MACIERZE I WYZNACZNIKI

Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07

MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1 j n dokładnie jednej liczby a ij. Macierz zapisujemy zwykle lub [ a ij ]m n, lub [a ij]. a 11... a 1n..... a m1... a mn Gdy m n, to macierz jest kwadratowa, a liczba n to stopień macierzy.

Dodawanie macierzy. DEFINICJA. Jeśli A [a ij ] m n oraz B [b ij ] m n, to suma macierzy A i B to macierz A + B [c ij ] m n, gdzie c ij a ij + b ij. PRZYKŁADY. [ ] [ 1 2 5 6 + 3 4 7 [ ] [ 1 + 5 2 + 6 3 + 7 4 + ] [ 6 10 12 ] [ ] [ ] [ ] 1 2 + 5 6 1 + 5 2 + 6 6 ]

Odejmowanie macierzy. DEFINICJA. Jeśli A [a ij ] m n oraz B [b ij ] m n, to różnica macierzy A i B to macierz A B [c ij ] m n, gdzie c ij a ij b ij. PRZYKŁADY. [ ] [ 1 2 5 6 3 4 7 [ 1 3 ] [ 5 7 ] ] [ 1 5 3 7 [ 1 5 2 6 3 7 4 ] [ 4 4 ] ] [ 4 4 4 4 ]

Mnożenie przez liczbę. DEFINICJA. Jeśli A [a ij ] m n, to iloczyn macierzy A przez liczbȩ k to macierz ka [c ij ] m n, gdzie c ij ka ij. PRZYKŁADY. [ ] 1 2 2 3 4 0 [ 1 2 3 4 5 6 ] [ 2 4 6 ] [ 0 0 0 0 0 0 ]

Mnożenie macierzy. DEFINICJA. Jeśli A [a ij ] m r oraz B [b ij ] r n, to iloczyn macierzy A i B to macierz AB [c ij ] m n, gdzie c ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ir b rj. Mnożymy i-ty wiersz pierwszej macierzy przez j-tą kolumnę drugiej macierzy. UWAGA. Mnożenie macierzy nie jest przemienne. PRZYKŁAD 1. [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 2 1 1 2 + 2 3 1 1 + 2 0 1 3 4 3 0 3 2 + 4 3 3 1 + 4 0 1 3 [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 1 2 2 1 + 1 3 2 2 + 1 4 5 3 0 3 4 3 1 + 0 3 3 2 + 0 4 3 6

Mnożenie macierzy. DEFINICJA. Jeśli A [a ij ] m r oraz B [b ij ] r n, to iloczyn macierzy A i B to macierz AB [c ij ] m n, gdzie c ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ir b rj. Mnożymy i-ty wiersz pierwszej macierzy przez j-tą kolumnę drugiej macierzy. UWAGA. Mnożenie macierzy nie jest przemienne. PRZYKŁAD 2. [ ] [ ] 3 [ ] [ ] 1 2 1 3 + 2 4 11 4 [ 3 4 ] [ 1 2 ] [ 3 1 3 2 4 1 4 2 ] [ 3 6 4 ]

Macierz transponowana. DEFINICJA. Macierz transponowana do macierzy A [a ij ] m n, to macierz A T [b ij ] n m, gdzie b ij a ji. PRZYKŁADY. [ ] 1 2 A, A 3 4 T B 1 2 3, B T [ [ 1 3 2 4 1 2 3 ] ]

jedynka DEFINICJA. Macierz jednostkowa n-tego stopnia to macierz kwadratowa n-tego { stopnia I (czasami oznaczana I n lub E) o 1, gdy i j elementach a ij, 0, gdy i j to znaczy 1 0... 0 0 1... 0...... 0 0 1 WŁASNOŚĆ. Jeśli A jest macierza kwadratowa n-tego stopnia, a I jest macierza jednostkowa n-tego stopnia, to A I I A A.

Wyznacznik macierzy kwadratowej. DEFINICJA. Wyznacznik macierzy kwadratowej A [a ij ], to liczba det A zdefiniowana nastȩpuja co: 1 gdy A macierza pierwszego stopnia, to det[a 11 ] a 11 ; 2 gdy A jest macierza n-tego stopnia i n 2 (zakładamy, że umiemy liczyć wyznaczniki macierzy stopnia n 1), to det A a 11 det A 11 a 12 det A 12 + + ( 1) 1+n a 1n det A 1n, gdzie A ij jest macierza powstała z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.

Jak liczymy wyznacznik macierzy drugiego stopnia? Przypomnienie definicji: det A a 11 det A 11 a 12 det A 12 + + ( 1) 1+n a 1n det A 1n, A ij to A bez i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. det [ a11 a 12 a 21 a 22 ] a 11 a 12 a 21 a 22

Jak liczymy wyznacznik macierzy drugiego stopnia? Przypomnienie definicji: det A a 11 det A 11 a 12 det A 12 + + ( 1) 1+n a 1n det A 1n, A ij to A bez i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. det [ a11 a 12 a 21 a 22 ] a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 det A 11 a 12 det A 12 a 11 a 22 a 12 a 21

Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32

Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? Schemat Sarrusa. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.

Jak liczymy wyznacznik macierzy drugiego oraz trzeciego stopnia? PRZYKŁAD. 1 2 3 4 1 4 2 3 2. 1 2 3 4 5 6 7 9 1 2 3 4 5 6 7 9 1 2 4 5 7 1 5 9 + 2 6 7 + 3 4 3 5 7 1 6 2 4 9 0

Macierz odwrotna. DEFINICJA. Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A o niezerowym wyznaczniku to taka macierz A 1, że A A 1 A 1 A I. PRZYKŁAD. [ Gdy A [2], to A 1 1 2], [ [ ] ponieważ [2] 1 2] 2 1 2 [1] I 1.

Jak znaleźć macierz odrotną? DEFINICJA. Dopełnienie algebraiczne elementu a ij macierzy kwadratowej A [a ij ] to liczba d ij ( 1) i+j det A ij. TWIERDZENIE. Jeżeli A jest macierza kwadratową stopnia wiȩkszego od 1 oraz det A 0, to PRZYKŁAD. A A 1 1 det A [d ij] T. [ 1 2 3 4 ], det A 2, d 11 ( 1) 1+1 4 4, d 12 ( 1) 1+2 3 3, d 21 ( 1) 2+1 2 2, d 22 ( 1) 2+2 1 1 [ ] T [ ] [ A 1 1 4 3 2 1 4 2 2 1 2 1 2 3 1 1,5 0, 5 ]

A 1 1 det A [d ij] T, PRZYKŁAD A A 1 1 1 3 4 1 0 1 3 1 1 2 det A 1 7 11 3 5 9 1 1 3, det A, d 11 ( 1) 1+1 1 3 1 2 d 11 d 12 d 13 d 21 d 22 d 23 d 31 d 32 d 33 T 1 1 7 3 1 1 3 1 7 5 1 11 9 3 11 5 9 1 3 1,... T

PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A 1 3 4 1 0 1 3 1 1 2 1 7 3 5 1 3 + 12 1 21 + 20 + 1 0 + 3 3 + 5 + 3 1 + 3 2 7 + 5 + 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 11 9 1 3 33 36 + 3 0 9 + 9 11 9 + 6

Metoda Gaussa-Jordana szukania macierzy odwrotnej do macierzy kwadratowej stopnia n. Dopisujemy do danej macierzy n kolumn tworzacych I n (czyli macierz jednostkową stopnia n). Następnie działając tylko na wierszach: zamieniając wiersze miejscami, dzieląc lub mnożąc wszystkie wyrazy dowolnego wiersza przez dowolną stałą różną od zera, dodając do elementów dowolnego wiersza odpowiedne elementy innego wiersza pomnożone przez dowolną stała, doprowadzamy do macierzy, której pierwsze n kolumn tworzy I n. Wtedy pozostałe kolumny tworzą A 1.

PRZYKŁAD. Znajdź A 1, gdy A 1 2 3 4. Dopisujemy do kolumn macierzy A dwie dodatkowe (tworzące macierz jednostkową drugiego stopnia): [ ] 1 2 1 0 3 4 0 1 Do wyrazów wiersza drugiego dodajemy wyrazy pierwszego wiersza pomnożone przez 3. [ ] 1 2 1 0 0 2 3 1 Do wyrazów wiersza pierwszego dodajemy wyrazy wiersza drugiego. [ ] 1 0 2 1 0 2 3 1

PRZYKŁAD. Znajdź A 1, gdy A 1 2 3 4. [ 1 0 0 2 2 1 3 1 ] Wyrazy drugiego wiersza dzielimy przez 2. [ 1 0 0 1 2 1 3/2 1/2 Szukana macierz odwrotna to: A 1 ] [ 2 1 3/2 1/2 ].

Własności wyznaczników Zakładamy, że A jest macierza kwadratowa stopnia n. 1 deta det A T ; 2 det A a i1 d i1 + + a in d in (rozwiniȩcie wzglȩdem i-tego wiersza); 3 det A a 1j d 1j + + a nj d nj (rozwiniȩcie wzglȩdem j tej kolumny); 4 gdy A zawiera wiersz (lub kolumnȩ) złożona z samych zer, to det A 0; 5 jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianȩ dwóch wierszy (lub kolumn) miejscami, to det B det A; 6 jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do elementów dowolnego wiersza odpowiednich elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolna stała, to det A det B (podobnie dla kolumn); 7 jeżeli macierz B powstała z A przez pomnożenie wszystkich wyrazów dowolnego wiersza (lub kolumny) przez c, to det B c det A.

Wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3 rozwijamy względem dowolnie wybranego wiersza lub dowolnie wybranej kolumny - własność 2 lub 3. PRZYKŁAD. Wyznacznik 1 2 2 1 3 6 4 5 13 10 10 2 10 możemy rozwinąć względem pierwszego wiersza (to jedna z ośmiu możliwości).

Rozwinięcie względem pierwszego wiersza: 1 2 2 1 3 6 4 5 13 10 10 2 10 6 4 5 1 ( 1) 1+1 13 10 + 2 ( 1) 1+2 10 2 10 3 6 5 +2 ( 1) 1+3 13 10 + 1 ( 1) 1+4 10 10 3 4 5 10 2 10 3 6 4 13 10 2...

Możemy też rozwiąć (na przykład) względem trzeciej kolumny: 1 2 2 1 3 6 4 5 13 10 10 2 10 3 6 5 2 ( 1) 1+3 13 10 + 4 ( 1) 2+3 10 10 1 2 1 + ( 1) 3+3 3 6 5 + 2 ( 1) 4+3 10 10 1 2 1 13 10 10 10 1 2 1 3 6 5 13 10...

Wyznacznik macierzy stopnia wyższego od 3 rozwijamy względem wiersza lub kolumny. Najdogodniej jest, zazwyczaj, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy - poza jednym - w dowolnie przez nas wybranym wierszu (lub kolumnie) to zera (albo same zera - ten przypadek jest możliwy tylko wtedy, gdy wyznacznik jest zerem - własność 4). PRZYKŁAD. 1 2 2 1 3 6 4 5 13 10 10 2 10 1 2 2 1 1 2 0 3 4 5 0 6 7 0 9

Wyznacznik macierzy stopnia wyższego od 3 rozwijamy względem wiersza lub kolumny. Możemy (to jedna z wielu opcji) wyzerować trzecią kolumnę, wybierając do tego celu pierwszy wiersz (stosujemy własność 6). Pierwszy wiersz: mnożymy przez 2 i dodajemy do drugiego; mnożymy przez 4 i dodajemy do trzeciego; mnożymy przez 1 i dodajemy do czwartego. 1 2 2 1 3 6 4 5 13 10 10 2 10 1 2 2 1 1 2 0 3 4 5 0 6 7 0 9 Teraz możemy rozwinąć względem trzeciej kolumny (własność 3).

Wyznacznik macierzy wyższego stopnia rozwijamy względem wiersza lub kolumny. Rozwijamy względem trzeciej kolumny (własność 3): 1 2 2 1 1 2 0 3 4 5 0 6 7 0 9 2 ( 1) 1+3 1 2 3 4 5 6 7 9 + 0 + 0 + 0 0

INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Wyrazy pierwszej kolumny mnożymy przez, kolejno, 2, 3, 4 i dodajemy do odpowiednich wyrazów kolumny drugiej, trzeciej i czwartej. 1 2 3 4 2 5 7 2 6 9 10 3 9 17 25

INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Wyrazy pierwszej kolumny mnożymy przez, kolejno, 2, 3, 4 i dodajemy do odpowiednich wyrazów kolumny drugiej, trzeciej i czwartej. 1 2 3 4 1 0 0 0 2 5 7 2 1 1 0 2 6 9 10 2 2 3 2 3 9 17 25 3 3 13

INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Teraz wyrazy drugiej kolumny mnożymy przez 1 i dodajemy do wyrazów kolumny trzeciej. 1 2 3 4 2 5 7 2 6 9 10 3 9 17 25 1 0 0 0 2 1 1 0 2 2 3 2 3 3 13

INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Teraz wyrazy drugiej kolumny mnożymy przez 1 i dodajemy do wyrazów kolumny trzeciej. 1 2 3 4 2 5 7 2 6 9 10 3 9 17 25 1 0 0 0 2 1 0 0 2 2 1 2 3 3 5 13 1 0 0 0 2 1 1 0 2 2 3 2 3 3 13

INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Wyrazy trzeciej kolumny mnożymy przez 2 i dodajemy do czwartej. 1 2 3 4 2 5 7 2 6 9 10 3 9 17 25 1 0 0 0 2 1 0 0 2 2 1 2 3 3 5 13 1 0 0 0 2 1 1 0 2 2 3 2 3 3 13

INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Wyrazy trzeciej kolumny mnożymy przez 2 i dodajemy do czwartej. 1 2 3 4 2 5 7 2 6 9 10 3 9 17 25 1 0 0 0 2 1 0 0 2 2 1 2 3 3 5 13 1 0 0 0 2 1 1 0 2 2 3 2 3 3 13 1 0 0 0 2 1 0 0 2 2 1 0 3 3 5 3 1 1 1 3 3

INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. 1 2 3 4 2 5 7 2 6 9 10 3 9 17 25 1 0 0 0 2 1 0 0 2 2 1 2 3 3 5 13 1 0 0 0 2 1 1 0 2 2 3 2 3 3 13 1 0 0 0 2 1 0 0 2 2 1 0 3 3 5 3 1 1 1 3 3

Minor, rząd macierzy. DEFINICJA. Minor stopnia k macierzy A [a ij ] m n (dla k m i jednocześnie k n) to wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k powstałej z macierzy A przez skreślenie odpowiedniej liczby wierszy i kolumn. DEFINICJA. Rza d R(A) macierzy A to najwyższy ze stopni niezerowych minorów tej macierzy.

Rząd macierzy. PRZYKŁAD. Rza d macierzy A 1 2 3 4 5 6 7 9 nie jest równy 3, bo jedyny minor 3-go stopnia tej macierzy to det A 0 (nie ma niezerowego minora 3-go stopnia). Oczywiście R(A) 2, gdyż, na przykład, niezerowym jest minor drugiego stopnia powstały z A przez skreślenie trzeciego wiersza i 1 2 trzeciej kolumny: 4 5 5 0.

Własności rzędu macierzy. Rza d macierzy A nie zmieni siȩ, gdy 1 do wszystkich elementów dowolnego wiersza dodamy odpowiednie elementy innego wiersza pomnożone przez dowolna stała (podobnie dla kolumn); 2 wszystkie elementy dowolnego wiersza (lub kolumny) pomnożymy lub podzielimy przez dowolna stała różna od zera; 3 skreślimy wiersz (lub kolumnȩ) złożona z samych zer; 4 zamienimy wiersze miejscami (podobnie: zamienimy kolumny miejscami); 5 ponadto R(A) R(A T ).

Rząd macierzy. PRZYKŁAD. Oblicz rza d macierzy A 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 Oczywiście R(A) 3 (macierz ma tylko trzy wiersze).

Rząd macierzy. Najpierw wszystkie wyrazy ostatniego wiersza podzielimy przez (własność 2). R(A) R 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 R 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 1 1 1 1 Następnie do wyrazów pierwszego wiersza dodamy wyrazy trzeciego wiersza pomnożone przez 1 i do wyrazów drugiego wiersza dodamy wyrazy trzeciego wiersza pomnożone przez 5 (własność 1).

Rząd macierzy. Do wyrazów pierwszego wiersza dodajemy wyrazy trzeciego wiersza pomnożone przez 1 i do wyrazów drugiego wiersza dodajemy wyrazy trzeciego wiersza pomnożone przez 5 (własność 1). R 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 1 1 1 1 R 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1

Rząd macierzy. Do wyrazów pierwszego wiersza dodajemy wyrazy drugiego wiersza, a nastepnie skreślamy wiersz złożony z samych zer: 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 R 0 1 2 3 4 R 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ] 0 1 2 3 4 R 2 1 1 1 1 1 Rząd tej macierzy wynosi 2, gdyż, na przykład, niebieski minor drugiego stopnia jest niezerowy. Mogliśmy też dalej przykształcać macierz aż do uzyskania macierzy jednostkowej - wtedy rząd to stopień otrzymanej macierzy jednostkowej.

Wartość własna macierzy. DEFINICJA. Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej A nazywamy wyznacznik macierzy A λi. PRZYKŁAD. Wielomianem charakterystycznym macierzy A ([ ] [ ]) 1 2 1 0 det(a λi ) det λ 2 4 0 1 ([ ] [ ]) 1 2 λ 0 1 λ 2 det 2 4 0 λ 2 4 λ (1 λ)(4 λ) 4 λ 2 5λ. [ 1 2 2 4 ] jest

Wartość własna macierzy. DEFINICJA. Wartość własna macierzy kwadratowej A to pierwiastek jej wielomianu charakterystycznego. PRZYKŁAD. Znajdź wartości własne macierzy A [ 1 2 2 4 Szukamy pierwiastków wielomianu charakterystycznego, czyli rozwiązujemy równanie: λ 2 5λ 0 λ(λ 5) 0; wartości własne to λ 1 0 oraz λ 2 5. ].

PRZYKŁAD. Znajdź wartości własne macierzy 1 0 2 1 2 1 1 0 4. Szukamy pierwiastków wielomianu charakterystycznego, czyli 1 λ 0 2 rozwiązujemy równanie: 1 2 λ 1 0, 1 0 4 λ (1 λ)( 2 λ)(4 λ) + 2( 2 λ) 0 ( 2 λ)[(1 λ)(4 λ) + 2] 0 ( 2 λ)[λ 2 5λ + 6] 0; wartości własne to λ 1 2, λ 2 2, λ 3 3.