- PDF Free Download

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download ""

Marian Kowalski
7 lat temu
Przeglądów:

1 1

2 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania rozumowań matematycznych oraz opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących zbiorów, relacji i funkcji. 2

3 Program wykładu 1. Rachunek zdań 2. Rachunek kwantyfikatorów 3. Metody dowodzenia twierdzeń 4. Zbiory 5. Funkcje 6. Relacje 7. Teoria mocy 8. Konstrukcje zbiorów liczbowych 3

4 Literatura podstawowa Jan Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT 2007, Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN (wiele wydań). Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN (wiele wydań). 4

5 Literatura uzupełniająca Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki, PWN Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wstęp do matematyki: zbiór zadań, PWN Roman Murawski, Kazimierz Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, UAM Julian Musielak, Wstęp do matematyki, PWN Kenneth Ross, Charles Wright, Matematyka dyskretna, PWN

6 Gary Chartrand, Albert Polimeni, Ping Zhang, Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics, Pearson, Robert Bond, William Keane, An Introduction to Abstract Mathematics, Waveland Press, Richard Hammack, Book of proof, Virginia Commonwealth University, 6

7 Wymagania egzaminacyjne: zaliczenie ćwiczeń na ocenę, egzamin pisemny z wykładu. Egzamin składa się z dwóch części: testu z podstawowych pytań i poleceń trwającego 15 minut, zawierającego 10 pytań ocenianych w skali od 0 do 1, części zadaniowej trwającej 75 minut, zawierającej 5 zadań ocenianych w skali od 0 do 2. Łącznie można otrzymać od 0 do 20 punktów. Ocena z egzaminu zależy od liczby uzyskanych punktów: 10 3, 12 3+, 14 4, 16 4+,

8 Skrypt wykładu, przykładowe pytania i zadania znajdują się na stronie www: 8

9 Hasło matematyka w słownikach i encyklopediach Słownik Języka Polskiego PWN, Oxford Dictionary, english/mathematics Encyklopedia PWN, matematyka.html Wikipedia, Wikipedia, wersja angielska, 9

10 Co to jest matematyka? Courant Richard, Robbins Herbert, Co to jest matematyka? Matematyka, jako wyraz myśli ludzkiej, odzwierciedla czynną wolę, kontemplacyjny rozum i dążenie do doskonałości estetycznej. Jej podstawowymi elementami są: logika i intuicja, analiza i konstrukcja, uogólnianie i indywidualizowanie. Różne tradycje podkreślały różne spośród tych aspektów, jednak tylko gra przeciwstawnych sił, walka o ich syntezę stanowi o żywotności, użyteczności i ogromnym znaczeniu matematyki. Matematyka jest zawieszona pomiędzy rzeczywistością a nierzeczywistością; jej sens nie tkwi ani w formalnej abstrakcji, ani w świecie fizycznym. (... ) Matematyka wiąże abstrakcyjny świat pojęć umysłu ze światem fizycznym, nie będąc częścią żadnego z nich. 10

11 Davis Philip, Hersh Reuben, Świat matematyki Co to jest liczba? Co to jest zbiór? Co to jest dowód? Co wiemy o matematyce? I jak to wiemy? Co to jest ścisłość matematyczna? Co to jest intuicja matematyczna? Kiedy sformułowałem te pytania, zdałem sobie sprawę, że nie znam na nie odpowiedzi. (... ) Co gorsza, nie miałem podstawy czy kryterium, które pozwoliłoby mi mierzyć różne opinie, bronić lub atakować jakiś pogląd. Nawiązałem rozmowy z innymi matematykami na temat dowodu, wiedzy, matematycznej rzeczywistości i okazało się, że mój stan mglistej niepewności był typowy. 11

12 Historia logiki w kilkunastu zdaniach Marek Kordos, Wykłady z historii matematyki, WSiP 1995, str. 276,

13 Oznaczenia zbiorów N = {0, 1, 2, 3,...} zbiór liczb naturalnych z zerem, N 1 = {1, 2, 3,...} zbiór liczb naturalnych bez zera, Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} zbiór liczb całkowitych, Q zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych. 13

14 Rachunek zdań 14

15 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Zdania fałszywe: = 5, 2 Q, Q Z. 15

16 Pytanie. Czy prawdziwe jest zdanie: Jeśli trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny, to a 2 + b 2 = c 2? (a, b, c dane liczby dodatnie) 16

17 Zdanie posiadające jedną z dwóch wartości logicznych: prawda lub fałsz, nazywamy zdaniem logicznym. Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r,.... Wartość logiczną fałsz oznaczamy symbolem 0, a wartość logiczną prawda symbolem 1. Jeśli zdanie p jest fałszywe, to piszemy v(p) = 0, a jeśli jest prawdziwe, to piszemy v(p) = 1. Złożone zdania logiczne są zbudowane z innych zdań logicznych za pomocą spójników logicznych: jednoargumentowego i dwuargumentowych,,,,. 17

18 Negacja p nie p, nieprawda, że p negacja zdania p Przykład: 1 nie jest liczbą pierwszą, dokładniej: nieprawda, że 1 jest liczbą pierwszą. Zdanie p jest negacją zdania p: 1 jest liczbą pierwszą. 18

19 Zdanie p jest: prawdziwe, gdy p jest fałszywe, fałszywe, gdy p jest prawdziwe. v(p) v( p)

20 Koniunkcja p q p i q koniunkcja zdań p i q Przykład: 2 jest liczbą pierwszą i parzystą, dokładniej: 2 jest liczbą pierwszą i 2 jest liczbą parzystą. Jest to koniunkcja p q, gdzie p oznacza zdanie 2 jest liczbą pierwszą, a q oznacza zdanie 2 jest liczbą parzystą. 20

21 Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania p i q są prawdziwe, fałszywe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest fałszywe. v(p) v(q) v(p q)

22 Alternatywa p q p lub q alternatywa zdań p i q Przykład. Wybierzmy pewną liczbę całkowitą x i rozważmy zdanie: x < 1 lub x > 1. Jest to alternatywa p q, gdzie p oznacza zdanie x < 1, a q oznacza zdanie x > 1. W przypadku x = 0 oba zdania są prawdziwe i alternatywa też jest zdaniem prawdziwym. 22

23 Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest prawdziwe, fałszywe, gdy oba zdania p i q są fałszywe. v(p) v(q) v(p q)

24 Alternatywa rozłączna p q p albo q alternatywa rozłączna zdań p i q Przykład. Rozważmy dwie (różne) proste na płaszczyźnie. Mówimy: Dane proste się przecinają albo są równoległe. Jest to alternatywa rozłączna p q, gdzie p oznacza zdanie Dane proste się przecinają, a q oznacza zdanie Dane proste są równoległe. 24

25 Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe, fałszywe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe. v(p) v(q) v(p q)

26 Alternatywy rozłącznej (w zdaniu prawdziwym) używamy, gdy chcemy podkreślić, że oba zdania nie mogą jednocześnie być prawdziwe. Uwaga. Jeśli zdanie p q jest prawdziwe, to zdanie p q też jest prawdziwe, np.: Dane proste się przecinają lub są równoległe. Jeśli zdanie p q jest prawdziwe, to zdanie p q nie musi być prawdziwe, np.: 0 < 1 albo 0 > 1. 26

27 Równoważność p q p wtedy i tylko wtedy, gdy q, p dokładnie wtedy, gdy q równoważność zdań p i q. Przykład. Rozważmy czworokąt wypukły ABCD. Zdanie: Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy AB + CD = AD + BC jest równoważnością zdań p: Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu i q: AB + CD = AD + BC. 27

28 Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe, fałszywe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe. v(p) v(q) v(p q)

29 Implikacja p q jeśli p, to q, p implikuje q implikacja o poprzedniku p i następniku q Jak określamy wartość logiczną implikacji? 29

30 Przykład. Zdanie x = 1 x 2 = 1 jest prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej x. Zwróćmy uwagę na wartość logiczną poprzednika oraz następnika tej implikacji dla poszczególnych wartości x. x = 1 x 2 = 1 dla x = 1 prawda prawda dla x = 0 fałsz fałsz dla x = 1 fałsz prawda 30

31 Prawdziwość implikacji oznacza, że jeśli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie q też musi być prawdziwe (a jeśli p nie jest prawdziwe, to q może być jakiekolwiek). Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania są prawdziwe, gdy oba zdania są fałszywe oraz gdy zdanie p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe, fałszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszywe. v(p) v(q) v(p q)

32 Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zdań logicznych używamy nawiasów, np.: ( p), (p q) r, (p q) (q r). 32

Podobne dokumenty

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania