Wykªad nr 5 4 kwietnia 2013
Procesory dedykowane Przypomnienie: zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie ko«czy si wraz z wykonaniem swej najpó¹niejszej operacji, dopuszcza si sytuacje, gdy zadanie nie wykorzystuje wszystkich maszyn (operacje puste),»adne dwie operacje tego samego zadania nie mog wykonywa si rownocze±nie,»aden procesor nie mo»e rownocze±nie pracowa nad ró»nymi operacjami.
Procesory dedykowane cd. Trzy gªówne typy systemów obsªugi dla maszyn dedykowanych: system przepªywowy (ang. ow shop) - operacje ka»dego zadania s wykonywane przez procesory w tej samej kolejno±ci wyznaczonej przez numery maszyn (przykªad 3), system otwarty (ang. open shop) - kolejno± wykonania operacji w obr bie zada«jest dowolna (przykªad 2), system gniazdowy (ang. job shop) - dla ka»dego zadania mamy dane przyporz dkowanie maszyn operacjom oraz wymagan kolejno±.
Flow-shop - system przepªywowy Twierdzenie Problem F 3 C max jest NP-trudny.
Flow-shop - system przepªywowy Twierdzenie Problem F 3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja Problemu Podziaªu (PP): Dany jest ci g liczb naturalnych a 1, a 2,..., a n t». S = n i=1 a i jest l. parzyst. Pytanie: Czy istnieje jego podci g o sumie S/2?
Flow-shop - system przepªywowy Twierdzenie Problem F 3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja Problemu Podziaªu (PP): Dany jest ci g liczb naturalnych a 1, a 2,..., a n t». S = n i=1 a i jest l. parzyst. Pytanie: Czy istnieje jego podci g o sumie S/2? Redukcja: bierzemy n zada«o czasach (0, a i, 0) i = 1,..., n oraz jedno z czasami (S/2, 1, S/2). Pytamy o istnienie uszeregowania z M 1 S/2 M 2 a 1 1 a n S/2 M 3 0 S+1 C S + 1.
System zwykªy a permutacyjny (PF) Permutacyjny system przepªywowy (PF) system przepªywowy + kolejno± podejmowania operacji z poszczególnych zada«musi by jednakowa na ka»dej maszynie (permutacja numerów zada«).
System zwykªy a permutacyjny (PF) Permutacyjny system przepªywowy (PF) system przepªywowy + kolejno± podejmowania operacji z poszczególnych zada«musi by jednakowa na ka»dej maszynie (permutacja numerów zada«). Zwykªy system przepªywowy Operacje w zadaniach wykonuj si w tej samej kolejno±ci (numeracja procesorów) ale kolejno± podejmowania zada«mo»e si zmienia pomi dzy maszynami. Jest to mo»liwe nawet w harmonogramie optymalnym.
Przykªad m = 4, n = 2. Czasy wykonania (1, 4, 4, 1) dla Z 1 i (4, 1, 1, 4) dla Z 2. Harmonogramy permutacyjne: M 1 Z 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 2 M 3 Z 1 Z 2 M 4 Z 1 Z 2 14 M 1 Z 2 Z 1 M 2 Z 2 Z 1 M 3 Z 2 Z 1 M 4 Z 2 Z 1 14
Przykªad Harmonogram niepermutacyjny: M 1 Z 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 2 M 3 Z 2 Z 1 M 4 Z 2 Z 1 12
Obserwacje Je»eli p ij > 0, to istnieje optymalne uszeregowanie ow shopu, w którym kolejno± podejmowania zada«jest jednakowa na pierwszych dwóch maszynach, oraz jednakowa na ostatnich dwóch.
Obserwacje Je»eli p ij > 0, to istnieje optymalne uszeregowanie ow shopu, w którym kolejno± podejmowania zada«jest jednakowa na pierwszych dwóch maszynach, oraz jednakowa na ostatnich dwóch. Harmonogram optymalny dla PFm C max (p ij > 0) jest optymalny dla Fm C max przy m 3 (sprawdzamy wi c tylko harmonogramy permutacyjne, mniej do przeszukania!).
Szukanie C max dla zadanej permutacji zada«- skan z ksi»ki M. Pinedo (Scheduling. Theory, Algorithms and Systems; Prentice Hall 2002)
Warto± C max si nie zmienia dla problemu dualnego - zadania wykonujemy w odwrotnej kolejno±ci (permutacja Z n,..., Z 1 ), odwrotna kolejno± maszyn M m,..., M 1 - przykªad.
F 2 C max, (F 2 pmtn C max ) Jedyny problem ow rozwiazywalny w czasie wielomianowym, kiedy to zadania s dowolne. Algorytm Johnsona, O(n log n) 1 Podziel zadania na zbiory N 1 = {Z j : p 1j < p 2j }, N 2 = {Z j : p 1j p 2j }. 2 Porz dkuj N 1 w kolejno±ci niemalej cej p 1j a N 2 wedªug nierosn cego p 2j 3 Utwórz harmonogram permutacyjny (maksymalnie przesuni ty w lewo) na podstawie kolejno±ci N 1, N 2. Przykªad - slajdy Giaro (str. 93)
F 3 C max Zmodykowany algorytm Johnsona Stosujemy, gdy M 2 jest zdominowana przez M 1 ( i,j p 1i p 2j ) lub przez M 3 ( i,j p 3i p 2j ) mo»na u»y Johnsona stosuj c zmodykowane czasy wykonania (p 1i + p 2i, p 2i + p 3i ), i = 1,..., n. Przykªad - slajdy dodatkowe
F C max, n = 2 Algorytm graczny 1 Na osi OX odkªadamy kolejne odcinki o dªugo±ci p 11, p 21,..., p m1 (czasy pracy maszyn nad Z 1 ). Na osi OY odkªadamy odcinki o dªugo±ci p 12, p 22,..., p m2 (czasy pracy maszyn nad Z 2 ). 2 Zaznaczamy obszary zakazane wn trza prostok tów b d cych iloczynami kartezja«skimi odpowiednich odcinków (ta sama maszyna nie pracuje równocze±nie nad dwoma zadaniami). 3 Szukamy najkrótszej ªamanej o odcinkach równolegªych do osi (praca jednej maszyny) lub biegn cych pod k tem π/4 (równoczesna praca obu maszyn), ª cz cej (0, 0) z ( i p i1, i p i2). Jej dªugo± to dªugo± harmonogramu. (d((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = max{ x 1 x 2, y 1 y 2 }). Przykªad - slajdy Giaro (str. 98)
System przepªywowy permutacyjny proporcjonalny, Fm pmtn, p ij = p j C max Reguªa SPT-LPT Zbiór zada«podzielony jest na dwie cz ±ci: 1. cz ± : p j1 p j2 p jk 2. cz ± : p jk p jk+1 p jn
System przepªywowy permutacyjny proporcjonalny, Fm pmtn, p ij = p j C max Reguªa SPT-LPT Zbiór zada«podzielony jest na dwie cz ±ci: 1. cz ± : p j1 p j2 p jk 2. cz ± : p jk p jk+1 p jn Mo»e by kilka takich podziaªów
System przepªywowy permutacyjny proporcjonalny, Fm pmtn, p ij = p j C max Twierdzenie Dla problemu Fm pmtn, p ij = p j C max C max = n p j + (m 1) max{p 1,..., p n } j=1 i nie zale»y od uszeregowania.
System przepªywowy permutacyjny proporcjonalny, Fm pmtn, p ij = p j C max Twierdzenie Dla problemu Fm pmtn, p ij = p j C max C max = n p j + (m 1) max{p 1,..., p n } j=1 i nie zale»y od uszeregowania. Dowód Do zrobienia na wiczeniach
Zªo»ono± ow shop Ksi»ka P. Brucker - str. 248-249.