IX. Podsumowanie. Egzamin

IX. Podsumowanie. Egzamin Jan Królikowski Fizyka IBC 1

Zasady zaliczania i organizacja egzaminu A) Do egzaminu dopuszczeni są studenci, którzy zaliczyli ćwiczenia tj.: i) uczęszczali regularnie na ćwiczenia, ii) byli do nich przygotowani, iii) zdobyli co najmniej 18 punktów z kolokwiów. Dla tych studentów przewidujemy egzamin pisemny i ustny oraz ewentualne egzaminy poprawkowe- pisemne i ustne. B) Jeżeli studenci spełniają Ai) ale nie Aii) i/ lub Aiii), egzamin pisemny będzie dla nich kolokwium zaliczeniowym. Do zaliczenia ćwiczeń wymagamy 50% punktów z kolokwium zaliczeniowego. Jeżeli studenci nie spełniają Ai) mają niezaliczone ćwiczenia i otrzymują ocenę ndst. Jan Królikowski Fizyka IBC

cd. C. Dalej rozróżniamy trzy przypadki: C1) Niezaliczenie ćwiczeń ocena ndst, C) Spełnione Ai), Aii), niespełnione Aiii) z powodu uzasadnionej nieobecności na kolokwium +50% punktów z kolokwium zaliczeniowego zaliczone ćwiczenia, egzamin poprawkowy jest 1 szym egzaminem, ew. egz. poprawkowy w terminie do uzgodnienia. C3) Niespełnione Aii) i/ lub Aiii) bez okoliczności łagodzących + 50% punktów z kolokwium zaliczeniowegozaliczone ćwiczenia, egzamin poprawkowy jest jedynym egzaminem. Jan Królikowski Fizyka IBC 3

Terminy egzaminów Egzamin pisemny odbędzie się: 31 stycznia 006 w SDD, SSD i Auli w godz. 9-13 Egzaminy ustne od.0 do 8.0 w godz. 8:30-19:00 w SST zgodnie z wywieszoną listą. Egzamin poprawkowy: 0 lutego 006 w SDD w godz. 9-13 Ustne zostaną ustalone później. Jan Królikowski Fizyka IBC 4

Powtórzenie materiału I. Przedmiot i metodologia fizyki II. Opis ruchu kinematyka III. Ruch względny IV. Prawa ruchu V. Zasady zachowania VI. Oddziaływania dwóch ciał. Oddziaływanie grawitacyjne i Układ Słoneczny. Przekrój czynny VII. Bryła sztywna VIII.Oddziaływania bardzo wielu ciał IX. Podsumowanie Jan Królikowski Fizyka IBC 5

II. Opis ruchu- kinematyka II.1 Pojęcia podstawowe. II. Położenie i prędkość. Wektor styczny i normalny do toru II.3 Przyspieszenie II.4 Przykłady opisu ruchów II.5 Prędkość światła c jako prędkość graniczna w przyrodzie Jan Królikowski Fizyka IBC 6

Wyrażenie na prędkość w układzie cylindrycznym Posługując się powyższymi wzorami możemy otrzymać wyrażenie na składowe prędkości w cylindrycznym układzie współrzędnych: ˆ = e + r + eˆ = z dt dt dt dt dr dr de dz ˆ r r = re ˆ + rϕ eˆ + ze ˆ = r = veˆ + veˆ + veˆ φ r r φ φ z z W podobny sposób można otrzymać składowe prędkości w Układzie sferycznym (patrz zadania na ćwiczeniach). Jan Królikowski Fizyka IBC 7 z

Wersor styczny Wersor styczny do toru możemy zdefiniować jako ê Bo: t dr ds dr dt ds dt dr = = = dr dt dr ds ds ds dt dr dx dy dz = + + = 1 lub dr = ds ds ds ds ds Jan Królikowski Fizyka IBC 8

Ponieważ Wersor normalny. Płaszczyzna ściśle styczna deˆ dt t ê Możemy zdefiniować wersor normalny do toru jako: t ê n deˆ t = ds = deˆ t ds deˆ deˆ t t dt dt Płaszczyzna utworzona przez wersory styczny i normalny: płaszczyzna ściśle styczna Jan Królikowski Fizyka IBC 9

Promień krzywizny Infinitezymalny łuk toru możemy przybliżyć przez łuk okręgu o promieniu ρ. ê n φ ρ ê t tor ds =ρdφ dφ 1 = ds ρ deˆ ˆ t det ds dφ v deˆ t = = ev ˆ ˆ n = en dt ds dt ds ρ dt v = ρ Jan Królikowski Fizyka IBC 10

TOR P1 Tor i hodograf. v 1 P 1 P P 1r r v HODOGRAF= Krzywa w przestrzeni prędkości zakreślana przez koniec wektora prędkości. Prędkość jest styczna do toru Wektor przyspieszenia jest styczny do hodografu Jan Królikowski Fizyka IBC 11

Przyspieszenie Wektor przyspieszenia leży w płaszczyźnie ściśle stycznej: dr dv d dv deˆ a = = = ( veˆt) = eˆt + v dt dt dt dt dt deˆ t dv dt deˆ t dv v = eˆ ˆ ˆ t + v = et + en dt deˆ t dt dt ρ dt t Przyspieszenie styczne Przyspieszenie normalne Jan Królikowski Fizyka IBC 1

Składowe przyspieszenia we współrzędnych cylindrycznych: radialne i transwersalne dv d dr dφ dz a eˆ ˆ ˆ = = r r eφ ez dt dt + + = dt dt dt dr drdeˆ r drdφ dφ dφ deˆ φ dz = eˆ ˆ ˆ ˆ r + + eφ + r e r e φ + + z = dt dt dt dt dt dt dt dt dt = r rφ eˆ + r φ+ r φ eˆ + zeˆ r φ z Uwaga: nie mylić przyspieszenia transwersalnego i stycznego, oraz radialnego i normalnego Jan Królikowski Fizyka IBC 13

Historia pomiarów c Niektóre ważne metody i wyniki Rok Przez kogo? Metoda Wynik [m/s] 1676 Roemer Astronomiczna: zaćmienia Io 14 000 000 (~30%) 177 Bradley Astronomiczna:aberracja światła 301 000 000 (~10%) 1849 Fizeau Lab.: Modulacja wiązki światła kołem zębatym. Baza pomiaru 8633 m. 315 000 000 (duży błąd systematyczny) 190 Perrotin jw. 99 880 000 (84 000) 1850 186 Foucault (Arago) Lab.: modulacja wiązki światła metodą wirującego zwierciadła 98 000 000 (500 000) 1878 196 Michelson Jw.,ostatnio na bazie 35 km w powietrzu jw., w próżni na bazie 1.6 km 99 796 000 (4 000) 99 774 000 (11 000) 199 1969 Karolus & Mittelstaedt/ inni Lab.: modulacja światła komórką Kerra, modulacja czułości detektora 197: 99 784 000 (0 000) 196: 99 79 500 (50) Jan Królikowski Fizyka IBC 14

Dokładność pomiarów c Jan Królikowski Fizyka IBC 15

III. Ruch względny III.1 Obserwacja położenia z dwóch różnych układów odniesienia. Pchnięcia (boosts) i obroty. III. Transformacja Lorentza położenia. Geometria czasoprzestrzeni interwał. Konsekwencje transformacji Lorentza: dylatacja czasu i skrócenie długości. III.3 Transformacje prędkości i przyspieszenia III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. III. Transformacja Galileusza. Jan Królikowski Fizyka IBC 16

Wszechświat radarowy cd. Wysyłając z 0 sygnały świetlne w czasie t 1 do P i odbierając tamże sygnały odbite od P w czasie t możemy odtworzyć współrzędne czasoprzestrzenne (t P, x P ) zdarzenia jakim jest dojście sygnału z 0 do P: U z y 0 P x t x P P = c = t t ( ) + t 1 t 1 Jan Królikowski Fizyka IBC 17

Wszechświat radarowy: metoda pomiaru położenia i czasu zajścia zdarzenia U y 0 U y (r, t) 0 x P (r ', t') x Układy odniesienia U i U na ogół poruszają się względem siebie ruchem postępowym i/ lub obrotowym. z z To będzie typowa sytuacja rozważana w tej części wykładu. Będziemy rozważali to samo zjawisko w dwóch UO. Dla uproszczenia rozważań będziemy rozważali zdarzenia zachodzące na osiach X i X. Jan Królikowski Fizyka IBC 18

Obaj obserwatorzy O i O mogą zmierzyć metodą radarową położenie pewnego punktu materialnego P. Wyniki ich pomiarów zaznaczone są na rysunku. Światy radarowe U i U U Prędkość światła w próżni c jest jednakowa w U i U U Jan Królikowski Fizyka IBC 19

Wszechświat radarowy cd.. Wykres Minkowskiego ct ct ct P ct 1 Linia świata P Wykres Minkowskiego Z serii zdarzeń (x i, t i ) możemy obliczać prędkość i przyspieszenie punktu P. Metoda radarowa dostarcza więc obrazu ruchu punktu P. 0 x P x Niech punkt P porusza się w U Jan Królikowski Fizyka IBC 0

Wykres Minkowskiego cd. Stożek świetlny ( ) + + = ct (x y z) 0 ct 0 Linia świata punktu poruszającego Się prostoliniowo, przechodzącego w t=0 przez początek układu x, y, z Stożek świetlny zbudowany z linii świata sygnałów elektromagnetycznych wysyłanych lub przychodzących do początku układu 0. Stożek świetlny w przestrzeni Minkowskiego jest powierzchnią kuli w przestrzeni 3-wymiarowej Jan Królikowski Fizyka IBC 1

Współrzędne zdarzeń prostopadłe do V nie ulegają zmianie w wyniku tr. Lorentza Ostatecznie dostajemy: xʹ = γ x βct yʹ = zʹ = y z ( ) ctʹ =γ ct βx gdzie β=v c i γ= 1 β ( ) ( ) 1 Jan Królikowski Fizyka IBC

Dla małych prędkości β 0; γ 1 I transformacja Lorentza przechodzi w nierelatywistyczną transformację Galileusza: xʹ = x Vt tʹ = t Jan Królikowski Fizyka IBC 3

Synchronizacja zegarów odległych obserwatorów O P Przepis A. Einsteina: 1. Zmierzyć odległość OP metodą radarową, Należy umówić się przez radio z obserwatorem w P, żeby:. Nastawił swój zegar na czas t +OP/c 3. Uruchomił zegar gdy dotrze do niego sygnał wysłany przez O w chwili t. Jan Królikowski Fizyka IBC 4

Stała α i synchronizacja zegarów Rozwiązując ze względu na stałą α dostajemy: 1+β 1+β α = czyli α = =γ 1+β β 1 1 β Zatem zegary w U i U chodzą inaczej bo T ' =αt, T= αt' α= γ 1+ β T+T 0 0 t= 1+ = T' =γ β γ ( ) Jak więc synchronizować zegary? ( ) ( ) Jan Królikowski Fizyka IBC 5

cd.. Ostatecznie dostajemy: v = v = v / γ v v V x x 1 y V v y 1 x z γ z v v / c Uwaga: składowe prędkości punktu prostopadłe do V (prędkości boostu) także się transformują relatywistycznie Jan Królikowski Fizyka IBC 6

Jan Królikowski Fizyka IBC 7 Transformacja składowych przyspieszenia Różniczkując wyrażenia na prędkość w obu układach otrzymujemy następujące wyrażenia: 3 3 x x x x y y x z z x x 1 Vv 1 c 1 Vv 1 c 1 Vv 1 c v V / c a a Vv 1 c v V / c a Vv 1 c a x x y z a a a a a γ = = γ γ + + Podobnie jak dla transformacji prędkości, składowe przyspieszenia prostopadłe do boostu także się transformują.

W przybliżeniu nierelatywistycznym... Gdy Dostajemy: v x β 0; γ 1; 0 c a = a Przyspieszenie jest niezmiennikiem transformacji Galileusza Jan Królikowski Fizyka IBC 8

Efekt Dopplera dla fali elektromagnetycznej Efekt Dopplera jest to zmiana długości (częstości) fali związana z ruchem obserwatora. Ponieważ fale elektromagnetyczne zawsze poruszają się relatywistycznie z prędkością c będziemy dla nich musieli stosować wzory relatywistyczne. Dla innych fal, np.dźwiękowych, ich prędkość jest znacznie mniejsza od c i stosujemy wzory nierelatywistyczne. Rozważymy fale e-m ( lub dzwiękowe) poruszające się równolegle do wektora prędkości względnej V. Przypadek bardziej ogólny- źródło fal e-m ma prędkość skierowaną pod pewnym kątem do kierunku obserwacji jest trudniejszy. Przedyskutujemy go w Cz. V wykładu. Jan Królikowski Fizyka IBC 9

Efekt Dopplera dla fali elektromagnetycznej cd. ct =λ 0 0 1 =ν=ν T 0 Wykres Minkowskiego w U, pokazuje sytuację obserwatora O, który mierzy w swoim układzie: ( ) T = γ 1+β T 0 0 ( ) ν=ν / γ 1+β= λ=λγ 1 β ν 1+ β ( +β=λ ) ( ) 0 1 0 1+β 1 + β +... 0 1 O i O posługują się metodą radarową Jan Królikowski Fizyka IBC 30

W przypadku nierelatywistycznym, małej prędkości V Dla fal świetlnych 1 λ =λ γ ( +β ) =λ ( +β ) + β + λ +β 0 0 1 0 1 1... ( 1 ) Dla fal rozchodzących się w ośrodku związanym z obs. O z prędkością v drg >>V zachodzi: Obserwator O stosuje tr. Galileusza: drg drg λν = v ; λ=v T Jan Królikowski Fizyka IBC 31 drg v = v V ale Tʹ=T i dostajemy V V λ =v drgtʹ = ( vdrg V) T= vdrgt 1 =λ 1 v v ν ν= V 1 v drg drg drg drg

Prawo Hubble a Prawo Hubble a mówi, że prędkość v oddalania się obiektu astronomicznego i jego odległość r od nas związane są zależnością: v = H. r, gdzie H = 100 h km/s/mps=h (9.77813 Gyr) 1 jest tzw. stałą Hubble a. Znormalizowana stała Hubble a h z najnowszych pomiarów wynosi h=(0.71+0.04 0.03). Odwrotność stałej Hubble a H wynosi około 13.7 mld. lat. Długość Hubble a c/h=1.3 10 6 m Prawo Hubble a jest wyrazem rozszerzania się Wszechświata. Parsek (ps) to astronomiczna jednostka długości równa odległości z której większą półoś eliptycznej orbity Ziemi wokół Słońca widać pod kątem jednej sekundy: 1 ps = 3.6 lat świetlnych = 3.08. 10 13 km = około 00 000 większych półosi Ziemi (j.a). Jan Królikowski Fizyka IBC 3

IV. Prawa ruchu 1. Zasada bezwładności.. Druga zasada dynamiki; równania ruchu; masa bezwładna i masa ważka 3. Ruch swobodny i nieswobodny; więzy 4. Przykłady sił występujących w przyrodzie i przykłady rozwiązywania równań ruchu 5. Siły pozorne w nieinercjalnych układach odniesienia Jan Królikowski Fizyka IBC 33

Zasady dynamiki Izaaka Newtona Zasady matematyczne filozofii przyrody 1687 I Gdy wypadkowa siła działająca na ciało równa się zero, ciało spoczywające pozostaje w spoczynku, a będące w ruchu kontynuuje ruch po linii prostej ze stałą prędkością II Siła wypadkowa działająca na ciało powoduje jego przyspieszenie skierowane zgodnie z działającą siłą i do niej wprost proporcjonalne, a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała. III Jeżeli ciało pierwsze działa na ciało drugie siłą F 1 to istnieje także siła wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze F 1, która jest przeciwnie skierowana i równa co do wartości tej poprzedniej: F 1 =-F 1. Jan Królikowski Fizyka IBC 34

II zasada dynamiki Siła wypadkowa działająca na ciało powoduje jego przyspieszenie skierowane zgodnie z działającą siłą i do niej wprost proporcjonalne, a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała. dr ma = m = F( r,v,t) dt Jan Królikowski Fizyka IBC 35

Równania ruchu i podstawowy problem dynamiki Równanie ruchu ciała o masie m poddanego działaniu siły wypadkowej F: dr m = F ( r,v,t) dt Jest to równanie różniczkowe II giego rzędu. Podstawowe zagadnienie dynamiki: znaleźć rozwiązanie równania ruchu mając zadaną siłę i zadane warunki początkowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 36

Masa ważka i masa bezwładna W Ogólnej Teorii Względności masa ważka= występująca w prawie powszechnego ciążenia jest równa masie bezwładnej. Jeżeli tak by było, to dla wszelkich substancji powinna zachodzić proporcjonalność masy bezwładnej do masy grawitacyjnej z tą samą stałą proporcjonalności: Ten związek był kilkakrotnie sprawdzany graw doświadczalnie: R. Eötvös et. al.(1890,19, waga skręceń,dokładność 5.10 9 ), R. H. Dicke et. al. (1964, wahadło torsyjne, dokładność 10 11 ). W mechanice klasycznej nierelatywistycznej i relatywistycznej masy ciał są dowolnymi parametrami. Nie są wyznaczone przez jakąś głębszą teorię. Brak jest atomowego wzorca masy. Jednostka masy= wzorzec 1 kg w MIMW w Sevres pod Paryżem. Współczesne teorie oddziaływań fundamentalnych zawierają początki teorii mas masy biorą się z oddziaływania cząstek z uniwersalnym polem Higgsa. Jan Królikowski Fizyka IBC 37 m m bezw =λ

Siła Jednostka siły: 1 newton=1kg.1m/s Zasada niezależności sił: Niech na ciało działają dwie niezależne siły: F = ma F = ma 1 1 Wtedy ciało porusza się przyspieszeniem będącym sumą wektorową przyspieszeń: ma = m a + a = F = F + F ( ) 1 1 Jan Królikowski Fizyka IBC 38

V Zasady zachowania 1. Pęd nierelatywistyczny. Moment pędu. Nierelatywistyczna energia kinetyczna, praca, moc 3. Energia potencjalna. Siły zachowawcze 4. Ruch w polach sił zachowawczych 5. Ruch ciała o zmiennej masie. Rakieta. Spadająca kropla 6. Energia i pęd przy prędkościach bliskich c Jan Królikowski Fizyka IBC 39

Definicja wektora pędu. Prawo zachowania pędu Dla cząstki o masie m i i prędkości v i definiujemy (nierelatywistyczny) wektor pędu p i jako: i i i Dla układu N cząstek pęd całkowity P to: p = m v P N = i = 1 p i Jeżeli wypadkowa siła działająca na te ciała znika to spełnione jest prawo zachowania pędu: dp dt dp i = = Fi = dt 0 czyli P=const Mamy wtedy do czynienia z układem izolowanym N ciał. Jan Królikowski Fizyka IBC 40

dl M dt = Moment pędu Moment pędu określamy zawsze względem pewnego wyróżnionego punktu, najczęściej początku układu współrzędnych 0. Dla jednej cząstki i układu N cząstek będzie to: Li = ri pi L L r p = = i i i L r p 0 Zmiana wektora momentu pędu jest związana z momentem siły: dli dpi = vi pi + ri = ri Fi = Mi dt dt dl = Mi dt Jan Królikowski Fizyka IBC 41

Ponieważ: Zachowanie momentu pędu cząstki dl M dt = moment pędu jest zachowany gdy znika moment siły działającej na ciało. Zachodzi to w dwóch przypadkach: 1. Dla cząstki swobodnej gdy na ciało nie działa siła wypadkowa.. Gdy siła jest zawsze równoległa do promienia wodzącego. Ma to miejsce mi. dla sił centralnych: F r ( ) = F( r) eˆ r Gdy moment pędu jest zachowany ruch jest płaski, odbywa się po płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu pędu. Ruch w polu sił centralnych jest płaski Jan Królikowski Fizyka IBC 4

Energia kinetyczna i jej związek z pracą sił Przekształcając równanie ruchu: dostajemy: k dv m = F v dt dv 1 d de k ds m v= ( mv ) = = F v= F dt dt dt dt d mv = vf dt de = F ds = F eˆ ds t ds F Jan Królikowski Fizyka IBC 43

Praca Praca siły F przy infinitezymalnym przesunięciu ds.: dw F ds = F ds t Praca sił prostopadłych do przesunięcia =0. Przykłady: siła dośrodkowa w ruchu po okręgu, magnetyczna część siły Lorentza w jednorodnym polu magnetycznym. ds F F t [W] = [F][L] = 1Nm = 1J (dżul) Jan Królikowski Fizyka IBC 44

Praca na ogół zależy od drogi... B Siłę i wektor styczny wzdłuż toru możemy przedstawić jako funkcję parametru np. długości łuku s. Moc P definiujemy jako: P dw = = F v dt W l 1 A l 1 l Jednostka mocy wat: 1W=1J/s l Jan Królikowski Fizyka IBC 45 A B s

Siły zachowawcze lub potencjalne Są to takie siły, dla których praca po dowolnej drodze między (dowolnymi) punktami A i B nie zależy od drogi (krzywej toru po którym porusza się ciało) i wyraża się przez zmianę energii potencjalnej ciała w trakcie ruchu od A do B: E p (A) E p (B): Dla sił zachowawczych dowolna cyrkulacja (całka krzywoliniowa po drodze zamkniętej) znika: Bo: B W= Fds = E(A) p E(B) p A W = F ds = 0 B A B B Fds = Fds + Fds = Fds Fds = 0 A B A A Jan Królikowski Fizyka IBC 46 A B

Jan Królikowski Fizyka IBC 47 Związek między siłą zachowawczą a energią potencjalną ( ) ( ) p p p p E x E F r E r y E z = =

Prawo zachowania energii mechanicznej B k W polu sił zachowawczych zachodzi: B E ( ) ( ) k = Ek B Ek A = W = F ds = E p(a) E E B + E ( B) = E A + E (A) ( ) ( ) p k p A A p ( B) Jan Królikowski Fizyka IBC 48

Prawo zachowania energii E = E + E + calkowita + E + + Q pól k energia kinetyczna ruchu cząsteczek p Jan Królikowski Fizyka IBC 49

Potencjał efektywny. Bariera odśrodkowa Prawo zachowania energii może być zapisane w postaci: 1 L mr + V( r) + = E mr Człon zależny od L nosi nazwę bariery odśrodkowej, bo F φ = = = dr mr mr dt d L L o mr d 3 skierowana jest od centrum siły. Suma energii potencjalnej i członu odśrodkowego to efektywna energia potencjalna: E L = V( r) + mr p,ef Jan Królikowski Fizyka IBC 50

Potencjał efektywny. Bariera odśrodkowa cd. Punkty zwrotne: ( ) E E r = 0 p,ef E Spadanie, zderzenia L /mr Dozwolony obszar ruchu r E p,ef V(r) Układy związane Jan Królikowski Fizyka IBC 51

Wzór Bineta: równanie toru w polu sił centralnych Równania ruchu w płaszczyźnie ruchu siła ma tylko składową radialną: ( ) ( ) φ ( ) ma = m r rφ = F r ma = m rφ+ rφ = 0 r Drugie z tych równań to zasada zachowania momentu pędu: 1 d ( ) 1 φ = φ dl ma mr = =0 rdt rdt Równanie toru otrzymamy zamieniając różniczkowanie po czasie na różniczkowanie po fi: d dφ d L d = = φ dt dt dφ mr d Stosując dwukrotnie dostajemy: L d 1 r = mr dφ r Podstawiając do r. Radialnego dostajemy wzór Bineta: d 1 1 mr + = Fr dφ r r L ( ) Jan Królikowski Fizyka IBC 5

Kiedy tor wyraża się przez funkcje trygonometryczne? Przyjmijmy, że F(r)=Fr n. Wtedy mamy: du φ φ 0 = me mf n + u u L L n+ 1 ( ) 1 Całka daje nam arcsin gdy pod pierwiastkiem mamy wielomian drugiego stopnia bo: ( u) d ξ arcsin ξ A ξ A φ=φ 0 = = Zachodzi to dla n=, 3 i -1 oscylator Siła grawitacji i kulombowska Jan Królikowski Fizyka IBC 53

Mamy: Wzór Bineta: Przykład: całkowanie wzoru Bineta dla siły grawitacyjnej α = = GmM r r ( ) Fr d 1 1 mα 1 + = = φ d r r L p Ma rozwiązanie w postaci krzywej stożkowej ogniskiem w centrum siły: 1 1 ε = + cos φ φ r p p p r = 1 +ε cos φ φ ( ) 0 ( ) 0 Charakter stożkowej zależy od wartości mimośrodu ε: 1. ε < 1 elipsa. ε = 1 parabola krzywa zmierza do nieskończoności dla φ = φ 0 +π 3. ε > 1 hiperbola krzywa zmierza do nieskończoności dla φ = φ 0 +arccos(1/ ε) Jan Królikowski Fizyka IBC 54

Mimośród jako funkcja energii L pe ε = 1+ E = 1 + ; p>0, α> 0 mα α Widać, że mimośród jest: mniejszy od 1 rozwiązanie eliptyczne dla ujemnych energii, większy od 1 rozwiązanie hiperboliczne dla dodatnich energii, równy 1 rozwiązanie paraboliczne dla energii zerowych Jan Królikowski Fizyka IBC 55

1. Pęd relatywistyczny Z szeregu doświadczeń wynika, że należy zmodyfikować nierelatywistyczną definicję wektora pędu: p= mv. Poprawne wyrażenie relatywistyczne ma postać: p = mv 1 = γ m v v c ~1910-190 Dla elektronów m m m ev ev e = m γ =γ e Jan Królikowski Fizyka IBC 56

Uogólnienie II zasady dynamiki dla v c Wiemy już, że II zasada dynamiki zapisana jako pochodna pędu po czasie= sile jest słuszna relatywistycznie. Oznacza to, że: µ dp µ = K dτ dp dp dτ m m = = F K = F γ dt dτ dt Konstrukcja i interpretacja K 0 : µ µ dp K = uµ ; K = γf dτ µ µ µ dp du 1 d µ K uµ = uµ = muµ = m u uµ = 0 dτ dτ dτ 0 K u γ γ 1 de K = = F v = P = 0 u c c c dτ Jan Królikowski Fizyka IBC 57

Związek między energią i pędem γ β γ = 1 mc 4 ( ) E p c = mc = E= p c + mc p + m ( ) c= 1 Prędkość cząstki wyraża się przez jej wektor pędu i energię: cp cp v = c; β= E E zaś jej czynnik Lorentza γ wynosi: γ= E mc Jan Królikowski Fizyka IBC 58

4. Czterowektor energii- pędu Podobnie do interwału czasoprzestrzennego: ( ) s = ct r = inv który jest niezmiennikiem tr. Lorentza, wielkość utworzona z E i relatywistycznego pędu jest niezmiennikiem. Sugeruje to, że E i wektor pędu.c mogą być czasową i przestrzennymi składowymi czterowektora, który transformuje się zgodnie z transformacją Lorentza: E p c = mc ( ) ( ) x y z E µ = E, p c, p c, p c µ =0,1,,3 Jan Królikowski Fizyka IBC 59

Czterowektor E-p podlega tr. Lorentza Pod wpływem pchnięcia Lorentza wzdłuż osi OX z prędkością V czterowektor E p transformuje się następująco: gdzie V ʹ γv E pxc E c ʹ p x c V = γ ʹ V pc x E p y c c ʹ p z c pc y pc z 1 V γ V =, β V = 1 V c c Jan Królikowski Fizyka IBC 60

Czteropęd fotonu (cząstki o zerowej masie) Dla cząstki o zerowej masie spoczynkowej zachodzi: E p c = 0 Stąd energia fotonu związana z częstością wzorem E=hν wiąże się z pędem wzorem: p = k γ / c= hν / c Zaś czteropęd fotonu lecącego w kierunku : k µ = hν hνeˆ (, ) ê Jan Królikowski Fizyka IBC 61

cd. ŚM-uogólnienie na przypadek relatywistyczny Ponieważ prędkość cząstki relatywistycznej wyraża się przez jej relatywistyczny pęd i energię: pc v = c E Możemy uogólnić wyrażenie na prędkość układu ŚM jako: V pc i = c vi 0 E i Do znalezienia czterowektorów energii pędu w ŚM musimy zastosować tr. Lorentza z powyższym pchnięciem miedzy układami. p i m i Jan Królikowski Fizyka IBC 6

VI Oddziaływania dwóch ciał. Oddziaływania grawitacyjne i Układ Słoneczny 1 Redukcja do problemu jednego ciała. Potencjał grawitacyjny kuli jednorodnej 3 Problem Keplera cd. 4 Stabilność Układu Słonecznego. 5 Przekrój czynny. Rozpraszanie Rutherforda 6 Rozpraszanie głębokonieelastyczne i kwarki Jan Królikowski Fizyka IBC 63

Równanie ruchu względnego mr ( ) 1 1 = F1 r1 m mr = F r m ( ) 1 1 1 daje nam po odjęciu stronami: d mm ( r r ) = ( m + m ) F dt mm 1 1 = µ r r 1 = F1 m + m 1 1 1 1 1 Ruch względny jest to ruch ciała o masie zredukowanej µ w zewnętrznym polu siły Jan Królikowski Fizyka IBC 64

Stożkowe Problem Keplera: ruch w ŚM dla ciała o różnych E ale tym samym L Jan Królikowski Fizyka IBC 65

Elipsa E<0 r ε= AB p a = rmax + rmin = = 1 ε Gm m a = E b 1 p = = 1 ε L µ E Gmm E 1 Jan Królikowski Fizyka IBC 66

Kąt bryłowy Jan Królikowski Fizyka IBC 67

Prawa Keplera ruchu planet I. Każda planeta krąży po elipsie ze Słońcem w jednym z jej ognisk. II. Promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych czasach III. Kwadrat okresu obiegu planety dookoła Słońca jest proporcjonalny do sześcianu długości wielkiej półosi elipsy Drugie prawo Keplera zostało udowodnione w Cz. V.1: da = L A = = const dt µ Jan Królikowski Fizyka IBC 68

Wyprowadzenie III Prawa Keplera Korzystamy z II Prawa Keplera: T L Adt = T =πab; podnosimy stronami do kwadratu µ 0 3 L L = π = π a T a L µ Eµ µα T π a 4π µ a 4π a 4π a 3 3 3 3 = ; T = = m1 / m 0 G( m1 + m ) Gm 4µ α α Dla bardzo masywnego Słońca i stosunkowo lekkich planet okresy ich obiegu nie zależą od ich mas. Jan Królikowski Fizyka IBC 69

cd. Całkowity Przekrój Czynny σ =πr Musimy uwzględnić strumień padających pocisków Φ 0 i liczbę centrów rozpraszających na jedn. powierzchni. Jan Królikowski Fizyka IBC 70

cd... Rozważmy warstwę tarczy o grubości dx i powierzchni A. W objętości tarczy dv=adx znajduje się ndv=nadx centrów rozpraszających. Niech gęstość centrów wynosi n. Niech strumień cząstek padających na warstwę dx wynosi cząstek na jednostkę powierzchni na jednostkę czasu. Liczba rozproszonych cząstek, jeżeli centra mają powierzchnie wynosi: Φ n σadx dφ dφ= ; = nσ dx A Φ nσ x x 1 Φ λ ( x) = Φ 0e =Φ0e ; λ = n σ λ średnia droga swobodna Φ σ Jan Królikowski Fizyka IBC 71

Przekrój czynny- wymiary i jednostki [ σ ] = m ; 1 barn=10 m = 10 cm = 100fm 8 4 R σ = 1barn R = 5.64fm Jan Królikowski Fizyka IBC 7

Rozkład kątowy i różniczkowy przekrój czynny Całkowity przekrój czynny opisuje prawdopodobieństwo zderzenia pocisku z centrum. Można zadać bardziej szczegółowe pytania np. : Jakie jest prawdopodobieństwo rozproszenia pocisku pod określonym kątem? Jakie jest prawdopodobieństwo określonej straty energii pocisku w zderzeniu nieelastycznym? Itp. Wielkościami, które wykorzystujemy w odpowiedziach na te i podobne pytania są różniczkowe przekroje czynne. dσ dω dσ ; de Eʹ ( ) Jan Królikowski Fizyka IBC 73

Różniczkowy przekrój czynny cd. Zwykle mamy symetrię osiową: σ( φθ, ) =σ( θ) ; d Ω=πd( cos θ) Jan Królikowski Fizyka IBC 74

Różniczkowy przekrój czynny cd. Całkowity przekrój czynny otrzymujemy całkując różniczkowy przekrój czynny po całym kącie bryłowym: dσ dσ σ = = π dcosθ dω dcosθ 4π Jan Królikowski Fizyka IBC 75

Różniczkowy przekrój czynny cd. Przykład: rozpraszanie małej kulki (punktu materialnego) na sprężystej kuli o promieniu R b db dθ Wszystkie cząstki padające przechodzące przez pierścień o parametrach zderzenia pomiędzy b a b+db rozpraszają się do kąta <θ, θ+d θ>. Związek między Kątem a parametrem zderzenia: π θ θ b= Rsin α= Rsin = Rcos Jan Królikowski Fizyka IBC 76

cd... Rozpraszanie na kuli Niech strumień padających punktów materialnych wynosi N. Wtedy: dn = πbndb dn θ R θ dσ = = π b db = πrcos sin dθ= N πr R dσ R = sin θdθ= dω ; = = const 4 dω 4 dσ πr d cos σ= π θ= =πr dω Całkowity przekrój czynny jest, zgodnie z intuicją, przekrojem poprzecznym kuli Rozkład kątowy jest izotropowy Jan Królikowski Fizyka IBC 77

Rozpraszanie w polu siły centralnej +k/r Podobnie jak dla kuli, znajdziemy związek między db i dcosθ. Z całki momentu pędu: L=µ r α=µ bv b r α bv = ; r = v α Jan Królikowski Fizyka IBC 78

F=k/r cd... Niech gęstość jąder atomowych w folii wynosi n. W tarczy o grubości x znajduje się nx jąder na jednostkę powierzchni. Strumień cząstek padających na folię: N. Mamy: dn nx πb db 1 k 1 = ; db = dθ N v 1 µ sin θ k θ 1 k 1 dn = Nnx π ctg dθ= µ v µ v sin θ k π = cos Nnx d θ 4 µ v 4sin θ dn k Nnx = dω µ v θ ; dσ k 1 = dω µ v 4sin θ 4 4 4sin Jan Królikowski Fizyka IBC 79

VII Bryła sztywna 1. Pojęcia podstawowe.. Obroty bryły sztywnej dookoła ustalonej osi. Moment bezwładności. Twierdzenie o osiach równoległych 3. Równania ruchu bryły sztywnej. Tensor momentu bezwładności 4. Obroty bryły sztywnej dookoła osi swobodnych. Równania Eulera 5. Zastosowania 1: bąki (żyroskopy): swobodny i ważki 6. Zastosowania : Ziemia jako bąk. Precesja osi ziemskiej 7. Zastosowania 3: Żyroskop na obracającej się Ziemi; Żyrokompas 8. Zastosowania 4: Kamień celtycki Jan Królikowski Fizyka IBC 80

Równanie ruchu obrotowego dookoła ustalonej osi W tym szczególnym przypadku wektory M, L i ω skierowane są wzdłuż jednej prostej osi obrotu: d dω M = r F = L= I =ω=ε I I dt dt Równanie ruchu postępowego: dr F = ma= m dt Jan Królikowski Fizyka IBC 81

Momenty bezwładności Jan Królikowski Fizyka IBC 8

Jan Królikowski Fizyka IBC 83

cd. Jan Królikowski Fizyka IBC 84

Twierdzenie o osiach równoległych Twierdzenie Steinera pozwala przeliczać momenty bezwładności względem dwóch równoległych osi odległych o d. Niech O będzie środkiem masy. y ( ) P I = dmxʹ = dm x+ d = y I d dm x d dm O = + + = o = I + md P r d O r x Jan Królikowski Fizyka IBC 85

Równanie ruchu bryły sztywnej Środek masy bryły sztywnej: rdm rρ( r ) d3r V V R = = m m Całkowity pęd bryły sztywnej: = = P rdm mr = mv bo r = r R + R r = r R + R = ( ) ; d ( ) dt ( ) ( ) ( r R) dm 0 =ω r R + R =ω r R + V ω = U y r i z 0 R ŚM r j x Jan Królikowski Fizyka IBC 86

Tensor bezwładności W ogólnym przypadku moment pędu bryły sztywnej nie jest równoległy do wektora prędkości kątowej: = ˆ L Iω ; L = I ω k Składowe tensora bezwładności obliczone w pewnym układzie odniesienia: Jan Królikowski Fizyka IBC 87 kj Lk = dm( r δkj rkrj) ω V ( j ) I = dm r δ r r j ( ) ( ) I = dm y + z ; I = dm x + z ; 11 V 33 kj kj k V ( ) I = dm x + y V I = dmxy; I = dmxz; I = dmyz 1 13 3 V V V j V

cd. Tensor bezwładności jest tensorem symetrycznym: I kj = I jk Ma 6 niezależnych składowych: Momenty dewiacyjne ( dm y + z ) dmxy dmxz V V V ( I= + ) dmxy dm x z dmyz V V V dmxz dmyz dm x + y V V V Momenty główne ( ) Jan Królikowski Fizyka IBC 88

Zdiagonalizowany tensor bezwładności Tensor w postaci diagonalnej: Ix 0 0 I= 0 Iy 0 0 0 Iz Wielkości I x, I y, I Ż nazywamy głównymi momentami bezwładności, a odpowiednie osie układu współrzędnychosiami głównymi. Dla ciał o symetrii sferycznej wszystkie główne m.b. są sobie równe. Dla ciał o symetrii obrotowej dwa z głównych m.b. są sobie równe. Jan Królikowski Fizyka IBC 89

Elipsoida bezwładności Obliczmy i zdiagonalizujmy tensor m.b w układzie środka masy bryły. W tym układzie zbudujmy elipsoidę o półosiach: a = 1 ; a = 1 ; a = 1 I I I 1 3 x Y Z Sposób znajdowania kierunku wektora L gdy dany jest kierunek wektora ω jest przedstawiony na rysunku. a O y L ω a 1 Pł. styczna x Jan Królikowski Fizyka IBC 90

cd. Ostatecznie dostajemy następujące równania ruchu w układzie U : ( ) I ω + I I ω ω = M xʹ xʹ zʹ yʹ yʹ zʹ xʹ I ω + I I ω ω = M ( ) yʹ yʹ xʹ zʹ xʹ zʹ yʹ ( ) I ω + I I ω ω = M zʹ zʹ yʹ xʹ xʹ yʹ zʹ Są to równania Eulera Jan Królikowski Fizyka IBC 91

VIII Oddziaływania bardzo wielu ciał Elementy fizyki statystycznej 1. Pojęcia mikrostanu i makrostanu układu N punktów materialnych. Prawdopodobieństwo termodynamiczne. Entropia. Równowaga: rozkład Boltzmanna 3. Twierdzenie o wiriale i jego zastosowania: ciśnienie gazu i ruchy Browna 4. Strzałka czasu w fizyce statystycznej: twierdzenie H Boltzmanna Jan Królikowski Fizyka IBC 9