SZCZEGÓLNE CHARAKERYSYKI NIEZWODNOCIOWE SZEREGOWYCH SYSEMÓW MECHARONICZNYCH ZBIGNIEW MAUSZAK Sreszczee W pracy scharakeryzowao podsawowe rozkłady uszkodze elemeów wchodzcych w skład urzdze mecharoczych: wykładczy Webulla ormay logarymo-ormay. Rozparzoo pewe szczegóe przypadk gdy czasy zdaoc elemeów sysemu mecharoczego maj powysze czery rozkłady a sam sysem urzdzea mecharoczego worz rzy elemey o srukurze szeregowej róych ypach rozkładów czasów zdaoc elemeów. Kolejo elemeów e ma zaczea. W kocowej czc przedsawoo przypadek gdy w syseme o srukurze szeregowej pracuj czery elemey kórych czasy zdaoc maj róe ypy rozkładów. Słowa kluczowe: rozkłady uszkodze elemeów sysem mecharoczy rozkłady uszkodze sysemów weloelemeowych. Wprowadzee Połczee elemeów mechaczych elekryczych elekroczych peumayczych w jede spójy dzałajcy sysem echczy w osach laach azywae jes urzdzeem sysemem mecharoczym. Kady z ych elemeów charakeryzuje s specyczym charakerem rwało- c uszkadzaoc ezawodoc. Nezawodo urzdze elemeów składowych urzdzea mecharoczego opsuj modele maemaycze rozkłady zmeych losowych a szczegółowej charakerysyk ezawodocowe kóre w bezpored sposób wpływaj a charakerysyk ezawodocowe urzdzea mecharoczego w kórego skład wchodz. Najczcej sosowae modele maemaycze w badaach ezawodocowych urzdze echczych o ake rozkłady zmeych losowych jak: wykładczy Webulla ormay logarymo-ormay ormay ucy w zerze gamma dwumaowy Beroullego Possoa hpergeomeryczy geomeryczy oraz procesy: Possoa ormay Markowa sem-markowa. Rozkłady s modelam probablsyczym aomas procesy sochasyczym [6] [7] [8] [9] []. Poewa w opse ajławej moa posługwa s modelam ajprosszym ajczcej spoykaym w dalszej czc aalzy przyjo e elemey rozparywaych sysemów mecharoczych maj rozkład wykładczy Webulla ormay lub logarymo-ormay. Welolee badaa eksploaacyje dospe bazy o uszkodzeach elemeów urzdze echczych wskazuj e okreloym elemeom urzdzeom moa przypsa charakerysycze dla ch rozkłady charakerysyk ezawodocowych abela. Rówe ypowe rodzaje uszkodze charakeryzuj s okreloym rozkładam charakerysyk ezawodocowych [] [] [4] [5] abela.
Sudes & Proceedgs o Polsh Assocao or Kowledge Maageme Nr 45 77 abela. ukcje esywoc uszkodze wybraych elemeów urzdze Eleme urzdzee drobe elemey gumowe p. uszczeea membray elemey urzdzea uszkodzoe przez czyk zewrze elemey elekrocze urzdzea z domujc lczb elemeów ruchomych ródło: Opracowae włase. Rozkład ukcj esywoc uszkodze Webulla Wykładczy Wykładczy Webulla abela. ukcje esywoc uszkodze dla ypowych rodzajów uszkodze Rodzaj uszkodzea kaasrocze sarzeowe bardzo woe zuyce szybke zuyce zuyce korozyje ródło: Opracowae włase. Rozkład ukcj esywoc uszkodze Wykładczy Webulla gamma Wykładczy Normay logarymo-ormay Gamma W prezeowaej aalze załooo e urzdzee mecharocze składa s z elemeów. Czas zdaoc -ego elemeu jes zme losow τ o rozkładze okreloym aspujcym charakerysykam: ezawodoc elemeu R P{ τ }... gsoc prawdopodobeswa czasu zdaoc elemeu d... d esywoc uszkodze elemeu d [ R ]... d R oczekwaym czasem zdaoc elemeu E [ τ ] R d.... 4 W dalszej czc opracowaa scharakeryzowao czery rozkłady a aspe przedsawoo wybrae charakerysyk ezawodocowe mesza kompozycj elemeów urzdze mecharoczych. W prezeowaym maerale ograczoo s do przedsawea rozkładów mesza dla dwóch elemeów.
78 Szczegóe charakerysyk ezawodocowe szeregowych sysemów mecharoczych. Charakerysyka rozkładów ezawodoc Rozkład wykładczy Rozkład wykładczy jes przyday do badaa ezawodoc akch urzdze kórych uszkodzea s wykem oddzaływaa obce udarowych ak zwaych bodców skokowych. Rozkład wykładczy moe by zasosoway do badaa ezawodoc urzdze elemeów gdy: zmay sau echczego wykajce z ch uszkodzea s eodwracae pozom wyrzymałoc odporoc a zuyce jes sały co ozacza brak uszkodze powsałych w wyku sarzea pochodzcych od wymusze kumulujcych s uszkodzea s wykem zewrzych lub wewrzych udarowych oddzaływa przypadkowych bodców skokowych. Charakerysyk czasu zdaoc τ... elemeu s aspujce : ezawodo elemeu R e 5 gso prawdopodobeswa czasu zdaoc elemeu esywo uszkodze elemeu oczekway czas zdaoc elemeu Rozkład Webulla e E [ τ ] cos 6 7. 8 Rozkład Webulla opsuje czas poprawej pracy akch urzdze w kórych wyspujce uszkodzea s ezalee kade z uszkodze powoduje ura sau zdaoc urzdzea co ozacza e obeky e musz posada szeregow srukur ezawodocow kade urzdzee składa s z wysarczajco duej lczby jedorodych elemeów. β... Eleme ma rozkład Webulla o paramerach przyjmuj posa : ezawodo elemeu [ β ] R exp gso prawdopodobeswa czasu zdaoc elemeu esywo uszkodze elemeu [ β ] β exp β gdy jego charakerysyk 9
Sudes & Proceedgs o Polsh Assocao or Kowledge Maageme Nr 45 79 oczekway czas zdaoc elemeu E [ τ ] Γ β. Szczegóym przypadkem rozkładu Webulla jes rozkład Raylegha w kórym paramer. Rozkład ormay Rozkład ormay jes modelem ezawodocowym dowoego obeku echczego w kórym zachodz uszkodzea wykajce z procesów sarzea w ym rówe zuyca. Jes przyday gdy zmea losowa m opsywaa zaley od welu zjawsk przyczy z kórych ada e moe by uzaa za domujc. τ Czas zdaoc elemeu ma rozkład ormay gdy gso prawdopodobeswa ma posa exp < < π a jego dysrybuaa x exp dx < < π 4 przy czym jes oczekwaym czasem zdaoc elemeu a jego waracj. Rozkład ormay jes okreloy dla wszyskch R aomas zmea losowa τ okrelajca czas zdaoc elemeu przyjmuje jedye waroc eujeme. Moa godz s a ak eadekwao modelu gdy prawdopodobeswa s pomjae małe e wksze bł- P{ τ < } dy pomarowe. W celu prosszego wygodejszego zapsu charakerysyk czasu zdaoc elemeu o rozkładze ormaym skorzysao z charakerysyk rozkładu ormaego N o gsoc prawdopodobeswa dysrybuace exp R π x exp dx R. π Moa wówczas charakerysyk elemeów sysemu zapsa w posac: gso prawdopodobeswa czasu zdaoc elemeu R 5 6 7
Szczegóe charakerysyk ezawodocowe szeregowych sysemów mecharoczych 8 ezawodo elemeu R 8 esywo uszkodze elemeu 9 W przypadku gdy e moa przyj załoea e prawdopodobeswa { } < P τ s pomjae małe aley posłuy s rozkładem ormaym ucym w kórym czas poprawej pracy elemeu przyjmuje ylko waroc eujeme. τ W ym przypadku charakerysyk ezawodocowe elemeów maj posa: gso prawdopodobeswa czasu zdaoc elemeu ezawodo elemeu R esywo uszkodze elemeu. Rozkład logarymo-ormay Rozkład logarymo-ormay w eor ezawodoc charakeryzuje a podsawe bada empryczych wyrzymało elemeów mealowych a zmczee wyrzymałoc meal poddaych długorwałym apreom a ake realzacje czasu poprawej pracy elemeów elekroczych. Czas pracy elemeu τ ma rozkład logarymo-ormay gdy zmea losowa Y τ ma rozkład ormay z parameram N. Korzysajc z gsoc prawdopodobeswa dysry-
Sudes & Proceedgs o Polsh Assocao or Kowledge Maageme Nr 45 8 buay rozkładu ormaego N charakerysyk ezawodocowe elemeu o rozkładze logarymo-ormaym moa zapsa w posac: gso prawdopodobeswa czasu zdaoc elemeu exp > π ezawodo elemeu R 4 esywo uszkodze elemeu oczekway czas zdaoc elemeu [ ] τ exp E 6 W urzdzeach mecharoczych wyspuj elemey o róym rozkładze uszkodze. W dalszej czc przedsawoo charakerysyk dla rzech elemeów o róych rozkładach. Ze wzgldu a spoyka ajczcej szeregow srukur ezawodocow elemeów ych urzdze rozparywao elemey o akej zaleoc Elemey worzce sysem echczy urzdzea mecharoczego s ezalee o zaczy τ e pracuj uszkadzaj s ezalee od sebe. Zaem zmee losowe dla... opsujce czasy zdaoc elemeów sysemu s ezalee. Sa -ego elemeu sysemu moa okrel za pomoc ukcj gdy y eleme jes zday w chwl x gdy y eleme jes ezday w chwl. 7 Sa wszyskch elemeów sysemu moa wówczas okrel za pomoc wekora zerojedykowego [ x... ]. x x x 8 Sa sysemu jes opsay przez ukcj Φ ϕ ϕ[ x... ] [x] x x 9 przy czym ukcja a moe przyjmowa ylko dwe waroc zero jede gdy sysem w chwl jes zday Φ gdy sysem w chwl jes ezday. W zborze wekorów zero-jedykowych przyjmuje s czcowy porzdek: x [ x ] x... x < [ x ' '... '] x' x x 5
8 Szczegóe charakerysyk ezawodocowe szeregowych sysemów mecharoczych jeel dla wszyskch jes x x '. Rozparywae sysemy s mooocze z. e ukcja ϕ x okrelajca sa sysemu jes emalejca w sese wyej przyjego porzdku. Ozacza o e dla dowoych x x' spełoy jes waruek: ϕ x < x' x ϕ x' Moooczo sysemu umolwa rozbce zboru saów sysemu X{x} a dwa podzbory: X {x : ϕ x} zbór saów zdaoc sysemu X {x : ϕ x } zbór saów ezdaoc sysemu. Ozaczajc przez τ zme losow okrelajc czas bezawaryjej pracy urzdzea mecharoczego poszukwae s aspujce charakerysyk ezawodocowe: ezawodo sysemu prawdopodobeswo bezawaryjej pracy sysemu do chwl R P{ τ } gso prawdopodobeswa czasu bezawaryjej pracy sysemu d d 4 esywo uszkodze sysemu d [ R ] d R 5 oczekway czas pracy sysemu [ τ ] R d. E 6 Prawdopodobeswo bezawaryjej pracy urzdzea mecharoczego moa zapsa w posac R P{ τ } P{ x} x X 7 Gdze: Px R x x jes prawdopodobeswem ego e sysem zajduje s w sae x. przyjo 8 W dalszych rozwaaach bdze okrelaa srukur ezawodocowa sysemu co ozacza e okrelay bdze zbór saów zdaoc sysemu X kórych elemey pracuj do perwszego uszkodzea.
Sudes & Proceedgs o Polsh Assocao or Kowledge Maageme Nr 45 8. Charakerysyk rozkładów sysemów szeregowych rzyelemeowych Poej rozparzoo pewe szczegóe przypadk gdy czasy zdaoc elemeów sysemu maj rozkłady omówoe w poprzedm rozdzale a sam sysem urzdzea mecharoczego worz rzy elemey o srukurze szeregowej róych ypach rozkładów czasów zdaoc elemeów. Kolejo elemeów e ma zaczea. Perwszy eleme ma czas zdaoc o rozkładze wykładczym z paramerem drug β rozkład Webulla z parameram a rzec rozkład ormay z parameram przy P τ < czym prawdopodobeswo { } posa: ezawodo sysemu jes pomjae małe. Charakerysyk sysemu przyjmuj exp[ β ] R gso prawdopodobeswa czasu zdaoc sysemu exp β β esywo uszkodze sysemu [ ] [ ] [ β 4 Jeel rzec eleme ma czas zdaoc o rozkładze ormaym ucym w zerze o charakerysyk sysemu przyjmuj posa: ezawodo sysemu R exp [ β ] gso prawdopodobeswa czasu zdaoc sysemu esywo uszkodze exp [ ] [ β β ] β 44 Perwszy eleme ma czas zdaoc o rozkładze wykładczym z paramerem drug β rozkład Webulla z parameram a rzec rozkład logarymo-ormay z parameram. Charakerysyk sysemu przyjmuj posa: ezawodo sysemu [ β ] R exp > 9 4 4 4 45
Szczegóe charakerysyk ezawodocowe szeregowych sysemów mecharoczych 84 gso prawdopodobeswa czasu zdaoc sysemu [ ] [ ] exp β β 46 esywo uszkodze sysemu. β 47 Perwszy eleme ma czas zdaoc o rozkładze wykładczym z paramerem drug rozkład ormay z parameram przy czym prawdopodobeswo { } τ < P jes pomjae małe a rzec rozkład logarymo-ormay z parameram. Charakerysyk sysemu przyjmuj posa: ezawodo sysemu e R 48 gso prawdopodobeswa czasu zdaoc sysemu [ ] e 49 esywo uszkodze sysemu 5 Jeel drug eleme ma czas zdaoc o rozkładze ormaym ucym w zerze z parameram o charakerysyk sysemu maj posa: ezawodo sysemu e R 5 gso prawdopodobeswa czasu zdaoc sysemu [ ] e 5 esywo uszkodze sysemu 5 Perwszy eleme ma czas zdaoc o rozkładze Webulla z parameram β drug
85 rozkład ormay z parameram małym prawdopodobeswem { } τ < P a rzec rozkład logarymo-ormay z parameram. Charakerysyk sysemu przyjmuj wówczas posa: ezawodo sysemu [ ] exp β R 54 gso prawdopodobeswa czasu zdaoc sysemu [ ] [ ] exp β β 55 esywo uszkodze sysemu β 56 Jeel drug eleme ma czas zdaoc o rozkładze ormaym ucym w zerze o charakerysyk sysemu maj posa: ezawodo sysemu β e R > 57 gso prawdopodobeswa czasu zdaoc sysemu [ ] [ ] β β β e e 58 esywo uszkodze sysemu β 59 Poej przedsawoo jeszcze przypadek gdy w syseme o srukurze szeregowej pracuj czery elemey kórych czasy zdaoc maj róe ypy rozkładów. Dla perwszego elemeu jego czas zdaoc bdze zme losow o rozkładze wykładczym z paramerem dla drugego o rozkładze Webulla z parameram β dla rzecego o rozkładze ormaym z parameram małym prawdopodobeswem { } τ < P a dla Sudes & Proceedgs o Polsh Assocao or Kowledge Maageme Nr 45
86 Szczegóe charakerysyk ezawodocowe szeregowych sysemów mecharoczych czwarego o rozkładze logarymo-ormaym z parameram 4 4. Kolejo wymeoych elemeów e ma zaczea. Charakerysyk ezawodocowe sysemu przyjmuj wówczas posa: ezawodo sysemu R β 4 exp[ ] 4 gso prawdopodobeswa czasu zdaoc sysemu [ β 4 e β esywo uszkodze sysemu 4 4 4 ] 4 4 4 β 4 4 4 4 6 6 4 6 W przypadku sysemów lczejszych czeroelemeowe pospuje s aalogcze posługujc s przedsawo meodolog. Moa rówe dokoa dekompozycj sysemu o wkszej lczbe elemeów a podsysemy rzy lub czeroelemeowe kóre jako owe obeky ake worz szeregow srukur ezawodocow. Jako uzupełee moa przyoczy aalz -elemeowego sysemu o rówoległej srukurze ezawodocowej. Sosowae s e same ozaczea kóre okreloe zosały wczeej. Załooo e elemey s ezalee a sysem mecharoczy pracuje bezawaryje do chwl uszkodzea s wszyskch elemeów. W akm przypadku charakerysyk przyjmuj posa: dysrybuaa czasu zdaoc sysemu ezawodo sysemu P τ { τ < } P{ τ < τ <... < } R gso prawdopodobeswa czasu zdaoc sysemu esywo uszkodze sysemu j j j j j 66 Oczekway czas zdaoc sysemu o rówoległej srukurze ezawodocowej jes rówy j 6 64 65
Sudes & Proceedgs o Polsh Assocao or Kowledge Maageme Nr 45 87 E [ τ ] d 67 Oczekway czas zdaoc sysemu rzadko moa oblczy w jawej posac. Nawe dla prosych rozkładów oczekway czas zdaoc sysemu jes do skomplkoway. W szczegóym przypadku wszyske elemey sysemu mog me jedakowe rozkłady czasu zdaoc. Zachodz o zwykle wedy gdy klka elemeów speła jed sam ukcj. Dla jej spełea wysarcza jede eleme dlaego pozosałe elemey saow rezerw gorc w akej... syuacj ajczcej dla. Wówczas dla sysemu o srukurze rówoległej złooej z jedakowych elemeów charakerysyk ezawodocowe maj posa: dysrybuaa czasu zdaoc sysemu ezawodo sysemu R gso prawdopodobeswa czasu zdaoc sysemu esywo uszkodze sysemu oczekway czas pracy sysemu 4. Uwag kocowe [ R ] E [ τ ] [ ] 68 68 7 7 d. 7 W klasyczych problemach eor ezawodoc wyzaczau charakerysyk probablsyczych ezawodoc obeków owarzyszy poszukwae modelu rozkładu czasu zdaoc badaego obeku. Najczcej jako model rozkładu czasu zdaoc obeku przyjmuje s rozkłady ajprossze opsae wczeej w opracowau. W urzdzeach mecharoczych wyspuj rówe sysemy o srukurze szeregoworówoległej. W wkszoc opracowa doyczcych ezawodoc ych sysemów wprowadza s pojce cek mmaej lub maksymaego przekroju. A {... } Zbór elemeów akego sysemu k azyway jes mmacek gdy: sysem jes zday jel zdae s wszyske elemey z ego zboru ezalee od sau pozosałych elemeów ade podzbór zboru A e ma ej własoc. Kadej mmaej cece odpowada graczy sa sysemu e w kórym uszkodzee dowoego elemeu powoduje uszkodzee sysemu.
88 Szczegóe charakerysyk ezawodocowe szeregowych sysemów mecharoczych Zborem wszyskch mmaych ceek jes { A A...A } m Aj e wszyske elemey mmaej cek ezawodo sysemu moa wyraz wzorem: R m P A j j. Zdarzee polegajce a ym A s zdae ozacza s sam ler j. Wówczas m P A P A Ak < k m A A A... P A A... A P k j m < k< j 7 Kade z prawdopodobesw po prawej sroe powyszej zaleoc moa okrel jako: P A A... A R R...R s s s s l 74 s gdze s... sl A A... A s s wskakam elemeów worzcych mmae cek cek e mog me czc wspóe wówczas kady eleme uwzglda s jede raz. B { j j... j } Zbór elemeów l azyway jes mmaym przekrojem gdy: sysem jes ezday jel ezdae s wszyske elemey z ego zboru ezalee od sau pozosałych elemeów ade podzbór zboru B e ma ej własoc. { B B...B } Zborem wszyskch mmaych przekrojów jes s. Zdarzee polegajce B. a ym e wszyske elemey przekroju B s ezdae ozacza s sam ler Wówczas dysrybuaa czasu zdaoc sysemu ma posa: m P B j j m P B P B Bk < k m B B B... P B B... B P k j m < k< j 75 Z powyszego wzoru moa orzyma oszacowae prawdopodobeswa uszkodzea sysemu z dowo zada z góry dokładoc. W szczegóym przypadku: s B P B B P B P k < k 76 Nerówo a daje a ogół dosaecze dokłade oszacowae dysrybuay czasu zdaoc sysemu. Przy badau duych złooych obeków mecharoczych moe s okaza e ade z wymeoych rozkładów e jes wysarczajco dobrym modelem rozkładu czasu zdaoc obeku. Przyczy ego jes sumowae s welu róych srume uszkodze elemeów badaego obeku z kórych kady moe me zupełe e charakerysyk probablsycze. W akm przypadku zaleca s poszerzee lczby waraów model maemayczych czasu zdaoc o meszay rozkładów lub kompozycje rozkładów []. Zagadea e s bardzo złooe eresujce lecz wykraczaj zacze poza zakres ejszego opracowaa ze wzgldu a swoj objo mmo powsały a baze zaprezeowaej aalzy. s
Sudes & Proceedgs o Polsh Assocao or Kowledge Maageme Nr 45 89 [] Chybowsk L.M. Mauszak Z.R.: Examples o Dsrbuo o echcal Objec ad Sysem Up-Saes. Rsk Qualy ad Relably VSB echcal Uversy o Osrava Osrava 7 s. 8 88. [] Mauszak Z.: Charakerysyk ezawodocowe weloelemeowych srukur meszaych odawaych. Colleco o research papers o he Balc Assocao o Mechacal Egeerg Expers No 4 Mechacal Egeerg o he Balc Rego Kagrad Sae echcal Uversy Kagrad 4 p. 46 48. [] Mauszak Z.: Charakerysyk ezawodocowe klkuelemeowych sysemów echczych o srukurze szeregowej rówoległej o róych rozkładach czasów zdaoc. Colleco o research papers o he Balc Assocao o Mechacal Egeerg Expers No 4 Mechacal Egeerg o he Balc Rego Kagrad Sae echcal Uversy Kagrad 4 pp. 49 5. [4] Mauszak Z.: Seleced saey models o elemes ad sysems he ege room. Ieraoal Scec Joural Problems o appled mechacs. Georga Commee o Ieraoal ederao or he Maches ad Mechacs bls Gruzja 4 No 4/4 s. 9. [5] Nowakowsk.: Bazy wedzy w badaach ezawodoc maszy. Maerały Koerecj Naukowej "Meody dowadczae w budowe eksploaacj maszy roboczych echologczych oraz rodków rasporu" Wyd. Polechk Wrocławskej Wrocław-Szklarska Porba 99 s. 9 5. [6] Praewska M. red.: Nezawodo urzdze elekroczych. WKŁ Warszawa 987. [7] Rausad M. Høylad A.: Sysem Relably heory: Models Sascal Mehods ad Applcaos. Secod edo. New Jersey: Wley Ierscece 4. [8] Saleh J. H. Maras K.: Relably: How much s worh? Beyod s esmao or predco he e prese value o relably. Relably Egeerg ad Sysem Saey Vol. 9 6 pp. 665 67. [9] Soskow B.S.: Nezawodo elemeów urzdze auomayk. WN Warszawa 97. [] Wayska-ok K. Jawsk J. Nezawodo sysemów echczych. PWN Warszawa 99.
9 Szczegóe charakerysyk ezawodocowe szeregowych sysemów mecharoczych PARICULAR RELIABILIY CHARACERISICS O SERIAL MECHARONICS SYSEMS Summary he paper preses basc alures dsrbuos o mecharocs devces compoes: expoeal Webull ormal log-ormal. Some parcular cases whe up sae me o sysem compoes have our lsed dsrbuos are cosdered. hree compoes ha have seral srucure ad dere ypes o dsrbuo o compoes up sae me buld mecharoc devce sysem. Order o elemes s eglgble. Case whe seral srucure sysem operae our elemes ha have dere up sae me s preseed he ed o he paper. Keywords: compoes alures dsrbuos mecharocs sysem mul-compoe sysems alures dsrbuos Akadema Morska w Szczece Isyu Eksploaacj Słow Okrowych ul. Wały Chrobrego - 7-5 Szczec e-mal: z.mauszak@am.szczec.pl