Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 21.3.213.

2

Sadržaj 1 Integrali 5 1.1 Dvostruki integrali........................ 5 1.2 Trostruki integrali......................... 9 1.3 Nesvojstveni integrali....................... 12 1.4 n-tostruki integrali........................ 14 2 Krivolinijski integrali 15 2.1 Krivolinijski integrali prvog reda................. 15 2.2 Krivolinijski integrali drugog reda................ 16 2.3 Grinova formula.......................... 18 3 Površinski integrali 21 3.1 Površinski integrali prvog reda.................. 21 3.2 Površinski integrali drugog reda................. 22 3.3 Formule Gausa-Ostrogrdskog i Stoksa.............. 23 4 Parametarski integrali 25 4.1 Svojstveni parametarski integrali................ 25 4.1.1 Definicije i teoreme.................... 25 4.1.2 Zadaci........................... 27 4.2 Nesvojstveni parametarski integrali............... 29 4.3 Beta i Gama funkcija....................... 32 3

4 SADRZ AJ

Glava 1 Integrali 1.1 Dvostruki integrali Izračunati sledeće dvostruke integrale: 1.1.1. I(a) = G (x + y) a dy, gde je skup G odre den nejednačinama: x >, y >, < a x + y 1. Zatim izračunati lim a I(a). 1.1.2. I(a) = dy G x+ y, G je trougao ograničen pravama x = 1, x = y, x = y + a, < a < 1. Naći lim I(a). a 1.1.3. xydy, G je ograničen x-osom i lukovima kružnica G x2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 2x =. 1.1.4. (x 2 + y 2 )dy. x 2 +y 2 2ay 1.1.5. G a2 x 2 y 2 dy, G je ograničen kružnicom x 2 + y 2 = a 2 i pravama y = x, y = x 3. 1.1.6. G a2 x 2 y 2 dy, G je krug x 2 + y 2 ax =. 1.1.7. G ( dy (x 2 +y 2 ) 1+ 1+ 3 x 2 +y 2 ), G je odre den nejednačinama x 2 y 2, x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 4. 1.1.8. G 4 x2 a 2 y 2 b 2 dy, ako je G ograničen elipsama x2 + y2 = 1 a 2 b 2 x i 2 + y2 = 1 i pripada prvom kvadrantu. (2a) 2 (2b) 2 5

6 GLAVA 1. INTEGRALI 1.1.9. G x + ydy, G je ograničen koordinatnim osama i krivom x + y = 1. 1.1.1. 1, y 1 x y dy. 1.1.11. xy dy. x 2 +y 2 a 2 1.1.12. 1.1.13. 1.1.14. 1.1.15. 1.1.16. 1.1.17. 1.1.18. 1.1.19. x + y 1 x 1, y 2 x+y 2 x 2 +y 2 1 ( x + y )dy. x π, y x x 1, 1 y 1 x 2 +y 4 1,x,y x 4 +y 4 1 x 3 +y 3 1,y y x2 dy. x 2 y 2 dy. cos(x + y) dy. x y dy. (x 2 + y 2 )dy. y 3 1 x 2 y 4 dy. x 2 y 2 1 (x 3 + y 3 )dy. 1.1.2. Ako je (x, y) f(x, y) neprekidna funkcija u nekom krugu oko tačke 1 (, ), izračunati lim f(x, y)dy. ρ πρ 2 x 2 +y 2 ρ 2 Naći površine skupova u ravni, ograničenih sledećim krivama korišćenjem dvostrukih integrala: 1.1.21. xy = a 2, x + y = 5 a, a >. 2 1.1.22. y = x 2, x = y 2. 1.1.23. y = 3 x, x2 + y 2 = 1.

1.1. DVOSTRUKI INTEGRALI 7 1.1.24. y = 2x x 2, y = x 2. 1.1.25. (x 2 + y 2 ) 2 = 2ax 3. 1.1.26. (x 2 + y 2 ) 3 = x 4 + y 4. 1.1.27. (x 2 + y 2 ) 3 = 4x 2 y 2. 1.1.28. (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 y 2 ), x 2 + y 2 a 2. 1.1.29. (x 2 + y 2 ) 5 = x 2 y 2. 1.1.3. (x 3 + y 3 ) 2 = x 2 + y 2, x, y. 1.1.31. (x 2 + y 2 ) 2 = 8a 2 xy, (x a) 2 + (y a) 2 a 2. 1.1.32. x2 + y2 = x + y. a 2 b 2 h k 1.1.33. x3 + y3 a 3 b 3 1.1.34. ( x + ) y 2 a b = x 1.1.35. ( x + ) y 3 a b = xy c 3 1.1.36. = x2 + y2, x =, y =. h 2 k 2 ( ) x 2 + y2 = xy. a 2 b 2 c 2 a y a, y >. (površinu petlje). 1.1.37. x + y = a, x + y = a, a >. Naći zapreminu tela ograničenog sledećim površima u prostoru, korišćenjem dvostrukih integrala: 1.1.38. Paraboloidom z = x 2 + y 2, koordinatnim ravnima i ravni x + y = 1. 1.1.39. Paraboloidom z = x 2 + y 2 i ravnima z =, y = 1, y = 2x, y = 6 x. Ravnima z =, y + z = 2 i cilindrom y = x 2. 1.1.4. Cilindrima y = x, y = 2 x i ravnima z =, x + z = 6. 1.1.41. Koordinatnim ravnima, ravni 2x 3y 12 = i cilindrom z = 1 2 y2. 1.1.42. Površi z = cos x cos y i ravnima z =, x + y π 2, x y π 2. 1.1.43. Površima x 2 + y 2 = 2x, xy = z, z >.

8 GLAVA 1. INTEGRALI 1.1.44. Paraboloidom z = 3 x 2 y 2 i ravni z =. 1.1.45. Sferom x 2 + y 2 + z 2 = R 2 i cilindrom x 2 + y 2 = Rx, x 2 + y 2 Rx. 1.1.46. Paraboloidom z = x 2 + y 2, cilindrima x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = 2x i ravni z =. 1.1.47. Paraboloidom x 2 + y 2 az =, cilindrom (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ) i ravni z =, a >. 1.1.48. Ravnima z = ax, z = i cilindrom x 2 + y 2 = 2ax. 1.1.49. Cilindrom x 2 + y 2 2x = i površi z = x 2 y, z. 1.1.5. Površima x 2 + y 2 + z 2 = 3a 2, x 2 + y 2 = 2az. ( ) 2 x 1.1.51. Površi 2 + y2 a 2 b + z 2 = 1. 2 c 2 1.1.52. Izračunati površinu dela cilindra z 2 = 4x koji pripada prvom oktantu, a koji isecaju cilindar y 2 = 4x i ravan x = 1, korišćenjem dvojnih integrala. 1.1.53. Izračunati površinu dela paraboloida 2z = x 2 + y 2 koji iseca cilindar x 2 + y 2 = 1. 1.1.54. Izračunati površinu dela sfere x 2 + y 2 + z 2 = a 2 koji iseca cilindar x 2 + y 2 = b 2, (b a). 1.1.55. Naći površinu onog dela sfere x 2 + y 2 + z 2 = R 2 koji se projektuje na ravan z = van kruga x 2 + y 2 Rx =, x, y. 1.1.56. Naći površinu dela paraboloida z 2 = 2xy, z >, koji je ograničen ravnima x =, x = a, y =, y = b. 1.1.57. Izračunati površinu dela konusa z 2 = x 2 + y 2, isečenog cilindrom x 2 + y 2 = 2x. 1.1.58. Naći površinu dela sfere x 2 + y 2 + z 2 = a 2 isečenog cilindrom (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ). 1.1.59. Izračunati površinu onog dela površi z 2 = x 2 +2y 2 koji iseca cilindar (x 2 + y 2 ) 2 = 2c 2 xy za x i z.

1.2. TROSTRUKI INTEGRALI 9 1.2 Trostruki integrali Izračunati sledeće trostruke integrale 1.2.1. (1 x)yzdydz, G je ograničen koordinatnim ravnima i ravni G z = 1 x y. 1.2.2. (x+y+z)dydz, G je ograničen koordinatnim ravnima i ravnima G x = 1, y = 1, z = 1. 1.2.3. G (x2 +y 2 +z 2 )dydz, G je ograničen površi 3(x 2 +y 2 )+z 2 = 3a 2. 1.2.4. G ydydz, G je ograničen površima y = x 2 + z 2, y = h, h >. 1.2.5. G y cos(z + x)dydz, G je ograničen cilindrom y = x i ravnima y =, z =, x + z = π 2. 1.2.6. G [ (x + y + z) 2 9 5 a2] dydz, G je odre den nejednakostima x 2 + y 2 2az, x 2 + y 2 + z 2 3a 2, a >. 1.2.7. J(b) = dydz, G je ograničen površima z = 1 G (z+a) 2 x 2 y 2 2a (x2 + y 2 ), z = b, a, b >. naći lim J(b). b 1.2.8. dydz, G je ograničen koordinatnim ravnima i površi x+y + G (1+x+y+z) 3 z = 1. 1.2.9. G x2 + y 2 dydz, G je ograničen ravni z = 1 i površi x 2 +y 2 = z 2. 1.2.1. G z ln(x 2 +y 2 +z 2 +1)dydz x 2 +y 2 +z 2 +1, G je lopta x 2 + y 2 + z 2 1. 1.2.11. G (x2 + y 2 + z 2 )dydz, G je ograničen površima y 2 + x 2 = x 2, x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x (zajednički deo). 1.2.12. G 1.2.13. G 1.2.14. G 1. xzdydz x 2 +y 2 R 2, G je ograničen površima z 2 = h2 R 2, z = h, x, y. dydz x 2 +y 2 +(z 2) 2, G je ograničen sferom x2 + y 2 + z 2 = 1. dydz x 2 +y 2 +(z 2) 2, G je ograničen cilindrom x2 + y 2 1, 1 z 1.2.15. G x2 + y 2 + z 2 dydz, G je ograničen sferom x 2 + y 2 + z 2 = z.

1 GLAVA 1. INTEGRALI 1.2.16. G (x2 + y 2 )dydz, G je ograničen površima x 2 + y 2 = 2z, z = 2. 1.2.17. e xyz x 2 ydydz, uvodeći smenu x = u, y = u+v, z = u u+v+w u+v. x,y 1,z 1,xyz 1 1.2.18. 1 x 2 dy 1 x 2 a dz. 1.2.19. 1.2.2. 1.2.21. 2 2x x 2 1 x 2 a dy z x 2 + y 2 dz. dy a 2 x 2 +y 2 +z 2 R 2,z 1 x 2 y 2 x2 + y 2 + z 2 dz. (x 2 + y 2 )dy. Izračunati zapreminu tela ograničenog površima: 1.2.22. z = x 2 + y 2, z = 2x 2 + 2y 2, y = x, y = x 2. 1.2.23. x 2 + z 2 = a 2, x + y = ±a, x y = ±a. 1.2.24. z = 4 y 2, z = y 2 + 2, x = 1, x = 2. 1.2.25. z =, x 2 + y 2 = 4az, x 2 + y 2 = 2cx. 1.2.26. z = ln(x + 2), z = ln(6 x), x =, x + y =, x y = 2. 1.2.27. (x 1) 2 + y 2 = z, 2x + z = 2. 1.2.28. z = 6 x 2 y 2, z 2 = x 2 + y 2. 1.2.29. x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 = 3z. ( ) 2 x 1.2.3. 2 + y2 a 2 b + z 2 = 1. 2 c 2 1.2.31. x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x 2 + y 2 = R(R 2z). 1.2.32. z = x 2 + y 2, z 2 = xy. 1.2.33. x 1, y 1, x 2 + y 2 1, z (x 2 + y 2 ) 3.

1.2. TROSTRUKI INTEGRALI 11 1.2.34. x 2 + y 2 + z 2 = 4Rz 3R 2, z 2 = 4(x 2 + y 2 ) (deo sfere u unutrašnjosti konusa). 1.2.35. x2 + y2 + z2 a 2 b 2 c 2 = 1, x2 + y2 = z. a 2 b 2 c 1.2.36. x 2 + y 2 + z 2 = 2az, x 2 + y 2 z 2. 1.2.37. (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 (x 2 + y 2 z 2 ). 1.2.38. (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = 3xyz. 1.2.39. (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 3 x. 1.2.4. (x 2 + y 2 z 2 ) 3 = a 3 z 4. 1.2.41. (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = a 2 y 2 z 2. 1.2.42. 1.2.43. 1.2.44. 1.2.45. ( ) 2 x 2 + y2 + z2 a 2 b 2 c = x, h >. 2 h ( ) 2 x 2 + y2 + z2 a 2 b 2 c = x. 2 ( ) 2 x 2 + y2 + z2 a 2 b 2 c = xyz. 2 ( ) 2 x 2 + y2 + z2 a 2 b 2 c = x 2 + y2. 2 a 2 b 2 1.2.46. ( x + y + ) z 2 a b c = z, x, y, z >. d 1.2.47. ( x + y + ) z 2 a b c = x + y, x, y, z >. h k 1.2.48. ( x + y + ) z 3 x a b c = ln a + y b + z c x, x, y, z >. a + y b 1.2.49. x + y + z = a, x + y + z = 2a, x + y = z, y = x, y = 3x.

12 GLAVA 1. INTEGRALI 1.3 Nesvojstveni integrali Ispitati konvergenciju nesvojstvenih integrala: dy 1.3.1., m R. (x 2 +y 2 ) m 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.3.6. 1.3.7. 1.3.8. x 2 +y 2 1 x 2 +y 2 1 dy (1 x 2 y 2 ) m, m R. x 2 +y 2 1,x,y x + y 1 x+y 1 x,y,z x,y,z x 2 +y 2 +z 2 1 dy (x α +y β ) m, α, β, m R. dy x α + y β, α, β R. sin x sin y (x+y) p dy, p R. e x+y+z dydz. e x+y+z dydz. dydz (xyz) a, a R. Izračunati sledeće nesvojstvene integrale: 1.3.9. R 2 dy 1.3.1. y x 2 +1 1+x 2 +y 2. dy x 4 +y 2. 1.3.11. R 2 dy (1+x 2 +y 2 ) 3. 1.3.12. x,y dy (a 2 +x 2 +y 2 ) 2. 1.3.13. e x y dy. 1.3.14. R 2 x y e (x+y) dy.

1.3. NESVOJSTVENI INTEGRALI 13 1.3.15. 1.3.16. 1.3.17. 1.3.18. x y x y 2 e y2 dy. x sin y e y dy. y 2 x+y 1,x>,y> x 2 +y 2 1 arctg(x+y) (x 2 +y 2 ) 2 dy. dy (1 x 2 y 2 ) a, a R. 1.3.19. R 2 e (x2 +y 2) cos(x 2 + y 2 )dy. 1.3.2. R 2 e (x2 +y 2) sin(x 2 + y 2 )dy. Ako je G krug x 2 +y 2 a 2, ispitati koji od sledećih integrala konvergiraju: 1.3.21. G ln x 2 + y 2 dy. 1.3.22. G 1.3.23. G 1.3.24. G e x2 y 2 dy. x 2 +y 2 sin(x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 ) 3 dy. cos(x 2 +y 2 ) dy. x 2 +y 2 Izračunati integrale 1.3.25. 1.3.26. x,y,z x,y,z dydz (1+x+y+z) 2. xydydz (1+x 2 +y 2 +z 2 ) 3. 1.3.27. e x2 y 2 z 2 dydz. R 3 1.3.28. ln(x 2 + y 2 + z 2 )dydz. x 2 +y 2 +z 2 R 2 1.3.29. x,y,z 1 dydz x p y q z r, p, q, r R. Ako je G kugla x 2 + y 2 + z 2 konvergiraju: R 2, ispitati koji od sledećih integrala

14 GLAVA 1. INTEGRALI 1.3.3. G 1.3.31. G 1.3.32. G dydz (x 2 +y 2 +z 2 ) ln 3 x 2 +y 2 +z 2. ln x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +z 2 dydz. xyz (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 dydz. 1.4 n-tostruki integrali Izračunati integrale: 1.4.1. G 1 n, G = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n >, x 1 + + x n 1}. 1.4.2. G x 1 1 n, G je kao u prethodnom primeru. 1.4.3. G 1 n, G = {(x 1,..., x n ) : x 1 + + x n a}. 1.4.4. G (x2 1 + +x 2 n) 1 n, G = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n 1}. 1.4.5. G (x 1x 2 + x 1 x 3 + x n 1 x n ) 1 n, G je kao u prethodnom primeru.

Glava 2 Krivolinijski integrali 2.1 Krivolinijski integrali prvog reda Izračunati krivolinijske integrale prvog reda: 2.1.1. γ 2yds, γ je luk parabole y 2 = 2x od tačke (, ) do tačke (4, 8). 2.1.2. xyds, γ je prvi svod cikloide x = a(t sin t), y = a(1 cos t). γ 2.1.3. γ ye x ds, γ je deo krive x = ln(1 + t 2 ), y = 2 arctg t t + 3 izme du tačaka t = i t = 1. 2.1.4. γ x2 + y 2 ds, γ je kružnica x 2 + y 2 = ax. 2.1.5. ds, γ je deo hiperboličke spirale; jednačina hiperboličke spirale u polarnom obliku je rφ = 1, od φ = 3 do φ = 2 γ (x 2 +y 2 ) 3/2 2. 2.1.6. γ (x2 + y 2 )ds, γ je kriva x = a(cos t + t sin t), y = a(1 cos t), t 2π. 2.1.7. xds, γ je deo logaritamske spirale; jednačina logaritamske spirale γ y u polarnom obliku je r = ae kφ, k >, koji se nalazi u krugu r = a. 2.1.8. γ (x2 + y 2 + z 2 )ds, γ je deo zavojnice x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t 2π. γ x2 y 2 ds, γ je kružnica x 2 + y 2 + z 2 = a 2, x + y + z =. 15

16 GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI 2.1.9. (x + y + z)ds, γ je presek površi γ x2 + z 2 = a 2, y 2 + z 2 = a 2. Naći dužinu luka krive: 2.1.1. x = 3t, y = 3t 2, z = 2t 2, t >, od tačke (,, ) do tačke (3, 3, 2). 2.1.11. x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, < t <. 2.2 Krivolinijski integrali drugog reda Izračunati krivolinijske integrale drugog reda (pozitivnu orijentaciju krive u prostoru videti u predavanjima): 2.2.1. γ (x2 + y 2 ) + (x 2 2y 2 )dy, y je deo krive y = 1 2 x od tačke x = 1 do x = 3. 2.2.2. γ x2 y xy 2 dy, γ je pozitivno orijentisana kružnica x 2 + y 2 = R 2. 2.2.3. γ x + y dy, γ je pozitivno orijentisana kriva x 1 + y 1 = 1. 1+y 1+x 2.2.4. γ xy [( x 2 + y) dy ( x y 2) ], γ je pozitivno orijentisana kružnica x 2 + y 2 = 1. 2.2.5. y xdy, γ je deo cikloide x = a(t sin t), y = a(1 cos t) od γ tačke (, ) do tačke (6π, ). 2.2.6. γ y + xdy, γ je petlja Dekartovog lista x = 3at 1+t 3, y = 3at2 1+t 3. 2.2.7. x 2 dy y 2, γ je deo asteroide x = a cos 3 t, y = a sin 3 t od tačke (a, ) γ x 5/3 +y 5/3 do tačke (, a). 2.2.8. z + xdy + ydz, γ je deo zavojnice x = a cos t, y = a sin t, z = at, γ t [, 2π]. 2.2.9. (y z) + (z x)dy + (x y)dz, γ je presek koordinatnih ravni γ sa ravni x + y + z = 1; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo. 2.2.1. γ y2 + z 2 dy + x 2 dz, γ je Vivijanijeva kriva: x 2 + y 2 + z 2 = a 2, x 2 + y 2 = ax, a >, z > ; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo.

2.2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI DRUGOG REDA 17 2.2.11. γ y + zdy + xdz, γ je kriva data kao presek površi x2 + y 2 = r 2 i x 2 = rz; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo. 2.2.12. γ (y2 + z 2 ) + (z 2 + x 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz, γ je kriva data kao presek površi x 2 + y 2 + z 2 = R 2 i x 2 + y 2 = 2ax, < a < R; γ je orijentisana pozitivno posmatrana odozgo. 2.2.13. (y z) + (z x)dy + (x y)dz, γ je presek površi γ x2 + y 2 = a 2 i x + y = 1, a, h > ; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo. a b 2.2.14. γ (4y2 + 2x 2 ) + (z + x)dy + ydz, γ je presek površi z = 4 x 2 y 2, z = y 2 ; γ je orijentisana pozitivno posmatrana odozgo. Naći funkciju kada je dat njen diferencijal: 2.2.15. (e y + x) + (xe y 2y)dy. 2.2.16. x+ay + y ax dy. x 2 +y 2 x 2 +y 2 2.2.17. (2x cos y y 2 sin x) + (2y cos x x 2 sin y)dy. 2.2.18. 2x(1 ey ) (1+x 2 ) 2 + ( e y 1+x 2 + 1 ) dy. 2.2.19. (2xye x2y + y 2 e xy2 + 1) + (x 2 e x2y + 2xye xy2 2y)dy. 2.2.2. (x 2 2yz) + (y 2 2xz)dy + (z 2 2xy)dz. ( ) ( ) 2.2.21. 1 1 + y x + + x dy xy dz. y z z yz 2 z 2 ( ) 2.2.22. (2xyz + ln y) + x 2 y + x dy + (x 2 y 2z)dz. y 2.2.23. 3dy z 2.2.24. e y x + + 3y x+z3 dz. z 2 [ e y x (x+1) z + ze yz ] dy + Integraliti sledeće diferencijale: [ e y x (x+1) z 2 + ye yz + e z ] dz. 2.2.25. γ xdy + y, γ je deo krive x6 + x 17 2x 12 = izme du tačaka (, ) i (1, 1).

18 GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI 2.2.26. (x y)( dy), γ je proizvoljna kriva koja spaja tačke (1, 1) i γ (1, 1). 2.2.27. cos y x sin ydy, γ je proizvoljna kriva koja spaja tačke (, n/2) γ i (n/2, ). 2.2.28. γ ex (cos y sin ydy), γ je proizvoljna kriva koja spaja tačke (, ) i (a, b). 2.3 Grinova formula Koristeći Grinovu formulu izračunati krivolinijske integrale drugog reda: 2.3.1. γ xy2 dy x 2 y, γ je pozitivno orijentisana kružnica x 2 + y 2 = a 2. 2.3.2. x2 (x + y) (x y)dy, γ je pozitivno orijentisana elipsa + y2 = 1. γ a 2 b 2 2.3.3. (xy + x + y) + (xy + x y)dy, γ je pozitivno orijentisana kružnica γ x 2 + y 2 = ax. 2.3.4. γ xdy y x 2 +y 2, γ je pozitivno orijentisana kružnica x 2 +y 2 2x 2y+1 =. 2.3.5. γ (ex sin y my) + (e x cos y m)dy, ako je γ gornji deo kruňice x 2 + y 2 = ax od tačke (a, ) do tačke (, ). Koristeći krivolinijske integrale, izračunati površine ograničene krivama: 2.3.6. x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t 2π. 2.3.7. (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 + y 2 ). 2.3.8. x 3 + y 3 = 3axy (Dekartov list). 2.3.9. x = 2a cos t a cos 2t, y = 2a sin t a sin 2t, t 2π. 2.3.1. (x + y) 2 = ax, y =, a >. 2.3.11. (x + y) 3 = xy. 2.3.12. x 3 + y 3 = x 3 + y 2, x =, y =. Koristeći krivolinijske integrale izračunati površinu sledećih površi:

2.3. GRINOVA FORMULA 19 2.3.13. omotač cilindra x 2 + y 2 = 4 izme du ravni z = y i z = 3y. 2.3.14. omotača cilindra x 2 + y 2 = R 2 izme du ravni z = 1 i z = 2y. 2.3.15. omotača cilindra x 2 + y 2 ax = koji se nalazi unutar sfere x 2 + y 2 + z 2 = a 2.

2 GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI

Glava 3 Površinski integrali 3.1 Površinski integrali prvog reda Izračunati sledeće površinske integrale prvog reda: 3.1.1. (3x + 4y + 2z)dS, S je deo ravni 2x + 3y + 4z = 5 koji pripada S prvom oktantu. 3.1.2. S ds, S je deo ravni x+y+3z = 1 koji pripada prvom oktantu. (1+x+y) 2 3.1.3. S (y2 + z 2 )ds, S je sfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2. 3.1.4. ds, S je deo cilindra x 2 + y 2 = R 2 ograničen koordinatnim S x 2 +y 2 +z 2 ravnima i ravni z = h. 3.1.5. S (x + y + a 2 z 2 )ds, S je deo cilindra y 2 + z 2 = a 2 izme du ravni x = i x = h. 3.1.6. S x(y2 + z 2 )ds, S je površ data jednačinom x = 4 y 2 z 2. 3.1.7. S 3.1.8. S ds, S je deo sfere x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z. (1+z) 2 ds 1+z, S je deo sfere x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z. 3.1.9. ds S x, S je deo cilindra 2 +y 2 +z x2 + y 2 + z 2 = R 2 ograničen ravnima 2 z = i z = h. 3.1.1. S R 2. ds x, S je deo površi z = xy ograničen cilindrom 2 +y 2 +z x2 + y 2 = 2 21

22 GLAVA 3. POVRŠINSKI INTEGRALI 3.1.11. S R2 x 2 y 2 z 2 ds, ako je S površ kruga, datog kao presek površi x 2 + y 2 + z 2 = R 2 i ax + by + cz = d. 3.1.12. S (xy + yz + zx)ds, S je deo površi z = x 2 + y 2 ograničen cilindrom x 2 + y 2 = 2ax. 3.2 Površinski integrali drugog reda Izračunati površinske integrale drugog reda: 3.2.1. z dy + xdz + ydydz, S je gornji deo ravni x y + z = 1 S ograničen koordinatnim ravnima. 3.2.2. S xyzdy, S je spoljna strana sfere x2 + y 2 + z 2 = 1, x, y. 3.2.3. S 4 x2 + y 2 dy, S je donja strana kruga x 2 + y 2 a 2, z =. 3.2.4. S dy + ydz x2 zdydz, S je spoljna strana dela elipsoida 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 4 koji pripada drugom oktantu. 3.2.5. ydz, S je unutrašnja strana tetraedra odre denog koordinatnim S ravnima i ravni x + y + z = 1. 3.2.6. S x2 dydz+y 2 dz+z 2 dy, S je spoljna strana sfere x 2 +y 2 +z 2 = R 2 koja pripada prvom oktantu. 3.2.7. (y z)dydz +(z x)dz +(x y)dy, S je spoljna strana površi S x 2 + y 2 = z 2, z a. 3.2.8. S 1. 1 dydz+ 1dz+ 1 x2 dy, S je spoljna strana elipsoida + y2 + z2 = x y z a 2 b 2 c 2 3.2.9. yzdy + xzdydz + xydz, S je spoljna strana površi odre dene S površima x 2 + y 2 = R 2, x =, y =, z =, z = a, R, a >.

3.3. FORMULE GAUSA-OSTROGRDSKOG I STOKSA 23 3.3 Formule Gausa-Ostrogrdskog i Stoksa Koristeći formulu Gaus-Ostrogradskog izračunati integrale: 3.3.1. S (x3 cos α+y 3 cos β +z 3 cos γ)ds, S je spoljna strana sfere x 2 +y 2 + z 2 = R 2, a cos α, cos β, cos γ kosinusi pravca njene spoljne normale. 3.3.2. S [(zn y n ) cos α + (x n z n ) cos β + (y n x n ) cos γ] ds, S je kao u prethodnom primeru, z. 3.3.3. xdydz + ydz + zdy, S je definisana jednačinama x = (a + S b cos θ) cos φ, y = (a + b cos θ) sin φ, z = b sin θ, θ, φ 2π, a b. 3.3.4. S x2 dydz + y 2 dz + z 2 dy, S je spoljna strana omotača tela, koje je u zajedničkom unutrašnjem delu površi x 2 + y 2 + y 2 = 1 i z 2 = x2. x 2 +y 2 3.3.5. S (x2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ)ds, S je deo površi x 2 + y 2 = z 2 ograničene sa z h. Koristeći Stoksovu formulu izračunati krivolinijske integrale: 3.3.6. γ y (1 x 2 z 2 ) 3 +xy 3 dy +sin zdz, γ je kriva dobijena presekom elipsoida 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 4 i kordinatnim ravnima, a nalazi se u prvom oktantu. 3.3.7. γ y + x2 dy + zdz, γ je presečna kriva površi x2 x 2 + y2 = z, c >. a 2 b 2 c a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 i 3.3.8. γ y+zdy+xdz, γ je kružnica data presekom površi x2 +y 2 +z 2 = a 2 i x + y + z =. 3.3.9. (y z) + (z x)dy + (x y)dz, γ je deo elipse koja je data kao γ presek površi x 2 + y 2 = a 2 i x + z = 1, a, b > ; γ je orijentisana pozitivno a b posmatrano iz pozitivnog smera x-ose. 3.3.1. γ ex + z(x 2 + y 2 ) 3/2 dy + yz 3 dz, γ je odre dena presekom površi z = x 2 + y 2 i ravni x =, x = 2, y =, y = 1. 3.3.11. γ (y2 + z 2 ) + (z 2 + x 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz, γ je kriva data kao presek površi x 2 + y 2 + z 2 = 2ax, x 2 + y 2 = 2bx, z.

24 GLAVA 3. POVRŠINSKI INTEGRALI

Glava 4 Parametarski integrali 4.1 Svojstveni parametarski integrali 4.1.1 Definicije i teoreme Neka je data funkcija f : [a, b] R. Funkcija gornje granice integrala definisana je na sledeći način: F (x) = x a f(t)dt, za one vrednosti x [a, b] za koje postoji prethodni integral. Teorema 4.1.1. (1) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], onda je funkcija F neprekidna na [a, b]. (2) Ako je funkcija f neprekidna na [a, b], onda je funkcija F diferencijabilna na [a, b] i F (x) = f(x) za svako x [a, b]. Definicija 4.1.1. Neka je X R n merljiv skup, neka je Y R m, i neka je f : X Y R Pretpostavimo da za svako y Y postoji integral F (y) F (y 1,..., y m ) = f(x, y) f(x 1,..., x n, y 1,..., y m ) 1 n. X (4.1) Tada (4.1) jeste svojsvteni parametarski integral, pri čemu je parametar y Y. X 25

26 GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI Definicija 4.1.2. Funkcija f(x, y) ravnomerno konvergira ka funkciji φ(x) na skupu X (ili po x X) kada y y, ako: ( ϵ > )( δ > )( x X)( y Y )( y y < δ = f(x, y) φ(x) < ϵ. Oznaka je f(x, y) x X φ(x), y y. Teorema 4.1.2. Neka je X R n merljiv skup, Y R m, i neka je funkcija f : X Y takva, da za svako y Y postoji integral f(x, y). Neka je y X tačka nagomilavanja skupa Y. Ako funkcija f(x, y) ravnomerno konvergira ka funkciji φ(x) po x X kada y y, tada je φ(x) integrabilna funkcija na skupu X i važi lim y y X f(x, y) = X lim f(x, y) = y y X φ(x). Teorema 4.1.3. Neka je X R n kompaktan i merljiv, i neka je Y R m kompaktan skup. Ako je funkcija (x, y) f(x, y) neprekidna na X Y, tada funkcija F postoji i ona je ravnomerno neprekidna na Y. Teorema 4.1.4. Ako je funkcija f(x, y) neprekidna na skupu K = X Y, gde su X R n i Y R m merljivi i kompaktni skupovi, onda je dy f(x, y) = f(x, y)dy. Y X Dokaz. Pod uslovima teoreme, skup K je merljiv i kompaktan u R n+m. Prema Fubinijevoj teoremi, oba posmatrana integrala su jednaka integralu f(x, y)dy. K Teorema 4.1.5. Neka je X merljiv kompakt u R n, neka je Y = [c, d] R, i neka je data neprekidna funkcija f : X Y R, tako da je parcijalni izvod f(x,y) neprekidan na skupu K = X Y. Tada je funkcija F (y) = f(x, y) y X neprekidno diferencijabilna po y [c, d], i pri tome je F (y) = d f(x, y) f(x, y) =, y [c, d]. dy y X X X Y

4.1. SVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI 27 Teorema 4.1.6. Neka su f(x, y) i f(x,y) neprekidne funkcije na skupu [a, b] y [c, d]. Neka su α(y) i β(y) diferencijabine funkcije na [c, d]. Tada je funkcija F (y) = β(y) f(x, y) α(y) diferencijabilna na [c, d] i pri tome važi formula F (y) = β(y) α(y) f(x, y) + β (y)f(β(y), y) α (y)f(α(y), y). y Specijalno, ako su α i β neprekidno diferencijabilne, onda je i F neprekidno diferencijabilna. 4.1.2 Zadaci Naći sledeće granične vrednosti: 1+m 4.1.1. lim m m. 1+x 2 +m 2 Rešenje. Neka je m (, 1) i I(m) = 1+m m. Tada je 1+x 2 +m 2 1+m m 1 + x 2 + m 2 = m 1 + x 2 + m 2 1 + x 2 + m 2 + 1+m Ako je x [, 1], tada je 1 1 + x 2 + m 1 2 1 + x 2 = m 2 (1 + x 2 + m 2 )(1 + x 2 ) m2. 1 1 + x 2 + m 2. Stoga je 1 1+x 2 +m 2 x [,1] 1 1+x 2 kada m +. Prema Teoremi 4.1.2 sledi lim m + 1 1 + x 2 + m = 2 1 + x 2 = π 4.

28 GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI Ako je x [, m], tada je 1 1+x 2 +m 2 1 1+x 2, te je m m 1 + x 2 + m = arctg m, m +. 2 1 + x2 Ako je x [1, 1 + m], tada je tako de 1 1+x 2 +m 2 1 1+x 2, i sledi Dakle, 1+m 1 1 + x 2 + m 2 1+m 1 1 + x 2 = arctg(1 + m) π 4, m +. lim I(m) = π. Analogno, lim I(m) = π. m + 4 m 4 2 4.1.2. lim x 2 cos mx. m Rešenje. Iskoristimo Tejlorovu formulu za funkciju t cos t. Postoji konstanta C >, tako da za svako t važi cos t 1 Ct 2. Ako je x [, 2], tada za svako m važi x 2 cos mx x 2 Cm 2 x 4 16Cm 2. Stoga je x 2 cos mx x [,2] x 2 kada m. Na osnovu Teoreme 4.1.2 sledi 2 2 lim x 2 cos mx = x 2 = 8 m 3. 4.1.3. lim m 1 1 x2 + m 2. Rešenje. Za x [ 1, 1] važi x 2 + m 2 x 2 + 1 = m 2 1 x2 + m 2 + x 2 + 1 m2 1. Stoga je x 2 + m 2 x [ 1,1] x 2 + 1 kada m 1. Na osnovu Teoreme 4.1.2 proizilazi lim m 1 1 x2 + m 2 = 1 x2 + 1 = 2 x2 + 1.

4.2. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI 29 Poslednja jednakost proizilazi iz činjenice da je x x 2 + 1 parna funkcija. Neka je I = x2 + 1. Posmatrajmo funkcije x = ch t = et +e t, 2 z = sh t = et e t 2. Jednostavno je proveriti ch t = sh t, sh t = ch t, ch 2 t sh 2 t = 1. Ako je t <, onda je e t < e t, te je t sh t = ch t <. Stoga je funkcija x = ch t strogo opadajuća funkcija, ondosno x = ch t je dopustiva smena u integralu I. Tada je = sh t. Tako dj e, x + ako i samo ako t, kao i x 1 ako i samo ako t. Stoga je I = infty sh 2 t dt 4.1.4. lim m + 4.1.5. lim m x m 2. 1+(1+x/m) m e x2 /m 2. 4.2 Nesvojstveni parametarski integrali Izračunati integrale: 4.2.1. I(m) = 4.2.2. I(m) = 4.2.3. I(m) = 4.2.4. I(m) = 4.2.5. I(m) = cos m sin m m b+m a+m m e m 1 x 2. ln(1+mx). x sin mx. x arctg x m. ln(1+mx) 1+x 2.

3 GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI 4.2.6. I(m) = 4.2.7. I(m) = ln(x 2 + m 2 ), m >. π ln(1 2m cos x + m 2 ), I() =. 4.2.8. I(m) = 4.2.9. I(m) = π/2 π/2 arctg(m tg x). tg x ln(1+m cos x). cos x 4.2.1. I(m) = 4.2.11. I(m) = b x m (ln x) k, m > 1.. (m 2 +x 2 ) 2 4.2.12. I(m) = π/2 ln(sin 2 x + m 2 cos 2 x), m >. 4.2.13. 4.2.14. 4.2.15. π/2 ln(1+x) 1+x 2.. (a 2 cos 2 x+b 2 sin 2 x) 2 arctg x x, koristeći formulu arctg x = 1 x 2 x dy 1+x 2 y 2. 4.2.16. I(a, b) = x b x a, a, b >. ln x 4.2.17. 4.2.18. 4.2.19. sin ( ln 1 x cos x ( ln 1 x ) x b x a d c xy dy. ln x ) x b x a ln x, a, b >., a, b >.

4.2. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI 31 4.2.2. 4.2.21. 4.2.22. π/2 dy ln y 2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 dy. y x (x+y) 2. a+b sin x a b sin x sin x, a > b >. 4.2.23. Dati su potpuni eliptički integrali π/2 E(k) = 1 k 2 sin 2 φdφ i F (k) = π/2 dφ 1 k2 sin 2 φ. (1) Odrediti prvi i drugi izvod ovih integrala i izraziti izvode preko E(k) i F (k). (2) Pokazati da E(k) zadovoljava diferencijalnu jednačinu (3) Dokazati formulu E (k) + 1 k E (k) + 1 E(k) =. 1 k2 t (4) Dokazati formulu t F (k)k dk = E(y) (1 t 2 )F (t). E(k)k dk = 1 3 [ (1 + t 2 )E(t) (1 t 2 ) 2 F (t) ]. 4.2.24. Data je Beselova funkcija celobrojnog indeksa n: (1) Dokazati da važi (2) Proveriti formulu Izračunati integrale I n (x) = 1 π π cos(nφ x sin φ)dφ. x 2 I n(x) + xi n(x) + (x 2 n 2 )I n (x) =. t xi (x) = ti 1 (t).

32 GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI 4.2.25. 4.2.26. 4.2.27. 4.2.28. 4.2.29. + + + ln(a 2 +x 2 ) 1+x 2. xe x2 /2 sin ax. x 2 e x2 /2 cos ax. dy 1+x 2 y 2. arctg x x 1 x 2. 4.3 Beta i Gama funkcija Koristeći osobine beta i gama funkcije, izračunati integrale: 4.3.1. +. 1+x n 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.3.5. 4.3.6. 4.3.7. 4.3.8. a dy a 4 y 4. + e 2x. ae 3x +b + e 2x. (e 3x +1) 2 + + + + x p 1 ln x 1+x. x ln x. 1+x 3 ln 2 x. 1+x 4 x a 1 x b 1 (1+x) ln x.