Ruch w obracajacym się potencjale harmonicznym

Ruch w obracajacym się potencjale harmonicznym pełne rozwiazanie Tomasz Sowiński Seminarium CFT p.1/16

Trochę mechaniki klasycznej... hamiltonian (m = 1) H(t) = p2 2 + 1 2 r ˆV (t)r H = p2 2 + rˆωp + 1 2 r ˆV r ˆV = V x 0 0 0 V y 0 0 0 V z ˆΩ = 0 Ω z Ω y Ω z 0 Ω x Ω y Ω x 0 równania ruchu { ṙ = p ˆΩr ṗ = ˆV r ˆΩp Seminarium CFT p.2/16

Rozwiazania poprzez mody Równania ruchu w całej okazałości: d dt r x r y r z p x p y p z = 0 Ω z Ω y 1 0 0 Ω z 0 Ω x 0 1 0 Ω y Ω x 0 0 0 1 V x 0 0 0 Ω z Ω y 0 V y 0 Ω z 0 Ω x 0 0 V z Ω y Ω x 0 r x r y r z p x p y p z Szukamy rozwiazań w postaci: gdzie R = R(t) = R 0 e iωt ( ) r, ω - częstość własna danego modu. p Seminarium CFT p.3/16

Częstości własne, a stabilność układu Równanie na częstości własne ( Ω = Ω n) ω 6 + aω 4 + bω 2 + c = 0 χ 3 + aχ 2 + bχ + c = 0 (ω 2 = χ) a = 2Ω 2 Tr( ˆV ) [ b = Ω 4 + Ω 2 3 n ˆV n Tr( ˆV ] ) + Tr( ˆV ) 2 Tr( ˆV 2 ) 2 c = Ω 4 n ˆV [ n + Ω 2 Tr( ˆV ) n ˆV n n ˆV ] 2 n Det( ˆV ) Dla ustalonego ˆV i n równanie na częstości własne zadaje nam krzywa f(χ, Ω) = χ 3 + a(ω)χ 2 + b(ω)χ + c(ω) = 0. Seminarium CFT p.4/16

Przypadek dwuwymiarowy V x = 1, V y = 3, V z = 2 Ω = (0, 0, Ω) 4 3 Ω 2 1 0 1 2 3 4 5 6 χ Seminarium CFT p.5/16

Przypadek dwuwymiarowy V x = 1, V y = 3, V z = 2 Ω = (0, 0, Ω) 4 3 Ω 2 1 0 1 2 3 4 5 6 χ Seminarium CFT p.5/16

Przypadek dwuwymiarowy V x = 3, V y = 1 Potencjał nieobracający się Seminarium CFT p.6/16

Przypadek dwuwymiarowy V x = 3, V y = 1 Powolny obrót (Ω = 0.2), pierwszy obszar stabilności Seminarium CFT p.6/16

Przypadek dwuwymiarowy V x = 3, V y = 1 Obrót destrukcyjny (Ω = 1.5), obszar niestabilności Seminarium CFT p.6/16

Przypadek dwuwymiarowy V x = 3, V y = 1 Szybki obrót (Ω = 2), drugi obszar stabilności Seminarium CFT p.6/16

Pułapka Paula (Nagroda Nobla 1989) Seminarium CFT p.7/16

Dowolne ustawienie osi obrotu V x = 3, V y = 2, V z = 1 Ω = Ω 3 (1, 1, 1) 4 3 Ω 2 1 0 1 2 3 4 5 6 χ Seminarium CFT p.8/16

Dowolne ustawienie osi obrotu V x = 3, V y = 2, V z = 1 Ω = Ω 3 (1, 1, 1) 4 3 Ω 2 1 0 1 2 3 4 5 6 χ Seminarium CFT p.8/16

Przypadek trójwymiarowy V x = 3, V y = 2, V z = 1 Pierwszy obszar niestabilności Seminarium CFT p.9/16

Przypadek trójwymiarowy V x = 3, V y = 2, V z = 1 Drugi obszar niestabliności Seminarium CFT p.9/16

Przypadek trójwymiarowy V x = 3, V y = 2, V z = 1 Stabilizacja siła Coriolisa Seminarium CFT p.9/16

Dowolne ustawienie osi obrotu WNIOSEK: Obrót wokół osi obrotu niepokrywajacej się z żadna osia główna potencjału całkowicie zmienia własności ruchu i nie jest trywialnym uogólnieniem obrotu dwuwymiarowego Seminarium CFT p.10/16

Zagadanienie fukcji falowej Załóżmy, że układ kwantowy jest opisywany funkcja gaussowska Ψ(r, t) = Me 1 2 r ˆK(t)r gdzie ˆK jest dowolna zespolona macierza symetryczna z dodatniookreślona częścia rzeczywista. Z równania Schrödingera i t Ψ = HΨ (ħ = 1) wynika równanie na ewolucję ˆK d dt ˆK = i ˆK 2 + i ˆV [ˆΩ, ˆK] Seminarium CFT p.11/16

Dekompozycja Szukamy macierzy ˆK w postaci: ˆK(t) = i ˆN(t) ˆD 1 (t) równanie na ˆK w tych terminach ( ) ( ) d i dt ˆN ˆD 1 + i ˆN ˆD d 1 dt ˆD ˆD 1 = = i ˆN ˆD 1 ˆN ˆD 1 + i ˆV + iˆω ˆN ˆD 1 i ˆN ˆD 1 ˆΩ Seminarium CFT p.12/16

Dekompozycja Szukamy macierzy ˆK w postaci: ˆK(t) = i ˆN(t) ˆD 1 (t) równanie na ˆK w tych terminach ( ) ( ) d i dt ˆN ˆD 1 + i ˆN ˆD d 1 dt ˆD ˆD 1 = = i ˆN ˆD 1 ˆN ˆD 1 + i ˆV + iˆω ˆN ˆD 1 i ˆN ˆD 1 ˆΩ Seminarium CFT p.12/16

Dekompozycja Szukamy macierzy ˆK w postaci: ˆK(t) = i ˆN(t) ˆD 1 (t) równanie na ˆK w tych terminach ( ) ( ) d i dt ˆN ˆD 1 + i ˆN ˆD d 1 dt ˆD ˆD 1 = = i ˆN ˆD 1 ˆN ˆD 1 + i ˆV + iˆω ˆN ˆD 1 i ˆN ˆD 1 ˆΩ Wystarczy, że będzie spełniony układ (EUREKA!) { ˆD = ˆN ˆΩ ˆD ˆN = ˆV ˆD ˆΩ ˆN { ṙ = p ˆΩr ṗ = ˆV r ˆΩp Seminarium CFT p.12/16

Stan stacjonarny Aby ˆK nie zależało od czasu wystarczy, by: { ˆD = ˆDe iˆωt ˆN = ˆN e iˆωt Wiemy dodatkowo, że macierze ˆD i ˆN spełniaja klasyczne równania ruchu Znamy takie rozwiazania klasycznie - MODY WŁASNE!!! R(t) = R x R y e iωt R z P(t) = P x P y P z e iωt Seminarium CFT p.13/16

Przepis na funkcje falowa Ustawić mody obok siebie D = N = R x R y R z R x R y R z R x R y R z ω 1 ω 2 ω 3 P x P y P z P x P y P z P x P y P z ω 1 ω 2 ω 3 Podzielić macierze przez siebie ˆK = N D 1 tak otrzymane ˆK spełnia równanie Schrödingera Seminarium CFT p.14/16

Wybór znaku Jest jeszcze dowolność wyboru znaku ±ω Trzeba wybrać znak tak, aby ostatecznie macierz ˆK była dodatniookreślona W I obszarze stabilności + + + W II obszarze stabilności + + W III obszarze stabilności + + Czy fizyka klasyczna mówi, który znak wybrać?? H = ω 1 A 1 A 1 + ω 2 A 2 A 2 + ω 3 A 3 A 3 {A m, A n} = iδ mn Seminarium CFT p.15/16

Wybór znaku Jest jeszcze dowolność wyboru znaku ±ω Trzeba wybrać znak tak, aby ostatecznie macierz ˆK była dodatniookreślona W I obszarze stabilności + + + W II obszarze stabilności + + W III obszarze stabilności + + Czy fizyka klasyczna mówi, który znak wybrać?? H = ω 1 A 1 A 1 + ω 2 A 2 A 2 + ω 3 A 3 A 3 (I obszar stabilności) H = ω 1 A 1 A 1 ω 2 A 2 A 2 + ω 3 A 3 A 3 (III obszar stabilności) {A m, A n} = iδ mn Seminarium CFT p.15/16

Podsumowanie Obracajacy się potencjał harmoniczny jest równoważny w sensie kanonicznym trzem niezależnym drganiom Stabilność układu zależy od prędkości obrotu i dla dostatecznie dużych czestości układ zawsze jest stabilny zależy od kierunku osi obrotu, która wpływa na ilość i wielkość obszarów niestabilności Funkcje falowa (stanu podstawowego) można zawsze wyznaczyć znajac jedynie rozwiazania klasyczne problemu Tym samym jest jasne dlaczego niestabilność układu kwantowego pojawia się dla tych samych częstości co niestabilność w świecie klasycznym Seminarium CFT p.16/16