Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 1.3.13.

Glava 1 Integrali Izračunati sledeće dvostruke integrale: 1.1. I(a) = G ( + y) a, gde je skup G odre den nejednačinama: >, y >, < a + y 1. Zatim izračunati lim a I(a). 1.. I(a) = G + y, G je trougao ograničen pravama = 1, = y, = y + a, < a < 1. Naći lim I(a). a 1.3. y, G je ograničen -osom i lukovima kružnica G + y = 1, + y =. 1.4. ( + y ). +y ay 1.5. G a y, G je ograničen kružnicom +y = a i pravama y =, y = 3. 1.6. G a y, G je krug + y a =. 1.7. G ( ( +y ) 1+ 1+ 3 +y ), G je odre den nejednačinama y, + y 1, + y 4. 1.8. G 4 a y b, ako je G ograničen elipsama a i + y = 1 i pripada prvom kvadrantu. (a) (b) + y b = 1 1.9. G + y, G je ograničen koordinatnim osama i krivom + y = 1. 3

4 GLAVA 1. INTEGRALI 1.1. 1, y 1 y. 1.11. y. +y a 1.1. ( + y ). 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17. 1.18. 1.19. + y 1 1, y +y +y 1 π, y 1, 1 y 1 +y 4 1,,y 4 +y 4 1 3 +y 3 1,y y. y. cos( + y). y. ( + y ). y 3 1 y 4. y 1 ( 3 + y 3 ). 1.. Ako je (, y) f(, y) neprekidna funkcija u nekom krugu oko tačke 1 (, ), izračunati lim f(, y). ρ πρ +y ρ Naći površine skupova u ravni, ograničenih sledećim krivama korišćenjem dvostrukih integrala: 1.1. y = a, + y = 5 a, a >. 1.. y =, = y. 1.3. y = 3, + y = 1. 1.4. y =, y =. 1.5. ( + y ) = a 3. 1.6. ( + y ) 3 = 4 + y 4. 1.7. ( + y ) 3 = 4 y. 1.8. ( + y ) = a ( y ), + y a.

5 1.9. ( + y ) 5 = y. 1.3. ( 3 + y 3 ) = + y,, y. 1.31. ( + y ) = 8a y, ( a) + (y a) a. 1.3. a + y b = h + y k. = + y h 1.33. 3 + y3 a 3 b 3 1.34. ( ) = 1.35. ( 1.36. a + y b a + y b ) 3 = y c 3 ( ) + y = y. a b c k, =, y =. a y a, y >. (površinu petlje). 1.37. + y = a, + y = a, a >. Naći zapreminu tela ograničenog sledećim površima u prostoru, korišćenjem dvostrukih integrala: 1.38. Paraboloidom z = + y, koordinatnim ravnima i ravni + y = 1. 1.39. Paraboloidom z = + y i ravnima z =, y = 1, y =, y = 6. Ravnima z =, y + z = i cilindrom y =. 1.4. Cilindrima y =, y = i ravnima z =, + z = 6. 1.41. Koordinatnim ravnima, ravni 3y 1 = i cilindrom z = 1 y. 1.4. Površi z = cos cos y i ravnima z =, + y π, y π. 1.43. Površima + y =, y = z, z >. 1.44. Paraboloidom z = 3 y i ravni z = ; 1.45. Sferom + y + z = R i cilindrom + y = R, + y R. 1.46. Paraboloidom z = + y, cilindrima + y =, + y = i ravni z =. 1.47. Paraboloidom + y az =, cilindrom ( + y ) = a ( y ) i ravni z =, a >. 1.48. Ravnima z = a, z = i cilindrom + y = a. 1.49. Cilindrom + y = i površi z = y, z. 1.5. Površima + y + z = 3a, + y = az.

6 GLAVA 1. INTEGRALI 1.51. Površi ( ) + y a b + z = 1. c 1.5. Izračunati površinu dela cilindra z = 4 koji pripada prvom oktantu, a koji isecaju cilindar y = 4 i ravan = 1, korišćenjem dvojnih integrala. 1.53. Izračunati površinu dela paraboloida z = + y koji iseca cilindar + y = 1. 1.54. Izračunati površinu dela sfere + y + z = a koji iseca cilindar + y = b, (b a). 1.55. Naći površinu onog dela sfere + y + z = R koji se projektuje na ravan z = van kruga + y R =,, y. 1.56. Naći površinu dela paraboloida z = y, z >, koji je ograničen ravnima =, = a, y =, y = b. 1.57. Izračunati površinu dela konusa z = + y, isečenog cilindrom + y =. 1.58. Naći površinu dela sfere +y +z = a isečenog cilindrom ( +y ) = a ( y ). 1.59. Izračunati površinu onog dela površi z = + y koji iseca cilindar ( + y ) = c y za i z. Izračunati sledeće trostruke integrale 1.6. (1 )yzdz, G je ograničen koordinatnim ravnima i ravni G z = 1 y. 1.61. (+y +z)dz, G je ograničen koordinatnim ravnima i ravnima G = 1, y = 1, z = 1. 1.6. G ( + y + z )dz, G je ograničen površi 3( + y ) + z = 3a. 1.63. G ydz, G je ograničen površima y = + z, y = h, h >. 1.64. G y cos(z + )dz, G je ograničen cilindrom y = i ravnima y =, z =, + z = π. 1.65. G [ ( + y + z) 9 5 a] dz, G je odre den nejednakostima + y az, + y + z 3a, a >. 1.66. J(b) = dz, G je ograničen površima z = 1 G (z+a) y a ( + y ), z = b, a, b > ; naći lim J(b). b

1.67. dz, G je ograničen koordinatnim ravnima i površi + y + G (1++y+z) 3 z = 1. 1.68. G + y dz, G je ograničen ravni z = 1 i površi +y = z. 1.69. G z ln( +y +z +1)dz +y +z +1, G je lopta + y + z 1. 1.7. G ( + y + z )dz, G je ograničen površima y + =, + y + z = R, (zajednički deo). 1.71. G 1.7. G 1.73. G zdz +y R, G je ograničen površima z = h R, z = h,, y. dz +y +(z ), G je ograničen sferom + y + z = 1. dz +y +(z ), G je ograničen cilindrom + y 1, 1 z 1. 1.74. G + y + z dz, G je ograničen sferom + y + z = z. 1.75. G ( + y )dz, G je ograničen površima + y = z, z =. 1.76. e yz ydz, uvodeći smenu = u, y = u+v, z = u u+v+w. u+v 1 1.77. 1.78. 1.79. 1.8.,y 1,z 1,yz 1 1 d d d 1 dy 1 1 a a dy dy a +y +z R,z dz. z + y dz. 1 y + y + z dz. ( + y ). Izračunati zapreminu tela ograničenog površima: 1.81. z = + y, z = + y, y =, y =. 1.8. + z = a, + y = ±a, y = ±a. 1.83. z = 4 y, z = y +, = 1, =. 1.84. z =, + y = 4az, + y = c. 1.85. z = ln( + ), z = ln(6 ), =, + y =, y =. 7

8 GLAVA 1. INTEGRALI 1.86. ( 1) + y = z, + z =. 1.87. z = 6 y, z = + y. 1.88. + y + z = 4, + y = 3z. ( ) 1.89. + y a b + z = 1. c 1.9. + y + z = R, + y = R(R z). 1.91. z = + y, z = y. 1.9. 1, y 1, + y 1, z ( + y ) 3. 1.93. + y + z = 4Rz 3R, z = 4( + y ) (deo sfere u unutrašnjosti konusa). 1.94. + y + z = 1, + y = z. a b c a b c 1.95. + y + z = az, + y z. 1.96. ( + y + z ) = a ( + y z ). 1.97. ( + y + z ) 3 = 3yz. 1.98. ( + y + z ) = a 3. 1.99. ( + y z ) 3 = a 3 z 4. 1.1. ( + y + z ) 3 = a y z. ( 1.11. + y a b 1.1. 1.13. 1.14. ( + y a b ( + y a b ( + y a b + z c ) = h, h >. + z c ) =. + z c ) = yz. ) + z c = + y a ) = z b. 1.15. ( + y + z,, y, z >. a b c d 1.16. ( + y + ) z a b c = + y,, y, z >. h k 1.17. ( + y + ) z 3 a b c = ln a + y b + z c,, y, z >. a + y b 1.18. + y + z = a, + y + z = a, + y = z, y =, y = 3. Ispitati konvergenciju nesvojstvenih integrala:

9 1.19. 1.11. 1.111. 1.11. 1.113. 1.114. 1.115. 1.116. +y 1 +y 1 ( +y ) m, m R. (1 y ) m, m R. +y 1,,y + y 1 +y 1 ( α +y β ) m, α, β, m R. α + y β, α, β R. sin sin y, p R. (+y) p e +y+z dz.,y,z,y,z +y +z 1 e +y+z dz. dz (yz) a, a R. Izračunati sledeće nesvojstvene integrale: 1.117. R 1.118. y +1 1+ +y. 4 +y. 1.119. R (1+ +y ) 3. 1.1.,y (a + +y ). 1.11. e y. 1.1. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. R y y y e (+y). e y. sin y e y. y +y 1,>,y> +y 1 arctg(+y) ( +y ). (1 y ) a, a R.

1 GLAVA 1. INTEGRALI 1.17. R e ( +y ) cos( + y ). 1.18. R e ( +y ) sin( + y ). Ako je G krug +y a, ispitati koji od sledećih integrala konvergiraju: 1.19. G ln + y. 1.13. G e y. +y sin( +y ) 1.131. G (. +y ) 3 1.13. G cos( +y ). +y Izračunati integrale 1.133. 1.134.,y,z,y,z dz (1++y+z). ydz (1+ +y +z ) 3. 1.135. e y z dz. R 3 1.136. ln( + y + z )dz. +y +z R dz 1.137., p, q, r R. p y q z r,y,z 1 Ako je G kugla + y + z R, ispitati koji od sledećih integrala konvergiraju: 1.138. dz G ( +y +z ) ln 3. +y +z 1.139. ln +y +z dz. G +y +z 1.14. yz dz. G ( +y +z ) 3 Izračunati integrale: 1.141. G d 1 d n, G = {( 1,..., n ) : 1,..., n >, 1 + + n 1}. 1.14. G 1d 1 d n, G je kao u prethodnom primeru. 1.143. G d 1 d n, G = {( 1,..., n ) : 1 + + n a}. 1.144. G ( 1 + + n)d 1 d n, G = {( 1,..., n ) : 1,..., n 1}. 1.145. G ( 1 + 1 3 + n 1 n )d 1 d n, G je kao u prethodnom primeru.