http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1

Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wyksztaªcenie u studentów podstaw j zyka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiej tno- ±ci przeprowadzania rozumowa«matematycznych oraz opanowanie przez nich podstawowych poj dotycz cych zbiorów, relacji i funkcji. 2

Program wykªadu 1. Rachunek zda«2. Rachunek kwantykatorów 3. Metody dowodzenia twierdze«4. Zbiory 5. Funkcje 6. Relacje 7. Teoria mocy 8. Konstrukcje zbiorów liczbowych 3

Literatura podstawowa Jan Kraszewski, Wst p do matematyki, WNT 2007, 2012. Helena Rasiowa, Wst p do matematyki wspóªczesnej, PWN (wiele wyda«). Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz,Elementy logiki i teorii mnogo±ci w zadaniach, PWN (wiele wyda«). 4

Literatura uzupeªniaj ca Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykªady ze wst pu do matematyki, PWN 2005. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wst p do matematyki: zbiór zada«, PWN 2005. Roman Murawski, Kazimierz wirydowicz, Wst p do teorii mnogo±ci, UAM 2006. Julian Musielak, Wst p do matematyki, PWN 1970. Kenneth Ross, Charles Wright, Matematyka dyskretna, PWN 2005. 5

Gary Chartrand, Albert Polimeni, Ping Zhang, Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics, Pearson, 2012. Robert Bond, William Keane, An Introduction to Abstract Mathematics, Waveland Press, 2007. Richard Hammack, Book of proof, Virginia Commonwealth University, http://www.people.vcu.edu/~rhammack/bookofproof/bookofproof.pdf 6

Wymagania egzaminacyjne: zaliczenie wicze«na ocen, egzamin pisemny z wykªadu. Egzamin skªada si z dwóch cz ±ci: testu z podstawowych pyta«i polece«trwaj cego 15 minut, zawieraj cego 10 pyta«ocenianych w skali od 0 do 1, cz ±ci zadaniowej trwaj cej 75 minut, zawieraj cej 5 zada«ocenianych w skali od 0 do 2. Š cznie mo»na otrzyma od 0 do 20 punktów. Ocena z egzaminu zale»y od liczby uzyskanych punktów: 10 3, 12 3+, 14 4, 16 4+, 18 5. 7

Skrypt wykªadu, przykªadowe pytania i zadania znajduj si na stronie www: http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 8

Hasªo matematyka w sªownikach i encyklopediach Sªownik J zyka Polskiego PWN, http://sjp.pwn.pl/szukaj/matematyka Oxford Dictionary, http://www.oxforddictionaries.com/definition/ english/mathematics Encyklopedia PWN, http://encyklopedia.pwn.pl/haslo/3938552/ matematyka.html Wikipedia, http://pl.wikipedia.org/wiki/matematyka Wikipedia, wersja angielska, http://en.wikipedia.org/wiki/mathematics 9

Co to jest matematyka? Courant Richard, Robbins Herbert, Co to jest matematyka? Matematyka, jako wyraz my±li ludzkiej, odzwierciedla czynn wol, kontemplacyjny rozum i d»enie do doskonaªo±ci estetycznej. Jej podstawowymi elementami s : logika i intuicja, analiza i konstrukcja, uogólnianie i indywidualizowanie. Ró»ne tradycje podkre±laªy ró»ne spo±ród tych aspektów, jednak tylko gra przeciwstawnych siª, walka o ich syntez stanowi o»ywotno±ci, u»yteczno±ci i ogromnym znaczeniu matematyki. Matematyka jest zawieszona pomi dzy rzeczywisto±ci a nierzeczywisto±ci ; jej sens nie tkwi ani w formalnej abstrakcji, ani w ±wiecie zycznym. (... ) Matematyka wi»e abstrakcyjny ±wiat poj umysªu ze ±wiatem zycznym, nie b d c cz ±ci»adnego z nich. 10

Davis Philip, Hersh Reuben, wiat matematyki Co to jest liczba? Co to jest zbiór? Co to jest dowód? Co wiemy o matematyce? I jak to wiemy? Co to jest ±cisªo± matematyczna? Co to jest intuicja matematyczna? Kiedy sformuªowaªem te pytania, zdaªem sobie spraw,»e nie znam na nie odpowiedzi. (... ) Co gorsza, nie miaªem podstawy czy kryterium, które pozwoliªoby mi mierzy ró»ne opinie, broni lub atakowa jaki± pogl d. Nawi zaªem rozmowy z innymi matematykami na temat dowodu, wiedzy, matematycznej rzeczywisto±ci i okazaªo si,»e mój stan mglistej niepewno±ci byª typowy. 11

Historia logiki w kilkunastu zdaniach Marek Kordos, Wykªady z historii matematyki, WSiP 1995, str. 276, 277. 12

Oznaczenia zbiorów N 0 = {0, 1, 2, 3,...} zbiór liczb naturalnych z zerem, N 1 = {1, 2, 3,...} zbiór liczb naturalnych bez zera, Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} zbiór liczb caªkowitych, Q zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych. 13

Rachunek zda«14

Zdania prawdziwe: Przykªady zda«w matematyce 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Je±li x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza dan liczb rzeczywist ), Je±li a 2 + b 2 = c 2, to trójk t o bokach dªugo±ci a, b, c jest prostok tny (a, b, c oznaczaj dane liczby dodatnie), Zdania faªszywe: 2 + 2 = 5, 2 Q, Q Z. 15

Pytanie. Czy prawdziwe jest zdanie: Je±li trójk t o bokach dªugo±ci a, b, c jest prostok tny, to a 2 + b 2 = c 2? (a, b, c dane liczby dodatnie) 16

Zdanie posiadaj ce jedn z dwóch warto±ci logicznych: prawda lub faªsz, nazywamy zdaniem logicznym. Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r,.... Warto± logiczn faªsz oznaczamy symbolem 0, a warto± logiczn prawda symbolem 1. Je±li zdanie p jest faªszywe, to piszemy v(p) = 0, a je±li jest prawdziwe, to piszemy v(p) = 1. Zªo»one zdania logiczne s zbudowane z innych zda«logicznych za pomoc spójników logicznych: jednoargumentowego i dwuargumentowych,,,,. 17

Negacja p nie p, nieprawda,»e p negacja zdania p Przykªad: 1 nie jest liczb pierwsz, dokªadniej: nieprawda,»e 1 jest liczb pierwsz. Zdanie p jest negacj zdania p: 1 jest liczb pierwsz. 18

Zdanie p jest: prawdziwe, gdy p jest faªszywe, faªszywe, gdy p jest prawdziwe. v(p) v( p) 0 1 1 0 19

Koniunkcja p q p i q koniunkcja zda«p i q Przykªad: 2 jest liczb pierwsz i parzyst, dokªadniej: 2 jest liczb pierwsz i 2 jest liczb parzyst. Jest to koniunkcja p q, gdzie p oznacza zdanie 2 jest liczb pierwsz, a q oznacza zdanie 2 jest liczb parzyst. 20

Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania p i q s prawdziwe, faªszywe, gdy co najmniej jedno ze zda«p i q jest faªszywe. v(p) v(q) v(p q) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 21

Alternatywa p q p lub q alternatywa zda«p i q Przykªad. Wybierzmy pewn liczb caªkowit x i rozwa»my zdanie: x < 1 lub x > 1. Jest to alternatywa p q, gdzie p oznacza zdanie x < 1, a q oznacza zdanie x > 1. W przypadku x = 0 oba zdania s prawdziwe i alternatywa te» jest zdaniem prawdziwym. 22

Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zda«p i q jest prawdziwe, faªszywe, gdy oba zdania p i q s faªszywe. v(p) v(q) v(p q) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 23

Alternatywa rozª czna p q p albo q alternatywa rozª czna zda«p i q Przykªad. Rozwa»my dwie (ró»ne) proste na pªaszczy¹nie. Mówimy: Dane proste si przecinaj albo s równolegªe. Jest to alternatywa rozª czna p q, gdzie p oznacza zdanie Dane proste si przecinaj, a q oznacza zdanie Dane proste s równolegªe. 24

Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy jedno ze zda«p, q jest prawdziwe, a drugie faªszywe, faªszywe, gdy oba zdania p i q s jednocze±nie prawdziwe lub jednocze±nie faªszywe. v(p) v(q) v(p q) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 25

Alternatywy rozª cznej (w zdaniu prawdziwym) u»ywamy, gdy chcemy podkre±li,»e oba zdania nie mog jednocze±nie by prawdziwe. Uwaga. Je±li zdanie p q jest prawdziwe, to zdanie p q te» jest prawdziwe, np.: Dane proste si przecinaj lub s równolegªe. Je±li zdanie p q jest prawdziwe, to zdanie p q nie musi by prawdziwe, np.: 0 < 1 albo 0 > 1. 26

Równowa»no± p q p wtedy i tylko wtedy, gdy q, p dokªadnie wtedy, gdy q równowa»no± zda«p i q. Przykªad. Rozwa»my czworok t wypukªy ABCD. Zdanie: Czworok t ABCD jest opisany na okr gu wtedy i tylko wtedy, gdy AB + CD = AD + BC jest równowa»no±ci zda«p: Czworok t ABCD jest opisany na okr gu i q: AB + CD = AD + BC. 27

Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania p i q s jednocze±nie prawdziwe lub jednocze±nie faªszywe, faªszywe, gdy jedno ze zda«p, q jest prawdziwe, a drugie faªszywe. v(p) v(q) v(p q) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 28

Implikacja p q je±li p, to q, p implikuje q implikacja o poprzedniku p i nast pniku q Jak okre±lamy warto± logiczn implikacji? 29

Przykªad. Zdanie x = 1 x 2 = 1 jest prawdziwe dla ka»- dej liczby rzeczywistej x. Zwró my uwag na warto± logiczn poprzednika oraz nast pnika tej implikacji dla poszczególnych warto±ci x. x = 1 x 2 = 1 dla x = 1 prawda prawda dla x = 0 faªsz faªsz dla x = 1 faªsz prawda 30

Prawdziwo± implikacji oznacza,»e je±li zdanie p jest prawdziwe, to zdanie q te» musi by prawdziwe (a je±li p nie jest prawdziwe, to q mo»e by jakiekolwiek). Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania s prawdziwe, gdy oba zdania s faªszywe oraz gdy zdanie p jest faªszywe, a zdanie q jest prawdziwe, faªszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest faªszywe. v(p) v(q) v(p q) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 31