Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe

1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α + b β, γ = a ξα, γ + b ξβ, γ oraz ii a,b R γ V α,β W ξγ, a α + b β = a ξγ, α + b ξγ, β. Zbiór wszystkich funkcjona lów dwuliniowych z V W w R oznaczamy przez LV, W ; R. Stwierdzenie 13.2. LV, W ; R jest podprzestrzeni liniow przestrzeni R V W przekszta lceń ze zbioru V W w cia lo R. Dowód. Przede wszystkim zauważmy, że zbiór LV, W ; R jest niepusty, bo np. przekszta lcenie zerowe Θα, β = 0 dla wszystkich α V, β W jest funkcjona lem dwuliniowym z V W w R. Niech ξ, η LV, W ; R, a R. Wykażemy, że ξ + η LV, W ; K oraz a ξ LV, W ; R. W tym celu weźmy dowolne α, β V, γ W, b, c R. Wtedy ξ + ηb α + c β, γ = ξb α + c β, γ + ηb α + c β, γ = = b ξα, γ + c ξβ, γ + b ηα, γ + c ηβ, γ = = b ξ + ηα, γ + c ξ + ηβ, γ oraz a ξb α + c β, γ = a ξb α + c β, γ = = a b ξα, γ + c ξβ, γ = b a ξα, γ + c a ξβ, γ. W ten sposób wykazaliśmy liniowość przekszta lceń ξ + η i a ξ na pierwszej wspó lrz ednej. Analogicznie dowodzimy liniowości tych przekszta lceń na drugiej wspó lrz ednej. Uwaga 13.3. Niech ξ LV, W ; R. Dla dowolnego ustalonego α V określamy przekszta lcenie ξ α: W R k ladac Wówczas dla dowolnych a 1, a 2 R, β 1, β 2 W ξ αβ = ξα, β dla β W. 1 ξ αa 1 β 1 + a 2 β 2 = ξα, a 1 β 1 + a 2 β 2 = = a 1 ξα, β 1 + a 2 ξα, β 2 = a 1 ξ αβ 1 + a 2 ξ αβ 2. Zatem ξ α W. W ten sposób mamy określone przekszta lcenie ξ : V W. 1

Analogicznie, dla dowolnego ustalonego β W określamy przekszta lcenie ξ β: V R k ladac ξ βα = ξα, β dla α V. 2 Wówczas dla dowolnych a 1, a 2 R, α 1, α 2 V ξ βa 1 α 1 + a 2 α 2 = ξa 1 α 1 + a 2 α 2, β = = a 1 ξα 1, β + a 2 ξα 2, β = a 1 ξ βα 1 + a 2 ξ βα 2. Zatem ξ β W. W ten sposób mamy określone przekszta lcenie ξ : W V. Twierdzenie 13.4. Jeżeli V i W s przestrzeniami liniowymi, to przekszta lcenie ξ ξ jest izomorfizmem przestrzeni liniowej LV, W ; R na przestrzeń LV ; W oraz przekszta lcenie ξ ξ jest izomorfizmem przestrzeni liniowej LV, W ; R na przestrzeń LW ; V. Dowód. Dla dowolnych a, b R, α, β V, γ W mamy, że ξ a α + b βγ = ξa α + b β, γ = a ξα, γ + b ξβ, γ = a ξ αγ + b ξ βγ = a ξ α + b ξ βγ, skad wobec dowolności γ mamy, że ξ a α + b β = a ξ α + b ξ β. Zatem przekszta lcenie ξ ξ jest liniowe. Dla f LV ; W oznaczmy przez f przekszta lcenie V W w R dane wzorem fα, β = fαβ dla α V, β W. 3 Sprawdzimy, że f LV, W ; R. Aby wykazać prawdziwość warunku i definicji 13.1 weźmy dowolne a, b R oraz dowolne α, β V, γ W. Wtedy fa α + b β, γ = fa α + b βγ = a fα + b fβγ = a fαγ + b fβγ = a fα, γ + +b fβ, γ, czyli warunek ten zachodzi. Teraz wykażemy, że spe lniony jest warunek ii definicji 13.1. W tym celu weźmy dowolne a, b R oraz dowolne γ V, α, β W. Wtedy fγ, a α + b β = fγa α + b β = a fγα + b fγβ = a fγ, α + b fγ, β, wiec warunek ten też jest spe lniony. Zatem f LV, W ; R i otrzymujemy odwzorowanie f f przestrzeni LV ; W w przestrzeń LV, W ; R. Udowodnimy, że f = f dla dowolnego f LV ; W. Dla dowolnych α V, β W : f αβ = fα, β = fαβ, skad wobec dowolności β, f α = fα, a wiec wobec dowolności α, f = f. Teraz udowodnimy, że dla dowolnego ξ LV, W ; R jest ξ = ξ. W tym celu weźmy dowolne α V, β W. Wtedy ξ α, β = ξ αβ = ξα, β, skad wobec dowolności α i β uzyskujemy, że ξ = ξ. Zatem przekszta lcenie f f jest odwrotne do ξ ξ, czyli przekszta lcenie ξ ξ jest bijekcj i ostatecznie jest ono izomorfizmem. W szczególności przekszta lcenie f f jest izomorfizmem przestrzeni liniowej LV ; W na przestrzeń LV, W ; R. Dla dowolnych a, b R, α, β W, γ V mamy, że ξ a α + b βγ = ξγ, a α + b β = a ξγ, α + b ξγ, β = 2

= a ξ αγ + b ξ βγ = a ξ α + b ξ βγ, skad wobec dowolności γ mamy, że ξ a α + b β = a ξ α + b ξ β. Zatem przekszta lcenie ξ ξ jest liniowe. Podobnie jak w i dowodzimy, że jest ono bijekcja. Zatem przekszta lcenie ξ ξ jest izomorfizmem przestrzeni liniowej LV, W ; R na przestrzeń LW ; V. Uwaga 13.5. Izomorfizm ξ ξ nazywamy kanonicznym izomorfizmem przestrzeni LV, W ; R na przestrzeń LV ; W. Natomiast izomorfizm f f nazywamy kanonicznym izomorfizmem przestrzeni LV ; W na przestrze LV, W ; R. 2 Przypadek przestrzeni skończenie wymiarowych Twierdzenie 13.6. Niech V i W bed skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi i niech ξ LV, W ; R. Przy naturalnym utożsamieniu przestrzeni V z przestrzeni V oraz przestrzeni W z przestrzeni W mamy, że ξ = ξ i ξ = ξ. Ponadto dim ξ V = dim ξ W. Dowód. Naturalne utożsamienie przestrzeni V z przestrzeni V polega na utożsamieniu wektora α V z przekszta lceniem α danym wzorem α ϕ = ϕα dla ϕ V. Zatem dla dowolnych α V, β W mamy, że ξ α β = α ξ β = α ξ β = = ξ βα = ξα, β = ξ αβ, skad wobec dowolności β, ξ α = ξ α. Ale α α, wiec wobec dowolności α, ξ = ξ. Stad dim ξ V = dimξ V. Analogicznie pokazujemy, że ξ = ξ. Ponadto, na mocy twierdzenia 12.13 mamy, że dimξ V = dim ξ W, wiec dim ξ V = dim ξ W. Definicja 13.7. Rzedem funkcjona lu dwuliniowego ξ LV, W ; R nazywamy rzad liniowego ξ LV ; W, czyli wymiar podprzestrzeni ξ V a wobec twierdzenia 13.6 jest to wymiar podprzestrzeni ξ W. Stwierdzenie 13.8. Jeżeli V i W s skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi, to dim LV, W ; R = dim V dim W. Dowód. Z twierdzenia 13.4, dim LV, W ; R = dim LV ; W. Ponadto dim W <, wiec z twierdzenia 12.2, dim W = dim W. Ale dim V <, wiec dim LV ; W = dim V dim W = dim V dim W. Zatem dim LV, W ; R = dim V dim W. Twierdzenie 13.9. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Niech α 1,..., α n bedzie uporzadkowan baz przestrzeni V i niech β 1,..., β m bedzie uporzadkowan baz przestrzeni W. Wówczas dla dowolnych i = 1,..., n, j = 1,..., m przekszta lcenie ξ ij : V W R dane wzorem ξ ij x k α k, y l β l = x i y j 4 jest funkcjona lem dwuliniowym oraz uk lad ξ ij i=1,...,n jest baz przestrzeni LV, W ; R. 3

Dowód. Z uwagi 12.4 wynika, że β1,..., β m jest baz przestrzeni W. Zatem, z twierdzenia 10.2, uk lad ϕ ji i=1,...,n, gdzie { Θ, gdy k i, ϕ ji α k = βj, gdy k = i. 5 jest baz przestrzeni LV ; W. Z dowodu twierdzenia 13.4 wynika zatem, że uk lad ϕ ji i=1,...,n jest baz przestrzeni LV, W ; R. Ponadto m m ϕ ji x k α k, y l β l = ϕ ji x k α k y l β l = x i βj y l β l = x i y j βj β j = x i y j, dla dowolnych i = 1,..., n, j = 1,..., m, x 1,..., x n, y 1,..., y m R. Stad ϕ ji = ξ ij dla wszystkich i = 1,..., n, j = 1,..., m i uk lad ξ ij i=1,...,n tworzy baze przestrzeni LV, W ; R. Definicja 13.10. Macierz [ξα i, β j ] M n m R nazywamy funkcjona lu dwuliniowego ξ LV, W ; R w bazach α 1,..., α n, β 1,..., β m. Uwaga 13.11. Niech A = [a ij ] M n m R bedzie funkcjona lu dwuliniowego ξ LV, W ; R w bazach α 1,..., α n, β 1,..., β m. Udowodnimy, że wówczas ξ = a ij ξ ij. Dla dowolnych x 1,..., x n, y 1,..., y m R na mocy wzoru 4 a ij ξ ij x k α k, y l β l = a ij x i y j oraz z dwuliniowości ξ mamy wi ec Zatem rzeczywiście ξ = ξ x k α k, y l β l = ξ x k α k, y l β l = x i y j ξα i, α j, a ij x i y j. 6 a ij ξ ij. Na odwrót, dla dowolnych a ij R, i = 1,..., n, j = 1,..., m przekszta lcenie ξ : V W R dane wzorem 6 jest równe a ij ξ ij na mocy pierwszej cześci naszej uwagi, a wiec ξ LV, W ; R i [a ij ] M n m R jest ξ w bazach α 1,..., α n, β 1,..., β m. Zatem każdy funkcjona l dwuliniowy ξ LV, W ; R jest dany wzorem 6. Zauważmy jeszcze, że przy utożsamieniu macierzy [a] ze skalarem a R wzór 6 można zapisać w postaci: ξ x k α k, y l β l = [x 1,..., x n ] A [y 1,..., y m ] T. 7 4

Twierdzenie 13.12. Niech A bedzie funkcjona lu dwuliniowego ξ LV, W ; R danego wzorem 6 w bazach α 1,..., α n, β 1,..., β m. Wtedy A T jest liniowego ξ w bazach α 1,..., α n i β1,..., β m. W szczególności rzad funkcjona lu ξ jest równy rzedowi macierzy A. Dowód. Dla i = 1,..., n, j = 1,..., m mamy, że ξ α i β j = ξα i, β j = a ij oraz m a ik βk β j = a ij na mocy określenia ξ oraz wzoru 1 z wyk ladu 12. Stad ξ α i = a ik βk dla i = 1,..., n. Zatem wspó lrzedne wektora ξ α i tworz i-ty wiersz macierzy A, czyli tworz i-t kolumne macierzy A T. Stad liniowego ξ w bazach α 1,..., α n i β1,..., β m jest macierz A T. Z twierdzenia 10.8 mamy, że dim ξ V = ra T. Ale ra T = ra, wiec rzad funkcjona lu ξ jest równy ra. 3 Zmiana bazy a funkcjona ly dwuliniowe Twierdzenie 13.13. Niech A bedzie funkcjona lu dwuliniowego ξ LV, W ; R danego wzorem 6 w bazach α 1,..., α n, β 1,..., β m. Niech P bedzie przejścia od bazy α 1,..., α n do bazy α 1,..., α n oraz niech Q bedzie przejścia od bazy β 1,..., β m do bazy β 1,..., β m. Wówczas P T A Q jest ξ w bazach α 1,..., α n, β 1,..., β m. Dowód. Ze wzoru 7, z definicji macierzy przejścia oraz z definicji 13.7 wynika, że dla dowolnych i = 1,..., n, j = 1,..., m ξα i, β j = i ta kolumna P T A j ta kolumna Q = = i ty wiersz P T A j ta kolumna Q. Ale z definicji iloczynu macierzy A j ta kolumna Q = j ta kolumna A Q, wiec ξα i, β j = [P T A Q] ij, skad mamy teze. Korzystajac ze wzoru 7 oraz z definicji macierzy endomorfizmu liniowego w bazie i z definicji 13.7 można udowodnić w podobny sposób nastepuj ace twierdzenie. Twierdzenie 13.14. Niech A bedzie funkcjona lu dwuliniowego ξ LV, W ; R danego wzorem 6 w bazach α 1,..., α n, β 1,..., β m. Niech P bedzie endomorfizmu f przestrzeni V w bazie α 1,..., α n oraz niech Q bedzie endomorfizmu g przestrzeni W w bazie β 1,..., β m. Wówczas ξ 1 : V W R dane wzorem ξ 1 α, β = ξfα, gβ dla α V, β W jest funkcjona lem dwuliniowym i jego w bazach α 1,..., α n, β 1,..., β m jest P T A Q. 5