ALGORYTMY SORTOWANIA DANYCH
|
|
- Irena Pawlik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ALGORYTMY SORTOWANIA DANYCH W zagadnieniu sortowania danych rozpatrywa b dziemy n liczb caªkowitych, b d cych pierwotnie w losowej kolejno±ci, które nale»y uporz dkowa nierosn co. Oczywi±cie sortowa mo»emy te» inne typy danych ni» liczby caªkowite (np. liczby zmiennoprzecinkowe, ci gi znaków alfanumerycznych, itp.), jednak idea algorytmów nie zmienia si. Podobnie, je±li chodzi o sortowanie w porz dku odwrotnym do zaªo»onego (niemalej co) zmiany sprowadzaj si praktycznie do zamiany znaków mniejszo±ci / wi kszo±ci na przeciwne.
2 Najprostszym jest algorytm sortowania b belkowego, który mo»na zaimplementowa jako dwie zagnie»d»one p tletypu for, z których ka»da wykonuje si O(n) razy. Zadaniem tych p tli jest umieszczenie ka»dego z elementów na wªa±ciwej pozycji. int B[n]; void bubble(int* B) { for(j=1; j<n; j++) for(i=n-1; i>0; i--) if(b[i-1]>b[i]) { temp=b[i]; B[i]=B[i-1]; B[i-1]=temp; }; }; O(n) O(n) = O(n 2 ).
3 Zªo»ono± obliczeniowa sortowania b belkowego jest zawsze O(n 2 ) ka»da z p tli wykona si zawsze O(n) razy, chocia» np. w sytuacji wst pnego posortowania danych wej±ciowych liczb obiegów p tli wewn trznej mo»na by zmniejszy. Uwzgl dnia to algorytm sortowania przez wstawianie, gdzie wewn trzna p tla szuka wªa±ciwej pozycji dla bie» cego elementu, ale tylko w±ród elementów wcze±niej posortowanych:
4 int B[n]; void insert(int* B) { for(i=2;i<n+1;i++) { j=i-1; while(b[j]<b[j-1]) { pom=b[j]; B[j]=B[j-1]; B[j-1]=pom; j--; if(j<1) break; }; }; }; O(i) O(n) Czy takie usprawnienie przekªada si na lepsz zªo»ono± obliczeniow?
5 Liczba iteracji p tli wewn trznej za pierwszym razem (tj. przy pierwszej iteracji p tli zewn trznej) wynosi maksymalnie 1, za drugim razem 2, potem 3, itd. Najwi cej razy wykona si w ostatniej ((n 1)-szej) iteracji p tli zewn trznej n 1 razy. Zatem, aby wyznaczy zªo»ono± obliczeniow caªej procedury sortowania przez wstawianie, wystarczy policzy sum nast puj cego ci gu: (n 2) + (n 1) = n 1 j=1 n 1 j=1 j = 1 2 (n 1)n = 1 2 n2 1 2 n = O(n2 ). j, Uzyskali±my wi c algorytm tego samego rz du co algorytm sortowania b - belkowego.
6 Jednak rozwa»my przypadek, gdy liczby s ju» posortowane. (Przypomnijmy,»e w takiej sytuacji algorytm sortowania b belkowego wykona tyle samo operacji, co w przypadku danych nieposortowanych). W takim przypadku, w algorytmie sortowania przez wstawianie p tla wewn trzna nie wykona si ani razu w ka»dej z n 1 iteracji p tli zewn trznej. Zatem czas dziaªania algorytmu ograniczy si do O(n).
7 Sortowanie przez kopcowanie Wykorzystajmy teraz struktur kopca do skonstruowania algorytmu sortowania. Idea sprowadza si do nast puj cych kroków: 1. Umie± wszystkie dane wej±ciowe w kopcu. Utwórz pust tablic wyj±ciow o dªugo±ci n. 2. Pobierz element z korzenia na pierwsz woln pozycj w tablicy wyj- ±ciowej. 3. Umie± w korzeniu (w miejsce pobranego elementu) ostatni element z kopca (rozmiar kopca zmniejsza si o 1). Przywró wªa±ciwo± kopca (analogicznie, jak w procedurze usuwania elementu z kopca). 4. Je±li kopiec nie jest pusty to skocz do Kroku 2; w przeciwnym wypadku STOP posortowane dane s w tablicy wyj±ciowej.
8 Wyznaczmy teraz zªo»ono± obliczeniow algorytmu sortowania przez kopcowanie. Po pierwsze, nale»y zauwa»y,»e w algorytmie kroki 2-4 s powtarzane n razy (w ka»dej iteracji, kopiec pocz tkowo n elementowy zmniejsza si o 1). Zatem zªo»ono± caªej procedury mo»na wyliczy jako: Zªo»ono± Kroku 1 + n Zªo»ono± Kroków 2-4. Wyznaczmy wi c zªo»ono± poszczególnych kroków algorytmu.
9 Zªo»ono± Kroku 1: Utworzenie kopca z n losowych danych to, jak ju» wspomniano, n-krotne wykonanie operacji wstawienia elementu do kopca. Wychodz c z zaªo»enia,»e wstawienie elementu do kopca n elementowego zajmuje O(log n) czasu (tyle, ile wynosi wysoko± kopca), zªo»ono± Kroku 1 mo»na oszacowa jako O(n log n). Oczywi±cie 2-ga cz ± Kroku 1 utworzenie tabl. wyj±c. zajmuje O(1). UWAGA: Utworzenie kopca mo»na te» wykona szybciej w sposób wst puj cy. W metodzie tej zakªadamy,»e od pocz tku kopiec jest wypeªniony losowymi danymi. Rozpoczynaj c od elementu n/2 przechodzimy przez kolejne elementy a» do pierwszego i za ka»dym razem wykonujemy operacj naprawy cz ±ci kopca le» cego poni»ej (tj. poddrzewa, dla którego bie-» cy element jest korzeniem), na podobnej zasadzie jak naprawa kopca po usuni ciu elementu.
10 W takiej sytuacji mo»na wykaza,»e w kopcu jest najwy»ej n/2 k+1 elementów maj cych poni»ej siebie k poziomów. Dla ka»dego takiego elementu operacja naprawy cz ±ci kopca le» cego poni»ej zajmujeo(k) czasu. Zatem zªo»ono± Kroku 1 mo»na wyliczy jako: log n k=0 n 2 k+1 O(k) = O n log n k=0 k 2 k. Korzystaj c teraz z zale»no±ci (patrz np. Cormen i in.) otrzymamy O n k=0 log n k=0 k 2 k = 1/2 (1 1/2) 2 = 2, k 2 k = O n k=0 k 2 k = O(n).
11 Zªo»ono± Kroków 2 i 4 to oczywi±cie O(1), natomiast Kroku 3 O(log n). Zatem zªo»ono± caªego algorytmu to O(n) + n (O(1) + O(log n) + O(1)) = O(n log n).
12 8 3 1 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
13 8 3 1 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
14 8 3 1 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
15 8 3 1 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
16 8 3 1 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 5 7 4
17 8 3 1 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 5 7 4
18 8 3 9 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 5 7 4
19 8 3 9 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 5 7 4
20 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 5 3 4
21 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 5 3 4
22 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 5 3 4
23 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] Tablica wyjściowa:
24 8 9 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] Tablica wyjściowa: 12
25 8 9 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] Tablica wyjściowa: 12
26 4 8 9 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 5 3 Tablica wyjściowa: 12
27 9 8 4 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 5 3 Tablica wyjściowa: 12
28 8 4 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 5 3 Tablica wyjściowa: 12 9
29 8 4 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 5 3 Tablica wyjściowa: 12 9
30 3 8 4 [3] [4] [5] [6] [7] [8] 5 Tablica wyjściowa: 12 9
31 8 7 4 [3] [4] [5] [6] [7] [8] 3 Tablica wyjściowa: 12 9
32 7 4 [3] [4] [5] [6] [7] [8] 3 Tablica wyjściowa:
33 7 4 [3] [4] [5] [6] [7] [8] 3 Tablica wyjściowa:
34 3 7 4 [3] [4] [5] [6] [7] Tablica wyjściowa:
35 7 6 4 [3] [4] [5] [6] [7] Tablica wyjściowa:
36 6 4 [3] [4] [5] [6] [7] Tablica wyjściowa:
37 6 4 [3] [4] 5 3 [5] [6] [7] 1 2 Tablica wyjściowa:
38 2 6 4 [3] [4] 5 3 [5] [6] 1 Tablica wyjściowa:
39 6 5 4 [3] [4] 2 3 [5] [6] 1 Tablica wyjściowa:
40 5 4 [3] [4] 2 3 [5] [6] 1 Tablica wyjściowa:
41 5 4 [3] [4] 2 3 [5] [6] 1 Tablica wyjściowa:
42 1 5 4 [3] [4] 2 3 [5] Tablica wyjściowa:
43 5 3 4 [3] [4] 2 1 [5] Tablica wyjściowa:
44 3 4 [3] [4] 2 1 [5] Tablica wyjściowa:
45 3 4 [3] [4] 2 1 [5] Tablica wyjściowa:
46 1 3 4 [3] [4] 2 Tablica wyjściowa:
47 4 3 1 [3] [4] 2 Tablica wyjściowa:
48 3 1 [3] [4] 2 Tablica wyjściowa:
49 3 1 [3] [4] 2 Tablica wyjściowa:
50 2 3 1 [3] Tablica wyjściowa:
51 3 2 1 [3] Tablica wyjściowa:
52 2 1 [3] Tablica wyjściowa:
53 2 1 [3] Tablica wyjściowa:
54 1 2 Tablica wyjściowa:
55 2 1 Tablica wyjściowa:
56 1 Tablica wyjściowa:
57 1 Tablica wyjściowa:
58 1 Tablica wyjściowa:
59 Tablica wyjściowa:
60 KONIEC Tablica wyjściowa:
61 Algorytm Quicksort Zasad dziaªania tego algorytmu najlepiej przedstawi przy pomocy nast puj cej procedury rekurencyjnej: int B[n]; void Quicksort(int* B,int p,int r) { if(p<r) { q=partition(b,p,r); }; Quicksort(B,p,q); Quicksort(B,q+1,r); }; Kluczowym elementem algorytmu jest procedura Partition. Procedura ta ma za zadanie taki podziaª obszaru tablicy B od indeksu p do indeksu q, aby przed elementem q znalazªy si elementy nie wi ksze od q-tego, a po tym elemencie nie mniejsze.
62 Aby posortowa caª tablic B, nale»y wywoªa Quicksort(B,1,n). Zatem caªa tablica dzielona jest na 2 cz ±ci: w pierwszej z nich znajd si elementy nie wi ksze ni» w drugiej. Nast pnie ka»da z tych cz ±ci dzielona jest na dwie mniejsze o takiej samej wªasno±ci, itd. Algorytm ko«czy dziaªanie, gdy osi gnie wyª cznie obszary 1- lub 2- elementowe, i w ka»dym z 2-elementowych mniejszy element zostanie ustawiony przed wi kszym (oczywi±cie elementy równe mog pozosta w dowolnej kolejno±ci).
63 Jedn z decyzji, jak nale»y podj przy konstruowaniu procedurypartition jest wybór elementu q, wzgl dem którego b dzie dokonany podziaª elementów B[p]... B[r]. Jednym z najprostszych sposobów jest wybór elementu skrajnego, np. B[r]. Nast pnie analizowane s kolejno wszystkie pozostaªe elementy i umieszczane w pierwszym albo w drugim obszarze(w zale»no±ci od tego, czy dany element jest odpowiednio mniejszy czy wi kszy od q-tego). Najlepiej, je±li powy»sz operacj wykonamy w miejscu. Zilustrujmy powy»sze rozwi zanie na przykªadzie.
64 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
65 B: Partition (B, p, r ) [p] [r] q
66 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
67 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
68 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
69 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
70 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
71 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
72 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
73 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
74 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
75 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
76 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
77 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
78 B: Partition (B, p, r ) [p] [r]
79 Zªo»ono± obliczeniowa procedury Partition wynosi O(n). A jaka jest zªo»ono± caªego algorytmu? Zale»y to ±ci±le od dokonywanych podziaªów. Je±li za ka»dym razem wybierany jest do podziaªu taki element, który dzieli dany obszar na 2 równe cz ±ci, to uzyskamy zªo»ono± O(n log n), co uzasadnia poni»szy rysunek.
80 n n n / 2 n / 2 n log n n / 4 n / 4 n / 4 n / 4 n n / 8 n / 8 n / 8 n / 8 n / 8 n / 8 n / 8 n / 8 n n czas pojedynczego wywołania Partition O(n log n)
81 Jednak je±li do podziaªu wybierany jest zawsze taki element,»e jedna cz ± dzielonego obszaru zawiera 1 element, to uzyskamy wynik O(n 2 ). n n 1 n 1 n n 1 n 2 n 1 1 n 3 n O(n 2 )
82 Na koniec nale»y zauwa»y,»e wystarczy, aby podziaª byª dokonywany w proporcji 9/1, aby zªo»ono± algorytmu Quicksort wynosiªa O(n log n). Czy mo»na skonstruowa algorytm sortowania o zªo»ono±ci mniejszej ni» O(n log n)?
83 Wszystkie dotychczas przedstawione algorytmy s algorytmami dziaªaj cymi na zasadzie porówna«. Mo»na wykaza,»e algorytmy tego typu nie mog mie zªo»ono±ci mniejszej ni» O(n log n). Zatem konstruuj c algorytm sortowania przez kopcowanie osi gn li±my doln granic. Jednak przy pewnych dodatkowych zaªo»eniach (np. odno±nie warto±ci danych wej±ciowych) mo»na uzyska lepszy rezultat.
84 Sortowanie przez zliczanie W algorytmie tym mamy dodatkow tablic, C, o rozmiarze równym maksymalnej warto±ci spo±ród danych wej±ciowych, powiedzmy m. Wszystkie komórki tej tablicy s zainicjowane warto±ci 0. Dziaªanie algorytmu sprowadza si do sprawdzenia ka»dej warto±ci tablicy wej±ciowej i zwi kszenie o 1 tej komórki tablicy C, która odpowiada warto±ci analizowanej danej (np., je±li w danej komórce tablicy wej±ciowej odczytamy 5, to inkrementujemy komórk C[5]). Po przeanalizowaniu wszystkich n danych wej±ciowych, w tablicy C mamy informacj, ile w±ród tych danych byªo warto±ci 1, ile warto±ci 2, itd. Tablic wyj±ciow wypeªniamy wi c tak,»e do pierwszych C[m] komórek wpisujemy m, do nast pnych C[m 1] komórek m 1, itd., a do ostatnich C komórek wpisujemy warto± 1.
85 Zªo»ono± obliczeniowa algorytmu wynosi O(n + m): ka»d dan wej±ciow analizujemy 1 raz, za ka»dym razem inkrementacja wybranej komórki tablicy C zajmuje O(1), na koniec wypeªnienie tablicy wyj±ciowej wymaga przej±cia po wszystkich elementach tablicy C. Dla m = O(n) algorytm ma wi c zªo»ono± O(n).
86 Sortowanie pozycyjne Sortowanie n liczb d-cyfrowych polega na wykonaniu d sortowa«najpierw wg najmniej znacz cej cyfry, pó¹niej bardziej znacz cej, itd. Na ko«cu sortujemy wg najbardziej znacz cej cyfry. Trzeba tylko uwzgl dnia kolejno± z poprzedniego sortowania, je±li cyfry na bie» cej pozycji s jednakowe. Poniewa» cyfry w systemie np. dziesi tnym maj maksymalnie warto± 9, mo»emy z powodzeniem wykorzysta do sortowania wg poszczególnych pozycji algorytm sortowania przez zliczanie. Zªo»ono± obliczeniowa wynosi wtedy O(dn + dm), gdzie m jest maksymaln warto±ci cyfr (np. m = 9 dla systemu dziesi tnego). Je±li d jest staª, a m = O(n), to otrzymujemy zªo»ono± O(n).
87 Sortowanie kubeªkowe Przy zaªo»eniu,»e dane wej±ciowe s z okre±lonego zakresu, np. [0,1), dzielimy ten przedziaª na n obszarów o jednakowym rozmiarze (tworzymy n odpowiadaj cych im kubeªków). Ka»da dana wpada wi c do odpowiedniego kubeªka (je±li dane wej±ciowe s z rozkªadu jednostajnego, w ka»dym kubeªku znajdzie si mniej wi cej tyle samo elementów). Nast pnie dane wewn trz ka»dego kubeªka sortujemy, np. algorytmem przez wstawianie, i zª czamy kubeªki razem, otrzymuj c poprawny ci g wynikowy. Mo»na wykaza,»e zªo»ono± obliczeniowa wynosi O(n).
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Rekurencyjne struktury danych
Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Dynamiczny przydziaª pami ci Pami, która jest przydzielana na pocz tku dziaªania procesu to: pami programu czyli instrukcje programu pami statyczna zwi zana ze zmiennymi
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Problem Komiwoja»era (PK) Dane: n liczba miast, n Z +, c ji, i, j {1,..., n}, i j odlegªo± mi dzy miastem i a miastem j, c ji = c ij, c ji R +. Zadanie:
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
O pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
STRUKTURY DANYCH. dane wej±ciowe problemu, ewentualne dane po±rednie, dane wynikowe (czyli rozwi zanie problemu).
STRUKTURY DANYCH Jak ju» zostaªo wspomniane, do rozwi zania ró»nego rodzaju problemów sªu» odpowiednie algorytmy (które implementujemy przy pomocy ró»nego rodzaju j zyków programowania wy»szego rz du).
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Podziaª pracy. Cz ± II. 1 Tablica sortuj ca. Rozwi zanie
Cz ± II Podziaª pracy 1 Tablica sortuj ca Kolejka priorytetowa to struktura danych udost pniaj ca operacje wstawienia warto±ci i pobrania warto±ci minimalnej. Z kolejki liczb caªkowitych, za po±rednictwem
Programowanie wspóªbie»ne
1 Zadanie 1: Bar Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 6 monitory cz. 2 Napisz monitor Bar synchronizuj cy prac barmana obsªuguj cego klientów przy kolistym barze z N stoªkami. Ka»dy klient realizuje nast
Lab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Programowanie wspóªbie»ne
1 Zadanie 1: Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 12 Przestrzenie krotek cz. 2 Przychodnia lekarska W przychodni lekarskiej pracuje L > 0 lekarzy, z których ka»dy ma jedn z 0 < S L specjalno±ci, przy czym
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Przetwarzanie sygnaªów
Przetwarzanie sygnaªów Laboratorium 1 - wst p do C# Dawid Poªap Przetwarzanie sygnaªów Pa¹dziernik, 2018 1 / 17 Czego mo»na oczekiwa wzgl dem programowania w C# na tych laboratoriach? Dawid Poªap Przetwarzanie
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Lekcja 12 - POMOCNICY
Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Programowanie wspóªbie»ne
1 Zadanie 1: Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 11 Przestrzenie krotek cz. 1 Obliczanie caªki oznaczonej Rozwa»my iteracyjne obliczanie caªki oznaczonej na przedziale [a, b] metod trapezów. Krok iteracji
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Listy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Algorytmy sortowania. Przykład Posortuj metod b belkow zbiór pi ciu elementów: w porz dku rosn cym. Funkcja porównuj ca przyjmuje posta :
Algorytmy sortowania Przez sortowanie rozumiemy porz dkowanie elementów tablicy; takie jej przekształcenie, aby jej elementy układały si w zale no ci od potrzeb rosn co lub malej co. a) sortowanie b belkowe
c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.
ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów
12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach
12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3:
Programowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Strategia "dziel i zwyciężaj"
Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Wyszukiwanie. Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Dziel i rz d¹. Wyszukiwanie. Statystyki pozycyjne. Podsumowanie
Zawarto± tego wykªadu: reguªa dziel i rz d¹ wyszukiwanie algorytm wyszukiwania binarnego statystyki 2. najmniejsza warto± w ci gu (algorytm turniejowy - idea) algorytm (wyszukiwanie k-tej statystyki j)
Algorytmy tekstowe. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI
Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Wyszukiwanie wzorca Wyszukiwaniem wzorca nazywamy sprawdzenie, czy w podanym tekscie T znajduje si podci g P. Szukamy sªowa kot: Ala ma kota, kot ma ale. Algorytm naiwny
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Algorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych Wykªad III wyszukiwanie c.d. Paweª Rembelski PJWSTK 16 pa¹dziernika 2009 Paweª Rembelski (PJWSTK) Algorytmy i struktury danych 16 pa¹dziernika 2009 1 / 46 1 Podziaª wzgl dem
Wska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe
Rozdziaª 11 Wska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe 11.1 Wst p Identycznie, jak w przypadku tablic statycznych, tablica dynamiczna mo»e by tablic jedno-, dwu-, trójitd. wymiarow. Tablica dynamiczna
Szeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013
Wykªad nr 5 4 kwietnia 2013 Procesory dedykowane Przypomnienie: zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie
Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2
Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.
P tle. Rozdziaª Wst p. 4.2 P tle P tla for(...);
Rozdziaª 4 P tle 4.1 Wst p Niniejszy rozdziaª zawiera opis p tli w j zyku C, wraz z przykªadowymi programami oraz ich obja±nieniem. 4.2 P tle P tla to element j zyka programowania, pozwalaj cy na wielokrotne,
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Wojciech Rytter Podziaªy liczb s bardzo skomplikowanymi obiektami kombinatorycznymi, przedstawimy dwa algorytmy liczenia takich oblektów. Pierwszy prosty algorytm
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
1 Stos: Stack i Stack<T>
1 Stos: Stack i Stack Przykªady z»ycia: Stos talerzy (aby wyci gn co± ze ±rodka, musimy wyci gn te z góry) Meble ªadowane do naczepy ci»arówki Osoby wsiadaj ce do samolotu i wysiadaj ce z niego. Piramida
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Zastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Wojewódzki Konkurs Matematyczny
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe
Skrypt do Algorytmów i Struktur Danych
Skrypt do Algorytmów i Struktur Danych K. Kleczkowski M. Pietrek 14 marca 2018 2 Spis tre±ci I Algorytmy 5 1. Algorytmy sortowania 7 1.1. Wprowadzenie...................................... 7 1.2. Sortowanie
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
XIII KONKURS MATEMATYCZNY
XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Algorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.
Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Kolejka priorytetowa. Często rozważa się kolejki priorytetowe, w których poszukuje się elementu minimalnego zamiast maksymalnego.
Kolejki Kolejka priorytetowa Kolejka priorytetowa (ang. priority queue) to struktura danych pozwalająca efektywnie realizować następujące operacje na zbiorze dynamicznym, którego elementy pochodzą z określonego
Uczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
Rozwi zania klasycznych problemów w Rendezvous
Cz ± I Rozwi zania klasycznych problemów w Rendezvous 1 Producenci i konsumenci Na pocz tek rozwa»my wersj z jednym producentem i jednym konsumentem, dziaªaj cymi w niesko«czonych p tlach. Mechanizm komunikacji
Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych
W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,
2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna
Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Programowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 2 semafory cz. 1 Zadanie 1: Producent i konsument z buforem cyklicznym type porcja; void produkuj(porcja &p); void konsumuj(porcja p); porcja bufor[n]; / bufor cykliczny
Algorytmy i Struktury Danych
Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Temat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury.
Temat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury. Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje si w danej chwili
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Programowanie i struktury danych 1 / 44
Programowanie i struktury danych 1 / 44 Lista dwukierunkowa Lista dwukierunkowa to liniowa struktura danych skªadaj ca si z ci gu elementów, z których ka»dy pami ta swojego nast pnika i poprzednika. Operacje
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.
Algorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Kopce Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 11 1 / 69 Plan wykładu
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz
Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia
5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Sortowanie - wybrane algorytmy
Sortowanie - wybrane algorytmy Aleksandra Wilkowska Wydział Matematyki - Katedra Matematyki Stosowanej Politechika Wrocławska 2 maja 2018 1 / 39 Plan prezentacji Złożoność obliczeniowa Sortowanie bąbelkowe
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
Mnożenie macierzy. Systemy z pamięcią współdzieloną Systemy z pamięcią rozproszoną Efektywność
Mnożenie macierzy Systemy z pamięcią współdzieloną Systemy z pamięcią rozproszoną Efektywność Literatura: Introduction to Parallel Computing; Grama, Gupta, Karypis, Kumar; 1 Mnożenie macierzy dostęp do
Egzaminy i inne zadania. Semestr I.
Egzaminy i inne zadania. Semestr I. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
Interpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej
Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZAMIN MATURALNY
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.
Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.
CCNA Subnetting Guide
CCNA Subnetting Guide Kataßzyna Mazur January 17, 2015 Contents Classful Networks (Sieci Klasowe) 2 Opis klas adresów 3 Subnetting Based on Network Requirements (Dzielenie sieci ze wzgl du na wymagan ilo±
Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9
Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny