie dużych n nie należą do L 2 w, co przeczy 2.5). E) p jest funkcją kwadratową, z wyróżnikiem równym zeru. Dokonując afinicznej zmiany zmiennej niezależnej i dzielenia przez stałą dodatnią można założyć, że px) = x 2. Z 2.7) wynika, że wx) = x a e b/x. Z 2.9) wynika, że = 0, ) dla ustalenia uwagi). Lecz wtedy, jakiekolwiek a weźmiemy, x n dla dostatecznie dużych n nie należą do L 2 w, co przeczy 2.5). Wykazaliśmy, że z dokładnością do dodania wyrazu rzędu zerowego o stałym współczynniku), afinicznej zamiany zmiennej niezależnej i pomnożenia przez stałą dodatnią, równania różniczkowe zwyczajne liniowe jednorodne rzędu drugiego, mające wielomiany dowolnego stopnia jako funkcje własne, to równania odpowiadające wielomianom Hermite a, Laguerre a i Jacobiego czyli tzw. klasycznym wielomianom ortogonalnym). 2.3 Ogólna teoria wielomianów ortogonalnych Niech = a, b). Niech w : 0, ) będzie funkcją ciągłą taką, że A n := x n wx) dx < dla wszystkich n = 0, 1, 2,.... Oznaczmy 1 := 1, A 0 A 1... A n A 1 A 2... A n+1 n :=....., n = 0, 1, 2,..... A n A n+1... A 2n Lemat 2.4. n > 0 dla każdego n = 0, 1, 2,.... Dowód. Forma kwadratowa n n A j+k a j a k = x j+k n ) 2wx) a j a k )wx) dx = a j x j dx j,k=0 j,k=0 jest dodatnio określona, zatem n > 0. j=0

Wielomiany ortogonalne 2 11 Zdefiniujmy wielomiany A 0 A 1... A n 1 1 A 1 A 2... A n x Q n x) :=........ A n A n+1... A 2n 1 x n Wykorzystując rozwinięcie Laplace a względem n + 1)-szej kolumny otrzymujemy, że co daje A 0 A 1... A n 1 A m Q n x), x m A 1 A 2... A n A m+1 ) w =.....,.. A n A n+1... A 2n 1 A m+n Q n x), x m ) w = 0 dla m = 0, 1,..., n 1, Q n x), x n ) w = n. W szczególności, wielomiany Q n są ortogonalne. Dalej, Q n x), Q n x)) w = Q n x), n 1 x n ) w = n 1 Q n x), x n ) w = n 1 n, zatem wielomiany P n x) := 1 n 1 n Q n x) są ortonormalne. Oznaczmy przez h n współczynnik przy x n w wielomianie P n x). Zachodzi h n = n 1 n 1 n = n 1 n. Wielomian xp n x) ma stopień n + 1, i jest ortogonalny do x m dla m = 0, 1,..., n 2, zatem dla takich m zachodzi Mnożąc skalarnie równość xp n x) = xp n x), P m x)) w = 0. = α n+1 P n+1 x)+α n P n x)+α n 1 P n 1 x)+α n 2 P n 2 x)+...+α 1 P 1 x)+α 0 P 0 x)

2 12 Skompilował Janusz Mierczyński przez P m x) otrzymujemy, że α n 2 =... = α 0 = 0. Zatem istnieją a n, b n, c n takie, że 2.10) xp n x) = a n P n+1 x) + b n P n x) + c n P n 1 x). Powyższy wzór nazywamy formułą trójczłonową. Wyliczmy a n = h n h n+1, c n = xp n x), P n 1 x)) w = P n x), xp n 1 x)) w = h n 1 h n = a n 1. Po prostych manipulacjach otrzymujemy, dla x, y, x y, x y)p n x)p n y) = = a n Pn+1 x)p n y) P n x)p n+1 y) ) a n 1 Pn x)p n 1 y) P n 1 x)p n y) ), i ostatecznie otrzymujemy wzór Christoffela 10) Darboux 11) : 2.11) a n P n+1 x)p n y) P n x)p n+1 y) x y n = P j x)p j y). j=0 Lewą stronę wzoru Christoffela Darboux nazywamy jądrem Dirichleta 12), i oznaczamy przez K n x, y). Twierdzenie 2.5. Dla wielomianu q stopnia n zachodzi qx) = K n x, y)qy)wy) dy, x. Dowód. q jest kombinacją liniową wielomianów P k, k = 0, 1,..., n. Z ortonormalności wynika, że n q = q, P j ) w P j. j=0 Stosujemy teraz wzór Christoffela Darboux. Gdy y x, otrzymujemy ze wzoru Christoffela Darboux 2.11), że 2.12) a n P n+1 x)p n x) P n+1 x)p nx) ) n = P j x)) 2. j=0 Wynika stąd następujący 10) Elwin Bruno Christoffel 1829 1900), matematyk niemiecki. 11) Jean) Gaston Darboux 1842 1917), matematyk francuski. 12) Johann Peter Gustav Lejeune) Dirichlet 1805 1859), matematyk niemiecki.

Wielomiany ortogonalne 2 13 Wniosek. Pierwiastki wielomianów P n należące do są pojedyncze. Dowód. P 0 jest różną od zera funkcją stałą, zatem nie ma pierwiastków. Załóżmy nie wprost, że x 0 jest pierwiastkiem pewnego P n, n 1, krotności większej niż 1. Lecz wtedy lewa strona wzoru 2.12) jest równa zeru, podczas gdy prawa strona jest co najmniej równa P 0 ) 2 > 0. Lemat 2.6. P n ma n pierwiastków rzeczywistych, wszystkie w przedziale. Dowód. Niech x 1 <... < x m będą wszystkimi pierwiastkami wielomianu P n w przedziale. Oznaczmy m qx) := x x j ) gdy m > 0, qx) : 1 gdy m = 0. j=1 x 1,..., x m są pierwiastkami krotności jeden zarówno wielomianu P n jak i q, więc P n i q zmieniają znak w tych samych punktach przedziału. Zatem qp n ma stały znak poza pierwiastkami. Wynika stąd, że q, P n ) w 0. Lecz P n jest ortogonalny do wszystkich x k, k = 0, 1,..., n 1, więc q musi być wielomianem stopnia co najmniej n. Zatem m = n. Lemat 2.7. Pomiędzy kolejnymi pierwiastkami wielomianu P n znajduje się pierwiastek wielomianu P n 1 Dowód. Niech n 2. Zachodzi P nx)p n 1 x) P n x)p n 1x) > 0. Dla x 1 < x 2, kolejnych pierwiastków wielomianu P n, powyższa nierówność implikuje, że P nx 1 )P n 1 x 1 ) > 0, P nx 2 )P n 1 x 2 ) > 0. P nx 1 ) i P nx 2 ) muszą mieć różne znaki, zatem P n 1 x 1 ) i P n 1 x 2 ) mają różne znaki. 2.3.1 Zupełność wielomianów ortogonalnych Twierdzenie 2.8. Załóżmy, że dla pewnego c > 0 zachodzi e 2c x wx) dx <. Wówczas P 0, P 1, P 2,... ) jest bazą ortonormalną w L 2 w.

2 14 Skompilował Janusz Mierczyński Dowód. Niech f L 2 w. Ciąg f n ) n=0, gdzie n f n = f, P j ) w P j, j=0 jest ciągiem Cauchy ego w L 2 w. Oznaczmy jego granicę przez g. Dla każdego n N {0} zachodzi f, P n ) w = g, P n ) w. zatem h := f g jest ortogonalna do każdego P m. Rozszerzamy h i w na całe R kładąc zero poza. Z nierówności Schwarza hx)wx) dx R R hx) wx) ) ) 2 1/2 dx Transformata Fouriera, Hξ), funkcji hw, Hξ) = ĥwξ) = 1 2π jest holomorficzna w pasie { m ξ < c }. Zachodzi H n) 0) = i)n 2π R R R e ixξ hx)wx) dx, x n hx)wx) dx. wx) ) 2 dx ) 1/2 <. Lecz z h, P n ) w = 0 wynika, że h jest ortogonalne do x n, czyli H n) 0) = 0, dla każdego n. Zatem H 0. 2.3.2 Wzór Rodriguesa Powracamy teraz do klasycznych wielomianów ortogonalnych. Rozważmy równanie na wartości własne: 2.13) px)ψ nx) + px)wx)) ψ wx) nx) + λ n ψ n x) = 0. Różniczkując je po x otrzymujemy 2.14) pψ n) + q + p )ψ n) + q + λ n )ψ n = 0. Ale q + p = pw) w zatem pw jest wagą dla 2.14). + p = p2 w + 2pp w pw = ppw) ) pw,

Wielomiany ortogonalne 2 15 Otrzymaliśmy, że ψ n są wielomianami ortogonalnymi stopnia n 1 dla wagi pw, z wartościami własnymi λ n q. Dalej, ψ n są wielomianami ortogonalnymi stopnia n 2 dla wagi p 2 w, z wartościami własnymi λ n q p + q) = λ n 2q p. Ogólnie, ψ n m) są wielomianami ortogonalnymi stopnia n m dla wagi p m w, z wartościami własnymi λ n mq 1 2 mm 1)p. ψ n) n to stała odpowiadająca wartości własnej zero. Otrzymujemy stąd λ n = nq 1 2 nn 1)p. Równanie 2.13) daje 2.15) wψ n = 1 λ n pwψ n), ale, z 2.14), λ n + q )pwψ n = p 2 wψ n + p 2 w ψ n + 2pp wψ n) = = p 2 wψ n) + p 2 ) wψ n)) = p 2 wψ n), stąd 2.16) pwψ n) = 1 λ n + q p2 wψ n). Z 2.15) i 2.16) wynika, że wψ n = 1 λ n λ n + q ) p2 wψ n). Powtarzając powyższe rozumowanie otrzymujemy, że n 1 wψ n = 1) n Zauważmy, że ψ n) n m=0 to stała. λn + mq + 1 2 mm 1)p ) 1 p n wψ n) n ) n)

2 16 Skompilował Janusz Mierczyński W szczególności, otrzymujemy ogólny) wzór Rodriguesa 13) 2.17) ψ n x) = c n px) n wx) ), wx) dx n d n gdzie c n 0. Przy tradycyjnej normalizacji klasycznych wielomianów ortogonalnych mamy wzór Rodriguesa dla wielomianów Hermite a 2.18) H n x) = 1) n dn x2 e dx n e x2 ), wzór Rodriguesa dla wielomianów Laguerre a 2.19) L α) n x) = 1 n! x α e x dn dx n e x x n+α ), wzór Rodriguesa dla wielomianów Jacobiego 2.20) P n α,β) x) = 1)n n!2 n 1 x) α β dn 1+x) 1 x) n+α 1+x) n+β). dx n 2.3.3 Funkcje tworzące Funkcją tworzącą dla klasycznych) wielomianów ortogonalnych ψ n nazwijmy funkcję ψ n x) Gx, s) := s n. n! Rozważmy wzór Rodriguesa n=0 ψ n x) = 1 d n px) n wx) ). wx) dx n Ustalmy x, i niech Γ C będzie zorientowanym dodatnio okręgiem o środku w x i promieniu tak małym, by był zawarty wraz ze swym wnętrzem w dziedzinie funkcji p i w. Zachodzi ψ n x) = n! 2πi Γ wz) wx) pz) n dz z x) n z x. 13) Benjamin-)Olinde Rodrigues-Henriques) 1795 1851), matematyk, filozof i bankier francuski.

Wielomiany ortogonalne 2 17 Podstawiając powyższe do wzoru na funkcję tworzącą otrzymujemy Gx, s) = 1 2πi Γ n=0 s n pz) n wz) z x) n wx) dz z x = 1 2πi Γ wz) wx) dz z x spz). Oznaczmy przez ζx, s) rozwiązanie względem z) równania z x = spz), zbieżne do x przy s 0. Z postaci p mianowicie, pz) 1, lub pz) = z lub pz) = 1 z 2 ) wynika, że rozwiązanie to jest jednoznacznie określone. Jako że pochodna po z funkcji z x spz), czyli 1 sp z) jest różna od zera dla s dostatecznie małych, więc ζ = ζx, s) jest biegunem rzędu jeden funkcji podcałkowej, i residuum w tym punkcie jest równe wz) lim z ζ wx) z ζ z x spz) = wζ) wx) 1 1 sp ζ). ζ Γ ) x Przy dostatecznie małym s i dostatecznie małym promieniu okręgu Γ, wewnątrz Γ znajduje się tylko jeden biegun ζ funkcji podcałkowej Zatem Gx, s) = wζ) wx) 1, ζ spζ) = x, s małe. 1 sp ζ) 2.3.4 Więcej o wielomianach Hermite a Przypomnijmy, że wielomiany Hermite a spełniają równanie 2.21) H nx) 2xH nx) + 2nH n x) = 0, są ortogonalne na, ) względem wagi e x2, i spełniają wzór Rodriguesa H n x) = 1) n e x2 dn dx n e x2 ).

2 18 Skompilował Janusz Mierczyński Powyższy wzór można zapisać jako H n x) = 2x d ) n 1). dx Wynika zeń, w szczególności, że współczynnik przy najwyższej potędze w H n x) jest równy 2 n, H nx) = 2nH n 1 x), H nx) 2xH n x) = H n+1 x). Formuła trójczłonowa 2.10) przybiera teraz postać H n+1 x) = 2xH n x) 2nH n 1 x). Wielomian Hermite a stopnia n jest funkcją parzystą dla n parzystych, i nieparzystą dla n nieparzystych. Zapisując wielomiany Hermite a jako n H n x) = c k x k, k=0 z równania na wartości własne 2.21) otrzymujemy, że z czego wynika, że k + 2)k + 1)c k+2 = 2k n)c k, H n x) = 1) j n! j!n 2j)! 2x)n 2j. 2j n Funkcję tworzącą dla wielomianów Hermite a definiujemy jako Gx, s) = n=0 H n x) s n. n! Zastosujmy wyliczenia z poprzedniego podrozdziału, pamiętając o tym, że w przypadku wielomianów Hermite a występuje współczynnik 1) n. Odpowiada to zastąpieniu s przez s. Wówczas ζx, s) = x s, i otrzymujemy Gx, s) = e x s)2 e x2 = e 2xs s2.

Wielomiany ortogonalne 2 19 Zauważmy, że m,n=0 co daje i dalej, Zatem s m t n m! n! H m x)h n x)e x2 dx = Gx, s)gx, t)e x2 dx = = e 2st e x s t)2 dx = e 2st π = 2st) n π, n=0 n! t n H m, H n ) w s m ) = t n π n=0 n! m=0 m! n=0 n! 2n s n, m=0 H m, H n ) w s m m! = π2 n s n. H m, H n ) w = 0 dla m n, H n, H n ) w = n! 2 n π. Znormalizowane wielomiany Hermite a definiujemy jako H n x) = 1 4 π n! 2 n H nx). Przypomnijmy, że dla f L 2 w współczynniki rozwinięcia w bazie ortonormalnej H n ) n=0 są równe f n = f, H n ) w. Załóżmy teraz, że funkcja f ma wszystkie pochodne wykładniczego wzrostu. Wtedy dla n = 0, 1, 2,... zachodzi fx)h n x)e x2 dx = = 1) n fx)e x2 d n dx n e x2 ) ) 1) n fx) dn dx n e x2 ) dx = e x2 dx = f n) x)e x2 dx. Wynika stąd w szczególności, że x m, H n ) w = 0 gdy m < n co już wiemy), a także, że x m, H n ) w 0 co najwyżej, gdy m i n mają tę samą parzystość. Gdy m = n + 2k, otrzymujemy x m, H n ) w = m! m n)! e x2 x m n m! dx = 2 m n)! 0 e x2 x m n dx,

2 20 Skompilował Janusz Mierczyński co po zamianie zmiennych t = x 2 dx = 1 2 t 1/2 dt, x m n = t m n)/2 ) daje m! e t t m n)/2 t 1/2 m! dt = m n)! m n)! Γ 1 m n + 1)). 2 0 Analogicznie można wyliczyć, dla a C, e ax, H n ) w = a n e ax x2 dx = a n e x a/2)2 e a2 /4 dx = = a n e a2 /4 e x2 dx = a n e a2 /4 π. Oznaczając zmienną x przez t i podstawiając następnie a = 2ix, otrzymujemy e x2 = 1 π e 2ixt t2 dt. Z powyższego wzoru można otrzymać, wykorzystując wzór Rodriguesa, że H n x) = 1) n ex2 π 2it) n e 2ixt t2 dt. Pierwiastki wielomianów Hermite a mają następujące własności: Twierdzenie 2.9. Wielomian Hermite a H n x) ma n pierwiastków pojedynczych, leżących w przedziale Można nawet powiedzieć więcej: 2n + 1 < x < 2n + 1. Twierdzenie 2.10. Dodatnie pierwiatki x 1,n < x 2,n <... wielomianu Hermite a H n x) spełniają następujące oszacowania: dla n = 2m, 2k 1)π 2 2n + 1 < x k,n < 4k + 1, k = 1, 2,..., m; 2n + 1 dla n = 2m + 1, kπ 2 2n + 1 < x k,n < 4k + 3 2n + 1, k = 1, 2,..., m. Zachodzi następujący wzór asymptotyczny 2.22) H n x) = 2 n/2 21/4 n!) 1/2 ) ) e x2 /2 1 cos 2n + 1 x nπ) 1/2 2 nπ + On 1/2 ) przy n, jednostajnie na przedziałach ograniczonych.

Wielomiany ortogonalne 2 21 2.3.5 Rozwinięcia w szeregi względem wielomianów Hermite a Oznaczmy, dla funkcji rzeczywistej f określonej na, ) gdzie c n = fx) c n H n x), n=0 1 2 n n! π fx)h n x)e x2 dx. Wiemy już Twierdzenie 2.8), że dla f L 2 w zbieżne do f w normie L 2 w. sumy częściowe szeregu są Twierdzenie 2.11. Załóżmy, że f L 2 w. Niech x będzie takie, że dla pewnych δ > 0 i C > 0 zachodzi fξ) fx) C gdy 0 < ξ x < δ. ξ x Wówczas szereg n=0 c n H n x) jest zbieżny do fx). 2.3.6 Wielomiany Legendre a i Czebyszewa Wielomiany Legendre a 14) to wielomiany Jacobiego dla α = β = 0: P n x) = P n 0,0) x). Waga to wx) 1, równanie na wartości własne to i funkcja tworząca to 1 x 2 )P n x) 2xP nx) + nn + 1)P n x) = 0, P n x)s n = 1 2xs + s 2 ) 1/2. n=0 Wielomiany Czebyszewa 15) można zdefiniować jako T n x) = 2 4 6... 2n) 3 5... 2n 1) P n 1/2, 1/2) x), 4 6... 2n + 2) U n x) = 1 3 5... 2n + 1) P n 1/2,1/2) x). 14) Adrien-Marie Legendre 1752 1833), matematyk francuski. 15) Pafnutij Lwowicz Czebyszew powinno być: Czebyszow) 1821 1894), matematyk rosyjski.

2 22 Skompilował Janusz Mierczyński ch funkcje tworzące to T n x)s n = n=0 U n x)s n = n=0 1 xs 1 2xs + s 2, 1 1 2xs + s 2. Wielomiany Gegenbauera 16), zwane też wielomianami ultrasferycznymi, definiowane są jako C λ nx) = 2λ) 2λ + 1)... 2λ + n 1) λ + 1 2 ) λ + 3 2 )... λ + n 1 2 λ 1/2,λ 1/2) n )P x). 2.3.7 nformacja o dyskretnych wielomianach ortogonalnych W poprzednich podrozdziałach rozważaliśmy wielomiany, które są ortogonalne względem iloczynu skalarnego wyznaczonego przez ciągłą wagę: całkowanie odbywało się po mierze absolutnie ciągłej względem miary Lebesgue a, z gęstością wx). Zamiast takiej miary możemy wziąć miarę dyskretną na przykład, sumę przeliczalnie wielu delt Diraca w punktach całkowitych). Dokładniej, niech w = w n ) n= będzie ciągiem liczb nieujemnych. loczyn skalarny definiujemy wzorem a normę wzorem f, g) w := f 2 w := k= k= fm)gm)w m, fm)) 2 w m. Wielomiany mają skończoną normę wtedy i tylko wtedy, gdy momenty rzędu parzystego sa skończone: k= m 2n w m <. W takim przypadku można skonstruować wielomiany ortogonalne analogicznie jak w przypadku ciągłej wagi. Zachodzą wtedy odpowiedniki formuły trójczłonowej 2.10) i wzoru Christoffela Darboux 2.11). Ponadto, jeśli istnieje c > 0 takie, że e 2c m w m <, k= 16) Leopold Bernhard Gegenbauer 1849 1903), matematyk austriacki.

Wielomiany ortogonalne 2 23 to wielomiany ortogonalne tworzą bazę odpowiedniej przestrzeni Hilberta. Zamiast liniowego operatora różniczkowego drugiego rzędu rozpatrujemy teraz tzw. liniowy operator różnicowy drugiego rzędu. Rozpocznijmy od zdefiniowania operatorów przesunięcia wzorem Operator różnicowy drugiego rzędu to S ± f)m) := fm ± 1). L := p + S + + p S + r, gdzie p +, p i r to funkcje. Operator L jest symetryczny względem w wtedy i tylko wtedy, gdy S p + w) = p w, co jest równoważne S + p w) = p + w. Z symetrii wynika, że funkcje własne odpowiadające różnym wartościom własnym sa ortogonalne. Można spytać, kiedy operator L ma jako funkcje własne pewne wielomiany stopni zero, jeden i dwa. Okazuje się, że odpowiada to tzw. klasycznym dyskretnym wielomianom ortogonalnym: wielomiany Charliera 17) zwane też wielomianami Poissona Charliera), wielomiany Krawczuka 18), wielomiany Meixnera 19), wielomiany Hahna 20). 17) Carl Vilhelm Ludwig Charlier 1862 1934), astronom szwedzki. 18) Mychajło Pyłypowicz Krawczuk 1892 1942), matematyk ukraiński używana jest też forma rosyjska: Michaił Filippowicz Krawczuk). 19) Josef Meixner 1908 1992), niemiecki fizyk teoretyk. 20) Wolfgang Hahn 1911 1998), matematyk niemiecki nie mylić z matematykiem austriackim Hansem Hahnem 1879 1934), znanym np. z twierdzenia Hahna Banacha).